Môn học: Hình học 10 (Nâng cao) Chương III: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Bài 5 (tiết 38): ĐƯỜNG ELIP

Fall

08

Môn học: Hình học 10 (Nâng cao)
Chương III: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
Bài 5 (tiết 38): ĐƯỜNG ELIP

Ngày thực hiện: 10/12/2013
Người soạn: Trịnh Thị Thu Hà– Lớp QH-2010-S Sư phạm Toán

I. MỤC TIÊU
Sau khi học xong bài này, học sinh sẽ:
1.Về kiến thức
- Phát biểu được định nghĩa của đường elip.
- Viết được dạng chính tắc phương trình đường tròn trong mặt phẳng toạ độ.
- Chỉ ra được mối liên hệ về đặc trưng giữa các yếu tố hình học và phương trình
của một đường elip.
2. Về kĩ năng
- Sử dụng được công thức tính khoảng cách để xác định được toạ độ của một điểm
trên một đường elip cho trước, công thức độ dài bán kính qua tiêu; từ đó xây dựng
phương trình chính tắc của elip.
- Viết được phương trình đường elip khi biết trước một số yếu tố ( hai điểm thuộc
elip, tiêu điểm, tiêu cự, điểm thuộc elip)
- Xác định được các yếu tố thành phần của elip ( tiêu điểm, tiêu cự, bán kính qua
tiêu) khi biết phương trình elip.
- Nhận dạng được một biểu thức cho trước có là phương trình đường elip hay
không.
1

3. Về thái độ
- Chú ý tới điều kiện của các hệ số a, b để một biểu thức cho trước thoả mãn là một
phương trình đường tròn khi giải các bài toán nhận biết phương trình đường elip
- Cẩn thận, chính xác trong tính toán các yếu tố của đường elip.
II.

CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH

1. Chuẩn bị của giáo viên
a. Hình thức tổ chức dạy học, phương pháp dạy học:
- Giờ học lý thuyết.
- Phương pháp: Vấn đáp gợi mở, làm việc nhóm, thảo luận.
b. Phương tiện, học liệu
- Giấy A2, thước kẻ, bút dạ, keo dán, nam châm.
- Bài trình chiếu Powerpoint, Phiếu học tập, thẻ nhiệm vụ.
2. Chuẩn bị của học sinh
- Đọc trước sách giáo khoa Hình học 10 (Nâng cao), Bài 5 – Đường elip (Trang
96-99).
- Ôn tập lại các kiến thức đã biết, đã học về đường elip.
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học

Nội dung

sinh
HOẠT ĐỘNG 1: ỔN ĐỊNH LỚP, KIỂM TRA BÀI CŨ (Thời gian 7 phút)
- Cho học sinh làm phiếu bài tập Đọc yêu cầu của
01 (theo cá nhân)

phiếu học tập và suy

- GV quan sát, nếu thấy học sinh nghĩ làm bài.
chưa làm được bài tập thì có thể - Dự kiến: Đa số học
2


Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học

đặt một số câu hỏi gợi ý:

sinh
sinh có thể hoàn

+ Yêu cầu của bài toán là gì?

thành

được

phiếu

+ Các em nhớ lại những kiến học tập.
thức đã được học về đường tròn Đáp án:
trong tiết học trước?

a. Phương trình là

- Dẫn dắt vào bài mới:

phương trình đường

+ Sau đây cô có một số hình tròn. Tọa độ tâm
ảnh cho cả lớp cùng quan sát: I(6,-9), R= 4
chiếu một số hình ảnh ví dụ về b. Có là phương
elip trên powerpoint. Cả lớp trình

đường

tròn.

quan sát hình vẽ và sau đó trả Tâm I( 2, -4), R= 3
lời một số câu hỏi:

c. Là phương trình

+ Bóng của một đường tròn in đường tròn. Tâm
trên mặt đất phẳng dưới ánh

O( 0,0) , R= 5.

sáng mặt trời có phải luôn là d. Không là phương
một đường tròn?

trình đường tròn.

