cộng hưởng tham số của phonon âm và phonon quang bị giam giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
- - - - - - - - - - -
BÙI THỊ THANH THỦY
CỘNG HƯỞNG THAM SỐ CỦA PHONON ÂM
VÀ PHONON QUANG BỊ GIAM GIỮ TRONG
DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT
Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số : 60 44 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. TRẦN CÔNG PHONG
Huế, năm 2010
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số
liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong Luận văn là trung thực, được các
đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ
một công trình nghiên cứu nào khác.
Huế, tháng 09 năm 2010
Tác giả Luận văn
Bùi Thị Thanh Thủy
ii
LỜI CẢM ƠN
Hoàn thành Luận văn tốt nghiệp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến thầy giáo - PGS.TS Trần Công Phong và Ths. Lê Thị Thu Phương
đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện.
Qua đây, em xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô trong khoa Vật Lý
và phòng Đào tạo sau Đại học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế, Sở
GDĐT tỉnh Quảng Nam, Trường THPT Quế Sơn, các bạn học viên Cao

học khóa 17 cùng gia đình và bạn bè đã động viên, góp ý và giúp đỡ để
Luận văn được hoàn thiện.
Huế, tháng 09 năm 2010
Tác giả Luận văn
Bùi Thị Thanh Thủy
iii
MỤC LỤC
Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Danh sách các hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN . . . . . . . 9
1.1. Tổng quan về dây lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1. Bán dẫn thấp chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2. Bán dẫn dây lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3. Dây lượng tử hình chữ nhật . . . . . . . . . . . . . 11
1.2. Hamiltonian của phonon âm và phonon quang bị giam giữ
trong dây lượng tử hình chữ nhật . . . . . . . . . . . . . . 13
Chương 2. TÍNH GIẢI TÍCH CỘNG HƯỞNG THAM
SỐ CỦA PHONON ÂM VÀ PHONON QUANG BỊ
GIAM GIỮ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ
NHẬT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1. Hệ phương trình động lượng tử và phương trình tán sắc cho
phonon âm dọc (LA) và phonon quang dọc (LO) bị giam
giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật . . . . . . . . . . . . 16
2.1.1. Hệ phương trình động lượng tử . . . . . . . . . . . 16
1
2.1.2. Phương trình tán sắc . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2. Cộng hưởng tham số của phonon âm và phonon quang bị
giam giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật . . . . . . . . . 33
2.2.1. Điều kiện gia tăng tham số cho phonon âm . . . . . 33
2.2.2. Điều kiện cộng hưởng tham số của phonon âm và
phonon quang trong trường hợp khí electron không
suy biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Chương 3. KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN . . 42
3.1. Khảo sát sự phụ thuộc của biên độ trường ngưỡng vào số
sóng âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2. Khảo sát sự phụ thuộc của biên độ trường ngưỡng vào kích
thước của dây . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3. Khảo sát sự phụ thuộc của biên độ trường ngưỡng vào nhiệt
độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4. Khảo sát sự phụ thuộc của hệ số F vào số sóng âm . . . . 46
3.5. Khảo sát sự phụ thuộc của hệ số F vào kích thước của sợi dây 47
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
PHỤ LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P.1
2
DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ
3.1 Sự phụ thuộc vào số sóng âm của biên độ trường ngưỡng
E
th
đối với các giá trị nhiệt độ khác nhau. Đường liền nét,
đường gạch gạch, đường chấm chấm lần lượt tương ứng với
các nhiệt độ T=73 K, 77 K, và 81 K. Ở đây, Ω = 4 ×10
13
Hz, L
x
= 40 nm, L

y
= 10 nm, L
z
= 60 nm. . . . . . . . . 43
3.2 Sự phụ thuộc vào kích thước sợi dây của biên độ trường
ngưỡng E
th
đối với các giá trị tần số laser khác nhau của
trường ngoài. Đường liền nét, đường gạch gạch, đường chấm
chấm lần lượt tương ứng với các tần số Ω=4.0 Hz, 4.5 Hz,
và 5.0 Hz. Ở đây, T = 77 K, L
y
= 20 nm, L
z
= 60 nm,
q
z
= 1.5 ×10
8
m
−1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của biên độ trường ngưỡng đối với
các giá trị số sóng khác nhau. Đường liền nét, đường gạch
gạch, đường chấm chấm lần lượt tương ứng với các số sóng
q
z
= 1.65 × 10
8
m

−1
, q
z
= 1.75 × 10
8
m
−1
, q
z
= 1.85 × 10
8
m
−1
. Ở đây, Ω = 4 × 10
13
Hz, L
x
= 60 nm, L
y
= 10 nm,
L
z
= 90 nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 Sự phụ thuộc vào số sóng âm của hệ số F đối với các giá trị
nhiệt độ khác nhau. Đường liền nét, đường gạch gạch, đường
chấm chấm lần lượt tương ứng với các nhiệt độ T =73 K, 77
K, và 81 K. Ở đây, Ω = 4 ×10
13
Hz, L
x

