Chuong 2 - Dao dong co hoc - 13-69

Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.

Chương II: DAO ĐỘNG CƠ HỌC
Dạng 1: Cho phương trình dao động xác định các đặc trưng của dao động
điều hòa, tính vận tốc gia tốc của vật ở thời điểm t
Phương trình dao động: x = Acos(ωt + ϕ) cm
Phương trình vận tốc:
v = -Aωsin(ωt + ϕ) cm/s
1) Các đặc trưng của dao động điều hòa:
+ Biên độ A >0
+ Tần số góc ω > 0 ( rad/s)
+ Pha ban đầu ϕ : rad
+ Pha dao động: ω t+ ϕ : rad
2π
+ Chu kỳ dao động: T =
(s)
ω
1
+ Tần số dao động: f = ( Hz)
T
2) Tìm li độ ở thời điểm t1
Khi t = t1 thì x = Acos(ωt1 + ϕ)r cm
3) Tìm vận tốc khi vật ở thời điểm t1
Khi t = t1 thì v1 = -A ω sin( ω t1+ ϕ )r
4) Tìm gia tốc ở thời điểm t1
Khi t = t1 thì a1 = -A ω 2cos(ωt1 + ϕ)r = - ω 2x cm/s2
5) Tìm li độ vật khi vận tốc có giá trị v1:
2

2

v
v 
Ta dùng A = x +  1 ÷ ⇒ x = ± A2 −  1 ÷
ω 
ω 
6) Tìm vận tốc khi đi qua li độ x1:
2
 v1 
2
2
Ta dùng A = x +  ÷ ⇒ v = ±ω A2 − x 2 khi vật đi theo chiều dương thì v > 0
ω 
7) Tìm gia tốc khi vật đạt vận tốc v
v2 a 2
Ta có A 2 = 2 + 4 ⇒ a = ±ω ( Aω ) 2 − v 2
ω ω
2

2

Chú ý:

+ Khi vật đi theo chiều dương thì v > 0
π
+ (sinx) = cos(x - )
2
+ (-cosx) = cos(x + π )
+ cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
Bài toán mẫu
Ví dụ 1: Một vật chuyển động dọc theo trục Ox có phương trình chuyển động:

π
x = 6cos (πt+ ) cm. Hãy xác định:
2
a) Biên độ, chu kì, tần số của dao động?
b) Toạ độ, vận tốc, gia tốc của vật tại thời điểm t = 1,5s?
c) Vận tốc, gia tốc của vật tại vị trí x = 3cm?
Hướng dẫn giải:
a) Ta có phương trình dao động điều hòa tổng quát x = A.cos(ωt + φ)
ta thấy: Biên độ A = 6cm
tần số góc: ω = π rad/s.
2π 2π
=
= 2s
Chu kì dao động: T =
ω
π
1 1
tần số dao động: f = = = 0,5 Hz
T 2
b) Toạ độ của vật tại thời điểm t = 1,5s: Ta thay t = 1,5s vào phương trình ta được
: Lê Thanh Sơn, : 0905930406

13


Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.
x = 6cos(π.1,5+

π
) = 6 cm.

2

Ta có phương trình vận tốc: v = x’ = - 6πsin(πt+

π
) (cm/s)
2

π
thay t = 1,5s vào phương trình vận tốc ta được v = - 6πsin(π.1,5+ ) = 0.
2
π
Phương trình gia tốc a = v’ = x” = -6π2cos(πt+ ) (cm/s2)
2
π
thay t = 1,5s vào phương trình gia tốc ta được a = 6π2sin(π.1,5+ ) = - 6π2 (cm/s2).
2
c) Vận tốc của vật khi vật chuyển động qua vị trí x = 3cm:
v 2
2
2
Áp dụng công thức độc lập với thời gian: A = x + ( ) ⇒
ω
v = ±ω A2 − x 2 = ±π 62 − 32 = ± 3.π. 3 (cm/s).
Gia tốc của vật lúc đó: a = - ω 2 x = −π 2 3 = −3π 2 (cm/s2)
Ví dụ 2: Một vật dao động theo phương trình x = -2sin(2πt+

π
)cm. Hãy xác định:
6

a) Biên độ, chu kì dao động và pha ban đầu của nó?
b) Li độ và gia tốc của vật khi vật có vận tốc 2 3π cm/s?
4
c) Tốc độ của vật ở thời điểm s ?
π
Hướng dẫn giải
π
π π
Ta có x = -2sin(2πt+ )cm = -2cos(2πt+ - ) cm
6
6 2
π π
2π
= 2cos(2πt+ - + π )cm = 2cos(2πt+
)cm
6 2
3
Biên độ dao động: A = 2cm
Tần số góc: ω = 2π (rad/s)
Chu kì dao động:
2π
Pha ban đầu ϕ =
(rad)
3
v 2
v
2 3π 2
2
2

b) Ta có công thức: A = x + ( ) ⇒ x = ± A2 − ( ) 2 = ± 22 − (
) = ±1(cm)
ω
ω
2π
gia tốc của vật lúc đó: a = - ω 2 x = −(2π ) 2 (±1) = ±4π 2 (cm/s2)
c) Ta có phương trình vận tốc của vật là: v = x’ = -4πcos(2πt+
khi t =

π
)(cm/s)
6

4
4 π
π
s thì v = -4πcos(2π. + ) (cm/s) = -4πcos(8+ )r = 7,8(cm/s)
π
π 6
6

Ví dụ 3: Hai vật dao động điều hòa dọc theo các trục song song với nhau. Phương trình dao
2

2

động của các vật lần lượt là x 1 = A1cosωt (cm) và x2 = A2sinωt (cm). Biết 64 x1 + 36 x2 = 482
(cm2). Tại thời điểm t, vật thứ nhất đi qua vị trí có li độ x 1 = 3cm với vận tốc v1 = -18 cm/s.
Tính li độ và tốc độ của vật thứ hai lúc đó?
Hướng dẫn giải:

2

2

Từ phương trình 64 x1 + 36 x2 = 482 (cm2).
Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian t ( x’1 = v1; x’2 = v2)
14

: Lê Thanh Sơn, : 0905930406


Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.
ta được: 128x1v1 + 72x2v2 = 0.
Khi x1 = A1cosωt = 3 (cm) thì v1 = - ωA1sinωt = - 18 (cm/s)
⇒ 36x22 = 482 – 64.32 = 1728 ⇒ x22 = 48 ⇒ x2 = ± 4 3 (cm)
Do đó 128x1v1 + 72x2v2 = 0 ⇒ 16x1v1 + 9x2v2 = 0 ⇒ v2 = -

16 x1v1
= ± 8 3 (cm/s)
9 x2

Nên khi đó vật thứ hai có tốc độ bằng 8 3 (cm/s).
Ví dụ 4: Hai vật dao động điều hòa dọc theo các trục song song với nhau. Phương trình dao
π
động của các vật lần lượt là x 1 = A1cos(100 π t - ) (cm) và x2 = A2cos(100 π t + ϕ ) (cm).
6
2
2
2
2

x
x
Biết 9 1 + 4 2 = 36 (cm ); dao động thứ hai nhanh pha hơn dao động thứ nhất. Xác định
phương trình dao động của hai dao động ?
Hướng dẫn giải:
2

2

Từ phương trình 9 x1 + 4 x2 = 362 (cm2).
⇒

 x1 ≤ 2
x12 x22
x2 x2
+
= 1 ⇔ 12 + 22 = 1 ⇒ 
4 9
2 3
 x2 ≤ 3

Mà A1 = x1max và A2 = x2max ⇒ A1 = 2 cm và A2 = 3 cm.
Ta có

x12
x22
+
= 1 ⇒ x1 và x2 là hai dao động vuông pha nhau và x2 nhanh pha hơn x1 nên
A12 A2 2

ϕ - π = π ⇒ ϕ = 2π rad.
6
2
3
Vậy x1 = 2cos(100 π t –

π
) cm
6

x2 = 3cos(100 π t + 1

2π
) cm.
3

Bài tập tự giải:
Bài 1: Một chất điểm dao động điều hoà với chu kì T = 0,314s và biên độ A = 8cm. Tính
vận tốc của chất điểm khi nó đi qua vị trí cân bằng và đi qua vị trí có li độ x = 5cm.
ĐÁP SỐ: v0 = ± 16cm/s, v = ± 12,5 cm/s.
π
Bài 2: Phương trình dao động của một vật là x = 6cos(4πt + ), với x tính bằng cm, t tính
6
bằng s.
a) Xác định biên độ, chu kì, tần số, tần số góc và pha ban đầu của dao động.
b) Xác định li độ, vận tốc và gia tốc của vật khi t = 0,25s.
π
ĐÁP SỐ: a) A = 6cm; T = 0,5 s. ω = 4 π rad/s; ϕ = rad. b) x = -3 2 cm; v = 12 π cm/s.
6

: Lê Thanh Sơn, : 0905930406

15


Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.
Dạng 2: Xác định thời điểm vật đi qua li độ x0 - vận tốc vật đạt giá trị v0
Phương trình dao động có dạng: x = Acos(ωt + ϕ) cm
Phương trình vận tốc:
v = -Aωsin(ωt + ϕ) cm/s
1) Khi vật đi qua li độ x0 thì x0 = Acos(ωt + ϕ) ⇒ cos(ωt + ϕ) =

x0
= cosb
A

±b − ϕ
+ k .T (s)
ω
với k ∈ N khi ±b − ϕ > 0 và k ∈ N* khi ±b − ϕ < 0
Khi có điều kiện của vật thì ta loại bớt một nghiệm t
Khi vật đi qua li độ xo lần thứ n:
b −ϕ
n −1
+ k .T ứng với k =
+ Nếu n lẻ thì ứng với họ nghiệm t =
.
ω
2
−b − ϕ

n
+ k .T ứng với k = khi k ∈ N* và ứng với
+ Nếu n chẳn thì ứng với họ nghiệm t =
ω
2
n−2
k=
khi k ∈ N.
2
v
2) Khi vật đạt vận tốc v0 thì v0 = -Aωsin(ωt + ϕ) ⇒ sin(ωt + ϕ) = − 0 = cosd
Aω
 d −ϕ
t = ω + k .T
ω
t
+
ϕ
=
d
+
k
2
π

, với T = 2π
⇒
⇒
ω
ωt + ϕ = π − d + k 2π

t = π − d − ϕ + k .T

ω
d − ϕ > 0
d − ϕ < 0
và k ∈ N khi 
và k ∈ N* khi 
π − d − ϕ > 0
π − d − ϕ < 0
⇒ ωt+φ=±b+k2π ⇒ t =

Bài toán mẫu

π
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 4co s(0,5π t − )cm .
3
a) Xác định thời điểm vật đi qua li độ 2cm?
b) Xác định thời điểm vật qua li độ x = 2 3cm theo chiều âm của trục tọa độ?
c) Xác định thời điểm vật qua li độ x = 2 3cm lần thứ 2013?
Hướng dẫn giải:

π
Ta có x = 4co s(0,5π t − )cm
3
π
⇒ v = 2π sin(0,5π t − )cm / s
3
a) Khi vật đi qua li độ 2cm ta có x = 2 cm
π π


0,5π t − = + k 2π

π
π
1
π
3 3
⇔ 2 = 4co s(0,5π t − ) ⇒ co s(0,5π t − ) = = cos ⇒ 
3
3
2
3
0,5π t − π = − π + k 2π

3
3
2π

 4
π
=
+
k
2
π
0,5
t
t = + 4k ( s ), k ∈ N
⇒
⇒ 3

3


 0,5π t = + k 2π
t = 4k ( s), k ∈ N

π

 2 3 = 4 cos(0,5π t − 3 )
 x = 2 3
⇔
b) Khi vật đi qua li độ x = 2 3cm theo chiều âm ta có 
v < 0
sin(0,5π t − π ) > 0

3

16

: Lê Thanh Sơn, : 0905930406


Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.

