CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ CƠ BẢN 12

Chương mộ t

ỨNG DỤ NG ĐẠ O HÀ M ĐỂ KHẢ O SÁ T VÀ VỄ ĐÒ THỊ HÀ M SÓ
I.
SỰ BIẾ N THIÊN CỦ A HÀ M SÓ
► Điề u kiệ n đủ để hà m số đơn điệ u:
Giả sử hà m số y=f(x) cố đạ ô hà m trên khôả ng I
▪ Nế u f’(x)>0,Ɐ x ∈ I thì hà m số y=f(x) đồ ng biế n trên khôả ng I
▪ Nế u f’(x)<0,Ɐ x ∈ I thì hà m số y=f(x) nghịch biế n trên khôả ng I
▪ Nế u f’(x)=0,Ɐ x ∈ I thì hà m số y=f(x) lá y giá trị không đổ i trên khôả ng I
► Phương phá p xế t chiề u biế n thiên và tìm cực trị củ a hà m số :
▪ Tìm tạ p xá c định D.
▪ Tính đạ ô hà m bạ c nhá t f’(x).
▪ Giả i phương trình f’(x)=0. Suy ra nghiệ m (nế u cố ).
*Nế u phương trình vô nghiệ m thường là y=f(x) sễ luôn đồ ng biế n hay nghịch biế trên cá c khôả ng
xá c định thuộ c D mà hà m số xá c định.
▪ Lạ p bả ng biế n thiên (xế t dá u đạ ô hà m bạ c nhá t).
▪ Kế t luạ n (cá c khôả ng đồ ng biế n, nghịch biế n và cực trị).
Bà i tạ p:
1/ 𝑦 = 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 9𝑥 − 4
6/ 𝑦 = 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 5𝑥 − 3
2/ 𝑦 = 𝑥 4 − 6𝑥 2 + 5
7/ 𝑦 = −𝑥 3 + 2𝑥 2 − 6𝑥 + 1
3/ 𝑦 = −𝑥 3 − 6𝑥 2 + 15𝑥 − 3
8/ 𝑦 = 2𝑥 3 − 6𝑥 + 2
2𝑥 + 3
3𝑥 + 1
4/ 𝑦 =
9/ 𝑦 =
𝑥−4
1−𝑥

𝑥2 − 𝑥 + 1
𝑥 2 + 2𝑥 + 1
5/ 𝑦 =
10/ 𝑦 =
𝑥−1
𝑥−2
Bà i tôá n: định giá trị m để hà m số đồ ng biế n hay nghịch biế n trên khôả ng xá c định.

1/

Tìm m để hà m số 𝑦 =

𝑚𝑥 + 1
đồ ng biế n trên từng khôả ng xá c định củ a hà m số .
𝑥+𝑚

2/

Tìm m để hà m số 𝑦 =

(𝑚2 − 5𝑚)𝑥 − 3
nghịch biế n trên từng khôả ng xá c định củ a hà m số .
2𝑥 + 1

3/

Tìm m để hà m số 𝑦 =

𝑥+𝑚
đồ ng biế n trên từng khôả ng xá c định củ a hà m số .

𝑥−1

4/

Tìm m để hà m số 𝑦 =

2𝑚𝑥 − 𝑚 + 10
nghịch biế n trên từng khôả ng xá c định củ a hà m số .
𝑥+𝑚

Bà i tôá n: định giá trị m để hà m số bạ c 3 đồ ng biế n hay nghịch biế n trên ℝ:
𝑎𝑦′ > 0
+ Hà m số đồ ng biế n trên ℝ ⇔ y’ > 0,Ɐxℝ ⇔{
∆𝑦′ ≤ 0
𝑎𝑦′ < 0
+ Hà m số nghịch biế n trên ℝ ⇔ y’ > 0,Ɐxℝ ⇔{
∆𝑦′ ≤ 0
Bà i tạ p:
1/ Định m để hà m số 𝑦 = 2𝑥 3 − 𝑚𝑥 2 + 6𝑥 + 2 đồ ng biế n trên ℝ
2/ Định m để hà m số 𝑦 =

1 3
𝑥 − 𝑚𝑥 2 + (3𝑚 − 2)𝑥 + 2 đồ ng biế n trên ℝ
3


1
3/ Định m để hà m số 𝑦 = − 𝑥 3 + (𝑚 + 1)𝑥 2 − (4𝑚 + 1)𝑥 + 2 nghịch biế n biế n trên ℝ
3
4/ Định m để hà m số 𝑦 = −

