Giải hình học phẳng bằng phương pháp tọa độ (tác giả nguyễn minh tân)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƢNG YÊN
TRƢỜNG THPT DƢƠNG QUẢNG HÀM

- - - - - - - - -


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GIẢI HÌNH HỌC PHẲNG BẰNG
PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

Môn: Toán
Tác giả: NGUYỄN MINH TÂN

Năm học 2013-2014
Nguyễn Minh Tân – GV – THPT Dương Quảng Hàm

Trang 1


SƠ YẾU LÝ LỊCH

Tác giả: Nguyễn Minh Tân
Chức vụ: Giáo viên môn Toán
Đơn vị công tác: Trường THPT Dương Quảng Hàm
Tên đề tài: GIẢI HÌNH HỌC PHẲNG BẰNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

Nguyễn Minh Tân – GV – THPT Dương Quảng Hàm

Trang 2

MỤC LỤC
Trang
A. Phần mở đầu

1-2

1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
4. Giả thuyết khoa học
5. Đối tượng nghiên cứu
6. Giới hạn của đề tài
7. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
B. Phần nội dung
I. Cơ sỏ lý thuyết

3-5

1. Các nguyên tắc cần lưu tâm khi giải bài toán hình học phẳng
2. Hình thành hệ trục tọa độ trong mặt phẳng
3. Các bài toán thường gặp khi sử dụng công cụ tọa độ
II. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1 đến ví dụ 11

6 -19

III. Kết quả áp dụng đề tài

20

C. Kết luận và khuyến nghị

21

Nguyễn Minh Tân – GV – THPT Dương Quảng Hàm

Trang 3


A. PHẦN MỞ ĐẨU
1. Lý do chọn đề tài
- Trong các kì thi chọn học sinh giỏi các tỉnh, kì thi chọn học sinh giỏi quốc
gia, kì thi Olimpic quốc tế các bài toán về hình học phẳng là bài toán khó gây ra
sự trăn trở cho người làm toán. Vì vậy việc tìm hiểu và tường minh một giải pháp
tốt là kì vọng của rất nhiều giáo viên và học sinh.
- Sử dụng công cụ tọa độ mà học sinh THPT đã được học ở lớp 10 là một giải
pháp tốt có thể đem lại hiệu quả cao. Những câu hỏi rất tự nhiên được đặt ra là
khi nào ta dùng phương pháp tọa độ, dấu hiệu nào, đặc điểm nào của bài toán mà
ta có thể vận dụng phương pháp tọa độ. Với mỗi bài toán, việc xây dựng hệ trục
tọa độ được hình thành qua những công đoạn nào. Liệu rằng có thể xác lập được
một nguyên tắc chung với các bước thực hiện có trình tự trong việc vận dụng
công cụ tọa độ hay không.
- Với những lý do trên tôi lựa chọn đề tài: GIẢI HÌNH HỌC PHẲNG BẰNG
PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ nhằm nâng cao hiệu quả dạy và học môn Toán học

trong trường THPT Dương Quảng Hàm.
2. Mục tiêu nghiên cứu
- Bằng kinh nghiệm của bản thân tôi cố gắng giải đáp những câu hỏi đã đặt
ra với mong nuốn góp một phần suy nghĩ bé nhỏ của mình để cùng các thầy cô

và các em học sinh có cách nhìn nhiều chiều về một bài toán.
- Hình thành lượng kiến thưc thiết yếu, nền tàng làm cơ sở cho giải pháp sử
dụng công cụ tọa độ.
- Xây dựng nguyên tắc xác định hệ trục tọa độ Đêcác vuông góc tương ứng
với mỗi loại hình.

Nguyễn Minh Tân – GV – THPT Dương Quảng Hàm

Trang 4


- Khám phá, phân tích các bài giải nhằm hoàn thiện kiến thức kiến thức, hiểu
các bài toán một cách thấu đáo và có chiều sâu.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu cơ sở lý luận của việc ứng dụng phương pháp tọa độ vào các
bài toán hình học phẳng.
Nghiên cứu các bài tập hình học phẳng có kiểm chứng bằng phần mềm vẽ
hình chuyển động.
4. Giả thuyết khoa học
Tổ chức hoạt động dạy học Toán với việc ứng dụng phương pháp tọa độ
sẽ tích cực hóa hoạt động nhận thức của HS góp phần nâng cao chất lượng dạy
học ở trường phổ thông.
5. Đối tƣợng nghiên cứu
Các bài toán hình học phẳng trong các đề thi học sinh giỏi quốc gia, học
sinh giỏi các tỉnh...
Đội tuyển học sinh giỏi của trường THPT Dương Quảng Hàm
6. Giới hạn của đề tài
Chỉ nghiên cứu một số bài tập hình học phẳng trong các đề thi học sinh
giỏi, áp dụng được phương pháp tọa độ vào các bài tập hình học phẳng cho
HS theo hướng tích cực, tự lực, chủ động sáng tạo.

7. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Góp phần làm phong phú phương pháp giải toán cho học sinh phổ thông
Đề tài có thể áp dụng dạy cho đội tuyển học sinh giỏi

Nguyễn Minh Tân – GV – THPT Dương Quảng Hàm

Trang 5


B. PHẦN NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Các nguyên tắc cần lƣu tâm khi giải bài toán hình học phẳng bằng phƣơng
pháp tọa độ
+ Chọn hệ trục tọa độ
- Gốc tọa độ, trục tọa độ thường gắn liền với điểm và đường đặc biệt của
bài toán như : tâm đường tròn, đỉnh góc vuông, trung điểm của đoạn
thẳng, chân đường cao
+ Chuyển đổi ngôn ngữ từ yếu tố hình học sang ngôn ngữ tọa độ
- Chuẩn hóa độ dài các đoạn thẳng và đơn vị trục
- Xác định tọa độ điểm, phương trình các các đường theo hướng hạn chế
tới mức thấp nhất việc sử dụng tham số và tính toán cồng kềnh phức tạp,
giúp bài toán trở thành đơn giản.
+ Khai thác các tính chất và các phép toán liên quan đến véc tơ và tọa độ như :
- Điều kiện để 2 véc tơ vuông góc
- Điều kiện để 2 véc tơ cùng phương
- Tính khoảng cách theo tọa độ
- Tính số đo góc...
+ Với việc sử dụng phương pháp tọa độ ta đã đại số hóa hình học, biến những
quan hệ thuần túy trong hình học sang yếu tố về lượng, chính vì thế cơ hội giải
được bài cao hơn, có định hướng hơn, điều này rất quan trọng trong việc giảng dạy

và học tập.

Nguyễn Minh Tân – GV – THPT Dương Quảng Hàm

Trang 6


2. Hình thành hệ trục tọa độ trong mặt phẳng.
+ Bài toán đơn giản hay không, phần lớn phụ thuộc vào việc hình thành hệ trục tọa
độ và đơn vị trục
+ Sau đây là cách chọn hệ trục tọa độ tương ứng với những loại hình đơn giản và
thường gặp
Đoạn thẳng AB:
+ Ta chọn hệ trục tọa độ Axy, B thuộc tia Ax, chọn AB = 1, A(0;0), B(1; 0) hoặc
chọn hệ trục Ixy với I là trung điểm của AB, B thuộc truc hoành.
Tam giác cân, đều
+ Trường hợp tam giác ABC cân tại A ta thường xây dựng hệ trục tọa độ như sau :
Hạ đường cao từ AO của tam giác ABC, O là trung điểm của BC. Chọn hệ trục
Oxy trong đó O là gốc, đỉnh C thuộc tia Ox, đỉnh A thuộc tia Oy, chuẩn hóa độ
dài : đặt OC = c, OA = a từ đó ta tính được tọa độ các đỉnh còn lại.
Hình vuông ABCD
+ Chọn hệ trục tọa độ Đêcác vuông góc Axy với B thuộc tia Ax, D thuộc tia Ay,
chuẩn hóa độ dài cạnh hình vuông là 2 từ đó ta tính được tọa độ các đỉnh còn lại.
Hình chữ nhật ABCD
+ Chọn một đỉnh của hình chữ nhật làm gốc tọa độ, hai cạnh liên tiếp của hình chữ
nhật nằm trên 2 trục tọa độ, chuẩn hóa độ dài 2 cạnh của hình chữ nhật là 2a, 2b
Hình thoi
+ Chọn hệ trục là 2 đường chéo của hình thoi, tâm của hệ trục là tâm của hình thoi,
chuẩn hóa độ dài cạnh: gọi độ dài 2 đường chéo là 2a, 2b từ đó ta tính được tọa độ
các đỉnh còn lại

Nguyễn Minh Tân – GV – THPT Dương Quảng Hàm

Trang 7


Đƣờng tròn
+ Tâm của đường tròn là gôc O, trục Ox là 1 đường kính, trục Oy là đường kính
vuông góc với Ox tại O, chuẩn hóa bán inh R =1
Các loại hình khác
Tùy từng bài cụ thể ta chọn hệ trục tọa độ cho hợp lý, không nên cứng nhắc trong
việc chọn hệ trục, có thể chọn những hệ trục mà chỉ có trục hoành không cần đến
trục tung mà ta vẫn giải được bài tập...
3. Các bài toán thƣờng gặp khi sử dụng công cụ tọa độ
+ Bài toán về tìm tập hợp điểm
+Bài toán chứng minh đường thẳng đi qua 1 điểm cố đinh
+Bài toán chứng minh đường tròn tiếp xúc với 1 đường thẳng cố định
+Bài toán chứng minh đường thẳng tiếp xúc với 1 đường tròn cố định
+Bài toán chứng minh các điểm thẳng hàng
+Bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc
+Bài toán chứng minh hai đường thẳng song song