π π
0,5π t − = + k 2π



3 6

3
π

cos(0,5π t − ) =
2 ⇒  0,5π t − π = − π + k 2π
3
⇔

6
3
sin(0,5π t − π ) > 0



π
3
sin(0,5π t − ) > 0
3

π π
⇒ 0,5π t − = + k 2π ⇒ t = 1 + 4k ( s ), k ∈ N
3 6
c) vật đi qua li độ x = 2 3 cm lần thứ 2013 ứng với họ nghiệm t = 1 + 4k ( s), k ∈ N khi
2013 − 1
k=
= 1006
2
⇒ Λt = 1+4.1006 = 4025s = 1 giờ 7 phút 5 giây.
π
Ví dụ 2: Một vật dao động theo phương trình x = 2,5co s(π t + )cm .

4
π
a) Vào thời điểm nào thì pha dao động đạt giá trị rad , lúc ấy li độ x bằng bao nhiêu?
3
b) Xác định thời điểm vận tốc của vật đạt giá trị 1,25 π cm/s khi đi theo chiều âm của trục tọa
độ?
Hướng dẫn giải:
π

x = 2,5cos = 1, 25cm

π π

3
a) Pha dao động π .t + = ⇒ 
4 3
t = 1 s
 12
π
b) ta có phương trình vận tốc: v = −2,5π sin(π t + )cm / s
4
π
Khi vận tốc vật đạt giá trị 1,25 cm/s đi theo chiều âm thì v = -1,25 π cm/s khi đó
π π

π
t
+
= + k 2π


π
π
1
4 6
−1, 25π = −2,5π sin(π t + ) ⇒ sin(π t + ) = ⇒ 
4
4
2
π t + π = 6π + k 2π

4
6
1

t = − 12 + 2k , k ∈ N *
⇒
 t = 7 + 2k , k ∈ N
 12
Bài tập tự giải:
Bài 1: Một con lắc lò xo dao động điều hoà với biên dộ 3cm và chu kì 0,5s. Tại thời điểm t =
0 vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm.
a) Viết phương trình dao động?
b) Ở những thời điểm nào vật có li độ 1,5cm và 3cm.
5 k

t = − + s, k ∈ N *

π
12 2
ĐÁP SỐ: a) x = 3cos(4πt + ) cm. b) đi qua 1,5 cm khi 

;
2
t = − 7 + k , k ∈ N *

12 2
1 k
khi đi qua 3cm thì t = − + , k ∈ N *
12 2

: Lê Thanh Sơn, : 0905930406

17


Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.
Bài 2: Điểm A dao động điều hoà theo phương trình: x = 2,5cos10πt (cm)
a) Vào thời điểm nào thì pha dao động đạt giá trị π/3, lúc đó li độ x bằng bao nhiêu?
b) Điểm A đi qua vị trí x = 1,25cm vào những thời điểm nào? Phân biệt những lần đi qua
theo chiều dương và theo chiều âm.
ĐÁP SỐ: a) t = 1/30s; x = 1,25 cm. b)
1
k

t = 30 + 15 s, k ∈ N , khi qua 1,25cm theo chiÒu ©m

t = − 1 + k s, k ∈ N *, khi qua 1,25cm theo chiÒu d ¬ng

30 15
Dạng 3: Viết phương trình dao động điều hoà.
Xác định các đặc trưng của một dao động điều hoà

Chọn hệ quy chiếu: + Trục ox...
+ gốc toạ độ tại VTCB
+ chiều dương...
+ gốc thời gian...
Phương trình dao động có dạng: x = Acos(ωt + ϕ) cm
Phương trình vận tốc:
v = -Aωsin(ωt + ϕ) cm/s
1) Xác định tần số góc ω : (ω > 0)
2π
∆t
+ ω = 2πf =
, với T =
, N: tổng số dao động
T
N
k
+ Nếu con lắc lò xo: ω =
, (k: N/m, m: kg)
m
k
g
g
+ khi cho độ dãn của lò xo ở VTCB ∆l : k .∆l = mg ⇒ =
⇒ω =
m ∆l
∆l
v
+ω=
A2 − x 2
2) Xác định biên độ dao động A:(A > 0)

d
+A=
, d: là chiều dài quỹ đạo của vật dao động
2
l
− l min
+ Nếu đề cho chiều dài lớn nhất và nhỏ nhất của lò xo: A = max
2
v2
+ Nếu đề cho li độ x ứng với vận tốc v thì ta có: A = x 2 + 2 (nếu buông nhẹ v = 0)
ω
2
2
v
a
+ Nếu đề cho vận tốc và gia tốc: A 2 = 2 + 4
ω ω
+ Nếu đề cho vận tốc cực đại: Vmax thì: A =

vMax
ω

aMax
ω2
+ Nếu đề cho lực phục hồi(hướng về) cực đại Fmax thì → F max = kA
+ Nếu đề cho gia tốc cực đại aMax: thì A =

+ Nếu đề cho năng lượng của dao động W thì ⇒ A =
3) Xác định pha ban đầu ϕ : ( −π ≤ ϕ ≤ π )
Dựa vào cách chọn gốc thời gian để xác định ra ϕ

18

: Lê Thanh Sơn, : 0905930406

2W
k


Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.
x0

cosϕ = A
 x = x0
 x0 = Acosϕ
⇒ϕ = ?
⇔ 
⇒
Khi t = 0 thì 
v
v
=
v
v
=
−
A
ω
sin
ϕ
0


 0
sin ϕ = − 0

ωA
cosϕ = 0
0 = Acosϕ

⇒
v0
+ Nếu lúc vật đi qua VTCB thì 
v0 = − Aω sinϕ
 A = − ω sin ϕ > 0


π

π

ϕ = ± 2
ϕ = − 2 rad
⇒
⇒
 A = − v0
 A = v0
ω sin ϕ

ω

x0


>0
 x0 = Acosϕ
A =
cosϕ
⇒
+ Nếu lúc buông nhẹ vật 
0 = − Aω sinϕ
sin ϕ = 0

 ϕ = 0

ϕ = 0
 ϕ =π
⇒ 
⇒
 A = x0 > 0  A = x0

cosϕ
Chú ý:
 Khi thả nhẹ, buông nhẹ vật v0 = 0, A =| x0|
 Khi vật ở biên dương thì x = A
 Khi vật đi theo chiều dương thì v > 0 (Khi vật đi theo chiều âm thì v < 0)
 Pha dao động là: (ωt + ϕ)
π
 sin(x) = cos(x- )
2
 (-cos(x)) = cos(x+ π )
Bài toán mẫu:
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hoà với biên độ 4cm, trong khoảng thời gian 20s vật thực

hiện được 40 dao động. Chọn gốc thời gian là lúc vật đi qua li độ 2 3 cm và chuyển động
ngược chiều với chiều dương đã chọn.
a) Tính chu kì và tần số dao động của vật?
b) Hãy viết phương trình dao động của vật ?
Hướng dẫn giải:
∆t 20
=
= 0,5s
a) Chu kì dao động của vật: T =
N 40
1
1
= 2 Hz
Tần số dao động: f = =
T 0,5
a) Phương trình dao động có dạng: x = Acos(ωt+ϕ) cm
v = −ωAsin(ωt+ϕ) (cm/s)
Phương trình vận tốc:
Ta có biên độ dao động: A = 4cm
Tần số góc: ω = 2πf = 4π(rad/s)
 x = 2 3(cm)
Chọn gốc thời gian t = 0 thì 
v < 0 do vËt ®i theo chiÒu ©m

: Lê Thanh Sơn, : 0905930406

19


Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.


