CỘNG HƯỞNG THAM số của PHONON âm và PHONON QUANG bị GIAM GIỮ TRONG dây LƯỢNG tử HÌNH CHỮ NHẬT

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (402.03 KB, 17 trang )

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-----------

BÙI THỊ THANH THỦY
LỜI CAM ĐOAN
CỘNG HƯỞNG THAM SỐ CỦA PHONON ÂM
VÀ PHONON QUANG BỊ GIAM GIỮ TRONG
DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số
liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong Luận văn là trung thực, được các
đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ

Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số

một công trình nghiên cứu nào khác.

: 60 44 01
Huế, tháng 09 năm 2010
Tác giả Luận văn

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
Bùi Thị Thanh Thủy

Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. TRẦN CÔNG PHONG

Huế, năm 2010

i

ii

MỤC LỤC

Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

sắc đến thầy giáo - PGS.TS Trần Công Phong và Ths. Lê Thị Thu Phương

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện.

Danh sách các hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN . . . . . . .

9

1.1. Tổng quan về dây lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.1. Bán dẫn thấp chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.2. Bán dẫn dây lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.3. Dây lượng tử hình chữ nhật . . . . . . . . . . . . .

11

LỜI CẢM ƠN

Hoàn thành Luận văn tốt nghiệp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu

Qua đây, em xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô trong khoa Vật Lý

và phòng Đào tạo sau Đại học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế, Sở
GDĐT tỉnh Quảng Nam, Trường THPT Quế Sơn, các bạn học viên Cao
học khóa 17 cùng gia đình và bạn bè đã động viên, góp ý và giúp đỡ để
Luận văn được hoàn thiện.

Huế, tháng 09 năm 2010
Tác giả Luận văn

1.2. Hamiltonian của phonon âm và phonon quang bị giam giữ
trong dây lượng tử hình chữ nhật . . . . . . . . . . . . . .

13

Chương 2. TÍNH GIẢI TÍCH CỘNG HƯỞNG THAM
Bùi Thị Thanh Thủy

SỐ CỦA PHONON ÂM VÀ PHONON QUANG BỊ
GIAM GIỮ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ
NHẬT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.1. Hệ phương trình động lượng tử và phương trình tán sắc cho
phonon âm dọc (LA) và phonon quang dọc (LO) bị giam

iii

giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật . . . . . . . . . . . .

16

2.1.1. Hệ phương trình động lượng tử . . . . . . . . . . .

16

1

2.1.2. Phương trình tán sắc . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ

2.2. Cộng hưởng tham số của phonon âm và phonon quang bị
giam giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật . . . . . . . . .

33

2.2.1. Điều kiện gia tăng tham số cho phonon âm . . . . .

33

3.1

Sự phụ thuộc vào số sóng âm của biên độ trường ngưỡng

2.2.2. Điều kiện cộng hưởng tham số của phonon âm và

Eth đối với các giá trị nhiệt độ khác nhau. Đường liền nét,

phonon quang trong trường hợp khí electron không

đường gạch gạch, đường chấm chấm lần lượt tương ứng với

suy biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

Chương 3. KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN . .

42

3.1. Khảo sát sự phụ thuộc của biên độ trường ngưỡng vào số
sóng âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

các nhiệt độ T=73 K, 77 K, và 81 K. Ở đây, Ω = 4 × 1013
Hz, Lx = 40 nm, Ly = 10 nm, Lz = 60 nm.
3.2

43

43

Sự phụ thuộc vào kích thước sợi dây của biên độ trường
ngưỡng Eth đối với các giá trị tần số laser khác nhau của
trường ngoài. Đường liền nét, đường gạch gạch, đường chấm

3.2. Khảo sát sự phụ thuộc của biên độ trường ngưỡng vào kích
thước của dây . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

chấm lần lượt tương ứng với các tần số Ω=4.0 Hz, 4.5 Hz,

44

và 5.0 Hz. Ở đây, T = 77 K, Ly = 20 nm, Lz = 60 nm,

3.3. Khảo sát sự phụ thuộc của biên độ trường ngưỡng vào nhiệt
độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.4. Khảo sát sự phụ thuộc của hệ số F vào số sóng âm . . . .

46

qz = 1.5 × 108 m−1 .
3.3

49

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

PHỤ LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

P.1

44

Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của biên độ trường ngưỡng đối với
các giá trị số sóng khác nhau. Đường liền nét, đường gạch

3.5. Khảo sát sự phụ thuộc của hệ số F vào kích thước của sợi dây 47
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

gạch, đường chấm chấm lần lượt tương ứng với các số sóng
qz = 1.65 × 108 m−1 , qz = 1.75 × 108 m−1 , qz = 1.85 × 108
m−1 . Ở đây, Ω = 4 × 1013 Hz, Lx = 60 nm, Ly = 10 nm,
Lz = 90 nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4

45

Sự phụ thuộc vào số sóng âm của hệ số F đối với các giá trị
nhiệt độ khác nhau. Đường liền nét, đường gạch gạch, đường
chấm chấm lần lượt tương ứng với các nhiệt độ T =73 K, 77
K, và 81 K. Ở đây, Ω = 4 × 1013 Hz, Lx = 40 nm, Ly = 10
nm, Lz = 60 nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

3.5

46

3

Sự phụ thuộc vào kích thước sợi dây của hệ số F đối với các

MỞ ĐẦU

giá trị khác nhau của tần số trường ngoài. Đường liền nét,
đường gạch gạch, đường chấm chấm lần lượt tương ứng với

1. Lý do chọn đề tài
Trong thời gian gần đây, áp dụng các phương pháp Epitaxy hiện đại

các tần số Ω=4.0 Hz, 4.5 Hz, 5.0 Hz. Ở đây, T = 77 K,
qz = 108 m−1 , Ly = 10 nm, Lz = 60 nm. . . . . . . . . . .

47

như Epitaxy chùm phân tử (MBE), các lớp của hai hay nhiều chất bán
dẫn có cùng cấu trúc có thể lần lượt được tạo ra. Trong cấu trúc trên,
ngoài trường điện thế tuần hoàn của các nguyên tử, trong mạng tinh thể
còn tồn tại một trường điện thế phụ. Tùy thuộc vào trường điện thế phụ
mà các bán dẫn này thuộc về bán dẫn có cấu trúc hố lượng tử, siêu mạng,
dây lượng tử, hay chấm lượng tử. Khi theo một phương nào đó có trường
thế phụ thì phổ năng lượng của các hạt tải (electron, lỗ trống) theo chiều
này bị lượng tử hóa, hạt tải chỉ còn tự do trong số chiều còn lại. Chính vì
tính chất giam giữ mạnh nên các bán dẫn này có các tính chất vật lý trong
đó có tính chất điện, quang, và phản ứng với trường cao tần khác nhau và
khác với các bán dẫn khối thông thường [3].
Việc chuyển từ hệ electron 3 chiều sang hệ electron thấp chiều đã làm

thay đổi đáng kể cả về mặt định tính cũng như định lượng các tính chất
vật lý của các vật liệu. Việc nghiên cứu cấu trúc cũng như các hiện tượng
vật lý trong các bán dẫn thấp chiều này cho thấy cấu trúc đã làm thay
đổi đáng kể nhiều đặc tính của vật liệu, đồng thời cấu trúc cũng đã làm
xuất hiện thêm nhiều đặc tính mới, ưu việt hơn mà các hệ electron 3 chiều
thông thường không có. Các vật liệu mới với các cấu trúc bán dẫn nói trên
đã giúp cho việc tạo ra các linh kiện, thiết bị dựa trên những nguyên tắc
hoàn toàn mới và công nghệ hiện đại có tính chất cách mạng trong khoa
học kỹ thuật nói chung và trong lĩnh vực quang điện tử nói riêng. Đó là lý
do tại sao các cấu trúc trên được nhiều nhà vật lý quan tâm nghiên cứu.
Có rất nhiều hiệu ứng vật lý cần được nghiên cứu trong bán dẫn thấp

4

5

chiều. Trong số các hiệu ứng này, thì các hiệu ứng cao tần xảy ra do phản

2. Mục tiêu nghiên cứu

ứng của hệ electron dưới tác dụng của trường điện từ cao tần (trường
Về nội dung, mục tiêu của đề tài này là áp dụng thống kê lượng tử vào

laser) được quan tâm nhiều. Một trong các lý do của việc tập trung nghiên
cứu các hiệu ứng này trong các bán dẫn thấp chiều là do tính không đẳng
hướng mạnh của hiện tượng chuyển tải lượng tử và độ linh động của hạt
tăng cao. Hiệu ứng liên quan đến tương tác electron-phonon mà chúng tôi
quan tâm nghiên cứu trong luận văn này là tương tác tham số.

nghiên cứu cộng hưởng tham số các phonon dưới tác dụng của trường laser
mạnh trong dây lượng tử bán dẫn khi có mặt tương tác electron-phonon.
Đề tài cần phải thu nhận được các biểu thức giải tích tường minh cho điều
kiện cộng hưởng và gia tăng tham số trong dây lượng tử. Thực hiện tính số
với các bán dẫn dây lượng tử thực để ước lượng các giá trị trên, đối chiếu

Hiệu ứng tương tác và biến đổi tham số là một cơ chế mới về sự chuyển
hóa năng lượng giữa các kích thích dưới tác dụng của trường điện từ ngoài.

với các thông số có thể đạt được trong kỹ thuật hiện nay để kết luận khả
năng ứng dụng vào thực tiễn.

Các kích thích này có thể là cùng loại (ví dụ: phonon-phonon) hoặc khác
Về phương pháp, mục tiêu của đề tài này là nhằm áp dụng và hoàn

loại (phonon-plasmon). Tương tác tham số và biến đổi tham số dẫn đến
sự suy giảm của loại kích thích này và gia tăng của một loại kích thích
khác khi điều kiện gia tăng tham số được thực hiện. Hiệu ứng cộng hưởng
tham số của phonon âm và phonon quang khi có mặt sóng điện từ đã được

thiện hơn các phương pháp phương trình động lượng tử trong thống kê
lượng tử cho dây lượng tử bán dẫn, khẳng định ưu việt của phương pháp
này.

nghiên cứu khá đầy đủ trong bán dẫn khối thông thường [9], [16], [27], [33],
[37], một phần đối với bán dẫn hố lượng tử [36] và dây lượng tử bán dẫn
[4], [28], nhưng với giả thiết phonon khối. Việc xem xét phonon bị giam
giữ trong dây lượng tử bán dẫn cần được nghiên cứu một cách cơ bản và
hệ thống. Về mặt nguyên tắc, hiệu ứng này có thể quan sát bằng thực
nghiệm.

3. Nhiệm vụ và đối tượng nghiên cứu
+ Nhiệm vụ nghiên cứu
- Sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử đối với hai loại
phonon để tìm biểu thức giải thích cho điều kiện cộng hưởng tham số của
phonon âm và phonon quang

Tóm lại, vì tương tác electron-phonon trong dây lượng tử bán dẫn xảy
ra khác biệt so với bán dẫn khối và trong các bán dẫn thấp chiều khác,
đặc biệt khi xem xét phonon bị giam giữ nên hiệu ứng này mang các đặc
tính mới. Đó là lý do chúng tôi chọn đề tài "Cộng hưởng tham số của
phonon âm và phonon quang bị giam giữ trong dây lượng tử

- Xác định phổ tái chuẩn hóa của phonon âm (quang). Tính số trường
ngưỡng và hệ số biến đổi tham số phonon quang (âm) thành phonon âm
(quang) và khảo sát đại lượng này. Các nội dung trên được nghiên cứu cho
trường hợp khí electron không suy biến
+ Đối tượng nghiên cứu

hình chữ nhật".

- Đối tượng nghiên cứu về nội dung tập trung chủ yếu vào cộng hưởng
6

7

tham số và biến đổi tham số của phonon âm và phonon quang.

Chương 1

- Đối tượng nghiên cứu về phương pháp là phương trình động lượng

MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN

tử cho phonon.

Chương này trình bày một số kiến thức cơ sở của dây lượng tử,

4. Phương pháp nghiên cứu

biểu thức của phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử, HamiltoTrên phương diện nghiên cứu lý thuyết, bài toán được giải quyết theo

nian của phonon bị giam giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật

quan điểm lượng tử trên cơ sở áp dụng các phương pháp của lý thuyết
trường lượng tử cho hệ nhiều hạt. Trong đề tài này, chúng tôi sử dụng
phương pháp phương trình động lượng tử và các phép tính đại số toán tử
để tính giải tích. Sau đó sử dụng phần mềm Mathematica để thực hiện

1.1.

Tổng quan về dây lượng tử

1.1.1.

