SKKN hệ THỐNG các DẠNG bài tập THƯỜNG gặp của CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP tọa độ TRONG KHÔNG GIAN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.09 MB, 44 trang )
HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CỦA CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong xu thế đổi mới phương pháp dạy và học của Bộ Giáo dục và đào tạo trong những
năm vừa qua thì phương pháp tạo cho học sinh có khả năng tư duy từ một số bài toán để từ
đó có thể tự nghiên cứu, tìm tòi, sáng tạo được các giáo viên chú ý và được Bộ khuyến khích
nhất. Vì thế hầu hết các giáo viên đều chọn phương pháp giảng dạy theo một chuyên đề về
một mảng kiến thức nào đó trong trường phổ thông.
Các bài toán phương pháp toạ độ trong không gian trong chương trình lớp 12 là một
trong những bài toán nhiều dạng hay, chứa đựng nhiều tính tư duy logic phù hợp nhiều đối
tượng học sinh từ Trung bình cho đến học sinh Khá giỏi. Để làm bài toán dạng này đòi hỏi
phải nắm vững kiến thức hình học không gian, mối quan hệ giữa đường thẳng, mặt phẳng,
mặt cầu…
Hơn nữa, các bài toán phương pháp tọa độ không gian luôn có trong các đề thi tốt
nghiệp THPT và thi vào đại học, cao đẳng. Do đó, tôi hệ thống các dạng bài toán thường gặp
để giúp các em ôn tập và rèn luyện chương này dễ dàng hơn.
Là giáo viên giảng dạy ở THPT Nam Hà tôi thấy nhìn chung đối tượng học sinh ở mức
Trung bình khá (một số ít là HSG). Do đó, chuyên đề này chỉ được viết ở mức độ tư duy vừa
phải, phân loại bài tập từ dễ đến khó, hệ thống một số dạng bài toán thường gặp để học sinh
tiếp cận một cách đơn giản dễ nhớ, giúp các em không nhầm lẫn khi giải bài toán dạng này
và từng bước giúp học sinh hình thành lối tư duy giải quyết vấn đề. Qua đó các em có thể
hoàn thành tốt bài thi tốt nghiệp THPT và bài thi ĐHCĐ.
Nội dung của SKKN này gồm:
I. Lý do chọn đề tài.
II. Nội dung:
1. Cơ sở lý thuyết.
2. Các bài tập có lời giải, bài tập rèn luyện.
III. Hiệu quả đề tài.
IV. Đề xuất, khuyến nghị khả năng áp dụng.
V. Tài liệu tham khảo.
[Type text]
HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CỦA CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. CÔNG THỨCTÍNH CHẤT
TỌA ĐỘ VECTƠ, TỌA ĐỘ ĐIỂM:
r
r
Cho a (x1 ; y1;z1 ), b (x 2 ; y 2 ;z 2 ) và số thực k .
Cho A (x A ; y A ;z A ), B (x B ; y B ;z B ), C(x C ; y C ;z C ), D(x D ; y D ;z D ) . Khi đó:
r r
1. Tồng, hiệu hai vectơ: a b (x1 x 2 ; y1 y 2 ;z1 z 2 )
x1 x 2
r r
2. Hai vectơ bằng nhau: a b y1 y 2
z z
1 2
r
3. Tích vectơ với một số thực: ka (kx1 ;ky1 ;kz1 )
r r
r
r
x
y
z
4. Hai vectơ cùng phương: a // b a kb 1 1 1 .
x 2 y2 z 2
Chú ý: Nếu x 2 = 0 (y2 = 0,z 2 = 0)thì x1 = 0 (y1 = 0,z1 = 0)
uuur
AB
(x B x A ; y B y A ;z B z A )
5. Tọa độ vectơ:
6. Độ dài vectơ:
r
r
* | a | x12 y12 z12 ; | b | x 22 y22 z22
uuur
* AB | AB | (xB xA )2 (yB yA )2 (zB zA )2
7. Tích vô
r rhướng
r của
r hai vectơ:
r r
rr
* a.b | a | . | b | .cos(a, b)
* a.b x1x 2 y1y2 z1z 2
rr
r r
a.b
x1x 2 y1y2 z1z 2
Chú ý:
+ Góc giữa hai vectơ: cos(a,b) r r
| a | .| b |
x12 y12 z12 . x 22 y22 z 22
r r
rr
+ Hai vectơ vuông góc: a b a.b 0 x1x 2 y1y 2 z1z 2 0
x x B yA yB z A z B
8. Trung điểm I của đoạn AB: I ( A
;
;
)
2
2
2
x x B x C y A y B yC z A z B z C
;
;
)
9. Trọng tâm G của ABC : G( A
3
3
3
10. Trọng tâm G của tứ diện ABCD:
x x B x C x D y A y B yC y D z A z B z C z D
G( A
;
;
)
4
4
4
11. Hình chiếu của điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) lên các trục và các mặt phẳng tọa độ:
a) M1 là hình chiếu vuông góc của M lên trục Ox thì M1(x0 ;0;0)
M2 là hình chiếu vuông góc của M lên trục Oy thì M2 (0;y0 ;0)
M3 là hình chiếu vuông góc của M lên trục Oz thì M3 (0;0;z0 )
b) M1’ là hình chiếu vuông góc của M lên mp (Oxy) thì M1' (x 0 ; y 0 ;0)
M2’ là hình chiếu vuông góc của M lên mp (Oyz) thì M2' (0; y 0 ;z0 )
[Type text]
HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CỦA CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
M3’là hình chiếu vuông góc của M lên mp (Oxz) thì M3' (x 0 ;0;z0 )
II. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG:
1. Định nghĩa: Cho a x1; y1; z1 và b x 2 ; y 2 ; z 2
r r y z z x x y
[a,b] 1 1 ; 1 1 ; 1 1
y2 z 2 z 2 x 2 x 2 y2
2. Các tính chất:
r
r r
r
r
* a cùng phương b a,b 0
r r
r
r r
r
* a,b a và a,b b
r r
r r
r r
* a,b a . b .sin(a,b)
3. Ứng dụng của tích có hướng:
1 uuur uuur
AB,AC .