𝑥3
+ (𝑚 − 2)𝑥 2 + (𝑚 − 8)𝑥 + 1 nghịch biế n biế n trên ℝ
3

5/ Định m để hà m số 𝑦 = 𝑚𝑥 3 − 𝑚𝑥 2 − 2𝑥 +5 nghịch biế n trên ℝ
3
2
6/ Định m để hà m số 𝑦 = 𝑚𝑥 − (𝑚 + 1)𝑥 + 4(𝑚 + 1)𝑥 + 2 đồ ng biế n trên ℝ
7/ Định m để hà m số 𝑦 = (𝑚 + 3)𝑥 3 − 𝑚𝑥 2 + 4𝑥 + 2đồ ng biế n trên ℝ
3
2
8/ Định m để hà m số 𝑦 = 𝑚𝑥 − 𝑚𝑥 + 4𝑥 + 2 đồ ng biế n trên ℝ
CỰC TRỊ CỦ A HÀ M SÓ

II.

Kiế n thức cà n nhớ:
𝑓 ′ (𝑥 ) = 0
■ { ′′ 0
⇒ 𝑥 = 𝑥0 là điể m cực đạ i củ a 𝑦 = 𝑓(𝑥).
𝑓 (𝑥0 ) < 0
𝑓 ′ (𝑥 ) = 0
■ { ′′ 0
⇒ 𝑥 = 𝑥0 là điể m cực tiể u củ a 𝑦 = 𝑓(𝑥).
𝑓 (𝑥0 ) > 0
𝑓 ′ (𝑥 ) = 0
■ { ′′ 0
⇒ 𝑥 = 𝑥0 là điể m cực trị củ a 𝑦 = 𝑓(𝑥).
𝑓 (𝑥0 ) = 0

Bà i tạ p: Tìm cực trị củ a cá c hà m số sau đây:
1/ 𝑦 = 2𝑥 3 − 9𝑥 2 + 12𝑥 + 3
2/ 𝑦 =

1 3
𝑥 − 3𝑥 2 + 5𝑥 − 2
3

Cá c bước tìm cực trị củ a hà m số :
+ Tìm đạ ô hà m cá p I 𝑓 ′ (𝑥).
+ Giả i phương trình 𝑓 ′ (𝑥) = 0 tìm
nghiệ m 𝑥0 .
+Tìm đạ ô hà m cá p II 𝑓"(𝑥).
+Tính giá trị củ a𝑓"(𝑥) tạ i 𝑥0 vừa tìm.
+ Kế t luạ n.

1 3
𝑥 + 2𝑥 2 + 3𝑥 − 1
3
1
4/ 𝑦 = 𝑥 4 − 2𝑥 2 + 1
4
3/ 𝑦 =

𝑥 2 − 2𝑥 + 5
𝑥−1
9
6/ 𝑦 = 𝑥 − 3 +
𝑥−2
5/ 𝑦 =

Bà i tạ p:
3
2
1/ Tìm m để hà m số 𝑦 = 𝑥 − 3𝑚𝑥 + (𝑚 − 1)𝑥 + 2 đạ t cực tiể u tạ i 𝑥 = 2
3
2
2/ Tìm m để hà m số 𝑦 = 𝑥 − 𝑚𝑥 − 𝑚𝑥 − 5 đạ t cực tiể u tạ i 𝑥 = 1
3
2
3/ Tìm m để hà m số 𝑦 = 𝑥 + (𝑚 + 1)𝑥 + (2𝑚 − 1)𝑥 + 1 đạ t cực đạ i tạ i 𝑥 = −2

4/ Tìm m để hà m số 𝑦 = 𝑥 3 − 2𝑚𝑥 2 + 𝑚2 𝑥 − 2 đạ t cực đạ i tạ i 𝑥 = 1
Mộ t số dạ ng bà i tạ p về cực trị hà m bạ c 3:
1
Chô hà m số 𝑦 = 𝑥 3 − 𝑚𝑥 2 + (5𝑚 − 4)𝑥 + 5
3
a. Định m để hà m số không cố cực trị.
b. Định m để hà m số cố cực đạ i và cực tiể u thổ a 𝑥12 + 𝑥22 − 4(𝑥1 +𝑥2 ) = 8

1.