Bán dẫn thấp chiều

tính số và vẽ đồ thị.
Hệ bán dẫn thấp chiều thường được tạo ra bằng phương pháp Epitaxy,
trong đó các lớp mỏng chất bán dẫn có bề rộng vùng cấm khác nhau được

5. Phạm vi nghiên cứu

tạo ra xen kẽ nhau. Một hệ bán dẫn thấp chiều là một hệ lượng tử trong
Đề tài này chỉ giới hạn nghiên cứu với dây lượng tử hình chữ nhật
và với giả thiết phonon bị giam giữ. Vì đề tài này chỉ tập trung nghiên
cứu tương tác electron-phonon nên bỏ qua tương tác cùng loại như tương
tác electron-electron, phonon-phonon. Chỉ xét cộng hưởng bậc 1 trong bài
toán cộng hưởng tham số của hai loại phonon.

đó các hạt mang điện dịch chuyển tự do hoặc theo hai chiều, một chiều
hoặc không chiều. Kích thước của hệ này vào cỡ bước sóng Debroglie của
hạt mang điện nên tính chất vật lý và điện tử thay đổi đầy "kịch tích". Ở
đây, các quy luật cơ học lượng tử bắt đầu có hiệu lực [8].
Việc phân loại hệ bán dẫn thấp chiều dựa trên số hướng không gian
mà hạt mang điện có thể chuyển động tự do. Từ đó, ta có các hệ bán dẫn

6. Bố cục luận văn

thấp chiều sau [8]:
Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, phần
nội dung chính của Luận văn gồm có ba chương. Chương 1 trình bày những
vấn đề tổng quan. Chương 2 trình bày phần tính giải tích cộng hưởng tham
số của phonon âm và phonon quang bị giam giữ trong dây lượng tử hình
chữ nhật. Chương 3 trình bày các kết quả tính số và thảo luận.

+ Hệ giếng lượng tử và siêu mạng: Trong hệ này các hạt mang điện
bị nhốt theo một hướng và chuyển động tự do theo hai hướng.
+ Hệ dây lượng tử: Trong hệ này các hạt mang điện bị nhốt theo hai
hướng và chuyển động tự do theo một hướng khác.

+ Hệ chấm lượng tử: Trong hệ này các hạt mang điện bị nhốt cả 3

8

9

hướng và không thể chuyển động theo bất kỳ hướng nào.

cầu thực nghiệm và mức độ phức tạp của dạng thế đó. Trong trường hợp
cụ thể có thể ghép các hố thế với nhau, chẳng hạn một chiều là hố thế

1.1.2.

parabol, một chiều hố thế tam giác, hoặc một chiều hố thế hình vuông và

Bán dẫn dây lượng tử

một chiều hố thế vô hạn [20].
Dây lượng tử là một cấu trúc vật liệu trong đó chuyển động của
electron bị giới hạn theo hai chiều, kích cỡ tối đa cỡ 100 nm. Trong dây

1.1.3.

Dây lượng tử hình chữ nhật

lượng tử, các electron chuyển động tự do chỉ theo một chiều, vì thế hệ
Xét dây lượng tử hình chữ nhật với tiết diện có cạnh là Lx , Ly . Phương

electron tự do còn gọi là khí electron chuẩn một chiều. Khi một lớp mỏng

của một chất bán dẫn có vùng cấm hẹp được bao quanh bởi một bán dẫn

trình Schrodinger đối với electron có dạng [8]:
ˆ = Eψ,
Hψ

(1.1)

2
ˆ = − ∇2 + U (z) + V,
H
2m∗

(1.2)

có vùng cấm rộng lớn thì ta có cấu trúc của một dây lượng tử [20].
Hiện nay, người ta có thể tạo ra nhiều dây lượng tử có tính chất tốt

với

bằng nhiều cách khác nhau. Ví dụ: từ một lớp giếng lượng tử nhờ kỹ thuật
lithography (in li-to) và photoetching (quang khắc), người ta tạo ra được
các dây lượng tử có hình dạng khác nhau mà phổ biến là dây hình chữ

trong đó, m∗ là khối lượng hiệu dụng của electron; U (z) là thế năng của

nhật và dây hình trụ. Một loại dây lượng tử khác có thể được tạo ra bằng

electron theo phương z (ở đây ta chọn U (z) = 0); V là thế năng của

cách định hình trước khi cho tinh thể lớn dần lên. Đây là loại dây răng

electron trong mặt phẳng (x, y), nó có dạng:


0 khi 0 ≤ x ≤ Lx , 0 ≤ y ≤ Ly ,
V =

∞ nếu x > L , y > L .
x
y

cưa chữ V được tạo ra nhờ nuôi Epitaxy trên một rãnh hình chữ V với vật
liệu không phân cực. Ngoài ra còn có một số cấu trúc hay được nghiên cứu
như dây lượng tử hình chữ T, dây lượng tử hình cái lược (gắn nhiều dây
lượng tử vào một dây lượng tử khác, giống như cái lược...) [20].

Vì chuyển động của electron theo phương z độc lập với chuyển động

Do có cấu trúc một chiều nên các hiệu ứng lượng tử thể hiện rõ hơn
so với cấu trúc lượng tử hai chiều. Các khảo sát lý thuyết chủ yếu dựa trên

trong mặt phẳng (x, y) nên hàm sóng và năng lượng của electron có thể
viết dưới dạng:

hàm sóng, phổ năng lượng thu được nhờ giải phương trình Schrodinger và

ψ(x, y, z) = ψ(x, y)ψ(z),

(1.4)

E = Ez + Ex,y ,

(1.5)

sử dụng thế tương tác Coulomb. Các mô hình được sử dụng là hố thế cao
vô hạn, hố thế parabol (thích hợp với dây có kích thước nhỏ), thế tam
giác... Sử dụng loại thế nào phụ thuộc vào điều kiện của từng bài toán

trong đó
2 2

Ez =

(các giả thiết về cấu trúc hình học của dây, nhiệt độ, trường ngoài...), yêu

k
,
2m∗

10

1
ψ(z) = √ eikz z ,
Lz

(1.6)

11

với Lz là độ dài của dây; k là thành phần của vectơ sóng k theo phương z,

ta nhận được biểu thức của năng lượng:

k = (0, 0, kz ).

Ex =

Bây giờ ta giải phương trình Schrodinger để tìm năng lượng và hàm

(1.7)

Lz

A2
(1.8)

E = Ex + Ey .

(1.10)

Từ đó ta thu được hai phương trình theo hai phương x và y
d2 ψ(x) 2m∗
+ 2 Ex ψ(x) = 0,
dx2
d2 ψ(y) 2m∗
+ 2 Ey ψ(y) = 0.
dy 2

2

.
Lx

(1.18)

2
nx πx
sin
.
Lx
Lx

(1.19)

Tương tự ta cũng có

Khi đó phương trình (1.7) có dạng
− 2 ∂2
∂2
[
+
]ψ(x)ψ(y) = (Ex + Ey )ψ(x)ψ(y).
2m∗ ∂x2 ∂y 2

(1.17)

nx πx
dx = 1 ⇒ A =
Lx

ψnx (x) =
(1.9)

nx πx
,
Lx

Do đó

Đây chính là bài toán giếng thế 2 chiều, vì vậy ta đặt
ψ(x, y) = ψ(x)ψ(y),

sin2

0

2

ˆ = − [ ∂ + ∂ ].
H
2m∗ ∂x2 ∂y 2

(1.16)

trong đó hệ số A được xác định từ điều kiện chuẩn hóa

trong đó
2

nx = 1, 2, 3...

ψ(x) = A sin

dạng
ˆ
Hψ(x,
y) = Eψ(x, y),

π 2 2 n2x
,
2m∗ L2x

và hàm sóng có thể được viết lại như sau

sóng của electron trong mặt phẳng (x, y). Phương trình Schrodinger có

2

(1.3)

Ey =

ψny (y) =

2
ny πy
sin
,
Ly
Ly

(1.20)

π 2 2 n2y
;
2m∗ L2y

ny = 1, 2, ...

(1.21)

Cuối cùng ta thu được hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong dây
(1.11)

lượng tử hình chữ nhật như sau
ψnx ny k (x, y, z) =

(1.12)

1 ikz
e
Lz

2
nx πx
sin
Lx
Lx

2

ny πy
sin
,
Ly
Ly

2 2
k
π n2x n2y
+
( + ).
∗
2m
2m∗ L2x L2y

(1.22)

2 2

Enx ny (k) =

Phương trình vi phân
d2 ψ(x) 2m∗
+ 2 Ex ψ(x) = 0,
dx2

(1.13)

ψ(x) = A sin K1 x = B cos K1 x.

(1.14)

có nghiệm là:

1.2.

(1.23)

Hamiltonian của phonon âm và phonon quang
bị giam giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật

Sự giam giữ phonon có ảnh hưởng đến tốc độ thay đổi số phonon,

Với
K12 =

2m∗
2

12

điều này có thể được khảo sát bằng cách áp dụng phương pháp Leburton
Ex ,

(1.15)

và Fasol [5].
13

Khi xét cộng hưởng tham số của phonon âm và phonon quang bị giam

nπy
cos( mπx
Lx ) cos( Ly )

SH4 =

giữ trong dây lượng tử chữ nhật thì ta phải sử dụng Hamilton Frochlich

m=2,4,6,... n=2,4,6,...

nπ 2 1/2
2
[qz2 + ( mπ
Lx ) + ( Ly ) ]

[A− (qz )− + A+
− (−qz )− ],
(1.29)

của hệ electron-phonon [5], [26], [30], [35].
với
Để thu được Hamilton Frochlich mô tả tương tác của phonon LO và
electron 1D, Stroscio xuất phát từ Hamilton Frochlich 3D, HF3Dr , và áp đặt

1
a+ (q) = − √ (aqz ,q + a−qz ,q ),
2

thêm điều kiện biên là thế LO-phonon theo các hướng x và hướng y triệt

1
A+ (qz ) = √ [a± (qx , qy ) + a± (qx , −qy ),
2
−i
A− (qz ) = √ [a± (qx , qy ) − a± (qx , −qy ).
2

tiêu. Từ đó, toán tử HF3Dr có dạng:
HF3Dr =

VQ e−iQr (qQ + a+
),
−Q

(1.24)

Q

trong đó Q = (qz , q) là vectơ sóng của phonon và VQ=γ/Q2 là hằng số tương
tác electron-phonon (γ là hằng số).
Để tìm được Hamiltonian Frohlich 1D (HF1Dr ) cho phonon bị giam giữ

i
a− (q) = − √ (aqz ,q − a−qz ,q ),
2

(1.30)
(1.31)

(1.32)

+
Hai toán tử a+
+ (−q) và a− (−q) tương ứng là liên hợp của hai toán tử

a+ (−q) và a− (−q).
Khi xét vectơ cường độ điện trường phân cực theo phương z ta có thể
viết lại Hamitonian Frohlich tương tác của electron-phonon LO như sau

theo hai chiều x và y ta viết tổng theo Q thành tổng theo q và tổng theo
giá trị dương của q, khai triển exp(±iqx y) và exp(±iqz ), với m và n là

Tương tự ta cũng xây dựng được Hamitonian Frohlich tương tác của
electron-phonon LA

y = ±Ly /2, ta tìm được:
HF1Dr = 2γ

(1.33)

kz ,α,α ,qz ,m,n

các số lượng tử do sự giam giữ phonon trong dây, chọn qx = ±mπ/Lx
và qy = ±nπ/Ly để đảm bảo rằng các mode triệt tiêu tại x = ±Lx /2 và

+
γI1D (qz )c+
kz +qz ,α ckz ,α (bqz ,m,n + b−qz ,m,n ).

He−op =

e−iqx x [(SH1) + (SH2) + (SH3) + (SH4)],

(1.25)

+
γ I1D (qz )c+
kz +qz ,α ckz ,α (aqz ,m,n + a−qz ,m,n ),

He−ac =

(1.34)

kz ,α,α ,qz ,m,n

qz

trong đó

trong đó I1D (qz ) là thừa số dạng của electron trong tương tác electronnπy
cos( mπx
Lx ) cos( Ly )

SH1 =
m=1,3,5,... n=1,3,5,...

nπy
cos( mπx
Lx ) cos( Ly )

SH2 =
m=1,3,5,... n=2,4,6,...

SH3 =

nπ 2 1/2
2
[qz2 + ( mπ
Lx ) + ( Ly ) ]

nπ 2 1/2
2
[qz2 + ( mπ
Lx ) + ( Ly ) ]
nπy
cos( mπx
Lx ) cos( Ly )

[A+ (qz )+ +

A+
+ (−qz )+ ],

[A+ (qz )− +

A+
+ (−qz )− ],

phonon trong dây lượng tử [26], [35].