= 40 nm, L
y
= 10
nm, L
z
= 60 nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3
3.5 Sự phụ thuộc vào kích thước sợi dây của hệ số F đối với các
giá trị khác nhau của tần số trường ngoài. Đường liền nét,
đường gạch gạch, đường chấm chấm lần lượt tương ứng với
các tần số Ω=4.0 Hz, 4.5 Hz, 5.0 Hz. Ở đây, T = 77 K,
q
z
= 10
8
m
−1
, L
y
= 10 nm, L
z
= 60 nm. . . . . . . . . . . 47
4
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong thời gian gần đây, áp dụng các phương pháp Epitaxy hiện đại
như Epitaxy chùm phân tử (MBE), các lớp của hai hay nhiều chất bán
dẫn có cùng cấu trúc có thể lần lượt được tạo ra. Trong cấu trúc trên,
ngoài trường điện thế tuần hoàn của các nguyên tử, trong mạng tinh thể
còn tồn tại một trường điện thế phụ. Tùy thuộc vào trường điện thế phụ

mà các bán dẫn này thuộc về bán dẫn có cấu trúc hố lượng tử, siêu mạng,
dây lượng tử, hay chấm lượng tử. Khi theo một phương nào đó có trường
thế phụ thì phổ năng lượng của các hạt tải (electron, lỗ trống) theo chiều
này bị lượng tử hóa, hạt tải chỉ còn tự do trong số chiều còn lại. Chính vì
tính chất giam giữ mạnh nên các bán dẫn này có các tính chất vật lý trong
đó có tính chất điện, quang, và phản ứng với trường cao tần khác nhau và
khác với các bán dẫn khối thông thường [3].
Việc chuyển từ hệ electron 3 chiều sang hệ electron thấp chiều đã làm
thay đổi đáng kể cả về mặt định tính cũng như định lượng các tính chất
vật lý của các vật liệu. Việc nghiên cứu cấu trúc cũng như các hiện tượng
vật lý trong các bán dẫn thấp chiều này cho thấy cấu trúc đã làm thay
đổi đáng kể nhiều đặc tính của vật liệu, đồng thời cấu trúc cũng đã làm
xuất hiện thêm nhiều đặc tính mới, ưu việt hơn mà các hệ electron 3 chiều
thông thường không có. Các vật liệu mới với các cấu trúc bán dẫn nói trên
đã giúp cho việc tạo ra các linh kiện, thiết bị dựa trên những nguyên tắc
hoàn toàn mới và công nghệ hiện đại có tính chất cách mạng trong khoa
học kỹ thuật nói chung và trong lĩnh vực quang điện tử nói riêng. Đó là lý
do tại sao các cấu trúc trên được nhiều nhà vật lý quan tâm nghiên cứu.
Có rất nhiều hiệu ứng vật lý cần được nghiên cứu trong bán dẫn thấp
5
chiều. Trong số các hiệu ứng này, thì các hiệu ứng cao tần xảy ra do phản
ứng của hệ electron dưới tác dụng của trường điện từ cao tần (trường
laser) được quan tâm nhiều. Một trong các lý do của việc tập trung nghiên
cứu các hiệu ứng này trong các bán dẫn thấp chiều là do tính không đẳng
hướng mạnh của hiện tượng chuyển tải lượng tử và độ linh động của hạt
tăng cao. Hiệu ứng liên quan đến tương tác electron-phonon mà chúng tôi
quan tâm nghiên cứu trong luận văn này là tương tác tham số.
Hiệu ứng tương tác và biến đổi tham số là một cơ chế mới về sự chuyển
hóa năng lượng giữa các kích thích dưới tác dụng của trường điện từ ngoài.
Các kích thích này có thể là cùng loại (ví dụ: phonon-phonon) hoặc khác

loại (phonon-plasmon). Tương tác tham số và biến đổi tham số dẫn đến
sự suy giảm của loại kích thích này và gia tăng của một loại kích thích
khác khi điều kiện gia tăng tham số được thực hiện. Hiệu ứng cộng hưởng
tham số của phonon âm và phonon quang khi có mặt sóng điện từ đã được
nghiên cứu khá đầy đủ trong bán dẫn khối thông thường [9], [16], [27], [33],
[37], một phần đối với bán dẫn hố lượng tử [36] và dây lượng tử bán dẫn
[4], [28], nhưng với giả thiết phonon khối. Việc xem xét phonon bị giam
giữ trong dây lượng tử bán dẫn cần được nghiên cứu một cách cơ bản và
hệ thống. Về mặt nguyên tắc, hiệu ứng này có thể quan sát bằng thực
nghiệm.
Tóm lại, vì tương tác electron-phonon trong dây lượng tử bán dẫn xảy
ra khác biệt so với bán dẫn khối và trong các bán dẫn thấp chiều khác,
đặc biệt khi xem xét phonon bị giam giữ nên hiệu ứng này mang các đặc
tính mới. Đó là lý do chúng tôi chọn đề tài "Cộng hưởng tham số của
phonon âm và phonon quang bị giam giữ trong dây lượng tử
hình chữ nhật".
6
2. Mục tiêu nghiên cứu
Về nội dung, mục tiêu của đề tài này là áp dụng thống kê lượng tử vào
nghiên cứu cộng hưởng tham số các phonon dưới tác dụng của trường laser
mạnh trong dây lượng tử bán dẫn khi có mặt tương tác electron-phonon.
Đề tài cần phải thu nhận được các biểu thức giải tích tường minh cho điều
kiện cộng hưởng và gia tăng tham số trong dây lượng tử. Thực hiện tính số
với các bán dẫn dây lượng tử thực để ước lượng các giá trị trên, đối chiếu
với các thông số có thể đạt được trong kỹ thuật hiện nay để kết luận khả
năng ứng dụng vào thực tiễn.
Về phương pháp, mục tiêu của đề tài này là nhằm áp dụng và hoàn
thiện hơn các phương pháp phương trình động lượng tử trong thống kê
lượng tử cho dây lượng tử bán dẫn, khẳng định ưu việt của phương pháp
này.

