CHUYÊN ĐỀ GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ doc

,họctoánvàônthimiễnphí,VõTrọngTrí


CHUYÊNĐỀ
GIẢIHÌNHHỌCKHÔNGGIANBẰNG
PHƯƠNGPHÁPTỌAĐỘ
I.PHƯƠNGPHÁPGIẢITOÁN

Đểgiảiđượccácbàitoánhìnhkhônggianbằngphươngpháptọađộtacầnphảichọnhệtrụctọađộthích
hợp.Lậptọa độcácđỉnh,điểm liênquandựavàohệtrụctọa độđãchọnvàđộdàicạnh củahình.
Tathườnggặpcácdạngsau

1.Hìnhchóptamgiác
a.Dạngtamdiệnvuông
Vídụ1.
ChohìnhchópO.ABCcóOA=a,OB=b,OC=c đôimộtvuônggóc. ĐiểmMcốđịnhthuộc tam
giácABCcókhoảngcáchlầnlượtđến cácmp(OBC),mp(OCA),mp(OAB)là1,2,3.Tínha,b,cđểthểtích
O.ABCnhỏnhất.

Hướngdẫngiải

Chọnhệtrụctọa độnhưhìnhvẽ,tacó:
O(0;0;0),A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c).
d[M,(OAB)]=3
Þ
z
M
=3.
Tươngtự
Þ
M(1;2;3).

pt(ABC):
x y z
1
a b c
+ + =
1 2 3
M (ABC) 1
a b c
Î Þ + + = (1).
O.ABC
1
V abc
6
= (2).
3
1 2 3 1 2 3
(1) 1 3 . .
a b c a b c
Þ = + + ³
1
abc 27
6
Þ ³ .
(2)
min
1 2 3 1
V 27
a b c 3
Þ = Û = = = .


b.Dạngkhác
Vídụ2.
Tứdiện S.ABCcócạnhSAvuônggócvới đáyvà ABC D vuôngtạiC.ĐộdàicủacáccạnhlàSA
=4,AC=3,BC=1.GọiMlàtrungđiểmcủacạnhAB,Hlàđiểm đốixứngcủaCquaM.
Tínhcosingócphẳngnhịdiện[H,SB,C]

Hướngdẫngiải
,hctoỏnvụnthiminphớ,VừTrngTrớ

Chnhtrcta nhhỡnhv,tacú:
A(000),B(1 30),C(0 30),S(00 4)v
H(100).
mp(P)quaHvuụnggúcviSBtiIctng
thngSCtiK,dthy
[H,SB,C]=
( )
IH, IK
uur uur
(1).
SB ( 1 34) = - -
uur
,SC (0 3 4) = -
uur
suyra:
pttsSB:
x 1 t
y 3 3t
z 4t
ỡ
ù

= -
ù
ù
ù
ù
= -
ớ
ù
ù
ù
=
ù
ù
ợ
,SC:
x 0
y 3 3t
z 4t
ỡ
ù
=
ù
ù
ù
ù
= -
ớ
ù
ù
ù

=
ù
ù
ợ
v(P):x+3y 4z1=0.
( ) ( )
5 15 3 51 32
I , K 0
8 8 2 25 25
ị
IH.IK
cos[H, SB,C]
IH.IK
ị =
uur uur
=

Chỳý:
NuCvHixngquaABthỡCthuc(P),khi útakhụngcnphitỡmK.

Vớd3
(trớchthiihckhiA 2002). ChohỡnhchúptamgiỏcuS.ABCcúdicnh ỏyla.
GiM,NltrungimSB,SC.Tớnhtheoadintớch DAMN,bit(AMN)vuụnggúcvi(SBC).