(1.26)

(1.27)

+
nπ 2 1/2 [A− (qz )+ + A− (−qz )+ ],
2
[q 2 + ( mπ
Lx ) + ( Ly ) ]
m=2,4,6,... n=1,3,5,... z

(1.28)
15

14

electron- phonon bị giam giữ trong dây lượng tử có dạng [5]:

Chương 2
TÍNH GIẢI TÍCH CỘNG HƯỞNG THAM SỐ CỦA
PHONON ÂM VÀ PHONON QUANG BỊ GIAM
GIỮ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT

H(t) = He + Hac + Hop + He−ac + He−op
e
=
εα (k − A(t))c+
c +
ωq,m,n a+

q,m,n aq,m,n
α,k α,k
c
q,m,n

α,k

+
νq,m,n bq,m,n
bq,m,n

+
q,m,n

Chương này trình bày về Hamiltonian của hệ electron-phonon bị
giam giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật và tính toán giải tích
để thu được kết quả điều kiện cộng hưởng của phonon âm dọc

γI1D (q)c+
c (a
+ a+
−q,m,n )
k+q,α k,α q,m,n

+
k,α,α ,q,m,n

γ I1D (q)c+
c (b
+ b+

−q,m,n ),
k+q,α k,α q,m,n

+
k,α,α ,q,m,n

(2.1)
trong đó:

(LA) và phonon quang dọc (LO) khi bị giam giữ trong dây lượng
k = (0, 0, kz ), q = (0, 0, qz ) lần lượt là xung lượng của electron và

tử hình chữ nhật.

phonon bị giới hạn theo trục của dây (trục z).

2.1.

Hệ phương trình động lượng tử và phương trình
tán sắc cho phonon âm dọc (LA) và phonon
quang dọc (LO) bị giam giữ trong dây lượng tử
hình chữ nhật

2.1.1.

He =

α,k εα (k

Hac =

q,m,n

quang dọc (LO) bị giam giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật
khi có mặt trường bức xạ laser.
Chúng ta khảo sát sự tương tác của electron- phonon bị giam giữ
trong dây lượng tử hình chữ nhật đặt trong trường laser có vectơ cường
độ điện trường E = E0 sin Ωt vuông góc với phương truyền sóng. Thế
vectơ tương ứng là A(t) = Ωc E0 cos Ωt. Nếu bỏ qua tương tác các hạt cùng
loại (tương tác electron- electron, phonon- phonon) thì Hamiltonian của
16

là năng lượng của các điện tử không

ωq,m,n a+
q,m,n aq,m,n là năng lượng của các phonon âm bị

giam giữ không tương tác.
q,m,n

+
νq,m,n bq,m,n
bq,m,n là năng lượng của các phonon quang

bị giam giữ không tương tác.
He−ac =

* Hamiltonian của hệ điện tử-phonon âm dọc (LA) và phonon

+

e
c A(t))cα,k cα,k

tương tác.

Hop =

Hệ phương trình động lượng tử

−

+
k,α,α ,q,m,n γI1D (q)ck+q,α ck,α (aq,m,n

+ a+
−q,m,n ) là năng lượng

tương tác giữa điện tử và phonon âm bị giam giữ.
He−op =

k,α,α ,q,m,n γ

I1D (q)c+
c (b
+ b+
−q,m,n ) là năng lượng
k+q,α k,α q,m,n

tương tác giữa điện tử và phonon quang bị giam giữ.
εα (k −

e
c A(t))

là phổ năng lượng của điện tử trong trường ngoài.

c+
và ck,α lần lượt là toán tử sinh và hủy điện tử.
k,α
+
aq,m,n
và aq,m,n lần lượt là toán tử sinh và hủy phonon âm.

b+
q,m,n và bq,m,n lần lượt là toán tử sinh và hủy phonon quang.
17

ωq,m,n và νq,m,n lần lượt là tần số của phonon âm và phonon quang.

* Phương trình động lượng tử cho phonon LA

A(t) là thế vectơ, xác định bởi trường laser (E = E0 sin Ωt)

Trong biểu diễn Heisenberg, phương trình chuyển động của phonon

c
A(t) = E cos Ωt.
Ω

(2.2)

được viết như sau [3]:
∂
aq,m,n t = [aq,m,n , H]
∂t

i

γ và γ lần lượt là hệ số tương tác giữa điện tử và phonon âm [30],

= [aq,m,n , He ] t + [aq,m,n , Hac ] t + [aq,m,n , Hop ]

giữa điện tử và phonon quang [5].
γ=[

(2.3)

trong đó x

(2.4)

giao hoán tử của hai toán tử A và B.

t

là trung bình thống kê của toán tử x, [A, B] = AB − BA là

+
[aq,m,n , aq+,m ,n ] = aq,m,n a+

q ,m ,n − aq ,m ,n aq,m,n = δq,q δm,m δn,n ,
+
[aq , aq ,m ,n ] = [a+
q , aq ,m ,n ] = 0,

χ∞ , χ0 là mật độ thẩm điện môi cao tần và tĩnh.
I1D (q) là thừa số tương tác điện tử- phonon bị giam giữ trong dây

Đồng thời áp dụng các hệ thức:
[AB, C] = A[B, C] + [A, C]B,

lượng tử hình chữ nhật [26], [35].
2

(2π)
mπ 2
nπ
|
4Pm,n [q 2 + (
) + ( )2 ]−1/2 |2 ,
Lx Ly m,n=1,3,5...
Lx
Ly

Pm,n =

dx dy

Lx Ly
−Ly /2 2 2

−Lx /2

[C, AB] = A[C, B] + [C, A]B.

(2.5)
Ta thu được

với
Ly /2

ny πy
ny πy
n πx
nx πx
) cos(
) cos( x ) cos(
)
cos(
Lx
Ly
Lx
Ly


mπx
nπy

cos
cos



Lx
Ly




mπx
nπy

(2.6)
.

sin
cos
Lx
Ly
×
mπx
nπy



sin L cos L


x
y


 mπx

nπy


sin
sin
Lx
Ly

[aq,m,n , He ] t = [aq,m,n , Hop ] t = [aq,m,n , He−op ] t = 0.

8 2
[35], [30]: P11 = ( 3π
) , P13 = P31 = 15 P11 , P15 = P51 =

[aq,m,n , Hac ] t = ωq,m,n aq,m,n t ,

Thay (2.8), (2.9), (2.10) vào phương trình (2.7) ta được
∂
aq,m,n t = ωq,m,n aq,m,n t +
∂t

i

∂ +
c
c t = [c+
c , H] t = [c+
c , He ]

k−q,α k,α
k−q,α k,α
∂t k−q,α k,α

(2.11)

k,α,α

Giả thiết t = −∞ hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt động
aq,m,n

= c+
c
k−q,α k,α

t=−∞

= 0.

(2.18)

Lấy tích phân 2 vế phương trình (2.18)

t

(2.12)

+ [c+
c , He−ac ] t + [c+
c , He−op ]

k−q,α k,α
k−q,α k,α

∂ c+
c
k−q,α k,α

t

t

−∞

= SH1 + SH2 + +SH3 + SH4 + SH5.

0
t

c+
c 0
k−q,α k,α t

=

t

−i

εα (k) − εα (k − q) −
−∞

e
q A(t) dt1 . (2.19)
m∗ c

Giải tích phân (2.19) ta tìm được

Tính các số hạng trên (Phụ lục 2) và thu được kết quả
e
q A(t)
m∗ c

t=−∞

t

+ [c+
c , Hac ] t + [c+
c , Hop ]
k−q,α k,α
k−q,α k,α

c+
c
,
k−q,α k,α t

(2.13)

SH2 = SH3 = 0,

q1 ,m,n

γI1D (−q) c+
c
.
k−q,α k,α t

19

Tương tự ta thiết lập phương trình động lượng tử cho c+
c
.
k−q,α k,α t

SH4 =

(2.10)

k,α,α

−1
35 P11 .

Để tìm biểu thức cuối cùng của phương trình (2.11) ta tìm c+
c
.
k−q,α k,α t

εα (k) − εα (k − q) −

(2.9)

γI1D (−q) c+
c
.
k−q,α k,α t

∗[aq,m,n , He−ac ] t =

18

SH1 =

(2.8)

Theo phụ lục 1 ta thu được kết quả sau

α,α
Một số giá trị của Pm,n
tương ứng với các giá trị của m và n như sau

i

(2.7)

Sử dụng các hệ thức giao hoán sau:

dạng.

Lx /2

t

+ [aq,m,n , He−ac ] t + [aq,m,n , He−op ] t ,

2
(qm,n
+ qz2 )ξ 2
qξ 2 1/2
] =[
]1/2 ,
2ρva V
2ρva V
2πe2
1
1
γ =[
ω(
− )]1/2 .
V
χ∞ χ0

V , ρ, va , ξ lần lượt là thể tích, mật độ, vận tốc âm và hằng số thế biến

I1D (q) =

t

c+

c
k−q,α k,α

0
t

= exp

−i

t

εα (k) − εα (k − q) −
−∞

e
q A(t) dt1 . (2.20)
m∗ c

Đặt

+
+
γI1D (q1 ) (aq1 ,m,n + a+
−q1 ,m,n )(ck−q,α ck−q1 ,α − ck−q+q ,α ck,α ) t ,

c+
c
= φ(t) c+
c 0.

k−q,α k,α t
k−q,α k,α t

1

(2.21)

(2.14)
SH5 =
q1 ,m,n

+
+
γ I1D (q1 ) (bq1 ,m,n + b+
−q1 ,m,n )(ck−q,α ck−q1 ,α − ck−q+q ,α ck,α ) t .

(2.15)
Thay SH1, SH2, SH3, SH4, SH5 vào phương trình (2.12) ta được
∂ +
i
c
c
∂t k−q,α k,α
=

e
q A(t)
m∗ c

γI1D (q1 ) (aq1 ,m,n +

q1 ,m,n

+
q1 ,m,n

∂ +
∂φ(t) +
c
c t=
ck−q,α ck,α
∂t k−q,α k,α
∂t
i
− φ(t) c+
c
k−q,α k,α

0
t

εα (k) − εα (k − q) −

e
q A(t) .
m∗ c
(2.22)

c+
c
k−q,α k,α

+
a+
−q1 ,m,n )(ck−q,α ck−q1 ,α

t

Hay
− c+
c )
k−q+q ,α k,α
1

t

i
+
+
γ I1D (q1 ) (bq1 ,m,n + b+
−q1 ,m,n )(ck−q,α ck−q1 ,α − ck−q+q ,α ck,α ) t .
1

(2.16)
Để giải phương trình (2.16) ta giải phương trình vi phân thuần nhất sau
∂ +
i
c
c
∂t k−q,α k,α

0
t

t

εα (k) − εα (k − q) −

+

Lấy đạo hàm 2 vế phương trình (2.21) (phụ lục 3) ta có

1

0
t

=

e
εα (k) − εα (k − q) − ∗ q A(t)
mc
20

∂φ(t) +
∂ +
c
c t=i
ck−q,α ck,α
∂t k−q,α k,α
∂t

+ φ(t) c+
c
k−q,α k,α
=i

0
t

εα (k) − εα (k − q) −

∂φ(t) +
ck−q,α ck,α
∂t

+ c+
c
k−q,α k,α

t

0
t

0
t

εα (k) − εα (k − q) −

c+
c 0 . (2.17)

k−q,α k,α t

e
q A(t)
m∗ c

e
q A(t) .
m∗ c
(2.23)

21

So sánh phương trình (2.16) và (2.23) ta có

i

∂φ(t) +
ck−q,α ck,α
∂t
=
q1 ,m,n

+

Thay (2.28) và (2.20) vào phương trình (2.23) ta có
c+
c
k−q,α k,α

0
t

+
+
γI1D (q1 ) (aq1 ,m,n + a+
−q1 ,m,n )(ck−q,α ck−q1 ,α − ck−q+q ,α ck,α )
1

=

γ I1D (q1 ) (bq1 ,m,n +
q1 ,m,n

−

t1

i

exp

εα (k) − εα (k − q) −

−∞

t

c+

c ) .
k−q+q1 ,α k,α t

−∞
t1

i

× exp
+
b+
−q1 ,m,n )(ck−q,α ck−q1 ,α

t

t

−i

εα (k) − εα (k − q) −
−∞

−i

=

−∞t

(2.24)

dt1
q1 ,m,n

− c+
c )
k−q+q ,α k,α
1

t1

Ta có thể viết gọn phương trình (2.24) như sau

γI1D (q1 ) (bq1 ,m,n + b+
−q1 ,m,n )

+
q1 ,m,n

1

(2.25)

t1

t1

i

× exp

e
q A(t2 ) dt2
m∗ c

+
γI1D (q1 ) (aq1 ,m,n + a+
−q1 ,m,n )(ck−q,α ck−q1 ,α

× (c+
c
− c+
c )
k−q,α k−q1 ,α
k−q+q ,α k,α
∂φ(t)
F (t)
i
= +
,
∂t
ck−q,α ck,α 0t

e
q A(t2 ) dt2 F (t1 )dt1
m∗ c

[εα (k) − εα (k − q)](t1 − t) −
−∞

ie

m∗ c

t1

q A(t2 )dt2 .
t

(2.29)
với

Sử dụng hàm phân bố điện tử [2] ta có

F (t) =
q1 ,m,n

+
q1 ,m,n

+
+
γI1D (q1 ) (aq1 ,m,n + a+
−q1 ,m,n )(ck−q,α ck−q1 ,α − ck−q+q ,α ck,α )
1

c+
c
k−q,α k−q1 ,α

t

+
+
γ I1D (q1 ) (bq1 ,m,n + b+
−q1 ,m,n )(ck−q,α ck−q1 ,α − ck−q+q ,α ck,α ) t .

