Toan to hop hay va day du

QUY TẮC ĐẾM
Môn đại số tổ hợp (có sách gọi là giải tích tổ hợp) chuyên khảo sát các hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp, nhằm
xác định số cách xảy ra một hiện tượng nào đó mà không nhất thiết phải liệt kê từng trường hợp. Trong đại số tổ
hợp, ta thường dùng hai quy tắc cơ bản của phép đếm, đó là quy tắc cộng và quy tắc nhân.
1) Quy tắc cộng :
Nếu hiện tượng 1 có m cách xảy ra, hiện tượng 2 có n cách xảy ra và hai hiện tượng này không xảy ra đồng
thời thì số cách xảy ra hiện tượng này hay hiện tượng kia là : m + n cách.
2) Quy tắc nhân :
Nếu hiện tượng 1 có m cách xảy ra, ứng với mỗi cách xảy ra hiện tượng 1 rồi tiếp đến hiện tượng 2 có n
cách xảy ra thì số cách xảy ra hiện tượng 1 “rồi” hiện tượng 2 là : m × n cách
3) Các dấu hiệu chia hết
– Chia hết cho 2 : số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8.
– Chia hết cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3 (ví dụ : 276).
– Chia hết cho 4 : số tận cùng là 00 hay hai chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4 (ví dụ : 1300, 2512)
– Chia hết cho 5 : số tận cùng là 0, 5.
– Chia hết cho 6 : số chia hết cho 2 và chia hết cho 3.
– Chia hết cho 8 : số tận cùng là 000 hay ba chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8 (ví dụ : 15000, 2016)
– Chia hết cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9 (ví dụ : 2835).
– Chia hết cho 25 : số tận cùng là 00, 25, 50, 75.
– Chia hết cho 10 : số tận cùng là 0.
Bài tập
Bài 1: Từ thành phố A đến thành phố B có 3 đường bộ và 2 đường thuỷ. Cần chọn một đường để đi từ A
đến B. Hỏi có mấy cách chọn ?
Bài 2: Một nhà hàng có 3 loại rượu, 4 loại bia và 6 loại nước ngọt. Thực khách cần chọn đúng 1 loại thức
uống. Hỏi có mấy cách chọn ?
Bài 3: Giữa thành phố Hồ Chí Minh và Hà Nội có 3 loại phương tiện giao thông : đường bộ, đường sắt và
đường hàng không. Hỏi có mấy cách chọn phương tiện giao thông để đi từ thành phố Hồ Chí Minh đến Hà Nội rồi
quay về?
Bài 4: Một hội đồng nhân dân có 15 người, cần bầu ra 1 chủ tịch, 1 phó chủ tịch, 1 uỷ ban thư ký và không
được bầu 1 người vào 2 hay 3 chức vụ. Hỏi có mấy cách ?
Bài 5: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau không

chia hết cho 9.
Bài 6: Có 4 tuyến xe buýt giữa A và B. Có 3 tuyến xe buýt giữa B và C. Hỏi :
a) Có mấy cách đi bằng xe buýt từ A đến C, qua B ?
b) Có mấy cách đi rồi về bằng xe buýt từ A đến C, qua B ?
c) Có mấy cách đi rồi về bằng xe buýt từ A đến C, qua B sao cho mỗi tuyến xe buýt không đi quá một lần ?
Bài 7: Một văn phòng cần chọn mua một tờ nhật báo mỗi ngày. Có 4 loại nhật báo. Hỏi có mấy cách chọn
mua báo cho một tuần gồm 6 ngày làm việc ?
Bài 8: Trong một tuần, Bảo định mỗi tối đi thăm 1 người bạn trong 12 người bạn của mình. Hỏi Bảo có thể
lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn nếu :
a) Có thể thăm 1 bạn nhiều lần ?
b) Không đến thăm 1 bạn quá 1 lần ?
Bài 9: Một tuyến đường xe lửa có 10 nhà ga. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một cuộc hành trình bắt đầu ở 1
nhà ga và chấm dứt ở 1 nhà ga khác, biết rằng từ nhà ga nào cũng có thể đi tới bất kì nhà ga khác?
Bài 10: Có 3 nam và 3 nữ cần xếp ngồi vào một hàng ghế. Hỏi có mấy cách xếp sao cho :
a) Nam, nữ ngồi xen kẽ ?
b) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam A, một người nữ B phải ngồi kề nhau ?
c) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam C, một người nữ D không được ngồi kề nhau ?
Nguyễn Hải Hà 0983325739

1


Bài 11: Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6
học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi trong mỗi trường
hợp sau :
a) Bất kì 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường nhau.
b) Bất kì 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường nhau.
Bài 12: Cho 6 chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 9. Hỏi từ các chữ số đã cho, lập được mấy số đôi một khác nhau và :
a) gồm 3 chữ số ?
b) gồm 3 chữ số và nhỏ hơn 400 ?

c) gồm 3 chữ số và chẵn ?
d) gồm 3 chữ số và chia hết cho 5 ?
Bài 13: Có 100000 vé được đánh số từ 00000 đến 99999. Hỏi số vé gồm 5 chữ số khác nhau
Bài 14: Xét dãy số gồm 7 chữ số (mỗi chữ số được chọn từ 0, 1, …., 8, 9) thỏa chữ số vị trí số 3 là số chẵn,
chữ số cuối không chia hết cho 5, các chữ số 4, 5, 6 đôi một khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
Bài 15: Cho 10 chữ số 0, 1, 2, …, 7, 8, 9. Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 600000 xây
dựng từ các chữ số trên.
Bài 16: Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} có thể lập được bao nhiêu số có 8 chữ số từ X mà chữ số 1 có mặt đúng 3
lần còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần.
Bài 17: Viết ngẫu nhiên các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đó xếp ngẫu nhiên thành 1 hàng.
a) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được tạo thành.
b) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được tạo thành.
Bài 18: Có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ 0, 2, 3, 6, 9.
Bài 19: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ.
Bài 20: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau và chia hết cho 5.
Bài 21: Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
a) Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau đôi một.
b) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5.
c) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 9.
Bài 22: Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau mà số đó không
chia hết cho 3.
Bài 23: Trong một đội văn nghệ có 8 bạn nam và 6 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một đôi song ca
nam- nữ?
Bài 24: Trong một lớp có 17 bạn nam và 15 bạn nữ . Hỏi có bao nhiêu cách chọn
a/ Một bạn phụ trách quỹ lớp ?
b/ Hai bạn, trong đó có một nam và một nữ?
Bài 25: Trên giá có 9 quyển sách tiếng Việt khác nhau, 7 quyển sách tiếng Anh khác nhau và 6 quyển sách
tiếng Pháp khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
a/ Một quyển sách?
b/ Ba quyển sách tiếng khác nhau?

c/ Hai quyển sách tiếng khác nhau?
Bài 26: Từ cc chữ số 1;2;3 .Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm :
a/ một chữ số;
b/ có các chữ số phân biệt.
Bài 27: Có bao nhiêu số tự nhiên có tính chất:
a/ Là số chẵn và có hai chữ số ( không nhất thiết khác nhau);
b/ Là số lẻ và có hai chữ số ( không nhất thiết khác nhau);
c/ Là số lẻ và có hai chữ số khác nhau;
d/ Là số chẵn và có hai chữ số khác nhau;
Bài 28: Cho tập hợp A =  1;2;3;4;5;6 
a/ Có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau hình thành từ tập A.
b/ Có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 2
c/ Có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 5.
Nguyễn Hải Hà 0983325739

2


Bài 29: Cho các chữ số 0.1.2.3,4.5.6. Có bao nhiêu số tự nhiên :
a/ Chẵn có 4 chữ số khác nhau?
b/ Có 4 chữ số khác nhau trong đó luôn có mặt chữ số 5.
c/ Lẻ có 5 chữ số khác nhau?
Bài 30: Một trường phổ thông có 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên toán. Thành lập một đoàn
gồm hai người sao cho có một học sinh chuyên toán và một học sinh chuyên tin. Hỏi có bao nhiêu cách lập một
đoàn như trên?
Bài 31: Từ các số 1,2,3,4,5,6,7,8.
a. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau?
b. Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5?
Bài 32: Có thể lập bao nhiêu số chẳn gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ 0,2,3,6,9?
Bài 33: Có bao nhiêu số chẳn có 4 chữ số đôi một khác nhau?