3. Nhiệm vụ và đối tượng nghiên cứu
+ Nhiệm vụ nghiên cứu
- Sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử đối với hai loại
phonon để tìm biểu thức giải thích cho điều kiện cộng hưởng tham số của
phonon âm và phonon quang
- Xác định phổ tái chuẩn hóa của phonon âm (quang). Tính số trường
ngưỡng và hệ số biến đổi tham số phonon quang (âm) thành phonon âm
(quang) và khảo sát đại lượng này. Các nội dung trên được nghiên cứu cho
trường hợp khí electron không suy biến
+ Đối tượng nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu về nội dung tập trung chủ yếu vào cộng hưởng
7
tham số và biến đổi tham số của phonon âm và phonon quang.
- Đối tượng nghiên cứu về phương pháp là phương trình động lượng
tử cho phonon.
4. Phương pháp nghiên cứu
Trên phương diện nghiên cứu lý thuyết, bài toán được giải quyết theo
quan điểm lượng tử trên cơ sở áp dụng các phương pháp của lý thuyết
trường lượng tử cho hệ nhiều hạt. Trong đề tài này, chúng tôi sử dụng
phương pháp phương trình động lượng tử và các phép tính đại số toán tử
để tính giải tích. Sau đó sử dụng phần mềm Mathematica để thực hiện
tính số và vẽ đồ thị.
5. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài này chỉ giới hạn nghiên cứu với dây lượng tử hình chữ nhật
và với giả thiết phonon bị giam giữ. Vì đề tài này chỉ tập trung nghiên
cứu tương tác electron-phonon nên bỏ qua tương tác cùng loại như tương
tác electron-electron, phonon-phonon. Chỉ xét cộng hưởng bậc 1 trong bài
toán cộng hưởng tham số của hai loại phonon.
6. Bố cục luận văn
Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, phần

nội dung chính của Luận văn gồm có ba chương. Chương 1 trình bày những
vấn đề tổng quan. Chương 2 trình bày phần tính giải tích cộng hưởng tham
số của phonon âm và phonon quang bị giam giữ trong dây lượng tử hình
chữ nhật. Chương 3 trình bày các kết quả tính số và thảo luận.
8
Chương 1
MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN
Chương này trình bày một số kiến thức cơ sở của dây lượng tử,
biểu thức của phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử, Hamilto-
nian của phonon bị giam giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật
1.1. Tổng quan về dây lượng tử
1.1.1. Bán dẫn thấp chiều
Hệ bán dẫn thấp chiều thường được tạo ra bằng phương pháp Epitaxy,
trong đó các lớp mỏng chất bán dẫn có bề rộng vùng cấm khác nhau được
tạo ra xen kẽ nhau. Một hệ bán dẫn thấp chiều là một hệ lượng tử trong
đó các hạt mang điện dịch chuyển tự do hoặc theo hai chiều, một chiều
hoặc không chiều. Kích thước của hệ này vào cỡ bước sóng Debroglie của
hạt mang điện nên tính chất vật lý và điện tử thay đổi đầy "kịch tích". Ở
đây, các quy luật cơ học lượng tử bắt đầu có hiệu lực [8].
Việc phân loại hệ bán dẫn thấp chiều dựa trên số hướng không gian
mà hạt mang điện có thể chuyển động tự do. Từ đó, ta có các hệ bán dẫn
thấp chiều sau [8]:
+ Hệ giếng lượng tử và siêu mạng: Trong hệ này các hạt mang điện
bị nhốt theo một hướng và chuyển động tự do theo hai hướng.
+ Hệ dây lượng tử: Trong hệ này các hạt mang điện bị nhốt theo hai
hướng và chuyển động tự do theo một hướng khác.
+ Hệ chấm lượng tử: Trong hệ này các hạt mang điện bị nhốt cả 3
9
hướng và không thể chuyển động theo bất kỳ hướng nào.
1.1.2. Bán dẫn dây lượng tử