π
ϕ=



6
3

π
2 3 = 4 cos ϕ
cosϕ =
⇔
⇔
2 ⇒  ϕ = − π ⇒ ϕ = (rad)
6
− Aω sin ϕ < 0
sin ϕ > 0
 
6


sin ϕ > 0
π
Vậy phương trình dao động của vật là: x = 4co s(4π t + ) cm
6
Ví dụ 2: Một con lắc lò xo gồm vật nặng m = 100g và lò xo có độ cứng k = 100N/m. Từ vị
trí cân bằng kéo vật lệch khỏi vị trí cân bằng một đoạn x 0 = 2cm rồi truyền cho vật một vận
tốc 20.π cm/s hướng về vị trí cân bằng, Chọn trục OX trùng với trục lò xo, gốc tọa độ tại
VTCB O chọn chiều dương là chiều lệch vật lúc đầu, gốc thời gian lúc vật bắt đầu dao động

(lấy π2 = 10).
a) Tính biên độ và chu kì dao động của vật.
b) Viết phương trình dao động của con lắc.
c) Xác định thời điểm vật đi qua li độ 6 cm theo chiều dương.
Hướng dẫn giải:
k
a) ta có ω =
=
m

100
= 10.π (rad/s)
0,1
2π 2π
=
= 0, 2 s
Chu kì dao động của con lắc: T =
ω 10π
v
20π 2
v2
A2 = x 2 + ( ) 2 ⇒ A = x 2 + 2 = 2 2 + (
) = 2 2(cm)
ω
10π
ω
Phương trình dao động có dạng: x = Acos(ωt+ϕ) cm
Phương trình vận tốc: v = −ωAsin(ωt+ϕ) (cm/s)
 2 2cosϕ = 2
 x = 2(cm)

⇔ 
⇔
Khi t = 0 thì 
v = −20π (cm / s )
 −2 2.10π sin ϕ = −20π
Vậy phương trình dao động của con lắc là x = 2 2 cos(10πt +
c) khi vật đi qua li độ


cosϕ =


sin ϕ =


π
) cm.
4

2
π
2 ⇒
φ = (rad).
4
2
2

6 cm theo chiều dương thì ta có
π


 6 = 2 2cos(10π t + 4 )
 x = 6
⇔
⇒

π
v > 0
sin(10π t + ) < 0

4

π
3
π
= cos( ± )
cos(10π t + ) =
4
2
6 ⇒ 10π t + π = − π + k 2π

4
6
sin(10π t + π ) < 0

4
1 k
⇒ t = − + ( s) k ∈ N*
24 5
Ví dụ 3: Một lò xo được treo thẳng đứng, đầu trên của lò xo được giữ cố định đầu dưới theo
vật nặng có khối lượng m, lò xo có độ cứng K, khi vật ở vị trí cân bằng thì lò xo dãn 4cm.

Kéo vật rời khỏi VTCB theo phương thẳng đứng hướng xuống một đoạn 2cm, truyền cho nó
vận tốc 10 3 π cm/s theo phương thẳng đứng hướng lên. Chọn gốc thời gian là lúc vật bắt
đầu dao động, gốc toạ độ là VTCB, chiều dương hướng lên, lấy g = π 2 = 10m/s2 .
a) Viết phương trình dao động của vật ?
b) Xác định vận tốc của vật khi đi qua vị trí mà lò xo dãn 1 cm.
20

: Lê Thanh Sơn, : 0905930406


Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.
Hướng dẫn giải
k
g
10
=
=
= 5π (rad/s)
m
∆l
0, 04
Phương trình dao động có dạng: x = Acos(ωt+ϕ) cm
Phương trình vận tốc: v = −ωAsin(ωt+ϕ) (cm/s)
 x = −2(cm)
 Acosϕ = −2
⇔
Khi t = 0 thì 
v = 10 3.π (cm / s )
 −A.5π sin ϕ = 10. 3π
Ta có k∆l = mg ⇒ ω =

−2

 A = cosϕ > 0
−2


2π

(rad )
A = cosϕ > 0

ϕ = π
⇒
⇔  ϕ=
⇒
3

3
 tan ϕ = 3

 A = 4(cm)


2π
ϕ = −
3

Vậy phương trình dao động của con lắc là x = 4cos(5πt - 2

π
) cm.
3

b) Khi vật bắt đầu dao động vật lò xo dãn 4 + 2 = 6cm
Khi vật ở vị trí cân bằng lò xo dãn 4cm.
Khi lò xo dãn 1cm thì vật đi qua li độ x = 3cm
2
 v1 
2
2
A = x +  ÷ ⇒ v = ±ω A2 − x 2 = ±5π 42 − 32 = ± 5π 7 cm/s
ω 
Bài tập tự giải:
Bài 1: Viết biểu thức li độ của một vật dao động điều hoà trong các trường hợp sau:
a) Biên độ 2cm, chu kì 2,5s. Lấy gốc thời gian là lúc vật qua VTCB theo chiều dương của
trục toạ độ.
b) Biên độ 4cm, tần số 20Hz. Lấy gốc thời gian là lúc vật bắt đầu chuyển động từ vị trí biên
dương.
c) Biên độ 5cm, tần số góc 21rad/s. Lấy gốc thời gian là lúc vật đi qua vị trí cân bằng theo
chiều âm.
d) Biên độ 10cm, tần số 20Hz. Lấy gốc thời gian là lúc vật cách VTCB 5cm về phía dương
trục toạ độ và đang chuyển động theo chiều âm.
π
ĐÁP SỐ: a) x = 2cos(0,8 π t - ) cm; b) x = 4cos(40 π t ) cm;
2
π
π
c) x = 5cos(21t + ) cm; d) x = 10cos(40 π t + ) cm;
2

3
Bài 2: Vật dao động điều hòa trên một đoạn đường dài 10cm với tần số f = 2Hz.
a) Viết phương trình dao động của vật, chọn gốc thời gian là lúc vật đi qua li độ -2,5 3 cm
theo chiều dương.
b) Vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương vào những thời điểm nào ?
π
1 k
ĐÁP SỐ: a) x = 5cos(4 π t - 5 ) cm; b) t = + s, k ∈ N .
6
3 2
Bài 3: Một con lắc lò xo thẳng đứng gồm một vật có khối lượng 100g và lò xo khối lượng
không đáng kể, có độ cứng 40N/m. Kéo vật nặng theo phương thẳng đứng xuống phía dưới
cách vị trí cân bằng một đoạn 5cm và thả nhẹ cho vật dao động điều hoà. Chọn gốc O trùng
với vị trí cân bằng; trục Ox có phương thẳng đứng, chiều dương là chiều vật bắt đầu chuyển
động; gốc thời gian là lúc vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm. Lấy g = 10m/s2.
a) Viết phương trình dao động của vật?
b) Tính vận tốc cực đại và vận tốc khi đi qua li độ 2,5cm theo chiều âm?
π
ĐÁP SỐ: a) x = 5cos(20t + ) cm; b) |vmax| = 100 cm/s; v = -50 3 cm/s.
2
Bài 4: Một con lắc lò xo thẳng đứng gồm một vật có khối lượng 100g và lò xo khối lượng
không đáng kể, khi vật ở vị trí cân bằng lò xo dãn 2,5cm. Kéo vật nặng theo phương thẳng
: Lê Thanh Sơn, : 0905930406

21


Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.
đứng xuống phía dưới cách vị trí cân bằng một đoạn 5cm rồi truyền cho vật một vật tốc
100cm/s hướng về vị trí cân bằng. Chọn gốc O trùng với vị trí cân bằng; trục Ox có phương

thẳng đứng, chiều dương hướng lên; gốc thời gian là lúc vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều
dương. Lấy g = 10m/s2.
a) Viết phương trình dao động của vật?
b) Tính vận tốc và gia tốc khi vật đi qua li độ 2,5 2 cm?
c) Tính cơ năng, động năng và thế năng khi vật đi qua li độ 5 cm?
d) Vào thời điểm nào lò xo dãn 5 cm?
π
ĐÁP SỐ: a) x = 5 2 cos(20t - ) cm. b) v = ± 50 6 cm/s; a = -10 2 m/s2. c) W = 0,1 J;
2
67
k

t = (1200 + 10 )π ; k ∈ N
Wt = 0,05 J; Wđ = 0,95 J. d) 
 t= (- 7 + k )π ; k ∈ N*

1200 10
Dạng 4: Xác định quãng đường và số lần vật đi qua li độ x0 từ thời điểm t1 đến t2
Phương trình dao động có dạng: x = Acos(ωt + ϕ) cm
Phương trình vận tốc:
v = -Aωsin(ωt + ϕ) cm/s
t −t
m
2π
Tính số chu kì dao động từ thời điểm t1 đến t2: N = 2 1 = n + , với T =
T
T
ω
Trong một chu kì: + vật đi được quãng đường 4A
+ Vật đi qua li độ bất kỳ 2 lần

* Nếu m = 0 thì: + Quãng đường đi được: ST = 4nA
+ Số lần vật đi qua x0 là MT = 2n
* Nếu m ≠ 0 thì:
+ Khi t = t1 ta tính x1 = Acos(ωt1 + ϕ)cm và v1 dương hay âm (không tính v1)
+ Khi t = t2 ta tính x2 = Acos(ωt2 + ϕ)cm và v2 dương hay âm (không tính v2)
m
Sau đó vẽ hình của vật trong phần lẻ
chu kì rồi dựa vào hình vẽ để tính Slẻ và số lần Mlẻ
T
vật đi qua x0 tương ứng.
Khi đó: + Quãng đường vật đi được là: S = ST +Slẻ
+ Số lần vật đi qua x0 là: M = MT+ Mlẻ
 x1 > x0 > x2
* Ví dụ: 
ta có hình vẽ:
v1 > 0, v2 > 0
Khi đó
X
-A x2
x0 O x1
A
+ Số lần vật đi qua x0 là Mlẻ = 1
+ Quãng đường đi được:
Slẻ = 2A+(A-x1)+(A- x2 ) = 4A-x1- x2

+ Quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất vật đi được trong khoảng thời gian Δt

( 0 < Δt < T/2)

- Quãng đường lớn nhất: (hình 17)

S max = 2 Asin(

∆ϕ
)
2

-Quãng đường nhỏ nhất: (hình 18)

S min = 2 A[1 − cos (

∆ϕ
)] ; Với ∆ϕ = ω.∆t
2

- Khi Δt > T/2 ta chia nó thành n.T/2+ Δt1 (Δt1 < T/2) khi đó Hình 17
∆ϕ
Smax = 2 A[n + sin( 1 )]
2
∆ϕ
S min = 2 A[n+1 − cos ( 1 )] ; ∆ϕ1 = ∆t1 .ω
2
Chú ý: có thể dùng máy tính FX570 trở lên để tính S
22

: Lê Thanh Sơn, : 0905930406

Hình 18

Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.
t −t
m
+ Tính N = 2 1 = n + , với n là số nguyên hoặc nguyên nửa
T
T
t2

+ S = 4A.n +

∫

v .dt , với v = x’

t1 + n.T

Bài toán mẫu

π
Ví dụ 1: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 3co s(5πt − ) (x tính bằng
3
cm và t tính bằng giây).
a) Trong 1s đầu tiên từ thời điểm t = 0, chất điểm đi qua vị trí có li độ x = +1cm mấy lần?
b) Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian trên và tốc độ trung bình của vật đó
lúc ấy?
c) Tính quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất vật đi đi được trong khoảng thời gian 3,65s?
Hướng dẫn giải:
∆t
1
N=