+ Mặt thoáng của một cốc nước

hình trụ là hình tròn, giới hạn HS: Chú ý quan sát
bởi 1 đường tròn nhưng khi ta các hình vẽ và trả lời
nghiêng cốc thì mặt thoáng các câu hỏi.
được giới hạn bởi hình gì?
+ Em có nhận xét gì về quỹ đạo
chuyển động của hành tinh
trong hệ mặt trời, hay chuyển
động của vệ tinh?
Như vậy, đường elip cũng là
một đường rất quen thuộc với
chúng ta và thường gặp trong
3

Nội dung


Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học

Nội dung

sinh
thực tế.
Cũng như đường thẳng hay
đường tròn trong mặt phẳng toạ
độ đều có phương trình để biểu
diễn nó. Dĩ nhiên,đường elip
cũng có phương trình biểu diễn
trong mặt phẳng toạ độ. Chúng

được viết dưới dạng nào? Làm
thế nào để nhận biết một biểu
thức có phải là phương trình
đường elip hay không? Chúng
ta sẽ vào bài ngày hôm nay nhé.
HOẠT ĐỘNG 2: TÌM HIỂU VỀ ĐỊNH NGHĨA ĐƯỜNG ELIP (Thời gian: 10 phút)
Mục tiêu:
-

Phát biểu được định nghĩa đường elip.

GV: Vừa rồi, chúng ta đã được Học sinh lắng nghe

I.

quan sát những ví dụ về đường GV trình bày cách

1. Cách vẽ hình elip

elip. HS đã có một hình dung cơ vẽ hình và quan sát

Nhận xét:

bản về hình dạng của elip.

Định nghĩa đường elip.

cách vẽ hình biểu + Khi M di chuyển, tổng MF1+ MF2 cố

- Chiếu slide VD về cách vẽ diễn trên slide và trả định.

đường elip

lời câu hỏi.

+ Về độ lớn : MF1+ MF2 > F1F2

Cách vẽ: Em hãy đóng lên mặt
một bảng gỗ hai chiếc đinh tại
hai điểm F1 và F2.
Lấy một vòng dây kín không
đàn hồi, có độ dài lớn hơn hai
lần F1F2. Quàng sợi dây vào hai
chiếc đinh, đặt đầu bút chì vào
4


Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học

Nội dung

sinh
trong vòng dây rồi căng ra để
vòng dây trở thành một tam
giác. Hãy di chuyển đầu bút chì
sao cho dây luôn luôn căng và
áp sát mặt gỗ. Khi đó đầu bút
chì sẽ vạch ra một đường mà ta
gọi là đường elip. ( trong cách

vẽ này, GV gọi vị trí đầu bút chì
là M).
Gv: Có thể gọi 1, 2 em HS lên
vẽ thử elip theo hướng dẫn trên.
( GV chuẩn bị đồ dùng).
GV: Quan sát cách vẽ trên, HS
có nhận xét gì về chu vi của tam
giác MF1F2 khi M di chuyển?
Tổng MF1+ MF2 có thay đổi khi Dự kiến HS trả lời
M thay đổi? ( GV có thể nhắc được:
lại giả thiết dây không dãn ).
+ Dựa vào bất đẳng thức trong
tam giác, HS có thể rút ra mối
quan hệ độ dài giữa tổng MF1+
MF2 và đoạn F1F2 .

+ chu vi tam giác
không thay đổi. Vì
chu vi tam giác bằng
tổng độ dài 3 cạnhchính là bằng độ dài
sợi dây, mà dây
không dãn, nên chu

Từ cách vẽ elip vừa trình bày ở

vi bằng hằng số.

trên, GV yêu cầu học sinh phát + Tổng MF1+ MF2

2. Định nghĩa elip

biểu định nghĩa đường elip:

Chohai điểm cố định F1 và F2, với

không đổi do độ dài
5


Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học

Nội dung

sinh
Nếu cho hai điểm cố định F 1 và F1F2 cố định – vị trí

F1F2 = 2c ( c>0).

F2, với F1F2 = 2c ( c>0 ). Phát hai đinh cố định .

Đường elip ( còn gọi là elip) là tập

biểu định nghĩa đường elip?

hợp các điểm M sao cho MF1+ MF2

GV: Nhận xét định nghĩa của

= 2a , trong đó a là số cho trước
Dự kiến HS phát

HS.

Phát biểu lại định nghĩa SGK và biểu được định nghĩa
cho HS ghi chép vào vở.

lớn hơn c.
Hai điểm F1, F2 được gọi là các tiêu

đường elip, nhưng

điểm của elip. Khoảng cách 2c

có thể chưa trọn vẹn.

được gọi là tiêu cự của elip.