Dây lượng tử là một cấu trúc vật liệu trong đó chuyển động của
electron bị giới hạn theo hai chiều, kích cỡ tối đa cỡ 100 nm. Trong dây
lượng tử, các electron chuyển động tự do chỉ theo một chiều, vì thế hệ
electron tự do còn gọi là khí electron chuẩn một chiều. Khi một lớp mỏng
của một chất bán dẫn có vùng cấm hẹp được bao quanh bởi một bán dẫn
có vùng cấm rộng lớn thì ta có cấu trúc của một dây lượng tử [20].
Hiện nay, người ta có thể tạo ra nhiều dây lượng tử có tính chất tốt
bằng nhiều cách khác nhau. Ví dụ: từ một lớp giếng lượng tử nhờ kỹ thuật
lithography (in li-to) và photoetching (quang khắc), người ta tạo ra được
các dây lượng tử có hình dạng khác nhau mà phổ biến là dây hình chữ
nhật và dây hình trụ. Một loại dây lượng tử khác có thể được tạo ra bằng
cách định hình trước khi cho tinh thể lớn dần lên. Đây là loại dây răng
cưa chữ V được tạo ra nhờ nuôi Epitaxy trên một rãnh hình chữ V với vật
liệu không phân cực. Ngoài ra còn có một số cấu trúc hay được nghiên cứu
như dây lượng tử hình chữ T, dây lượng tử hình cái lược (gắn nhiều dây
lượng tử vào một dây lượng tử khác, giống như cái lược ) [20].
Do có cấu trúc một chiều nên các hiệu ứng lượng tử thể hiện rõ hơn
so với cấu trúc lượng tử hai chiều. Các khảo sát lý thuyết chủ yếu dựa trên
hàm sóng, phổ năng lượng thu được nhờ giải phương trình Schrodinger và
sử dụng thế tương tác Coulomb. Các mô hình được sử dụng là hố thế cao
vô hạn, hố thế parabol (thích hợp với dây có kích thước nhỏ), thế tam
giác Sử dụng loại thế nào phụ thuộc vào điều kiện của từng bài toán
(các giả thiết về cấu trúc hình học của dây, nhiệt độ, trường ngoài ), yêu
10
cầu thực nghiệm và mức độ phức tạp của dạng thế đó. Trong trường hợp
cụ thể có thể ghép các hố thế với nhau, chẳng hạn một chiều là hố thế
parabol, một chiều hố thế tam giác, hoặc một chiều hố thế hình vuông và
một chiều hố thế vô hạn [20].
1.1.3. Dây lượng tử hình chữ nhật
Xét dây lượng tử hình chữ nhật với tiết diện có cạnh là L

x
, L
y
. Phương
trình Schrodinger đối với electron có dạng [8]:
ˆ
Hψ = Eψ, (1.1)
với
ˆ
H =
−
2
2m
∗
∇
2
+ U(z) + V, (1.2)
trong đó, m
∗
là khối lượng hiệu dụng của electron; U(z) là thế năng của
electron theo phương z (ở đây ta chọn U( z) = 0); V là thế năng của
electron trong mặt phẳng (x, y), nó có dạng:
V =





0 khi 0 ≤ x ≤ L
x

, 0 ≤ y ≤ L
y
,
∞ nếu x > L
x
, y > L
y
.
(1.3)
Vì chuyển động của electron theo phương z độc lập với chuyển động
trong mặt phẳng (x, y) nên hàm sóng và năng lượng của electron có thể
viết dưới dạng:
ψ(x, y, z) = ψ(x, y)ψ(z), (1.4)
E = E
z
+ E
x,y
, (1.5)
trong đó
E
z
=

2
k
2
2m
∗
, ψ(z) =
1

√
L
z
e
ik
z
z
, (1.6)
11
với L
z
là độ dài của dây; k là thành phần của vectơ sóng

k theo phương z,

k = (0, 0, k
z
).
Bây giờ ta giải phương trình Schrodinger để tìm năng lượng và hàm
sóng của electron trong mặt phẳng (x, y). Phương trình Schrodinger có
dạng
ˆ
Hψ(x, y) = Eψ(x, y), (1.7)
trong đó
ˆ
H =
−
2
2m
∗

[
∂
2
∂x
2
+
∂
2
∂y
2
]. (1.8)
Đây chính là bài toán giếng thế 2 chiều, vì vậy ta đặt
ψ(x, y) = ψ(x)ψ(y), E = E
x
+ E
y
. (1.9)
Khi đó phương trình (1.7) có dạng
−
2
2m
∗
[
∂
2
∂x
2
+
∂
2

∂y
2
]ψ(x)ψ(y) = (E
x
+ E
y
)ψ(x)ψ(y). (1.10)
Từ đó ta thu được hai phương trình theo hai phương x và y
d
2
ψ(x)
dx
2
+
2m
∗

2
E
x
ψ(x) = 0, (1.11)
d
2
ψ(y)
dy
2
+
2m
∗


2
E
y
ψ(y) = 0. (1.12)
Phương trình vi phân
d
2
ψ(x)
dx
2
+
2m
∗

2
E
x
ψ(x) = 0, (1.13)
có nghiệm là:
ψ(x) = A sin K
1
x = B cos K
1
x. (1.14)
Với
K
2
1
=
2m

∗

2
E
x
, (1.15)
12
ta nhận được biểu thức của năng lượng:
E
x
=
π
2

2
n
2
x
2m
∗
L
2
x
, n
x
= 1, 2, 3 (1.16)
và hàm sóng có thể được viết lại như sau
ψ(x) = A sin
n
x