Nguyễn Minh Tân – GV – THPT Dương Quảng Hàm

Trang 8


II. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. ( VMO – 2007 )
Cho ABC có hai đỉnh B, C cố định và đỉnh A thay đổi. Gọi H vâ G lần lượt
là trực tâm và trọng tâm của ABC. Tìm tập hợp điểm A, biết rằng trung điểm K

của HG thuộc đường thẳng BC.
Giải
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxy với O là trung
điểm BC và trục Ox là đường thẳng BC.
Đặt BC = 2a > 0. Khí đó các đỉnh B, C
có tọa độ là B( a, 0), C(a, 0).
+ Giả sử A( x0; y0) ( đk y0

0). Khi đó tọa

độ trực tâm H là nghiệm của hpt :

+ Vậy tọa độ H(x0;

), G(

).

+ Tọa độ trung điểm M của HG là

+ Điểm M thuộc đường thẳng BC ↔

( y0
+ Vậy tập hợp điểm A là hypebol

0 ).
trừ hai điểm B, C

Nhận xét : Bài toán trên sử dụng phương pháp tọa độ rất hiệu quả, trục Ox chính
là đường thẳng BC, trục Oy là trung trực của BC. Tìm tọa độ trực tâm H và trọng

tâm G rất đơn giản và thuận lợi từ đó ta tìm được tập hợp điểm A một cách đơn
giản.
Nguyễn Minh Tân – GV – THPT Dương Quảng Hàm

Trang 9


Ví dụ 2:
Cho ∆ABC có B, C cố định, A thay đổi. Tìm tập hợp điểm A sao cho trung
điểm của HI nằm trên đường thẳng BC với H, I lần lượt là trực tâm và tâm đường
tròn ngoại tiếp ∆ ABC.
Giải
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxy với O là trung
điểm BC và trục Ox là đường thẳng BC.
Đặt BC = 2a > 0. Khí đó các đỉnh B, C
có tọa độ là B( a, 0), C(a, 0).
+ Giả sử A( x0; y0) ( đk y0 0). Khi đó
tọa độ trực tâm H là nghiệm hpt :

+ Vậy tọa độ H(x0;

), G(

).

+ Tọa độ trung điểm M của HI là
. Khi đó M(

).

+ Điểm M thuộc đường thẳng BC

(y0
+ Vậy tập hợp điểm A là

0 ).

trừ hai điểm B, C

Nhận xét : Bài toán trên sử dụng phương pháp tọa độ rất hiệu quả, trục Ox chính
là đường thẳng BC, trục Oy là trung trực của BC. Khó nhất của bài toán này là tìm
tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tìm tọa độ điểm M trung điểm
của HI, điều đó được tìm như sau :
có

từ đó ta tính được

Nguyễn Minh Tân – GV – THPT Dương Quảng Hàm

, M là trung điểm của HI khi đó ta
.
Trang 10


Ví dụ 3.
Cho ABC có hai đỉnh B, C cố định và đỉnh A thay đổi. Qua B dựng đường
thẳng d vuông góc với BC, d cắt trung tuyến AO của ABC tại K. Gọi H là trực
tâm của ABC. Tìm tập hợp điểm A, biết rằng HO song song với KC.
Giải
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxy với O là trung

điểm BC và trục Ox là đường thẳng BC.
Đặt BC = 2a > 0. Khí đó các đỉnh B, C
có tọa độ là B( a, 0), C(a, 0).
+ Giả sử A( x0; y0) ( đk y0 0). Khi đó
tọa độ trực tâm H là nghiệm của hpt :
.
Vậy tọa độ H(x0;

)

+ Đường thẳng (d) qua B vuông góc với
BC: (d): x = - a.
+ Phương trình AO: y0.x – x0y = 0
+ AO cắt (d) tại K vì vậy x0
+

0. Tọa độ K(

a;

)

.

+ Do KC song song với OH nên ta có :

+ Vậy tập hợp điểm A là elíp

trừ các đỉnh của elíp

Nhận xét : Bài toán trên sử dụng phương pháp tọa độ rất hiệu quả, trục Ox chính
là đường thẳng BC, trục Oy là trung trực của BC. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại rất
đơn giản và thuận lợi từ đó ta tìm được tập hợp điểm A.
Nguyễn Minh Tân – GV – THPT Dương Quảng Hàm

Trang 11


Ví dụ 4 : ( Đề do Hưng Yên đề nghị - kì thi HSG Duyên hải Bắc Bộ lần 1)
Cho tam giác ABC cố định. MNPQ là hình chữ nhật thay đổi sao cho M, N
thuộc đường thẳng BC, P thuộc cạnh AC, Q thuộc cạnh AB. Tìm tập hợp tâm của
các hình chữ nhât MNPQ
Giải :
+ Chọn hệ Oxy sao cho O là chân đường
cao của tam giác ABC, A Oy, B, C
thuộc trục hoành, chiều dương của trục
hoành từ B đến C.
+ Giả sử A(0; a), a > 0, B(b; 0), C(c, 0).
, ( 0 < p < 1).
+ Có

+ Có
+ I là trung điểm của QN
 Nếu

. Do p

cân tại A khi đó

(0; 1)

khi đó tập hợp I thuộc đoạn KO với

K là trung điểm OA và I K, I O.
 Nếu
không cân tại A ta có :

 Hay tập hợp I thuộc
hoành tại

,

, I thuộc đoạn KJ và I

cắt trục tung tại
K, I

,

cắt trục

J.