Hngdngii

GiOlhỡnhchiucaStrờn(ABC),tasuyraO
ltrngtõm ABC D .GiIltrungimcaBC,
tacú:
3 a 3

AI BC
2 2
= =
a 3 a 3
OA , OI
3 6
ị = =
Trongmp(ABC),ta vtiaOyvuụnggúcviOA.
tSO=h,chnhtrctanhhỡnhvta
c:
O(000),S(00h),
a 3
A 00
3
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
a 3
I 00
6
ổ ử
ữ
ỗ
ị -
ữ

ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
,
a 3 a
B 0
6 2
ổ ử
ữ
ỗ
-
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
,
a 3 a
C 0
6 2
ổ ử
ữ
ỗ
- -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

,
a 3 a h
M
12 4 2
ổ ử
ữ
ỗ
-
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
v
a 3 a h
N
12 4 2
ổ ử
ữ
ỗ
- -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
.
2
(AMN)
ah 5a 3

n AM, AN 0
4 24
ổ ử
ộ ự
ữ
ỗ
ị = =
ữ
ỗ
ờ ỳ
ữ
ỗ
ở ỷ
ố ứ
uuur uuur
r
,
2
(SBC)
a 3
n SB, SC ah0
6
ổ ử
ữ
ộ ự
ỗ
= = -
ữ
ỗ
ờ ỳ

ữ ở ỷ
ỗ
ố ứ
uur uur
r
2 2
2
(AMN) (SBC)
AMN
5a 1 a 10
(AMN) (SBC) n .n 0 h S AM, AN
12 2 16
D
ộ ự
^ ị = ị = ị = =
ờ ỳ
ở ỷ
uuur uuur
r r
.

2.Hỡnhchúptgiỏc
,họctoánvàônthimiễnphí,VõTrọngTrí


a)
HìnhchópS.ABCDcóSAvuônggócvới đáyvàđáylàhìnhvuông(hoặchìnhchữnhật).Tachọnhệtrục
tọađộnhưdạngtamdiệnvuông.

b)

HìnhchópS.ABCDcóđáylàhìnhvuông(hoặchìnhthoi)tâmOđườngcaoSOvuônggócvới đáy.Ta
chọnhệtrụctọa độtiaOA,OB,OSlầnlượtlàOx,Oy,Oz.GiảsửSO=h,OA=a,OB=btacó
O(0;0;0),A(a;0;0),B(0;b;0),C(–a;0;0),D(0;–b;0),S(0;0;h).

c)
HìnhchópS.ABCDcóđáyhình chữnhậtABCDvàAB=b. SAD D đềucạnhavàvuônggócvới đáy.
GọiHlàtrungđiểmAD,trong(ABCD)tavẽtiaHyvuônggócvớiAD.ChọnhệtrụctọađộHxyztacó:
H(0;0;0),
( ) ( )
a a
A ;0;0 , B ;b;0
2 2
( ) ( )
a a a 3
, C ; b;0 , D ; 0;0 , S 0; 0; .
2 2 2
æ ö
÷
ç
- -
÷
ç
÷
ç
è ø

3.Hìnhlăngtrụđứng

Tùytheohìnhdạngcủađáytachọnhệtrụcnhưcácdạngtrên.


Chúý

+Hìnhchóptamgiácđềucóđáylàtamgiácđềuvàcáccạnhbênbằngnhau,nhưngkhôngnhấtthiếtphải
bằngđáy.Chânđườngcaolàtrọngtâmcủađáy.
+Tứdiện đềulàhìnhchóptamgiácđềucócạnhbênbằngđáy.
+Hìnhhộpcóđáylàhìnhbìnhhànhnhưngkhôngnhấtthiếtphảilàhìnhchữnhật.

II.CÁCDẠNGBÀITẬP
1.CÁCBÀITOÁNVỀHÌNHCHÓPTAMGIÁC
Bài1
(tríchđềthi ĐạihọckhốiD–2002).ChotứdiệnABCDcócạnhADvuônggóc(ABC),AC=AD=
4cm,AB=3cm,BC=5cm.Tínhkhoảngcáchtừ đỉnhA đến(BCD).

Bài2.
Cho ABC D vuôngtạiAcóđườngcaoADvàAB=2,AC=4.Trên đườngthẳngvuônggócvới
(ABC)tạiAlấy điểmSsaochoSA=6.GọiE,FlàtrungđiểmcủaSB,SCvàHlàhìnhchiếucủaAtrên
EF.
1.ChứngminhHlàtrungđiểmcủaSD.
2.Tínhcosincủagócgiữahaimặtphẳng(ABC)và(ACE).
3.TínhthểtíchhìnhchópA.BCFE.