Bài 34: Từ các sô 0,1,2,3,4,5.
a. Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 5
b. có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 9?
Bài 35: Xét dãy gồm 7 chữ số , mổi chữ số được chọn từ các số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 thoả mãn các điều kiện
sau: Chữ số vị trí số 3 là số chẵn; Chữ số cuối cùng không chia hết cho 5; Các chữ số ở vị trí 4,5,6 đôi một khác
nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Bài 36: Cho hai đường thẳng song song (d 1) , (d2) . Trên (d1) lấy 17 điểm phân biệt , trên (d 2) lấy 20 điểm
phân biệt . Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong số 37 điểm đã chọn trên (d1) và (d2)
HOÁN VỊ
1. Giai thừa
Với số nguyên dương n, ta định nghĩa n giai thừa, kí hiệu n!, là tích các số nguyên liên tiếp từ 1 đến n.
n! = 1.2.3…(n – 2) (n – 1)n
Vì tiện lợi, người ta qui ước :
0! = 1
Từ định nghĩa, ta có :

n(n − 1)...(n − r + 1) =

n!
(n − r )!

và

(n – 1) !n = n !

2. Hoán vị
Có n vật khác nhau, sắp vào n chỗ khác nhau. Mỗi cách sắp được gọi là 1 hoán vị của n phần tử.
Theo qui tắc nhân, chỗ thứ nhất có n cách sắp (do có n vật), chỗ thứ nhì có n – 1 cách sắp (do còn n – 1
vật), chỗ thứ ba có n – 2 cách sắp (do còn n – 2 vật), …, chỗ thứ n có 1 cách sắp (do còn 1 vật).
Vậy, số hoán vị của n phần tử, kí hiệu Pn, là :

Pn = n(n – 1)(n – 2)… × 1 = n!
Bài tập
Bài 1: Từ 3 chữ số 1, 2, 3 có thể tạo được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau ?
Bài 2: Trong một lớp học, thầy giáo phát phiếu thăm dò yêu cầu học sinh ghi thứ tự 3 môn Toán, Lý, Hóa
đang học theo mức độ yêu thích giảm dần. Hỏi có bao nhiêu cách ghi khác nhau ?
Bài 3: Có 2 sách toán khác nhau, 3 sách lý khác nhau và 4 sách hóa khác nhau. Cần sắp xếp các sách thành
một hàng sao cho các sách cùng môn đứng kế nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp ?
Bài 4: Giải phương trình :

n!−(n − 1)! 1
= với n ∈ N*
(n + 1)!
6

Bài 5: Giải bất phương trình

Nguyễn Hải Hà 0983325739

Pn + 4
15
<
Pn .Pn + 2 Pn −1

với điều kiện n > 1, n ∈ N*
3


Bài 6: Gọi Pn là số hoán vị của n phần tử. Chứng minh:
a/ Pn – Pn-1 = (n – 1)Pn-1
b/ 1 + P1 + 2P2 + 3P3 + . . . + (n – 1)Pn-1 = Pn

Bài 7: Một tạp chí thể thao định cho ra 22 kì báo chuyên đề về 22 đội bóng, mỗi kì một đội. Hỏi có bao
nhiêu cách sao cho :
a) Kì báo đầu tiên nói về đội bóng A ?
b) Hai kì báo liên tiếp nói về hai đội bóng A và B ?
Bài 8: Tên 12 tháng trong năm được liệt kê theo thứ tự tuỳ ý sao cho tháng 5 và tháng 6 không đứng kế
nhau. Hỏi có mấy cách ?
Bài 9: Người ta cần soạn một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu hỏi, chia thành 5 chủ đề, mỗi chủ đề gồm 10
câu. Cần sắp thứ tự 50 câu hỏi sao cho các câu cùng một chủ đề đứng gần nhau, chủ đề 1 đứng đầu và chủ đề 2, 3
không đứng kế nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp ?
Bài 10: Một công ty cần thực hiện một cuộc điều tra thăm dò thị hiếu người tiêu dùng về sản phẩm của
mình. Công ty đưa ra 10 tính chất của sản phẩm và yêu cầu khách hàng sắp thứ tự theo mức độ quan trọng giảm
dần. Giả sử tính chất 1 và tính chất 10 đã được xếp hạng. Hỏi có mấy cách xếp ?
Bài 11: Có 5 bi đỏ và 5 bi trắng có kích thước khác nhau đôi một bao nhiêu cách sắp các bi này thành 1
hàng dài sao cho hai bi cùng màu không được nằm kề nhau.
Bài 12: Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh A, B, C, D, E vào 1 ghế dài sao cho :
a) C ngồi chính giữa
b) A, E ngồi hai đầu ghế.
Bài 13: Trong một phòng có 2 bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh
gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu
a) Các học sinh ngồi tùy ý.
b) Các học sinh nam ngồi 1 bàn, học sinh nữ ngồi 1 bàn.
Bài 14: Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 4 sách Văn, 2 sách Toán, 6 sách Anh
văn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp các cuốn sách lên 1 kệ dài nếu các cuốn cùng môn sắp kề nhau.
Bài 15: Từ X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} thiết lập các số có 6 chữ số khác nhau. Hỏi trong các số lập được có bao
nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau.
Bài 16: Xét các số gồm 9 chữ số trong đó có 5 số 1 và 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số mà
a) Năm chữ số 1 sắp kề nhau.
b) Các chữ số được xếp tùy ý.
Bài 17: Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số đôi một khác nhau được lập từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 sao cho hai
chữ số chẵn không nằm liền nhau.

Bài 18: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau. Tính tổng các số trên.
Bài 19: Trong các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số trong đó chữ số 4 có mặt
đúng 3 lần còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần.
Bài 20: Từ các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau.
Bài 21: Từ các chữ số 3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau.Tính tổng tất cả
các số đó.
Bài 22: Một cái khay tròn đựng bánh kẹo ngày Tết có 6 ngăn hình quạt mẫu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu
cách bày 6 loại bánh kẹo vào 6 ngăn đó?
Bài 23: Có 7 quyển sách Toán khác nhau , 6 quyển sách Lý khác nhau và 4 quyển sách Hóa khác nhau .
Hỏi có bao nhiêu cách xếp số sách trên lên một kệ dài, sao cho :
a/ Các quyển sách được xếp tùy ý .
b/ Các quyển sách cùng môn được xếp cạnh nhau .
Bài 24:
a/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và đều lớn hơn 5.
b/ Tính tổng của tất cả các số đó .

Nguyễn Hải Hà 0983325739

4


CHỈNH HỢP
Có n vật khác nhau, chọn ra k vật khác nhau (1 ≤ k ≤ n), sắp vào k chỗ khác nhau. Mỗi cách chọn rồi sắp
như vậy gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử
Chỗ thứ nhất có n cách chọn (do có n vật), chỗ thứ 2 có (n – 1) cách chọn, . . ., chỗ thứ k có [n – (k – 1)]
cách chọn. Vậy theo quy tắc nhân, số cách chọn sẽ là:
n x (n-1) x (n-2) x . . . x (n – k + 1) =

n!
( n − k )!

Nếu ký hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là

Ank , ta có: Ank =

n!
(n − k )!

Bài tập
Bài 1. Một nhà hàng có 5 món ăn chủ lực, cần chọn 2 món ăn chủ lực khác nhau cho mỗi ngày, một món
buổi trưa và một món buổi chiều. Hỏi có mấy cách chọn ?
Bài 2. Trong một trường đại học, ngoài các môn học bắt buộc, có 3 môn tự chọn, sinh viên phải chọn ra 2
môn trong 3 môn đó, 1 môn chính và 1 môn phụ. Hỏi có mấy cách chọn ?
Bài 3. Từ 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể tạo ra bao nhiêu số gồm 2 chữ số khác nhau ?
Bài 4. Chứng minh với n, k ∈ N và 2 ≤ k < n
a/

Ank = Ank−1 + kAnk−−11

Bài 5: Giải phương trình :

b/

Ank++22 + Ank++k1 = k 2 Ann+ k

Px Ax2 + 72 = 6( Ax2 + 2 Px )

Bài 6: Giải bất phương trình:

Ax3 + 5 Ax2 ≤ 21x

Bài 7: Tìm các số âm trong dãy số x1, x2, . . ., xn với
Với Pn là số hoán vị của n phần tử
Bài 8: Chứng minh rằng với n ∈ N* và n ≥ 2 thì

