Chuyên đề 2: Dao động cơ học

- ĐT: 01689.996.187



VŨ ĐÌNH HỒNG

-



ĐT: 01689.996.187 – Email:
Họ và tên:......................................................................................
Lớp:.......................Trường...........................................................
BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC, LUYỆN THI VÀO ĐẠI HỌC.

Thái Nguyên, 2012

BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ

1

CHUYÊN ĐỀ 2 -

DAO ĐỘNG CƠ


- ĐT: 01689.996.187



-

Mục lục
CHỦ ĐỀ 1 : ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
PHẦN I. KIẾN THỨC CHUNG: ........................................................................................ 4
CHỦ ĐỀ 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ.................................................. 4
PHẦN II: PHÂN DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP. .......................................................... 8
DẠNG 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA..................................................... 8
DẠNG 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HỊA ....................................... 12
DẠNG 3: TÌM THỜI GIAN VẬT ĐI TỪ LI ĐỘ X1 TỚI X2 ......................................... 15
DẠNG 4: XÁC ĐỊNH QUÃNG ĐƯỜNG ĐI ĐƯỢC ( S, Smax, Smin) .......................... 17
DẠNG 5: BÀI TOÁN THỜI GIAN TRONG DĐ ĐH ..................................................... 19
DẠNG 6: Vận tốc trung bình và tốc độ trung bình ( vmax, vmin) .................................. 21
DẠNG 7: XÁC ĐỊNH SỐ LẦN VẬT QUA LI ĐỘ X TRONG THỜI GIAN t .............. 22
PHẦN III. ĐỀ TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP: .................................................................. 22
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 1 ........................................................................................................... 26
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 2 ........................................................................................................... 31
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 3 ........................................................................................................... 35
ĐÁP ÁN ĐÈ SỐ 4 ........................................................................................................... 40

CHỦ ĐỀ 2: CON LẮC LÒ XO
PHẦN I: KIẾN THỨC CHUNG: ...................................................................................... 40
PHẦN II: CÁC DẠNG BÀI TẬP. .................................................................................... 43
DẠNG 1: BÀI TỐN ĐẠI CƯƠNG VỀ CON LẮC LỊ XO ( TÌM CÁC ĐẠI LƯỢNG
THƯỜNG GẶP)
T,v,x,Wđ.Wt,…............................................................................ 43
DẠNG 2: BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐỘNG NĂNG, THẾ NĂNG CON LẮC LÒ XO .. 45
DẠNG 3: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC LỊ XO ................... 47
DẠNG 4: TÌM ĐỘ BIẾN DẠNG, CHIỀU DÀI (MAX, MIN) CON LẮC LÒ XO ........ 50
DẠNG 5: BÀI TỐN TÌM LỰC TRONG CON LẮC LỊ XO ...................................... 52
DẠNG 6: HỆ LÒ XO GHÉP NỐI TIẾP – SONG SONG- XUNG ĐỐI ......................... 54

DẠNG 7: SỰ THAY ĐỔI CHU KÌ, TẦN SỐ CON LẮC LÒ XO KHI m THAY ĐỔI .. 56
DẠNG 8: CON LẮC LÒ XO CHỊU TÁC DỤNG CỦA NGOẠI LỰC ........................... 58
BÀI TOÁN 1: VA CHẠM: ...................................................................................... 58
BÀI TỐN2: HỆ VẬT CĨ MA SÁT GẮN VÀO NHAU CÙNG DAO ĐỘNG...................... 60
PHẦN III. ĐỀ TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP: .................................................................. 63
ĐÁP ÁN ĐỀ 5 ................................................................................................................. 67
ĐÁP ÁN ĐỀ 6 ................................................................................................................. 72
ĐÁP ÁN ĐỀ 7 ................................................................................................................. 76

CHỦ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN
PHẦN I. KIẾN THỨC CHUNG: ...................................................................................... 76
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI TẬP: .................................................................................... 78
DẠNG 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ CON LẮC ĐƠN ................................................................ 78
DẠNG 2: TÌM LỰC CĂNG T CỦA DÂY TREO . ......................................................... 79
*DẠNG 3 : CON LẮC ĐƠN CÓ CHIỀU DÀI THAY ĐỔI ( CẮT, GHÉP) ................... 80
BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ

2

CHUYÊN ĐỀ 2 -

DAO ĐỘNG CƠ


- ĐT: 01689.996.187



-

DẠNG 4: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CON LẮC ĐƠN ............................... 81
DẠNG 5: CON LẮC ĐƠN BỊ VƯỚNG ĐINH, KẸP CHẶT ......................................... 83
DẠNG 6: BÀI TOÁN VA CHẠM TRONG CON LẮC ĐƠN ........................................ 84
DẠNG 7 : SỰ THAY ĐỔI CHU KỲ CON LẮC ĐƠN KHI THAY ĐỔI ĐỘ CAO h, ĐỘ
SÂU d ............................................................................................................................. 86
DẠNG 8 : SỰ THAY ĐỔI CHU KỲ CON LẮC ĐƠN KHI TĂNG GIẢM NHIỆT ĐỘ 87
BÀI TOÁN: Xác định thời gian nhanh chậm của đồng hồ trong một ngày đêm. ........................... 88
DẠNG 9: CON LẮC ĐƠN CHỊU TÁC DỤNG NGOẠI LỰC ........................................ 92
DẠNG 10 : CON LẮC ĐƠN DAO ĐỘNG TRÙNG PHÙNG ........................................ 98
*DẠNG 11: CON LẮC VẬT LÝ DĐ ĐH ...................................................................... 99
DẠNG 12: CON LẮC ĐƠN ĐANG DAO ĐỘNG ĐỨT DÂY ......................................100
PHẦN III. ĐỀ TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP: .................................................................102
ĐÁP ÁN ĐỀ 8 ................................................................................................................106
ĐÁP ÁN ĐỀ 9 ................................................................................................................111
ĐÁP ÁN ĐỀ 10 ..............................................................................................................115

CHỦ ĐỀ 4: CÁC LOẠI DAO ĐỘNG. CỘNG HƯỞNG CƠ
PHẦN I.KIẾN THỨC TRỌNG TÂM: .............................................................................115
PHẦN II: BÀI TẬP VẬN DỤNG. ...................................................................................116
PHẦN III: ĐỀ TRắC NGHIệM TổNG HợP: .............................................................................120
ĐÁP ÁN ĐỀ 11 ..............................................................................................................124
CHỦ ĐỀ 5: ĐỘ LỆCH PHA. TỔNG HỢP DAO ĐỘNG
PHẦN I. PHƯƠNG PHÁP: ..................................................................................................124
PHẦN II. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA.................................................................................125
PHẦN III. ĐỀ TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP: ...............................................................131
ĐÁP ÁN ĐỀ 12 ........................................................................................................135
CHỦ ĐỀ 6: DAO ĐỘNG CƠ HỌCĐỀ THI ĐAI HỌC + CAO ĐẲNG CÁC NĂM 20072012
ĐÁP ÁN: DAO ĐỘNG CƠ - ĐH CĐ 2007-2012 ............................................................147

BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ

3

CHUYÊN ĐỀ 2 -

DAO ĐỘNG CƠ


- ĐT: 01689.996.187



-

CHỦ ĐỀ 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ

PHẦN I. KIẾN THỨC CHUNG:
* Dao động cơ, dao động tuần hoàn
+ Dao động cơ là chuyển động qua lại của vật quanh 1 vị trí cân bằng.
+ Dao động tuần hoàn là dao động mà sau những khoảng thời gian bằng nhau vật trở lại vị trí
và chiều chuyển động như cũ (trở lại trạng thái ban đầu).
* Dao động điều hòa
+ Dao động điều hòa là dao động trong đó li độ của vật là một hàm cơsin (hoặc sin) của thời
gian.
+ Phương trình dao động: x = Acos(ωt + ϕ)
Trong đó: x (m;cm hoặc rad): Li độ (toạ độ) của vật; cho biết độ lệch và chiều lệch của vật so
với VTCB.
A>0 (m;cm hoặc rad): Là biên độ (li độ cực đại của vật); cho biết độ lệch cực đại của
vật so với VTCB.
(ωt + ϕ) (rad): Là pha của dao động tại thời điểm t; cho biết trạng thái dao động (vị