Bài3.
ChohìnhchópO.ABCcócáccạnhOA=OB=OC=3cmvàvuônggócvớinhautừngđôimột.Gọi
HlàhìnhchiếucủađiểmOlên(ABC)vàcácđiểmA’,B’,C’lầnlượtlàhìnhchiếucủaHlên(OBC),
(OCA),(OAB).
1.TínhthểtíchtứdiệnHA’B’C’.
2.GọiSlàđiểm đốixứngcủaHquaO.ChứngtỏS.ABClàtứdiện đều.

Bài4.
ChohìnhchópO.ABCcóOA,OB,OCđôimộtvuônggóc.Gọi ,  , a b g lầnlượtlàgócnhịdiệncạnh

AB,BC,CA.GọiHlàhìnhchiếucủađỉnhOtrên(ABC).
1.ChứngminhHlàtrựctâmcủa ABC D .
2.Chứngminh
2 2 2 2
1 1 1 1
.
OH OA OB OC
= + +
3.Chứngminh
2 2 2
cos cos cos 1. a + b + g =
4.Chứngminhcos cos cos 3. a + b + g £

Bài5.
ChohìnhchópO.ABCcóOA=a,OB=b,OC=cvuônggócvớinhautừngđôimột.GọiM,N,Plần
lượtlàtrungđiểmBC,CA,AB.
1.Tínhgóc j giữa(OMN)và(OAB).
2.Tìm điềukiệna,b,cđểhìnhchiếucủaOtrên(ABC)làtrọngtâm ANP D .
3.Chứngminhrằnggócphẳngnhịdiện[N,OM,P]vuôngkhivàchỉkhi
2 2 2
1 1 1
.
a b c
= +
,họctoánvàônthimiễnphí,VõTrọngTrí


Bài6.
ChohìnhchópS.ABCcó ABC D vuôngcântạiA,SAvuônggócvới đáy.BiếtAB=2,
·

0
(ABC),(SBC) 60 = .
1.TínhđộdàiSA.
2.TínhkhoảngcáchtừđỉnhA đến(SBC).
3.Tínhgócphẳngnhịdiện[A,SB,C].

Bài7.
ChohìnhchópO.ABCcóOA=a,OB=b,OC=cvuônggócvớinhautừngđôimột.
1.Tínhbánkínhrcủamặtcầunộitiếphìnhchóp.
2.TínhbánkínhRcủamặtcầungoạitiếphìnhchóp.

Bài8
(tríchđềthiĐạihọckhốiD–2003). Chohaimặtphẳng(P)và(Q)vuônggócvớinhau,giaotuyếnlà
đườngthẳng(d).Trên(d)lấyhai điểmAvàBvớiAB=a.Trong(P)lấy điểmC,trong(Q)lấy điểmDsao
choAC,BDcùngvuônggócvới(d)vàAC=BD=AB.TínhbánkínhmặtcầungoạitiếptứdiệnABCDvà
khoảngcáchtừđỉnhA đến(BCD)theoa.

Bài9.
ChohìnhchópS.ABCcóđáylàtamgiácvuôngtạiB,AB=a,BC=2a.CạnhSAvuônggócvới đáy
vàSA=2a.GọiMlàtrungđiểmcủaSC.
1.Tínhdiệntích MAB D theoa.
2.TínhkhoảngcáchgiữaMBvàACtheoa.
3.Tínhgócphẳngnhịdiện[A,SC,B].

Bài10.
ChotứdiệnS.ABCcó ABC D vuôngcântạiB,AB=SA=6.CạnhSAvuônggócvới đáy.VẽAH
vuônggócvớiSBtạiH,AKvuônggócvớiSCtạiK.
1.ChứngminhHKvuônggócvớiCS.
2.GọiIlàgiaođiểmcủaHKvàBC.ChứngminhBlàtrungđiểmcủaCI.
3.TínhsincủagócgiữaSBvà(AHK).

4.XácđịnhtâmJvàbánkínhRcủamặtcầungoạitiếpS.ABC.

Bài11.
ChohìnhchópS.ABCcó ABC D vuôngtạiC,AC=2,BC=4.Cạnhbên SA=5vàvuônggócvới
đáy.GọiDlàtrungđiểmcạnhAB.
1.Tínhcosingócgiữahai đườngthẳngACvàSD.
2.TínhkhoảngcáchgiữaBCvàSD.
3.Tínhcosingócphẳngnhịdiện[B,SD,C].