An4+ 4 143
xn =
−
Pn + 2 4 Pn

1
1
1
n −1
+ 2 + ... + 2 =
2
n
A2 A3
An

Bài 9: Có bao nhiêu số điện thoại bắt đầu bằng 2 chữ cái khác nhau lấy từ 26 chữ cái A, B, C, …, Z và tiếp
theo là 5 chữ số khác nhau không có số 0.
Bài 10: Một đội bóng đá có 18 cầu thủ. Cần chọn ra 11 cầu thủ phân vào 11 vị trí trên sân để thi đấu chính
thức. Hỏi có mấy cách chọn nếu :
a) Ai cũng có thể chơi ở bất cứ vị trí nào ?
b) Chỉ có cầu thủ A làm thủ môn được, các cầu thủ khác chơi ở vị trí nào cũng được ?
c) Có 3 cầu thủ chỉ có thể làm thủ môn được, các cầu thủ khác chơi ở vị trí nào cũng được ?
Bài 11: Có 10 cuốn sách khác nhau và 7 cây bút máy khác nhau. Cần chọn ra 3 cuốn sách và 3 cây bút máy
để tặng cho 3 học sinh, mỗi em một cuốn sách và một cây bút máy. Hỏi có mấy cách ?
Bài 12: Trong một chương trình văn nghệ, cần chọn ra 7 bài hát trong 10 bài hát và 3 tiết mục múa trong 5

tiết mục múa rồi xếp thứ tự biểu diễn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau nếu các bài hát được xếp kế nhau và
các tiết mục múa được xếp kế nhau ?
Bài 13: Trong một cuộc đua ngựa gồm 10 con. Hỏi có mấy cách để 10 con ngựa này về đích nhất, nhì, ba.
Bài 14: Xét các bảng số xe là dãy gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng sau. Các chữ cái được lấy từ
26 chữ cái A, B, …, Z. Các chữ số được lấy từ 0, 1, …, 9.
a) Có mấy biển số trong đó có ít nhất 1 chữ cái khác chữ O và các chữ số đôi một khác nhau.
b) Có mấy biển số có 2 chữ cái khác nhau đồng thời có đúng 2 chữ số lẻ, và 2 chữ số lẻ đó giống nhau.
Nguyễn Hải Hà 0983325739

5


Bài 15: Có 30 học sinh dự thi học sinh giỏi toán toàn quốc. Có 6 giải thưởng xếp hạng từ 1 đến 6 và không
ai được nhiều hơn 1 giải. Hỏi:
a) Có bao nhiêu danh sách học sinh đoạt giải có thể có ?
b) Nếu đã biết học sinh A chắc chắn đoạt giải, thì có bao nhiêu danh sách học sinh đoạt giải có thể có ?
Bài 16: Một lớp học có 40 học sinh. Giáo viên chủ nhiệm lớp muốn chọn ra 1 lớp trưởng, 1 lớp phó học tập
và 1 lớp phó lao động. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
Bài 17: Có 6 người đi vào 1 thang máy của một chung cư có 10 tầng. Hỏi có bao nhiêu cách để :
a) Mỗi người đi vào 1 tầng khác nhau.
b) 6 người này, mỗi người đi vào 1 tầng bất kì nào đó.
Bài 18: Có 100000 chiếc vé số được đánh số từ 00000 đến 99999. Hỏi số các vé gồm 5 chữ số khác nhau là
bao nhiêu.
Bài 19: Với 10 chữ số 0, 1, …, 8, 9 có thể lập bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau.
Bài 20: Có bao nhiêu số nguyên dương bé hơn 1000 mà mỗi số đều có các chữ số đôi một khác nhau.
Bài 21: Từ 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5.
Bài 22: Từ X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết
phải có mặt chữ số 5.
Bài 23: Từ 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau.
Bài 24: Từ X = {}0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết

phải có mặt chữ số 5.
Bài 25: Từ 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau.
Bài 26: Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} có thể lập bao nhiêu số n gồm 5 chữ số khác nhau đôi một từ X mà
a) n chẵn
b) Một trong 3 chữ số đầu tiên phải có mặt chữ số 1.
Bài 27: Từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và có thể lập bao nhiêu số
có 4 chữ số phân biệt trong đó có 2 chữ số 1, 2.
Bài 28: Từ 10 chữ số 0, 1, 2, …, 7, 8, 9 có thể lập bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau sao cho các số đó
đều phải có mặt 0 và 1.
Bài 29: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau (chữ số đầu tiên khác 0) trong đó có một
chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1.
Bài 30: Tính tổng các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ 1, 3, 4, 5, 7, 8.
Bài 31: Có bao nhiêu cách chọn một ban cán sự gồm 3 người: 1 lớp trưởng,1 lớp phó và 1 thủ quỹ trong
một lớp có 30 học sinh ?
Bài 32: Từ các chữ số 1,2,3,4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có
a/ hai chữ số khác nhau.
b/ ba chữ số khác nhau.
c/ bốn chữ số khác nhau.
Bài 33:
a/ Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau?
b/ Tính tổng của chúng.
Bài 34: Trong mặt phẳng có 10 điểm phân biệt, có bao nhiêu vectơ khác vectơ không có điểm đầu và điểm
cuối đã cho?

Nguyễn Hải Hà 0983325739

6


TỔ HỢP

Có n vật khác nhau, chọn ra k vật khác nhau (0 ≤ k ≤ n) không để ý đến thứ tự chọn. Mỗi cách chọn như
vậy gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Ta thấy mỗi tổ hợp chập k của n phần tử tạo ra được P k = k! chỉnh
hợp chập k của n phần tử. Do đó, nếu ký hiệu

C nk

là số tổ hợp chập k của n phần tử, ta có:

Ank
n!
C =
=
k! k!(n − k )!
k
n

Tính chất:

C nk = C nn −k
Cnk = Cnk−−11 + Cnk−1
Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cnn = 2 n
Bài tập
Bài 1: Có 5 học sinh, cần chọn ra 2 học sinh để đi trực lớp, hỏi có mấy cách chọn ?
Bài 2: Một nông dân có 6 con bò, 4 con heo. Một nông dân khác đến hỏi mua 4 con bò và 2 con heo. Hỏi
có mấy cách chọn mua ?
Bài 3: Trong một kì thi, mỗi sinh viên phải trả lời 3 trong 5 câu hỏi.
a) Có mấy cách chọn.
b) Có mấy cách chọn nếu trong 5 câu hỏi có 1 câu hỏi bắt buộc.

1

1
1
−
=
C4x C5x C6x

Bài 4: Giải phương trình:

Bài 5: Tìm n sao cho

Bài 6: Tìm x thỏa:

Bài 7: Tìm x, y thỏa hệ:

Cnn−−13
1
<
An4+1 14 P3
1 2
6
A2 x − Ax2 ≤ C x3 + 10
2
x
2 Axy + 5C xy = 90
 y
5 Ax − 2C xy = 80

Bài 8: Cho k, n ∈ N* thỏa 2 ≤ k ≤ n
Chứng minh rằng:

k (k − 1)Cnk = n(n − 1)Cnk−−22

Bài 9: Cho 4 ≤ k ≤ n. Chứng minh rằng:

Cnk + 4Cnk −1 + 6Cnk −2 + 4Cnk −3 + Cnk −4 = Cnk+4

Bài 10: Tìm k ∈ N* sao cho

C14k + C14k +2 = 2C14k +1

Bài 11: Chứng minh rằng nếu k ∈ N và 0 ≤ k ≤ 2000 thì

k
k +1
1000
1001
C2001
+ C2001
≤ C2001
+ C2001

Bài 12: Với mọi n, k ∈ N và 0 ≤ k ≤ n. Chứng minh rằng:

C2nn+k .C2nn−k ≤ (C2nn ) 2
Nguyễn Hải Hà 0983325739

7


Bài 13: Cho n ngun dương cố định và k ∈ {0, 1, 2, …,n}. Chứng minh rằng:

Nếu

Cnk

đạt giá trị lớn nhất tại k0 thì k0 thỏa

n −1
n +1
≤ k0 ≤
2
2

Bài 14: Cho m, n ∈ N với 0 < m < n. Chứng minh rằng :

a/

mCnm = nCnm−−11

b/

Cnm = Cnm−−11 + Cnm−−21 + ... + Cmm−1 + Cmm−−11
Bài 15: Chứng minh rằng:
0
2001
1
2000
k
2001−k
2001
0

2002
C2002
.C2002
+ C2002
.C2002
+ ... + C2002
.C2002
−k + ... + C 2002 .C1 = 1001.2

Bài 16: Đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, học sinh cần chọn trả lời 8 câu .
a) Hỏi có mấy cách chọn tùy ý ?
b) Hỏi có mấy cách chọn nếu 3 câu đầu là bắt buộc ?
c) Hỏi có mấy cách chọn 4 trong 5 câu đầu và 4 trong 5 câu sau ?
Bài 17: Có 12 học sinh ưu tú. Cần chọn ra 4 học sinh để đi dự đại hội học sinh ưu tú tồn quốc. Có mấy
cách chọn.
a) Tùy ý ?
b) Sao cho 2 học sinh A và B khơng cùng đi ?
c) Sao cho 2 học sinh A và B cùng đi hoặc cùng khơng đi?
Bài 18: Một phụ nữ có 11 người bạn thân trong đó có 6 nữ. Cô ta đònh mời ít nhất 3 người trong 11
người đó đến dự tiệc. Hỏi :
a) Có mấy cách mời ?
b) Có mấy cách mời để trong buổi tiệc gồm cô ta và các khách mời, số nam nữ bằng nhau
Bài 19: Một tổ có 12 học sinh. Thầy giáo có 3 đề kiểm tra khác nhau. Cần chọn 4 học sinh cho mỗi đề kiểm
tra. Hỏi có mấy cách chọn ?
Bài 20: Có 12 học sinh ưu tú của một trường trung học. Muốn chọn một đồn đại biểu gồm 5 người (gồm
một trưởng đồn, một thư ký, và ba thành viên) đi dự trại quốc tế. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? Có giải thích ?
Bài 21: Một đồn tàu có 3 toa chở khách; toa I, II, III. Trên sân ga có 4 hành khách chuẩn bị đi tàu. Biết
rằng mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống. Hỏi :
a) Có bao nhiêu cách sắp 4 hành khách lên 3 toa.
b) Có bao nhiêu cách sắp 4 hành khách lên tàu để có 1 toa trong đó có 3 trong 4 vị khách.

