skkn một số PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG mặt PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT TRỊ AN
TỔ TOÁN
M số :

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
TOÁN-PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
THẲNG & MẶT PHẲNG TRONG
KHÔNG GIAN

Người Thực Hiện : Lê Công Quý
Lĩnh vực nghin cứu
Quản lý gio dục
Phương pháp dạy học bộ môn
Phương pháp giáo dục
Lĩnh vực khc
Sản phẩm đính kèm :
Mơ hình

phần mềm
phim ảnh
Năm học: 2012-2013

Trang 1

Hiện vật khc


SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

******
THƠNG TIN CHUNG VỀ C NHN
Họ v tn : Lê Công Quý
Ngày tháng năm sinh : 14/03 /1973
Nam, nữ :nam
Địa chỉ : Tổ 1, Khu phố 3, Thị trấn Vĩnh An, Huyện Vĩnh Cửu, Tỉnh
Đồng Nai
5. Điện thoại di động : 01677895669
6. Fax:
e- mail:
7. Chức vụ:
8. Đơn vị công tác: Trường THPT Trị An
II.
TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO:
- Học vị: cử nhn
- Năm nhận bằng : 1996
- Chuyên ngành đào tạo: Toán
III. KINH NGHIỆM KHOA H ỌC
- Lĩnh vực chuyn mơn cĩ kinh nghiệm : dạy học mơn Toán
- Số năm có kinh nghiệm: 17 năm
- Các sáng kiến kinh nghiệm đ cĩ trong 2 năm gần đây :
Một số Phương Php Giải Tốn Tích Phn
I.
1.
2.
3.
4.

Trang 2

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TI
Trong chương trình Toán ở bậc trung học phổ thông,Đường Thẳng V Mặt
Phẳng Trong Không Gian là một chuyên đề lớn đối với học sinh , thường
học sinh lúng túng khi làm bài, khôngđđịnh hướng được lời giải . đọc bài
giải , sách tham khảo thì có thể hiểu được nhưng khi thực hành thì khó và
thường mắc sai lầm khi làm Toán .
Trước thực trạng đó bản thân tôi qua nhiều năm giảng dạy . đã đúc kết được
một vài kinh nghiệm nhỏ khi giải toán phương trình đường thẳng và mặt
phẳng trong không gian. xin được trình bày dưới đây để đồng nghiệp và
học sinh có thể tham khảo và góp ý kiến.
Chuyên đề Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian thì rộng , ở
đây tôi chỉ giới thiệu một số phương pháp giải Toán Đường Thẳng Và Mặt
Phẳng Trong Không Gian mà trong quá trình giảng dạy hay gặp nhất.
Bên cạnh đó đưa bài Toán minh họa và cách giải cụ thể, rỏ ràng. Từ thấp
đến cao , từ đơn giải đến phức tạp, để học sinh có thể tham khảo và hình
thành được phương pháp giải cho mình, từ đó thấy hứng thú hơn trong học
tập bộ môn Toán nói chung và Đường Thẳng - Mặt Phẳng Trong Không
Gian nói riêng.

Trang 3


II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
1. CƠ SỞ LÝ LUẬN
- Từ cơ sở sách giáo khoa hình học lớp 12 theo chương trình chuẩn do nh gio Trần
Văn Hạo tổng chủ bin tơi tĩm tắc phần lý thuyết như sau:
A. Phương trình mặt phẳng
1. véctơ pháp tuyến của mặt phẳng:
r

r
a) Định nghĩa:rcho mặt phẳng () . nếu vectơ n khc 0 v cĩ gi vuơng gĩc với mặt
phẳng () thì n được gọi là vectơ páp tuyến của ()
r
r
b) Trong khơng gian Oxyz cho a  (a1; a2 ; a3 ) v b  (b1; b2 ; b3 ) thì

r r
r
 a2 a3 a3 a1 a1a2 
;
;
n =
 gọi là tích có hướng của 2 vectơ a v b , kí hiệu l:
 b2b3 b3b1 b1b2 
r r
r r r
r
n = a  b hoặc n =  a, b 

r

c) Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng () có hai vectơ không cùng phương a v
r r
r
r
b gi của chng song song hoặc nằm trong mặt phẳng () thì n =  a, b  là một vectơ
pháp tuyến của mặt phẳng ().
2.Phương trình tổng qut của mặt phẳng :
a) Định nghĩa : phương trình cĩ dạng Ax + By + Cz + D = 0 , trong đó A,B,C