Kết luận : Tập hợp tâm I của hình chữ nhật MNPQ là đoạn KJ bỏ hai đầu mút,
với K là trung điểm của đoạn AO, J thuộc BC cụ thể như sau :
+ Nếu C

900 thì J nằm giữa O, B :

+ Nếu B

900 thì J nằm giữa O, C :

+ Nếu B < C < 900 thì J nằm giữa O, B :
+ Nếu C < B < 900 thì J nằm giữa O, C :
Nguyễn Minh Tân – GV – THPT Dương Quảng Hàm

Trang 12


Ví dụ 5 :
Trong mặt cho hai điểm A, B cố định, điểm C thay đổi trên nửa mặt phẳng
bờ AB dựng về phía ngoài ∆𝐴𝐵𝐶 các hình vuông ACED, BCFG. Chứng minh rằng
DG luôn đi qua một điểm cố định khi C thay đổi.
Giải
+ Giả sử AB = 2a ( a > 0 ). Chọn hệ
trục tọa độ Oxy với gốc O là trung điểm
cạnh AB, trục Ox trùng với đường
thẳng AB, trục Oy là trung trực của AB.
+ Từ giả thiết ta có : A(− a; 0); B(a; 0);
C(m, n ) với đk n > 0;
+ Tìm tọa độ điểm D. Đổi hệ trục tọa độ
Oxy sang hệ trục AXY bằng công thức

𝑥 =𝑋−𝑎
khi đó điểm tọa độ điểm C(m + a; n) điểm D(- n; m + a) trong AXY.
𝑦=𝑌
+ Tọa độ điểm D(- n –a; m+a) trong Oxy.
+ Tìm tọa độ điểm G. Đổi hệ trục tọa độ Oxy sang hệ trục BXY bằng công thức
𝑥 =𝑋+𝑎

khi đó điểm tọa độ điểm C(m - a; n) điểm G(n; a – m ) trong AXY.
𝑦=𝑌
+ Tọa độ điểm G(n + a; a – m ) trong Oxy. Pt: DG: mx + (n + a)( y – a ) = 0
+ Tìm điểm cố định của DG: mx + (n + a)( y – a ) = 0 đúng với mọi m, n
↔x = 0, y = a.
+ Vậy điểm cố định là điểm H(0; a).
Kết luận : Điểm cố định mà DG đi qua là điểm H, H nằm trên trung trực của AB,
H cách AB một đoạn là a =

𝐴𝐵
2

.

Nhận xét : Bài toán trên sử dụng phương pháp tọa độ rất hiệu quả, trục Ox chính
là đường thẳng AB, trục Oy là trung trực của AB. Cái khó là tìm tọa độ các điểm
còn lại, tìm tọa độ các điểm còn lại ta vận dụng phép đổi hệ trục tọa độ và dùng
tính chất của phép quay, từ đó ta sẽ tìm được điểm cố định của bài toán

Nguyễn Minh Tân – GV – THPT Dương Quảng Hàm

Trang 13


Ví dụ 6 : Cho ∆𝐴𝐵𝐶 cân tại A. Xét điểm D trên cạnh AB và điểm E trên cạnh BC
𝐵𝐶
sao cho hình chiếu DE trên BC có độ dài . Chứng minh rằng đường vuông góc
2
với DE tại E luôn đi qua 1 điểm cố định.
Giải

+ Giả sử cạnh BC có độ dài là 2a ( a > 0 ) và
chiều cao AH có độ dài là h ( h > 0 ).
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxy với gốc O là
trung điểm cạnh BC, trục Ox trùng với
đường thẳng BC, trục Oy là trung trực của
BC. Từ giả thiết ta có B( − a; 0); C(a;0);
A(0; h).
+ PT cạnh AB:

𝑥
−𝑎

𝑦

+ = 1.
ℎ

+ K(m; 0) với – 𝑎 ≤ 𝑚 ≤ 0.
𝑚

+ K là hình chiếu vuông góc của D trên BC. Khi đó tọa độ 𝐷(𝑚; ℎ(1 + ))
𝑎

do KE = a vì vậy E(m + a; 0).
+ Đường thẳng ∆: 𝑎 𝑥 − 𝑚 − 𝑎 − ℎ 1 +

𝑚
𝑎

𝑦=0

+ Tìm điểm cố định của ∆ : PT ( ∆) ↔ 𝑎𝑥 − 𝑎2 − ℎ𝑦 = 𝑚. (𝑎 +
khi và chỉ khi 𝑦 = −

𝑎2
ℎ

ℎ𝑦
𝑎

) đúng ∀𝑚

và 𝑥 = 0.

