Bai 16 TICH PHAN MAT LOAI 1

TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1


NỘI DUNG
1.Định nghĩa tp mặt loại 1
2.Tính chất tp mặt loại 1
3.Cách tính tp mặt loại 1


Định nghĩa tích phân mặt loại 1
S là mặt cong trong
R3, f(x,y,z) xác định
trên S
Phân hoạch S thành
các mảnh con Sk có
diện tích
∆S
,
M
∈
S
k
k
k
n

Tổng tích phân:

Sn = ∑ f (Mk )∆Sk
k =1

Sn: tp mặt loại 1 của f trên S
∫∫ f ( x , y , z)ds = nlim
→∞
S


Tính chất tp mặt loại 1
1/ Diện tích của mặt cong S =

∫∫

1ds

S

2/ Tp mặt loại 1 không phụ thuộc phía của S
3/ Nếu S = S1 ∪ S2

∫∫
S

f ( x , y , z )ds =

∫∫
S1

f ( x , y , z )ds +

∫∫
S2

f ( x , y , z )ds


Tính chất tp mặt loại 1
4/ Nếu S gồm 2 phần S1 và S2 đối xứng qua
mp z = 0 (Oxy)

∫∫

f ( x , y , z)ds = 2

∫∫

f ( x , y , z)ds = 0

f chẵn theo z:

S

f lẻ theo z:

S

∫∫
S1

f ( x , y , z )ds

Cách tính tp mặt loại 1
Nếu S là phần mặt hữu hạn, có phương trình
z = z(x, y), hình chiếu của S lên Oxy là miền
D, khi đó
2

2

ds = 1 + z′x + z′y dxdy : vi phân mặt

∫∫
S

f ( x , y , z )ds =

∫∫
D

2
2
′
′
f ( x , y , z( x , y )) 1 + zx + zy dxdy


Cách tính tp mặt loại 1
Tổng quát:
B1: chọn cách viết phương trình mặt cong S
(theo biến có số lần xuất hiện ít nhất trong pt
mặt cong S và các mặt chắn)

B2: tìm hình chiếu D của S lên mp tương ứng
(giống thể tích trong tích phân kép)
B3: tính tp trên D.


S

D


Ví dụ
1/ Tính: I =

∫∫S

2

2

x + y ds

trên mặt biên của miền Ω:

2

2

x + y ≤ z ≤1

S gồm mặt nón

2

2

S1 : z = x + y ,
và mặt phẳng S2 : z = 1

hc S1 = hc S2 = D : x 2 + y 2 ≤ 1

Oxy

Oxy


2

2

S1 : z = x + y ,
2
2
′
′
⇒ ds = 1 + zx + zy dxdy
2

2


 


x
x
= 1+ 
÷ +
÷ dxdy
 x2 + y 2 ÷  x2 + y 2 ÷

 


= 2dxdy
2

2

S2 : z = 1 ⇒ ds = 1 + z′x + z′y dxdy = dxdy


I=

∫∫

2

2

x + y ds +

S1

=

∫∫D

∫∫

2

2

x + y ds

S2

2

x +y

= (1 + 2)

∫∫D

2

2dxdy +

∫∫D

2

2

x + y dxdy

2π
x + y dxdy =
(1 + 2)
3
2

2


2/ Tính: I = ∫∫ zds S là phần mặt z = 3 - x - y
S

bị chắn bởi các mặt x + y = 3, 3x + 2y = 6,
y=0

S :z = 3− x − y
D = hc S :
+
3x

3x + y = 3,3x + 2 y = 6, y = 0

=6
2y

3
=
y
3x+

Oxy

I = ∫∫ (3 − x − y ) 1 + 1 + 1dxdy
D


3/ Tính: I =

∫∫

zds S là phần mặt z = x2 + y2

S

bị chắn bởi các mặt z = 1 và z = 2
2

S:z = x + y

1

2

2

 x 2 + y 2 = 1
D:
2
2
x
+
y
=2

(D xđ từ hình chiếu gt
của S với các mp)


2

S:z = x + y
x
(
∫∫

I=

1≤ x 2 + y 2 ≤ 2
2π

=

2

2

+y

D :1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2
2

)

∫ ∫
dϕ

0

149π
=
30

1

r

2

2

1 + 4 x + 4 y dxdy

2
3

2

1 + 4r dr


VÍ DỤ
4/ Tính diện tích của

z = 4 − x2 − y 2
2

2

bị chắn trong mặt trụ x + y = 2 y
Pt mặt cong: z = 4 − x 2 − y 2

2

D = hc Ω :

D

Oxy

2

2

2

2

x + y ≤ 4, x + y ≤ 2y

z′x =

−x
2

4−x −y

2

, z′y =

−y
2

4−x −y

2


S=
=

∫∫S

∫∫
D

ds =

2

4−x −y
2sin ϕ

= dϕ
0

= 4π − 8

∫
0

2

1 + (z′x ) + (z′y ) dxdy

2

π

∫

∫∫D

2

2

dxdy

2

2rdr
4−r

2

D


2

z = 4− x −y

2

2

x + y = 2y

2


5/ Tính diện tích của phần mặt trụ: 2z = x 2
bị chắn bởi các mặt x − 2 y = 0, y − 2 x = 0,

x=2 2

Phương trình mặt cong:
2

y

=

x
z=
2
D = hc Ω :

2x

Oxy

2y = x
2 2

x − 2 y = 0, y − 2 x = 0, x = 2 2


S = ∫∫ ds = ∫∫ 1 + z′x 2 + z′y 2dxdy
S

D

y

2

= ∫∫ 1 + x dxdy

2y = x

D

2 2

2x

= ∫ dx ∫
0

x 2

=

2x

2 2

2

1 + x dy = 13

2

x
z=
2


2z = x

D

2


6/ Tính diện tích của phần mặt nón:

z = x 2 + y 2 bị chắn bởi mặt cầu:
2

2

2

x +y +z =2
D = hc Ω : x 2 + y 2 = 1
Oxy

S=

∫∫D

2

2
′
′
1 + (fx ) + (fy ) dxdy =

∫∫D

2dxdy

= 2S (D) = 2π
(S(D) là diện tích hình tròn có R = 1)




7/ Tính diện tích của phần mặt cầu:

x 2 + y 2 + z 2 = 4 bị chắn bởi các mặt:
x = z, z = 3x , x ≥ 0
Phần mặt cầu gồm 2 nửa S1 và S2:

y1,2 = ± 4 − x 2 − z 2
Hình chiếu của S1 và S2 lên Oxz giống nhau
và xác định bởi:

4 − x 2 − z 2 ≥ 0,
D:
⇒ S = S1 + S2
z = x , z = 3x , x ≥ 0

4 − x − z ≥ 0,
D:
z = x , z = 3x , x ≥ 0
2

2

x

z

=

x
π 4

z