HS: nghe nhận xét
và ghi chép vào vở
ghi.

HOẠT ĐỘNG 3: TÌM HIỂU VỀ PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELIP ( 10 phút)

Mục tiêu:
- Chỉ ra được mối liên hệ về đặc trưng giữa các yếu tố hình học và phương trình của một đường
elip.
-

Viết được công thức phương trình chính tắc của elip.

6


Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học

Nội dung

sinh

Chiếu slide:
Elip (E) với hệ trục Oxy được

II.

chọn gắn với elip sao cho gốc

Phương trình chính tắc
của elip.

tọa độ O là trung điểm đoan

Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho O là

F1F2. Với cách chọn Oxy như

trung điểm F1F2.

vậy, hiển nhiên trục Oy là HS: ngồi tại chỗ làm
đường trung trực của F1F2.

bài và xung phong

Tương tự xây dựng phương trả lời câu hỏi.
trình của đường tròn; để xây Ghi chép vào vở
dựng phương trình chính tắc của
elip, ta sẽ đi tìm điều kiện cần
và đủ
của x, y sao cho

M( x, y)

M(x, y) thuộc elip ( E). Trước

F1 ( -c, 0) ; F2 ( c, 0)

tiên, chúng ta sẽ đi tìm độ dài

số 2 ( gồm các câu hỏi và cách

cx

MF
=
a
+
 MF1 + MF2 = 2a

1


a

2cx  
 MF1 – MF2 = a
 MF = a − cx
2

a

bước gợi ý dẫn đến xây dựng

Các đoạn thẳng MF1, MF2 được gọi là

phương trình chính tắc elip);

bán kính qua tiêu của điểm M.

đoạn MF1, MF2.
GV: Chiếu slide phiếu học tập

GV yêu cầu học sinh làm cá
nhân.

x2 y 2
+
=1
a 2 b2

GV: Nêu định nghĩa: Các đoạn

( a2 − c2 = b2 )

( a > b > 0 ) (1)

thẳng MF1, MF2 được gọi là bán
kính qua tiêu của điểm M.

Phương trình (1) được gọi là phương

GV: dẫn dắt: bây giờ chúng ta

trình chính tắc của elip đã cho.
7


Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học
sinh

sẽ lập phương trình của (E) đối
với hệ trục tọa độ đã chọn như
trên.
GV: thực hiện các phép biến
đổi:
Ta có :
cx

= ( x + c) 2 + y 2
a
c2 x2
a 2 + 2cx + 2 = x 2 + 2cx + c 2 + y 2
a
MF1 = a +

MF1 = a +

Hay (a +

cx
= ( x + c) 2 + y 2
a

cx 2
) = ( x + c) 2 + y 2
a


c2 x2
a + 2cx + 2 = x 2 + 2cx + c 2 + y 2
a
2

c2 2
 (1 − 2 ) x + y 2 = a 2 − c 2
a
x2
y2

Hay 2 + 2 2 = 1 .
a
a −c

Vì

a 2 − c 2 > 0 nên ta có thể đặt

a 2 − c 2 = b 2 ( với b > 0 ) và được
x2 y 2
+
=1
a 2 b2

( a > b > 0 ) (1)

Phương trình (1) được gọi là
phương trình chính tắc của elip
đã cho.
Ngược lại, ta có thể chứng minh
8

Nội dung


Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học

Nội dung

sinh
được rằng: Nếu điểm M có tọa
độ thỏa mãn (1) thì
cx

 MF1 = a + a
, do đó

 MF = a − cx
2

a

MF1+ MF2 = 2a
Tức là M thuộc elip (E).
( yêu cầu HS về nhà tự chứng
minh tiếp điều này)

HOẠT ĐỘNG 3:
THỰC HÀNH VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP
VÀ TÌM HIỂU CÁCH NHẬN DẠNG MỘT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP (Thời gian:
15 phút)
Mục tiêu:
- Viết được phương trình đường elip khi biết các yếu tố cho trước.
-

Xác định được tiêu điểm, tiêu cự của elip khi cho biết phương trình đường elip

-

Nhận dạng được một biểu thức cho trước có là phương trình đường elip hay không.
- Chú ý tới điều kiện của các hệ số a, b để một biểu thức cho trước thoả mãn là một

phương trình đường tròn khi giải các bài toán nhận biết phương trình đường elip.
Cho cả lớp theo dõi và suy nghĩ
phiếu học tập số 3. Câu 1. ( HS
nào đã có thể làm Câu 1 sẽ tiếp Dự kiến HS trả lời
tục suy nghĩ câu 2).