Bài 22: Có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó, 10 câu trung bình và 15 câu dễ. Từ 30 câu đó có thể lập
bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu khác nhau, sao cho mỗi đề phải có 3 loại (khó, trung bình, dễ) và số câu
dễ khơng ít hơn 2 ?
Bài 23: Một chi đồn có 20 đồn viên trong đó 10 nữ. Muốn chọn 1 tổ cơng tác có 5 người. Có bao nhiêu
cách chọn nếu tổ cần ít nhất 1 nữ.
Bài 24: Một đội xây dựng gồm 10 cơng nhân, 3 kỹ sư. Để lập 1 tổ cơng tác cần chọn 1 kỹ sư là tổ trưởng, 1
cơng nhân làm tổ phó và 3 cơng nhân làm tổ viên. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ cơng tác.
Bài 25: Một đội văn nghệ gồm 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Cơ giáo muốn chọn ra 1 tốp ca gồm 5
em trong đó có ít nhất là 2 em nam và 2 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
Bài 26: Một đội cảnh sát gồm có 9 người. Trong ngày cần 3 người làm nhiệm vụ tại địa điểm A, 2 người
làm tại B còn lại 4 người trực đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân cơng ?
Bài 27: Có 5 nhà Tốn học nam, 3 nhà Tốn học nữ và 4 nhà Vật lí nam. Muốn lập 1 đồn cơng tác có 3 người
gồm cả nam lẫn nữ, cần có cả nhà tốn học lẫn vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
Bài 28: Một đội văn nghệ có 10 người trong đó có 6 nữ và 4 nam. Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ :
a) Thành 2 nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ bằng nhau.
b) Có bao nhiêu cách chọn 5 người trong đó khơng q 1 nam.
Bài 29: Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì
thư và dán 3 tem thư đó lên 3 bì thư đã chọn. Một bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy.
Nguyễn Hải Hà 0983325739

8


Bài 30: Một bộ bài có 52 lá; có 4 loại : cơ, rơ, chuồn, bích mỗi loại có 13 lá. Muốn lấy ra 8 lá bài trong đó
phải có đúng 1 lá cơ, đúng 3 lá rơ và khơng q 2 lá bích. Hỏi có mấy cách ?
Bài 31: Có 2 đường thẳng song song (d1) và (d2). Trên (d1) lấy 15 điểm phân biệt. Trên (d2) lấy 9 điểm phân
biệt. Hỏi số tam giác mà có 3 đỉnh là các điểm đã lấy.
Bài 32: Một lớp có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 người đi dự hội
nghị của trường sao cho trong đó có ít nhất 1 cán bộ lớp.
Bài 33: Có 16 học sinh gồm 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia số học sinh thành

2 tổ, mỗi tổ có 8 người, đều có học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá.
Bài 34: Một người có 12 cây giống trong đó có 6 cây xồi, 4 cây mít và 2 cây ổi. Người đó muốn chọn 6
cây giống để trồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho
a) Mỗi loại có đúng 2 cây.
b) Mỗi loại có ít nhất 1 cây.
Bài 35: Một lớp học có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có 6 học sinh được chọn để lập 1 tốp ca. Hỏi
có bao nhiêu cách chọn khác nhau và phải có ít nhất 2 nữ.
Bài 36: Cho tập con gồm 10 phần tử khác nhau. Tìm số tập con khác rỗng chứa 1 số chẵn các phần tử.
Bài 37: Một tổ sinh viên có 20 em. Trong đó chỉ có 8 em biết nói tiếng Anh, 7 em biết tiếng Pháp và 5 em
chỉ biết tiếng Đức. Cần chọn 1 nhóm đi thực tế gồm 3 em biết tiếng Anh, 4 em biết tiếng Pháp và 2 em biết tiếng
Đức. Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm.
Bài 38: Trong 1 hộp có 7 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ và 4 quả cầu vàng , các quả cầu đều khác nhau. Chọn
ngẫu nhiên 4 quả cầu trong hộp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong 4 quả cầu chọn ra có đủ 3 màu.
Bài 39: Một hộp chứa 6 bi trắng và 5 bi đen. Hỏi có mấy cách lấy ra 4 bi :
a) màu tùy ý ?
b) gồm 2 bi trắng và 2 bi đen ?
Bài 40: Một hộp có 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6,
5 quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5,
4 quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 4.
a) Có bao nhiêu cách lấy 3 quả cầu cùng màu, 3 quả cầu cùng số.
b) Có bao nhiêu cách lấy 3 quả cầu khác màu ? 3 quả cầu khác màu và khác số.
Bài 41: Có 9 viên bi xanh, 5 đỏ, 4 vàng có kích thước đơi một khác nhau. Có bao nhiêu cách chọn ra :
a) 6 viên bi trong đó có đúng 2 viên bi đỏ,
b) 6 viên bi trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ.
Bài 42: Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi một
khác nhau). Người ta muốn chọn ra 1 bông hoa gồm 7 bông. Có bao nhiêu cách chọn 1 bó hoa trong đó :
a) Có đúng 1 bông hồng đỏ.
b) Có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ
Bài 43: Xếp 3 bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 bi xanh giống nhau vào 1 hộc có 7 ô trống
a) Hỏi có mấy cách xếp khác nhau.

b) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 bi xanh xếp cạnh nhau.
Bài 44: Một hộp đựng 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng. Người ta chọn 4 bi từ hộp. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn để số bi lấy ra khơng đủ 3 màu.
Bài 45:
a/ Cho k, n ∈ N và k < n. Chứng minh rằng:

Cnk + Cnk +1 = Cnk++11

b/ Một đa giác lồi n cạnh (n > 3) có bao nhiêu đường chéo?
Bài 46: Cho đa giác đều H có 20 cạnh. Xét các tam giác có 3 đỉnh lấy từ 3 đỉnh của H.
a) Có bao nhiêu tam giác như vậy ? Có bao nhiêu tam giác có đúng 2 cạnh là 2 cạnh của H.
b) Có mấy tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của H ? Có mấy tam giác khơng có cạnh nào là cạnh của H ?
Bài 47: Trên mặt phẳng cho 1 thập giác lồi. Xét các tam giác mà 3 đỉnh của nó là 3 đỉnh của thập giác. Hỏi
trong số các tam giác đó có bao nhiêu tam giác mà 3 cạnh của nó đều khơng phải là 3 cạnh của thập giác.
Nguyễn Hải Hà 0983325739

9


Bài 48: Cho đa giác A1A2…A2n (n ∈ N và n ≥ 2) nội tiếp trong đường tròn (O). Biết rằng số tam giác có
đỉnh là 3 trong 2n đỉnh A1, A2, …, A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n đỉnh A1, A2,
…, A2n. Tìm n.
Bài 49: Trong 1 trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ trong đó có 4 cặp anh em
sinh đôi. Cần chọn 1 nhóm gồm 3 trong số 50 học sinh trên đi dự đại hội cháu ngoan Bác Hồ, sao cho trong nhóm
không có cặp anh em sinh đôi nào. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Bài 50: Lớp học có 4 nữ, 10 nam. Cần chia làm hai tổ, mỗi tổ có 2 nữ, 5 nam. Hỏi có mấy cách?
Bài 51: A, B, C đến nhà D mượn sách. D có 1 cuốn tiểu thuyết và 8 cuốn giáo khoa khác nhau. A mượn 2
cuốn trong đó có 1 cuốn tiểu thuyết. B mượn 2 cuốn giáo khoa và C mượn 3 cuốn giáo khoa. Hỏi có mấy cách khác
nhau để D cho mượn sách ?
Bài 52: Có 1 tờ bạc 5000đ, 1 tờ bạc 10000đ, 1 tờ bạc 20000đ và 1 tờ bạc 50000đ. Từ các tờ bạc này, có thể