πx
L
x
, (1.17)
trong đó hệ số A được xác định từ điều kiện chuẩn hóa
A
2

L
z
0
sin
2
n
x
πx
L
x
dx = 1 ⇒ A =

2
L
x
. (1.18)
Do đó
ψ
n
x
(x) =


2
L
x
sin
n
x
πx
L
x
. (1.19)
Tương tự ta cũng có
ψ
n
y
(y) =

2
L
y
sin
n
y
πy
L
y
, (1.20)
E
y
=
π

2

2
n
2
y
2m
∗
L
2
y
; n
y
= 1, 2, (1.21)
Cuối cùng ta thu được hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong dây
lượng tử hình chữ nhật như sau
ψ
n
x
n
y
k
(x, y, z) =

1
L
z
e
ikz


2
L
x
sin
n
x
πx
L
x

2
L
y
sin
n
y
πy
L
y
, (1.22)
E
n
x
n
y
(

k) =

2

k
2
2m
∗
+

2
π
2
2m
∗
(
n
2
x
L
2
x
+
n
2
y
L
2
y
). (1.23)
1.2. Hamiltonian của phonon âm và phonon quang
bị giam giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật
Sự giam giữ phonon có ảnh hưởng đến tốc độ thay đổi số phonon,
điều này có thể được khảo sát bằng cách áp dụng phương pháp Leburton

và Fasol [5].
13
Khi xét cộng hưởng tham số của phonon âm và phonon quang bị giam
giữ trong dây lượng tử chữ nhật thì ta phải sử dụng Hamilton Frochlich
của hệ electron-phonon [5], [26], [30], [35].
Để thu được Hamilton Frochlich mô tả tương tác của phonon LO và
electron 1D, Stroscio xuất phát từ Hamilton Frochlich 3D, H
3D
F r
, và áp đặt
thêm điều kiện biên là thế LO-phonon theo các hướng x và hướng y triệt
tiêu. Từ đó, toán tử H
3D
F r
có dạng:
H
3D
F r
=


Q
V

Q
e
−i

Qr
(q


Q
+ a
+
−

Q
), (1.24)
trong đó

Q = (q
z
, q) là vectơ sóng của phonon và V

Q=γ/Q
2
là hằng số tương
tác electron-phonon (γ là hằng số).
Để tìm được Hamiltonian Frohlich 1D (H
1D
F r
) cho phonon bị giam giữ
theo hai chiều x và y ta viết tổng theo

Q thành tổng theo q và tổng theo
giá trị dương của q, khai triển exp(±iq
x
y) và exp( ±iq
z
), với m và n là

các số lượng tử do sự giam giữ phonon trong dây, chọn q
x
= ±mπ/L
x
và q
y
= ±nπ/L
y
để đảm bảo rằng các mode triệt tiêu tại x = ±L
x
/2 và
y = ±L
y
/2, ta tìm được:
H
1D
F r
= 2γ

q
z
e
−iq
x
x
[(SH1) + (SH2) + (SH3) + (SH4)], (1.25)
trong đó
SH1 =

m=1,3,5,


n=1,3,5,
cos(
mπx
L
x
)
cos(
nπy
L
y
)
[q
2
z
+ (
mπ
L
x
)
2
+ (
nπ
L
y
)
2
]
1/2
[A

+
(q
z
)
+
+ A
+
+
(−q
z
)
+
],
(1.26)
SH2 =

m=1,3,5,

n=2,4,6,
cos(
mπx
L
x
)
cos(
nπy
L
y
)
[q

2
z
+ (
mπ
L
x
)
2
+ (
nπ
L
y
)
2
]
1/2
[A
+
(q
z
)
−
+ A
+
+
(−q
z
)
−
],

(1.27)
SH3 =

m=2,4,6,

n=1,3,5,
cos(
mπx
L
x
)
cos(
nπy
L
y
)
[q
2
z
+ (
mπ
L
x
)
2
+ (
nπ
L
y
)

2
]
1/2
[A
−
(q
z
)
+
+ A
+
−
(−q
z
)
+
],
(1.28)
14
SH4 =

m=2,4,6,

n=2,4,6,
cos(
mπx
L
x
)
cos(

nπy
L
y
)
[q
2
z
+ (
mπ
L
x
)
2
+ (
nπ
L
y
)
2
]
1/2
[A
−
(q
z
)
−
+ A
+
−

(−q
z
)
−
],
(1.29)
với
a
+
(q) = −
1
√
2
(a
q
z
,q
+ a
−q
z
,q
), a
−
(q) = −
i
√
2
(a
q
z

,q
− a
−q
z
,q
), (1.30)
A
+
(q
z
) =
1
√
2
[a
±
(q
x
, q
y
) + a
±
(q
x
, −q
y
), (1.31)
A
−
(q

z
) =
−i
√
2
[a
±
(q
x
, q
y
) − a
±
(q
x
, −q
y
). (1.32)
Hai toán tử a
+
+
(−q) và a
+
−
(−q) tương ứng là liên hợp của hai toán tử
a
+
(−q) và a
−
(−q).