trí và chiều chuyển động) của
vật ở thời điểm t.
ϕ (rad): Là pha ban đầu của dao động; cho biết trạng thái ban đầu của vật.
ω (rad/s): Là tần số góc của dao động điều hồ; cho biết tốc độ biến thiên góc pha
+ Điểm P dao động điều hòa trên một đoạn thẳng ln ln có thể dược coi là hình chiếu của
một điểm M chuyển động trịn đều trên đường kính là đoạn thẳng đó.
* Chu kỳ, tần số của dao động điều hồ
+ Chu kì T(s): Là khoảng thời gian để thực hiện một dao động tồn phần.
Chính là khoảng thời gian ngắn nhất để vật trở lại vị trí và chiều chuyển động như cũ (trở
lại trạng thái ban đầu).
+ Tần số f(Hz):Là số dao động toàn phần thực hiện được trong một giây.
+ Liên hệ giữa ω, T và f: ω =

2π
= 2πf.
T

* Vận tốc và gia tốc của vật dao động điều hoà
+ Vận tốc là đạo hàm bậc nhất của li độ theo thời gian: v = x' = - ωAsin(ωt + ϕ) = ωAcos(ωt
+ϕ+

π
2

)

Vận tốc của vật dao động điều hòa biến thiên điều hòa cùng tần số nhưng sớm pha hơn

π
2

so với với li độ.
- Ở vị trí biên (x = ± A): Độ lớn |v|min = 0
- Ở vị trí cân bằng (x = 0): Độ lớn |v|min =ωA.
Giá trị đại số: vmax = ωA khi v>0 (vật chuyển động theo chiều dương qua vị trí cân bằng)
vmin = -ωA khi v<0 (vật chuyển động theo chiều âm qua vị trí cân bằng)
+ Gia tốc là đạo hàm bậc nhất của vận tốc (đạo hàm bậc 2 của li độ) theo thời gian: a = v' =
x’’ = - ω2Acos(ωt + ϕ) = - ω2x

BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ

4

CHUYÊN ĐỀ 2 -

DAO ĐỘNG CƠ


- ĐT: 01689.996.187



-

Gia tốc của vật dao động điều hòa biến thiên điều hòa cùng tần số nhưng ngược pha với li
π

độ (sớm pha

2

so với vận tốc).

Véc tơ gia tốc của vật dao động điều hịa ln hướng về vị trí cân bằng và tỉ lệ với độ lớn
của li độ.
- Ở vị trí biên (x = ± A), gia tốc có độ lớn cực đại : |a|max = ω2A.
Giá trị đại số: amax=ω2A khi x=-A; amin=-ω2A khi x=A;.
- Ở vị trí cân bằng (x = 0), gia tốc bằng 0.
+ Đồ thị của dao động điều hòa là một đường hình sin.
+ Quỹ đạo dao động điều hồ là một đoạn thẳng.
* Dao động tự do (dao động riêng)
+ Là dao động của hệ xảy ra dưới tác dụng chỉ của nội lực
+ Là dao động có tần số (tần số góc, chu kỳ) chỉ phụ thuộc các đặc tính của hệ khơng phụ
thuộc các yếu tố bên ngồi.
Khi đó: ω gọi là tần số góc riêng; f gọi là tần số riêng; T gọi là chu kỳ riêng
TĨM TẮT CƠNG THỨC
1. Phương trình dao động: x = Acos( ω t + ϕ )
2. Vận tốc tức thời: v = - ω Asin( ω t + ϕ )
r
v luôn cùng chiều với chiều chuyển động (vật chuyển động theo chiều dương thì v>0, theo
chiều âm thì v<0)
3. Gia tốc tức thời: a = -ϖ 2Acos( ω t + ϕ ) = - ω 2x
r
a luôn hướng về vị trí cân bằng
4. Vật ở VTCB: x = 0; vMax = ω A; aMin = 0
Vật ở biên: x = ±A; vMin = 0; aMax = ω 2A
v