+ Vậy điểm cố định mà (∆) luôn đi qua là điểm 𝐺(0; −

𝑎2
ℎ

)

Kết luận : Điểm cố định mà (∆) đi qua là điểm G, G nằm trên trung trực của BC,
G cách BC một đoạn là

𝑎2
ℎ

với a =

𝐵𝐶

2

và h là chiều cao ứng với đỉnh A, G và A

khác phía đối với đường thẳng BC.
Nguyễn Minh Tân – GV – THPT Dương Quảng Hàm

Trang 14


Ví dụ 7 ( VMO 2008 )
Cho
, trung tuyến AD. Một đường thẳng d vuông góc với AD. Xét M
thuộc d. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của MC, MB. Đường thẳng qua E vuông
góc với d cắt AB tại P, đường thẳng qua F vuông góc với d cắt AC tại Q. Chứng
minh rằng đường thẳng qua M vuông góc với PQ luôn đi qua một điểm cố định,
khi M thay đổi trên d.
Giải :
+ Không mất tính tổng quát ta xét đường thẳng d vuông góc với AD tại D. Chọn hệ
trục Dxy như hình vẽ sao cho A(0; a), C(2m;2n), M(2x0,0). Do D là trung điểm của
BC nên B(-2m,- 2n). Từ đó ta có :
AB: (2n + a).x – 2m.y + 2ma = 0
AC: (2n - a).x – 2m.y + 2ma = 0

Đường thẳng qua M vuông góc với PQ có
phương trình :

Khử tham số x0 ta được đường thẳng này luôn đi qua
Nhận xét : Đây là bài toán tương đối khó. Tất nhiên, giải pháp tốt nhiều học sinh
nghĩ đến là sử dụng phương pháp tọa độ. Tuy nhiên, việc chọn hệ trục tọa độ

không tốt, sẽ dẫn đến việc tính toán khá cồng kềnh, vất vả. Ý tưởng chọn D làm
gốc, A, D nằm trên trục tung là một ý tưởng tốt, sẽ lợi dụng được B, C đối xứng
qua gốc, đường thẳng d cùng phương với trục hoành.

Nguyễn Minh Tân – GV – THPT Dương Quảng Hàm

Trang 15


Ví dụ 8:
Cho hình vuông ABCD. E là trung điểm của BC. M là điểm di động trên
cạnh AB. Gọi N, P lần lượt là giao điểm của MD và MC với AE. Gọi H là giao
điểm của NC và DP. I là giao điểm của đường trung trực của đoạn thẳng DH với
đường thẳng vuông góc với AH tại H. Chứng minh rằng khi M di động trên cạnh
AB thì I di động trên một đường cố định.
Giải :
+ Chọn hệ trục tọa độ Axy,
+ Giả sử AB = 1; AM = m ( 0 < m < 1).
Tọa độ các điểm A(0; 0), B( 1; 0),
C(1;1); D(0; 1); E(1; ); M(m, 0).
+ Phương trình AE : 2y = x
+ Phương trình MD : my + x = m;
+ Tọa độ
+ Phương trìnhMC : (m – 1)y + x = m;
+ Tọa độ
+ Phương trình NC : (m – 2)y + 2x = m.
+ Phương trình DP : 2m.y + x = 2m
+ Tọa độ
+ Ta thấy H luôn thuộc đường thẳng cố định 4y = 3x. D là một điểm cố định và
ID = IH ( vì I thuộc đường trung trực DH ) nên I di động trên Parabol cố định nhận

đường thẳng 4y = 3x làm đường chuẩn và D là tiêu điểm )
Nhận xét : Việc sử dụng phương pháp tọa độ ở bài toán này thật đơn giản và rõ
ràng. Từ kết quả
ta tìm được tập hợp H thuộc đường thẳng cố định
(d) 3x – 4y = 0. Mặt khác A thuộc (d) và ID = IH = d(I, (d)), từ đó ta đi đến kết
luận bài toán. Tuy nhiên việc phát hiện được Parabol không phải dễ dàng khi dùng
phương pháp khác, đó là cái hay của phương pháp tọa độ.

Nguyễn Minh Tân – GV – THPT Dương Quảng Hàm

Trang 16


Ví dụ 9:
Cho tam giác ABC có đường cao CH, I, K là trung điểm của AB, CH.
Đường thẳng (d) di động luôn song song với AB cắt cạnh AC tại M, cạnh BC tại N.
Dựng hình chữ nhật MNPQ ( P, Q thuộc đường thẳng AB). J là tâm của hình chữ
nhật. Chứng minh rằng I, J, K thẳng hàng.
Giải:
+ Chọn hệ Hxy sao cho H là chân
đường cao của tam giác ABC,
C
Oy, A, B thuộc trục hoành, chiều dương
của trục hoành từ A đến B.
+ Giả sử C(0; a), a > 0, B(b; 0),
0).
, ( 0 < p < 1).