2
uuur uuur uuur
3.2. Thể tích:
* Hình hộp: VABCD.A ' B ' C ' D ' AB,AD .AA'
1 uuur uuur uuur
* Tứ diện: VABCD AB,AC .AD
6
3.3. Điều kiện 3 véctơ đồng phẳng:
r r r
r r r
* a,b,c đồng phẳng a,b .c 0
uuur uuur uuur
* A, B, C, D đồng phẳng AB,AC .AD 0
uuur uuur uuur
* A, B, C, D tạo thành tứ diện ABCD AB,AC .AD 0
3.1. Diện tích tam giác: SABC
III. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG:
1. Véctơ pháp tuyến của mặtr phẳng:
r
r
Định nghĩa: Cho (), véctơ n 0 gọi là vécr tơ pháp tuyến (VTPT) của mp() nếu n nằm
trên đường thẳng vuông góc với (), kí hiệu n ( ) .
r
n
Chú ý:
* Một mp
r
r có vô số VTPT.
* Nếu n là VTPT của () thì kn (k 0) cũng là VTPT của ().
* Một mp hoàn toàn được xác định khi biết trước một điểm và một VTPT.
2. Phương trình mặt phẳng:
uur
uuur
2.1. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và nhận vectơ n = (A;B;C) 0 làm
vectơ pháp tuyến:
(1)
A(x - x ) + B(y - y ) +C(z - z ) = 0
0
0
0
2.2. Ta khai triển, rút gọn phương trình (1) và đặt D = -Ax 0 - By0 -Cz0 ta được phương trình:
(2)
Ax + By + Cz + D = 0
[Type text]
HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CỦA CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Phương trình (2) được gọi là phương trình
tổng quát của mặt phẳng.
uuur
Khi đó mặt phẳng có vectơ pháp tuyến n = (A;B;C) .
uur
uur
2.3. Mặt phẳng đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có 2 vectơ a = (a1;a 2 ;a 3 ); b = (b1;b2 ;b3 ) nằm
uuur
uur uur
n
=
trên hoặc song song với mặt phẳng thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:
a , b .
Ta áp dụng công thức phương trình (1) để lập phương trình mặt phẳng.
uuur
uuur uuur
n
=
AB,
AC
2.4. Mặt phẳng (ABC) có VTPT
2.5. Các phương trình mặt phẳng dạng đặc biệt:
a) Mặt phẳng Oxy; Oxz; Oyz có phương trình lần lượt là: z = 0; y = 0; x = 0
b) Mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxy hoặc Oxz hoặc Oyz có dạng phương trình
lần lượt là: z + D = 0 hoặc y + D = 0 hoặc x + D = 0.
c) Mặt phẳng chứa các trục Ox hoặc Oy hoặc Oz có dạng phương trình lần lượt là:
By + Cz = 0 hoặc Ax + Cz = 0 hoặc Ax + By = 0.
d) Mặt phẳng song song với các trục Ox hoặc Oy hoặc Oz có dạng phương trình lần
lượt là: By + Cz + D = 0 hoặc Ax + Cz + D = 0 hoặc Ax + By + D = 0.
e) Nếu mp (P)//(Q): Ax + By + Cz + D = 0 thì pt mp (P) có dạng: Ax + By + Cz + D' = 0
x y z
f) Mặt phẳng đi qua 3 điểm A(a;0;0); B(0;b;0) và C(0;0;c) có ph trình: + + = 1 .
a b c
IV. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG:
Cho hai mặt phẳng: (P): A1x + B1y + C1z + D1 = 0
(Q): A2x + B2y + C2z + D2 = 0
A1 B1
A
C
B
C
hoặc 1 1 hoặc 1 1 thì (P) cắt (Q).
A 2 B2
A 2 C2
B2 C 2
A
B
C
D
b) Nếu 1 1 1 1 thì (P) // (Q).
A 2 B2 C 2 D 2
A
B
C
D
c) Nếu 1 1 1 1 thì (P) (Q).
A 2 B2 C 2 D 2
a) Nếu
V. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. Véctơ chỉ phương của đường thẳng:
r
r
Định nghĩa: Cho đường thẳng (). Véctơ a ( a1;a2 ;a3 ) 0 được gọi là véctơ chỉ phương
r
của đường thẳng () nếu và chỉ nếu giá của a song song hoặc trùng với đường thẳng ().
2. Phương trình đường thẳng:
a) Phương trình tham số của đường thẳng:
r
r
Đường thẳng () đi qua M(x 0 ; y0 ;z 0 ) và có VTCP a ( a1;a2 ;a3 ) 0 có phương
x x 0 a1t
trình tham số: y y0 a 2 t t R (1)
z z a t
0
3
b) Phương trình chính tắc:
Nếu a1;a2 ;a3 đều khác 0 thì đường thẳng () có phương trình chính tắc:
[Type text]
HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CỦA CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
x x 0 y y0 z z 0
(2)
a1
a2
a3
c) Phương trình đường thẳng AB với A(xA;yA;zA); B(xB;yB;zB):
x - xA
y - yA
z - zA
=
=
x B - x A yB - yA zB - z A
(3)
d) Phương trình tổng quát của đường thẳng:
Cho hai mặt phẳng (P): A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và (Q): A2 x + B2 y + C2z + D2 = 0 cắt
nhau theo giao tuyến ( ) là đường thẳng có phương trình tổng quát:
A1x + B1 y + C1z + D1 = 0
(4) (ĐK: A1 : B1 : C1 A2 : B2 : C2 )
A
x
+
B
y
+
C
z
+
D
=
0
2
2
2
2
uur
n = (A1 ; B1 ; C1 )
Khi đó hai véctơ uuu1r
cùng vuông góc với đường thẳng ( ) nên đường
n 2 = (A 2 ; B2 ; C2 )
uur
uur uuur
thẳng ( ) có VTCP: a n1 n 2 .
Chú ý 1:
1) Một đường thẳng hoàn toàn được xác định
uuur khi biết đi qua một điểm và có 1 VTCP
2) Đường thẳng AB qua điểm A và nhận AB làm VTCP.
r ur ur
r ur
a
3) Nếu hai véctơ n;n ' cùng vuông góc với đường thẳng () thì [n ,n '] là một
véctơ chỉ phương của đường thẳng ().
4) Điểm M thuộc đường thẳng () thì M(x 0 a1t;y0 a 2 t;z 0 a 3t) .
5) Nếu đường thẳng () vuông góc với mặt phẳng () thì đường thẳng () nhận
VTPT của mặt phẳng () làm VTCP của nó.
6) Nếu mặt phẳng () vuông góc với đường thẳng () thì mặt phẳng () nhận VTCP
của đường thẳng () làm VTPT của nó.