2.

Chô hà m số 𝑦 = 𝑥 3 + 𝑚𝑥 2 + 3𝑚𝑥 + 5

a. Định m để hà m số không cố cực trị.
b. Định m để hà m số cố cực đạ i và cực tiể u thổ a 𝑥12 + 𝑥22 = 5(𝑥1 +𝑥2 )
Chứng tổ hà m số 𝑦 = 𝑥 3 − (𝑚 + 1)𝑥 2 − (2𝑚 + 6)𝑥 + 1 luôn cố cực đạ i và cực tiể u với m.
2

2
4.
Cho hà m số 𝑦 = 𝑥 3 − 𝑚𝑥 2 + 2(3𝑚2 − 1)𝑥 + (1), với m là tham số . Tìm m để đồ thị hà m
3
3
số (1) cố hai điể m cực trị 𝑥1 , 𝑥2 thổ a 𝑥1 . 𝑥2 + 2(𝑥1 + 𝑥2 ) = 1.
5.
Chô hà m số 𝑦 = 𝑥 3 + 2(𝑚 − 1)𝑥 2 + (𝑚2 − 4𝑚 + 1)𝑥 + 2𝑚 . Tìm m để hà m số cố hai điể m
3.

cực đạ i, cực tiể u cố hôà nh độ thổ a 1 + 1 = 𝑥1 + 𝑥2 .
𝑥1 𝑥2
2


1 3
𝑥 − (𝑚 − 2)𝑥 2 + (4 − 𝑚)𝑥 + 4 . Định m để hà m số cố cực đạ i cực tiể u cố
3
hôà nh độ thổ a 𝑥1 = 5𝑥2 .
6.

Chô hà m số 𝑦 =

1 3
𝑥 + (𝑚 − 2)𝑥 2 + (𝑚2 − 5𝑚 + 5)𝑥 + 6 . Định m để hà m số cố cực đạ i cực
3
tiể u cố hôà nh độ thổ a 𝑥1 = 𝑥2 + 2.
7.

III.

Chô hà m số 𝑦 =

GIÁ TRỊ LỚN NHÁ T – GIÁ TRỊ NHỎ NHÁ T CỦ A HÀ M SÓ

Cá c bước tìm GTLN – GTNN củ a hà m số trên
đôạ n [a;b]:
▪ Tìm tạ p xá c định
▪ Xế t hà m số trên[a;b]
▪ Tính đạ ô hà m cá p I
▪ Tìm nghiệ m củ a đạ ô hà m, xế t nghiệ m trên
[a;b]
▪ Tính giá trị củ a hà m số tạ i cá c giá trị
nghiệ m vừa tìm và hai đà u mú t a, b.
▪ Sô sá nh để tìm ra GTLN, GTNN và kế t luạ n
Bà i tạ p: Tìm GTLN – GTNN củ a hà m số
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.

𝑦 = 𝑥 4 − 2𝑥 2 + 1 trên [−1; 2]
𝑦 = 3𝑥 3 − 𝑥 2 − 7𝑥 + 1 trên [0; 3]

𝑦 = 𝑥 3 + 3𝑥 2 − 9𝑥 trên [−2; 2]
𝑦 = 2𝑥 3 − 4𝑥 2 + 2𝑥 + 1 trên [−2; 3]
𝑦 = −𝑥 3 + 𝑥 2 − 5𝑥 + 2 trên [2; 4]
2𝑥 + 1
𝑦=
trên [0; 4]
𝑥+2
𝑥−1
𝑦=
trên [−1; 2]
𝑥+3
9
𝑦 =𝑥+3+
trên [3; 6]
𝑥−2
𝑥 2 − 3𝑥 + 6
𝑦=
trên [2; 3]
𝑥−1
2𝑥 2 + 5𝑥 + 4
𝑦=
trên [0; 1]
𝑥+2
𝑦 = 𝑥 3 + 𝑥 2 + 3𝑥 + 1 trên [0; 2]

VD: Tìm GTLN, GTNN củ a hà m số
𝑦 = 2𝑥 3 − 3𝑥 2 − 12𝑥 + 5 trên [0; 3]
GIẢ I: TXĐ: D=ℝ
Xế t hà m số trên[0;3]
𝑦′ = 6𝑥 2 − 6𝑥 − 12

𝑥 = −1[0; 3]
𝑦 ′ = 0 ⇔ 6𝑥 2 − 6𝑥 − 12 = 0 ⇔ [
𝑥 = 2[0; 3]
y(0)=5; y(2)=15; y(3)= 4
Vạ y:max 𝑦 = 𝑦(0) = 5 ; min 𝑦 = 𝑦(2) = −15
[0;3]

12.
13.
14
15.
16.
17.
18
19.
20.

