skkn GIẢI hệ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẩn lý DO CHỌN đề tài

Giải hệ phương trình hai ẩn

GV: Nguyễn Bá Vững

Đề tài: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN
LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Theo hướng dẫn của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo từ năm học 2011. Nội dung dạy
học môn toán cấp THPT có rất ít thời gian về giải hệ phương trình 2 ẩn. Trong khi đó
các đề thi tuyển sinh Đại học và Cao đẳng hàng năm đều có các bài giải hệ phương
trình. Để tạo điều kiện cho học sinh khá, giỏi thích tìm tòi, khám phá trong học tập và
tạo nền tảng trong các kỳ thi Đại học và Cao đẳng.
Chính vì vậy, bản than chọn đề tài “Gỉai hệ phương trình hai ẩn” để trao đổi cùng
các đồng nghiệp nhằm củng cố kiến thức cơ bản và phát huy tư duy sáng tạo của học
sinh trung học phổ thong, chắc chắn trong đề tài còn có nhiều thiếu sót rất mong sự
trao đổi góp ý của các đồng nghiệp.

Trang: 1


Giải hệ phương trình hai ẩn

GV: Nguyễn Bá Vững

NỘI DUNG ĐỀ TÀI
A./ CÁC LÝ THUYẾT LIÊN QUAN
- Để giải hệ phương trình hai ẩn ta có thể dung các phương pháp quen thuộc như
phương pháp thay thế, phương pháp cộng đại số, phương pháp đặt ẩn phụ.
- Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
suy ra x, y là nghiệm của phương trình X2 – SX + P = 0
Điều kiện S2 – 4P ≥0

B./ MỘT SỐ DẠNG TOÁN CỤ THỂ
I./ Giải hệ bằng phương pháp thay thế
Tính x theo y từ phương trình thứ nhất và thế vào phương trình thứ hai tìm y.
Từ đó tìm x
Ví dụ 1:
Giải hệ :

hay
Ví dụ 2:
Giải hệ :
hay
Ví dụ 3:
Trang: 2


Giải hệ phương trình hai ẩn

GV: Nguyễn Bá Vững

Giải hệ :

hay

II./ Giải hệ bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 1:
Giải hệ :
Đặt

Điều kiện S2 – 4P ≥0

Ta có:

(Lọai) hay
Với

suy ra x, y là nghiệm của phương trình X2 – 3X + 2 = 0

Giải ra hệ có hai nghiệm

hay

Ví dụ 2:
Giải hệ :
Đặt

Điều kiện S2 – 4P ≥0

Ta có:
(Lọai) hay
Trang: 3


Giải hệ phương trình hai ẩn

Với

GV: Nguyễn Bá Vững

suy ra x, y là nghiệm của phương trình X2 – 2X = 0

Giải ra hệ có hai nghiệm

hay

Ví dụ 3:
Giải hệ :
Đặt

Điều kiện S2 – 4P ≥0

Ta có:

suy ra S, P là nghiệm của phương trình X2 – 3X +2 = 0
Giải ra hệ có hai nghiệm
Với

hay

suy ra x, y là nghiệm của phương trình X2 – 2X+1 = 0

Giải ra hệ có hai nghiệm
Ví dụ 4:
Giải hệ :

Đặt

điểu kiện x

Điều kiện S2 – 4P ≥0, S

Ta có:

Trang: 4


Giải hệ phương trình hai ẩn

Với

suy ra

,

GV: Nguyễn Bá Vững

là nghiệm của phương trình X2 – 5X+6 = 0

Giải ra hệ có hai nghiệm

hay

Hay hệ có 2 nghiệm:

hay

III./ Giải hệ bằng phương pháp biểu diễn x theo y
Ví dụ 1: (ĐH Quốc gia)
điểu kiện x≠0,y≠0

Giải hệ :

 (x-y)(2+

(1) – (2) ta có 2(x-y)+


TH1: x= y
Thế vào (1) ta có
Vậy hệ có nghiệm



 x2 = 1  x=±1



 x2 = 2  x= ±

hay

TH2:
Thế vào (1) ta có
Vậy hệ có nghiệm

hay
Trang: 5


Giải hệ phương trình hai ẩn

GV: Nguyễn Bá Vững

Kết luận hệ có 4 nghiệm :
hay

hay

Ví dụ 2: (ĐH Sư phạm TP. HCM)
điểu kiện x≥2,y≥2

Giải hệ :
Ta có:




xy-2x+y-2=xy+x-2y-2
 x= y

Khi đó hệ tương đương
Ta có:




⇔ x=3

Vậy hệ có 1 nghiệm:
Ví dụ 3: (Trung tâm đào tạo cán bộ y tế)
Giải hệ :

Lấy vế trừ vế ta được:

Trang: 6


Giải hệ phương trình hai ẩn

GV: Nguyễn Bá Vững

 (x-y)(x2+xy+y2+1)=0

Với x=y hệ trở thành x3-3x-2=0
Vậy hệ có 2 nghiêm:

hay

Ví dụ 4: (ĐH thủy lợi)
điểu kiện x≠0,y≠0

Giải hệ :

Ta có: Hệ tương đương
Lấy vế trừ vế ta được:
(x-y)(2x2+3xy+y2)=0

Với x=y hệ trở thành 2x3+ x3=3x3=1 x=1
Vậy hệ có 1 nghiệm:

IV./ Giải hệ bằng phương pháp bằng cách đưa ẩn phụ vào.
Ví dụ 1: (Học viện ngân hang TP. HCM)

Giải hệ :
Vì x=0 không là nghiệm của hệ nên ta đặt y=kx. Khi đó hệ trở thành

Trang: 7


Giải hệ phương trình hai ẩn

GV: Nguyễn Bá Vững



Ta có: (*) tương đương

Thế vào phương trình còn lại ta được::



Vậy hệ có 4 nghiệm: (

(-

(3,2), (-3,-2)

Ví dụ 2: (ĐH tin học TP. HCM)
Giải hệ :
Vì x=0 không là nghiệm của hệ nên ta đặt y=kx. Khi đó hệ trở thành

Chia vế cho vế ta được: k2+11k-12=0 
Với k=1 ta có: x2=1 

Với k=-12 ta có: x2=53 
Vậy hệ có 4 nghiệm (

(-1,-1 (

Trang: 8

,

), (

,

)


Giải hệ phương trình hai ẩn

GV: Nguyễn Bá Vững

V./ Giải hệ bằng phương pháp bằng cách biểu diễn x theo y từ một
phương trình.
Ví dụ 1: (ĐH khối A)
điểu kiện xy≠0

Giải hệ :

Ta có:

 (x-y)(1+



TH1: x=y


Ta có hệ tương đương





TH2: xy=-1


Ta có hệ tương đương





Hệ vô nghiệm

Vậy hệ có 3 nghiệm: (1,1), (

), (

Ví dụ 2: (ĐH Sư phạm Quy Nhơn)

Giải hệ :

điểu kiện x≠0

Trang: 9


Giải hệ phương trình hai ẩn

GV: Nguyễn Bá Vững



Ta có:



thế vào phương trình còn lại ta

được:
2x+

2x+

2x-

2x2+5x-3=0


Vậy hệ có 2 nghiệm: (

), (

)

Ví dụ 3: (ĐH năm 2012)
điểu kiện x,y

Giải hệ :
Từ phương trình :
(



TH1:
Thế vào phương trình còn lại của hệ ta có: x3+x-2=0
(



TH2: y=2x+1
Thế vào phương trình còn lại của hệ ta có:x(2x+1)+x-2=0
2





Vậy hệ có 3 nghiệm: (1,1), (
Ví dụ 4: (ĐH năm 2008)
Trang: 10

Giải hệ phương trình hai ẩn

GV: Nguyễn Bá Vững

Giải hệ :
Ta có x=0 không là nghiệm của hệ. Từ phương trình
phương trình còn lại ta được:
x4+12x3+48x2+64x=0x(x+4)3=0
Vậy hệ có 1 nghiệm: (-4,

C./ MỘT SỐ BÀI TẬP
Giải các hệ phương trình sau:

1.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Trang: 11

thế vào


Giải hệ phương trình hai ẩn

GV: Nguyễn Bá Vững

D./ KẾT LUẬN
Việc giải hệ phương trình có nhiều dạng, tùy theo từng dạng có cách giải phù
hợp. Tuy nhiên cần phải vận dụng nhiều kiến thức toán học để giải rất nhiều học sinh
khá giỏi rất hứng thú, tìm tòi cách giải, kích thích các em sáng tạo trong tư duy.
Tuy nhiên các em học sinh ở mức trung bình, hoặc trung bình yếu rất ngại khi
giải hệ không bấm được máy tính. Với một số suy nghĩ qua các dạng bài tập trình bày
ở trên rất mong sự góp ý của các đồng nghiệp nhằm không ngừng nâng cao chất
lượng bộ môn tóan trên tỉnh nhà. Rất chân thành cám ơn./

Trang: 12