CHUYÊN ĐỀ KINH NGHIỆM BỒI DƯỠNG HSG THCS VÀ THPT TÌM CỰC TRỊ BIỂU THỨC RẤT HIỆU QUẢ

Giải bài toán bất đẳng thức bằng phơng pháp đa về một biến.

A.

.

Lí DO CHN TI

Trang b nhng tri thc, phng phỏp v phỏt trin t duy, trớ tu cho hc
sinh l cỏc mc tiờu c t lờn hng u trong cỏc mc tiờu dy hc mụn toỏn.
Bt ng thc l mt vn c giỏo viờn v hc sinh thõm nhp vi mt
lng thi gian khỏ nhiu vỡ õy l vn cú th phỏt trin kh nng t duy toỏn
hc cho hc sinh.
Trong quỏ trỡnh dy hc tụi luụn tỡm tũi cỏc vớ d in hỡnh tng hp thnh
cỏc phng phỏp gii c th cho hc sinh ng thi hng dn hc sinh bit nhn
dng bi toỏn v phỏt trin cỏc bi toỏn mi.
Di õy tụi xin c trao i vi quý ng nghip mt phng phỏp gii
cho nhng bi toỏn bt ng thc: Gii bt ng thc bng phng phỏp a v
mt bin ( Thng l nhng bi bt ng thc khú, xy ra trong cỏc k thi hc
sinh gii, thi i hc). V trong mt s bi toỏn tụi khai thỏc sõu thờm bng
nhng hot ng trớ tu nh tng quỏt, phõn tớch, so sỏnh, c bit húa...
Ni dung ti gm hai phn :
Phn I: a v 1 bin bng cỏch bin i t n ph t = k(x,y,z,...).
Phn II: a v 1 bin bng cỏch dn bin.

B. NI DUNG TI
I. PHNG PHP
1. Bi toỏn: Xột bi toỏn:Vi iu kin R (nu cú) . Chng minh rng

P = f(x,y,z,...) A (hoc A) hoc tỡm GTLN; NN ca P.
Phng phỏp 1:

Chng minh: P g (t ) t = k (x,y,z,...) D
Chng minh: g (t ) A t D .
Chng minh: P g(t) t = k(x,y,z,...) D
Chng minh: g(t) A t D .
Vn t ra l ỏnh giỏ biu thc p a v biu thc mt bin g(t) v chng minh
g (t ) A

- Vic chng minh g (t ) A õy tụi cú th s dng cỏch bin i, dựng cỏc bt
ng thc c bn hoc vi hoc sinh lp 12 cú th lm bng cỏch s dng o hm lp
bng bin thiờn gii.
- Cũn ỏnh giỏ P núi chung l phong phỳ tựy thuc tng bi toỏn la chn cỏch
ỏnh giỏ thớch hp (dựng cỏch bin i , s dng bt ng thc c in.
bunhiacopki,cụsi,....).
Phng phỏp 2:
a. Nu vai trũ cỏc bin x,y,z bỡnh ng, khụng mt tớnh tng quỏt ta cú th gi s : x =
max(x,y,z,...) hoc x = min(x,y,z,...) hoc gi thit x y z .... ;v dựng iu kin bi
toỏn kt hp cỏc bdt c bn kh dn cỏc bin a v bin x.
b. ỏnh giỏ cỏc bin, gi thit thờm cỏc iu kin ca bin a:
P= f(x, y, z, ) f(x, t, ..) f1(x). Trong ú t, = k(x, y,z,)
1


Giải bài toán bất đẳng thức bằng phơng pháp đa về một biến.
Sau ú chng minh f1(x) A.
PHN I. a v mt bin bng cỏch t n ph t=k(x,y,z,...).
Bi

.

toỏn 1:

Vi x,y l cỏc s thc dng chng minh rng:
x 3 + y 3 xy 2 + yx 2 (1)

Gii:
Vỡ x l s dng nờn:
3

2

y
y y
(1) 1 + +
x
x x

. t

y
=t
x

( t >0).

C1: Ta cú: (1) tr thnh : t 3 -t 2 - t+ 1 0 (t-1) 2 (t+1) 0 (ỳng vi mi t>0).
C2: Hng dn hs xột hm : f(t)= t 3 -t 2 - t+ 1 trờn (0; + ).
1

2
f(t)= 3t - 2t -1=0 t= 1 ; t= - .

3

t
0
f(t) -

+

1
0

+
+

0
f(t)
Suy ra f(t) 0 vi mi t > 0 (ccm).
Tng quỏt
Ta cú bi toỏn 1:
Cho x,y l cỏc s thc dng; Chng minh rng:
x n + y n xy n 1 + x n 1 y (n 2, n N )

Chng minh hon hon tng t!
Bi

toỏn 2:

Vi x,y l cỏc s thc khỏc khụng chng minh rng:
x4
y4

+

y4
x4

x2 y2 x y
+ + 2

+
y2 x2 y x



(2)

Gii:
x

y

x

y

x

y

t t = y + x thỡ t = + = + 2 (ỏp dng bt cụsi).

y x
y
x
C1: Ta cú: (2) tr thnh:
(t 2 2) 2 2 (t 2 2) + t + 2 0 (t+2)(t 3 -2t 2 -t+3) 0(2')
+) Vi t 2: ta cú
t 3 -2t 2 -t+3=(t-2)(t 2 -1)+1>0
nờn bt ng thc (2') ỳng
+) Vi t -2: ta cú
t 3 -2t 2 -t+3=(t+2)[(t-2) 2 +3] - 11 > 0
v t+2 0 nờn bt ng thc (2') ỳng
2


Giải bài toán bất đẳng thức bằng phơng pháp đa về một biến.
vy bt ng thc (2) ỳng du bng xy ra khi t=-2 hay x=-y
pcm.
C2: Xột hm s: f(t) = t3 2t2 t + 3 trờn ( ; -2] [2; + ).