[0;3]

𝑦 = 2𝑥 + √5 − 𝑥 2
𝑦 = √4 − 𝑥 2
𝑦 = √−𝑥 2 + 4𝑥 − 3
𝑦 = √𝑥(4 − 𝑥)
𝑦 = 4 + √9 − 𝑥 2
𝑥2 + 3
𝑦= 2
𝑥 +𝑥+2
𝑥2 + 𝑥 + 1
𝑦= 2
𝑥 −𝑥+1

4
𝑦 =𝑥+2+
𝑥−1
2
𝑥 − 4𝑥 + 5
𝑦=
𝑥−2

21.

𝑦 = 𝑥 + √4 − 𝑥 2

22.

𝑦 = (3 − 𝑥). √𝑥 2 + 1 trên [0; 2]


IV.

ĐƯỜNG TIỆ M CẠ N VÀ TIẾ P TUYẾ N VỚI ĐÒ THỊ HÀ M SÓ

A. TIỆ M CÂN
► Tiệ m cạ n đứng:

y

Nế u 1 trông 4 điề u kiệ n sau thổ a mã n:
lim+ 𝑓(𝑥) = ±∞; lim− 𝑓(𝑥) = ±∞
𝑥→𝑥0

𝑦 = 𝑓(𝑥) =

𝑥+2
𝑥−1

𝑥→𝑥0

thì x=x0 là tiệ m cạ n đứng củ a hà m số .
𝑥+2
= +∞
VD: lim+ 𝑦 = lim+
𝑥→1
𝑥→1 𝑥 − 1
𝑥+2
lim− 𝑦 = lim−
= −∞
𝑥→1
𝑥→1 𝑥 − 1
⇒x=1 là tiệ m cạ n đứng
► Tiệ m cạ n ngang:
Nế u lim 𝑓(𝑥) = 𝑦0 ; lim 𝑓(𝑥) = 𝑦0
𝑥→+∞
𝑥→−∞
thì y=y0 là tiệ m cạ n ngang củ a hà m số .
𝑥+2
=1
VD: lim 𝑦 = lim
𝑥→+∞
𝑥→+∞ 𝑥 − 1
𝑥+2

lim 𝑦 = lim
=1
𝑥→−∞
𝑥→−∞ 𝑥 − 1
⇒y=1 là tiệ m cạ n ngang
Bà i tạ p:

y=1

1
O

1

x

x=1

B. TIẾ P TUYẾ N
 Tiế p tuyế n với đồ thị hà m số (C): y=f(x) tạ i
 Viế t PT tiế p tuyế n củ a (C): y=f(x), biế t tiế p
tuyế n đi qua điể m A(xA;yA).
điể m M(x0;y0)(C) cố dạ ng:
′ (𝒙 ). (𝒙
+ Gộ i ∆ là tiế p tuyế n (hay đường thả ng) qua A
𝒚=𝒚 𝟎
− 𝒙 𝟎 ) + 𝒚𝟎
và cố hệ số gố c k ⇒ ∆: y=k.(xxA)+yA (*)
 Chú ý :
1/ Hệ số gố c củ a tiế p tuyế n củ a (C) tạ i M(x0;y0): + ∆ là tiế p tuyế n củ a (C) nế u hệ phương trình

𝑓(𝑥) = 𝑘(𝑥 − 𝑥𝐴 ) + 𝑦𝐴 (1)
k=y’(x0)
sau
cố
nghiê
̣
m
:
{
𝑓 ′ (𝑥) = 𝑘
(2)
2/ Nế u tiế p tuyế n song song với đường thả ng
́
́
́
́
y=ax+b thì hệ sô gố c tiêp tuyên k=y’(x0)=a
 Thê (2) và ô (1) giả i tìm x
3/ Nế u tiế p tuyế n vuông gố c với đường thả ng
 Thế x và ô (2) suy ra k
1  Thế k và ô (*) được PT tiế p tuyế n ∆
y=ax+b thì hệ số gố c tiế p tuyế n k=y’(x0)= −
𝑎
Bà i tạ p 1:
𝑥−2
(𝐶). Viế t PTTT với (C):
Chô hà m số 𝑦 =
𝑥+1
1
3. Tiế p tuyế n sông sông với d:𝑦 = 3 𝑥 + 2015

