CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC – P1 Thầy Đặng Việt Hùng

Chuyên đề Lượng giác

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng

Tài liệu bài giảng:

01. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
I. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
2
2
sin x = 1 − cos x
sin x + cos x = 1 ⇒  2
2
cos x = 1 − sin x
2

2

1
1
= 1 + tan 2 x ⇒ tan 2 x =
−1
2
cos x
cos 2 x
1
1
= 1 + cot 2 x ⇒ cot 2 x =
−1
2

sin x
sin 2 x
tan x.cot x = 1 ⇒ cot x =

1
tan x

sin 4 x + cos 4 x = 1 − 2 sin 2 x cos 2 x; sin 6 x + cos 6 x = 1 − 3sin 2 x cos 2 x
sin 3 x + cos3 x = (sin x + cos x)(1 − sin x.cos x); sin 3 x − cos3 x = (sin x − cos x)(1 + sin x.cos x)

II. DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Góc I

Góc II

Góc III

Góc IV

sinx

+

+

–

–

cosx

+

–

–

+

tanx

+

–

+

–

cotx

+

–

+

–

Ví dụ 1. Tính giá trị của các hàm lượng giác còn lại của cung x sau:

1
π
2 π
a) sin x = ;0 < x <
b) cos x = −
; 3
2
5 2
3π
1 3π
c) tan x = 2; π < x <
d) cot x = − ;
< x < 2π
2
2 2
Hướng dẫn giải:
1
1 8
2 2
a) sin x = ⇔ cos 2 x = 1 − sin 2 x = 1 − = ⇒ cos x = ±
3
9 9
3
π
2 2
Do 0 < x < ⇒ cos x > 0 
→ cos x =
.
2

3

sin x
1
2
=
=
 tan x =
cos x 2 2
4
Từ đó ta được: 
cot x = 1 = 2 2

tan x
−2
4 1
1
b) cos x =
⇒ sin 2 x = 1 − cos 2 x = 1 − = ⇒ sin x = ±
5 5
5
5
π
1
Do < x < π ⇒ sin x > 0 
→ sin x =
.
2
5
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn

facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95


Chuyên đề Lượng giác

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng

sin x −1
=
cos x 2
1
= −2
tan x
1
1
=
c) Từ tan x = 2 ⇒ cot x =
tan x 2


 tan x =
Từ đó ta được: 
cot x =



1
 2
sin x = ±

sin x

cos x =

sin
x
2
cos
x
=
tan
x
2
=
=




5
Ta có 
⇔
⇔
⇔
cos x
2
sin 2 x + cos 2 x = 1 5 cos x = 1
sin 2 x = 4
cos x = ±



5


2
5
1
5

−2

sin x =

sin x < 0
3π
5

Do π < x <
⇒
⇒
2
cos x < 0 cos x = −1

5
1
1
d) cot x = − ⇒ tan x =
= −2
2
cot x


1
 2
sin x = ±
sin x

cos
x
=

= −2
sin x = −2 cos x
 tan x =

5
Ta có 
⇔
⇔
⇔
cos x
2
5cos x = 1
sin 2 x + cos 2 x = 1
sin 2 x = 4
cos x = ±


5


2
5
1
5

−2

sin x =

sin x < 0
3π
5

Do
< x < 2π ⇒ 
⇒
2
cos x > 0 cos x = 1

5
Ví dụ 2. Chứng minh các đẳng thức sau:

sin x + cos x − 1
cos x
=
sin x − cos x + 1 1 + sin x
2
2
sin x
cos x

tan x + tan y
c) 1 −
−
= sin x cos x
d) tan x.tan y =
1 + cot x 1 + tan x
cot x + cot y
Hướng dẫn giải:
2
2
sin x
sin x − sin 2 x cos 2 x sin 2 x(1 − cos 2 x)
2
a) tan 2 x − sin 2 x =
−
sin
x
=
=
= tan 2 x sin 2 x ⇒ đpcm.
2
2
2
cos x
cos x
cos x
b) Áp dụng công thức góc nhân đôi ở phần IV ta được:
x
x
x 2sin x  cos x − sin x 

x
x
2 sin cos − 2sin 2

 cos − sin
sin x + cos x − 1
2
2
2

=
2
2
2 =
2
2 , (1)
=
x
x
x
x
x
sin x − cos x + 1 2sin x cos x + 2sin 2 x
2sin  cos + sin  cos − sin
2
2
2
2
2
2