.

Bi

toỏn 3:
Cho x, y, z l cỏc s thc thay i. Tỡm GTNN ca biu thc:
A = ( x 1) 2 + y 2 + ( x + 1)2 + y 2 + y 2 .

Gii:
x 2 + y 2 + z 2 + 2( xy + yz + zx) = ( x + y + z ) 2 ;
x 3 + y 3 + z 3 3 xyz = ( x + y + z )( x 2 + y 2 + z 2 xy yz zx) v iu kin ta cú:

T ng thc:

P = ( x + y + z )( x 2 + y 2 + z 2 xy yz zx ) = ( x + y + z )(2

t: t = x + y + z



( x + y + z )2 2
)
2

0
t 2
t
1
) = + 3t = (t 2) 2 (t + 2 2) + 2 2 2 2
2
2
2
Du bng xy ra khi v ch khi t = 2
Vy: Pmin= 2 2 khi x= 2 ,y=z=0 hoc hoỏn v.
Pmax= 2 2 khi x= 2 ,y=z=0 hoc hoỏn v.

C1: P = t (2

2

3

C2: t f(t) = P = t (2
f(t)=
t
0
f(t) -

t2 2
t3
) = + 3t
2
2

(0 < t 6) .

3t 2
+ 3 = 0 t = 2; t = 2
2
2

0

6

-

2 2

f(t)

Suy ra f(t)= P 2 2 ..(0 < t 6 ) .
Vy Pmin= 2 2 khi x= 2 ,y=z=0 hoc hoỏn v.
Pmax= 2 2 khi x= 2 ,y=z=0 hoc hoỏn v.
Bi

toỏn 4 ( thi giỏo viờn gii nm 2003- 2004)
Cho a, b, c l cỏc s thc dng tho món: a+ b+ c= 1. CMR:
2
3
+
> 14 .
a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca

ý rng: 1= ( a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 2(ab + bc + ca ) ;
2

1= ( a + b + c ) 3(a 2 + b 2 + c 2 )
2

3


Giải bài toán bất đẳng thức bằng phơng pháp đa về một biến.
2
6
1
Suy ra: Nu t t= a 2 + b 2 + c 2 ta cú: VT= f ( t ) = +
vi t<1 .
t 1 t
3

1 + 3
t =
2
2
6
4t + 4t 2
2
=0 2
=0
f(t) = - 2 +
.
2
2
t

1

t
t
+
1

t
1 3
( )
( )
t =

2
BBT

1
1 + 3
t
1
2
3
0
+
f(t)

.

+

f(t)
8+ 4 3
1
Vy: f(t) 8 + 4 3 >
( pcm).
14
Bi

toỏn 5 thi i hc cao ng khi A nm 2006
2
2
Cho x, y l hai s thc khỏc khụng thoó món: ( x + y ) .xy = x + y xy ;
1

1

Tỡm GTLN ca biu thc: A= x3 + y 3 .
Gii
t: S= x+y; P= x.y (s2 4p )

x 3 + y 3 = ( x + y ) ( x 2 + y 2 xy ) = ( x+y ) 2 .xy = S 2 P

T gt ta cú:
.
S2
SP= S2 - 3P P =
S +3


( Lu ý S = -3 khụng thoó món).
S2
S 1
S2
0 S < 3.v.S 1. .
ỏnh giỏ S: S 4P => S 4.
S +3
S +3
2

2

Vy:

2
2
2

2
1
1
x 3 + y 3 ( x + y ) ( x + y x. y ) ( x + y ) xy S 2 ( S + 3)
+
=
= 2=
A= x3 y 3 = 3 3 =
3
3
x y
P
S2
( x. y )
( x. y )

( vi S<-3 v S 1 ).

S +3
trờn (; 3) [1; +).
S
3
f(S)= 2 < 0 S (; 3) [1; +).
S

Xột: f(S) =

Suy ra f(S ) nghch bin.
4

Giải bài toán bất đẳng thức bằng phơng pháp đa về một biến.
BBT:

S

-3

+

1

-

f(S)

.

-

1

4

f(S)
0

1
1

1

MaxA = f2(1) = 16. t c ti x= y= 2 ( Khi S= 1; P= 4 ).
Sau õy ta xột mt s vớ d m phi ỏnh giỏ biu thc P mi thy c n ph
Bi

toỏn 6: thi i hc khi B nm 2006
Cho x, y, z l cỏc s thc thay i. Tỡm GTNN ca biu thc:
A = ( x 1) 2 + y 2 + ( x + 1)2 + y 2 + y 2 .