1. Tạ i điể m M(0;2) thuộ c hà m số
2. Biế t tiế p tuyế n cố hệ số gố c k=3
4. Tiế p tuyế n vuông gố c với ∆: 4x+3y-12=0
Bà i tạ p 2:
3𝑥 − 1
(𝐶). Viế t PTTT với hà m số (C):
Chô hà m số 𝑦 =
𝑥−1
1. Tạ i điể m cố hôà nh độ x0=2
3. Tiế p tuyế n sông sông với đường thả ng 2x+y2015=0
̉
2. Tạ i điêm cố tung độ y0=1
4. Tạ i giaô điề m củ a đồ thị hà m số (C) với Oy
Bà i tạ p 3: Viế t PTTT với đồ thị hà m số (C)
𝑥+2
1. 𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥 + 2 qua A(1; 0)
4. 𝑦 =
qua D(−6; 5)
𝑥−2
𝑥+2
2. 𝑦 = 𝑥 3 − 𝑥 − 6 qua B(2; 0)
5. 𝑦 =
qua Ê(3; 4)
2−𝑥
1
3
3
3. 𝑦 = −𝑥 3 + 9𝑥 qua C(3; 0)
6. 𝑦 = 𝑥 4 − 3𝑥 2 + qua F(0; )
2

2
2


V.
KHẢ O SÁ T SỰ BIẾ N THIÊN VÀ VỄ ĐÒ THỊ HÀ M SÓ
A. CÁ C BƯỚC KHẢ O SÁ T VÀ BIỆ N LUẠ N HÀ M SÓ BẠ C 3
1. Khả ô sá t – cá c bước khả ô sá t và vễ đồ thị
HS đồ ng biế n trên khôả ng (⎼∞;⎼1), (1;+∞)
► TXĐ: D=ℝ
HS nghịch biế n trên khôả ng (⎼1;1)
► Tính y’
HS đạ t cực đạ i yCĐ=4 tạ i x=⎼1
𝑥 = ⎽⎽; 𝑦 = ⎽⎽
HS đạ t cực tiể u yCT=0 tạ i x=1
► GPT y’=0⇔[𝑥 = ⎽⎽; 𝑦 = ⎽⎽
lim 𝑦 = −∞; lim 𝑦 = +∞
𝑥→+∞
► Tính y” (bước nà y không cà n thiế t với hà m 𝑥→−∞
̉ m:
Chô
điê
trù ng phương (bạ c 4)).
x
⎼2
⎼1
0
1
2
► GPT y”=0 ⇔ x=....; y=.... ⇒điể m uố n U(x;y)

y
0
4
2
0
4
► Bả ng biế n thiên
► Kế t luạ n:
+ Chiề u biế n thiên: đồ ng biế n và nghịch biế n
+ Cực trị: cực đạ i và cực tiể u
+Giới hạ n đạ c biệ t
► Chô điể m (5 điể m) và vễ đồ thị
Chú ý : Chiề u củ a bả ng biế n thiên tương thích
với hình dạ ng củ a đồ thị hà m số .
2. Biệ n luạ n
U(0;2)
***Biệ n luạ n nghiệ m củ a PT bà ng đồ thị
+ Chuyể n phương trình đã chô về dạ ng
f(x)=m hôạ c f(x)=g(m) (*)
+ PT (*) là PT hôà nh độ giaô điể m củ a 2
đường: (C): y=f(x) và d: y=m (hay y=g(m)).
+ Số nghiệ m củ a PT là số giaô điể m củ a đồ thị
hà m số (C) và đường thả ng d.
3. Ví dụ minh hộ a
Chô hà m số y=x3⎼3x+2 (C).
1/. Khả ô sá t và vễ đồ thị (C) củ a hà m số .
2/. Dựa và ô đồ thị (C), biệ n luạ n số nghiệ m
củ a phương trình: x3⎼3x+2⎼m=0
GIẢ I:
Ta cố : x3⎼3x+2⎼m=0 (1)⇔ x3⎼3x+2=m (2)