VI. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG:
x x 0 a1t
Cho hai đường thẳng (d): y y0 a 2 t
z z a t
0
3
uur
t R đi qua M(x0;y0;z0) và có VTCP a = (a1;a 2 ;a 3 )
x x '0 a '1 t '
uuur
và đường thẳng (d'): y y'0 a '2 t ' t ' R đi qua M’(x’0;y’0;z’0) và có VTCP a' = (a'1;a'2 ;a'3 )
z z' a ' t '
0
3
uur uuur
a & a'
cùng phương
1) Hai đường thẳng (d) // (d') uur uuuuuuur
a ' không cùng phương
[Type text]
HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CỦA CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
uur uuur
a & a'
cùng phương
2) Hai đường thẳng (d) (d') uur uuuuuuur
a ' cùng phương
uur uuur
a & a' Không cùng phương
3) Hai đường thẳng (d) và (d') chéo nhau uur uuur uuuuuuur
a, a' ' 0
uur uuur
a & a'
Không cùng phương
uu
r
uu
u
r
uuuuuu
ur
4) Hai đường thẳng (d) và (d') cắt nhau
a
,
a'
' 0
Cách xác định giao điểm I của hai đường thẳng:
x0 a1t x '0 a '1 t '
y a2t y '0 a '2 t '
Xét hệ phương trình: 0
z a t z ' a ' t '
0
3
0 3
(1)
(2)
(3)
Kết hợp (1) và (2) giải hệ pt, suy ra t và t’. Thế vào (3) : thỏa pt (3)
Tọa độ giao điểm I(x 0 a1t;y0 a 2 t;z 0 a 3t) ứng với t vừa tìm được.
VII. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG:
x x 0 a1t
Cho đường thẳng (d): y y0 a 2 t t R và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0
z z a t
0
3
Ta xét phương trình: A(x 0 a1t) B(y0 a 2 t) C(z 0 a 3t) D 0 (5)
1) Nếu pt (5) có 1 nghiệm duy nhất t = t0 thì đường thẳng (d) cắt mp (P) tại 1 điểm có
tọa độ: I(x 0 a1t 0 ; y0 a 2 t 0 ;z0 a 3 t 0 )
2) Nếu pt (5) có dạng: 0.t = k (k 0) tức là pt (5) vô nghiệm thì (d) song song mp (P).
3) Nếu pt (5) có dạng: 0.t = 0 tức là pt (5) có vô số nghiệm thì (d) nằm trên mp (P).
VIII. GÓC:
1. Góc giữa hai đường thẳng:
x x 0 a1t
uur
Cho hai đường thẳng : y y0 a 2 t t R có VTCP a = (a1;a 2 ;a 3 )
z z a t
0
3
x x '0 a '1 t '
uuur
và đường thẳng: ' : y y'0 a '2 t ' t ' R có VTCP a' = (a'1;a'2 ;a'3 )
z z' a ' t '
0
3
Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn tạo bởi hai VTCP của hai đường thẳng đó:
[Type text]
HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CỦA CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
uur uuur
a.a '
a a' a a' a a'
cos = uur uuur 2 1 2 1 22 2 2 3 23 2
a . a '
a1 a2 a3 . a '1 a '2 a '3
2. Góc giữa hai mặt phẳng:
uuur
Cho hai mặt phẳng (P): A1x + B1y + C1z + D1 = 0 có VTPT n1 = (A1;B1;C1 ) và mặt
uuur
phẳng (Q): A2x + B2y + C2z + D2 = 0 có VTPT n2 = (A2 ;B2 ;C2 ) . Góc giữa hai mặt phẳng là
góc nhọn tạo bởi hai VTPT của hai mp đó:
uuur uuur
n1.n2
A A +B B +C C
cos = uuur uuur 2 1 2 2 21 2 2 1 22 2
n1 . n2
A1 + B1 + C1 . A 2 + B2 + C2
3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
x x 0 a1t
uur
Cho hai đường thẳng : y y0 a 2 t t R có VTCP a = (a1;a 2 ;a 3 ) và mặt
z z a t
0
3
uur
phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT n = (A;B;C) . Gọi là góc giữa đường thẳng và
uur
mặt phẳng thì là góc phụ của góc tạo bởi VTCP a = (a1;a 2 ;a 3 ) của đường thẳng với VTPT
uur uur
a.n
a1 A a2 B a3C
uur
sin
=
uu
r uur
n = (A;B;C) của mặt phẳng:
a . n
a12 a22 a32 . A2 B 2 C 2
IX. KHOẢNG CÁCH:
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Cho điểm M0(x0;y0;z0) và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0.
Ax 0 +By 0 + Cz0 +D
Khoảng cách từ M0 đến mặt phẳng (P): dM0 ,(P) =
(1)
A 2 +B2 C2
2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song, Phương trình mp (P): Ax + By + Cz + D1 = 0,
Phương trình mp (Q): Ax + By + Cz + D2 = 0. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng là:
D D
d(P);(Q) = 2 1 2 2 2
A +B C
3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
uur
Cho điểm M0(x0;y0;z0) và đường thẳng đi qua điểm M(x1;y1;z1) có VTCP a
uuuuuur uur
M0M,a
uur
Khoảng cách từ M0 đến đường thẳng : dM0 ,( ) =
(2)
a
[Type text]
HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CỦA CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng:
uur
Cho hai đường thẳng:
đi qua điểm M(x0;y0;z0) có VTCP a
uuur
' đi qua điểm M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP a '
4.1. Nếu hai đường thẳng ' và ' chéo nhau:
uur uuur uuuur
a,a ' .MM '
=
uur uuur
Khoảng cách giữa hai đt và ' : d( ),(
(3)
' )
a,a '
4.2. Nếu hai đường thẳng và ' song song:
Khoảng cách giữa hai đt và ' : là khoảng cách từ điểm M’ trên ' đến đ thẳng :
uuuur uuur
uuuur uur
MM',a '
MM',a
uuur
dM',( ) =
uur
(4). Hay khoảng cách từ M đến đt ' : dM,( ') =
a '
a
X. MẶT CẦU:
1. ĐỊNH NGHĨA:
S = M(x; y; z) / IM = R
Trong đó: (S): mặt cầu; I (a; b; c): tâm mặt cầu; R (R > 0): bán kính mặt cầu.
2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU:
a) Phương trình chính tắc của mặt cầu:
Mặt cầu (S) tâm I (a; b; c), bán kính R có phương trình chính tắc
x - a + y - b + z - c
2
2
2
= R2
(1)
b) Phương trình tổng quát của mặt cầu:
Khai triển pt (1) ta được: x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz +a2 +b2 +c 2 -R2 = 0
Đặt d = a2 + b2+ c2 – R2, ta được phương trình:
x 2 + y2 + z 2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0
(2)
Phương trình (2) được gọi là pt tổng quát của mặt cầu với tâm I (a; b; c) và bán kính:
R = a2 +b2 +c 2 - d .