Gii
p dng bdt: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 (a + c)2 + (b + d )2

.

Ta cú: A = (1 x)2 + y 2 + ( x + 1)2 + y 2 + y 2 4 + 4 y 2 + y 2 . Du bng xy ra x=0.
t f(y)= 4 + 4 y 2 + y 2 .
Vi

y 2 : f(y)=

4 + 4 y 2 + 2 y . f(y)= 0 y =

Lp bng bin thiờn ta cú: f(y) 2 + 3 y =
Vi

1
.
3

1
.
3

y>2: f(y)

2 1+ y2 2 5 > 2 + 3 . 2 1+ y2 2 5 > 2 + 3
1
Vy GTNN ca A = 2 + 3 khi x=0; y =
.
3
Bi toỏn 7: ( thi i hc khi B nm 2008).

Cho x, y l cỏc s thc thay i thừa món: x2 + y2 =1. Tỡm gTLN, NN ca biu thc:
P=

2 ( x 2 + 6 xy )

1 + 2 xy + 2 y 2

Gii
Ta cú: P =

2 ( x 2 + 6 xy )

x 2 + 2 xy + 3 y 2

-) Nu y = 0 ta cú P = 2.
5

Giải bài toán bất đẳng thức bằng phơng pháp đa về một biến.
-) Nu y 0 t x= ty Suy ra: P =

2 ( t + 6t )

.

2

.

t 2 + 2t + 3
2 ( t 2 + 6t )
8t 6
= 2+ 2
t R .
Xột hm f (t ) = 2
t + 2t + 3
t + 2t + 3
3
t=
f(t)= 0 2 .
t = 3
3
f (t ) = 2; Lim f (t ) = 2; f (3) = 3; f ( ) = 6 .
Lim
2
t
t +

3
1

x=
;y=

x = 3y
10
10
Vy GTLN ca P l 3 khi : x 2 + y 2 = 1
.
3
1


x = 10 ; y = 10

3
2

x=
;y=
3


y
13
13
x =

2
GTNN ca P l -6 khi :
.
x 2 + y 2 = 1 x = 3 ; y = 2


13
13


Cú th s dng iu kin cú nghim ca phng trỡnh bc hai.
Bi

toỏn 8: ( thi cao ng khiA, B,D nm 2008).

Cho x, y l cỏc s thc thay i thừa món : : x2 + y2 =2. Tỡm GTLN, NN ca biu thc:
P= 2( x3 + y3) 3xy.
HD: t: t= x + y vi : t [ 2; 2] .
Bi

toỏn 9:

x, y , z > 0
1 1 1 15

Cho x + y + z 3 Cmr: P= x + y + z + x + y + z 2 .

2

Gii: ỏp dng bt ng thc cụsi ta cú:

1
x

1 1
1
9
+ x + y + z + 33
x+ y+z+
y z
xyz
x+ y+z
3
t t = x + y + z 0 < t
.
2
3
9
C1: Ta cú: f(t)= t + vi: 0 < t .
t
2
9
3
f(t)= 1 2 < 0.....t 0; f(t) nghch bin trờn
t
2
3 15
Suy ra: P f (t ) f ( ) =
2
2

P= x + y + z + +

3
0; .
2

6


Giải bài toán bất đẳng thức bằng phơng pháp đa về một biến.

.

3
1
Du bng xy ra: x = y = z v t = hay x = y = z =
2
2

C2: ỏp dng BT cụsy ta cú:
1 1 1
9
9 27
9
27 15
+ + t + =t + +
2 t. +
=
P=
x y z

t
4t 4t
4t 4. 3 2
2
1
pcm
Du bng xy ra khi v ch khi x = y = z =
2
x+ y+z+

Chng minh bi toỏn Tng quỏt 1 :
Cho

x1 , x2 ,..., xn (n 2)

l s dng ;

x1 + x2 + ... + xn k (k R+* ) b 0; ak 2 bn 2 .
Chng minh rng:

1 1
1
bn 2 + ak 2
a( x1 + x2 + ... + xn ) + b( +
+ ... + )
x1 x2
xn
k

(*)

Hng dn gii:
1 1
1
C1: S dng BDT cụ sy : x + x + ... + x
1
2
n

n

n
n2

x1....xn x1 + ...xn

1 1
1
bn 2
Suy ra: VT = a ( x1 + x2 + ... + xn ) + b( + + ... + ) a ( x1 + x2 + ... + xn ) +
x1 x2
xn
x1 + x2 + ... + xn
t: t =

x1 + x2 + ... + xn k .

bn 2
Ta cú: VT = f(t) = at +
vi

t

t k.

bn 2
at 2 bn 2
f(t)= a 2 . = .
< 0...t k (vỡ gt: ak2 bn2).
2
t
t
Suy ra: f(t) nghch bin trờn: 0< t k
ak 2 bn 2
Vy: P f (t ) f (k ) =
k

Du bng xy ra: x = y = z v t = k hay x = y = z =

k
.
n

C2: p dng BT cụsy ta cú:
VT = a ( x1 + x2 + ... + xn ) + b(

1 1
1
bn 2
+ + ... + ) a ( x1 + x2 + ... + xn ) +
x1 x2

xn
x1 + x2 + ... + xn

bn 2
1 t
bn 2
1
bn 2
bn 2 + ak 2
= bn 2 ( + 2 ) + t (a 2 ) bn 2 .2. + k (a 2 ) =
t
t k
k
k
k
k
k
Du bng xy ra: x = y = z = .
n

= at +

Nhn xột:
7


Giải bài toán bất đẳng thức bằng phơng pháp đa về một biến.
c bit húa bi toỏn TQ1 ta cú:

.