2
2

2
5. Hệ thức độc lập: A = x + ( ω )

a = - ω 2x
1

2 2
6. Cơ năng: W = Wđ + Wt = 2 mω A

1

1

2
2 2
2
2
Với Wđ = 2 mv = 2 mω A sin (ωt + ϕ ) = Wsin (ωt + ϕ )

Wt =

1
1
mω 2 x 2 = mω 2 A2 cos 2 (ωt + ϕ ) = Wco s 2 (ωt + ϕ )
2
2

7. Dao động điều hồ có tần số góc là ω , tần số f, chu kỳ T. Thì động năng và thế năng biến
thiên với tần số góc 2 ω , tần số 2f, chu kỳ T/2
M1

M2
8. Động năng và thế năng trung bình trong thời gian nT/2 ( n - N*,
T là chu kỳ dao động) là:

W 1
= mω 2 A2
2 4

∆ϕ

9. Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x1 đến x2
∆t =

∆ϕ

ω

=

ϕ 2 − ϕ1
ω

x1

co s ϕ1 = A
với 
và ( 0 ≤ ϕ1 ,ϕ2 ≤ π )
x
2
co s ϕ =

2

A

10. Chiều dài quỹ đạo: 2A
11. Quãng đường đi trong 1 chu kỳ luôn là 4A; trong 1/2 chu kỳ
luôn là 2A
BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ

5

CHUYÊN ĐỀ 2 -

-A

x2

x1

O

∆ϕ

M'2
M'1

DAO ĐỘNG CƠ

A

- ĐT: 01689.996.187



-

Quãng đường đi trong l/4 chu kỳ là A khi vật đi từ VTCB đến vị trí biên hoặc ngược lại
12. Quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 đến t2.
 x1 = Aco s(ωt1 + ϕ )

 x2 = Aco s(ωt2 + ϕ )

Xác định: v = −ω Asin(ωt + ϕ ) và v = −ω Asin(ωt + ϕ ) (v1 và v2 chỉ cần xác định dấu)
1
 2
1
2
Phân tích: t2 – t1 = nT + ∆ t (n N; 0 ≤ ∆ t < T)
Quãng đường đi được trong thời gian nT là S1 = 4nA, trong thời gian ∆ t là S2.
Quãng đường tổng cộng là S = S1 + S2
Lưu ý: + Nếu ∆ t = T/2 thì S2 = 2A
+ Tính S2 bằng cách định vị trí x1, x2 và chiều chuyển động của vật trên trục Ox
+ Trong một số trường hợp có thể giải bài tốn bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa
dao động điều hoà và chuyển động tròn đều sẽ đơn giản hơn.
S

+ Tốc độ trung bình của vật đi từ thời điểm t1 đến t2: vtb = t − t với S là quãng đường
2
1

tính như trên.
13. Bài tốn tính qng đường lớn nhất và nhỏ nhất vật đi được trong khoảng thời gian 0 <
∆ t < T/2.
Vật có vận tốc lớn nhất khi qua VTCB, nhỏ nhất khi qua vị trí biên nên trong cùng một
khoảng thời gian quãng đường đi được càng lớn khi vật ở càng gần VTCB và càng nhỏ khi
càng gần vị trí biên.
Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hồ và chuyển đường trịn đều.
Góc qt ∆ϕ = ω.∆t
Quãng đường lớn nhất khi vật đi từ M1 đến M2 đối xứng qua trục sin (hình 1)
S Max = 2A sin

∆ϕ
2

Quãng đường nhỏ nhất khi vật đi từ M1 đến M2 đối xứng qua trục cos (hình 2)
S Min = 2 A(1 − cos

∆ϕ
)
2

M2

M1

M2

P

∆ϕ

2

Lưu ý: + Trong trường hợp ∆ t > T/2
T

Tách ∆t = n 2 + ∆t '