không đồng thời bằng 0 , được gọi là phương trình tổng qut của mặt phẳng
b) Nếu mặt phẳng () có rphương trình tổng qut Ax + By + Cz + D = 0 th ì nĩ cĩ
một vectơ pháp tuyến là n = (A;B;C)
r
c) Phương trình
tổng
qut
mặt
phẳng
đi
qua
điểm
M
0(x0;y0;z0) và nhận vectơ n =
r
(A;B;C) khc 0 làm vectơ pháp tuyến là:
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
d) Phương trình mặt phẳng qua 3 điểm A(a;0;0) B(0;b;0) C(0;0;c) là :

x y z
  1
a b c

( gọi là phương trình mặt phẳng viết theo đoạn chắn)
B. Phương trình đường thẳng:
1. Vectơ chỉ phương của đườngrthẳng:r
Cho đường thẳng
. nếu vectơ a khc 0 và có giá song song hoặc trùng với đường
r
thẳng  thì a gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng .

2. Phương trình tham số của đường thẳng
Phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm M0(x0;y0;z0) v cĩ Vectơ chỉ
 x  x0  ta1
r

phương a  (a1; a2 ; a3 ) l:  y  y0  ta2 , trong đó t là tham số
 z  z  ta
0
3


Ch ý: nếu a1,a2,a3 đều khác 0 thì ta cịn cĩ thể viết phương trình của đường
thẳng  dưới dạng chính tắc như sau:

x  x0 y  y0 z  z0


a1
a2
a3

Trang 4


2. NỘI DUNG , BIỆN PHÁP THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI:
A. Phương trình tổng qut của mặt phẳng
Dạng 1: mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến
Phương pháp: phương trình tổng qut
mặt phẳng () đi qua điểm
r

M(x0;y0;z0) và có vectơ pháp tuyến n = (A;B;C) l:
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0


M
Ví dụ: viết rphương trình tổng qut mặt phẳng ()đi qua M(1; 3; -2) v cĩ vectơ
php tuyến n = (1;-6;2)
giải:
phương trình tổng qut của mặt phẳng () l:
1(x – 1) – 6(y – 3) + 2(z + 2) = 0
 x – 6y + 2z + 21 = 0
Dạng 2: mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với đường thẳng cho
trước
Phương pháp: để viết phương trình mặt phẳng() đi qua điểm M v vuơng
gĩc với đường thẳng  ta lm như sau:
r
 đường thẳng  có vectơ chỉ phương là a
 mặt phẳng () qua điểmr M và vuông góc đường thẳng  nên
có vectơ pháp tuyến là a , từ đó viết được phương trình tổng
qut mặt phẳng ()




M
Ví dụ: viết phương trình tổng qut mặt phẳng ()đi qua M(1;3;-2) v vuơng
gĩc đường thẳng AB với A(0;2;-3) B(1;-4;1)
giải:

Trang 5

uuur

vectơ php tuyến của mặt phẳng () l: AB  (1; 6; 4)
mặt phẳng () cịn đi qua điểm M(1;3;-2)
nn phương trình tổng qut của mặt phẳng () l:
1(x – 1) – 6(y – 3) + 4( z + 2) = 0
 x – 6y + 4z + 25 = 0
Ví dụ 2: viết phương trình tổng qut mặt phẳng ()đi qua điểm M(-2;1;3) v
vuơng gĩc đường thẳng (d):
x  3 y 1 z  3


2
4
1

giải:r
vectơ chỉ phương của đường thẳng (d) l u  (2; 4;1)
r
vì () (d)  vectơ php tuyến của mặt phẳng () l u  (2; 4;1)
mặt phẳng () cịn đi qua điểm M(-2;1;3)
do đó phương trình tổng qut của mặt phẳng () l:
2(x + 2) – 4(y – 1) + 1(z – 3) = 0
 2x – 4y + z + 5 = 0
Dạng 3: mặt phẳng đi qua một điểm và song song với mặt phẳng cho
trước
Phương pháp: để viết phương trình mặt phẳng () qua điểm M và song
song với mặt phẳng() ta lm như sau:

r
 cho mặt phẳng () có véctơ pháp tuyến n
 mặt phẳng () đi qua điểm
M và song song với mặt phẳng()
r
nên có vectơ php tuyến l n , từ đó viết được phương trình tổng
qut của mặt phẳng ()



M



Ví dụ: viết phương trình tổng qut mặt phẳng ()đi qua M(2;4;-1)v song song
với mặt phẳng (): 2x – y + 3z + 4 = 0