1

(2.26)

∂
aq,m,n
∂t

−∞

e
εα (k) − εα (k − q) − ∗ q A(t1 ) dt1 F (t). (2.27)
mc

t
t

i

−

γI1D (−q)γI1D (q)
−∞

k,α,α

−

Lấy tích phân 2 vế phương trình (2.27)

t

i

γI1D (−q)γ I1D (q)
−∞

k,α,α

φ(t) =

t

−i

i

exp
−∞

t1

εα (k) − εα (k − q) −
−∞

e
q A(t2 ) dt2 F (t1 )dt1 .
m∗ c
(2.28)

i

× exp

E0 cq t1
q A(t2 )dt2 =
cos Ωt2 dt2
Ω t
E0 cq
=
(sin Ωt1 − sin Ωt).
Ω2

(2.33)

t

q A(t2 )dt2 dt1 .

phonon còn lại
∂ +
+
a
t − iωq,m,n aq,m,n t
∂t q,m,n

+∞
1
= 2
Jl (λ)Js (λ)[nα (k − q) − nα (k)]
k,α,α l,s=−∞

×
ie
m∗ c

t1
t

(2.32)

t

Do đó ta có
t1

ie
m∗ c

[εα (k) − εα (k − q)](t1 − t) −

23

Mà ta có

t

(aq,m,n + a+
−q,m,n ) t1 (nα (k − q) − nα (k))

(bq,m,n + b+
−q,m,n ) t1 (nα (k − q) − nα (k))

22

t1

(2.31)

t

= ωq,m,n aq,m,n
t

(2.30)

Thay (2.29) , (2.30) và (2.31) vào phương trình (2.11) ta thu được
i

Thay (2.20) vào (2.25) ta có
i

= nα (k − q1 )δq,q1 ,

c+
c

= nα (k)δq,q1 .
k−q+q ,α k,α t

1

∂φ(t)
= exp
i
∂t

t

−∞

ieE0 q
q A(t2 )dt2 = ∗ 2 (sin Ωt1 − sin Ωt).
mΩ

(2.34)

|γI1D (q)|2 aq,m,n + a+
−q,m,n
i

× exp

t1

+ γγ |I1D (q)|2 bq,m,n + b+
−q,m,n

t1

[εα (k) − εα (k − q)](t1 − t) − ilΩt1 + Ωt dt1 .
(2.36)

Đặt
eE 0 q
λ = ∗ 2,
mΩ

∂
bq,m,n t + iνq,m,n bq,m,n t
∂t
+∞
−1
= 2
Jl (λ)Js (λ)[nα (k − q) − nα (k)]

Sử dụng hàm Bessel [3]

k,α,α l,s=−∞

+∞

exp(±iz sin θ) =

t

Jn (z) exp(±inθ).

×

n=−∞

−∞

Ta có

× exp
+∞

|γ I1D (q)|2 aq,m,n + a+
−q,m,n
i

t1

+ γγ |I1D (q)|2 bq,m,n + b+
−q,m,n

[εα (k) − εα (k − q)](t1 − t) − ilΩt1 + Ωt dt1 .

+∞

exp[iλ(sin Ωt1 − sin Ωt)] =

(2.37)

Jl (λ)Js (λ) exp[iΩ(lt1 − st)].

s=−∞ l=−∞

Vậy ta thu được phương trình động lượng tử cho phonon âm bị giam
giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật như sau

∂ +
+
b
t − iνq,m,n bq,m,n t
∂t q,m,n
+∞
1
= 2
Jl (λ)Js (λ)[nα (k − q) − nα (k)]
k,α,α l,s=−∞
t

∂
aq,m,n t + iωq,m,n aq,m,n t
∂t
+∞
−1
Jl (λ)Js (λ)[nα (k − q) − nα (k)]
= 2

×
−∞

× exp

t1

+ γγ |I1D (q)|2 bq,m,n + b+
−q,m,n

t1

2.1.2.

[εα (k) − εα (k − q)](t1 − t) − ilΩt1 + Ωt dt1 .
(2.35)

Phương trình tán sắc

Sử dụng công thức chuyển phổ Fourier [3] ta có
+∞

Tương tự ta sẽ thu được các phương trình động lượng tử cho các
24

Aq,m,n (ω) =
−∞

25

aq,m,n t eiωt dt,

⇒ aq,m,n t =

+∞

1
2π

+∞

∂
−i
aq,m,n t =
∂t
2π
a+
−q,m,n

t

−∞

bq,m,n

t

(2.40)

+∞

−iωt
A+
dω,

−q,m,n (ω)e

−i

+∞

(2.41)
×

−iωt
A+
dω,
−q,m,n (ω)e

(2.42)

(2.43)

× exp

Bq,m,n (ω)e−iωt dω,

=

−∞

Ta thực hiện giả thiết đoạn nhiệt tương tác, nghĩa là ta thêm vào
+
B−q,m,n
(ω)e−iωt dω,

+∞
−∞

(2.45)

+
B−q,m,n
(ω)e−iωt dω.

(2.46)

phương trình (2.48) một lượng eδt1 với δ → 0 (phụ lục 4), ta có
+∞

+∞

=

ωq,m,n Aq,m,n (ω)e−iωt dω

−∞

Jl (λ)Js (λ)[nα (k − q) − nα (k)]

2

i

exp

×

+∞

1
−iωt1
×
dt1 |γI1D (q)|
[Aq,m,n (ω) + A+
dω
−q,m,n (ω)]e
2π −∞
−∞
+∞
1
+
+ γγ |I1D (q)|2
[Bq,m,n (ω) + B−q,m,n
(ω)]e−iωt1 dω
2π −∞
i
× exp
[εα (k) − εα (k − q)](t1 − t) − ilΩt1 + isΩt .
2

+∞

1

k,α,α l,s=−∞

+∞
dω[Aq,m,n (ω) + A+
|γI1D (q)|2
−q,m,n (ω)]
−∞
+∞
+
+ γγ |I1D (q)|2
dω[Bq,m,n (ω) + B−q,m,n
(ω)]
−∞

k,α,α l,s=−∞
t

(ω − ωq,m,n )Aq,m,n (ω)e−iωt dω

−∞

Jl (λ)Js (λ)[nα (k − q) − nα (k)]

2

[εα (k) − εα (k − q)](t1 − t) − ilΩt1 + isΩt − iωt1 .
(2.48)

+∞

−1

i

+
[Bq,m,n (ω) + B−q,m,n
(ω)]e−iωt1 dω

−∞

+∞

i
2π

Aq,m,n (ω)e−iωt dω +

+∞

(2.47)

1

[εα (k) − εα (k − q) − ω − l Ω − iδ ]

Sử dụng công thức chuyển phổ Fourier [3]
+∞

+∞

Aq,m,n (ω)e−i[ω+(l−s)Ω]t dω =

−∞

2

× |γI1D (q)|2

Pu (ω, q)
u=−∞

Jl (λ)Js (λ)[nα (k − q) − nα (k)]

× [Aq,m,n (ω − uΩ) + A+
−q,m,n (ω − uΩ)]

+∞

+

−∞
+∞
−∞

(Aq,m,n [ω + (l − s)Ω] + A+
−q,m,n [ω + (l − s)Ω])

+
(Bq,m,n [ω + (l − s)Ω] + B−q,m,n
[ω + (l − s)Ω])

e−iωt

1

|γI1D (q)|2
α,α

+∞
k,α,α l,s=−∞

×

+∞

1

(ω − ωq,m,n )Aq,m,n (ω) =

−∞

+ γγ I1D (q)|2

Aq,m,n [ω + (l − s)Ω]e−iωt dω. (2.50)

−∞

Thay các đại lượng này vào phương trình (2.52) ta có

(ω − ωq,m,n )Aq,m,n (ω)e−iωt dω
1

.

27

Thay (2.50) vào (2.49) ta có

=

[εα (k) − εα (k − q) − l Ω] − ω − iδ

+∞

1

γγ |I1D (q)|2
u=−∞

α,α

+
× [Bq,m,n (ω − uΩ) + B−q,m,n
(ω − uΩ)].

(ω + ωq,m,n )A+
−q,m,n (ω) =

+∞

−1

|γI1D (q)|2

Suy ra

Pu (ω, q)
u=−∞

α,α

× [Aq,m,n (ω − uΩ) + A+
−q,m,n (ω − uΩ)]

(ω − ωq,m,n )Aq,m,n (ω)

+

2

2

+ γγ I1D (q)| (Bq,m,n [ω + (l − s)Ω] +

+
B−q,m,n
[ω

1
[εα (k) − εα (k − q) − l Ω] − ω − iδ

(2.56)

Pu (ω, q)
u=−∞

+
× [Bq,m,n (ω − uΩ) + B−q,m,n
(ω − uΩ)].

× |γI1D (q)|2 (Aq,m,n [ω + (l − s)Ω] + A+
−q,m,n [ω + (l − s)Ω])

1

γγ |I1D (q)|2
α,α

Jl (λ)Js (λ)[nα (k − q) − nα (k)]
k,α,α l,s=−∞

×

+∞

−1

+∞

1

(2.55)

Pu (ω, q)

Tương tự ta cũng tính được

.
(2.51)

=

(2.49)

[εα (k) − εα (k − q) − s Ω]t

26

+∞

−iωt1
[Aq,m,n (ω) + A+
dω
−q,m,n (ω)]e

(2.44)

(2.35) ta có
+∞

−∞

+ γγ |I1D (q)|2

Bq,m,n (ω)e−iωt dω,

+∞

dt1 |γI1D (q)|2

−∞

Sử dụng các kết quả chuyển phổ Fourier ở trên thay vào phương trình

−∞

Jl (λ)Js (λ)[nα (k − q) − nα (k)]

2

−∞

+∞

∂ +
−i
b
t =
∂t −q,m,n
2π

−i
2π

+∞

−1

k,α,α l,s=−∞

−∞

1
2π

(ω − ωq,m,n )Aq,m,n (ω)e−iωt dω

−∞

t

−∞

∂
−i
bq,m,n t =
∂t
2π

b+
−q,m,n t =

Aq,m,n (ω)e−iωt dω,

Suy ra

=

+∞

∂ +
−i
a
t =
∂t −q,m,n
2π
1
=
2π

(2.39)

−∞
+∞

1
=
2π

Aq,m,n (ω)e−iωt dω,

−∞

+ (l − s)Ω])

.

(ω − νq,m,n )Bq,m,n (ω) =

+∞

1

|γ I1D (q)|2

Pu (ω, q)
u=−∞

α,α

+
× [Bq,m,n (ω − uΩ) + B−q,m,n
(ω − uΩ)]

+

+∞

1

γγ |I1D (q)|2
u=−∞

α,α

(2.52)

(2.57)

Pu (ω, q)

× [Aq,m,n (ω − uΩ) + A+
−q,m,n (ω − uΩ)].
Đặt
+
(ω + νq,m,n )B−q,m,n
(ω) =

u = s − l.
nα (k − q) − nα (k)

Γq (ω + lΩ) =
k

εα (k − q) − εα (k) + lΩ + ω + i δ

|γ I1D (q)|2

.

(2.53)

+∞

+
× [Bq,m,n (ω − uΩ) + B−q,m,n
(ω − uΩ)]
+∞

−1

γγ |I1D (q)|2

u=−∞

28

(2.54)

Pu (ω, q)
u=−∞

α,α

Jl (λ)Ju+l (λ)Γq (ω + lΩ).

Pu (ω, q)
u=−∞

α,α

+

Pu (ω, q) =

+∞

−1

× [Aq,m,n (ω − uΩ) + A+
−q,m,n (ω − uΩ)].
29

(2.58)

Từ phương trình (2.55) và (2.56) ta có

* Nhận xét:

(ω − ωq,m,n )Aq,m,n (ω) = −(ω + ωq,m,n )A+
−q,m,n (ω.)

(2.59)

• Trong phương trình (2.64) và (2.65), số hạng đầu của vế phải mô
tả tương tác giữa 2 phonon cùng loại (phonon âm và phonon âm, phonon

Thay ω = ω − uΩ vào (2.59) ta có
(ω−uΩ−ωq,m,n )Aq,m,n (ω−uΩ) =

quang và phonon quang), số hạng thứ hai mô tả tương tác giữa 2 phonon

−(ω−uΩ+ωq,m,n )A+
−q,m,n (ω−uΩ).