tạo ra bao nhiêu tổng số tiền khác nhau ?
Bài 53: Một tập thể có 14 người gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình. Người ta muốn chọn 1 tổ
công tác gồm 6 người. Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau :
a) Trong tổ phải có mặt cả nam lẫn nữ.
b*) Trong tổ phải có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên, hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ.
Bài 54: Số 210 có bao nhiêu ước số.
Bài 55: Một cuộc khiêu vũ có 10 nam, 6 nữ. Cần chọn 3 nam, 3 nữ lập thành 3 cặp. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn ?
Bài 56: Có 5 bưu thiếp khác nhau, 6 bì thư khác nhau. Cần chọn 3 bưu thiếp, bỏ vào 3 bì thư, mỗi bì một
bưu thiếp và gửi cho 3 người bạn mỗi bạn một bưu thiếp. Hỏi có mấy cách ?
Bài 57: Có 4 người Việt, 4 người Nhật, 4 người Trung Quốc và 4 người Triều Tiên. Cần chọn 6 người đi
dự hội nghị. Hỏi có mấy cách chọn sao cho :
a) Mỗi nước đều có đại biểu ?
b) Không có nước nào có hơn hai đại biểu ?
Bài 58:
a/ Có 10 cái bánh khác nhau và 5 cái hộp khác nhau. Hỏi có mấy cách xếp mỗi hộp 2 cái bánh
b/ Nếu 10 bánh khác nhau và 5 hộp giống nhau thì có mấy cách?
Bài 59: Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5 sách Văn, 4 sách Anh văn và 3
cuốn sách Hóa. Ông lấy ra 6 cuốn và tặng 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em 1 cuốn
a/ Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng các học sinh trên nhưng cuốn sách loại sách thuộc loại Anh văn và Văn. Hỏi có
bao nhiêu cách tặng.
b/ Giả sử thầy giáo muốn rằng, sau khi tặng xong mỗi loại Văn, Anh văn, Hóa còn ít nhất 1 cuốn. Hỏi có bao nhiêu
cách tặng?
Bài 60: Cho A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
a/ Có bao nhiêu tập con của A chứa 1 mà không chứa 2
b/ Có bao nhiêu số tự nhiên chắn gồm 5 chữ số khác nhau mà không bắt đầu bởi 123
Bài 61: Có thể lập được bao nhiêu số có 8 chữ số trong các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 trong đó 1 và 6 đều có
mặt đúng 2 lần còn các số khác có mặt đúng 1 lần.
Bài 62:
a/ Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó chữ số dầu tiên là chữ số lẻ

b/ CÓ bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có đúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn
Bài 63: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số biết rằng chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng
3 lần còn các chữ số khác có mặt không quá 1 lần.

Nguyễn Hải Hà 0983325739

10


BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1. Có thể lập bao nhiêu số có 8 chữ số từ các số 1,2,3,4,5,6. trong đó 1 và 6 có mặt hai lần, các số còn
lại 1 lần.
Bài 2. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau trong đó chữ số đàu tiên là số lẻ.
Bài 3. Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau trong đó có đúng 3 chữ số chẳn và 3 chữ số lẻ
Bài 4. Có baonhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó có mặt số 0 nhưng không có mặt
số 1
Bài 5. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ sô biết rằng sô 2 có mặt 2 lần, số 3 có mặt 3 lần, các chữ số còn
lại không quá một lần?
Bài 6.Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6, có thể lâp bao nhiêu số chẳn, mỗi số có 5 chữ số khác nhau trong đó có
đúng 2 chữ số lẻ và hai chữ số lẻ đó đứng cạnh nhau?
Bài 7. Từ các số 0,1,2,3,4 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau? Tính tổng tất cả các số
tự nhiên đó.
Bài 8.Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho: Chữ số 0 có mặt hai lần, số 1 có mặt 1 lần, 2 số còn
lại phân biệt
Bài 9. Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại 3 lần.
Bài 10. Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số sao cho: Số 2 có mặt 2 lần, số 3 có mặt 3 lần, các số còn lại
không quá một lần.
Bài 11 Từ các số 1,2,.....,6. Lập bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3.
Bài 12. Có bao nhiêu số tự nhiên chẳn gồm 5 chữ số khác nhau và không bắt đầu bằng 123.
Bài 13 Giả sử bạn muốn mua một áo sơ mi cỡ 39 hoặc 40. Áo cỡ 39 có 5 màu khác nhau, áo cỡ 40 có 4

màu khác nhau. Hỏi bạn có bao nhiêu sự lựa chọn (về màu và cỡ áo) ?
Bài 14 Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số của nó đều chẵn ?
Bài 15 Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ.
a) Nhà trường cần chọn một học sinh ở khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu
cách chọn ?
b) Nhà trường cần chọn hai học sinh trong đó một nam và một nữ đi dự trại hè của học sinh thành phố. Hỏi nhà
trường có bao nhiêu cách chọn ?
Bài 16 Từ các chữ số 1, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
a) Có 4 chữ số (không nhất thiết khác nhau) ?
b) Có 4 chữ số khác nhau ?
Bài 17 Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội trong một giải bóng đá có 5 đội
bóng ? (Giả sử rằng không có hai đội nào có điểm trùng nhau).
Bài 18 Giả sử có 8 vận động viên tham gia chạy thi. Nếu không kể trường hợp có hai vận động viên về đích
cùng một lúc thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra đối với các vị trí thứ nhất, thứ nhì và thứ ba ?
Bài 19 Trong một Ban chấp hành đoàn gồm 7 người, cần chọn 3 người vào ban thường vụ.
a) Nếu không có sự phân biệt về chức vụ của 3 người trong ban thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn
b) Nếu cần chọn 3 người vào ban thường vụ với các chức vụ : Bí thư, Phó Bí Thư, Uỷ viên thường vụ thì có bao
nhiêu cách chọn ?
Bài 20 Một cuộc thi có 15 người tham dự, giả thiết rằng không có hai người nào có điểm bằng nhau.
a) Nếu kết quả của cuộc thi là việc chọn ra 4 người điểm cao nhất thì có bao nhiêu kết quả có thể?
b) Nếu kết quả của cuộc thi là việc chọn ra các giải nhất, nhì, ba thì có bao nhiêu kết quả có thể?
Bài 21 Một tổ có 8 em nam và 2 em nữ. Người ta cần chọn ra 5 em trong tổ tham gia cuộc thi học sinh
thanh lịch của trường. Yêu cầu trong các em được chọn phải có ít nhất một em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Bài 22 Một nhóm học sinh có 7 em nam và 3 em nữ. Người ta cần chọn ra 5 em trong nhóm tham gia đồng
diễn thể dục. Trong 5 em được chọn, yêu cầu không quá 1 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Nguyễn Hải Hà 0983325739
11


Bài 23Từ 10 nam và 5 nữ người ta chọn ra một ban đại diện gồm 5 người trong đó có ít nhất hai nam và 2

nữ , hỏi có bao nhiêu cách chọn Nếu :
a) Mọi người đều vui vẽ tham gia .
b) Cậu Tánh và cô Nguyệt từ chối tham gia .
Bài 24 một lớp học gồm 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ , chọn 6 học sinh để lập một đội tốp ca . Hỏi có
bao nhiêu cách chọn
a) Nếu ít nhất hai nữ .
b) Nếu chọn tuỳ ý .
Bài 33. (ĐH Cần Thơ 2001) Một nhóm gồm 10 học sinh, trong đó có 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách
sắp xếp 10 học sinh trên thành một hàng dài sao cho 7 học sinh nam phải đứng liền nhau.
Bài 34. (HV Chính trị quốc gia 2001) Một đội văn nghệ có 10 người, trong đó có 6 nữ và 4 nam. 1. Có bao
nhiêu cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ như nhau.
2. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người mà trong đó không có quá 1 nam.
Bài 35. (ĐH Giao thông vận tải 2001) Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số
gồm 6 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4.
Bài 36. (ĐH Huế khối ABV 2001) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ số nào lặp
lại đúng 3 lần?
Bài 37. (ĐH Huế khối DHT 2001) Từ một nhóm học sinh gồm 7 nam và 6 nữ, thầy giáo cần chọn ra 5 em
tham dự lễ mittinh tại trường với yêu cầu có cả nam và nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Bài 38. (HV Kỹ thuật quân sự 2001) Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao
nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 người sao cho ở mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít
nhất 2 học sinh khá.
Bài 39. (ĐH Kinh tế quốc dân 2001) Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và trong đó phải có chữ số 5.
Bài 40. (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001)
1. Có thể tìm được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau đôi một?
2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau?
Bài 41. (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể thiết lập được bao
nhiêu số có 6 chữ số khác nhau mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau?
Bài 42. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp thành một hàng dọc.
Hỏi có bao nhiêu cách xếp để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ 3 học sinh nữ. (Khi đổi chỗ 2 học sinh bất kì

cho nhau ta được một cách xếp mới).
Bài 43. (HV Quan hệ quốc tế 2001) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có 9
chữ số mà chữ số 9 đứng ở vị trí chính giữa?
Bài 44. (ĐH Quốc gia TPHCM 2001)
1. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1
2. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các
chữ số còn lại có mặt không quá một lần.
Bài 45. (ĐHSP HN II 2001) Tính tổng tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một được lập từ 6
chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8.
Bài 46. (ĐHSP TPHCM khối DTM 2001) Cho A là một hợp có 20 phần tử.
1. Có bao nhiêu tập hợp con của A?
2. Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn?
Bài 47. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)
1. Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5.
2. Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 mà các số đó nhỏ hơn số
345.
Bài 48. (ĐH Văn Lang 2001) Một lớp có 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Cần chọn ra 5 học sinh để đi
làm công tác “Mùa hè xanh”. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 học sinh đó phải có ít nhất:
1. Hai học sinh nữ và hai học sinh nam.
2. Một học sinh nữ và một học sinh nam.
Nguyễn Hải Hà 0983325739

12


Bài 49. (ĐH Y HN 2001) Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có ba chữ
số khác nhau và không lớn hơn 789?
Bài 50. (ĐH khối D dự bị 1 2002) Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học
sinh khối 12, 6 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè
sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn.