A

-A
P2

O

P

1

x

A

P

-A
O

T

∆ϕ

2

*
trong đó n ∈ N ;0 < ∆t ' < 2

x

M1

T
Trong thời gian n 2 quãng đường

luôn là 2nA
Trong thời gian ∆ t’ thì quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất tính như trên.
+ Tốc độ trung bình lớn nhất và nhỏ nhất của trong khoảng thời gian ∆ t:
vtbMax =

S Max
S
vtbMin = Min với SMax; SMin tính như trên.
và
∆t
∆t

13. Các bước lập phương trình dao động dao động điều hồ:
* Tính ϕ
* Tính A
 x = Acos(ωt0 + ϕ )

* Tính ϕ dựa vào điều kiện đầu: lúc t = t0 (thường t0 = 0) v = −ω Asin(ωt + ϕ ) ⇒ ϕ

0

Lưu ý: + Vật chuyển động theo chiều dương thì v > 0, ngược lại v < 0
BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ

6

CHUYÊN ĐỀ 2 -

DAO ĐỘNG CƠ


- ĐT: 01689.996.187



-

+ Trước khi tính ϕ cần xác định rõ ϕ thuộc góc phần tư thứ mấy của đường
tròn lượng giác (thường lấy -π < ϕ ≤ π)
14. Các bước giải bài tốn tính thời điểm vật đi qua vị trí đã biết x (hoặc v, a, Wt, Wđ, F) lần
thứ n
* Giải phương trình lượng giác lấy các nghiệm của t (Với t > 0 thuộc phạm vi giá trị
của k )
* Liệt kê n nghiệm đầu tiên (thường n nhỏ)
* Thời điểm thứ n chính là giá trị lớn thứ n
Lưu ý:+ Đề ra thường cho giá trị n nhỏ, cịn nếu n lớn thì tìm quy luật để suy ra nghiệm thứ
n
+ Có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hồ và
chuyển động trịn đều

15. Các bước giải bài tốn tìm số lần vật đi qua vị trí đã biết x (hoặc v, a, Wt, Wđ, F) từ thời
điểm t1 đến t2.
* Giải phương trình lượng giác được các nghiệm
* Từ t1 < t ≤ t2 thuộc Phạm vi giá trị của (Với k  Z)
* Tổng số giá trị của k chính là số lần vật đi qua vị trí đó.
Lưu ý: + Có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hồ và
chuyển động trịn đều.
+ Trong mỗi chu kỳ (mỗi dao động) vật qua mỗi vị trí biên 1 lần cịn các vị trí khác 2
lần.
16. Các bước giải bài tốn tìm li độ, vận tốc dao động sau (trước) thời điểm t một khoảng
thời gian ∆ t.
Biết tại thời điểm t vật có li độ x = x0.
* Từ phương trình dao động điều hồ: x = Acos(wt + ϕ ) cho x = x0
Lấy nghiệm ∆ t +  =  với 0 ≤ α ≤ π ứng với x đang giảm (vật chuyển động theo
chiều âm vì v < 0) hoặc t +  = -  ứng với x đang tăng (vật chuyển động theo chiều
dương)
* Li độ và vận tốc dao động sau (trước) thời điểm đó t giây là
 x = Acos( ±ω∆t + α )
 x = Acos( ±ω∆t − α )


hoặc
v = −ω A sin( ±ω∆t + α )
v = −ω A sin( ±ω∆t − α )

17. Dao động có phương trình đặc biệt:
* x = a ω Acos( ω t + ϕ )với a = const
Biên độ là A, tần số góc là ω , pha ban đầu 
x là toạ độ, x0 = Acos( ω t + ϕ )là li độ.
Toạ độ vị trí cân bằng x = a, toạ độ vị trí biên x = a  A

Vận tốc v = x’ = x0’, gia tốc a = v’ = x” = x0”
Hệ thức độc lập: a = - ω 2x0

v
A2 = x02 + ( ) 2

ω

2

* x = a ω Acos ( ω t + ϕ ) (ta hạ bậc)
Biên độ A/2; tần số góc 2 ω , pha ban đầu 2 ϕ

BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ

7

CHUYÊN ĐỀ 2 -

DAO ĐỘNG CƠ


- ĐT: 01689.996.187



-

PHẦN II: PHÂN DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP.
DẠNG 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HỊA

(TÍNH TỐN, XÁC ĐỊNH CÁC ĐẠI LƯỢNG THƯỜNG GẶP TRONG CÔNG THỨC)
x,a,v,F,w,T.....
I. Phương pháp.
+ Muốn xác định x, v, a, Fph ở một thời điểm hay ứng với pha dã cho ta chỉ cần thay t hay
pha đã cho vào các công thức :
x = A.cos(ω.t + ϕ ) hoặc x = A.sin(ω.t + ϕ ) ; v = − A.ω.sin(ω.t + ϕ ) hoặc v = A.ω.cos(ω.t + ϕ )
a = − A.ω 2 .cos(ω.t + ϕ ) hoặc a = − A.ω 2 .sin(ω.t + ϕ ) và Fph = − k .x .
+ Nếu đã xác định được li độ x, ta có thể xác định gia tốc, lực phục hồi theo biểu thức như
sau :
và Fph = − k.x = −m.ω 2 .x
a = −ω 2 .x
+ Chú ý : - Khi v f 0; a f 0; Fph f o : Vận tốc, gia tốc, lực phục hồi cùng chiều với chiều
dương trục toạ độ.
- Khi v p 0; a p 0; Fph p 0 : Vận tốc , gia tốc, lực phục hồi ngược chiều với chiều
dương trục toạ độ.

* VÍ DỤ MINH HỌA:
VD1
1. Cho các phương trình dao động điều hồ như sau. Xác định A, ω, ϕ, f của các dao động
điều hồ đó?
π

π

a) x = 5.cos(4.π .t + ) (cm).

b) x = −5.cos(2.π .t + ) (cm).

6

4

c) x = −5.cos(π .t ) (cm).

π

d) x = 10.sin(5.π .t + ) (cm).

2. Phương trình dao động của một vật là: x = 6cos(4πt +

π
6

3

) (cm), với x tính bằng cm, t tính

bằng s. Xác định li độ, vận tốc và gia tốc của vật khi t = 0,25 s.
HD:

π

π

a) x = 5.cos(4.π .t + ) (cm). ⇒ A = 5(cm); ω = 4.π ( Rad / s); ϕ = ( Rad );
6

6
2.π

1
1
T=
=
= 0,5( s); f = =
= 2( Hz )
ω 4.π
T 0,5
π
π
5.π
b) x = −5.cos(2.π .t + ) = 5.cos(2.π .t + + π ) = 5.cos(2.π .t + ). (cm).
4
4
4
5.π
2.π
1
⇒ A = 5(cm); ω = 2.π ( rad / s ); ϕ =
( Rad ) ⇒ T =
= 1( s); f = = 1( Hz ).
4
ω
T

2.π

BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ

8

CHUYÊN ĐỀ 2 -

DAO ĐỘNG CƠ


- ĐT: 01689.996.187



-

c) x = −5.cos(π .t )(cm) = 5.cos(π .t + π )(cm)
⇒ A = 5(cm); ω = π ( Rad / s ); ϕ = π ( Rad ); T =

2.π

π

π
π π

3

3

= 2( s ); f = 0, 5( Hz ).

π

d) x = 10.sin(5.π .t + )cm = 10.cos(5.π .t + − )cm = 10.cos(5.π .t − )cm .
6

2.π
1
= 0.4( s ); f =
= 2, 5( Hz ) .
6
5.π
0, 4
π
7π
2. Khi t = 0,25 s thì x = 6cos(4π.0,25 + ) = 6cos = - 3 3 (cm);
6
6
π
7π
v = - 6.4πsin(4πt + ) = - 6.4πsin = 37,8 (cm/s); a = - ω2x = - (4π)2. 3 3 = - 820,5
6
6

⇒ A = 10(cm); ω = 5.π ( Rad / s ); ϕ =

π

2

( Rad ); T =

(cm/s2).