Khi xét vectơ cường độ điện trường phân cực theo phương z ta có thể
viết lại Hamitonian Frohlich tương tác của electron-phonon LO như sau
H
e−op
=

k
z
,α,α

,q
z
,m,n
γI
1D
(q
z
)c
+
k
z
+q
z
,α

c
k
z
,α
(b

q
z
,m,n
+ b
+
−q
z
,m,n
). (1.33)
Tương tự ta cũng xây dựng được Hamitonian Frohlich tương tác của
electron-phonon LA
H
e−ac
=

k
z
,α,α

,q
z
,m,n
γ

I
1D
(q
z
)c
+

k
z
+q
z
,α

c
k
z
,α
(a
q
z
,m,n
+ a
+
−q
z
,m,n
), (1.34)
trong đó I
1D
(q
z
) là thừa số dạng của electron trong tương tác electron-
phonon trong dây lượng tử [26], [35].
15
Chương 2
TÍNH GIẢI TÍCH CỘNG HƯỞNG THAM SỐ CỦA
PHONON ÂM VÀ PHONON QUANG BỊ GIAM

GIỮ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT
Chương này trình bày về Hamiltonian của hệ electron-phonon bị
giam giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật và tính toán giải tích
để thu được kết quả điều kiện cộng hưởng của phonon âm dọc
(LA) và phonon quang dọc (LO) khi bị giam giữ trong dây lượng
tử hình chữ nhật.
2.1. Hệ phương trình động lượng tử và phương trình
tán sắc cho phonon âm dọc (LA) và phonon
quang dọc (LO) bị giam giữ trong dây lượng tử
hình chữ nhật
2.1.1. Hệ phương trình động lượng tử
* Hamiltonian của hệ điện tử-phonon âm dọc (LA) và phonon
quang dọc (LO) bị giam giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật
khi có mặt trường bức xạ laser.
Chúng ta khảo sát sự tương tác của electron- phonon bị giam giữ
trong dây lượng tử hình chữ nhật đặt trong trường laser có vectơ cường
độ điện trường

E =

E
0
sin Ωt vuông góc với phương truyền sóng. Thế
vectơ tương ứng là

A(t) =
c
Ω
E
0

cos Ωt. Nếu bỏ qua tương tác các hạt cùng
loại (tương tác electron- electron, phonon- phonon) thì Hamiltonian của
16
electron- phonon bị giam giữ trong dây lượng tử có dạng [5]:
H(t) = H
e
+ H
ac
+ H
op
+ H
e−ac
+ H
e−op
=

α,

k
ε
α
(

k −
e
c

A(t))c
+
α,


k
c
α,

k
+

q,m,n
ω
q,m,n
a
+
q,m,n
a
q,m,n
+

q,m,n
ν
q,m,n
b
+
q,m,n
b
q,m,n
+


k,α,α


,q,m,n
γI
1D
(q)c
+

k+q,α

c

k,α
(a
q,m,n
+ a
+
−q,m,n
)
+


k,α,α

,q,m,n
γ

I
1D
(q)c
+


k+q,α

c

k,α
(b
q,m,n
+ b
+
−q,m,n
),
(2.1)
trong đó:

k = (0, 0, k
z
), q = (0, 0, q
z
) lần lượt là xung lượng của electron và
phonon bị giới hạn theo trục của dây (trục z).
H
e
=

α,

k
ε
α

(

k −
e
c

A(t))c
+
α,

k
c
α,

k
là năng lượng của các điện tử không
tương tác.
H
ac
=

q,m,n
ω
q,m,n
a
+
q,m,n
a
q,m,n
là năng lượng của các phonon âm bị

giam giữ không tương tác.
H
op
=

q,m,n
ν
q,m,n
b
+
q,m,n
b
q,m,n
là năng lượng của các phonon quang
bị giam giữ không tương tác.
H
e−ac
=


k,α,α

,q,m,n
γI
1D
(q)c
+

k+q,α


c

k,α
(a
q,m,n
+ a
+
−q,m,n
) là năng lượng
tương tác giữa điện tử và phonon âm bị giam giữ.
H
e−op
=


k,α,α

,q,m,n
γ

I
1D
(q)c
+

k+q,α

c

k,α

(b
q,m,n
+ b
+
−q,m,n
) là năng lượng
tương tác giữa điện tử và phonon quang bị giam giữ.
ε
α
(

k −
e
c

A(t)) là phổ năng lượng của điện tử trong trường ngoài.
c
+

k,α
và c

k,α
lần lượt là toán tử sinh và hủy điện tử.
a
+
q,m,n
và a
q,m,n
lần lượt là toán tử sinh và hủy phonon âm.

b
+
q,m,n
và b
q,m,n
lần lượt là toán tử sinh và hủy phonon quang.
17
ω
q,m,n
và ν
q,m,n
lần lượt là tần số của phonon âm và phonon quang.