Bài 51. (ĐH khối A 2003 dự bị 2) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà
mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3.
Bài 52. (ĐH khối B 2003 dự bị 1) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà
mỗi số có 6 chữ số và thoả mãn điều kiện: sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số
đầu nhỏ hơn tổng của 3 chữ số cuối một đơn vị.
Bài 53. (ĐH khối B 2003 dự bị 2) Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần chọn ra 6 em trong
đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
Bài 54. (ĐH khối D 2003 dự bị 1) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau?
Bài 55. (CĐ Sư phạm khối A 2002)
1. Tìm số giao điểm tối đa của:
a) 10 đường thẳng phân biệt.
b) 6 đường tròn phân biệt.
2. Từ kết quả của câu 1) hãy suy ra số giao điểm tối đa của tập hợp các đường nói trên.
Bài 56. (CĐ Sư phạm khối A 2002 dự bị) Cho đa giác lồi n cạnh. Xác định n để đa giác có số đường chéo
gấp đôi số cạnh.
Bài 57. (CĐ Xây dựng số 3 – 2002) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số
khác nhau và nhỏ hơn 245.
Bài 58. (CĐ Sư phạm Quảng Ngãi 2002) Từ 5 chữ số 0, 1, 2, 5, 9 có thể lập được bao nhiêu số lẻ, mỗi số
gồm 4 chữ số khác nhau.
Bài 59. (ĐH khối B 2004) Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10
câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi
khác nhau và nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2.
Bài 60. (ĐH khối B 2005) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao
nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.
Bài 61. (ĐH khối A 2005 dự bị 1) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8.
Bài 62. (ĐH khối B 2005 dự bị 1) Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu
cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người, biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ.
Bài 63. (ĐH khối B 2005 dự bị 2) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên,

mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ số 1, 5.
Bài 64. (ĐH khối D 2006) Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học
sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này
thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
Bài 65. (CĐ GTVT III khối A 2006) Từ một nhóm gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B, 5 học sinh
khối C, chọn ra 15 học sinh sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A và đúng 2 học sinh khối C. Tính số cách chọn.
Bài 66. (CĐ Tài chính – Hải quan khối A 2006) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó chữ số 0
có mặt đúng 2 lần, chữ số 1 có mặt đúng 1 lần và hai chữ số còn lại phân biệt?
Bài 67. (CĐ Xây dựng số 3 khối A 2006) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm hai chữ số khác nhau? Tính
tổng của tất cả các số đó.
Bài 68. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Cho 2 đường thẳng d1, d2 song song với nhau. Trên đường thẳng d1
cho 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 cho 8 điểm phân biệt. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà 3
đỉnh của mỗi tam giác lấy từ 18 điểm đã cho.

Nguyễn Hải Hà 0983325739

13


NHỊ THỨC NEWTON
1/ Nhị thức Newton có dạng

( a + b ) n = C 0n a n + C1n a n −1b + C 2n a n − 2 b 2 + ....... + C kn a n − k b k + ...... + C nna−1 a.b n −1 + C nn b n
n

=

∑C a
k =0

k

n−k

n

bk

(n = 0, 1, 2, 3, 4, . . .)

Các tính chất của nhị thức NewTon
(i)
Số các số hạng trong khai triển nhị thức (a + b)n là n + 1
(ii)
Tổng số mũ của a và b trong từng số hạng của khai triển nhị thức (a + b)n là n
k n−k k
(iii)
Số hạng thứ (k + 1) là C n a b
k n−k k
(iv)
Số hạng bất kỳ trong khai triển (a + b)n là C n a b
2/ Tam giác Pascal

k

Các hệ số C n của lũy thừa (a + b)n với n lần lượt là 0, 1, 2, 3, . . . được sắp thành từng hàng của tam giác sau đây,
gọi là tam giác Pascal:

n=0
n=1

n=2
n=3
n=4
n=5

1
1
1
1
1
1

1
2

3
4

5

3
6

10

1
1

4
1

10 5
1

Các tính chất của tam giác Pascal
(i)

Cn0 = Cnn = 1 các số hạng đầu và cuối mỗi hàng đều là 1

(ii)

Cnk = C nn−k (0 ≤ k ≤ n) Các số hạng cách đều số hạng đầu và cuối bằng nhau

(iii)

Cnk + C nk +1 = C nk++11 (0 ≤ k ≤ n – 1): Tổng hai số hạng liên tiếp ở hàng trên bằng số hạng ở giữa hai số

hạng đó ở hàng dưới
(iv)

Cn0 + C n1 + ...Cnn = (1 + 1) n = 2 n

Chú ý:

(1 + x) n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + Cn3 x 3 + ... + Cnn x n
Khi x = 1 thì

Cn0 + C n1 + Cn2 + Cn3 + ... + Cnn = 2 n

(1 − x) n = Cn0 − Cn1 x + Cn2 x 2 − C n3 x 3 + ... + (−1) n Cnn x n
Khi x = 1 thì

Cn0 − Cn1 + C n2 − Cn3 + ... + (−1) n Cnn = 0

Và

(1 + x) n + (1 − x) n = 2(Cn0 + C n2 x 2 + Cn4 x 4 + ...)
(1 + x) n − (1 − x) n = 2(Cn1 + C n3 x 3 + C n5 x 5 + ...)
TRỰC TIẾP KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON
Bài 1: Khai triển các nhị thức sau:

a/ ( 2a+b)

4

Nguyễn Hải Hà 0983325739

b/ ( x-3y)

5

3

c/  x + 
x


6

14

21

 5
1 
Bài 2: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển của  x +
÷
3 2
x 

43

10

 1
3
Bài 3: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển của  1 + + x ÷
 x

2

29 8

Bài 4: Tìm hệ số của số hạng chứa x

y

25 10

Bài 5: Tìm hệ số của số hạng chứa x

y

(

3
trong khai triển của x − xy

(

)

15

trong khai triển của x + xy
3

)

15

9
Bài 6: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển của ( 1 + x ) + ( 1 + x ) + ... + ( 1 + x )
9

2
8
Bài 7: Tìm hệ số của x trong khai triển của 1 + x ( 1 − x ) 

10

14

8

2
5
Bài 8: Tìm hệ số của x trong khai triển của x ( 1 − 2 x ) + x ( 1 + 3 x )
5

10

n


3 
Bài 9: Cho khai triển  x 3 +
÷ .Biết tổng 3 số hạng đầu tiên trong khai triển bằng 631. Tìm hệ số của số
3 2
x 

5

hạng chứa x .
n


1 
Bài 10: Tìm giá trị của x sao cho trong khai triển của  2 x +
÷ ( n là số nguyên dương ) có số hạng thứ 3

x−1
2


và thứ 5 có tổng bằng 135, còn các hệ số của 3 số hạng cuối của khai triển có tổng bằng 22.
n

n +1
n
 1
5 
Bài 11: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển của  3 + x ÷ biết rằng Cn + 4 − Cn +3 = 7 ( n + 3)
x


8

10

Bài 12: Tìm hệ số của số hạng chứa x

trong khai triển của ( 2 + x ) biết
n

3n Cn0 − 3n −1 Cn1 + 3n −2 Cn2 − 3n −3 Cn3 + ... + ( −1) n Cnn = 2048
n

 1
7
Bài 13: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển của  4 + x ÷ biết

x

1
2
3
n
20
C2 n +1 + C2 n+1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 = 2 − 1 ( x > 0 )
26

9

1 

Bài 14: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của P ( x ) = 1 + 2 x − 2 ÷
x 

7

1 
3
Bài 15: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của  x + 4 ÷
x


( x > 0)
n


1 

Bài 16: Biết tổng hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai triển  x. 3 x +
÷ bằng 79. Tìm số hạng không
15 28
x 

chứa x.
3n

1 

Bài 17: Biết tổng tất cả hệ số của khai triển  2nx +
÷ bằng 64. Tìm số hạng không chứa x.
2nx 2 

Nguyễn Hải Hà 0983325739

15


Bài 18: Tìm số tự nhiên n:

1
1
1
−
=
C4n C5n C6n

.