=
= 2,5
2π
+ Số chu kì dao động trong một giây đầu tiên:
T
5π
 x1 = 1,5cm
Khi t = 0 thì 
v1 > 0
X
-1,5
-3
0 1 1,5
3
 x2 = −1,5cm
Khi t = 1s thì 
v2 < 0
Ta có trạng thái chuyển động của vật trong 0,5 chu kì như hình vẽ
a) + Ta có 2 chu kì vật đi qua x = 1cm 4 lần ⇒ trong 0,5 chu kì vật đi qua x = 1cm 1 lần
Vậy trong 1s đầu tiên vật đi qua x = 1cm 5 lần.
b) +Trong 2 chu kì vật đi được quãng đường ST = 2.4A
+ trong 0,5 chu kì vật đi được quãng đường: Slẻ = A+(A-x1)+|x2| = 2A - x1 + |x2|
Vậy quãng đường vật đi được trong 1s đầu tiên là:
S = ST+Slẻ = 8A+2A - x1+|x2| = 10A - x1 + |x2| = 10.3 - 1,5 +1,5 = 30cm.
∆t
1
N=
=
= 18, 25
T

1 2π
c) + Số nữa chu kì dao động trong khoảng thời gian trên:
.
2 2 5π
T T
T
2π
π
⇒ ∆t = 18 + ⇒ ∆ϕ = .ω =
.5π =
2 8
8
8
4
∆ϕ
π
Quãng đường lớn nhất vật đi được: Smax = 18.2A + 2Asin
= 36.3+2.3sin = 110,3cm.
2
8
Quãng đường nhỏ nhất vật đi được:
∆ϕ
π
Smin = 18.2A + 2A[1-cos
]= 36.3+2.3[1-cos ] = 108,5cm.
2
8
Bài tập tự giải:
Bài 1: Một vật dao động có phương trình li độ: x = 4 2 cos(5πt -

3π
)cm.
4

1
s đến t2 = 6s và số lần vật đi qua li độ x = -2 cm?
30
b) Tính tốc độ trung bình của vật trong khoảng thời gian trên?
ĐÁP SỐ: a) S = 336,9 cm; N = 29 lần. b) |v| = 56,46 cm/s
Bài 2: Một chất điểm dao động theo phương trình x = 2,5cos10t cm.
a) Xác định số lần vật đi qua li độ 2cm kể từ lúc bắt đầu dao động cho đến lúc t = 5s:
1
b) Tính vận tốc trung bình của dao động trong thời gian
chu kì kể từ lúc vật có li độ cực
8
tiểu (x = 0) và kể từ lúc vật có li độ cực đại (x = A).
a) Tính quãng đường vật đi được từ t1 =

: Lê Thanh Sơn, : 0905930406

23


Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.
ĐÁP SỐ: a) 16 lần. b) khi vật đi từ x = 0 thì S = 1,25 2 cm ⇒ v = 22,5cm/s, khi vật đi từ
x = A thì S = 0,73cm ⇒ v= 9,3cm/s
Dạng 5: Xác định lực tác dụng cực đại và cực tiểu tác dụng lên vật và điểm treo lò xo
- chiều dài lò xo khi vật dao động
1) Lực hướng về (lực hồi phục - lực tác dụng lên vật):
r

r
r
Lực hướng về: F = −kx = ma : luôn hướng về vị trí cân bằng
Độ lớn: F = k|x| = mω2|x|.
Lực hướng về đạt giá trị cực đại Fmax = kA khi vật đi qua các vị trí biên (x = ± A).
Lực hướng về có giá trị cực tiểu Fmin = 0 khi vật đi qua vị trí cân bằng (x = 0).
2) Lực tác dụng lên điểm treo lò xo:
Lực tác dụng lên điểm treo lò xo là lực đàn hồi: F = k | ∆l + x |
+ Khi con lắc lò xo nằm ngang ∆ l = 0
mg g
= 2.
+ Khi con lắc lò xo treo thẳng đứng: ∆ l =
k
ω
mg sin α
+ Khi con lắc nằm trên mặt phẳng nghiêng 1 góc α: ∆ l =
k
a) Lực cực đại tác dụng lên điểm treo là: Fmax = k(∆l + A)
b) Lực cực tiểu tác dụng lên điểm treo là:
+ khi con lắc nằm ngang: Fmin = 0
+ khi con lắc treo thẳng đứng hoặc nằm trên mặt phẳng nghiêng 1 góc α :
Nếu ∆ l > A thì Fmin = k(∆l − A)
Nếu ∆l ≤ A thì Fmin = 0
3) Lực đàn hồi ở vị trí có li độ x (gốc O tại vị trí cân bằng):
+ Khi con lắc lò xo nằm ngang F = kx
+ Khi con lắc lò xo treo thẳng đứng hoặc nằm nghiêng 1 góc α : F = k|∆ l + x|
4) Chiều dài lò xo:
l o: là chiều dài tự nhiên của lò xo:
a) khi lò xo nằm ngang: l = l0 + x
+ Chiều dài cực đại của lò xo: l max = l o + A.

+ Chiều dài cực tiểu của lò xo: l min = l o - A.
b) Khi con lắc lò xo treo thẳng đứng hoặc nằm nghiêng 1 góc α:
* Khi vật ở dưới lò xo: l = l0 + ∆ l + x
+ Chiều dài khi vật ở vị trí cân bằng: l cb = l o + ∆ l
+ Chiều dài cực đại của lò xo: l max = l o + ∆ l + A.
+ Chiều dài cực tiểu của lò xo: l min = l o + ∆ l – A.
+ Chiều dài ở li độ x: l = l 0+∆ l +x
* Khi vật ở trên lò xo: l = l0 - ∆ l + x
+ Chiều dài khi vật ở vị trí cân bằng: l cb = l o - ∆ l
+ Chiều dài cực đại của lò xo: l max = l o - ∆ l + A.
+ Chiều dài cực tiểu của lò xo: l min = l o - ∆ l – A.
+ Chiều dài ở li độ x: l = l 0 - ∆ l +x.
Bài toán mẫu
Ví dụ 1: Một lò xo có độ cứng k = 20N/m, có chiều dài tự nhiên 20cm treo thẳng đứng. Treo
vào lò xo một vật có khối lượng m = 100g. Từ VTCB nâng vật lên một đoạn 5cm rồi buông
nhẹ, chọn chiều dương hướng xuống, gốc thời gian lúc vật bắt đầu dao động;
lấy g = π 2 = 10m/s2 .
a) Viết phương trình dao động điều hòa của vật?
b) Tính lực hướng về cực đại ?
c) Tính chiều dài lớn nhất và nhỏ nhất khi vật dao động?
d) Tính lực cực đại và cực tiểu tác dụng lên điểm treo lò xo?
e) Tính chiều dài lò xo và lực tác dụng lên vật và điểm treo lò xo khi vật đi qua li độ 2,5 cm?
24

: Lê Thanh Sơn, : 0905930406


Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.
Hướng dẫn giải:
Phương trình dao động:

x = Acos( ω.t + ϕ )cm
v=-A. ω .sin( ω.t + ϕ ) cm/s.

k
20
=
= 10 2 rad/s.
m
0,1
mg 0,1.10
=
= 0, 05m = 5cm
Độ giãn của lò xo khi treo vật vào: ∆ l =
k
20
Vì buôn nhẹ nên A = x = ∆ l = 5cm
Khi t = 0 thì x = -∆ l ⇔ -5 = 5cos ϕ ⇒ cos ϕ = -1 ⇒ ϕ = π (rad)
Vậy x = 5cos(10 2.t + π )cm
r
r
b) Lực hướng về F = −k .x
Lực hướng về cực đại F = k.A = 20.0,05 = 1N
c) Chiều dài lò xo khi vật dao động: l = l 0+∆ l +x
Chiều dài lớn nhất khi vật dao động: l max = l 0 + ∆ l +A = 20 + 5 + 5 = 30cm
Chiều dài nhỏ nhất khi vật dao động: l mim = l 0 + ∆ l -A = 20 + 5 - 5 = 20cm
d) Lực tác dụng lên điểm treo lò xo: F = k|∆ l +x|
Lực cực đại tác dụng lên điểm treo lò xo: Fmax = k(∆ l +A) = 20(0,05 + 0,05) = 2N.
Lực cực tiểu tác dụng lên điểm treo lò xo: vì A = ∆ l nên Fmin = 0
e) Khi vật đi qua li độ 2,5 cm

Chiều dài lò xo khi đó: l = l 0 + ∆l + x = 20 + 5 + 2,5 = 27,5 cm
Lực tác dụng lên vật: F = k.| x| = 20.(0,025) = 0,5 N.
Lực tác dụng lên điểm treo lò xo: FQ = k.| ∆ l +x| = 20.(0,05 + 0,025) = 1,5 N.
Ví dụ 2: Một lò xo có độ cứng k = 40N/m, có chiều dài tự nhiên 20cm treo thẳng đứng vật ở
trên lò xo, vật có khối lượng 100g. Người ta nâng vật lên khỏi vị trí cân bằng một đoạn 3cm
rồi truyền cho vật một vận tốc 0,6 m/s hướng về vị trí cân bằng, chọn trục OX thẳng đứng,
chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ tại VTCB; gốc thời gian lúc vật bắt đầu dao động; lấy
g = π 2 = 10m/s2 .
a) Viết phương trình dao động điều hòa của vật?
b) Tính lực hướng về cực đại ?
c) Tính chiều dài lớn nhất và nhỏ nhất của lò xo khi vật dao động?
d) Tính lực cực đại và cực tiểu tác dụng lên điểm treo lò xo?
e) Xác định thời điểm lò xo dãn 1cm?
Hướng dẫn giải:
Phương trình dao động: x = Acos( ω.t + ϕ ) cm.
v = -A. ω .sin( ω.t + ϕ ) cm/s.
k
40
=
= 20 (rad/s)
Tần số góc: ω =
m
0,1
mg 0,1.10
=
= 0, 025m = 2,5cm
Độ dãn của lò xo khi treo vật vào: ∆ l =
k
40
 x = −3cm

v
60
Ta có 
⇒ A = x 2 + ( ) 2 = 32 + ( ) 2 = 3 2 cm
ω
20
v = 0, 6m/s = 60cm/s

2
cosϕ = −


 x = −3cm
 −3 = 3 2cosϕ

2
⇔
⇒
Khi t = 0 thì 
2
v = 0, 6m/s = 60cm/s
60 = −3 2.20sin ϕ 
sin ϕ = − 2
Tần số góc: ω =

⇒ ϕ = -3

π
(rad)
4

3π
Vậy x = 3 2 cos(20t)cm
4
r
r
b) Lực hướng về F = −k .x
: Lê Thanh Sơn, : 0905930406