(2.60)

khác loại (phonon âm và phonon quang).
• Nếu bỏ qua tương tác giữa các phonon cùng loại và chỉ xét đến tương

Suy ra
A+
−q,m,n (ω − uΩ) = −

ω − uΩ − ωq,m,n
Aq,m,n (ω − uΩ).
ω − uΩ + ωq,m,n

tác giữa các phonon khác loại thì trong số hạng thứ nhất của vế phải của
(2.61)

Hay

2 phương trình (2.64) và (2.65) ta cho u = 0.
Khi u = 0 ta có

2ωq,m,n
Aq,m,n (ω−uΩ). (2.62)
ω − uΩ + ωq,m,n

Aq,m,n (ω−uΩ)+A+
−q,m,n (ω−uΩ) =

(ω − ωq,m,n )Aq,m,n (ω)
=

Tương tự ta cũng tính được

2

ωq,m,n P0 (ω, q)
Aq,m,n (ω)
ω + ωq,m,n

|γI1D (q)|2
α,α

2νq,m,n
Bq,m,n (ω −uΩ). (2.63)
ω − uΩ + νq,m,n

+
Bq,m,n (ω −uΩ)+B−q,m,n
(ω −uΩ) =

+

+∞

2

γγ |I1D (q)|2

u=−∞

α,α

νq,m,n Pu (ω, q)
Bq,m,n (ω − uΩ).
ω − uΩ + νq,m,n

Thay (2.61) và (2.62) vào (2.55) và (2.54) ta có

(2.66)

(ω − ωq,m,n )Aq,m,n (ω)
=

ωq,m,n Pu (ω, q)
|γI1D (q)|
Aq,m,n (ω − uΩ)
ω − uΩ + ωq,m,n
u=−∞
2

α,α

+∞

2

+

Suy ra
+∞

2

γγ |I1D (q)|2
u=−∞

α,α

νq,m,n Pu (ω, q)
Bq,m,n (ω − uΩ).
ω − uΩ + νq,m,n

2

2
(ω 2 − ωq,m,n
)Aq,m,n (ω) −

|γI1D (q)|2 ωq,m,n P0 (ω, q)Aq,m,n (ω)
α,α

=

+∞

2

γγ |I1D (q)|2

Pu (ω, q)
u=−∞

α,α

(ω + ωq,m,n )νq,m,n
Bq,m,n (ω − uΩ).
ω − uΩ + νq,m,n

(2.64)
(ω − νq,m,n )Bq,m,n (ω)

Tương tự
+∞

2

=

|γ I1D (q)|2
u=−∞

α,α

+

(2.67)

νq,m,n Pu (ω, q)

Bq,m,n (ω − uΩ)
ω − uΩ + νq,m,n

2
(ω 2 − νq,m,n
)Bq,m,n (ω) −

γγ |I1D (q)|2
α,α

ωq,m,n Pu (ω, q)
Aq,m,n (ω − uΩ).
ω − uΩ + ωq,m,n
u=−∞

|γ I1D (q)|2 νq,m,n P0 (ω, q)Bq,m,n (ω)
α,α

+∞

2

2

=

+∞

2

γγ |I1D (q)|2

Pu (ω, q)
u=−∞

α,α

(ω + νq,m,n )ωq,m,n
Aq,m,n (ω − uΩ).
ω − uΩ + ωq,m,n

(2.65)

(2.68)

30

31

Thay ω = ω − uΩ và ω − uΩ = ω vào phương trình (2.68) ta có
2
[(ω − uΩ)2 − νq,m,n
]−

2

suy biến không suy biến; cho cả trường laser mạnh (hấp thụ một và nhiều

|γ I1D (q)|2 νq,m,n P0 (ω − uΩ, q) Bq,m,n (ω − uΩ)

photon) và các miền tần số khác nhau (từ cổ điển đến lượng tử)

α,α

=

+∞

2

2

γγ |I1D (q)|

Pu (ω, q)
u=−∞

α,α

(ω − uΩ + νq,m,n )ωq,m,n
Aq,m,n (ω).
ω + ωq,m,n

2.2.

Cộng hưởng tham số của phonon âm và phonon
quang bị giam giữ trong dây lượng tử hình chữ

(2.69)

nhật

Suy ra
Bq,m,n (ω − uΩ)
2

=

α,α

2.2.1.
(ω−uΩ+νq,m,n )
+∞
u=−∞ Pu (ω, q)ωq,m,n Aq,m,n (ω) ω+ωq,m,n
.
2
2
2
νq,m,n −
α,α |γ I1D (q)| νq,m,n P0 (ω − uΩ, q)

Điều kiện gia tăng tham số cho phonon âm

γγ |I1D (q)|2

(ω − uΩ)2 −

Điều kiện cộng hưởng tham số được thỏa mãn khi

(2.70)

2
α,α

(2.72)

với N là số nguyên.

α,α
2
× [(ω − uΩ)2 − νq,m,n
−

|ωq,m,n − N Ω| = νq,m,n ,

|γI1D (q)|2 |γ I1D (q)|2

Pu (ω, q)Pu (ω − uΩ, q).
u=−∞

1.

Chúng ta giới hạn các tính toán trong vùng cộng hưởng bậc 1 (N = 1)

Nhận xét:

ωq,m,n ± νq,m,n = Ω,

• Phương trình (2.71) là phương trình tán sắc tổng quát cho cộng

Trong trường hợp này, ta có

hưởng tham số của phonon âm và phonon quang bị giam giữ trong dây
2
ω 2 − ωq,m,n
−

lượng tử hình chữ nhật. Phương trình này đóng vai trò quan trọng trong
việc nghiên cứu phổ tái chuẩn hóa của phonon do tương tác với electron
khi có mặt trường laser. Từ (2.71) có thể xác định được điều kiện để xảy
ra sự gia tăng tham số và biến đổi tham số của các kích thích, tức là điều
kiện xảy ra chuyển giao năng lượng từ kích thích này sang kích thích khác.
• Phương trình (2.71) có thể áp dụng cho trường hợp khí electron và
32

2

|γI1D (q)|2 ωq,m,n P0 (ω, q) = 0.

(2.73)

α,α

Phổ của phonon âm có dạng
ωac (q, m, n) = ωa + iτa

với điều kiện |ωa |

τa .

Từ (2.73) suy ra ωa và τa

ωa =

2
+
ωq,m,n

2

|γI1D (q)|2 ωq,m,n ReP0 (ωq,m,n , q).
α,α

33

(2.74)

Hay

Với ω = νq,m,n thì ta thu được

Reωac = ωa
2
ωq,m,n

=

2

+

|γI1D (q)|2 ωq,m,n Re[P0 (ω, q)]

1

[ωq,m,n +

|γI1D (q)|2 P0 (ω, q)]2 −
α,α

α,α

|γI1D (q)|4 P02 (ω, q)

2
α,α

sóng âm và sóng quang hòa vào nhau, lúc này cộng hưởng là lớn nhất.
Vì vậy, chúng ta khảo sát trạng thái của hệ tức là xem xét sự phụ thuộc
của tần số ω vào số sóng q trong vùng lân cận ở gần điểm (ω0 , q0 ) tại các

|γI1D (q)|4

1 nên có thể bỏ qua, do đó

Reωac

1

ωq,m,n +

trị số thấp nhất theo hằng số tương tác electron-phonon của tần số sóng

|γI1D (q)|2 P0 (ω, q).

(2.76)

ωac (q, m, n) và ωop (q, m, n).

(2.77)

tương hỗ giữa các phonon

α,α
2

2
Im[ω 2 − ωq,m,n
−

τa =
∂
∂ω

(2.82)

Nếu các tần số sóng ωq,m,n ≡ νq,m,n và các số sóng trùng nhau thì các

1

(2.75)

∆ω± =

Với ω = ωq,m,n thì ta thu được
τa =

−1

1
(va ±v0 )∆(q)−i(τa +τ0 )±
2

(2.83)
|γI1D (q)|2 ImP0 (ωq,m,n , q).

(2.78)

Vì vậy phổ phonon âm là

α,α

(±)

ω± = ωac +

Tương tự đối với phonon quang
2
(ω − N Ω)2 − νq,m,n
−

2

[(va ± v0 )∆(q) − i(τa + τ0 )]2 ± Λ2 .

|γ I1D (q)|2 νq,m,n P0 (ω − N Ω, q) = 0.

(2.84)

[(va ± v0 )∆(q) − i(τa + τ0 )]2 ± Λ2 ,

±

(2.79)

1
(va ± v0 )∆(q) − i(τa + τ0 )
2

α,α

trong đó va , v0 là các vận tốc nhóm của phonon âm và phonon quang

Phổ của phonon quang có dạng
ωop (q, m, n) = ω0 + iτ0

với điều kiện |ω0 |

τ0 ,
va =

trong đó
Reωop = ω0

1

νq,m,n +

|γ I1D (q)|2 Re[P0 (νq,m,n , q)],

v0 =

2
−
Im[(ω − N Ω)2 − νq,m,n

τ0 =
∂
∂ω

Re[(ω − N Ω)2 −

2
νq,m,n

2

−

α,α
2

α,α

|γI1D (q)|2 P0 (ω, q)ωq,m,n ]

,
(2.85)

(2.80)

α,α

dω
=
dq

=

dω
dq
∂
2
2
∂q {Re[(ω − N Ω) − νq,m,n −
∂
∂ω {Re[(ω

−

N Ω)2

−

2
νq,m,n

−

2
2

α,α

|γI1D (q)|2 P0 (ω − N Ω, q)νq,m,n ]}

α,α

|γ I1D (q)|2 P0 (ω − N Ω, q)νq,m,n ]}

(2.86)

(2.81)
34

35

ωa là tần số phonon âm đã tái chuẩn hóa do tương tác electron-phonon.

bậc 1 của λ và hạn chế cộng hưởng bậc 1 (N = 1). Ta có

τa , τ0 là hằng số suy giảm điện tử của phonon âm và phonon quang.

1
J0 (λ) = 1 − λ2 + ....
4

∆q = q − q0 là khoảng cách đến giao điểm của các đường cong tán sắc,
∆q
q

1.

J1 (λ) = −J−1 (λ) =

Số hạng Λ có dạng
Λ=

.

1,

λ λ3
−
+ ...
2 16

λ
.
2

Theo phụ lục 6 ta có

2

γγ |I1D (q)|2 PN (q, m, n).

(2.87)

P0 (ω, q) = Γq (ω),

α,α

P1 (ω, q) =

(±)

Trong phương trình (2.84), cặp dấu dưới của ω± tương ứng với dấu
trước căn bậc 2, cặp dấu trên tương ứng với các dấu còn lại và dấu đó phụ

λ
[Γq (ω) − Γq (ω − Ω)].
2

Đặt

thuộc vào điều kiện cộng hưởng νq,m,n ± ωq,m,n = N Ω.

Γq (ω) = ReΓq (ω) + ImΓq (ω) = θ(ω) + iγ(ω).

Ta tìm ngưỡng gia tăng tham số phonon âm cho trường hợp ∆q = 0.

Điều kiện để gia tăng tham số phonon âm

Do đó
|Λ|2 =

−
F = Imω+
> 0.

(2.88)

|Λ|2 > 4τa τ0 .

(2.89)

4

γ 2 γ 2 |I1D (q)|4

2
αα

λ2
[θ(ωq,m,n ) − θ(ωq,m,n − Ω)]2
4

(2.91)

+ [γ(ωq,m,n ) − γ(ωq,m,n − Ω)]2 .

Theo phụ lục 5 ta có
τa τ0 =

γ 2 γ 2 |I1D (q)|4 γ(ωq,m,n )γ(νq,m,n ).

2

(2.92)

α,α

Từ phương trình (2.87) để tìm Λ ta tìm PN .

Thay (2.91) và (2.92) vào (2.89) ta được điều kiện cộng hưởng tham số cho

+∞

PN (ω, q) =

1

Jl (λ)Ju+l (λ)Γq (ω + lΩ),

(2.90)

phonon âm như sau

l=−∞

E0 > Eth

trong đó Jn (λ) là hàm Bessel
+∞

Jn (λ) =
n=0

(−1)s
λ
s!(n + s)! 2

n+2s

=

λn
λn+2
−
,
2n n! 2n+2 (n + 1)!

nα (k) − nα (k − q)

Γq (ω + lΩ) =

1
k

[εα (k) − εα (k − q) − (lΩ + ω)] − iδ

Xét trường hợp sóng điện từ không quá mạnh, khi đó λ

=

γ(ωq,m,n )γ(νq,m,n )
.
[θ(ωq,m,n ) − θ(ωq,m,n − Ω)]2 + [γ(ωq,m,n ) − γ(ωq,m,n − Ω)]2
(2.93)

.
Biểu thức (2.93) cho thấy rằng sự gia tăng tham số của phonon âm
1. Trong

khi phân tích hàm Bessel theo đối số ta chỉ giữ lại những số hạng tỉ lệ đến
36

2m∗ Ω2
eq

đạt được khi biên độ của trường sóng điện từ ngoài lớn hơn một giá trị
ngưỡng Eth nào đó.
37

2.2.2.

Điều kiện cộng hưởng tham số của phonon âm và phonon
quang trong trường hợp khí electron không suy biến

Ta có

k

Trường hợp khí electron không suy biến, hàm phân bố điện tử theo phân

εα (k) − εα (k − q) − (lΩ + ω)

+ iπ[nα (k) − nα (k − q)]δ[εα (k) − εα (k − q) − (lΩ + ω)].

bố Boltzman.
nα (k) = eβ[εf −εα (k)] = eβεf e−βεα (k) ,

nα (k) − nα (k − q)

Γq (ω + lΩ) =

(2.98)

(2.94)
Do đó

trong đó:
+β=

γ(ωq,m,n ) = π

1
kB T ,

[nα (k) − nα (k − q)]δ[εα (k) − εα (k − q) − ωq,m,n ]. (2.99)

k

+ kB : hằng số Boltzman,

2 2

k
2m∗

2

2m∗ , ta có

(...) =
2

εα (k) − εα (k − q) = (εα − εα ) − σq + 2σ kq.
nα (k) − nα (k − q) = e

.