được: ta sẽ thay tọa
9


Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học

sinh
Đặt câu hỏi cho HS: Ta đã biết độ hai điểm lần lượt
công thức chung dạng chính tắc vào

phương

trình

của đường elip. Lại biết tọa độ chính tắc (1). Sau đó
hai điểm thuộc (E). Làm thế nào giải hệ 2 phương
để viết được pt chính tắc này?

trình 2 ẩn. Tìm được

Nếu HS chưa quen hoặc chưa a và b. Từ đó ta có
nghĩ ra được cách giải, GV có phương trình chính
thể gợi ý cách làm tương tự như tắc cần tìm.
đối với viết phương trình đường HS: làm bài vào vở
tròn mà các em đã được học tiết và xung phong lên
trước.

bảng.

GV: yêu cầu 1 em lên bảng trình Dự kiến Kết quả của
bày bài giải.

HS:

GV: nhận xét và kết luận bài Câu 1:
toán.

Phương trình chính

GV: chuyển sang câu 2. Có thể

x2

y2

ngay lập tức hỏi HS có hướng tắc là : 16 + 4 = 1
giải quyết bài toán như thế nào Tiêu điểm:
và yêu cầu lên bảng trình bày F ( 20 , 0) và F2(

1
phần a) câu 2.
20 , 0) .
Dự kiến: Một số học sinh gặp
Tiêu cự:
vướng mắc ở phần b) câu 2.
2c = 2 20
Gợi ý học sinh chú ý: Khi M
Câu 2:
thay đổi thì những đại lượng nào
cũng thay đổi và đại lượng nào
là hằng số. Từ đó xét sự biến
thiên giá trị của độ dài MF1.
GV:

a.

x2 y 2
+
=1
7
4

b. Giá trị nhỏ
nhất:
a-c =

7− 3
10

Nội dung


Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học

- Chia lớp thành các nhóm nhỏ,

sinh
khi x = -a

yêu cầu làm phiếu thảo luận

Giá trị lớn nhất:

nhóm.

a+c=

7 + 3 khi

x=a

- Ngồi theo nhóm,
đọc yêu cầu, phân
chia và thực hiện
nhiệm vụ.
Các nhóm học sinh
báo cáo kết quả làm

việc.
HOẠT ĐỘNG 4: CỦNG CỐ (Thời gian: 3 phút)

11

Nội dung


Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học

Nội dung

sinh
So sánh những gì
III.Các dạng bài tập
làm được và không
được định nghĩa elip, xác định
1. Lập phương trình đường elip:
làm được, trước và
các thành phần của elip ( tiêu cự, sau khi học bài mới. - Khi biết tọa độ hai tiêu điểm và tọa
tiêu điểm) khi biết phương trình
đọ một điểm bất kì thuộc elip.
Qua bài học này các em cần nắm

chính tắc của nó, lập được

- Khi biết một trong các yếu tố , từ đó

phương trình chính tắc khi biết

đi tìm yếu tố còn lại.

được các yếu tố đã cho.

- Lập phương trình đường elip đi qua

- Giới thiệu một số dạng bài tập

2 điểm.

liên quan đến phương trình

2. Nhận dạng một phương trình cho

đường elip để học sinh về nhà

trước có là phương trình đường elip

tìm hiểu.

hay không? Nếu có, xác định tiêu

Dặn dò, giao bài tập về nhà

điểm và tiêu cự?

12

Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học
sinh

13

Nội dung


PHIẾU HỌC TẬP 1
Trên mặt phẳng toạ độ 0xy, phương trình nào sau đây là

Lưu ý: Các em có thể sử

phương trình đường tròn? Hãy xác định tâm và bán kính của

dụng phần để trống này

những đường tròn đó?

của phiếu học tập để vẽ
hình, thực hiện các bước

a. ( x- 6)2 + ( y + 9)2 = 16

biến đổi nếu cần.