Bài12.
ChohìnhchópS.ABCcóđáylàtamgiácđềucạnha.SAvuônggócvới đáyvàSA a 3 = .
1.TínhkhoảngcáchtừđỉnhA đến(SBC).
2.Tínhkhoảngcáchgiữahai đườngthẳngABvàSC.

Bài13.
ChohìnhchóptamgiácđềuS.ABCcóđộdàicạnh đáylàa,đườngcaoSH=h.Mặtphẳng( ) a đi
quaABvàvuônggócvớiSC.
1.Tìm điềukiệncủahtheoađể( ) a cắtcạnhSCtạiK.
2.Tínhdiệntích ABK D .
3.Tínhhtheoađể ( ) a chiahìnhchópthànhhaiphầncóthểtíchbằngnhau.Chứngtỏrằngkhiđó
tâmmặtcầunộitiếpvàngoạitiếptrùngnhau.

2.CÁCBÀITOÁNVỀHÌNHCHÓPTỨGIÁC
Bài14.
ChohìnhchópS.ABCDcóđáyhìnhvuôngcạnha,SA=avàvuônggócvới đáy.GọiElàtrung
điểmCD.
1.Tínhdiệntích DSBE.
2.TínhkhoảngcáchtừđỉnhCđến(SBE).
3.(SBE)chiahìnhchópthànhhaiphần,tínhtỉsốthểtíchhaiphần đó.


Bài15.
ChohìnhchópS.ABCDcóđáyhìnhvuôngcạnha.CạnhbênSAvuônggócvới đáyvàSA a 3 = .
1.TínhkhoảngcáchtừđỉnhCđến(SBD).
2.Tínhkhoảngcáchgiữahai đườngthẳngSDvàAC.
3.Tínhgócphẳngnhịdiện[B,SC,D].

Bài16.
ChohìnhchópS.ABCDcóđáyhìnhvuôngcạnh3cm.CạnhbênSAvuônggócvới đáyvà
SA 3 2 = cm.Mp( ) a đi quaAvàvuônggócvớiSCcắtcáccạnhSB,SC,SDlầnlượttạiH,M,K.
1.ChứngminhAHvuônggócvớiSB,AKvuônggócvớiSD.
,họctoánvàônthimiễnphí,VõTrọngTrí
 
2.ChứngminhBDsongsongvới( ) a .
3.ChứngminhHK điquatrọngtâmGcủa SAC D .
4.TínhthểtíchhìnhkhốiABCDKMH.

Bài17.
ChohìnhchópS.ABCDcóđáylàhìnhchữnhật,AB=a,AD=b.CạnhbênSAvuônggócvới đáy
vàSA=2a.GọiM,NlàtrungđiểmcạnhSA,SD.
1.TínhkhoảngcáchtừA đến(BCN).
2.TínhkhoảngcáchgiữaSBvàCN.
3.Tínhgócgiữahaimặtphẳng(SCD)và(SBC).
4. Tìm điều kiện của a và b để
·
3
cosCMN
3
= . Trong trường hợp đó tính thể tích hình chóp
S.BCNM.


Bài18.
ChohìnhchópS.ABCDcóđáylàhìnhvuôngcạnha. SAD D đềuvàvuônggócvới(ABCD).GọiH
làtrungđiểmcủaAD.
1.Tínhd(D,(SBC)),d(HC,SD).
2.Mặtphẳng( ) a quaHvàvuônggócvớiSCtạiI.Chứngtỏ( ) a cắtcáccạnhSB,SD.
3.Tínhgócphẳngnhịdiện [B,SC,D].

Bài19.
ChohìnhchópS.ABCDcóđáylàhìnhthoitâmO.SOvuônggócvới đáyvàSO 2a 3 = ,AC=
4a,BD=2a.Mặtphẳng( ) a quaAvuônggócvớiSCcắtcáccạnhSB,SC,SDtạiB', C',D' .
1.Chứngminh B'C' D' D đều.
2.TínhtheoabánkínhmặtcầunộitiếpS.ABCD.