A(c,

+

+ Có
+ J là trung điểm của MP

.

+ K là trung điểm của CH
+ I là trung điểm của AB
+ Phương trình KI :

.

+ Rõ ràng J thuộc đường thẳng KI

I, K, J thẳng hàng.

Nhận xét : Việc sử dụng phương pháp tọa độ ở bài toán này thật đơn giản và rõ
ràng. Sau khi chọn được hệ trục tọa độ ta thấy việc chứng minh bài toán quá đơn
giản không hề phức tạp chút nào.
Nguyễn Minh Tân – GV – THPT Dương Quảng Hàm

Trang 17


Ví dụ 10:
Cho tam giác ABC đều, lấy M tùy ý trên cạnh BC. Gọi R là điểm đối xứng
của M qua AB. P là điểm đối xứng của M qua AC. Gọi Q là đỉnh thứ 4 của hình
bình hành RMPQ. Chứng minh rằng AQ // BC.
Giải:

+ Gọi I là trung điểm cạnh BC.
+ Chọn hệ trục Ixy, giả sử BC = 2a,
( a > 0), IM = m ( m > 0). Ta có tọa
độ I(0; 0), C(a; 0); B(-a; 0);
M(- m; 0), A(0;

)

+ Pt AB :
+Pt AC :
+

;

𝐴𝑀(−𝑚; −𝑎 3 )

+
+ Từ đó ta tính được

AQ//BC

Nhận xét: Việc chọn hệ trục tọa độ và tọa độ hóa bài toán trên rất đơn giản và để
chứng minh AQ // BC ta chỉ việc đi xét tọa độ của 2 véc tơ

và

là bài toán

được chứng minh.

Nguyễn Minh Tân – GV – THPT Dương Quảng Hàm

Trang 18


Ví dụ 11:
Cho tam giác ABC và D là chân đường cao hạ từ A. Gọi E và F là các điểm
trên đường thẳng qua D sao cho AE ⊥ BE, AF ⊥ CF và E, F không trùng với D.
Giả sử M và N là các trung điểm tương ứng của BC và EF. Chứng minh rằng
AN ⊥ NM.
Giải :
Cách 1:
+ Đặt DA = a; DB = b; DC = c
( a, b, c > 0).
+ Chọn hệ trục tọa độ Dxy sao cho C
thuộc tia Ox, A thuộc tia Oy. Ta có
D(0;0); C(c;0); B(- b; 0); A(0; a).
+ Giả sử E(x; y) ( đk x, y ≠ 0)
𝑐−𝑏

+ F(m; n) ( đk m, n ≠ 0). M(
N(

𝑥+𝑚 𝑦+𝑛
2

;

2

2

; 0);

).

+ 𝐴𝐸 (𝑥; 𝑦 − 𝑎); 𝐵𝐸 (𝑥 + 𝑏; 𝑦)
+ Từ gt ta có : x(x + b) + y(y – a ) = 0

(1)

+ 𝐴𝐹 (𝑚; 𝑛 − 𝑎); 𝐶𝐹 (𝑚 − 𝑐; 𝑛) từ gt ta có : m(m – c ) + n(n – a ) = 0

(2)

+ 𝐷𝐸 (𝑥; 𝑦); 𝐷𝐹 (𝑚; 𝑛). Vì D, E, F thẳng hàng ta có : nx = my (3)
+ Từ (1) (2) (3) ta có hệ :
+ Ta có 𝐴𝑁(

𝑥+𝑚 𝑦+𝑛−2𝑎
2

;

2

𝑚 𝑥+𝑏 + 𝑛 𝑦−𝑎 =0
𝑥 𝑚−𝑐 +𝑦 𝑛−𝑎 = 0
); 𝑀𝑁

𝑥+𝑚−𝑐+𝑏 𝑦+𝑛
2

;

2

+ 4𝐴𝑁. 𝑀𝑁 = 𝑥 + 𝑚 𝑥 + 𝑏 + 𝑚 − 𝑐 + 𝑦 + 𝑛 𝑦 − 𝑎 + 𝑛 − 𝑎 = 0
+ Vậy AN ⊥ MN ( điều phải chứng minh )
Nguyễn Minh Tân – GV – THPT Dương Quảng Hàm

Trang 19


Cách 2:
+ Chọn hệ trục tọa độ Axy với Ax song
song với EF.
+ Ta có A(0;0); D(d; h); E(e, h); F(f, h);
𝑒+𝑓

𝑁(

2

; ℎ);

+ Pt BE : e(x – e) + h(y – h) = 0;
Pt BC : d(x – d) + h(x – h) = 0 .
ℎ−𝑑𝑓

+ Tọa độ B(d + e;