Bi toỏn 9,1:
x, y , z > 0
1 1 1 51

Cho x + y + z 3 Cmr: x + y + z + 4( x + y + z ) 2 .

2

D dng gii bi toỏn 8. 1 nu ta cho bi toỏn TQ1 vi a=1; b=4 ; n=3 ; k=

3
2

Bi toỏn 9.2 (Olimpic-toỏn s cp i Hc Vinh).
x, y , z > 0

Cho x + y + z 3 C mr:

2

x2 +

1
1
1
17
+ y 2 + 2 + z 2 + 2 3.
2
y

z
x
2

Gii
Tht vy : ỏp dng bt ng thc bunhacopxki ta cú:
(x2 +

1 2
4
1
1
4
)(1 + 4 2 ) x + x 2 + 2
(x + )
2
y
y
y
y
17

Tng t sau ú cng v theo v:
1
1
1
1
4 1 1 1
+ y2 + 2 + z2 + 2
(x + y + z) +

( + + )
2
y
z
x
17
17 x y z
1
4
3
;b =
;k = ;n = 3.
p dng bi toỏn TQ1 vi a= a =
2
17
17
x2 +

Suy ra iu phi chng minh.

Bi toỏn 9.3 ( thi i hc cao ng khi A nm 2004).
x, y , z > 0
x + y + z 1

Cho

x2 +

CMR :

1
1
1
+ y 2 + 2 + z 2 + 2 82 .
2
x
y
z

Chng minh tng t.
Bi toỏn TQ1 : Vi a= -1; b=1 ; n=2 ; k= 2 ta cú:

Bi toỏn 9* :
x, y > 0
x + y 2

Cho

1

1

Cmr: x + y ( x + y ) 2 .

Xem x= 1 a ; y= 1 b ta cú:

Bi toỏn 9*.1:

8

Giải bài toán bất đẳng thức bằng phơng pháp đa về một biến.
a, b 0
Cmr:
a + b = 1

.

a
b
+
2.
1 a
1 b

Cho

T ú cú th d dng chng minh bi toỏnTng quỏt 2:
Cho x1 , x 2 ,..., xn (n 2) l cỏc s thc dng v x1 + x2 + ... + xn = m , m>0:
x1

Chng minh rng:

m x1

x2

+

m x2

+ ... +

xn
m xn



mn
.
n 1

Nu i chiu ca bt ng thc iu kin bi toỏn TQ1 ta cú bi toỏn mi :

Bi toỏn TQ3
Cho x1 , x2 ,..., xn (n 2) l cỏc s thc dng tho món:
x1 + x2 + ... + xn k (k R* ) ; b 0; ak 2 bn 2 .

1 1
1
bn 2 + ak 2
Chng minh rng: a( x1 + x2 + ... + xn ) + b( + + ... + )
(**)
x1 x2
xn
k

T bi toỏn TQ2 v bi toỏn TQ3 ta cú th ỏp dng chng minh cỏc bi toỏn khỏc
tng t , hoc cú th khai thỏc ta c nhng bi toỏn mi khỏ thỳ v ...

Bi toỏn 10:(THTT/ T4/352/2007)

Vi x,y,z l cỏc s thc dng v xyz 1:
x

Chng minh rng: P =

x+

yz

+

y
y + xz

+

z
z + xy



3

2.

Gii:
t a= x , b= y , c= z

Bi toỏn tr thnh :
Cho: a,b,c l cỏc s thc dng v abc 1. Chng minh rng
P=

a2
a + bc
2

+

b2
b + ac
2

+

c2
c + ab
2



3
2

.

ỏp dng bt ng thc svac-x ta cú:
2
(a + b + c) 4

2
=
2
2
2
a 2 + bc + b 2 + ac + c 2 + ab [ a + bc + b + ac + c + ab ]
(a + b + c) 4
(a + b + c) 4
(a + b + c) 4



3(a 2 + b 2 + c 2 + ab + bc + ca) 3[(a + b + c) 2 3(ab + bc + ca)] 3[(a + b + c) 2 3]


P

2

(a + b + c) 2

{vỡ ab+bc+ca 33 (abc) 2 3}
t: t=(a+b+c) 2 thỡ t 9 { vỡ a+b+c 33 abc 3}.
9


Giải bài toán bất đẳng thức bằng phơng pháp đa về một biến.

.