(2.100)

Sử dụng công thức chuyển tổng sang tích phân

+ εα và đặt σ =

βεf

εα (k) − εα (k − q) − ωq,m,n

k

+ εf : năng lượng fecmi.
Sử dụng εα (k) =

nα (k) − nα (k − q)

θ(ωq,m,n ) =

+ T : Nhiệt độ toàn hệ,

[e

−βσk 2 −β

e

α

−e

−βσ(k 2 −2kq) −β(εα +σq 2

e

k

(2.95)
)].

δ[εα (k) − εα (k − q) − ωq,m,n ] = δ[ε(a) + 2qσk],

(2.96)

(...)dk,
−∞

với Lz là chiều dài của sợi dây.
* Tìm γ(ωq,m,n )

(2.97)
γ(ωq,m,n ) = π

với

+∞

Lz
2π

+∞

ε(a) = εα − εα − σq 2 − ωq,m,n .

+∞

Lz
2π

−

2

eβεf e−β(εα +σk ) δ[ε(a) + 2qσk]dk

−∞
2

eβεf e−β(εα +σq ) e−βσ(k

2

−2kq)

δ[ε(a) + 2qσk]dk

(2.101)

−∞

Để tìm được biểu thức giải tích của điều kiện cộng hưởng tham số cho
phonon âm ta cần tìm các hàm θ(ωq,m,n ), γ(ωq,m,n ).

=

Lz βef
e (I1 − I2).
2

Theo phụ lục 7 ta có
+∞

I1 =

Ta áp dụng công thức
1
1
=
+ iπδ(X)
X − iδ
X

=
+∞

vào biểu thức

I2 = −
εα (k) − εα (k − q) − (lΩ + ω) − i δ

k

.

=

2

e−β(εα +σq ) e−βσ(k

2

−2kq)

m∗ −β[εα + 2qm2∗ 2 (εa )2 −
e
q 2

Thay (2.102) và (2.103) vào (2.101) ta thu được
Lz m∗ βεf −β[εα + 2qm2∗ 2 (ε(a) )2 ]
e e
(1 − eβ
γ(ωq,m,n ) =
2q 2

(2.103)
ωq,m,n ]

.

Thay (2.104), (2.105), (2.109) và (2.110) vào (2.93) ta sẽ thu được kết
ωq,m,n

).

(2.104)

quả biểu thức giải tích của điều kiện gia tăng tham số cho phonon âm khi
có tác dụng của trường ngoài laser trong trường hợp khí electron không

* Tương tự ta cũng tính được γ(νq,m,n )

suy biến.

Lz m∗ −βεf −β[εα + 2qm2∗ 2 (ε(0) )2 ]
e
e
(1 − eβ
2q 2

νq,m,n

).

(2.105)

với
ε(0) = εα − εα − σq 2 − νq,m,n .
* Tìm θ(ωq,m,n )
nα (k) − nα (k − q)

θ(ωq,m,n ) =
k

εα (k) − εα (k − q) − ωq,m,n
+∞

1
ε(a) + 2qσk

+∞
1
2
2
−
dkeβεf e−β(εα +σq ) e−βσ(k −2qk) (a)
ε + 2qσk
−∞
Lz βεf
=
e (I3 − I4).
2π
=

Lz
2π

dkeβεf e−β(εα +σk

2

)

−∞

(2.106)

Theo phụ lục 8 ta có
+∞

I3 =

dkeβεf e−β(εα +σk

−∞

=
+∞

I4 =
=

2

)

1
ε(a) + 2qσk

2m∗ π e−βεα
.
β
ε(a)
2

dkeβεf e−β(εα +σq ) e−βσ(k

−∞

2

−2qk)

1
ε(a) + 2qσk

2m∗ π e−βεα
.
β
ε(a)

(2.107)

(2.108)

Thay (2.107) và (2.108) vào (2.106) ta thu được
θ(ωq,m,n ) =

m∗ Lz eβεf βεα
[e − eβεα ].
2πβ ε(a)

(2.109)

Tương tự ta sẽ có θq (ωq,m,n − Ω)
θ(ωq,m,n − Ω) =

m∗ Lz eβεf
[eβεα − eβεα ].
2πβ ε(a) + Ω

40

δ[ε(a) + 2qσk]dk

39

38

γ(νq,m,n ) =

(2.102)

∗ (εa )2
m −βεα −βm
e
e 2q2 2 .
q 2

−∞

nα (k) − nα (k − q)

Γq (ω + lΩ) =

2

e−β(εα +σk ) δ[ε(a) + 2qσk]dk

−∞
∗

(2.110)
41

phonon quang ν = 36.25 meV, biên độ trường ngoài E0 = 106 V/m, vận
tốc âm va = 5370 m/s.

Chương 3
KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN

3.1.
Biểu diễn sự phụ thuộc của biên độ trường ngưỡng cộng hưởng

Khảo sát sự phụ thuộc của biên độ trường ngưỡng
vào số sóng âm

của phonon âm và phonon quang và hệ số khuếch đại tham số F
vào số sóng âm, vào chiều dài sợi dây.

1

15
Vm

Ở chương 2 ta thấy rằng điều kiện cộng hưởng tham số xảy ra khi biên
độ của trường ngoài laser lớn hơn một biên độ trường ngưỡng Eth . Trong

10
x105

biểu thức này thì biên độ trường ngưỡng Eth phụ thuộc vào tần số Ω của
trường ngoài, phụ thuộc vào kích thước của dây và số sóng qz của điện tử,

Eth

5

ngoài ra còn phụ thuộc vào nhiệt độ T . Vì vậy ta có thể lập chương trình
tính số và vẽ đồ thị sự phụ thuộc của biên độ trường ngưỡng Eth vào các

0
1

đại lượng trên.

2
qz

3

4

108

m

5

6

1

Chúng ta cũng thấy rằng, biểu thức của các hàm θ(ωq,m,n ) và γ(ωq,m,n )

Hình 3.1: Sự phụ thuộc vào số sóng âm của biên độ trường ngưỡng Eth đối với các giá trị

có chứa phổ năng lượng của điện tử bị lượng tử hóa theo 2 phương x và

nhiệt độ khác nhau. Đường liền nét, đường gạch gạch, đường chấm chấm lần lượt tương

y, vì vậy chúng sẽ phụ thuộc vào các số lượng tử nx và ny . Tương tự sự

ứng với các nhiệt độ T=73 K, 77 K, và 81 K. Ở đây, Ω = 4 × 1013 Hz, Lx = 40 nm,

giam giữ phonon âm và phonon quang cũng dẫn đến sự phụ thuộc của

Ly = 10 nm, Lz = 60 nm.

các đại lượng vào các số lượng tử hóa n, m. Ở đây chúng ta sẽ thực hiện

Hình 3.1 biểu diễn sự phụ thuộc của biên độ trường ngưỡng Eth

tính toán trong các vùng tương ứng với các bộ số lượng tử hóa nhỏ nhất

vào số sóng qz tương ứng với 3 giá trị khác nhau của nhiệt độ. Từ đồ thị

(nx {1, 2}, ny {1, 2}, m = n = 1).

ta thấy, trong khoảng số sóng khảo sát, mỗi đường cong có 3 điểm cực đại

Trước hết ta lập chương trình tính toán trong đó khai báo tất cả các giá

(đỉnh) ứng với các giá trị khác nhau của số sóng qz và không đối xứng qua

trị của các hằng số e, , kB . Chọn dây lượng tử GaAs/GaAsAl với các thông

các đỉnh. Điều này có thể được giải thích như sau: Trường ngoài với biên độ

∗

−32

số như sau [12], [29]: khối lượng hiệu dụng của điện tử m = 6.097 × 10

lớn hơn biên độ trường ngưỡng tương ứng có thể gây ra sự gia tăng tham

kg, hằng số điện môi ε = 13.5, độ thẩm điện môi cao tần χ∞ = 10.9, độ

số cho phonon âm trong hai miền số sóng tương ứng với hai dấu (±) trong

thẩm điện môi tĩnh χ0 = 12.9, năng lượng Fermi εf = 50 meV, năng lượng

biểu thức ωq ± Ω = νq . Từ đồ thị ta cũng nhận thấy biên độ trường ngưỡng

42

43

rất nhạy với nhiệt độ, khi nhiệt độ tăng thì biên độ trường ngưỡng tăng.

đạt giá trị cực đại tương ứng lân cận Lx = 27 nm. Như vậy biên độ trường

Ngoài ra đồ thị còn cho thấy khi số sóng càng tăng thì các đỉnh cực đại

ngoài lớn hơn biên độ trường ngưỡng sẽ gây ra sự gia tăng tham số cho

có giá trị càng thấp, nghĩa là tương ứng với giá trị biên độ trường ngưỡng

phonon âm khi kích thước Lx sợi dây nằm trong khoảng 20 nm - 35 nm.

nhỏ hơn.

Ngoài ra từ đồ thị ta thấy biên độ trường ngưỡng còn phụ thuộc vào tần
số trường ngoài, tần số trường ngoài càng lớn thì giá trị đỉnh cực đại càng

3.2.

Khảo sát sự phụ thuộc của biên độ trường ngưỡng

cao.

vào kích thước của dây
3.3.

Khảo sát sự phụ thuộc của biên độ trường ngưỡng
vào nhiệt độ

6

1

18
16

Vm

4

14
2

12
x105

Eth x 105

Vm

1

8

10

0

5

10

15
Lx

20
nm

25

30

35

Eth

0
8
6

Hình 3.2: Sự phụ thuộc vào kích thước sợi dây của biên độ trường ngưỡng Eth đối với các
giá trị tần số laser khác nhau của trường ngoài. Đường liền nét, đường gạch gạch, đường
chấm chấm lần lượt tương ứng với các tần số Ω=4.0 Hz, 4.5 Hz, và 5.0 Hz. Ở đây, T = 77
K, Ly = 20 nm, Lz = 60 nm, qz = 1.5 × 108 m−1 .

Hình 3.2 biểu diễn sự phụ thuộc của biên độ trường ngưỡng Eth

0

100

200
T

300

400

K

Hình 3.3: Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của biên độ trường ngưỡng đối với các giá trị số
sóng khác nhau. Đường liền nét, đường gạch gạch, đường chấm chấm lần lượt tương ứng
với các số sóng qz = 1.65 × 108 m−1 , qz = 1.75 × 108 m−1 , qz = 1.85 × 108 m−1 . Ở đây,
Ω = 4 × 1013 Hz, Lx = 60 nm, Ly = 10 nm, Lz = 90 nm.

vào kích thước sợi dây tương ứng với các giá trị khác nhau của tần số
trường ngoài. Từ đồ thị cho thấy, trong khoảng kích thước Lx khảo sát

Hình 3.3 biểu diễn sự phụ thuộc của biên độ trường ngưỡng vào

mỗi đường cong có một điểm cực đại. Khi kích thước của sợi dây nhỏ hơn

nhiệt độ tương ứng với các giá trị khác nhau của số sóng âm. Từ đồ thị ta

20 nm thì biên độ trường ngưỡng nhỏ, khi kích thước của sợi dây nằm

thấy, trong khoảng nhiệt độ khảo sát thì biên độ trường ngưỡng đạt giá trị

trong khoảng từ 20 nm - 35 nm thì biên độ trường ngưỡng tăng nhanh và

cực đại tại lân cận nhiệt độ T = 90 K. Khi nhiệt độ tăng lên thì ngưỡng

44

45

biên độ giảm. Ngoài ra số sóng âm cũng ảnh hưởng đến biên độ trường

những sóng này có tần số gần hoặc trùng với tần số của phonon âm thì sẽ

ngưỡng, khi số sóng càng lớn thì đỉnh biên độ trường ngưỡng càng thấp.

sinh ra các phonon âm, do đó làm cho số phonon âm được gia tăng. Mặt
khác khi nhiệt độ tăng thì làm cho sự lan truyền sóng tăng lên do đó quá

3.4.

Khảo sát sự phụ thuộc của hệ số F vào số sóng

trình kết hợp xảy ra càng nhanh sẽ bức xạ ra phonon âm càng nhiều tức
F tăng.

âm

3.5.

Khảo sát sự phụ thuộc của hệ số F vào kích thước

1

200
s

của sợi dây
150

1

1

12
1

s

10

s

x 1011

2
14

100

50

1

2
qz

107

3
m

4

1

F

0

4

2
3
4

2
0

Hình 3.4: Sự phụ thuộc vào số sóng âm của hệ số F đối với các giá trị nhiệt độ khác nhau.

x 108

6

F

x 1011

F
0

0
1

8

0

5

10
Lx

15

5

20

20

nm

25

30
Lx

35

40

nm

Đường liền nét, đường gạch gạch, đường chấm chấm lần lượt tương ứng với các nhiệt độ
T =73 K, 77 K, và 81 K. Ở đây, Ω = 4 × 1013 Hz, Lx = 40 nm, Ly = 10 nm, Lz = 60 nm.