A(t) là thế vectơ, xác định bởi trường laser (

E = E
0
sin Ωt)

A(t) =
c
Ω

E cos Ωt. (2.2)
γ và γ

lần lượt là hệ số tương tác giữa điện tử và phonon âm [30],
giữa điện tử và phonon quang [5].
γ = [
qξ

2
2ρv
a
V
]
1/2
= [


(q
2
m,n
+ q
2
z
)ξ
2
2ρv
a
V
]
1/2
, (2.3)
γ

= [
2πe
2
V
ω(

1
χ
∞
−
1
χ
0
)]
1/2
. (2.4)
V , ρ, v
a
, ξ lần lượt là thể tích, mật độ, vận tốc âm và hằng số thế biến
dạng.
χ
∞
, χ
0
là mật độ thẩm điện môi cao tần và tĩnh.
I
1D
(q) là thừa số tương tác điện tử- phonon bị giam giữ trong dây
lượng tử hình chữ nhật [26], [35].
I
1D
(q) =
(2π)
2
L
x

L
y
|

m,n=1,3,5
4P
m,n
[q
2
+ (
mπ
L
x
)
2
+ (
nπ
L
y
)
2
]
−1/2
|
2
, (2.5)
với
P
m,n
=


L
x
/2
−L
x
/2

L
y
/2
−L
y
/2
dx
L
x
2
dy
L
y
2
cos(
n
x
πx
L
x
) cos(
n

y
πy
L
y
) cos(
n

x
πx
L
x
) cos(
n

y
πy
L
y
)
×


























cos
mπx
L
x
cos
nπy
L
y
cos
mπx
L
x
sin
nπy
L

y
sin
mπx
L
x
cos
nπy
L
y
sin
mπx
L
x
sin
nπy
L
y
.(2.6)
Một số giá trị của P
α,α

m,n
tương ứng với các giá trị của m và n như sau
[35], [30]: P
11
= (
8
3π
)
2

, P
13
= P
31
=
1
5
P
11
, P
15
= P
51
=
−1
35
P
11
.
18
* Phương trình động lượng tử cho phonon LA
Trong biểu diễn Heisenberg, phương trình chuyển động của phonon
được viết như sau [3]:
i
∂
∂t
a
q,m,n

t

= [a
q,m,n
, H]
t
= [a
q,m,n
, H
e
]
t
+ [a
q,m,n
, H
ac
]
t
+ [a
q,m,n
, H
op
]
t
+ [a
q,m,n
, H
e−ac
]
t
+ [a
q,m,n

, H
e−op
]
t
,
(2.7)
trong đó x
t
là trung bình thống kê của toán tử x, [A, B] = AB −BA là
giao hoán tử của hai toán tử A và B.
Sử dụng các hệ thức giao hoán sau:
[a
q,m,n
, a
+
q

,m

,n

] = a
q,m,n
a
+
q

,m

,n


− a
+
q

,m

,n

a
q,m,n
= δ
q,q

δ
m,m

δ
n,n

,
[a
q
, a
q

,m

,n


] = [a
+
q
, a
+
q

,m

,n

] = 0,
Đồng thời áp dụng các hệ thức:
[AB, C] = A[B, C] + [A, C]B,
[C , AB] = A[C, B] + [C, A]B.
Ta thu được
[a
q,m,n
, H
e
]
t
= [a
q,m,n
, H
op
]
t
= [a
q,m,n

, H
e−op
]
t
= 0. (2.8)
Theo phụ lục 1 ta thu được kết quả sau
[a
q,m,n
, H
ac
]
t
= ω
q,m,n
a
q,m,n

t
, (2.9)
∗[a
q,m,n
, H
e−ac
]
t
=


k,α,α


γI
1D
(−q)c
+

k−q,α

c

k,α

t
. (2.10)
Thay (2.8), (2.9), (2.10) vào phương trình (2.7) ta được
i
∂
∂t
a
q,m,n

t
= ω
q,m,n
a
q,m,n

t
+



k,α,α

γI
1D
(−q)c
+

k−q,α

c

k,α

t
. (2.11)
19
Để tìm biểu thức cuối cùng của phương trình (2.11) ta tìm c
+

k−q,α

c

k,α

t
.
Tương tự ta thiết lập phương trình động lượng tử cho c
+


k−q,α

c

k,α

t
.
i
∂
∂t
c
+

k−q,α

c

k,α

t
= [c
+

k−q,α

c

k,α
, H]

t
= [c
+

k−q,α

c

k,α
, H
e
]
t
+ [c
+

k−q,α

c

k,α
, H
ac
]
t
+ [c
+

k−q,α


c

k,α
, H
op
]
t
+ [c
+

k−q,α

c

k,α
, H
e−ac
]
t
+ [c
+

k−q,α

c

k,α
, H
e−op
]

t
= SH1 + SH2 + +SH3 + SH4 + SH5.
(2.12)
Tính các số hạng trên (Phụ lục 2) và thu được kết quả
SH1 =