1
9
t2
C1: P = f(t) =
= 3 t + 1 + 3(t 3) vi t 9 .
3(t 3)
1
27
f(t)= 3 3t 9 2 = 0 t = 0; t = 6 .
(
)
2

BBT:
t
0
f(t)

3
-

6
0

+

9
+

+
+

f(t)
9
2
3
9
Suy ra: P
Du bng xy ra khi x=y=z=1 (pcm).
2
2
t2
9
3t + 15 t 3
3
3.9 + 15
t 3 3
2
+
+

+2
.
C2: Ta cú : P =
=
= .
3(t 3)
12
12

t 3
12
12 t 3 2
3
9
P2 P
Du bng xy ra khi x= y= z= 1 (pcm).
2
2

Vy P2 = f(t)

Hon ton tng t ta chng minh c bi toỏn Tng quỏt 4
Cho: x1 , x2 ,..., xn (n 2) l cỏc s thc dng v x1 x2 ...xn 1
xn
x1
x2
n
+
+
...
+

CMR:
.
2
x 1 + x 2 x 3 ..x n
x 2 + x 3 x 4 ...x n x 1
x n + x 1 x 2 ...x n 1

Bi toỏn 11:
x, y , z 0


Cho x + y + z = 1 Cmr: P = 1 + x 2 + 1 + y 2 + 1 + z 2 10 .

x

y

z

9

Nhn xột: Ta i chiu bt ng thc ỏp dng bt svac-x .
Gii : Ta cú :
x2
y2
z2
x3
y3
z3
P = x(1
) + y (1
) + z (1
) =1 (
+
+
)

1 + x2
1 + y2
1 + z2
1 + x2 1 + y2 1 + z 2

(

)

2

x4
y4
z4
x2 + y2 + z 2
=1 (
+
+
)

1

x + x3 y + y3 z + z 3
x + y + z + x3 + y 3 + z 3

Ta cú:

10

Giải bài toán bất đẳng thức bằng phơng pháp đa về một biến.

.

x + y + z = ( x + y + z )( x + y + z xy yz zx ) + 3xyz
3

3

3

2

2

2

1
x2 + y 2 + z 2 3
x 2 + y 2 + z 2 [1 ( x 2 + y 2 + z 2 )] + 3 (
)
2
3
1
t t = x 2 + y 2 + z 2 t k t .
3

C1) Ta cú: P = f(t) = 1

2t

2

t
1 + 3t + 2t
3

.. f '(t ) =

16t +

8 3 2
t t 6t 2 2 3t 2 t
3
1
2
..t .
<0

3
t
1 + 3t + 2t ữ
3


1
3

Suy ra: f(t) nghch bin trờn [ ; + ).
1

3

Vy P = f(t) f ( ) =

1
9
Du bng xy khi v ch khi x=y=z= (pcm).
10
3

C2) Ta cú:
1
( t )(57t + 9)
2t
2t
3t + 10t + 3 9 9
9 9
P 1
1
= 2
+ = 3 2
+
t
3t + 10t + 3 10 10
3t + 10t + 3
10 10
t
3t + 1 + t 2 +
1 + 3t + 2t
3

3
1
Du bng xy khi v ch khi x=y=z= (pcm).
3
2

Bi

2

2

toỏn 12:(Tp chớ toỏn hc tui th).
x, y, z (0;1)

(1)

xyz = (1 x)(1 y )(1 z )

Cho

CMR: x 2 +y 2 +z 2

3
.
4

Gii:
Ta cú: (1) 1-(x+y+z)+xy+yz+zx=2xyz
x 2 +y 2 +z 2 =2-2(x+y+z)+(x+y+z) 2 -4xyz

3

x+ y+ z
ỏp dng bt Cụsi ta cú :
xyz nờn
3


x+ y+ z
x +y +z 2-2(x+y+z)+(x+y+z) -4

3


2

2

2

3

2

t t= x+y+z thỡ: 0 < t < 3 .Khi ú:

4 3 2
1
15
3 3

t + t 2t + 2 =
(2t 3) 2 ( t ) +
27
27
4
4 4
3
1
du bng xy ra khi t= hay x=y=z= (pcm).
2
2

x 2 +y 2 +z 2

*) T ý tng trờn ta cú th khai thỏc v sỏng to cỏc bt ng thc :
Chng hn : Chng minh v khai thỏc bi toỏn Tng quỏt4:

11


Giải bài toán bất đẳng thức bằng phơng pháp đa về một biến.

Cho x1 , x2 ,..., xn ( n 2 ) l s dng khụng ln hn . Chng minh rng:
.

a n+1
an
+ ( a x1 ) ( a x2 ) ... ( a xn ) .
x1 + x2 + ... + xn n
Lu ý: Nu chng minh g(t) 0 bng cỏch bin i nh trờn thỡ trc tiờn phi d

oỏn c du bng xy ra ti õu giỏ hay tỏch nhúm hp lý.
- Khi t n ph thỡ phi tỡm iu kin tn ti chớnh xỏc ca n ph c bit l chng
minh g(t) bng phng phỏp o hm.
Bi tp t luyn
1, Cho x,y,z l cỏc s thc khụng õm .
Cmr: 2 xyz + x 2 + y 2 + z 2 + 1 2( xy + yz + zx)
HD: Bt ng thc ca bi toỏn tng ng vi
( x + y + z )2 + 2 xyz + 1 4( xy + yz + zx). .4( xy + yz + zx) ( x + y + z ) 2 2 xyz + 1

kt hp bt ng thc cụsi ta cn chng minh:
9
(9 2t )t 2
1 vi t = x + y + z , t <
2
27

2. Cho x,y,z l cỏc s thc khụng õm . chng minh rng :
3( x 2 + y 2 + z 2 ) + 5 xyz + ( x + y + z ) + 1 6( xy + yz + zx)

3. Cho x,y,z l cỏc s thc dng chng minh rng
xyz + 2( x 2 + y 2 + z 2 ) + 8 5( x + y + z ) (THTT-s 356)
4. Cho x,y,z l cỏc s thc dng chng minh rng
x 2 + y 2 + z 2 + 2 xyz + 3 (1 + x)(1 + y )(1 + z )
xy + yz + zx 3