Lưu ý:
- Nếu mặt cầu có tâm là gốc tọa độ O và bán kính R thì pt mặt cầu: x2 + y2 + z2 = R2.
- Điều kiện cần và đủ để pt (2) là pt mặt cầu: a2 + b2+ c2 - d > 0
3. Giao của mặt cầu và mặt phẳng:
Cho mặt cầu S(O ; r) và mặt phẳng (P). Gọi h là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P).
Khi h > r : (P) không có điểm chung với mặt cầu S(O ; r)
[Type text]
HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CỦA CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Khi h = r : (P) tiếp xúc với S(O ; r) tại H. Khi đó (P) được gọi là tiếp diện và H là tiếp điểm
Khi h < r : Giao tuyến của (P) và S(O ; r) là đường tròn C(H ; r’) tâm H, bán kính
r' =
r 2 - h2
Khi h = 0 thì (P) được gọi là mặt phẳng kính. Khi đó r lớn
nhất và C(H ; r) được gọi là đường tròn lớn của mặt cầu.
Tóm lại: Cho mặt cầu S(O ; r) và mặt phẳng (P). Gọi
H là hình chiếu của O lên mặt phẳng (P) và h là khoảng cách từ O đến (P).
h > r : (P) S(O, r) =
h = r : (P) S(O, r) = {H}
h < r : (P) S(O, r) = C(H ; r’)
III. Giao của mặt cầu với đường thẳng và tiếp tuyến của mặt cầu:
Cho mặt phẳng (P) cắt mặt cầu S(O ; r) theo giao tuyến là đường tròn C(O ; r) và
đường thẳng trên mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu của O lên đường thẳng và h là
khoảng cách từ O đến đường thẳng .
Khi d > r: () (S) =
[Type text]
HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CỦA CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Khi d = r: () (S) = H. Với H: được gọi là tiếp điểm
(): được gọi là tiếp tuyến của mặt cầu.
Khi d < r: () (S) = {M ; N}
XI. CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN:
1. Bài tập về tọa độ:
Bài 1: Tính cosin của góc giữa hai vectơ a , b trong mỗi trường hợp sau:
a) a (4;3;1); b (1; 2;3)
b) a (2; 4;5), b (6;0; 3)
Giải
rr
r r
a.b
4.(1) 3.2 1.3
5
2
a) cos(a,b) r r
| a | .| b |
26. 14 2 91
42 32 12 . 12 22 32
rr
r r
a.b
2.6 4.0 5.(3)
3
1
b) cos(a,b) r r
| a | .| b |
45. 45 15
22 42 52 . 62 02 32
Bài 2: Cho ABC với A(1; 0; 0), B(0; 0; 1), C(2; 1; 1).
a) Tính các góc của ABC.
b) Tìm tọa độ trong tâm G của ABC.
c) Tính chu vi và diện tích tam giác đó.
Giải
uuur
uuur
a) Ta có: AB (1;0;1); AC (1;1;1)
uuur uuur
uuur uuur
AB.AC
1.1 0.1 1.1
cos(AB,AC) uuur uuur
0
2
2
2
2
2
2
AB . AC
1 0 1 . 1 1 1
0
·
BAC
90
uuur
uuur
Ta có: BA (1;0; 1); BC (2;1;0)
[Type text]
HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CỦA CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
uuur uuur
uuur uuur
BA.BC
1.2 0.1 (1).0
2
2
cos(BA,BC) uuur uuur
2. 5
5
BA . BC
12 02 12 . 22 12 02
0
·
ABC
uuur ...
uuur
CA
(
1;
1;
1);
CB
(2; 1;0)
Ta có:
uuur uuur
uuur uuur
CA.CB
1.(2) (1).(1) (1).0
3
3
cos(CA,CB) uuur uuur
3. 5
5
CA . CB
12 12 12 . 22 12 02
·
ACB
...0
b) Trọng tâm G của ΔABC :
xA xB xC 1 0 2
1
x G
3
3
y A y B yC 0 0 1 1
1 2
G(1;
yG
3
3
3
3 3
z A z B zC 0 1 1 2
z
G
3
3
3
uuur
c)AB (1; 0;1) AB =
Chu vi ΔABC :P =
SΔABC
uuur
uuur
2 ; AC (1;1;1) AC = 3;BC (2;1; 0) BC = 5
2 3 5
1
6
AB.AC =
2
2
Bài 3: Tìm điểm M trên trục Ox, biết M cách đều 2 điểm A(3; 1; 0) và B(–2; 4; 1).
Giải
x M(x;0;0)
M cách đều 2 điểm A(3; 1; 0) và B(–2; 4; 1)
x (0 1) 2 02 x (0 4) 2 (0 1) 2
11
10x 11 x
10
11
Vậy M(- ;0;0)
10
Bài 4: Trên mp Oxz tìm điểm M cách đều 3 điểm A(1; 1; 1), B(–1; 1; 0) và C(3; 1; –1).
Giải
xz M(x;0;z)
M cách đều 3 điểm A(1; 1; 1), B(–1; 1; 0) và C(3; 1; –1)
C
C
(HS tự giải)
uur ur ur
Bài 5: Xét sự đồng phẳng của ba vectơ a , b , c trong mỗi tr.hợp sau:
a) a (4; 2;5); b (3;1;3); c (2;0;1)
[Type text]
b) a (1; 1;1); b (0;1; 2); c (4; 2;3)
HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CỦA CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Giải
r r
a) a, b (1;
r r r
a, b .c 2 0 2 0
uur ur ur
Vậy ba vectơ a , b , c đồng phẳng.
r r
b) a, b (3;
r r r
a, b .c 12 4 3 13 0
uur ur ur
Vậy ba vectơ a , b , c không đồng phẳng.
2. Bài tập cơ bản về phương trình mặt phẵng:
Bài 1: Hãy xác định VTPT của mặt phẳng (P): 2x – y + 3z – 4 = 0 và một điểm M là điểm
trên (P).
Giải
ur
VTPT của mặt phẳng (P): n (2;
Điểm M(2;0;0) (P)
Bài 2: Hãy xác định VTCP của các đường thẳng sau và một điểm M trên đường thẳng ấy.
x 2 t
x y -1 z + 2
x y z 3 0
=
a) (d1 ) : y 4 2t
b) (d 2 ) : =
c) (d3 ) :
2
-2
3
2x y 6z 2 0
z 5
Giải
uur
a) Đường thẳng (d1) có VTCP u1 (1; và đi qua điểm M1(2;4;-5).
uur
u
b) Đường thẳng (d2) có VTCP 2 (2; và đi qua điểm M2(0;1;-2).
c) Đường thẳng (d3) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q)
uur
(P) :x y z 3 0
n P (1;1;
1)
uur
(Q) : 2x y 6z 2 0 n Q (2; 1;6)
uur
uur uur
Đường thẳng (d3) có VTCP u 3 n P ,n Q (5; 8; 3)
y z 3 0
y 4
Cho x = 0 ta được:
y 6z 2 0
z 1
Đường thẳng (d3) đi qua điểm M3(0;4;1).
r
Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng qua M(-1 ; 2 ; 4) và vuông góc với n (2; .