ℎ

);

Pt CF: f(x-f) + h(y – h) = 0.
+Tọa độ C(d+f;

ℎ−𝑑𝑓
ℎ

). M trung điểm BC. Tính 𝐴𝑁 . 𝑀𝑁 = 0 ( đpcm )

Nhận xét : Đây là bài toán tương đối khó. Tất nhiên, giải pháp tốt nhiều học sinh
nghĩ đến là sử dụng phương pháp tọa độ. Tuy nhiên, việc chọn hệ trục tọa độ
không tốt, sẽ dẫn đến việc tính toán khá cồng kềnh, vất vả.
Ví dụ 12 Cho tam giác ABC đều, M là trung điểm của cạnh AC, N là điểm sao
1
cho 𝐴𝑁 = 𝐴𝐵 . Xác định vị trí điểm I trên đường thẳng BC sao cho 𝐼𝑁𝑀 = 900
3

Giải
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxy với O là
trung điểm của BC
+ Giả sử AB = BC = CA = 2a
( a > 0). Tọa độ các điẻm O(0;0),
C(a; 0); B(-a; 0), A(0; 𝑎 3)
𝑎 𝑎 3

𝑀( ;
2

2

𝑎 2𝑎 3

); 𝑁(− ;
3

3

).

𝑎

2𝑎 3

3

3

+ Gọi I(x; 0), 𝐼𝑁(− − 𝑥;
𝑀𝑁 (−

5𝑎 𝑎 3
6

;

6

)

).

Nguyễn Minh Tân – GV – THPT Dương Quảng Hàm

Trang 20


+ 𝐼𝑁 . 𝑀𝑁 = 0 ↔ 𝑥 = −
→ 𝐵𝐼

4
15

11
15

𝑎→𝐼 −

𝑎; 0 ; 𝐵𝐶 2𝑎; 0 → 𝐵𝐼 =

Vậy điểm I xác đinh bởi 𝐵𝐼 =

2
15

11

15

2
15

𝑎; 0

𝐵𝐶 .

𝐵𝐶

Nhận xét : Với cách giải trên việc sử dụng phương pháp tọa độ cũng rất đơn giản,
việc tìm tọa độ điểm I cũng đơn giản, từ đó ta xác định được vị trí của điểm I.
CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài tập 1: Cho ABC gọi M là trung điểm của BC, N là chân đường phân giác của
góc
, đường vuông góc với NA tại N cắt đường thẳng AB, AM tại P, Q. Gọi O
là giao điểm của đường vuông góc với AB tại P với AN. Chứng minh rằng OQ
BC.
Bài tập 2: Cho một điểm M nằm tùy ý trên đoạn thẳng AB. Dựng các hình vuông
AMCD và MBEF về cùng một phía với AB. Các đường tròn tâm P và Q lần lượt
ngoại tiếp hai hình vuông AMCD và MBEF cắt nhau tại M và N.
1. Chứng minh rằng AF và BC cắt nhau tại N
2. Chứng minh đường thẳng MN đi qua 1 điểm cố định
3. Tìm tập hợp trung điểm của PQ khi M thay đổi.
Bài tập 3:Trong ABC góc
= 600. D, E, F là các điểm tương ứng nằm trên
các cạnh BC, AB, AC. Gọi M là giao điểm của AD và BF. Giả sử CDEF là hình
thoi. Chứng minh rằng DF2 = DM.DA.
Bài tập 4:Trong ABC, I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, D là trung điểm

cạnh AB, E là trọng tâm ACD. Chứng minh rằng nếu AB = AC thì IE CD.
Bài tập 5: ( VMO năm 2011 )
Trong mặt phẳng cho đường tròn (O) đường kính AB. Xét một điểm P di
động trên tiếp tuyến tại B của (O) sao cho P không trùng với B. Đường thẳng PA
cắt (O) tại điểm thứ hai C. Gọi D là điểm đối xứng với C qua O. Đường thẳng PD
cắt (O) tại điểm thứ hai E.
a. Chứng minh rằng các đường thẳng AE, BC và PO cùng đi qua 1 điểm.
Gọi điểm đó là M.
b. Xác định vị trí của P sao cho MAB có diện tích lớn nhất. Tính giá trị
lớn nhất đó theo bán kính của đường tròn (O).
Nguyễn Minh Tân – GV – THPT Dương Quảng Hàm

Trang 21


Bài tập 6: ( VMO 2002)
Cho ABC cân với AB = AC. Gọi O là một điểm thay đổi trên đường thẳng
BC thỏa mãn tâm O của đường tròn bán kính OA không nhận các đường thẳng AB,
AC làm tiếp tuyến. Các đường thẳng AB, AC cắt các đường tròn ở M, N tương
ứng. Hãy xác định quĩ tích trực tâm của AMN.
Bài tập 7: Cho ABC vuông tại A, các cạnh góc vuông là b, c. M là một điểm
thuộc cạnh BC sao cho BC

= . Chứng minh rằng

Bài tập 8:Cho ABC cân tại A. Gọi H là trung điểm của BC, D là hình chiếu của
H trên AC, M là trung điểm HD. Chứng minh rằng AM

BD.