5. Cho x, y, z [0; 4 ] Cmr: xyz + 4( x + y + z ) 13

3
x, y , z > 0
6. Cho 2 2 2

Cmr: x + y + z + 27 xyz 30
x + y + z 3
x, y , z 0

7. Cho
Cmr: x + y + z 6
xyz x + y + z + 2

- T bt ng thc bunhiacụsxki, svac -x v ng thc
x 2 + y 2 + z 2 + 2( xy + yz + zx ) = ( x + y + z ) 2

8. Chng minh rng:

1 4 27
x+ y
1 27

4
vi mi x,y thuc R
4
4
2 2 1+ x + y
2 2

HD: t = x + y
x+ y+ z 3
x, y, z (0;2)
27

9. Cho

Cmr:

( x 2 + 2)( y 2 + 2)( z 2 + 2)



1
4x 2

+

1
4y 2

+

1
4 z 2

12


Giải bài toán bất đẳng thức bằng phơng pháp đa về một biến.
HD: t = ( x + y + z ) 2 :
x 2 + y 2 + z 2 + xyz = 4
10 . Cho
x, y , z 0

xy + yz + zx x + y + z

11. Cho
x, y, z (0;1]


Cmr:
Cmr:

.

x+ y + z 3

x2
( y + z x) 2

+

y2
( z + x y) 2

+

z2
( x + y z) 2

3

*****************************************

II. Mt bin l x(y hoc z):
vớ d trờn thỡ chỳng ta phi lm xut hin n ph.sau õy ta xột mt lp bi toỏn

m n ph chớnh l x hoc y hoc z
Bi

toỏn 13:
x + y + z = 1

Cho x, y, z 0


Cmr: P = xy + yz + zx xyz

8
27

.

Gii:

T k bi toỏn ta thy 0 z 1 1 z 0
ỏp dng bt cụsi ta cú:
2

x+ y
P = xy+yz+zx-xyz = z(x+y)+xy(1-z) z(x+y)+
(1-z)
2
2

z3 z2 + z + 1
P = xy+yz+zx-xyz z(1-z)+ 1 z (1-z)=

=
4
2
1
1
5
8
8
(z ) 2 (z + ) +

vi mi z, 0 z 1
4
3
3
27 27
1
du bng xy ra khi x= y= z= pcm.
3
3
2
z z + z +1
Cú th xột hm: f(z) =
vi 0 z 1 .
4
Bi toỏn s 14:
x + y + z = 3

Cho x, y, z 0
Cmr: 5 + xyz 2( xy + yz + zx)

Gii:
Khụng mt tớnh tng quỏt gi s z = min(x,y,z)
T iu kin d thy: 0 z 1

(9) .

x+ y 2
) ( z 2) 2 z ( x + y ) 0
2
( z 1) 2 ( z + 2)
3 z 2
z 3 3z + 2
5+(
) ( z 2) 2 z (3 z ) 0
0
0
2
4
4
ỳng vi z [0;1] . Du bng xy ra khi x=y=z=1 pcm.

(9) 5 + xy ( z 2) 2 z ( x + y ) 0 5 + (

13


Giải bài toán bất đẳng thức bằng phơng pháp đa về một biến.

z 3z + 2
vi 0 z 1 .

4
Nu ly iu kin 0 z 3 thỡ bt ng thc ỏnh giỏ biu thc trờn l

Cú th xột hm: f(z) =
Nhn

xột:

.

3

khụng ỳng. õy chỳng ta s dng tớnh cht 1 lm hn ch iu kin ca bin
cú th ỏnh giỏ c biu thc.
Bi toỏn tng quỏt 5 (Tng quỏt ca bi 14)
x + y + z = 3
x, y , z 0

Cho a < 0; b > 0 Cmr: a( xy + yz + zx) + bxyz (3a + b) 0 .
a
4


3
b
HD: Khụng mt tớnh tng quỏt gi s: z = min(x,y,z)
T iu kin d thy 0 z 1 a + bz < 0; z

3a
4 0 ta cú:

b

a ( xy + yz + zx ) + bxyz (3a + b) = xy (a + bz ) + az ( x + y ) (3a + b)
+ az (3 z ) (3a + b) =

(3 z ) 2
(a + bz ) +
4

1
3a
b( z 1) 2 ( z
4) 0
4
b

Chỳ ý: Thay i hỡnh thc bi toỏn:
S dng ng thc x 2 + y 2 + z 2 + 2( xy + yz + zx) = ( x + y + z ) 2 ta cú th a bi toỏn trờn
v bi toỏn tng ng nhng hỡnh thc khỏc :
chng hn bi 14 cú th phỏt biu di dng tng ng :
x + y + z = 3
CMR:
x, y , z 0

Cho

x 2 + y 2 + z 2 + xyz 4 .