Bài 19: Tìm số tự nhiên n: Cn + 2Cn + 4Cn + ... + 2 Cn = 243
0

1

2

n

2 n −1

Bài 20: Tìm số tự nhiên n: C2 n + C2 n + ... + C2 n
1

3

n

= 2048

1
2
2 3
3 4
2 n 2 n +1
Bài 21: Tìm số tự nhiên n: C2 n +1 − 2.2C2 n +1 + 3.2 C2 n+1 − 4.2 C2 n+1 + ... + ( 2n + 1) .2 C2 n +1 = 2005
0
2
2
2k

2k
2 n−2 2 n −2
+ C22nn .32 n = 215 ( 216 + 1)
Bài 22: Tìm số tự nhiên n: C2 n + C2 n .3 + ... + C2 n .3 + ... + C2 n .3
Bài 23: Cho khai triển sau:

n

n −1

n

n −1

x
x −1
x −1
x −1
− 
 x2−1

  − 3x 
  − 3x 
0 
1 
n −1 
3
2
2
2

 2 + 2 ÷ = Cn .  2 ÷ + Cn .  2 ÷ .  2 ÷+ ... + Cn .  2 ÷.  2 ÷



 







Biết

Cn3 = 5Cn1

n

 − 3x 
+ C . 2 ÷


n
n

và số hạng thứ 4 bằng 20n. Tìm n và x

Bài 24: Cho khai triển sau: ( 1 + 2 x ) = a0 + a1 x + ... + an x n trong đó n ∈ N * và các hệ số
n

a0 , a1 ,..., an

thoả mãn:

a
a1
+ ... + nn = 4096 .Tìm số lớn nhất trong các số a0 , a1 ,..., an
2
2
An4+1 + 3 An3
2
2
2
2
Bài 25: Tính giá trị của biểu thức: M =
biết Cn +1 + 2Cn + 2 + 2Cn +3 + Cn + 4 = 149
( n + 1) !
Bài 26: Khai triển (3x - 1)16
a0 +

Tính : S =

1
16
316 C160 − 315 C16
+ 314 C162 − ... + C16

Bài 27: Chứng minh
a)

2 n C n0 + 2 n −1 C n1 + 2 n −2 C n2 + ... + C nn = 3n

b)

3n Cn0 − 3n−1 Cn1 + 3n−2 C n2 + ... + (−1) n Cnn = 2 n

Bài 28: Chứng minh

C 20n + 32 C 22n + 34 C 44n + ... + 32 n C nn = 2 2 n−1 (2 2 n + 1)
5

Bài 29: Tìm hệ số đứng trước x trong khai triển biểu thức sau đây thành đa thức:

f(x) = (2x + 1)4 + (2x + 1)5 + (2x + 1)6 + (2x + 1)7
12

Bài 30: Biết rằng tổng các hệ số của khai triển (x2 + 1)n bằng 1024. Hãy tìm hệ số của số hạng chứa x
khai triển trên.
4
Bài 31: Tìm hệ số chứa x trong khai triển (1 + x + 3x2)10
−

trong

28
15

) n hãy tìm số hạng không phụ thuộc x biết rằng
C nn + Cnn−1 + Cnn−2 = 79
3n-3

2
n
n
Bài 33: Gọi a3n-3 là hệ số của x
trong khai triển thành đa thức của (x + 1) (x + 2)
Tìm n để a3n-3 = 26n
Bài 32: Trong khai triển

(x x + x
3

Nguyễn Hải Hà 0983325739

16


Bài 27: Tính tổng:

1Cn0 2Cn1 3Cn2
( n + 1) Cn C 0 +C1 +C 2 =211
H = 1 + 1 + 1 + ... +
n
n
n
A1 A2 A3
An1+1
n

A = C + 2C + 2 C + ... + 2 C
0

n

1
n

2

2
n

n

n
n

B = 1 − 2Cn1 + 22 Cn2 − 23 Cn3 + ... + (− 1) n 2n Cnn

0
1
2
2010
K = C2010
+ 2C2010
+ 3C2010
+ ... + 2011C2010

C = 317.C170 − 41.316 C171 + 42.315 C172 − 43.314 C173 + ... − 417 C1717

J = Cn0 + 2Cn1 + 3Cn2 ... + nCnn −1 + ( n + 1) Cnn

D = C21n + C23n + ... + C22nn −1

E = C20n + C22n + ... + C22nn

I = nCn0 + ( n − 1) Cn1 + ... + Cnn −1

F = 2n Cn0 + 2n − 2 Cn2 + 2n − 4 Cn4 + ...., G = 2n −1 Cn1 + 2n − 3 Cn3 + 2n− 5 Cn5 + ....
Bài 28: Chứng minh rằng:

a ) Cn0 + 2Cn1 + 3Cn2 + ... + ( n + 1) Cnn = ( n + 2 ) 2n− 1

a) Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cnn = 2n
b) Cn0 − Cn1 + Cn2 − ... + ( − 1) Cnk + ... ( − 1) Cnn = 0

b) 2.1Cn2 + 3.2Cn3 + 4.3Cn4 + ... + n ( n − 1) Cnn = n ( n − 1) 2 n − 2

c) Cn0 + 6Cn1 + 62 Cn2 + ... + 6n Cnn = 7 n

c) n.2 n − 1Cn0 + ( n − 1) 2n− 2.3Cn1 + ( n − 2 ) 2n − 3.32 Cn2 + ... + 3n−1Cnn− 1 = n.5n−1

k

n

d ) 3 C + 4 .3 C + 4 .3 C + ... + 4 C = 7
17

0
17

1 16

1
17

2 15

2
17

17

17
17

17

1 1 1 2
1 n 2n + 1 − 1
d ) 1 + Cn + Cn + ... +
Cn =
2
3
n+1
n+1

( − 1) C n = 1
1
1
e) 3 C − 3 C + 3 C − ... + C = 2

e) 1 − Cn1 + Cn2 − ... +
n
2
3
n+1
n+1
1
1
1 
n
n
f ) 2nCn0 + 2n− 1.7Cn1 + 2n− 2.72 Cn2 + ... + 7 n Cnn = 9n
f ) 2Cn0 − .22 Cn1 + .23 Cn2 − ... + ( − 1) 2n + 1 Cnn =
1 + ( − 1) 

2
3
n+ 1
2
3
2 n + 1 n 3n + 1 − 1
n n
0 n
1 n−1
0
1
n
0 2
1 2
2

g ) Cn .3 − Cn .3 + ... + ( − 1) Cn = Cn + Cn + ... + Cn g ) 2Cn + Cn + Cn + ... +
Cn =
2
3
n+1
n+1
n

16

0
16

15

1
16

14

2
16

16
16

16

h) Cn0 .4n − Cn1 .4n − 1 + ... + ( − 1) Cnn = Cn0 + 2Cn1 + 22 Cn2 ... + 2n Cnn
n

k ) C21n + C23n + C25n + ... + C22nn− 1 = C20n + C22n + C24n + ... + C22nn = 22 n− 1

PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
Nguyễn Hải Hà 0983325739

17


IPHÉP THỬ, KHÔNG GIAN MẪU
1/ Phép thử
Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập
hợp tất cả các kết quả có thể của phép thử đó.
2/ Không gian mẫu
Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và
kí hiệu là Ω
IIBIẾN CỐ
Biến cố là một tập con của không gian mẫu
Tập ∅ được gọi là biến cố không thể . Còn tập Ω được gọi là biến cố chắc chắn.
III- PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN CỐ
Tập Ω \A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A
Tập A∪B được gọi là hợp của các biến cố A và B.
Tập A∩B được gọi là giao của các biến cố A và B.
Nếu A ∩B=∅ thì ta nói A và B xung khắc.

Chú ý

A∪B xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra .
A∩B xảy ra khi và chỉ khi A và B đồng thời xảy ra . Biến cố A∩B còn được kí hiệu A.B
A và B xung khắc khi và chỉ khi chúng không khi nao cùng xảy ra.