Trang 6


giải:

r
mặt phẳng () cĩ vectơ php tuyến l: n  (2; 1;3)
r
vì ()//() nn vectơ php tuyến của () l: n  (2; 1;3)

mặt phẳng () cịn đi qua điểm M(2;4;-1)
do đó phương trình tổng qut của mặt phẳng () l:
2(x – 2) – 1(y – 4) + 3( z + 1) = 0

 2x – y + 3z + 3 = 0
Dạng 4: mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng
Phương pháp: để viết phương trình mặt phẳng() đi qua ba điểm A,B,C ta
lm nhu sau:
r
uuur uuur
 mặt phẳng () có một vectơ pháp tuyến là: n   AB, AC 


mặt phẳng() cịn đi qua A hoặc B hoặc C từ đó viết được
phương trình tổng qut của mặt phẳng ()

B
A
C
Ví dụ: viết phương trình mặt phẳng ()đi qua 3 điểm A(3;-1;2) B(3;2;-4)
C(6;4;5)
giải
uuur
uuur
ta cĩ : AB  (0;3; 6) , AC  (3;5;3)
r
uuur uuur
vectơ php tuyến của mặt phẳng () l n   AB, AC  = ( 39;-18;-9)
mặt phẳng () cịn đi qua điểm A(3;-1;2)
do đó phương trình tổng qut của mặt phẳng () l:
39( x – 3) – 18(y + 1) – 9 (z – 2) = 0
 13x – 6y – 3z – 39 = 0
Dạng 5: mặt phẳng chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng cho
trước

Phương pháp: để viết phương trình mặt phẳng () chứa đường thẳng  v
vuơng gĩc với mặt phẳng () ta lm như sau:
uur
 đường thẳng  có vectơ chỉ phương u , mặt phẳng() có
uur
vectơ pháp tuyến là n
uur uur
r
 một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng() l n  [ u , n ]
 mặt phẳng() cịn đi qua điểm M  . từ đó ta viết được
phương trình mặt phẳng ()
Trang 7



M




Ví dụ1: viết phương trình tổng qut mặt phẳng ()đi qua 2 điểm A(3;1;-1)
B(2;-1;4) v vuơng gĩc mặt phẳng (): 2x – y + 3z – 1 = 0
giải:
uuur
AB  (1; 2;5)

uur

Vectơ php tuyến của mặt phẳng () l: n = (2;-1;3)

uur
r
r uuur
r
n l một vectơ php tuyến của mặt phẳng () thì n  AB v n  n nn ta chọn
uuur uur
r
n = [ AB , n ] = ( -1; 13; 5)

mặt phẳng () cịn đi qua điểm A(3;1;-1)
do đó phương trình tổng qut của mặt phẳng () l:
-1(x – 3) – 13(y – 1) + 5(z + 1) = 0
 x + 13y – 5z - 21 = 0
Ví dụ 2:viết phương trình tổng qut mặt phẳng () chứa đường thẳng ():
 x  1  2t

 y  3  t v vuơng gĩc mặt phẳng (): 2x – 3y + z + 3 = 0
 z  2  3t


giải: uur
vectơ chỉ phương của đường thẳng () l: u = (2; -1; 3)
uur
vectơ php tuyến của mặt phẳng () l: n = (2; -3; 1)

uur
r
r uur
r
n l một vectơ php tuyến của mặt phẳng () thì n  u v n  n nn ta

uur uur
r
chọn n = [ u , n ] = (8; 4; - 4)

mặt phẳng () chứa ()  ()đi qua M( 1; 3; 2) ()
do đó phương trình tổng qut của mặt phẳng () l:
8(x – 1) + 4(y – 3) – 4(z – 2) = 0
 2x + y – z – 3 = 0

Trang 8


Dạng 6: mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với hai mặt phẳng cho
trước
Phương pháp: để viết phương trình Mặt phẳng () đi qua điểm M v vuơng
gĩc với hai mặt phẳng () , () cắt nhau ta lm như sau:
uur uur
 mặt phẳng () v () lần lượt có vectơ pháp tuyến là: n , n
r

uur uur

 một vectơ pháp tuyến của () l n =  n , n 
 () cịn đi qua điểm M Từ đó ta viết được phương trình tổng
qut của ()