(THTT-2006).

Tng t bi toỏn 14* ta cú th chng minh bi toỏn tng quỏt 6.
Cho

x + y + z = 3
x, y , z 0

a > 0; b < 0 CMR: a ( xy + yz + zx ) + bxyz (3a + b) 0 .
a
2


3
b

Chỳ ý : chng minh : ta gi thit z=max(x,y,z).
c bit húa ta cú bi toỏn:
x + y + z = 3
Cmr:
x, y , z 0

Vi a=1; b=-2 : Cho

xy + yz + zx 2 xyz + 1

14


Giải bài toán bất đẳng thức bằng phơng pháp đa về một biến.
Sau õy ta xột tip bi toỏn s dng gi thit: x = max(x,y,z,...) hoc x =
min(x,y,z,...) lm hn ch phm vi ca bin:

Bi

.

toỏn 15:

x, y , z [0;2]

3
3
3
Cho x + y + z = 3
Cmr: x + y + z 9 .

Gii:
Khụng mt tớnh tng quỏt, gi s: z = max(x,y,z).
T iu kin 1 z 2 .
Ta cú:
x 3 + y 3 + z 3 x 3 +y 3 +3xy(x+y) +z 3 =(x+y) 3 +z 3 =(3-z) 3 +z 3 =
=9z 3 -27z+27=9(z-1)(z-2)+9 9 vi mi z t/m : 1 z 2
du bng xy ra khi (x,y,z)=(0,1,2) v hoỏn v ca nú (pcm).

Bi toỏn 16
Cho x, y [0;

2
].
2

Cmr:

x
y
2 2
+

.
2
2
3
1+ y
1+ x

x
y
2x
2
+

x y 0 ta i chng minh:
2
2
1+ y
1+ x
1+ x2
2

2
Xột hm f(x) trờn : 0; .
2

Bi toỏn 17:

HD: Gi s :

Cho x,y,z nm trong on [1;2] ;
Chng minh rng : x 3 + y 3 + z 3 5 xyz .
Gii:
t f ( x, y, z ) = x 3 + y 3 + z 3 5 xyz
Khụng mt tớnh tng quỏt gi s : 2 x y z 1
f ( x, y, z ) f ( x, y,1) = z 3 5 xyz (1 5 xy ) = ( z 1)(1 + z + z 2 5 xy ) 0
Vỡ : z 1 0;1 + z + z 2 5 xy 1 + z + z 2 5 z 2 = 1 + z 4 z 2 = 4( z 1) 2 3z + 1 < 0
Mt khỏc : f ( x, y,1) f ( x,1,1) = y 3 5 xy (1 5 x) = ( y 1)(1 + y + y 2 5 x) 0
Vỡ y 1 0;1 + y + y 2 5 x 1 + y + y 2 5 y = y 2 4 y + 1 = ( y 1)( y 2) y 1 < 0
Vy f ( x, y, z ) f ( x,1,1) = x 3 5 x + 2 = ( x 2)[( x + 1) 2 2) 0 x,1 x 2

du bng bt ng thc xy ra khi v ch khi (x,y,z)=(2,1,1) v hoỏn v ca (2,1,1)
pcm
Bi

toỏn18:
x + y + z = 3
x, y , z 0

(õy l bi toỏn s) Cho

15


Giải bài toán bất đẳng thức bằng phơng pháp đa về một biến.
Chng minh rng: 5 + xyz 2( xy + yz + zx)

Gii
t f ( x, y, z ) = 2( xy + yz + zx) xyz
Ta cn chng minh f ( x, y, z ) 5 . Do vai trũ ca x,y,z trong f nh nhau nờn theo tớnh
cht 2 ta gi s 0 x y z kt hp iu kin ta d dng suy ra 0 x 1
Xột
.

y+z y+z
y + z ( y + z) 2
y+z
( y + z) 2
,
) = 2( xy + yz + zx) xyz 2( x
+
+x
)+x
2
2
2
4
2
4
3
1
y+z y+z
3 x 3 x
x + 3x 2
= ( x 2)( y z ) 2 0 f ( x, y , z ) f ( x,
,
) = f ( x,

,
)=
4
2
2
2
2
4
3
2
x + 3x 2
( x 1) ( x + 2)
f ( x, y , z )
5+5 = 5
5
x;0 x 1
4
4
( x 2)( y z ) 2 = 0
x = y = z = 1 (pcm).
du bng xy ra khi v ch khi
x =1

f ( x , y , z ) f ( x,

Bi

toỏn 19:

(Bt ng thc cụsi): Cho x, y, z l cỏc s thc dng;

Chng minh rng: x 3 + y 3 + z 3 3xyz .
Gii:
Khụng mt tớnh tng quỏt gi s z y x > 0
t f ( x, y, z ) = x 3 + y 3 + z 3 3xyz
Tacú:
f ( x, y, z ) f ( x, y, xy ) = z 3 ( xy ) 3 + 3 xy( xy z ) = ( z xy )( z 2 + z xy 2 xy ) 0 vỡ z xy