25


Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.
Lực hướng về cực đại F = k.A = 40.0,03 2 = 1,2 2 ≈ 1,7 (N)
c) vì vật ở trên lò xo nên chiều dài lò xo khi vật dao động: l = l0 - ∆ l + x
+ Chiều dài lớn nhất khi vật dao động: lmax = l0 - ∆ l +A = 20 -2,5 +3. 2 = 17,5 + 3 2 cm.
+ Chiều dài nhỏ nhất khi vật dao động: lmim = l0 - ∆ l -A = 20 - 2,5 - 3 2 = 17,5 - 3 2 cm.
d) Lực tác dụng lên điểm treo lò xo:F = k|∆ l +x|
+ Lực cực đại tác dụng lên điểm treo lò xo: Fmax = k(∆ l +A) = 40(0,025+0,03 2 ) = 2,7(N)
+ Lực cực tiểu tác dụng lên điểm treo lò xo: vì A > ∆ l nên Fmin = 0
e) vì chiều dương hướng xuống nên để lò xo dãn 1cm thì vật phải ở li độ
x = - (2,5 + 1) = -3,5 cm
3π
3π
7 2
146
ta có - 3,5 = 3 2 cos(20t ) ⇔ cos(20t )= −
= cos(
π)
4

4
12
180
3π 146
281
kπ


 20t − 4 = 180 π + 2π .k
t = 3600 π + 10 , k ∈ N
⇒

 20t − 3π = − 146 π + 2π .k
t = − 11 π + kπ , k ∈ N *


4
180
3600
10
Bài tập tự giải:
Bài 1: Một con lắc lò xo gồm một quả nặng khối lượng 100g, lò xo có độ cứng 100N/m,
khối lượng không đáng kể treo thẳng đứng. Cho con lắc dao động với biên độ 5cm. Lấy g =
10m/s2; π2 = 10.
a) Tính chu kì, tần số, năng lượng dao động của con lắc.
b) Tính lực đàn hồi cực đại, lực đàn hồi cực tiểu của lò xo trong quá trình quả nặng dao
động.
ĐÁP SỐ: a) ω = 10 π rad/s, T = 0,2 s, W = 0,125 mJ.
b) Fmax = 6 N, vì ∆l < A nên Fmin = 0.
Bài 2: Một con lắc lò xo có khối lượng 2 kg dao động điều hoà theo phương ngang. Vận

tốc cực đại bằng 0,6m/s 2. Chọn thời điểm t = 0 khi vật qua vị trí x 0 = 3 2 cm theo chiều âm
và tại đó thế năng bằng động động năng.
a) Viết phương trình dao động ?
π
b) Tính độ lớn của lực đàn hồi tại thời điểm t =
s?
20
π
ĐÁP SỐ: a) x = 6cos(10t + ) cm.
4
π
π
b) F = k.|x| = mω 2 |x| = 2 .102.|0,06cos(10.
+ )| = 6 N.
20 4
Bài 3: Một con lắc lò xo vật khối lượng m = 1kg dao động điều hoà theo phương nằm
ngang với chu kì T = 2s. Nó đi qua vị trí cân bằng với vận tốc v0 = 31,4 cm/s.
a) Viết phương trình dao động điều hoà của vật ? Chọn t = 0 lúc vật qua vị trí cân bằng theo
chiều dương.
b) Tính lực đàn hồi phục tác dụng lên vật lúc t = 0,5 s?
π
π
ĐÁP SỐ: x = 10cos( π t - ) cm. b) F = k.|x| = mω 2 |x| = 1. π 2 .|0,1cos( π .0,5 - )| = 1 N.
2
2
Dạng 6: Xác định năng lượng của dao động điều hoà
Phương trình dao động có dạng: x = Acos(ωt + ϕ) m
Phương trình vận tốc:
v = -Aωsin(ωt + ϕ) m/s
1 2 1

a) Thế năng: Wt = kx = k A2cos2(ωt + ϕ) (J).
2
2
1
+ Wtmax = k A2 khi x= + A ở hai biên
2
+ Wtmin = 0 khi x = 0 khi đi qua VTCB.
26

: Lê Thanh Sơn, : 0905930406


Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.
b) Động năng: Wđ =

1
1
1
mv2 = mω2A2sin2(ωt + ϕ) = kA2sin2(ωt + ϕ);
2
2
2

với k = mω2
1
1
+ Wđmax = k A2 = mω2A2 khi x= 0 khi đi qua VTCB.
2
2
+ Wđmin = 0 khi x = + A khi ở hai biên.

1
1
2
2
c) Cơ năng: W = Wt + Wđ = k A = 2 mω2A2.
+ Wt = W - Wđ
+ Wđ = W - Wt
Wd W
A
=
− 1 = ( )2 − 1
+
Wt Wt
x
A
T
⇒ sau khoảng thời gian Wt = Wđ là: ∆t =
* Khi Wđ = Wt ⇔ x = ±
2
4
A
* Khi Wđ = nWt ⇔ x = ±
n +1
+ Thế năng và động năng của vật biến thiên tuần hoàn với cùng tần số góc ω’ = 2ω,
T
tần số dao động f’ = 2f và chu kì T’ = .
2
Chú ý: Khi tính năng lượng phải đổi khối lượng về kg, vận tốc về m/s, li độ về mét
Ví dụ 1: Một vật khối lượng m = 100 g được gắn vào đầu 1 lò xo nằm ngang. Kéo vật cho lò
xo dãn ra 10cm rồi buông nhẹ cho dao động, vật dao động với chu kì T = 1 s, lấy π 2 = 10 ,

chọn chiều dương ngược chiều lệch vật, gốc thời gian lúc vật bắt đầu dao động.
a) Viết biểu thức dao động điều hòa?
b) Tính cơ năng của con lắc?
c) Tính động năng của vật khi có li độ x = 5cm?
Hướng dẫn giải:
a) Phương trình dao động: x = Acos( ω.t + ϕ )cm; v = -A. ω .sin( ω.t + ϕ ) cm/s.
2π 2π
=
= 2π (rad/s)
Tần số góc: ω =
T
1
Khi buông nhẹ A = |x| = 10cm
Khi t = 0 thì x = -10 cm ⇔ - 10 = 10 cos ϕ ⇒ cos ϕ = -1 ⇒ ϕ = π rad.
Vậy x = 10cos(2 π t+ π ) cm.
1 2 1
1
2
2
2
2
b) Cơ năng của con lắc: W = kA = mω . A = .0,1.(2π ) .(0,1) = 0,02 J.
2
2
2
c) Ta có W = Wt+Wđ
⇒ Động năng của vật
1
1
1

1
1
mω 2 A2 − kx 2 = mω 2 A2 − mω 2 x 2 = mω 2 ( A2 − x 2 )
2
2
2
2
Wđ = W - Wt = 2
1
2
2
2
= 0,1.(2π ) (0,1 − 0, 05 ) = 0,015 J.
2
Ví dụ 2: Một vật m = 1kg treo vào lò xo có độ cứng k = 400N/m, chiều dài tự nhiên của lò xo
là 32cm. Quả cầu dao động điều hòa với cơ năng 320mJ theo phương thẳng đứng.
a) Tính chiều dài cực đại và cực tiểu của lò xo trong quá trình dao động?
b) Tính vận tốc của quả cầu ở thời điểm mà chiều dài của lò xo là 36,5cm ?
c) Tính động năng của vật khi có li độ x = 2 2 cm?
Hướng dẫn giải:
1
2W
2.320.10−3
a) Ta có W = kA2 ⇒ A =
=
= 0, 04m = 4cm
2
k
400
: Lê Thanh Sơn, : 0905930406

27


Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.
mg 1.10
=
= 0, 025m = 2,5cm
Độ dãn của lò xo khi vật ở VTCB: ∆ l =
k
400
Chiều dài lo xo khi vật dao động: l = l0+∆ l +x
Chiều dài lớn nhất khi vật dao động: lmax = l0 + ∆ l + A = 32 + 2,5 + 4 = 38,5cm
Chiều dài nhỏ nhất khi vật dao động: lmin = l0 + ∆ l - A = 32 + 2,5 - 4 = 30,5cm
b) ta có chiều dài lo xo khi vật ở li độ x: l = l0+∆ l +x
⇒ li độ của vật: x = l - l0 - ∆ l = 36,5 - 32 - 2,5 = 2cm
k
400
Tần số góc: ω =
=
= 20 rad/s
m
1
v 2
2
2
Ta có công thức A = x + ( ) ⇒
ω
vận tốc của vật v = ±ω A2 − x 2 = ±20 42 − 22 = ±40 3 cm/s
c) Ta có W = Wt+Wđ

⇒ Động năng của vật Wđ = W - Wt
1
1
1
1
1
mω 2 A2 − kx 2 = mω 2 A2 − mω 2 x 2 = mω 2 ( A2 − x 2 )
2
2
2
2
=2
2
1
2
2
= 1.(20) (0, 04 − 0, 02. 2 ) = 0,16 J.
2
Bài tập tự giải:
Bài 1: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, vật nặng có khối lượng m = 250g. Chọn trục tọa
độ Ox thẳng đứng, chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, kéo vật xuống
dưới vị trí lò xo dãn 6,5cm thả nhẹ vật dao động điều hòa với năng lượng là 80mJ. Lấy gốc
thời gian lúc thả, g = 10m / s 2 . Viết phương trình dao động của vật?
ĐÁP SỐ: x = 4co s(20t )cm .
Bài 2: Một con lắc lò xo gồm một lò xo nhẹ có độ cứng k và một vật nhỏ có khối lượng m =
100g, được treo thẳng đứng vào một giá cố định. Tại vị trí cân bằng O của vật, lò xo dãn
2,5cm. Kéo vật dọc theo trục của lò xo xuống dưới cách vị trí cân bằng O một đoạn 2cm rồi
truyền cho nó vận tốc 40 3 cm/s theo phương thẳng đứng hướng xuống dưới. Chọn trục toạ
độ Ox theo phương thẳng đứng, gốc tại O, chiều dương hướng lên trên; gốc thời gian là lúc
vật bắt đầu dao động. Lấy g = 10m/s2.

a) Tính độ cứng của lò xo, viết phương trình dao động của vật?
2
b) Xác định vị trí và tính vận tốc của vật lúc thế năng bằng
lần động năng.
3
c) Tính thế năng, động năng và vận tốc của vật tại vị trí có li độ x = 3cm.
π
ĐÁP SỐ: a) K = 40 N/m; x = 4cos(20t + 2 ) cm.
3
2
2
3
b) x = ± A = ± .4 cm, v = ± .vmax = ± 16 15 cm/s.
5
5
5
c) Wt = 18 mJ; Wđ = 14 mJ; v = ±ω A2 − x 2 = ±20 42 − 32 = ±20 7 cm/s.
Bài 3: Một con lắc lò xo có khối lượng của vật m = 1Kg dao động điều hoà với cơ năng W =
0,125J. Tại thời điểm ban đầu vật có vận tốc v = 0,25m/s và gia tốc a = - 6,25 3 m/s2.
a) Viết phương trình dao động ?
b) Tìm động năng và thế năng tại thời điểm t = 7,25T ( T là chu kì dao động).
π
ĐÁP SỐ: a) x = 2cos(25t - ) cm. b) Wt = 31,25 mJ; Wđ = 93,75 mJ.
6

28

: Lê Thanh Sơn, : 0905930406

Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.