2
2
x
x
x
x
cos 2 − sin 2
cos − sin
cos x
2
2 =
2
2 , ( 2).
Mặt khác
=
2
x
x
1 + sin x 
x
x
cos + sin
 sin + cos 
2
2
2
2

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
sin 2 x

cos 2 x
sin 2 x
cos 2 x
sin 3 x
cos3 x
sin 3 x + cos3 x
c) 1 −
−
= 1−
−
= 1−
−
= 1−
=
cos x
sin x
1 + cot x 1 + tan x
sin x + cos x sin x + cos x
sin x + cos x
1+
1+
sin x
cos x

a) tan 2 x − sin 2 x = tan 2 x sin 2 x

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn

b)

facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95


Chuyên đề Lượng giác

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng

(sin x + cos x)(sin 2 x − sin x cos x + cos 2 x)
= 1 − (1 − sin x cos x) = sin x cos x ⇒ đpcm.
sin x + cos x
sin x sin y sin x cos y + sin y cos x
+
tan x + tan y cos x cos y
sin x sin y
cos x cos y
d)
=
=
=
= tan x tan y ⇒ đpcm.
cot x + cot y cos x + cos y sin x cos y + sin y cos x cos x cos y
sin x sin y
sin x sin y
Ví dụ 3: Rút gọn các biểu thức sau
= 1−

A=

cos 2 x + cos 2 x cot 2 x
sin 2 x + sin 2 x tan 2 x

B=

cos 2 x − 2sin x(1 − sin x)
2(1 + sin x)
.
(1 − sin x) cos x + (1 + sin x) cos x 1 − sin x

C = (1 + cot x) sin 3 x + (1 + tan x) cos3 x − sin x cos x

D = sin 4 x + 4 cos 2 x + cos 4 x + 4sin 2 x
Hướng dẫn giải:
cos 2 x cos 2 x(sin 2 x + cos 2 x)
cos 2 x + cos 2 x. 2
2
2
2
2
cos x + cos x cot x
cos 4 x
sin
x
sin
x
=
=
=
= cot 4 x
Ta có A =
2

2
2
2
2
2
2
4
sin x
sin x(cos x + sin x) sin x
sin x + sin x tan x
sin 2 x + sin 2 x.
2
cos x
cos 2 x
Ta có
cos 2 x − 2sin x(1 − sin x)
1 − sin 2 x − 2sin x(1 − sin x) (1 − sin x)(1 + sin x − 2sin x) (1 − sin x) 2
=
=
=
(1 − sin x) cos x + (1 + sin x) cos x
(1 − sin x + 1 + sin x) cos x
2 cos x
2 cos x
(1 − sin x)2 2(1 + sin x) (1 − sin x)(1 + sin x) 1 − sin 2 x
.
=
=
= cos x
2 cos x

1 − sin x
cos x
cos x
 cos x  3
 sin x  3
C = (1 + cot x) sin 3 x + (1 + tan x) cos3 x − sin x cos x = 1 +
 sin x + 1 +
 cos x − sin x cos x =
 sin x 
 cos x 
= sin 3 x + cos3 x + cos x sin 2 x + cos 2 x sin x − sin x cos x

→B =

= (sin x + cos x)(sin 2 x + cos 2 x − sin x cos x) + cos x sin x(sin x + cos x) − sin x cos x
= (sin x + cos x)(1 − sin x cos x) + sin x cos x(sin x + cos x − 1) = sin x + cos x − sin x cos x

(1 − cos x ) + 4 cos x + (1 − sin x ) + 4sin x
( cos x + 1) + ( sin x + 1) = sin x + cos x + 2 = 3