VD2. Một vật nhỏ khối lượng 100 g dao động điều hòa trên quỹ đạo thẳng dài 20 cm với tần
số góc 6 rad/s. Tính vận tốc cực đại và gia tốc cực đại của vật.
HD: Ta có: A =

L 20
=
= 10 (cm) = 0,1 (m); vmax = ωA = 0,6 m/s; amax = ω2A = 3,6 m/s2.
2
2

VD3. Một vật dao động điều hoà trên quỹ đạo dài 40 cm. Khi ở vị trí có li độ x = 10 cm vật
có vận tốc 20π 3 cm/s. Tính vận tốc và gia tốc cực đại của vật.
HD.
Ta có: A =

L 40
=
= 20 (cm); ω =
2
2

amax = ω2A = 800 cm/s2.

v
2

A − x2

= 2π rad/s; vmax = ωA = 2πA = 40π cm/s;

VD4. Một chất điểm dao động điều hoà với chu kì 0,314 s và biên độ 8 cm. Tính vận tốc của
chất điểm khi nó đi qua vị trí cân bằng và khi nó đi qua vị trí có li độ 5 cm.
HD;
Ta có: ω =

2π 2.3,14
= 20 (rad/s). Khi x = 0 thì v = ± ωA = ±160 cm/s.
=
T
0,314

Khi x = 5 cm thì v = ± ω A2 − x 2 = ± 125 cm/s.
VD5. Một chất điểm dao động theo phương trình: x = 2,5cos10t (cm). Vào thời điểm nào thì
pha dao động đạt giá trị

π
3

? Lúc ấy li độ, vận tốc, gia tốc của vật bằng bao nhiêu?

HD.
Ta có: 10t =

π
3

t=

(cm/s);

a = - ω2x = - 125 cm/s2.

π
π
π
(s). Khi đó x = Acos = 1,25 (cm); v = - ωAsin = - 21,65
30
3
3

VD6. Một vật dao động điều hịa với phương trình: x = 5cos(4πt + π) (cm). Vật đó đi qua vị
trí cân bằng theo chiều dương vào những thời điểm nào? Khi đó độ lớn của vận tốc bằng bao
nhiêu?
HD :
BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ

9

CHUYÊN ĐỀ 2 -

DAO ĐỘNG CƠ


- ĐT: 01689.996.187



Khi đi qua vị trí cân bằng thì x = 0
π
+ 2kπ

2

-

π

cos(4πt + π) = 0 = cos(± ). Vì v > 0 nên 4πt + π = -

2
3
t = - + 0,5k với k ∈ Z. Khi đó |v| = vmax = ωA = 62,8 cm/s.
8

VD7. Một vật nhỏ có khối lượng m = 50 g, dao động điều hịa với phương trình: x =
20cos(10πt +

π
2

) (cm). Xác định độ lớn và chiều của các véc tơ vận tốc, gia tốc và lực kéo về

tại thời điểm t = 0,75T.
HD.
Khi t = 0,75T =

0, 75.2π

ω

= 0,15 s thì x = 20cos(10π.0,15 +

π
) = 20cos2π = 20 cm;
2

v = - ωAsin2π = 0; a = - ω2x = - 200 m/s2; F = - kx = - mω2x = - 10 N; a và F đều có giá trị
âm nên gia tốc và lực kéo về đều hướng ngược với chiều dương của trục tọa độ.
VD8. Một vật dao động điều hòa theo phương ngang với biên độ 2 cm và với chu kì 0,2 s.
Tính độ lớn của gia tốc của vật khi nó có vận tốc 10 10 cm/s.
HD.
Ta có: ω =

2π
v2
v2 a2
= 10π rad/s; A2 = x2 + 2 = 2 + 4
T
ω
ω ω

|a| = ω 4 A2 − ω 2v 2 = 10 m/s2.