Giải
r
Mặt phẳng (P) qua M(-1 ; 2 ; 4) và vuông góc với n (2; nên (P) nhận
r
n (2; làm VTPT.
Pt (P): 2(x + 1) – 2(y – 2) + 1(z – 4) = 0 2x – 2y + z + 2 = 0.
Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng qua N(-1 ; 1 ; 0) và vuông góc với đường thẳng AB với
A(3 ; 2 ; -1), B(1 ; -1 ; 0).
[Type text]
HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CỦA CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Giải
Mặt phẳng (Q) qua N(-1 ; 1 ; 0) và vuông góc với đường thẳng AB nên (Q) nhận
uuur
AB (2; làm VTPT.
Pt (Q): -2(x + 1) – 3(y – 1) + 1(z – 0) = 0 -2x – 3y + z + 1 = 0.
Bài 5: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn MN với M(3 ; 1 ; -1), N(-1 ; 3 ; 1).
Giải
Gọi I là trung điểm MN I(1 ; 2 ; 0)
Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn MN nên (P) qua I(1 ; 2 ; 0) và (P) nhận
uuuur
MN (4; làm VTPT.
Pt (P): -4(x – 1) + 2(y – 2) + 2(z – 0) = 0 -2x + y + z = 0.
x 2 t
Bài 6: Viết pt mặt phẳng qua A(-4 ; 1 ; 2) và vuông góc với đường thẳng (d) : y 4 2t(t R)
z 5 t
Giải
uur
Đường thẳng (d) có VTCP ud (1; .
uur
Mặt phẳng (Q) qua A(-4 ; 1 ; 2) và vuông góc (d) nên (Q) nhận ud (1; làm
VTPT.
Pt (Q): -1(x + 4) + 2(y – 1) + 1(z – 2) = 0 -x + 2y + z – 8 = 0.
Bài 7: Viết pt mặt phẳng () đi qua M(1; –3; 1) và song song với mp(): 2x – y + 3z –1 = 0.
Giải
ur
Mặt phẳng () có VTPT n (2; 1; .
ur
Mặt phẳng () qua M(1; –3; 1) và song song với mp() nên () nhận n (2; 1; làm
VTPT.
Pt (): 2(x – 1) – 1(y + 3) + 3(z – 1) = 0 2x – y + 3z – 8 = 0.
Bài 8: Viết phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua 3 điểm A(2; 1; 1), B(3; 4; –2), C(0; 0; –1).
Giải
uuur
AB (1;
Ta có:
uuur
AC (2;
uuur uuur
AB, AC (9;
ur
uuur uuur
Mặt phẳng (ABC) qua A(2; 1; 1) và có VTPT n AB, AC (9;
Pt (ABC): -9(x – 2) + 8(y – 1) + 5(z – 1) = 0 -9x + 8y + 5z + 5 = 0.
Bài 9: Lập pt mp() đi qua 2 điểm M(7; 2; –3), N(5; 6; –4) và song song với trục Oz.
Giải
uuuur
MN (2;
Ta có:
uur
k (0;0;
uuuur uur
MN, k (4;
Mặt phẳng () đi qua 2 điểm M(7; 2; –3), N(5; 6; –4) và song song với trục Oz
[Type text]
HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CỦA CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
uur
uuuur uur
Nên () nhận n MN, k (4; làm VTPT.
Pt (): 4(x – 7) + 2(y – 2) + 0(z + 3) = 0 4x + 2y – 32 = 0.
Bài 10: Lập phương trình mặt phẳng () đi qua điểm M(2; –1; 2) và vuông góc với hai mặt
phẳng (P): 2x – z + 1 = 0 và (Q): x + y – z + 2 = 0.
Giải
uur
Mặt phẳng (P) có VTPT n P (2;0; 1)
uur
Mặt phẳng (Q) có VTPT n Q (1;1;
1)
uur uur
n P ,n Q (1;1;2)
Mặt phẳng () đi qua điểm M(2; –1; 2) và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q)
uur
uur uur
làm VTPT
nên () nhận n n P ,n Q (1;1;2)
Pt (): 1(x – 2) + 1(y + 1) + 2(z – 2) = 0 x + y +2z– 5 = 0.
Bài 11: Lập phương trình mặt phẳng () đi qua điểm A(2; –1; 2) và chứa đường thẳng
x y -1 z + 2
( d ) : =
=
Giải
1
-2
3
uur
Đường thẳng (d) có VTCP u d (1; 2;3) và qua M(0 ; 1 ; -2)
uuuur
AM (2;2; 4)
Ta có :
uur uuuur
u d ,AM (2; 2; 2)
Mặt phẳng () đi qua điểm A(2; –1; 2) và chứa đường thẳng (d)
ur
uur uuuur
nên () nhận n u d ,AM (2; 2; 2) làm VTPT
Pt (): 2(x – 2) – 2(y + 1) – 2(z – 2) = 0 2x – 2y – 2z– 2 = 0.
x t
Bài 12: Lập phương trình mặt phẳng () chứa đường thẳng (d1 ) : y 1 2t (t R), và
z 2 t
x - 2 y +1 z
=
=
song song với (d 2 ) :
1
1
-2
Giải
uur
và qua M1(0 ; 1 ; -2)
Đường thẳng (d1) có VTCP u1 (1; 2;1)
uur
2) và qua M2(2 ;-1 ; 0)
Đường thẳng (d2) có VTCP u 2 (1;1;
uur uur
u1,u 2 (5; 1; 3)
Mặt phẳng () chứa (d1 ) và song song với (d 2 ) nên () qua điểm M1(0 ; 1;-2) và ()
ur
uur uur
nhận n u1,u 2 (5; 1; 3) làm VTPT
Pt (): -5(x – 0) – 1(y – 1) – 3(z + 2) = 0 -5x – y – 3z – 5 = 0.
Ta thấy M2(2 ;-1 ; 0) không thuộc mặt phẳng ()
Vậy (): -5x – y – 3z – 5 = 0 là mặt phẳng cần xác định.