M

Ví dụ: viết phương trình tổng qut mặt phẳng () đi qua A(3;-1;5) và vuông
góc với hai mặt phẳng (): 3x – 2y + 2z – 3 = 0 ; () : 5x – 4y + 3z + 1 = 0
Giải :
uur
() cĩ vectơ pháp tuyến là: n  (3; 2; 2)
uur

() có vectơ pháp tuyến là: n  (5; 4;3)
r
n là vectơ pháp tuyến của ()
uur r
uur
uur uur
r
r
n  n , n  n nn chọn n =  n , n  = (2; 1;-2)
Mặt phẳng () cịn đi qua A(3;-1;5)
Phương trình tổng qut của () l: 2(x – 3) + 1(y + 1) – 2(z – 5) = 0
 2x + y – 2z + 5 = 0

Trang 9


Dạng 7: mặt phẳng đi qua một điểm và đường thẳng không chứa điểm đó
Phuơng pháp: để viết phương trình mặt phẳng() di qua điểm M v đường
thẳng  (với M()) ta lm như sau:
r

 ()đi qua điểm N và có vectơ chỉ phương a
uuuur r
r
 Một vectơ pháp tuyến của () l n =  NM , a 
 Từ đó ta viết được phương trình tổng qut của ()



N



M
Ví dụ: viết phương trình tổng qut mặt phẳng () chứa đường thẳng
 x  1  2t
():  y  1 và đi qua điểm M(1;-1;2)
z  3  t


Giải :

r
() uuuu
córvectơ chỉ phương là: a = (-2;0;1) và qua điểm N(1;1;3)
 NM = (0;-2;-1)
r
n

là vectơ pháp tuyến của ()

r uuuur
r
r r
uuuur
r
n  a , n  NM nn chọn n =  a, NM  = (2; -2;4)

Mặt phẳng () cịn đi qua M(1;-1;2)
Phương trình tổng qut của () l: 2(x – 1) – 2(y + 1) + 4 (z – 2) = 0
 x – y + 2z - 6 = 0
Dạng 8: mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau
Phương pháp: để viết phương trình mặt phẳng() chứa hai đường thẳng
cắt nhau  v ’ta lm như sau:
r
  đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương a uur
 ’ đi qua điểm M’ và có vectơ chỉ phương a '
r uur
r
 Mặt phẳng () có một vectơ pháp tuyến là: n =  a, a '

 Mặt phẳng () cịn đi qua M hoặc M’ từ đó viết được phương
trình tổng qut của ()

Trang 10




A



’
x  1 t
Ví dụ: cho hai đường thẳng : ():  y  2  3t ;
z  3  t


 x  2  2t '
(’):  y  2  t '
 z  1  3t '


a) chứng minh () v (’) cắt nhau
b) viết phương trình tổng qut mặt phẳng () chứa () v (’)
giải:
1  t  2  2t '(1)
a) xét hệ phương trình : 2  3t  2  t '(2)
3  t  1  3t '(3)

t  1
t  2t '  1

t '  1
3t  t '  4

giải hệ gồm phương trình (1) v (2) ta cĩ: 

thay vào phương trình (3) ta thấy nĩ thỏa mn
t  1

t '  1

vậy hệ phương trình trn cĩ đng một nghiệm 

suy ra () v (’) cắt nhau tại A(0;-1;4)
r
b) đường thẳng () có vectơ chỉ phương là: auur= (1; 3; -1)
đường thẳng (’) có vectơ chỉ phương là: a ' = (-2; 1; 3)
r
n là vectơ pháp tuyến của ()
r uur
r
r r
uur
r
n  a , n  a ' nn chọn n =  a, a ' = (10; -1;7)
Mặt phẳng () cịn đi qua A(0;-1;4)
Phương trình tổng qut của () l: 10(x – 0) – 1(y + 1) + 7(z – 4) = 0
 10x – y + 7z - 29 = 0
Dạng 9: mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song
Phương pháp: để viết phương trình mặt phẳng()chứa hai đường thẳng
song song  v ’ta lm như sau:
r
  đi qua điểm M và có vec tơ chỉ phương a uur
 ’ đi qua điểm M’ và có vec tơ chỉ phương a '
r uuuuur
r
 Mặt phẳng ()có một vectơ pháp tuyến là: n =  a, MM '

 Mặt phẳng () cịn đi qua M hoặc M’ từ đó viết được phương

trình tổng qut của ()
Trang 11






’