Ta có D = sin 4 x + 4 cos 2 x + cos 4 x + 4 sin 2 x =
= cos 4 x + 2 cos 2 x + 1 + sin 4 x + 2sin 2 x + 1 =

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Ví dụ 4. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)

sin 2 x
sin x + cos x
−
= sin x + cos x
sin x − cos x
tan 2 x − 1

b) 1 − cot 4 x =

c)

1 + sin 2 x
= 1 + 2 cot 2 x
1 − cos 2 x

d) 2(1 − sin x)(1 + cos x) = (1 − sin x + cos x) 2

e)

sin 2 x(1 + cos x) sin x + tan x
=
cos 2 x(1 + sin x) cos x + cot x

f)

cos 2 x − sin 2 x
= sin 2 x.cos 2 x
2
2
cot x − tan x

g)

1 − 4sin 2 x cos 2 x
= (sin x − cos x) 2
2
(sin x + cos x)

h)

sin 2 x − cos 2 x + cos 4 x
= tan 4 x
2
2
4
cos x − sin x + sin x

2
1
− 4
2
sin x sin x

Ví dụ 5: Rút gọn các biểu thức sau
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn

facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95


Chuyên đề Lượng giác

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng

a) A =
c) C =

1 − cos x
1
−
2

sin x 1 + cos x

b) B =

1 − cos x
1 + cos x
−
1 + cos x
1 − cos x

1 − sin 2 x.cos 2 x
− cos 2 x
2
cos x

d) D = 1 − cot 2 x.sin 2 x + 1

Ví dụ 6: Tính giác trị của các hàm số lượng giác
a) sin x =

1
π
;0 < x <
2
3

c) tan x + cot x = 2; 0 < x <
e) tan x − cot x = −

b) cot x = − 2; −

π
2

2
3π
;π < x <
2
3

d) cos x =
f) tan x = −

π
< x<0
2

2
3π
;π < x <
2
6
1 π
; 3 2

Ví dụ 7: Chứng minh các đẳng thức sau
a)

tan x sin x
−

= cos x
sin x cot x

b)

sin 4 x + cos 4 x − 1 2
=
sin 6 x + cos 6 x − 1 3

c)

1 + sin 2 x
= 1 + 2 tan 2 x
1 − sin 2 x

d)

sin 2 x − tan 2 x
= tan 6 x
cos 2 x − cot 2 x

b)

1
= 2 + tan 2 x + cot 2 x
2
sin x.cos x

Ví dụ 8: Chứng minh các đẳng thức sau
a)

sin x + cos x − 1
2 cos x
=
1 − cos x
sin x − cos x + 1

sin 4 x + 3cos 4 x − 1
3
c)
=
6
6
4
sin x + cos x + 3cos x − 1 2

2

d) cos 2 x(2sin 2 x + cos 2 x) = 1 − sin 4 x

Ví dụ 9: Chứng minh các đẳng thức sau
a) (cos x + 1 + sin x)(cos x − 1 + sin x) = 2sin x cos x

b) (1 − sin x + cos x) 2 = 2(1 − sin x)(1 + cos x)

c) cos 4 x − sin 4 x = cos 2 x(1 − tan x)(1 + tan x)
d) sin 3 x(1 + cot x) + cos3 x(1 + tan x) = sin x + cos x
Ví dụ 10: Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào x?
a) A =

2
cot x + 1
+
tan x − 1 cot x − 1

b) B = 2 cos 4 x − sin 4 x + sin 2 x cos 2 x + 3sin 2 x

c) C =

tan 2 x − sin 2 x
.cot 6 x
cot 2 x − cos 2 x

d) D = sin 2 x.tan 2 x + 4 sin 2 x − tan 2 x + 3cos 2 x

Ví dụ 11: Tính giá trị biểu thức
A=

cos3 x + cos x.sin2 x − sin x
, với tanx = 2.
sin3 x − cos3 x

B=

1+ cos x + sin x
12
, với cos x = −
và π/2 < x < π
1 − cos x
13

2sin2 x + sin x.cos x + cos2 x
C=
, với tanx = 3.
sin4 x − cos4 x
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn

facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95