[Type text]
HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CỦA CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
3. Bài tập cơ bản về phương trình đường thẳng:
Bài 1: Trong không gian Oxyz. Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của
đường thẳng (d) trong các trường hợp sau:
a) (d) qua điểm M(2; 1; 3) và có chỉ phương là u =(3; -1; -2)
b) (d) qua điểm M(1;0;3) và song song đường thẳng AB biết A(-1;-1;2) và B(-1;-2;0)
c) (d) đi qua hai điểm M(-2;0;1) và N(1;1-1).
Giải
a)
x 2 3t
+ Phương trình tham số của (d): y 1 t
z 3 2t
+ Phương trình chính tắc của (d):
t R
x 2 y 1 z 3
3
1
2
b) Đường thẳng (d) qua M(1;0;3) và song song đường thẳng AB nên (d) nhận
uuuur
AB (0; làm VTCP.
x 1
+ Phương trình tham số của (d): y t
z 3 2t
t R
+ Không có phương trình chính tắc.
uuuuur
c) (d) qua hai điểm M(-2;0;1) và N(1;1-1) nên (d) nhận MN (3; làm VTCP
x 2 3t
+ Phương trình tham số của (d) : y t
z 1 2t
+ Phương trình chính tắc của (d):
t R
x + 2 y z -1
= =
3
1
-2
Bài 2: Trong không gian Oxyz. Viết phương trình đường thẳng (d) biết:
a) (d) đi qua M(2; 3; 1) và vuông góc với ( ): x + 2y – 3z + 1 = 0
b) (d) đi qua M(2; -3; 1) và vuông góc với mặt phẳng (Oxy)
c) (d) đi qua M(2; -3; 1) và vuông góc với mặt phẳng (Oxz)
d) (d) đi qua M(2; -3; 1) và vuông góc với mặt phẳng (Oyz)
Giải
[Type text]
HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CỦA CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
uur
a) Mp( ): x + 2y – 3z + 1 = 0 có VTPT n (1;
uur
Đthẳng (d) qua M(2; 3; 1) và vuông góc với ( ) nên (d) nhận n (1; làm VTCP
x 2 t
phương trình (d): y 3 2t
z 1 3t
t R
uur
b) Mp(Oxy) có pt: z = 0 nên có VTPT k (0;
uur
Đthẳng (d) qua M(2;-3;1) và vuông góc với (Oxy) nên (d) nhận k (0; làm VTCP
x 2
phương trình (d): y 3
z 1 t
t R
ur
c) Mp(Oxz) có pt y = 0 nên có VTPT j (0;
ur
Đthẳng (d) qua M(2;-3;1) và vuông góc với (Oxz) nên (d) nhận j (0; làm VTCP
x 2
phương trình (d): (d) : y 3 t
z 1
t R
d) Hs tự làm.
Bài 3: Trong không gian Oxyz. Viết phương trình đường thẳng (d) biết:
x 2 t
a) (d) đi qua điểm M(2; 2; -1) và song song với (d’): y 3 2t t R
z 1 3t
b) (d) đi qua điểm M(-1;2;3) và song song với (d’):
x 2 y 1 z
3
2
4
2 x 3 y z 1 0 (1)
3x y 2 z 3 0 (2)
c) (d) đi qua điểm M(0; 2; 1) và song song với (d’)
d) (d) đi qua điểm M(2; 3; 4) và song song với trục ox.
Giải
uur
u'
a) Đường thẳng (d’) có VTCP (1;
uur
Đthẳng (d) qua M(2; 2; -1) và song song (d’) nên (d) nhận u' (1; làm VTCP
[Type text]
HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CỦA CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
x 2 t
phương trình (d): y 2 2t
z 1 3t
t R
uur
b) Đường thẳng (d’) có VTCP u' (3;
uur
Đthẳng (d) qua M(-1; 2;3) và song song (d’) nên (d) nhận u' (3; làm VTCP
x 1 3t
phương trình (d): y 2 2t
z 3 4t
c) Ta có:
uur
n1 (2;
uur
n1 (3;
t R
uur
uur uur
Véctơ chỉ phương của (d’) là u' n1 , n 2 = (5; -7 ; -11)
uur
Đthẳng (d) qua M(0; 2;1) và song song (d’) nên (d) nhận u' = (5; -7 ; -11) làm VTCP
x 5t
phương trình (d): y 2 7t
z 1 11t
t R
r
d) Trục Ox có VTCP i (1;
r
Đthẳng (d) qua M(0; 2;1) và song song Ox nên (d) nhận i (1; làm VTCP
x t
phương trình (d) :
y 2
z 1
t R
Bài 4: Trong không gian Oxyz .Viết phương trình đường thẳng (d) biết:
a) (d) đi qua điểm M(3; 1; 5) và song song với hai mặt phẳng:
(P): 2x + 3y - 2z + 1 = 0 và (Q): x – 3y + z - 2 = 0.
b) (d) đi qua điểm M(-2; 1; 5) và song song với hai mặt phẳng:
(P): 3x + 2y - 4z + 1 = 0 và mặt phẳng (Oxy).
Giải
uuur
a) Ta có: Mặt phẳng (P) có VTPT n P (2;
uuur
Mặt phẳng (Q) có VTPT n Q (1;
uur uur
n P , n Q = (-3; -4 ; -9)
[Type text]
HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CỦA CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Đthẳng (d) qua M(3; 1; 5) và song song với hai mặt phẳng (P) và (Q)
uur
uur uur
nên (d) có vectơ chỉ phương u d n P , n Q = (-3; -4; -9)
x 3 3t
phương trình (d): y 1 4t
z 5 9t
t R
uuur
b) Ta có: Mặt phẳng (P) có VTPT n P (3;
Mặt phẳng (Oxy) có VTPT k =(0; 0; 1)
uur uur
n P , k = (2; -3 ; 0)
Đthẳng (d) qua M(-2; 1; 5) và song song với hai mặt phẳng (P) và (Oxy)
uur
uur uur
nên (d) có vectơ chỉ phương u d n P , k = (2; -3 ; 0)
x 2 2t
phương trình (d): y 1 3t
z 5
t R
Bài 5: Trong không gian Oxyz. Viết phương trình đường thẳng (d) biết:
x 2 3t
x 1 y z 3
a) (d) qua M(2; -3; 4) và vuông góc với d1: y 3 t
và d2:
2
5
3
z 1 2t
x 3 y 2 z 2 0 ( P)
2 x y 3z 2 0 (Q)
b) (d) qua M(1; 2; 3) và vuông góc với trục Oy và đường thẳng d’ :
Giải
uur
a) Đường thẳng (d1) có VTCP u1 (3;
uuur
Đường thẳng (d2) có VTCP u 2 (2;
uur uuur
u1 , u 2 = (-7; 13 ; -17)
Đthẳng (d) qua M(2;-3;4) và vuông góc với 2 đường thẳng (d1), (d1)
uur
uur uuur
u
u
nên (d) có vectơ chỉ phương d 1 , u 2 = (-7; 13 ; -17)
[Type text]
HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CỦA CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
x 2 7t
phương trình (d) là: y 3 13t
z 4 17t
t R
b) Xét đường thẳng (d’):
uuur
Mặt phẳng (P) có VTPT n P (1;
uuur
Mặt phẳng (Q) có VTPT n Q (2;
ur
uur uur
Đường thẳng (d’) có VTCP u' n P , n Q = (7; -7 ; -7)
ur
Trục Oy có VTCP j (0;
ur ur
u', j = (7; 0 ; 7)
Đthẳng (d) qua M(1;2;3) và vuông góc với 2 đường thẳng (d’), trục Oy
uur
ur ur
r
nên (d) có vectơ chỉ phương u d u', j = (7; 0 ; 7) cùng phương với u 1;0;1
x 1 t
phương trình (d): y 2
z 3 t
t R
Bài 6: Trong không gian Oxyz. Viết phương đường thẳng (d) biết:
a) (d) đi qua điểm M(2; 3; 0), song song (P): 3x – 2y +z+1 = 0 và vuông góc với
d’:
x 1 y 1 z 3
.