Dạng 7: Xác định thời gian ngắn nhất vật đi qua li độ x1 đến x2
Ta dùng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều để tính.
Khi vật dao động điều hoà từ x1 đến x2 thì tương ứng với vật chuyển động tròn đều từ M đến
N (chú ý x1 và x2 là hình chiếu vuông góc của M(P) và N(Q) lên trục OX
Thời gian ngắn nhất vật dao động đi từ x1 đến x2 khi vật đi qua hai li độ cùng chiều bằng thời
gian vật chuyển động tròn đều từ M đến N (từ Q đến P)
ˆ
MON
ˆ = x MO
ˆ + ONx
ˆ với
Δt = t MN =
T , MON
1
2
360
N
M
ˆ ) = | x1 | , Sin(ONx
ˆ ) = | x2 |
Sin(x1MO
2
A
A
A
T
+ khi vật đi từ: x = 0 ƒ x = ± thì ∆t =
x1

x2
A X
−A
2
12
O
A
T
+ khi vật đi từ: x = ± ƒ x = ± A thì ∆t =
2
6
P
Q

A 2
x = 0 ƒ x = ±
T
2
+ khi vật đi từ: 
thì ∆t =

8
A 2
ƒ x = ±A
x = ±

2
T
A 3 ƒ
+ khi vật đi từ: x = 0 ƒ x = ±

thì ∆t =
6
2
T
A 3ƒ
+ khi vật đi từ: x = ±
x = ± A thì ∆t =
12
2
T
A 2
+ vật 2 lần liên tiếp đi qua x = ±
thì ∆t =
4
2
∆S
Vận tốc trung bình của vật dao động lúc này: v =
; ∆ S được tính như dạng 4.
∆t
Chú ý:
+ Khi vật đi qua x1 theo chiều dương thì vật chuyển động tròn đều qua P.
+ Khi vật đi qua x1 theo chiều âm thì vật chuyển động tròn đều qua M.
+ Khi vật đi qua x2 theo chiều dương thì vật chuyển động tròn đều qua Q.
+ Khi vật đi qua x1 theo chiều âm thì vật chuyển động tròn đều qua N.
Bài toán mẫu
Ví dụ 1: Một con lắc lò xo gồm vật có khối lượng 100g, lò xo có độ cứng 400N/m, người ta
kích thích cho vật dao động điều hòa, Lấy π 2 = 10 . Thời gian ngắn nhất để con lắc dao động
A 2
từ vị trí cân bằng theo chiều dương đến vị trí có li độ x =
là bao nhiêu khi:

2
A 2
a) Vật đi qua x =
theo chiều dương?
2
A 2
b) Vật đi qua x =
theo chiều âm?
2
Hướng dẫn giải:
Chu kì dao động của con lắc lò xo:
m
0,1
T = 2π
= 2π
= 0,1s
A
k
400
2
O
A X
: Lê Thanh Sơn, : 0905930406

M

N

29

Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.
a) Khi vật đi từ VTCB theo chiều dương đến li độ

A 2
theo chiều dương thì tương ứng với
2

vật chuyển động tròn đều từ M đến N như hình vẽ
A 2
Ta có:
ˆ N ) = 2 = 2 ⇒ MO
ˆ N = 450 khi đó thời gian ngắn nhất vật đi từ VTCB
Sin(MO
A
2
A 2
đến
là
2
ˆ
0,1
MON
45
T
= 0, 0125s
Δt = t MN =
T=
T= =
8

360
360
8
b) Khi vật đi từ VTCB theo chiều dương đến li độ

A 2
theo chiều âm thì tương ứng với vật
2

chuyển động tròn đều từ M đến P như hình vẽ
ˆ = 90 + 45 = 1350
ta có MOP
ˆ
MOP
135
3T 3.0,1
= 0, 4125s
=
Δt1 = t MP =
T=
T=
8
360
360
8
Ví dụ 2: Một con lắc dao động ở nơi có gia tốc trọng trường là g = 10m / s 2 chiều dài dây
treo là 100 cm. Lấy π 2 = 10 . Thời gian ngắn nhất để con lắc dao động từ vị trí cân bằng theo
S
chiều âm đến vị trí có li độ S = 0 là bao nhiêu?
2

Hướng dẫn giải:
Chu kì dao động nhỏ của con lắc đơn:
N
l
1
T = 2π
= 2π
= 2s
M
g
10
S
Khi vật đi từ VTCB đến li độ s = 0 thì tương ứng với
2
S0/2
S0 X
O
vật chuyển động tròn đều từ N đến M như hình vẽ
S0
Ta có: Sin(MO
ˆ N ) = 2 = 1 ⇒ MO
ˆ N = 300 khi đó thời
S0 2
ˆ
S
2 1
MON
30
T
= s

gian ngắn nhất vật đi từ VTCB đến 0 là Δt = t MN =
=
T=
T=
2
360
360
12 12 6
Ví dụ 3:(ĐH 2011) Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ 10 cm, chu kì 2
s. Mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Trong khoảng thời gian ngắn nhất khi chất điểm đi từ vị trí
1
có động năng bằng 3 lần thế năng đến vị trí có động năng bằng
thế năng. Tính tốc độ trung
3
bình của chất điểm trên?
Hướng dẫn giải:
A
+ Li độ của vật ở vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng là : x = ±
2
A 3
+ Li độ của vật ở vị trí có động năng bằng 1/3 lần thế năng là : x = ±
2
+ khoảng thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng đến vị trí có
động năng bằng 1/3 lần thế năng là
t = tOM/ - tOM = T/6 – T/12 = T/12 = 1/6 s
x

Quãng đường chuyển động của vật :
/

P
30

: Lê Thanh Sơn, : 0905930406

O

M M P
/


Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.
A 3 A
− = 3,66cm
2
2
Vậy tốc độ trung bình của vật trong khoảng thời gian trên là : v = S/t = 6.3,66 = 21,96 cm/s
S=

Bài tập tự giải:
Bài 1: Một con lắc lò xo treo vật có khối lượng m = 200g, chiều dài tự nhiên của lò xo l 0 =
60cm. Cho g = 10m/s2 và π2 = 10, trục toạ độ có gốc là vị trí cân bằng và chiều dương hướng
xuống dưới, gốc thời gian khi lò xo dài 59cm, vận tốc bằng không và khi đó lực đàn hồi tác
dụng vào điểm treo có độ lớn 1N.
a) Viết phương trình dao động?
b) Xác định thời điểm lò xo nén 1cm lần đầu kể từ khi dao động?
ĐÁP SỐ: a) x = 3cos(10 5 t + π ) cm. b) lò xo nén 1cm khi vật ở biên âm =>
k
t=
π s, k ∈ N lò xo nén lần đầu tiên nên t = 5 .π s .

5 5
25
π
Bài 2: Một vật dao động điều hoà với phương trình: x = 8cos(πt + ) (cm)
2
a) Xác định biên độ, tần số, chu kì và pha ban đầu của vật?
b) Tìm vận tốc cực đại vmax ?
v
c) Tìm thời gian ngắn nhất để vật có vận tốc v = max kể từ lúc bắt dầu dao động?
2
π
ĐÁP SỐ: a) A = 8 cm; ω = π rad/s; T = 2s; ϕ = rad. b) |vmax| = 8 π cm/s. c) ∆ t = 1/3s
2
Bài 3: Một lò xo được treo thẳng đứng, đầu trên của lò xo được giữ chuyển động đầu dưới
theo vật nặng có khối lượng m = 100g, lò xo có độ cứng k = 25 N/m. Kéo vật rời khỏi
VTCB theo phương thẳng đứng hướng xuống một đoạn 2cm, truyền cho nó vận tốc 10 π
cm/s theo phương thẳng đứng hướng lên. Chọn gốc thời gian là lúc vật bắt đầu dao động,
gốc toạ độ là VTCB, chiều dương hướng xuống.
a) Viết phương trình dao động điều hòa của vật?
b) Xác định thời điểm vật đi qua vị trí mà lò xo dãn 2 cm lần thứ nhất?
c) Tính thời gian ngắn nhất vật đi qua li độ -2 cm đến 6 cm?
π
ĐÁP SỐ: a) x = 2 2 cos(5 π t + ) cm. b) lò xo dãn 2cm khi vật đi qua li độ
4
1 2k

t = 10 + 5 s, k ∈ N
x = -2cm => 
lò xo dãn 2cm lần đầu tiên nên t = 0,1s. c) tmin = 7/60 s.
 t = − 1 + 2 k s, k ∈ N *


5 5
Dạng 8: Hệ lò xo ghép nối tiếp - ghép song song và xung đối.
1). Lò xo ghép nối tiếp:
a) Độ cứng của hệ k:
Hai lò xo có độ cứng k1 và k2 ghép nối tiếp có thể xem
1 1 1
= +
như một lò xo có độ cứng k thoả mãn biểu thức:
k k1 k2
(1)
Chứng minh (1):
Khi vật ở li độ x thì:
f = kx, F1 = k1x1 , F2 = k 2 x 2
 F = F1 = F2