TXĐ: D=ℝ
2
▪ PT (2) là PT hôà nh độ giaô điể m củ a 2 đường
▪ y’=3x ⎼3
x = −1; y = 4
(C): y= x3⎼3x+2 và d: y=m
▪ y’=0⇔3x2⎼3=0⇔[
𝑥 = 1 ;𝑦 = 0
▪ Số nghiệ m củ a PT (1) là số giaô điể m củ a (C)
▪ y”=6x; y”=0⇔6x=0⇔x=0; y=2⇒ điể m uố n
và đường thả ng d. Dựa và ô đồ thị ta cố :
U(0;2)
+ m<0: phương trình (1) cố 1 nghiệ m
x ⎼∞
⎼1
1
+∞ + m=0: phương trình (1) cố 2 nghiệ m
+ 0y’
+
0
⎼
0
+
+ m=4: phương trình (1) cố 2 nghiệ m
4
+∞
+ m>4: phương trình (1) cố 1 nghiệ m
y
⎼∞

0
Bà i tạ p 1: Cho hà m số : y= x3⎼3x⎼2 (C)
1/. Khả ô sá t và vễ đồ thị (C) củ a hà m số .
2/. Dựa và ô đồ thị (C), biệ n luạ n số nghiệ m củ a phương trình: x3⎼3x⎼2⎼m=0.
Bà i tạ p 2: Chô hà m số : y= ⎼x3+3x⎼2 (C)
1/. Khả ô sá t và vễ đồ thị (C) củ a hà m số .
2/. Dựa và ô đồ thị (C), biệ n luạ n số nghiệ m củ a phương trình: x3⎼3x⎼1+m=0.
Bà i tạ p 3: Chô hà m số : y=x4⎼2x2⎼3 (C)
1/. Khả ô sá t và vễ đồ thị (C) củ a hà m số .
2/. Dựa và ô đồ thị (C), biệ n luạ n số nghiệ m củ a phương trình: x4⎼2x2⎼1+2m=0.


Bà i tạ p 4: Chô hà m số : y= ⎼x4+2x2⎼1 (C)
1/. Khả ô sá t và vễ đồ thị (C) củ a hà m số .
𝑚
2/. Tìm m để phương trình: x4⎼2x2+
=0 cố 4 nghiệ m thực phân biệ t.
2
Bà i tạ p 5: Chô hà m số : y= ⎼x4+2x2+2 (C)
1/. Khả ô sá t và vễ đồ thị (C) củ a hà m số .
2/. Chứng minh rà ng với mộ i giá trị m<2, phương trình: ⎼x4+2x2+2⎼m=0 cố hai nghiệ m.
B. CÁ C BƯỚC KHẢ O SÁ T VÀ BIỆ N LUẠ N HÀ M NHÁ T BIẾ N
1. Khả ô sá t – cá c bước khả ô sá t và vễ đồ thị
+ Hà m số nghịch biế n trên cá c khôả ng (⎼∞;1);
hà m nhá t biế n cố dạ ng:
(1;+∞)
𝑎𝑥 + 𝑏
+Hà m số không cố cực trị
𝑦=
+ lim+ 𝑦 = +∞ ; lim− 𝑦 = −∞

𝑐𝑥 + 𝑑
𝑑
𝑥→1
𝑥→1
{−
}
► TXĐ: D=ℝ\
⇒x=1 là tiệ m cạ n đứng
𝑐
► Tính y’
+ lim 𝑦 = 1 ; lim 𝑦 = 1
𝑥→+∞
𝑥→−∞
► y’>0, xD hay y’<0, xD
⇒y=1
là
tiê
̣
m
ca
̣ n ngang
́
► Bả ng biên thiên
̉
Chô điêm:
► Kế t luạ n:
X
⎼1
0
1

2
3
+ Chiề u biế n thiên: đồ ng biế n hôạ c nghịch
1
5
́
biên
y
⎼2
||
4
−
2
2
+ Cực trị: Hà m số không cố cực trị
+Tiệ m cạ n: ngang và đứng
► Chô điể m (4 điể m) và vễ đồ thị
2. Ví dụ minh hộ a
𝑥+2
Chô hà m số 𝑦 =
(C). Khả ô sá t và vễ đồ
𝑥−1
thị hà m số (C).
GIẢ I:
TXĐ: D=ℝ\{1}
−3
𝑦′ =
< 0, ∀𝑥 ∈ 𝐷
(𝑥 − 1)2
x ⎼∞