Bài tập 9: Điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp ABC đều. Chứng minh rằng
giá trị của MA4 + MB4 + MC4 không phụ thuộc vào vị trí của M.
Bài tập 10:Trong mặt phẳng cho (O; R) và điểm A cố định, I di chuyển trên đường
tròn (O; R). Đường tròn tâm I luôn đi qua A. Chứng minh rằng trục đẳng phương
của (O;R) và (I, IA) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Bài tập 11:Trong mặt phẳng cho 2 điểm A, B cố định. Tìm tập hợp điểm M sao
cho

Nguyễn Minh Tân – GV – THPT Dương Quảng Hàm

Trang 22


III. KẾT QUẢ KHI ÁP DỤNG ĐỀ TÀI
Sau đây là kết quả khảo sát thực tiễn ở lớp 10, 11, 12 đối với các học sinh
giỏi các khối thuộc ban cơ bản năm học 2013 – 2014 tại trường THPT Dương
Quảng Hàm
Khi chưa áp dụng đề tài

Khối

Sau khi áp dụng đề tài

(Sĩ số)
G

K

TB

Y

G

K

TB

Y

10

12

18

13

3

23

20

3

0

(46)

(26.1%)

(6.6%)

(50%)

(43.4%)

(6.6%)

11

7

9

13

25

7

( 45)

(15.6%)

(20%)

(28.9%)

(55.5%)

(15.6%)

12

5

11

12

23

10

(45)

(11.1%)

(26.7%)

(51.1%)

(22.2%)

(39.1%) (28.2%)
14

15

(31.1%) (33.3%)
12

17

(26.7%) (37.8%) (24.4%)

0

0

Bài học kinh nghiệm:
- Việc sử dụng phương pháp tọa độ vào giải các bải tập hình học phẳng cái
quan trọng nhất là chọn được hệ trục tọa độ thích hợp, việc chọn hệ trục
tọa độ đúng sẽ giảm tải được quá trình tính toán và sự phức tạp không
cần thiết
- Thường xuyên cho học sinh luyện tập phương pháp tọa độ và áp dụng
vào giải toán
- Rèn luyện tư duy sáng tạo độc lập suy nghĩ, tự học của học sinh

Nguyễn Minh Tân – GV – THPT Dương Quảng Hàm

Trang 23


C. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
1. Kết luận
Quá trình nghiên cứu đề tài GIẢI HÌNH HỌC PHẲNG BẰNG PHƢƠNG PHÁP
TỌA ĐỘ và những kết qủa thu được, đối chiếu với mục tiêu và nhiệm vụ nghiên

cứu ban đầu của đề tài đưa ra, tôi đã đạt được một số kết quả sau đây:
+ Trình bày cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn của việc ứng dụng GIẢI HÌNH
HỌC PHẲNG BẰNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ đã chứng tỏ vài trò của nó trong

việc đổi mới phương pháp dạy học.
+ Nghiên cứu đặc điểm, nội dung GIẢI HÌNH HỌC PHẲNG BẰNG PHƢƠNG
PHÁP TỌA ĐỘ. Phân tích và nêu ra được những thuận lợi và khó khăn của GV và

HS khi dạy là học
+ Trong khuôn khổ của SKKN này, tôi đã tiến hành tóm tắt kiến thức
của chương trình hình học đối với học sinh THPT.
+ Đưa ra được quy trình áp dụng phương pháp tọa độ vào giải các bài tập
hinh học phẳng.
2. Đề xuất và khuyến nghị
* Với Trường THPT Dương Quảng Hàm:
Tổ chức một số buổi thảo luận về chuyên đề Toán học trong chương trình
ôn thi học sinh giỏi
Trang bị đầy đủ cơ sở vật chất, thiết bị dạy học đặc biệt là máy vi tính, máy
chiếu Projector.
* Với Sở GD&ĐT Hưng Yên:
Mỗi năm Sở GD&ĐT Hưng Yên cần tổ chức trao đổi kinh nghiệm học tập,
phương pháp dạy học, bồi dưỡng năng lực cho giáo viên hơn.

Nguyễn Minh Tân – GV – THPT Dương Quảng Hàm

Trang 24


TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Tạp chí Toán học tuổi trẻ

2. Đề thi học sinh giỏi quốc gia các từ năm 1962 đến năm 2014

3. Diễn đàn toán học trên mạng Internet

4. Sách nâng cao và phát triển hình học

5. Một số sáng kiến kinh nghiệm của các đồng nghiệp trên mạng Internet

Nguyễn Minh Tân – GV – THPT Dương Quảng Hàm

Trang 25