Hình 3.5: Sự phụ thuộc vào kích thước sợi dây của hệ số F đối với các giá trị khác nhau
của tần số trường ngoài. Đường liền nét, đường gạch gạch, đường chấm chấm lần lượt

Hình 3.4 biểu diễn sự phụ thuộc hệ số F vào số sóng qz tương
ứng với 3 giá trị khác nhau của nhiệt độ. Từ đồ thị ta thấy trong vùng số

tương ứng với các tần số Ω=4.0 Hz, 4.5 Hz, 5.0 Hz. Ở đây, T = 77 K, qz = 108 m−1 ,
Ly = 10 nm, Lz = 60 nm.

sóng khảo sát thì F > 0 tức điều kiện gia tăng tham số phonon âm được

Hình 3.5 biểu diễn sự phụ thuộc hệ số F vào kích thước Lx của

thực hiện và hệ số đạt cực đại tương ứng tại lân cận qz = 3 × 107 m−1 . Từ

sợi dây tương ứng với 3 giá trị khác nhau của tần số trường ngoài. Đồ thị

đồ thị ta cũng nhận thấy hệ số F rất nhạy với nhiệt độ, khi nhiệt độ tăng

bên trái cho thấy, hệ số F > 0 và đạt giá trị cực đại tương ứng tại lân cận

thì giá trị cực đại của hệ số F cũng tăng, vị trí đạt cực đại dịch chuyển về

Lx = 14 nm, như vậy trong khoảng kích thước này thì điều kiện gia tăng

phía số sóng nhỏ. Điều này có thể giải thích như sau: với sự có mặt của

tham số phonon âm được thực hiện. Đồ thị bên phải cho thấy trong khoảng

sóng điện từ tần số Ω kết hợp với sự lan truyền phonon quang với tần số

kích thước từ 25 nm - 40 nm thì hệ số F < 0, nghĩa là trong trường hợp

νq sẽ xuất hiện thêm những sóng mật độ điện tích có tần số tổng hợp và

này điều kiện gia tăng tham số phonon âm không được thực hiện. Ngoài ra

46

47

hệ số F cũng phụ thuộc vào tần số trường ngoài, khi tần số trường ngoài

KẾT LUẬN

càng lớn thì đỉnh cực đại của hệ số F càng thấp. Điều này có thể giải thích

như sau: khi kích thước sợi dây nhỏ hơn 20 nm thì xảy ra hiện tượng bức
xạ phonon âm nên làm tăng số phonon âm tức F > 0, còn khi kích thước
sợi dây nằm trong khoảng từ 20 nm - 40 nnm thì xảy ra hiện tượng hấp
thụ phonon âm nên làm suy giảm số phonon âm, tức F < 0.

Trong Luận văn này chúng tôi đã sử dụng phương pháp phương trình
động lượng tử để nghiên cứu cộng hưởng của phonon âm và phonon quang
khi bị giam giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật. Các kết quả nghiên cứu
của Luận văn có thể được tóm tắt như sau:
1. Xuất phát từ Hamiltonian của hệ điện tử-phonon âm-phonon quang
bị giam giữ trong dây lượng tử, ta thu được phương trình động lượng tử
tổng quát cho phonon âm và phonon quang. Phương trình này là cơ sở để
chúng ta nghiên cứu sự cộng hưởng tham số giữa phonon âm và phonon
quang bị giam giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn.
2. Đã thu được phương trình tán sắc, phổ của phonon âm và chỉ ra
được điều kiện cộng hưởng tham số giữa phonon âm và phonon quang bị
giam giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật trong trường hợp khí electron
không suy biến.
3. Đã thu được biểu thức giải tích của biên độ ngưỡng của trường cần
để có sự gia tăng tham số của phonon âm trong dây lượng tử hình chữ
nhật.
4. Từ các biểu thức giải tích của biên độ trường ngưỡng và hệ số
khuếch đại tham số chúng tôi đã tiến hành tính số và vẽ đồ thị khảo sát
sự phụ thuộc của biên độ trường ngưỡng và hệ số khuếch đại tham số vào
vectơ sóng âm, nhiệt độ, kích thước sợi dây và tần số trường ngoài.
5. Kết quả tính số cho thấy đường cong biểu diễn sự phụ thuộc biên
độ trường ngưỡng vào vectơ sóng âm, nhiệt độ, kích thước sợi dây và tần số
trường ngoài đều có các đỉnh cộng hưởng, sự cộng hưởng phụ thuộc mạnh
vào vectơ sóng qz và nhiệt độ. Ngoài ra sự thay đổi của tần số trường ngoài

48

49

cũng làm cho đỉnh cộng hưởng của phonon âm và phonon quang cũng tăng

TÀI LIỆU THAM KHẢO

lên. Các kết quả này cũng tương tự như trường hợp các phonon không bị
Tiếng Việt

giam giữ [5], [36], [37].
6. Các kết quả thu được mới về lý thuyết sẽ đóng góp cho ngành quang
tử, vật lý bán dẫn nano để giải thích những cơ chế xảy ra do tương tác
electron-phonon trong dây lượng tử dưới tác dụng của trường ngoài và
cung cấp các thông tin về các tính chất của dây lượng tử bán dẫn cần thiết
cho công nghệ chế tạo các linh kiện điện tử bằng vật liệu nano hiện nay.
Trong Luận văn này mới chỉ đề cập đến cộng hưởng tham số giữa

1. Nguyễn Quang Báu, Đỗ Quốc Hùng, Vũ Văn Hùng, Lê Tuấn (2004),
Lý thuyết bán dẫn, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội.
2. Nguyễn Quang Báu, Hà Huy Bằng (2001), Lý thuyết trường lượng tử
cho hệ nhiều hạt, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội.
3. Nguyễn Quang Báu, Bùi Bằng Đoan, Nguyễn Văn Hùng (1998), Vật
lý thống kê, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội.

phonon âm và phonon quang bị giam giữ trong dây lượng tử hình chữ
nhật với hố thế cao vô hạn trong trường hợp khí electron không suy biến.
Chúng tôi hy vọng trong thời gian tới bài toán có thể mở rộng thêm cho

các mô hình khác, các vật liệu khác chẳng hạn: cộng hưởng tham số giữa

4. Lê Quang Cường(2006), Cộng hưởng tham số của phonon âm và
phonon quang trong dây lượng tử hình chữ nhật, Khóa luận tốt nghiệp
Vật lý, Trường Đại học Sư phạm Huế, Huế.

phonon âm và phonon quang bị giam giữ trong dây hình chữ nhật với hố

5. Lê Đình(2008), Một số hiệu ứng cao tần do tương tác electron-phonon

thế parabol đối xứng hoặc dây lượng tử có cấu trúc khác... Chúng tôi hy

trong dây lượng tử hình chữ bán dẫn, Luận án Tiến sĩ Vật lý, Trường

vọng, với sự phát triển ngày càng cao của cộng nghệ nano, kết quả tính

Đại học Sư phạm Huế, Huế.

toán lý thuyết trong Luận văn này có điều kiện kiểm chứng bằng thực
nghiệm. Tác giả mong nhận được những góp ý của quý Thầy Cô và bạn

6. Nguyễn Văn Hùng (1999), Giáo trình Lý thuyết chất rắn, NXB Đại
học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội.

bè để Luận văn được hoàn thiện hơn.
7. Nguyễn Ngọc Long (2002), Vật lý chất rắn, NXB Đại học Quốc gia
Hà Nội, Hà Nội.
8. Nguyễn Trọng Thế (2003), Hiệu ứng Cerenkov trong bán dẫn dây lượng
tử hình chữ nhật, Luận văn Thạc sĩ Vật lý, Trường Đại học Sư phạm
Huế, Huế.

50

51

17. Ferry D. K. and Cairo Jacobini (1992) , "Quantum transport semi-

Tiếng Anh
9. Anh V. H. (1980), "A quantum approach to the parametric excitation
problem in solids", Physcic report. Rev. 64, pp. 1-45.
10. Bennett R., Guven K. and Tanatar B. (1998), "Confined-phonon effects in the band-gap renormalization of semiconductor quantum wire",
Phys. Rev. B 57, pp. 3994-3999.
11. Bolko I. I., Sheka V. and Vasilopoulos P. (1993), "Kinetics of a quasione-dimensional electron gas in a transverse magnetic field: I. Arrays
of a quantum wire", Phys. Rev. B 47, pp. 15809-15815.
12. Brandes T. and Kawabata A. (1996), "Conductance increase by electronphonon interaction in a quantum wire", Phys. Rev. B 54, pp. 4444-

conductor", New York.
18. Fishman G. G. (1987), "Phonon-limited mobility in a quasi-one-dimens
-ional semiconductor", Phys. Rev. B 36, pp. 7448-7456.
19. Gao X., Botez D. and Knezevic I. (2008), "Phonon confinement and
electron transport in a GaAs-based quantum cascade structures", A.
Institute. Phys. 103, pp. 073101-073109.
20. Harrison P. (2005), Quantum Well, Wires and Dots. Theoretical and
Computational Physics of Semiconductor Nanostructures, Wiley Interscience, The University of Leeds, UK.
21. Hellman E. S., and Haris J. S. (1980), "Emergy-momentum relation
for polarons confined to one dimemsion", Phys. Rev. B 33, pp. 8284-

4447.
13. Campos V. B., Sarma S. Da. and Strocio M. A. (1992), "Phononconfine -ment effect on electron energy loss in one-dimensional quantum wire", A. Phys. Soc.46, pp. 3849-3853.
14. Constantinou N. C. and Ridley B. K. (1990), "Interaction of electron

with the confined LO phonons of a free-standing GaAs quantum wire",
The American Physical. Soc. 41, pp. 10627-10631.
15. Da Cunha Lima C., Wang X. F. and Lei X. L. (1997), "Nonlinear transport in a GaAs/AlAs harmonically confined quantum wire",
Phys. Rev. B 55, pp. 10681-10687.

8290.
22. Herbst M., Glanemann M., Axt V. M. and Kuhn T. (2003), "Electronphonon quantum kinectics for spatially inhomogeneous exicitations",
Phys. Rev. B 67, pp. 195305-195323.
23. Hwang E. H. and Sama S. Das. (1995), "Plasmon-phonon coupling in
one-dimesional semiconductor quantum-wire", Phys. Rev. B 52, pp.
R8668-R8671.
24. Ibragimov G. B. (2004), "On electron mobility in a rectangular quantum wire due to alloy disorder", Turk.J.Phys. 28, pp. 189-196.

16. Epshtein E. M. and Pavlovich V. V. (1976), "Conductivity of a su-

25. Kang N. L., Lee H. J. and Choi S. D. (2004), "A new theory of non-

perlattice semicondutor in strong electric fields", Sov. Phys. Semicon-

linear optical conductivity for an electron-phonon system",J. Korean

ductor.10, pp. 1196-1201.

Phys. Soc. 44(4), pp. 938-943.
52

53

26. Kim K. W., Stroscio M. A., Bhatt A., Mickevicius R. and Mitin V.

V. (1991), "Electron-optical-phonon scattering rates in a rectangular
semiconductor quantum wrie", J. Phys. Soc 70, pp. 319-326.

phonon confinement and surface roughness scattering", A. Institute.
Phys. 104, pp. 063711.1-063711.12.
35. Strocio Michael A. (1989), "Interaction between longitudinal-optical-

27. Lee S. C., Kang Y. B., Hu F. Y., Ryu J. Y. and Choi S.D. (1998),

phonon modes of a rectangular quantum wire and charge cariers of a

"Transverse electric-field-induced magnetophonon resonance in n-type

one-dimensional electron gas", The American Physical. Soc. 40, pp.

germanium", J. Phys. Rev B 57, pp. 11875-11878.

6428-6431.

28. Luong Duy Thanh, Dinh Quoc Vuong, Nguyen Van Diep and Nguyen

36. Tran Cong Phong and Nguyen Quang Bau (2003), "Parametric reso-

Quang Bau (2004), "Parametric resonace of acoustic and optical phonons

nance of acoustic and optical phonons in a quantum well", J. Korean.

in cylindrical quantum wries", J. Phys. Soc 70, pp. 319-326.

Phys. Soc. 42, pp. 647-651.

29. Mark F. (2001), Optical Properties of Solids, Department of Physics
and Astronomy University of Sheffield, Oxford University Press.