……………………………………………………………..

b. x2 + y2 – 4x + 8y + 11= 0
……………………………………………………………..
c.

x2 y2
+
=1
25 25

……………………………………………………………..
x2 y 2
+
=1
d.
9
4

………………………………………………………………

Đáp án phiếu học tập 1 :
14


Trên mặt phẳng toạ độ 0xy, phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn? Hãy xác
định tâm và bán kính của những đường tròn đó?
a. ( x- 6)2 + ( y + 9)2 = 16: Là phương trình đường tròn
Tâm I ( 6, 9) , R = 4.
b. x2 + y2 – 4x + 8y + 11= 0: Là phương trình đường tròn.
Tâm I ( 2, -4) , R = 3
c.

x2 y2
+
= 1 : Là phương trình đường tròn.
25 25

Tâm O ( 0, 0) , R= 5.
d.

x2 y 2
+
=1
9
4

Không là phương trình đường tròn.

PHIẾU HỌC TẬP 2

15


Cho Elip (E) như định nghĩa ở phần
I: Tức là có : F1F2 = 2c
MF1 + MF2 = 2a
và M( x, y) thuộc ( E)
Hệ trục Oxy được chọn gắn với elip
sao cho gốc tọa độ O là trung điểm
đoan F1F2.
Oy là đường trung trực của F1F2.

Câu 1: Xác định tọa độ hai tiêu điểm F1, F2.
……………………………………………………………………………...........
…………………………………………………………………………………...
Câu 2: Tính MF12- MF22 = ? và MF1 – MF2 = ?
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………
Câu 3: Tính MF1 , MF2 = ? ( biểu diễn theo a, c, x).
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………

Đáp án phiếu học tập 2

16


Cho Elip (E) như định nghĩa ở phần
I:
Tức là có : F1F2 = 2c
MF1 + MF2 = 2a
và M( x, y) thuộc ( E).
Hệ trục Oxy được chọn gắn với elip
sao cho gốc tọa độ O là trung điểm
đoan F1F2.
Oy là đường trung trực của F1F2.
Câu 1: Xác định tọa độ hai tiêu điểm F1, F2.
F1 ( -c, 0) ; F2 ( c, 0)

Câu 2: Tính MF12- MF22 = ? và MF1 – MF2 = ?
MF12 = (−c − x) 2 + (− y ) 2
MF2 2 = (c − x) 2 + (− y ) 2
MF12 − MF2 2 = 4cx

Mà MF1 + MF2 = 2a
2
2
Lại có hằng đẳng thức: MF1 − MF2 = ( MF1 – MF2 )( MF1 + MF2 ) => MF1 – MF2 =

Câu 3: Tính MF1 , MF2 = ? ( biểu diễn theo a, c, x)
cx

MF1 = a +
 MF1 + MF2 = 2a



a
.

2cx  
 MF1 – MF2 = a
 MF = a − cx
2

a

PHIẾU THẢO LUẬN NHÓM
17

2cx
a


Câu 1: Điền vào dấu … để hoàn thành bảng sau:
Phương trình chính tắc

Tiêu cự

Tọa độ tiêu điểm

Tọa độ 1 điểm
A bất kì ∈ (E)

(E)
x2 y2
+
=1
9
4

…

…

A( 3 , ...)

x2 y2
+

=1
16 5

…

…

A( 2, ...)

Câu 1: Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua 2 điểm M( 0, 2) và N( 2 , 3 ). Tính

…
10
tiêu cự ( E) và xác định tọa độ các tiêu điểm.

…

A( 0, 6)

…
…
F1= ( -7, 0) ;
A( 8,0)
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
F2=(…., …)
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
Câu
2: Trong những phương trình sau, phương trình nào có thể biến đổi về dạng

…………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………….
phương
trình chính tắc của (E). Giải thích vì sao có thể? Vì sao không thể?
…………………………………………………………………………………………………………..
2
2

1. 9x + 4y = 36 ………………………………………………………….

Câu 2:

………………………………………………………………………………..
Cho ba điểm F1( - 3 , 0) và F2(

3 , 0) và M( 0, 2).

2
2
2.
16yphương
= 144 ………………………………………………………..
a) 9x
Hãy- viết
trình chính tắc của (E) có tiêu điểm là F1, F2 và đi qua M.

b) Khi điểm I chạy trên elip (E) đó, khoảng cách IF1 có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
………………………………………………………………………………..
bằng bao nhiêu?
2

2

3. 4x + 9y = 36 ………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
4. 9x2+ 16xy = 144 ……………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………….
PHIẾU HỌC TẬP 3

…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
18
………………………………………………………………………………………………………….


19