2
3
4
b) d đi qua điểm M(-2; 1; 3) song song với mặt phẳng (Oxz) và vuông góc với
x 1 3t
d’: y 2 t
z 4 2t
t R
Giải
uuur
a) Ta có: Mặt phẳng (P) có VTPT n P (3;
uur
Đường thẳng (d’) có VTCP u' (2;
uur uur
n P , u' = (-11; -10 ; 13)
Đthẳng (d) qua M(2; 3; 0) song song với mặt phẳng (P) và vuông góc đthẳng (d’)
uur
uur uur
nên (d) có vectơ chỉ phương u d n P , u' = (-11; -10 ; 13)
[Type text]
HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CỦA CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
x 2 11t
phương trình (d): y 3 10t
z 13t
t R
uur
b) Mặt phẳng (Oxz) có VTPT j (0;
uur
u'
Đường thẳng (d’) có VTCP (3;
ur uur
j, u' = (2; 0 ; -3)
Đthẳng (d) qua M(-2; 1; 3) song song với mặt phẳng (Oxz) và vuông góc đthẳng (d’)
uur
ur uur
nên (d) có vectơ chỉ phương u d j, u' = (2; 0 ; -3)
x 2 2t
phương trình (d): y 1
z 3 3t
t R
Bài 7: Trong không gian Oxyz. Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) là giao tuyến
của hai mặt phẳng (P): x + y + z – 1 = 0 và (Q): 2x – 3y +z +3 = 0.
Giải
uuur
Mặt phẳng (P) có VTPT n P (1;
uuur
Mặt phẳng (Q) có VTPT n Q (2;
uur
uur uur
Đường thẳng (d) có VTCP u n P , n Q = (4; 1 ; -5)
x y z 1 0
cho x = 0 y = 1 và z = 0
2 x 3 y z 3 0
Toạ độ điểm M (d) thoả mãn hệ
M(0; 1; 0 ) (d)
x 4t
phương trình tham số của (d) : y 1 t
z 5t
t R
Nhận xét: Bài toán trên bản chất là bài toán chuyển từ phương trình tổng quát của đường
thẳng về dạng phương trình tham số.
Bài 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng:
[Type text]
HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CỦA CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
x 2 3t
(d1): y 3 t
z 4 2t
t R
và (d2):
x 4 y 1
z
3
1
2
a) CMR: (d1) song song (d2)
b) Viết phương trình đường thẳng (d) nằm trên mặt phẳng chứa d1 và d2 đồng thời cách
đều hai đường thẳng đó.
Giải
uur
2) và qua M1(2 ; -3 ; 4)
a) Đường thẳng (d1) có VTCP u1 (3;1;
uur
2) và qua M2(4 ;-1 ; 0)
Đường thẳng (d2) có VTCP u 2 (3;1;
uur
uur
ngphöôngu 2
u1cuø
Ta có: uuuuuu
ur
uur
ngcuø
ngphöôngu1 (3;1;
2)
M1M 2 (2;2; 4)khoâ
Vậy (d1) song song (d2)
ur
2)
b) Do (d1)//(d2) và d cách đều (d1), (d2) vectơ chỉ phương của (d) là u (3;1;
Gọi I trung điểm của M1M2 I(3; -2; 2) (d)
x 3 3t
phương trình (d): y 2 t
z 2 2t
t R
Bài 9: Trong không gian Oxyz. Lập phương trình đường thẳng d đi qua M(2; 3; 3)
x 3
x 1 y 4 z 2
vuông góc với d1:
và cắt d2 : y 2 t ( t là tham số)
1
3
1
z 1 t
Giải
Ta có: chỉ phương của d1 là : u 1 = (1; 3; 1)
Do d cắt d2 N(-3; 2 - t; 1+ t ) d
MN = (-5; -1 – t ; -2 + t ) là chỉ phương của d
do d d1 MN . u 1 = 0 t = -5 MN = (-5; 4; -7)
x 2 5t
phương trình tham số của d là : y 3 4t t R
z 3 7t
[Type text]
HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CỦA CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Bài 10: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng chéo nhau:
d1:
x 1 y 1 z 5
2
3
1
và d2:
x 1 y 2 z 1
3
2
2
Viết phương trình tham số của đường thẳng d là đường vuông góc chung của d 1 và d2.