37. Tran Cong Phong and Nguyen Quang Bau (2003), "Parametric resonance of acoustic and optical phonons in Dop Semiconductor Super-

30. Michael A. Stroscio and Mitra Dutta. (2004), Phonons in Nanostruc-

lattice", J. Korean. Phys. Soc. 53, pp. 1971-1975.

tures, Published by the University Press Syndicate of the University
of Cambridge.
31. Mickevicius R. and Mitin V. (1993), "Acoustic- phonon scattering in
a rectangular wire", A. Phys. Soc 48, pp. 17194-17201.
32. Moukhliss S., Fliyou M. and Es-Sbai N. (1998), "Binding energy of
the donor-confined LO phonon system in a quantum wire structures",
Phys. Stat.sol. 206, pp. 593-600.
33. Nguyen Quang Bau, Ha kim Hang and Nguyen Van Huong (1993),
"Parametric resonance of acoustic and optical phonons in semiconductor in presence of two electromagnetic waves", J. sicence of Hanoi
State University, Se. Phys, N.4, pp. 31-35.
34. Ramayya E. B., Vasileska D., Goodnick S. M. and Knezevic I. (2008),
"Electron transport in a silicon nanowires: The role odd acoustic
54

55

Phụ lục 2
Phụ lục 1

−

Tính [a→
q ,m,n , Hac ]

t

Tìm các số hạng SH1, SH2, SH3, SH4, SH5
SH1 = [c+
c , He ]
k−q,α k,α

−
và [a→
q ,m,n , He−ac ] t .

=
k1 ,α1

ωq ,m ,n [aq,m,n , aq+,m ,n aq ,m ,n ]

∗[aq,m,n , Hac ] t =

=

t

q ,m ,n

+
=

[aq,m,n , aq ,m ,n ]

(P.1)

t

ωq ,m ,n δq,q δm,m δn,n

t

e
A(t)) [c+
c
δ δ
− c+
c δ δ
k−q,α k1 ,α1 k,k1 α,α1
k1 ,α1 k,α k−q α ,α1
c

e
e
A(t)) c+
c
− εα (k − q − A(t)) c+
c
k−q,α k,α t
k−q,α k,α
c
c

e
e
c
= {εα [k − A(t)] − εα [k − q − A(t)]} c+
k−q,α k,α t
c
c
= εα (k −

q ,m ,n

aq+,m ,n

εα1 (k1 −
k1 ,α1

ωq ,m ,n [aq,m,n , aq+,m ,n ]aq ,m ,n

=

t

e
εα1 (k1 − A(t)) [c+
c , c+ c
]
k−q,α k,α k1 ,α1 k1 ,α1
c

t

t

(P.3)

t

q ,m ,n

= ωq,m,n aq,m,n

Sử dụng công thức phổ năng lượng của electron

t

εα (k) = εα +
∗[aq,m,n ,He−ac ]

γI1D (q )

[aq,m,n , c+
c (a
k+q ,α k,α q ,m ,n

γI1D (q )

c+
c [a
,a
k+q ,α k,α q,m,n q ,m ,n

+

a+
−q ,m ,n

)]

t

k,α,α q ,m ,n

=

+ a−q ,m ,n ]

t

SH1 =

γI1D (q ) c+
c δ δ
δ
k+q ,α k,α q,q m,m n,n

=

=
+

t

k,α,α q ,m ,n

γI1D (−q) c+
c
k−q,α k,α

εα +

[k −

e
2
[k − q − ec A(t)]2
c A(t)]
− εα +
2m∗
2m∗

2 2

k,α,α q ,m ,n

=

(P.4)

Thay (P.4) vào (P.3) ta có

t

=

−

k2 2
2m∗

εα +

=

k,α,α

(P.2)

=

(k − q)eA(t)
e2 A2 (t)
−
m∗ c
2m∗ c
2

c+
c
k−q,α k,α

t

2 2

(P.5)

t

2

k
(kq)
e
− (εα +
) − ∗ q A(t) c+
c
k−q,α k,α
2m∗
2m∗
mc
e
εα (k) − εα (k − q) − ∗ q A(t) c+
c
k−q,α k,α t
mc
εα +

SH2 = [c+
c , Hac ] t = 0
k−q,α k,α

SH3 = [c+
c , Hop ] t = 0
k−q,α k,α
P.1

2

k
keA(t)
e A (t)
(k − q)
−
+
− εα −
2m∗
m∗ c
2m∗ c
2m∗

2 2

t

2

c+
c
k−q,α k,α

P.2

t

SH4 = [c+
c , He−ac ]
k−q,α k,α

t

c , c+
γI1D (q1 ) [c+
k−q,α k,α k +q

=

1

1 ,α1

ck1 α1 (aq1 ,m,n + a+
−q1 ,m,n )]

t

k1 ,α1 ,α1 ,q1 ,m,n
+
+
γI1D (q1 ) (aq1 ,m,n + a+
−q1 ,m,n )[ck−q,α ck,α , ck +q

=

1

1 ,α1

ck1 α1 ]

Phụ lục 4

t

k1 ,α1 ,α1 ,q1 ,m,n
+
γI1D (q1 ) (aq1 ,m,n + a+
−q1 ,m,n )(cveck−q,α ck1 α1 δk,k1 +q1 δα ,α

=
k1 ,α1 ,α1 ,q1 ,m,n

− ck1 +q1 ,α ck,α δk−q,k1 δα ,α )
1

t

+
+
γI1D (q1 ) (aq1 ,m,n + a+
−q1 ,m,n )(ck−q,α ck−q1 ,α − ck−q+q ,α ck,α )

=

1

q1 ,m,n

t

+∞

−i

(ω − ωq,m,n )Aq,m,n (ω)e−iωt dω

−∞

(P.6)

=

Tương tự ta có SH5

Jl (λ)Js (λ)[nα (k − q) − nα (k)]

2
k,α,α l,s=−∞

SH5 = [c+
c , He−op ]

k−q,α k,α
=

+∞

−1
t

t

γ I1D (q1 ) (bq1 ,m,n +
q1 ,m,n

dt1 |γI1D (q)|2

×
+
b+
−q1 ,m,n )(ck−q,α ck−q1 ,α

−

−∞

−∞

c+
c )
k−q+q1 ,α k,α t

+∞

+ γγ |I1D (q)|2

−∞

(P.7)

i

× exp

i

× exp

Phụ lục 3

+∞

−iωt1
[Aq,m,n (ω) + A+
dω
−q,m,n (ω)]e

+
[Bq,m,n (ω) + B−q,m,n
(ω)]e−iωt1 dω

[εα (k) − εα (k − q) − s Ω]t

[εα (k) − εα (k − q) − iδ − ω − lΩ]t1 dω
(P.9)

∂ +
c
c t
∂t k−q,α k,α
∂φ(t) +
∂
=
ck−q,α ck,α 0t + φ(t) c+
c 0
∂t
∂t k−q,α k,α t
e
∂φ(t) +
i
ck−q,α ck,α 0t − φ(t) εα (k) − εα (k − q) − ∗ q A(t)
=
∂t
mc
−i t
e
× exp
εα (k) − εα (k − q) − ∗ q A(t) dt1
mc
−∞
∂φ(t) +
=
ck−q,α ck,α 0t

∂t
i
e
c 0 εα (k) − εα (k − q) − ∗ q A(t)
− φ(t) c+
k−q,α k,α t
mc

Ta lại có

(P.8)
t

exp

i

[εα (k) − εα (k − q) − iδ − ω − lΩ]t1 dt1

−∞
i

exp
=

1

[εα (k) − εα (k − q) − ω − l Ω − iδ ]t

(P.10)

[εα (k) − εα (k − q) − ω − l Ω − iδ ]

P.3

P.4

Suy ra

Do đó
t

i

exp

1
Im{ωa + [−i(τa + τ0 ) + i(τa + τ0 )2 + |Λ|2 ]} > 0
2
1
⇒ [−i(τa + τ0 ) + i(τa + τ0 )2 + |Λ|2 ] > 0
2

[εα (k) − εα (k − q) − s Ω]t

−∞

i

× exp

i

= exp

i

exp
×

1

1

[εα (k) − εα (k − q) − s Ω]t
(P.11)

⇒ |Λ|2 > 4τa τ0

[εα (k) − εα (k − q) − ω − l Ω − iδ ]t

i

Phụ lục 6

[εα (k) − εα (k − q) − s Ω]t

[εα (k) − εα (k − q) − ω − l Ω − iδ ]

Tính P0 (q, ω) và P1 (q, ω).

Thay (P.11) vào (P.9) ta thu được
+∞

+∞
l=−∞

−∞

Jl (λ)Js (λ)[nα (k − q) − nα (k)]

2

k,α,α l,s=−∞
+∞
|γI1D (q)|2
[Aq,m,n (ω) + A+
−q,m,n (ω)]
−∞
+∞
+
[Bq,m,n (ω) + B−q,m,n
(ω)]
+ γγ |I1D (q)|2
−∞

exp
×

1

λ
λ
= ( )2 Γq (ω − Ω)Γq (ω) + ( )2 Γq (ω + lΩ)
2
2

+∞

1

i

Jl2 (λ)Γq (ω + lΩ)

P0 (q, ω) =

(ω − ωq,m,n )Aq,m,n (ω)e−iωt dω
=

(P.13)

⇒ (τa − τ0 )2 + |Λ|2 > (τa + τ0 )2

[εα (k) − εα (k − q) − ω − l Ω − iδ ]

exp
=

[εα (k) − εα (k − q) − iδ − ω − lΩ]t1 dt1

= Γq (ω)
(P.12)

+∞

P1 (q, ω) =

Jl (λ)Jl+1 (λ)Γq (ω + lΩ)
l=−∞

λ
λ
= − Γq (ω − Ω) + Γq (ω)
2
2
λ
= [Γq (ω) − Γq (ω − Ω)]
2

[εα (k) − εα (k − q) − s Ω]t

[εα (k) − εα (k − q) − ω − l Ω − iδ ]

dω

Phụ lục 7

Phụ lục 5
Tính I1 và I2

Tìm điều kiện cho Λ.

Để tính I1 và I2 ta sử dụng tích phân sau:

Ta có

+∞

F = Imω+− > 0
P.5

(P.14)

f (x)δ[φ(x)]dx =
−∞

i

P.6

f (xi )
φ (xi )

(P.15)

Phụ lục 8

với φ(xi ) = 0
Ta có:

+∞

I1 =

e−β(εα ) δ[ε(a) + 2qσk]dk

(P.16)

−∞
dX
2qσ

đặt X = 2qσk, do đó dk =

e−βεα
I1 =
2qσ
(a)

trong đó φ(x) = ε

Tính I3 và I4
Ta có

Suy ra
e

X 2
−σβ( 2qσ
)

(a)

δ[ε

+ X]dX

(P.17)

−∞

Vì 2qσk

+ X do đó φ (X) = 1

Thay σ =

2

2m∗

+∞

1
ε(a)

I3 =
(P.19)

e−βεα

ε(a)

=

−β(εα +σq 2 ) −βσ(k 2 −2kq)

e

(a)

2

+σq )

+∞

e−βσ(k

2

δ[ε

+ 2qσk]dk

2

e−βσk dk

(P.23)

2m∗ π e−βεα
β
ε(a)

(P.24)

π
a

−2kq)

δ[ε(a) + 2qσk]dk

2m∗ π e−βεα
=
2 β ε(a)

e

2

dke−β(ε +σq ) e−βσ(k

−∞
−β(εα +σq 2 )

ε(a)

+∞

e−βσ(k

2

2

−2qk)

−2qk)

1
ε(a) + 2qσk

(P.25)

dk

−∞

Áp dụng tích phân Poisson
+∞

(P.20)

−∞

m
e
2q

+∞
−∞

exp(−ax2 )dx =

π
=
σ

+∞

I4 =

−∞

∗

(P.22)

Tính I4

=

= e−β(ε

e−βεα
ε(a)

−∞

Tương tự
e

1
dk
ε(a) + 2qσk

Suy ra

e−βεα
I1 =
2 e
2q 2m∗
∗
−βm∗ (ε(a) )2
m
= 2 e−βεα e 2q2 2
q

α

2

e−β(εα +σk ) dk =

−∞

(P.18)

2

(a)
− 2m∗ β( ε 2 )2
2q
2m∗

I2 =

)

do đó

+∞

(a) 2
e−βεα −σβ( ε2qσ
)
e
2qσ

vào I1 ta có

+∞

2

Áp dụng tích phân Poisson

Và f (X) = e−σβ( 2qσ ) = e−σβ( 2qσ ) Suy ra
I1 =

ε

(a)

I3 =

ε(a) 2

2

e−β(εα +σk

−∞

Khi φ(x) = 0 thì X = −ε(a)
X

+∞

I3 =

+∞

exp{−(ax2 + bx)}dx =

−∞

∗
−β[εα +σq 2 + 2qm2 2 (ε(a) )2 +ε(a) ]

π b2 /4a
e
a

Do đó
2

Mà εα = εα − ε(a) − σq − ωq,m,n
Do đó
I2 =

2
e−β(εα +σq )
π (2βσq)
e 4γσ
βσ
ε(a)
2
2πm∗ e−βεα e−βσq βσq2
=
e
2β
(a)
ε
−βε
2πm∗ e α
=
β
ε(a)

I4 =

m∗ −β[εα + 2qm2∗ 2 (ε(a) )2 −
e
q 2

P.7

ωq,m,n ]

(P.21)

P.8

(P.26)

CỘNG HƯỞNG THAM số của PHONON âm và PHONON QUANG bị GIAM GIỮ TRONG dây LƯỢNG tử HÌNH CHỮ NHẬT

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về