Mt khỏc: t g ( x, y ) = f ( x, y, xy ) = x 3 + y 3 2 ( xy ) 3
g ( x, y ) g ( x, x) = y 3 x 3 2( ( xy ) 3 x 6 ) =

(

y3 x3

)

2

0

Vy f ( x, y, z ) f ( x, y, xy ) = g ( x, y ) g ( x, x) = 0
z = xy
x = y = z pcm
x= y

du bng xy ra khi v ch khi

Mt s bi toỏn tng t
x, y , z 0
1

x( y z ) 4 + y ( z x) 4 + z ( x y ) 4
Cmr
:
12
x + y + z = 1
HD: Gi s x y z 0 t t = x( y + z ) ta chng minh c
x( y z ) 4 + y ( z x ) 4 + z ( x y ) 4 t (1 3t )
x + y + z = 1
2. Cho
Cmr:
x, y , z 0
a. y + z 16 xyz
b. xy + yz + zx 9 xyz
c. 9 xyz + 1 4( xy + yz + zx)

1. Cho

16


Giải bài toán bất đẳng thức bằng phơng pháp đa về một biến.
x, y , z 0
3. Cho
xy + yz + zx = 3
x + y + z = 1
4. Cho
Cmr:
x, y , z 0
x2 + 1

a.

+

y +1
2

xn + 1

b.

+

yn +1

y2 +1

+

z +1
2

yn +1
zn +1

+

z2 +1
x +1
2

zn +1
xn + 1

.

Cmr: 3( x + y + z ) + xyz 10



7
(bi T5 - THTT - 10/2004)
2



7
2

HD:Gi s x=max(x,y,z)
x +1
2

+

y 2 +1

+

z 2 +1

1+

y 2 +1

+

z 2 +1

1
x 2 +1
x 2 +1
1
1
3 + ( y + z) 2 +
= x 2 2x + 4 +
x 2 +1
x 2 +1
y 2 +1

z 2 +1

= 3+ y 2 + z 2 +

1
x 2 +1

Cõu b tng t!
x, y, z [0;2]
x + y + z = 3

5. Cho

Cmr :

x n + y n + z n 2n + 1

(Tng quỏt bi 8: chng minh tng t!).
- Thng ta phi s dng tớnh cht 2 mi cú ỏnh giỏ c
x

1

y

z

7

4. Cho x, y, z [ ;3] chng minh rng: x + y + y + z + z + x 5 (THTT-s 357)
3
5. Cho x,y,z l s dng chng minh rng:
xyz + 2( x 2 + y 2 + z 2 ) + 8 5( x + y + z ) (THTT-s 356)
x, y , z 0
xy + yz + zx = 3
x, y , z 0
7. Cho 2 2 2
x + y + z = 3

6. Cho

Cmr: 3( x + y + z ) + xyz 10
Cmr: 7( xy + yz + zx) 12 + 9 xyz

8. Chng minh rng :
2

zx
2
(OLIMPIC 30-4)
+
+
1


z
x
y
2


1
HD: Khụng mt tớnh tng quỏt ta gi s: z y x 1
2
1
t : z=ax ; y=bx a b 1 sau ú ỏnh giỏ tip ta a v 1bin l b.
2
xy

yz

III. Kt qu
ti ny ó c bn thõn tụi v cỏc ng nghip cựng n v thớ im trờn cỏc em
cú hc lc t khỏ tr lờn. Kt qu thu c rt kh quan, cỏc em hc tp mt cỏch say
mờ hng thỳ. Mt s em ó t c nhng thnh tớch tt qua nhng t thi hc sinh
gii va qua.

17


Giải bài toán bất đẳng thức bằng phơng pháp đa về một biến.
Tuy nhiờn vi phng phỏp ny ngi thy phi bit vn dng sỏng to phng
phỏp, luụn khụng ngng tỡm tũi, tham kho cỏc ti liu, tham kho ng nghip, xõu
chui chỳng li v cho hc sinh cỏc bi tp nh hng cỏc em hc tp, tỡm hiu.
i tng hc sinh l hc sinh khỏ gii, luụn tin tng thy, cú iu kin hc tp,
nghiờn cu.
.

C. Kt lun
Trong quỏ trỡnh ging dy, nghiờn cu bn thõn tụi cựng vi s giỳp ca cỏc
ng nghip ó ỳc rỳt ra c mt s kinh nghim ; Thụng qua ti ny mong hi
ng khoa hc v cỏc ng nghip kim nh v gúp ý ti ngy hon thin hn, cú
ng dng rng rói trong quỏ trỡnh ging dy v bi dng hc sinh.
Xin chõn thnh cm n!
H Tnh, ngy 15 thỏng 5 nm 2011

Ti liu tham kho
1.Tp chớ toỏn hc v tui tr.
2. Sỏng to bt ng thc _Phm Kim Hựng

3. Cỏc phng phỏp chng minh bt ng thc _Trn Tun Anh
4. Cỏc bi toỏn chn lc v bt ng thc ca
Phan HuyKkhi_Nguyn o Phng
5.Olimpic 30_4

18