⇔ F = F1 = F2

 x = x1 + x 2
x = x + x
1
2

: Lê Thanh Sơn, : 0905930406

m

k1

k2

31


Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.
F = F1 = F2
1 1
1
k 1k 2

+
⇒  F F1 F2 ⇒ =
hay k =
k k1 k 2
k1 + k 2
k = k + k

1
2
b) Chu kì dao động T - tần số dao động:
m
1
T2
⇒ = 12
+ Khi chỉ có lò xo 1(k1): T1 = 2π
k1
k1 4π m
+ Khi chỉ có lò xo 2(k2): T2 = 2π

m

1
T2
⇒ = 22
k2
k2 4π m

+ Khi ghép nối tiếp 2 lò xo trên: T = 2π

m
1
T2
⇒ = 2
k
k 4π m

1 1 1
T2
T12
T2 2
2
2
2
=
+
Mà
nên
= 2 + 2 ⇒ T = T1 + T1
2
k k1 k2
4π m 4π m 4π m

1
1
1
Tần số dao động: 2 = 2 + 2
f
f1 f 2
b. Lò xo ghép song song:
Hai lò xo có độ cứng k1 và k2 ghép song song có thể xem như một lò xo có độ cứng k thoả mãn
biểu thức: k = k1 + k2 (2)
Chứng minh (2):
k1
f = kx, F1 = k1x1 , F2 = k 2 x 2
 x = x1 = x 2

⇔  x = x1 = x 2
Khi vật ở li độ x thì: 
k2
 F = F1 + F2
F = F + F
1
2

 x = x1 = x 2
⇒
⇒ k = k1 + k 2
kx = k1x1 + k 2 x 2
b) Chu kì dao động T - tần số dao động:
m
4π 2 m
⇒ k1 =

+ Khi chỉ có lò xo 1(k1): T1 = 2π
k1
T12
+ Khi chỉ có lò xo 2(k2): T2 = 2π

m
4π 2 m
⇒ k2 =
k2
T2 2

m
4π 2 m
⇒k =
k
T2
4π 2 m 4π 2 m 4π 2 m ⇒ 1 = 1 + 1
=
+
Mà k = k1 + k2 nên
T2 T12 T22
T2
T12
T2 2

+ Khi ghép song song 2 lò xo trên: T = 2π

2
2
2

Tần số dao động: f = f1 + f1
k2
c) Khi ghép xung đối công thức giống ghép song song
k1
Lưu ý:
- Khi giải các bài toán dạng này, nếu gặp trường hợp một lò xo
có độ dài tự nhiên l 0 (độ cứng k0) được cắt thành hai lò xo có chiều dài lần lượt là l 1 (độ cứng
k1) và l 2 (độ cứng k2) thì ta có:
k0 l 0 = k1 l 1 = k2 l 2
ES
const
Trong đó k0 =
=
; E: suất Young (N/m2); S: tiết diện ngang (m2)
l0
l0
Bài toán mẫu
Ví dụ 1: Hai lò xo có cùng chiều dài tự nhiên; độ cứng lần lượt là K1 = K2 = 30 N/m, hai lò
xo được gắn với nhau thành là xo dài gấp đôi rồi gắn vào vật có khối lượng m = 150g, hệ lò
xo nằm ngang. Kéo vật dọc theo trục lò xo tới vị trí cách VTCB 10 cm rồi thả không vận tốc

32

: Lê Thanh Sơn, : 0905930406


Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.
đầu trên mặt phẳng ngang. Bỏ qua ma sát. Chọn chiều dương là chiều lệch vật; gốc thời gian
lúc vật bắt đầu dao động.
a) Viết phương trình dao động điều hòa của vật ?

b) Tính lực hướng về cực đại tác dụng vào vật ?
c) Tính cơ năng ?
d) Tính thời gian ngắn nhất để động năng bằng thế năng ?
Hướng dẫn giải:
a) Chọn trục ox nằm ngang gốc tọa độ tại VTCB của vật.
Khi vật ở VTCB, các lò xo không bị biến dạng.
Khi vật ở li độ x thì:
k
k
f = kx, F1 = k1x1 , F2 = k 2 x 2
 F = F1 = F2

⇔ F = F1 = F2

 x = x1 + x 2
x = x + x
1
2

F = F1 = F2
1 1 1

⇒  F F1 F2 ⇒ = +
k k1 k 2
k = k + k

1
2
k 1k 2
30.30

=
= 15 N/m
hay k =
k1 + k 2 30 + 30

1

m

Phương trình dao động có dạng: x = Acos( ωt + ϕ )cm
Phương trình vận tốc: v = -A ω sin( ωt + ϕ )cm/s
k
15
=
= 10 rad/s
Ta có: ω =
m
0,15
x = 10cm 10 = A cos ϕ ϕ = 0
⇒
⇒
Khi t = 0 thì 
 v=0
sin ϕ = 0
 A = 10cm
Vậy phương trình dao động là: x = 10cos (10t) cm
r
r
b) Lực hướng về tác dụng vào vật: F = −kx
Lực hướng về cực đại: Fmax = k.A = 15.0,1 = 1,5N

1
1
c) Cơ năng của hệ W = k.A2 = .15.0,12 = 0,075 J.
2
2
1
1
d) Khi Wđ = Wt thì W = 2Wt ⇔ k.A2 = 2. k.x2
2
2
⇒x = ± A 2
2
A 2
A 2
Khi vật đi từ
theo chiều dương đến li độ 2
2
theo chiều dương thì tương ứng với vật chuyển động
tròn đều từ P đến Q như hình vẽ
A 2
2
Ta có:
ˆ
ˆ = 450
Sin(POA)
= 2 =
⇒ POA
A
2
ˆ

ˆ
⇒ P O Q = 2P O A = 2.45 = 900
Thời gian ngắn nhất để động năng bằng thế năng Δt = t MN =

2

P

Q

A

−

M

A

2

O

A X

2

N

ˆ
POQ

90
T 2π π
T=
T= =
=
360
360
4 40 20

s.
Ví dụ 2: Hai lò xo có cùng chiều dài tự nhiên độ cứng lần lượt là k 1 và k2. Khi gắn K1 với vật
m thì nó dao động với chu kì T 1 = 4s, khi gắn k2 với vật m thì nó dao động với chu kì T 2 =
3s. Tính chu kì và tần số dao động của vật m khi:
: Lê Thanh Sơn, : 0905930406

33


Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.
a) ghép hai lò xo thành một lò xo dài gấp đôi rồi gắn vào vật m ?
b) ghép hai lò xo thành lò xo cùng chiều dài rồi gắn vào vật m ?
Hướng dẫn giải:
a) Khi ghép hai lò xo thành lò xo có chiều dài gấp đôi thì ta có ghép nối tiếp hai lò xo.
Ta xem hệ hai lò xo là lò xo có độ cứng k
Khi vật ở li độ x thì:
F = kx, F1 = k1x1 , F2 = k 2 x 2
F = F1 = F2
1 1 1
 F = F1 = F2



⇔ F = F1 = F2
⇒  F F1 F2 ⇒ = +

k k1 k 2
 x = x1 + x 2
x = x + x
k = k + k

1
2
1
2

- Chu kì dao động T
m
1
T12
T
=
2
π
⇒
=
+ Khi chỉ có lò xo 1(k1): 1
k1
k1 4π 2 m
+ Khi chỉ có lò xo 2(k2): T2 = 2π

m

1
T2
⇒ = 22
k2
k2 4π m

+ Khi ghép nối tiếp 2 lò xo trên: T = 2π

m
1
T2
⇒ = 2
k
k 4π m

2
2
2
1 1 1
= + nên T = T1 + T2 ⇒ T 2 = T12 + T12 = 32 + 42 = 52
k k1 k2
4π 2 m 4π 2 m 4π 2 m
Vậy T = 5s, f = 0,2 Hz.
b) Khi ghép hai lò xo thành lò xo cùng chiều dài ta có ghép song song hai lò xo.
Ta xem hệ hai lò xo là lò xo có độ cứng k
f = kx, F1 = k1x1 , F2 = k 2 x 2
 x = x1 = x 2
 x = x1 = x 2

⇔  x = x1 = x 2

⇒
Khi vật ở li độ x thì: 
 F = F1 + F2
kx = k1x1 + k 2 x 2
F = F + F
1
2

⇒ k = k1 + k 2
b) Chu kì dao động T - tần số dao động:
m
4π 2 m
⇒ k1 =
+ Khi chỉ có lò xo 1(k1): T1 = 2π
k1
T12

Mà

+ Khi chỉ có lò xo 2(k2): T2 = 2π

m
4π 2 m
⇒ k2 =
k2
T2 2

m
4π 2 m
⇒k =

k
T2
4π 2 m 4π 2 m 4π 2 m ⇒ 1 = 1 + 1 = 1 + 1
=
+
⇒ T = 2,4s
Mà k = k1 + k2 nên
T 2 T12 T22 32 42
T2
T12
T2 2

+ Khi ghép song song 2 lò xo trên: T = 2π

Vậy T = 2,4s; f =

5
Hz.
12

Bài tập tự giải:
Bài 1: Một vật có khối lượng m = 100g chiều dài không đáng kể có thể trượt trên mặt phẳng
nằm ngang. Vật được nối với hai giá cố định A và B qua hai lò xo: L 1 có độ cứng k1 = 60
N/m và L2 có độ cứng k2 = 40 N/m. Người ta kéo vật tới vị trí sao cho L 1 bị dãn một đoạn là
20cm thì thấy L2 không bị biến dạng, rồi thả nhẹ cho vật chuyển động không vận tốc đầu, bỏ
qua mọi ma sát và khối lượng của lò xo. Chọn gốc toạ độ tại vị trí cân bằng, chiều dương của
hệ trục toạ độ hướng từ A sang B, thời điểm ban đầu t = 0 là lúc thả vật.
a) Tính độ cứng K của hệ lò xo?
b) Viết phương trình dao động điều hòa của vật?
c) Tính chu kì dao động và năng lượng dao động của vật?