Bài20.
ChohìnhchópS.ABCDcóđáylàhìnhchữnhậtvớiAB=a,AD=2a.ĐườngcaoSA=2a.Trên
cạnhCDlấy điểmM,đặtMD=m(0 m a) £ £ .
1.Tìmvịtrí điểmMđểdiệntích SBM D lớnnhất,nhỏnhất.
2.Cho
a
m
3
= ,gọiKlàgiaođiểmcủaBMvàAD.Tínhgócphẳngnhịdiện[A,SK,B].

3.CÁCBÀITOÁNVỀHÌNHHỘP – LĂNGTRỤĐỨNG
Bài21.
ChohìnhlậpphươngABCD.A’B’C’D’cạnha.GọiI,K,M,NlầnlượtlàtrungđiểmcủaA’D’,
BB’,CD,BC.
1.ChứngminhI,K,M,Nđồngphẳng.
2.TínhkhoảngcáchgiữaIKvàAD.
3.TínhdiệntíchtứgiácIKNM.


Bài22
(tríchđềthiĐạihọckhốiA –2003). ChohìnhlậpphươngABCD.A’B’C’D’.Tínhgócphẳngnhị
diện[B,A’C,D].

Bài23.
ChohìnhlậpphươngABCD.A’B’C’D’cạnha.Tìm điểmMtrêncạnhAA’saocho(BD’M)cắt
hìnhlậpphươngtheothiếtdiệncódiệntíchnhỏnhất.

Bài24.
ChohìnhlậpphươngABCD.A’B’C’D’cạnha.
1.ChứngminhA’Cvuônggócvới(AB’D’).
2.Tínhgócgiữa(DA’C)và(ABB’A’).
3.TrêncạnhAD’,DBlấylầnlượtcácđiểmM,NthỏaAM=DN=k(0 k a 2). < <
a.ChứngminhMNsongsong(A’D’BC).
b.TìmkđểMNnhỏnhất.Chứngtỏkhi đóMN làđoạnvuônggócchungcủaAD’vàDB.

Bài25.
ChohìnhhộpchữnhậtABCD.A’B’C’D’cóAB=2,AD=4,AA’=6.CácđiểmM,Nthỏa
AM mAD, BN mBB'(0 m 1). = = £ £
uuur uuur
uuur uuur
GọiI,KlàtrungđiểmcủaAB,C’D’.
1.TínhkhoảngcáchtừđiểmA đến(A’BD).
2.ChứngminhI,K,M,Nđồngphẳng.
3.Tínhbánkínhđườngtrònngoạitiếp A' BD D .
4.TínhmđểdiệntíchtứgiácMINKlớnnhất,nhỏnhất.

Bài26.
ChohìnhlậpphươngABCD.A’B’C’D’cóđộdàicạnhlà2cm.GọiMlàtrungđiểmAB,Nlàtâm

hìnhvuôngADD’A’.
1.TínhbánkínhRcủamặtcầu(S)quaC,D’,M,N.
,họctoánvàônthimiễnphí,VõTrọngTrí
 
2.Tínhbánkínhrcủađườngtròn(C)làgiaocủa(S)vàmặtcầu(S’)quaA’,B,C’,D.
3.Tínhdiệntíchthiếtdiệntạobởi(CMN)vàhìnhlậpphương.

Bài27
(tríchđềthi ĐạihọckhốiB–2003)Chohìnhlăngtrụ đứngABCD.A’B’C’D’cóđáyhìnhthoicạnh
a,
·
0
BAD 60 . = GọiM,NlàtrungđiểmcạnhAA’,CC’.
1.ChứngminhB’,M,D,Ncùngthuộcmộtmặtphẳng.
2.TínhAA’theoađểB’MDNlàhìnhvuông.

Bài28.
Chohìnhlăngtrụđứngtam giácABC.A’B’C’cóđáylàtamgiácvuôngtạiA.ChoAB=a,AC=b,
AA’=c.Mặtphẳng( ) a quaBvàvuônggócvớiB’C.
1.Tìm điềukiệncủaa,b,cđể( ) a cắtcạnhCC’tạiI(IkhôngtrùngvớiCvàC’).
2.Cho( ) a cắtCC’tạiI.
a.Xácđịnhvàtínhdiệntíchcủathiếtdiện.
b.Tínhgócphẳngnhịdiệngiữathiếtdiệnvàđáy.