M
M’
x  1 t
Ví dụ: cho hai đường thẳng : ():  y  2  t ;
 z  3  2t


 x  2  2t '
(’):  y  2  2t '
 z  1  4t '


a)chứng minh () v (’) song song
b)viết phương trình tổng qut mặt phẳng () chứa () v (’)
giải
r
a) () đi qua điểm M(1;2;3) và có vectơ chỉ phương là a  (1;1; 2)
uur
(’) đi qua điểm M’(2; -2; 1) và có vectơ chỉ phương l a '  (2; 2; 4)
uur

r
a ' = 2 a v thế tọa độ M(1;2;3) vo (’) ta cĩ:

1  2  2t '(1)

2  2  2t '(2)
3  1  4t '(3)


1
2

Từ (1)  t’   ; từ (2)  t’ = 2 M (’)
Vậy () // (’)
r
b) n là vectơ pháp tuyến của ()
r uur
r
r r uur
r
n  a , n  a ' nn chọn n =  a, a ' = (10; -1;7)
Dạng 10: mặt phẳng cắt 3 trục tọa độ
Phương pháp: mặt phẳng ( ) cắt các trục tọa độ tại A(a;0;0) B(0;b;0)
C(0;0;c) có phương trình l:

x y z
   1 ( gọi là phương trình viết theo
a b c

đoạn chắn )

Trang 12


Ví dụ: viết phương trình tổng qut của mp( ) qua cc hình chiếu hình chiếu
của M(1;2;-3) ln cc trục Ox,Oy,Oz .
giải :
gọi A,B,C lần lượt l hình chiếu của M ln cc trục Ox,Oy,Oz
thì toạ độ A(1;0;0) B(0;2;0) C(0;0;-3)
phương trình tổng qut mp() l:

x y z
 
1
1 2 3

 6x +3y – 2z – 6 = 0

Trang 13


B. Phương trình đường thẳng trong khơng gian
Dạng 1: đường thẳng qua một điểm và biết vectơ chỉ phương
Phương pháp : phương trình tham số đường thẳng  đi qua điểm
 x  x0  a1t
r
M(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương a = (a1;a2;a3) l :  y  y0  a2t
z  z  a t
0
3




M
Ví dụ: viết phương trình
tham số đường thẳng  qua điểm M(3;0;-2)v cĩ
r
vectơ chỉ phương l: a = (1;-3;5)
giải :
x  3  t
phương trình tham số đường thẳng  l:  y  3t
 z  2  5t


Dạng 2: phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
Phương pháp: để viết phương trình đường thẳng  đi qua hai điểm A,B ta
lm như sau:
uuur
* đường thẳng  có vectơ chỉ phương là AB
*  cịn đi qua A hoặc B từ đó viết được phương trình đưởng thẳng 

B



A
Ví dụ: viết phương trình tham số , phương trình chính tắc của đường thẳng
qua 2 điểm A(1;-2;4) B(5;-3;6)
giải: uuur
vectơ chỉ phương của đường thẳng AB l AB = (4;-1;2)

đường thẳng AB cịn đi qua A (1;-2;4) nn :
 x  1  4t

phương trình tham số của đường thẳng AB l:  y  2  t
 z  4  2t


Trang 14

, tR


phương trình chính tắc của đường thẳng AB l:

x 1 y  2 z  4


4
1
2

Dạng 3: đường thẳng đi qua một điểm và song song đường thẳng cho
trước
Phương pháp: để viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M v song
song với đường thẳng ’ta lm như sau:
r
 đường thẳng ’r có vectơ chỉ phương là a nn  cũng có vectơ
chỉ phương là a
  cịn đi qua điểm M từ đó viết được phương trình của 



M

’

Ví dụ: viết phương trình tham số đường thẳng () qua điểm A(1;-2;3) v song
song đường thẳng (’):

x2 y2 z2


2
1
5

giải : r
vectơ chỉ phương của đường thẳng (’)
l a = (2;-1;5)
r
 // ’  vectơ chỉ phương của  l: a = (2;-1;5)
 x  1  2t
Do đó phương trình tham số của đường thẳng  l:  y  2  t
 z  3  5t


, t R

Dạng 4: đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc mặt phẳng cho trước
Phương pháp: để viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M v

vuơng gĩc với mặt phẳng () ta lm như sau:
r
 mặt phẳng () cĩ vectơ
php
tuyến
l
n nên đường thẳng  có
r
vectơ chỉ phương là n
  cịn đi qua điểm M từ đó viết được phương trình của 