ε
α
(

k) − ε
α

(

k − q) −
e
m
∗
c
q

A(t)

c
+

k−q,α

c


k,α

t
, (2.13)
SH2 = SH3 = 0,
SH4 =

q
1
,m,n
γI
1D
(q
1
)(a
q
1
,m,n
+ a
+
−q
1
,m,n
)(c
+

k−q,α

c


k−q
1
,α

− c
+

k−q+ q
1
,α
c

k,α
)
t
,
(2.14)
SH5 =

q
1
,m,n
γ

I
1D
(q
1
)(b

q
1
,m,n
+ b
+
−q
1
,m,n
)(c
+

k−q,α

c

k−q
1
,α

− c
+

k−q+ q
1
,α
c

k,α
)
t

.
(2.15)
Thay SH1, SH2, SH3, SH4, SH5 vào phương trình (2.12) ta được
i
∂
∂t
c
+

k−q,α

c

k,α

t
=

ε
α
(

k) − ε
α

(

k − q) −
e
m

∗
c
q

A(t)

c
+

k−q,α

c

k,α

t
+

q
1
,m,n
γI
1D
(q
1
)(a
q
1
,m,n
+ a

+
−q
1
,m,n
)(c
+

k−q,α

c

k−q
1
,α

− c
+

k−q+ q
1
,α
c

k,α
)
t
+

q
1

,m,n
γ

I
1D
(q
1
)(b
q
1
,m,n
+ b
+
−q
1
,m,n
)(c
+

k−q,α

c

k−q
1
,α

− c
+


k−q+ q
1
,α
c

k,α
)
t
.
(2.16)
Để giải phương trình (2.16) ta giải phương trình vi phân thuần nhất sau
i
∂
∂t
c
+

k−q,α

c

k,α

0
t
=

ε
α
(


k) −ε
α

(

k −q) −
e
m
∗
c
q

A(t)

c
+

k−q,α

c

k,α

0
t
. (2.17)
20
Giả thiết t = −∞ hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt động
a

q,m,n

t=−∞
= c
+

k−q,α

c

k,α

t=−∞
= 0. (2.18)
Lấy tích phân 2 vế phương trình (2.18)

t
−∞
∂c
+

k−q,α

c

k,α

0
t
c

+

k−q,α

c

k,α

0
t
=
−i


t
−∞

ε
α
(

k) −ε
α

(

k −q) −
e
m
∗

c
q

A(t)

dt
1
. (2.19)
Giải tích phân (2.19) ta tìm được
c
+

k−q,α

c

k,α

0
t
= exp

−i


t
−∞

ε
α

(

k)−ε
α

(

k −q)−
e
m
∗
c
q

A(t)

dt
1

. (2.20)
Đặt
c
+

k−q,α

c

k,α


t
= φ(t)c
+

k−q,α

c

k,α

0
t
. (2.21)
Lấy đạo hàm 2 vế phương trình (2.21) (phụ lục 3) ta có
∂
∂t
c
+

k−q,α

c

k,α

t
=
∂φ(t)
∂t
c

+

k−q,α

c

k,α

0
t
−
i

φ(t)c
+

k−q,α

c

k,α

0
t

ε
α
(

k) − ε

α

(

k − q) −
e
m
∗
c
q

A(t)

.
(2.22)
Hay
i
∂
∂t
c
+

k−q,α

c

k,α

t
= i

∂φ(t)
∂t
c
+

k−q,α

c

k,α

0
t
+ φ(t)c
+

k−q,α

c

k,α

0
t

ε
α
(

k) − ε

α

(

k − q) −
e
m
∗
c
q

A(t)

= i
∂φ(t)
∂t
c
+

k−q,α

c

k,α

0
t
+ c
+


k−q,α

c

k,α

t

ε
α
(

k) − ε
α

(

k − q) −
e
m
∗
c
q

A(t)

.
(2.23)
21
So sánh phương trình (2.16) và (2.23) ta có

i
∂φ(t)
∂t
c
+

k−q,α

c

k,α

0
t
=

q
1
,m,n
γI
1D
(q
1
)(a
q
1
,m,n
+ a
+
−q

1
,m,n
)(c
+

k−q,α

c

k−q
1
,α

− c
+

k−q+ q
1
,α
c

k,α
)
t
+

q
1
,m,n
γ


I
1D
(q
1
)(b
q
1
,m,n
+ b
+
−q
1
,m,n
)(c
+

k−q,α

c

k−q
1
,α

− c
+

k−q+ q
1

,α
c

k,α
)
t
.
(2.24)
Ta có thể viết gọn phương trình (2.24) như sau
i
∂φ(t)
∂t
=
F (t)
c
+

k−q,α

c

k,α

0
t
, (2.25)
với
F (t) =

q

1
,m,n
γI
1D
(q
1
)(a
q
1
,m,n
+ a
+
−q
1
,m,n
)(c
+

k−q,α

c

k−q
1
,α

− c
+

k−q+ q

1
,α
c

k,α
)
t
+

q
1
,m,n
γ

I
1D
(q
1
)(b
q
1
,m,n
+ b
+
−q
1
,m,n
)(c
+


k−q,α

c

k−q
1
,α

− c
+

k−q+ q
1
,α
c

k,α
)
t
.
(2.26)
Thay (2.20) vào (2.25) ta có
i
∂φ(t)
∂t
= exp

i



t
−∞

ε
α
(

k) −ε
α

(

k −q) −
e
m
∗
c
q

A(t
1
)

dt
1

F (t). (2.27)
Lấy tích phân 2 vế phương trình (2.27)
φ(t) =
−i



t
−∞
exp

i


t
1
−∞

ε
α
(

k) −ε
α

(

k −q) −
e
m
∗
c
q

A(t

2
)

dt
2

F (t
1
)dt
1
.
(2.28)
22