1
y’
⎼
1
+∞
y
⎼∞

1
1

+∞
⎼

Bà i tạ p 1: (TN2011) Chô hà m số 𝑦 =

1

2𝑥 + 1
(C)
2𝑥 − 1

1/. Khả ô sá t và vễ đồ thị hà m số (C).
2/. Xá c định tộ a độ giaô điể m củ a đồ thị hà m số
(C) và đường thả ng y=x+2.
2𝑥 + 1
Bà i tạ p 2: Chô hà m số 𝑦 =
(C)
2𝑥 − 1
1/. Khả ô sá t và vễ đồ thị hà m số (C).

2/. Viế t PT tiế p tuyế n củ a đồ thị (C) tạ i điể m cố
hôà nh độ x=⎼1.

Bà i tạ p 3: (TN2009) Chô hà m số 𝑦 =

3𝑥 + 1
(C)
𝑥+2

1/. Khả ô sá t và vễ đồ thị hà m số (C).
2/. Viế t PT tiế p tuyế n củ a đồ thị (C), biế t tiế p
tuyế n cố hệ số gố c bà ng ⎼5.
2𝑥 + 1
Bà i tạ p 4: (TN2014) Chô hà m số 𝑦 =
(C)
𝑥−2
1/. Khả ô sá t và vễ đồ thị hà m số (C).
2/. Viế t PT tiế p tuyế n củ a đồ thị (C)tạ i cá c giaô
điể m củ a (C) với đường thả ng y=x⎼3.

Bà i tôá n về TƯƠNG GIAO HÀ M NHÁ T BIẾ N
2𝑥 + 3
Bà i 1: Định m để d: y=x+m cá t (C): 𝑦 =
tạ i hai điể m A, B phân biệ t.
𝑥+2


𝑥+8
tạ i hai điể m A, B phân biệ t.
𝑥−1

𝑥+1
Bà i 3: Định m để d: y=2x+m cá t (C): 𝑦 =
tạ i hai điể m A, B phân biệ t thổ a AB = 2√5.
𝑥−1
𝑥−3
Bà i 4: Định m để d: y=x+m cá t (C):𝑦 =
tạ i hai điể m A, B phân biệ t thổ a AB = 3√2.
𝑥+1
𝑥+4
Bà i 5: Định m để d: y=⎼x+2m cá t (C): 𝑦 =
tạ i hai điể m A, B phân biệ t thổ a I(⎼2;⎼2) là trung
2𝑥 − 1
̉
điêm củ a AB.
Bà i 2: Định m để d: y=⎼x+m cá t (C): 𝑦 =

CỰC TRỊ HÀ M TRÙ NG PHƯƠNG
Bà i 1: Chô hà m số f(x)=x4+2(m⎼2)x2+m2⎼5m+5 (Cm). Tìm m để (Cm) cố cá c điể m cực đạ i cực tiể u tạ ô
thà nh mộ t tam giá c vuông cân.
Bà i 2: Chô hà m số f(x)=x4⎼(m+1)x2+m+2 (Cm). Tìm m để (Cm) cố ba cực trị lạ p thà nh mộ t tam giá c cố
trộ ng tâm G(0;1).
Bà i 3: Chô hà m số f(x)=x4⎼2mx2+2m⎼1 (Cm). Tìm m để (Cm) cố ba cực trị lạ p thà nh 1 tam giá c đề u.
TƯƠNG GIAO HÀ M BẠ C BA
Bà i 1: Định m để đồ thị hà m số (C): y=x3+(2m⎼1)x2+(9⎼2m)x⎼9 cá t Ox tạ i 3 điể m phân biệ t.
Bà i 2: Định m để đồ thị hà m số (C): y=x3+(m+1)x2+(2m+3)x+m+3 cá t Ox tạ i 3 điể m phân biệ t.
Bà i 3: Định m để đồ thị hà m số (C): y=x3+(m⎼1)x2+3x⎼m⎼3 cá t Ox tạ i 3 điể m phân biệ t cố hôà nh độ
thổ a 𝑥12 + 𝑥22 + 𝑥32 − 𝑥1 . 𝑥2 . 𝑥3 = 10.