Trang 15




M


Ví dụ: viết phương trình đường thẳng  đi qua A( 3;0;-5) v vuơng gĩc với
mặt phẳng (): 3x – 2y + 5z + 1 = 0
r
giải : vectơ php tuyến của mặt phẳng ()rl: n =(3;-2;5)
() ()  vectơ chỉ phương của () l: n =(3;-2;5)
 x  3  3t
Phương trình tham số của () l:  y  2t
 z  5  5t


Dạng 5: đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với hai đường thẳng

cho trước
Phương php: để viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M v vuơng
gĩc với hai đường thẳng 1, 2 ( khơng song song hoặc trng nhau)ta lm
như sau:
ur
uur
* 1 có vectơ chỉ phương a1 , 2 có vectơ chỉ phương a2
r
ur uur
* nn  cĩ một vectơ chí phương là: a  a1 , a2 
*  cịn đi qua điểm M từ đó viết được phương trình đường thẳng 

Trang 16




1

2
M

Ví dụ: cho hai đường thẳng (1)v (2) cĩ phương trình
 x  2  2t
(1):  y  4  t
z  1 t


, (2) :

x 1 y  2 z 1


5
3
1

viết phương trình tham số ,chính tắc của đường thẳng  qua M(1;2;-3) v
vuống gĩc 1, 2
giải:
ur
(1) cĩ vectơ chỉ phương l: a1  (2;1; 1)
uur
(2) cĩ vectơ chỉ phương l: a2  (5;3;1)
r
() cĩ vectơ chỉ phương l a
r
ur uur
r ur r uur
Vì a  a1 , a  a2 nn chọn a  a1 , a2  = (4; - 7; 1)
() cịn đi qua M(1;2;-3) do đó:
 x  1  4t
phương trình tham số của () l:  y  2  7t
 z  3  t


phương trình chính tắc của () l:

, tR

x 1 y  2 z  3


4
7
1

Dạng 6: đường thẳng đi qua một điểm , vuông góc với một đường thẳng,
song song hoặc nằm trong mặt phẳng cho trước.
Phương pháp: để viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M vuông
góc với đường thẳng d , song song hoặc nằm trong mặt phẳng () ta lm
như sau:
r
 mặt phẳng () có vectơ pháp tuyến n

Trang 17


uur

 đường thẳng d có vectơ chỉ phương ad
r
uur r
 nn  cĩ một vectơ chỉ phương là a  ad ,n 


 cịn đi qua điểm M từ đó viết được phương trình đường
thẳng 

d





M

 x  1  2t
Ví dụ: cho đường thẳng (d):  y  t
v mp() : 2x - 3y + 5z – 7 = 0
z  3  t


a) tìm tọa độ giao điểm M của (d) v ()
b) viết phương trình tham số đường thẳng () qua M nằm trong () v
vuơng gĩc (d)
giải:
a) M (d)  M(1 + 2t; t ; 3 - t)
M ()  2(1+ 2t ) – 3t + 5(3 – t) – 7 = 0
 -4t = -10  t =

5
2

5 1
 M  6; ; 


2 2

uur

b) vectơ chỉ phương của (d) l: ad =( 2; 1; -1)
r
vectơ
php
tuyến
của
()
l:
n = (2; -3; 5)
r
gọi a l vectơ chỉ phương của ()
r
uur r
r
r
uur r
vì a  ad , a  n nn ta chọn a  ad , n  = (2; -12; -8) = 2(1;-6; -4)
r

hay vectơ chỉ phương của () l u = (1;-6; -4)

Trang 18


đường thẳng () cịn đi qua điểm M  6; ; 
 2 2
5 1


x  6  t

5

phương trình tham số của () l:  y   6t
2

1

 z  2  4t

Dạng 7: đường thẳng song song với một đường thẳng v cắt hai đường
thẳng cho trước
Phương pháp: để viết phương trình đường thẳng  song song đường
thẳng d và cắt 2 đường thẳng cho trước 1 , 2 rta làm như sau:
  có cùng vectơ chỉ phương với d là u
 A = 1 ; B = 2 , A,B có tọa độ theo tham số t và t’ của
uuu
1r, 2
r
 AB cùng phương u , từ đó tìm được tham số t,t’ và tọa độ A,B
 đường thẳng
 cần tìm đi qua điểm A hoặc B và có vectơ chỉ
r
phương u

d

B

2

A
1
Ví dụ: viết phương trình đường thẳng  song song đường thẳng d v cắt 2
đường thẳng 1 , 2 biết phương trình 1 , 2 ,d l:

Trang 19


x  1 t
 x  4  5t '