ĐÁP SỐ: a) k = 100 N/m. b) x =12 cos(10 π ) cm. c) T = 0,2s; W = 0,72J.
34

: Lê Thanh Sơn, : 0905930406


Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.
Bài 2: Hai lò xo có độ cứng lần lượt là K1 = 300N/m và K2 = 600N/m mắc nối tiếp treo vật
m = 500g thẳng đứng vật ở dưới lò xo tại nơi g = 10m/s2; hai lò xo có cùng chiều dài tự
nhiên 25 cm.
a) Tính độ biến dạng của mỗi lò xo khi vật cân bằng ?
b) Kéo m xuống dưới vị trí cân bằng 4cm thả nhẹ, viết phương trình dao động chọn trục toạ
độ có gốc là vi trí cân bằng chiều dương hướng lên trên, gốc thời gian lúc bắt dầu dao động ?
c) Tính lực cực đại và cực tiểu tác dụng lên giá treo biết lò xo K1 gắn vào điểm treo ?
d) Tính cơ năng; thời điểm để động năng bằng 3 lần thế năng lần thứ 3 kể từ lúc bắt đầu dao
động?
e) Tính chiều dài lớn nhất và nhỏ nhất của hệ lò xo khi vật dao động?
ĐÁP SỐ: a) ∆ l1 = 5/3cm; ∆ l2 = 5/6 cm. b) x = 4cos(20t + π ) cm.
π
c) vì A > ∆ l nên Fmin1 = 0; Fmax1 = 17 N. d) W = 0,16 J; ∆t =
s.
15
e) lmax = 56,5 cm; lmin = 48,5 cm.
Bài 3: Hai lò xo cùng chiều dài tự nhiên 20 cm có độ cứng k1 = 60 N/m; k2 = 40 N/m được ghép
song song với nhau rồi gắn vào vật có khối lượng 100g treo hệ thẳng đứng vật ở trên hệ lò xo.
Ban đầu người ta nâng vật lên sao cho hệ lò xo không biến dạng rồi thả nhẹ cho hệ dao động.
Chọn trục thẳng đứng, chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, gốc thời gian
lúc vật bắt đầu dao động.
a) Viết phương trình dao động của vật?
b) Tính lực cực đại, cực tiểu tác dụng lên vật khi dao động?

c) Tính chiều dài lớn nhất và nhỏ nhất của hệ lò xo khi vật dao động?
d) Tính khoảng thời gian kể từ lúc bắt đầu dao động đến khi động năng bằng thế năng lần thứ 2?
e) Tính cơ năng của hệ?
ĐÁP SỐ: a) x = cos(10 π t + π ) cm. b) Fmax = 1 N; Fmin = 0.
3
c) lmax = 22 cm; lmin = 20 cm. d) ∆t =
s. e) W = 5 mJ.
40
Dạng 9: Chứng minh hệ dao động điều hoà
Trong trường hợp phải chứng minh cơ hệ dao động điều hoà trên cơ sở lực đàn hồi tác dụng:
F = -kx hoặc năng lượng của vật dao động (cơ năng) W = Wt + Wđ, ta tiến hành như sau:
Cách 1: Dùng phương pháp động lực học:
+ Phân tích lực tác dụng lên vật
+ Chọn hệ trục toạ độ Ox
r
r
+ Viết phương trình định luật II Newtơn cho vật: ∑ F = ma chiếu phương trình này lên OX
để suy ra: x'' = - ω2x: vậy vật dao động điều hoà với tàn số góc ω
Cách 2: Dùng phương pháp năng lượng:
1
* Vì W = Wt + Wđ trong đó: Wt = kx2 (con lắc lò xo)
2
1
Wđ = mv2
2
1
1
Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng: W = Wt + Wđ 2 = kx2 + 2 mv2 = const
+ Lấy đạo hàm hai vế theo t phương trình này chú ý: a = v' = x''
+ Biến đổi để dẫn đến: x'' = -ω2x vậy vật dao động điều hoà với tần số góc ω

Chú ý:
- Khi khối gỗ có tiết diện ngang S dao động điều hòa trong chất lỏng có khối lượng riêng r
ρ .S .g
thì tần số góc là: ω =
m
: Lê Thanh Sơn, : 0905930406

35


Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.
- Khi khối chất lỏng có khối lượng riêng r dao động điều hòa trong bình thông nhau hình
2 ρ .S .g
chữ U có tiết diện ngang S thì tần số góc là ω =
m
Bài toán mẫu
Ví dụ 1: Dùng hai lò xo cùng chiều dài tự nhiên có cùng độ cứng k1 = k2 = 25N/m treo 1 quả
cầu khối lượng 500g theo phương thẳng đứng kéo quả cầu xuống dưới VTCB 2cm rồi truyền
cho vật vận tốc 20 3 cm/s theo phương thẳng đứng lên trên. Bỏ qua ma sát (g = 10m/s 2; π2
= 10).
a) Chứng minh vật dao động điều hoà?
b) Viết phương trình dao động của vật?
c) Tính lực hướng về cực đai mà hệ lò xo tác dụng lên vật?
Hướng dẫn giải:
Chọn trục 0x thẳng đứng chiều dương hướng xuống gốc 0 tại VTCB,
gốc thời gian lúc vật bắt đầu dao động.
r
r
r
+ Khi vật ở VTCB: F01 + F02 + P = 0 (1)

+ Khi vật ở li độ x vật chịu tác dụng thêm của lực đàn hồi của hai lò xo
r r
r
r
r
01
khi đó: F2 + F2 = ma ⇔ 2 F = ma (2)
01 O
Chiếu (2) lên 0X ta được -2F = ma = mx’’
2k
2k
⇔ -2k.x = mx’’ ⇒ x ''+
x = 0 . Đặt ω 2 =
khi đó x’’+ ω 2 x = 0
m
m
2k
X
Vậy hệ vật dao động điều hòa với với tần số góc ω =
m
x
=
Acos(
ω
t+
ϕ
)
b) Phương trình dao động có dạng:
cm
v

=
−ω
Asin(
ω
t+
ϕ
)
Phương trình vận tốc:
(cm/s)

r
F

r
F

r
P

Ta có: ω =

2k
2.25
=
= 10 rad/s
m
0,5

x = 2cm
v

20 3 2
⇒ A = x 2 + ( ) 2 = 22 + (
) = 4cm
Khi t = 0 thì Khi t = 0 thì 
ω
10
 v=-20 3cm / s
 2 = 4 cos ϕ
π

Ta có 
3 ⇒ ϕ = 3 rad
sin ϕ =

2
π
Vậy x = 4cos (10t+ )cm
3
r
r
c) Lực hướng về tác dụng lên vật: F = −kx
Lực hướng về cực đại: Fmax = 2k.A = 2.25.0,04 = 2N
Ví dụ 2: Cho cơ hệ được bố trí như hình vẽ lò xo có độ cứng k = 40N/m. Vật nặng có khối
lượng m, m = 100g; bỏ qua ma sát khối lượng của ròng rọc và lò xo dây treo không dãn.
Khối lượng k đáng kể.
a) Tính độ dãn lò xo khi vật ở VTCB?
b) Kéo vật xuống khỏi VTCB một đoạn nhỏ rồi thả nhẹ, chứng minh vật
dao động điều hòa. Tính chu kì và biên độ dao động của vật?
Hướng dẫn giải:
k

m
a) Chọn chiều dương ox hướng xuống, gốc 0 tại VTCB
r r
+Xét vật m khi ở VTCB: T 0 + P = 0
r r
r
r
T0
+ Xét lò xo khi vật ở VTCB: T 0 + F0 = 0
Chiếu lên ox

36

 −T0 + k∆l = 0
⇒mg = k.∆l(1)

 −T0 + mg = 0

: Lê Thanh Sơn, : 0905930406

r
T0

r
F0

r
P

T0

r
T0

O

+


Phân loại và phương pháp giải bài tập vật lí 12.
mg 0,1.10
=
= 0, 05m = 5cm
⇒ ∆l = =
K
20
b) Khi vật ở li độ x thì lò xo cũng dãn một đoạn x
r r
r
+Xét vật m khi ở VTCB: T + F = ma
r r
+ Xét lò xo khi vật ở VTCB: T + F = 0
 −T + k(∆l+x) = 0

 −T + mg = 0
⇒k( ∆l +x)-mg = mx’’(2) thay (1) vào ta được k.x = mx’’
k
k
⇒x’’+ x = 0 Đặt ω 2 =
khi đó x’’+ ω 2 x = 0
m

m
Chiếu lên ox

r
Tr
Tr
F

r
TrO
T

r
P

x
+

k
Vậy hệ vật dao động điều hòa quanh VTCB với tần số góc ω =
x
m
2π
m
0,1
Chu kì dao động của con lắc: T =
= 2π
= 2π
= 0,314( s )
ω

k
40
Ví dụ 3: Một khối gỗ hình trụ có tiết diện ngang 300cm2, có khối lượng 1,2kg đang nổi
thẳng đứng trên mặt nước, nước có khối lượng riêng 10 3kg/m3, lấy g = 10 = π2m/s2. Khi
nhấn khối gỗ xuống khỏi VTCB một chút rồi thả nhẹ cho khối gỗ dao động.
a) Chứng minh khối gỗ dao dao động điều hòa?
b) Tính chu kì dao dộng của khối gỗ?
Hướng dẫn giải:
Chọn trục OX thẳng đứng, gốc tọa dộ tại VTCB , chiều dương là chiều nhấn vật, gốc thời
gian lúc vật bắt đầu dao động.
r r
+ Khi khối gỗ ở VTCB: P + F0 A = 0 ⇔ mg = Vchìm.gD ⇔ mg = S.h.g.D (1)
+ Khi nhấn khối gỗ xuống một chút tức khi vật ở li độ x ta có:
r r
r
P + FA = ma ⇒ P − FA = ma ⇔ mg − S ( h + x).g .D = mx ''
⇔ (mg − S .h.g .D) − S .g .D.x = mx ''
thay (1) vào ta được: − S .g .D.x = mx ''
S .g .D
S .g .D
⇒ x ''+
.x = 0 đặt ω 2 =
m
m
⇒ x’’+ ω .x = 0: phương trình vi phân động lực học của vật
S . g .D
Vậy khối gỗ dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng với tần số góc ω =
m
2π
m

1, 2
= 2π
= 2π
Vậy chu kỳ dao động của khối gỗ là T =
= 0,4s.
ω
S .g .D
300.10−4.10.103
Bài tập tự giải:
Bài 1: Cho hệ dao động như hình vẽ vật m = 200g, lò xo có độ cứng K =
1N/cm. Ban đầu giữ vật sao cho lò xo không biến dạng thả nhẹ. Lấy g =
10m/s2.
a) Viết phương trình dao động chọn trục toạ độ gốc là vị trí cân bằng chiều
dương hướng xuống dưới.
b) Xác định lực căng cực đại của dây treo ròng rọc ?
k
ĐÁP SỐ: a) ω =
=> x = 2cos(10 5 t + π ) cm.
m
b) Fmax = k( ∆l + A) = 100(0,02 + 0,02) = 4 N.

: Lê Thanh Sơn, : 0905930406

37