Giải
Ta có : VTCP của d1 là: u 1=(2; 3; 1)
VTCP của d2 là : u 2= (3; 2; 2)
d là đường vuông góc chung của d1 và d2
VTCP của d là u = [ u 1, u 2] = (4; -1; -5)
Gọi (P) chứa d và d1 Vectơ pháp tuyến của (P) là n P=[ u 1, u ]=(-14; 14; -14)
Hay Vectơ pháp tuyến của (P) là n P = (-1; 1; -1)
Điểm M(1; -1; 5) (P)
phương trình của (P) là: -1(x-1)+1(y+1)-1(z-5) =0
-x +y –z +7 = 0
Gọi (Q) chứa d và d2 Vectơ pháp tuyến của (Q) là n Q=[ u , u 2]=(8; -23; 11)
Điểm N(2; -1; -1) (Q)
phương trình của (Q) là: 8(x-2) - 23(y+1) + 11(z+1) =0
8x - 23y +11z - 43 = 0
x y z 7 0
( là phương trình tổng quát của d )
8 x 23 y 11z 43 0
Xét hệ
Cho y = 1 x =
22
22
2
2
và z = điểm A( ; 1; ) d
3
3
3
3
22
x 3 4t
Vậy phương trình tham số của d là : y 1 t
2
z 5t
3
t R
Bài 11: Trong không gian Oxyz .Viết phương trình tham số của đường thẳng d là hình chiếu
x 2 3t
của d1 : y 1 t trên mặt phẳng (P) : 2x- 3y + z +1 = 0.
z 3 t
[Type text]
HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CỦA CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Giải
Ta có : M(2 ; 1 ; 3 ) d1
VTCP của d1 là u 1= (3; -1; 1)
VTPT của (P) là n P=(2; -3; 1)
Do d là hình chiếu của d1 trên (P) d là giao tuyến của (P) và mặt phẳng (Q) chứa d1
và vuông góc với (P).
VTPT của (Q) là n Q=[ u 1, n P] = (2; -1; -7)
phương trình của (Q) là : 2( x - 2) – (y – 1) – 7( z - 3) = 0
2x –y -7z +18 = 0
VTCP của d là : u =[ n P, n Q] = ( 22; 16; 4 )
Hay chỉ phương của d là u =(11; 8; 2)
2 x 3 y z 1 0
31
9
cho z=1 x= - và y = 4
2
2 x y 7 z 18 0
Xét hệ:
A(-
31 9
;- ; 1) d
4 2
31
x
11t
4
9
phương trình tham số của d là : y 8t
2
z
1
2t
t R
Bài 12: Trong không gian Oxyz .Viết phương trình tham số của đường thẳng d . biết d vuông
x 3 t
góc với mặt phẳng (P): x + 2y +z + 2 = 0 đồng thời cắt cả hai đường thẳng d 1: y 2 3t và
z 1 2t
x 2 t'
d2: y 3 t '
z 4 2t '
( t và t’ là tham số )
Giải
Giả sử d cắt d1 tại M toạ độ của M (3 + t; 2 + 3t; 1 - 2t)
d cắt d2 tại N toạ độ của N (2- t’; 3 + t’; 4 + 2t’)
MN =( -t’ – t – 1; t’ – 3t +1; 2t’ +2t +3)
[Type text]
HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CỦA CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
VTPT của (P) là n P= (1; 2; 1)
Do d vuông góc với (P) MN và n P cùng phương.
1
t 't 1 t '3t 1 2t '2t 3
13
và t’=
t=
4
1
2
1
12
M(
11 5 3
; ; ) d1 ,
4 4 2
1 2 1
MN =( ; ; ) VTCP của d là u =(1; 2; 1)
3 3 3
11
x 4 t
5
phương trình tham số của d là : y 2t
4
3
z 2 t
t R
Bài 13: Viết phương trình tham số của d biết d song song với hai mp (P): x + 2y – z +1 = 0
x 3 t'
x 1 t
và (Q): - x – y + 2z -2 = 0 đồng thời cắt hai đường thẳng d1: y 2 t , d2: y 1 2t '
z 2 t'
z 1 2t
Giải
Ta có: VTPT của (P) là: n P= ( 1; 2; -1)
VTPT của (Q) là: n Q= (-1; -1; 2)
Do d //(P) và d//(Q) chỉ phương của d là u = [ n P, n Q]= ( 3; -1; 1)
Giả sử d cắt d1 tại M toạ độ của M là M(1+t; 2-t; 1+2t) d
d cắt d2 tại N toạ độ của N là N(3-t’; 1+2t’; 2-t’) d
MN = (-t – t’+2; t +2t’ -1; -2t –t’ +1 )
MN // u
M(
t t '2 t 2t '1 2t t '1
3
1
1
t = t’ =
8 13 9
; ; )
7 7 7
8
x 7 3t
13
Vậy phương trình tham số của d là: y t
7
9
z 7 t
4. Bài tập cơ bản về mặt cầu:
[Type text]
1
7
t R
HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CỦA CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu:
a) (S) : (x 2)2 (y 3) 2 (z 1) 2 9
Tâm I(2;3; 1) ; Bán kính R = 3.
b) (S) : x 2 (y 1) 2 (z 2) 2 20
Tâm I(0;1; 2) ; Bán kính R =
20 .
c) (S) :x 2 y 2 z 2 4x 2y 6z 5 0
Tâm I(2;1; 3) ; Bán kính R =
22 12 32 5 3 .
d) (S) :x 2 y 2 z 2 4y 2z 20 0
Tâm I(0;2; 1) ; Bán kính R =
02 22 12 20 5 .
e) (S) :x 2 2y 2 2z 2 12x 4y 8z 4 0 x 2 y 2 z 2 6x 2y 4z 2 0
Tâm I(3;1; 2) ; Bán kính R = 32 12 22 2 4 .
Bài 2: Viết phương trình mặt cầu (S) biết:
a) (S) có tâm I(1; 1;2) và có bán kính R = 4
Giải: Phương trình mặt cầu (S): (x 1) 2 (y 1) 2 (z 2) 2 16
b) (S) có tâm là gốc tọa độ và đi qua M (-2; 1; 2)
Giải: Bán kính R = OM = 22 12 22 3
Phương trình mặt cầu (S): x 2 y 2 z 2 9
c) (S) có tâm I (6; -1; -2) và đi qua N (2; -1; 1)
Giải: Bán kính R = IN = 42 02 32 5
Phương trình mặt cầu (S): (x 6) 2 (y 1) 2 (z 2) 2 25
d) (S) có đường kính AB với A (-1; 3; -7) và B (3; 5; -3)
Giải: (S) có đường kính AB Tâm I(1;4; 5) là trung điểm AB
1
1 2
Bán kính R AB
4 22 42 3
2
2
Phương trình mặt cầu (S): (x 1) 2 (y 4) 2 (z 5) 2 9
e. (S) có tâm trên trục Oy và đi qua 2 điểm A (-1; 0; 1), B(3; -1; 2)
Giải: Tâm y I(0; y;0)
Mặt cầu (S) đi qua 2 điểm A(-1; 0; 1) và B(3; -1; 2)
0 (y 0) 2 (0 1) 2 0 (y 1) 2 (0 2) 2
2y 12 y 6
Tâm I(0;-6;0)
Bán kính R IA 12 62 12 38
Phương trình mặt cầu (S): x 2 (y 6) 2 z 2 38
[Type text]