1 :  y  2  4t ;  2 :  y  7  9t ; d:
 z  2  3t
z  t '



x  1

 y  2  4t "
z  1 t "


giải:

r
d cĩ vectơ chỉ phương u  (0; 4; 1)

r
 // d   cĩ vectơ chỉ phương u  (0; 4; 1)

gọi
A = 1 ; B = 2  A(1+t; -2+4t; 2+3t), B( -4+5t’; -7+9t’; t’)
uuur
AB  (5t ' t  5;9t ' 4t  5; t ' 3t  2)

5t ' t  5  0
r
uuur
5t ' t  5
t '  1

AB cng phương u  

4
1  

13t ' 16t  13 t  0

 9t ' 4t  5 t ' 3t  2

 A(1;-2;2)
x  1
phương trình tham số của  l:  y  2  4t
z  2  t


Dạng 8: đường thẳng đi qua một điểm và cắt hai đường thẳng cho trước

Phương pháp: để viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A và cắt
hai đường thẳng 1, 2 ta làm như sau:
 viết phương trình mặt phẳng () chứa A v 1
 2 cắt () tại B
 đường thẳng  cần tìm đi qua 2 điểm A,B


1
A
B

2

Trang 20


Ví dụ: viết phương trình tham số đường thẳng  đi qua điểm A(1;-1;1) v cắt
 x  1  2t
2 đường thẳng 1:  y  t
z  3  t


x  t '
,2:  y  1  2t '
z  2  t '


giải:
gọi () l mặt phẳng chứa điểm
A v đường thẳng 1

ur
vectơ chỉ phương của 1 l u1 = (2;1;-1)
uuuur
chọn điểm M(1;0;3) 1  AM  (0;1; 2)
ur r
r
r
uuuur
n l vectơ php tuyến của () ta cĩ: n  u1 ; n  AM
uur uuuur
r
chọn n = u1 , AM  = (3;-4;2)
()đi qua điểm A(1;-1;1) nn phương trình tổng qut của () l:
3(x-1) – 4 (y + 1) + 2(z – 1) = 0
 3x – 4y + 2z – 9 = 0
B = 2() , B2  B( t’; -1-2t’; 2 + t’)
B()  3t’ - 4(-1 – 2t’) + 2(2 + t’) – 9 = 0
13t’ = 1 t’ =
uuur

 AB  (

12 2 14
2
; ; )
(6;1; 7)
13 13 13 13

1
1 15 27

; )
 B( ;
13
13 13 13
r

vectơ chỉ phương của đường thẳng  l u  (6;1; 7)
đường thẳng  đi qua điểm A(1;-1;1)
 x  1  6t
vậy phương trình tham số của đường thẳng  l :  y  1  t
 z  1  7t


Dạng 9: đường thẳng đi qua một điểm vuông góc với một đường thẳng và
cắt đường thẳng khc
Phương pháp: để viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A vuông
góc với đường thẳng 1và cắt đường thẳng 2 ta làm như sau:
 gọi M =   2 , M 2 u
M có tọa độ theo tham số t của 2
r
 1 có vectơ chỉ phương u1
uuuur ur
uuuur ur
 AM  u1  AM .u1  0 ,từ đó tính được tham số t và tọa độ của
M
 đường thẳng  cần tìm đi qua hai điểm M và A

Trang 21

M


1

A
2
Ví dụ: cho điểm A(0;1;1) v hai đường thẳng 1:

x 1 y  2 z


3
1
1

 x  1
2:  y  2  t viết phương trình tham số đường thẳng  đi qua A vuơng gĩc
z  3  t


với đường thẳng 1 v cắt đường thẳng 2
giải:
ur
đường thẳng 1 cĩ vectơ chỉ phương u1  (3;1;1)
gọi uuuu
Mr= 2 , M2  M(-1; 2+ t; 3 + t)
 AM  (1;1  t ; 2  t )
uuuur r
uuuur ur

AM  u1  AM .u1  0  -3 + 1 + t + 2 + t = 0
 2t = 0  t = 0 uuuur
 đường thẳng  cĩ vectơ chỉ phương l AM  (1;1; 2)
 cịn đi qua điểm A(0;1;2)
 x  t
vậy phương trình tham số của  l:  y  1  t
 z  1  2t