Bài 1. Gieo một con súc sắc cân đối, đồng chất một lần và quan sát số chấm xuất hiện
a/ Hãy mô tả không gian mẫu.
b/ Hãy xác định các biến cố sau:
A: “ Xuất hiện mặt chẵn chấm”;
B: “Xuất hiện mặt lẻ chấm”;
C: “ Xuất hiện mặt có số chấm không nhỏ hơn 3”
c/ Trong các biến cố trên, hãy tìm các biến cố xung khắc.
Bài 2.Gieo một đồng tiền hai lần .
a/ Hãy mô tả không gian mẫu .
b/ Hãy xác định các biến cố sau
A : “ Lần thứ hai xuất hiện mặt ngửa”
B : “ Kết quả hai lần khác nhau .”
Bài 3. Gieo một đồng tiền ba lần và quan sát sự xuất hiện mặt sấp (S), mặt ngửa (N).
a/Xây dựng không gian mẫu .
b/ Hãy xác định các biến cố sau:
A : “ Lần gieo đầu xuất hiện mặt sấp”;
B : “Ba lần xuất hiện các mặt như nhau”;
C: “ Đúng hai lần xuất hiện mặt sấp”;
D: “Ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”.
Bài 4.Gieo một đồng tiền, sau đó gieo một con súc sắc. Quan sát sự xuất hiện mặt sấp (S), mặt ngửa (N)
của đồng tiền và số chấm xuất hiện trên con súc sắc.
a/ Hãy mô tả không gian mẫu .
b/ Hãy xác định các biến cố sau
A : “ Đồng tiền xuất hiện mặt sấp và con súc sắc xuất hiện mặt chẵn chấm ”
B : “ Đồng tiền xuất hiện mặt ngửa và con súc sắc xuất hiện mặt lẻ chấm ”
C: “ Mặt 6 chấm xuất hiện”
Bài 5. Từ một hộp chứa 3 bi trắng, 2 bi đỏ, lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 bi.
a/ Xây dựng không gian mẫu .
Nguyễn Hải Hà 0983325739

18


b/ Xác định các biến cố sau:
A : “ Hai bi cùng màu trắng”;
B : “Hai bi cùng màu đỏ”;
C: “Hai bi cùng màu ”;
D: “ Hai bi khác màu ”.
c/ Trong các biến cố trên , hãy tìm các biến cố xung khắc, các biến cố đối nhau.

XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
I / ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT
Định nghĩa
Giả sử A biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất

n (A)
là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A)
n ( Ω)
n (A)
Vậy P(A ) =
n (Ω )
hiện. Ta gọi tỉ số

Chú ý
n(A) là số phần tử của A
n( Ω ) là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.
II/ TÍNH CHẤT CỦA XÁC SUẤT
1/ Định lí
a/ P(∅) =0, P( Ω )=1
b/ 0 ≤P(A)≤1, với mọi biến cố A

c/ Nếu A và B xung khắc thì P( A ∪ B ) = P(A)+P(B)
Hệ quả
Với mọi biến cố A, ta có P A = 1 − P( A)
III/ CÁC BIẾN CỐ ĐỘC LẬP, CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT
A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P(AB)=P(A).P(B)

( )

Bài 1. Từ một hộp chứa 4 quả cầu ghi chữ T, 3 quả cầu ghi chữ Đ và 1 quả cầu ghi chữ H. Tính xác suất
của các biến cố sau
a/ Lấy được quả cầu ghi chữ T
b/ Lấy được quả cầu ghi chữ Đ
c/ Lấy được quả cầu ghi chữ H
Bài 2. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của các biến cố sau
A: “ Mặt lẻ xuất hiện”
B: “Xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3”
C: “Xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 2”.
Bài 3. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc hai lần
a/ Hãy mô tả không gian mẫu.
b/ Hãy xác định các biến cố sau
A: “ Lần đầu xuất hiện điểm 6”
B:” Tổng điểm của hai lần là 4”
c/ Tính P(A) và P(B).
Bài 4. Gieo một đồng tiền ba lần
a/ Hãy mô tả không gian mẫu
Nguyễn Hải Hà 0983325739

19

b/ Hãy tính xác suất của các biến cố sau
A: “ Lần đầu xuất hiện mặt sấp”
B: “ Lần thứ hai xuất hiện mặt ngửa”
Bài 5. Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Tính xác suất để thẻ được lấy
ghi số
a/ Chẵn;
b/ Chia hết cho 3;
c/ Lẻ và chia hết cho 3.
Bài 6. Một tổ có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên hai người. Tìm xác suất sao cho trong hai người đó:
a/ Cả hai đều là nữ;
b/ Không có nữ nào;
c/ Ít nhất một người là nữ;
d/ Có đúng một người là nữ.
Bài 7. Một hộp chứa 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10, 20 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 20.
Lấy ngẫu nhiên một quả. Tìm xác suất sao cho quả được chọn:
a/ Ghi số chẵn;
b/ Màu đỏ;
c/ Màu đỏ và ghi số chẵn;
d/ Màu xanh hoặc ghi số lẻ.
Bài 8.Gieo hai đồng xu cân đối một cách độc lập .Tính xác suất để :
a/ Cả hai đồng xu đều sấp .
b/ Có ít nhất một đồng xu sấp.
c/ Có đúng một đồng xu ngửa.
Bài 9. Một hộp đèn có 12 bóng, tróng đó có 7 bóng tốt các bóng còn lại là bóng xấu ( kém chất lượng )
.Lấy ngẫu nhiên 3 bóng đèn .Tính xác suất để lấy được ít nhất 2 bóng tốt.
Bài 10. Có 2 bình, mỗi bình chứa 3 viên bi chỉ khác nhau về màu.Một bi xanh, một bi vàng, một bi đỏ .
Lấy ngẫu nhiên mỗi bình một viên bi .Tính xác suất để được hai viên bi khác màu.
Bài 11.Trong một hộp có 20 quả cầu giống nhau gồm 12 quả trắng và 8 quả màu đen .
1/ Tính xác suất để khi lấy bất kì 3 quả cầu có đúng 1 quả màu đen .
2/ Tính xác suất để khi lấy bất kì 3 quả có ít nhất 1 quả màu đen . ( ĐHNNHN/96)

Bài 12.Một bình đựng 5 viên bi xanh , 3 viên bi vàng , 4 viên bi trắng chỉ khác nhau về màu .Lấy ngẫu
nhiên 3 viên bi .Tính xác suất các biến cố sau :
1/ A : Lấy được 3 bi xanh .
2/ B : Lấy được ít nhất 1 bi vàng .
3/ C : Lấy được 3 viên bi cùng màu . (ĐHNN1HN/96)
Bài 13.Một hộp có 20 viên bi , trong đó có 12 viên bi màu đỏ và 8 viên bi màu xanh .Lấy ngẫu nhiên 3
viên bi .Tìm xác suất để :
a/ Cả 3 viên bi đều màu đỏ ;
b/ Cả 3 viên bi đều màu xanh ;
c/ Có ít nhất một viên bi màu đỏ . ( ĐHCS KC/97)
Bài 14. Trong một hộp có 12 bóng đèn giống nhau , trong đó có 4 bóng hỏng .Lấy ngẫu nhiên 3 bóng
.Tính xác suất để :
a/ Được 3 bóng tốt .
b/ Được 3 bóng hỏng .

c/ Được đúng 1 bóng tốt . (ĐHAN tpHCM99)
d/ Được ít nhất 1 bóng tốt .
Nguyễn Hải Hà 0983325739

20


Bài 15.Một đợt xổ số phát hành 20 .000 vé trong đó có 1 giải nhất , 100 giải nhì , 200 giải ba , 1000 giải
tư và 5000 giải khuyến khích . Tìm xác suất để một người mua 3 vé , trúng 1 giải nhì và hai giải khuyến
khích . (ĐHGTVT/ 97)
Bài 16.Một hộp đựng 6 viên bi xanh , 4 viên bi đỏ có kích thước và trọng lượng như nhau .Lấy ngẫu nhiên
5 viên bi . Tìm xác suất để lấy được ít nhất 3 viên bi đỏ . ( ĐHDL KTCN99)
Bài 17.Một hộp đựng 10 viên bi xanh ,trong đó có 6 viên bi màu xanh và 4 viên bi màu .Lấy ngẫu nhiên 3
viên bi . Tìm xác suất để trong 3 viên bi lấy ra có
a/ Cả 3 viên đều là màu xanh .

b/ Ít nhất 1 viên bi màu xanh . ( CĐSPthHCM99)
Bài 18. Ngân hàng đề thi có 100 câu hỏi . Mỗi đề thi có 5 câu .Một học sinh thuộc 80 câu .tìm xác suất để
học sinh đó rút ngẫu nhiên được 1 đề thi trong đó có 4 câu hỏi mình đã học thuộc .
Bài 19.Trong 100 vé số có 1 vé trúng 10000 đồng , 5 vé trúng 5 000đồng và 10 vé trúng 1000đồng . Một
người mua ngẫu nhiên 3 vé .Tính xác suất các biến cố :
a/ Người đó trúng 3000 đồng .
b/ Người đó trúng ít nhất 3 000 đồng .

Nguyễn Hải Hà 0983325739

21