Dạng 10: đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
Phương pháp : để viết phương trình đường thẳng  là đường vuông góc
chung của hai đường thẳng chéo nhau 1,2 ta làmurnhư
sau:
uur
 1,2 có vectơ chỉ phương lần lượt là: u1, u2
 gọi M1; N2 cĩ tọa độ theo tham số t , t’


uuuur ur
uuuur ur
 NM  u1
 NM .u1  0
 uuuur uur   uuuur uur
 NM  u2
 NM .u2  0

 giải hệ phương trình tìm được t ,t’ từ đó tìm được tọa dộ M, N
Trang 22

 đường thẳng  cần tìm đi qua điểm M hoặc N và có vectơ chỉ
r
uur uur
phương u  u1 ,u2  nên xác định

x  1 t
Ví dụ : Cho hai đường thẳng 1:  y  t
 z  t


 x  2t '
, 2:  y  1  t '
z  t '


a) chứng minh hai đường thẳng 1,2 cho nhau
b) viết phương trình tham số đường thẳng  l đường vuơng gĩc chung
của 1,2
giải: ur
a) đường thẳng 1 cĩ vectơ chỉ phương l: u1  (1;1; 1)
uur
đường thẳng 2 cĩ vectơ chỉ phương l: u2  (2;1;1)
ur uur
1 1
  u1 , u2 khơng cng phương
2 1
1  t  2t '
t  2t '  1 (1)

xt hệ : t  1  t '  t  t '  1 (2)

t  t '
t  t '  0 (3)



ta cĩ:

 1
t  3
từ phương trình (1) v (2)  
t '  2

3

Trang 23


thế vo phương trình (3) ta cĩ:

1 2
  0 ( vơ lý)  hệ vơ nghiệm
3 3

vậy 1,2 cho nhau
b) gọi M1 M(1 – t ; t ; -t)
gọi uuuu
N
 N(2t’ ;-1+ t’ ; t’)
r 2
 NM  (t  2t ' 1; t  t ' 1; t  t ')

3

uuuur ur
t
 NM .u1  0

t  2t ' 1  t  t ' 1  t  t '  0
3t  2t '  0

7



Ta cĩ:  uuuur uur
2t  4t ' 2  t  t ' 1  t  t '  0
2t  6t '  3
 NM .u2  0
t '  9

14
10 3 3
 M  ; ; 
 7 7 7
r
uur uur
 đi qua điểm M v cĩ vectơ chỉ phương l u  u1 ,u2  =(2;-1;-3)
 10
 x  7  2t


3
Nn phương trình tham số của  l:  y   t
7

3

 z  7  3t


Dạng 11: đường thẳng là hình chiếu của một đường thẳng trên mặt
phẳng
Phương pháp : để viết phương trình đường thẳng ’ l hình chiếu của
đường thẳng  trn mặt phẳng () ta làm như sau:
 xác định hai điểm phn biệt A,B 
 gọi hai điểm A’,B’ lần lượt là hình chiếu của A,B trn ()
 đường thẳng ’ cần tìm đi qua hai điểm A’,B’nn xc dịnh


B
A

A’

B’

Trang 24

’

 x  12  4t
Ví dụ: cho mặt phẳng (): 3x + 5y – z – 2 = 0 v đường thẳng  :  y  9  3t
z  1 t


a) tìm toạ độ giao điểm A của  v ()
b) viết phương trình đường thẳng ’ l hình chiếu của  trn mặt phẳng ()
giải :
a) tacĩ: A   A( 12 + 4t; 9 + 3t; 1 + t )
A()  3(12 + 4t) + 5(9 + 3t) – (1 + t) – 2 = 0
 26t = -78  t = -3
 A(0; 0 ; - 2)
b) Ta cĩ: B( 12; 9 ;1) ; B’ l hình chiếu
của B trn ()
r
đường thẳng BB’ cĩ vectơ chỉ phương u  (3;5; 1) ( l vectơ php tuyến của
() )
 x  12  3t
phương trình tham số của BB’ l:  y  9  5t
z  1 t


B’BB’  B’( 12 + 3t; 9+ 5t; 1 – t)
B’()  3(12 + 3t) + 5( 9 + 5t) – (1 – t) – 2 = 0

78
35
uuu
u
r

186 75 113
 186 75 183  3
B '(
;
;
)  AB '  
;
;
   62; 25;61
35 35 35
 35 35 35  35
r
’ cĩ vectơ chỉ phương l: u = ( 62; -25; 61) v đi qua điểm A(0;0;-2)
 x  62t
Phương trình tham số của ’ l:  y  25t
 z  2  61t


 35t = -78  t 

Trang 25