VD9. Một vật dao động điều hịa với phương trình: x = 20cos(10πt +

π
2

) (cm). Xác định thời

điểm đầu tiên vật đi qua vị trí có li độ x = 5 cm theo chiều ngược chiều với chiều dương kể

từ thời điểm t = 0.
HD.
Ta có: x = 5 = 20cos(10πt +
Vì v < 0 nên 10πt +

π
2

π
)
2

cos(10πt +

= 0,42π + 2kπ

π
) = 0,25 = cos(±0,42π).
2

t = - 0,008 + 0,2k; với k ∈ Z. Nghiệm dương nhỏ

nhất trong họ nghiệm này (ứng với k = 1) là 0,192 s.
VD10. Một vật dao động điều hịa với phương trình: x = 4cos(10πt -

π
3

) (cm). Xác định thời

điểm gần nhất vận tốc của vật bằng 20π 3 cm/s và đang tăng kể từ lúc t = 0.
HD.

π
π
) = 40πcos(10πt + ) = 20π 3
3
6
π
3
π
π
π
cos(10πt + ) =
= cos(± ). Vì v đang tăng nên: 10πt + = - + 2kπ
2
6
6
6
6
1
1
+ 0,2k. Với k ∈ Z. Nghiệm dương nhỏ nhất trong họ nghiệm này là t = s.
t=30
6

Ta có: v = x’ = - 40πsin(10πt -

VD11. Cho các chuyển động được mô tả bởi các phương trình sau:
π

6

a) x = 5.cos (π .t ) + 1 (cm) b) x = 2.sin 2 (2.π .t + ) (cm) c) x = 3.sin(4.π .t ) + 3.cos(4.π .t ) (cm)

BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ

10

CHUYÊN ĐỀ 2 -

DAO ĐỘNG CƠ


- ĐT: 01689.996.187



-

Chứng minh rằng những chuyển động trên đều là những dao động điều hoà. Xác định biên
độ, tần số, pha ban đầu, và vị trí cân bằng của các dao động đó.
HD:
a) x = 5.cos (π .t ) + 1 ⇒ x − 1 = 5.cos (π .t ) .
Đặt x-1 = X.
ta có
X = 5.cos(π .t )
⇒ Đó là một dao động điều hồ
Với

A = 5(cm); f =

ω
π
=
= 0,5( Hz ); ϕ = 0( Rad )
2.π 2.π

VTCB của dao động là : X = 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇒ x = 1(cm).
π

b)

π

x = 2.sin 2 (2.π .t + ) = 1 − cos (4.π .t + )
6
3

π

Với
c)

π

⇒ X = −cos(4.π .t − ) = cos(4π t + ) ⇒ Đó là một dao động điều hoà.
6
3
ω 4.π
π

A = 1(cm); f =
=
= 2( s ); ϕ = ( Rad )
2.π 2.π
3

Đặt X = x-1

π

π

π

π

x = 3.sin(4.π .t ) + 3.cos (4.π .t ) = 3.2sin(4.π t + ).cos (− ) ⇒ x = 3. 2.sin(4.π .t + )(cm) = 3 2cos(4.π .t − )(cm)
4
4
4
4
⇒ Đó là một dao động điều hồ. Với

A = 3. 2(cm); f =

4.π
π
= 2( s ); ϕ = − ( Rad )
2.π
4

VD12. Một chất điểm có khối lượng m = 100g dao động điều hồ theo phương trình :
π

x = 5.cos(2.π .t + ) (cm) . Lấy π 2 ≈ 10. Xác định li độ, vận tốc, gia tốc, lực phục hồi trong các
6

trường hợp sau :
a) Ở thời điểm t = 5(s).
b) Khi pha dao động là 1200.

Lời Giải
π
x = 5.cos(2.π .t + ) (cm) ⇒ A = 5(cm); ω = 2.π ( Rad / s )
Từ phương trình
6
2
Vậy
k = m.ω = 0,1.4.π 2 ≈ 4( N / m).
π
π
v = x ' = A.ω.cos(ω.t + ϕ ) = 5.2.π .cos (2.π .t + ) = 10.π .cos (2.π .t + )
Ta có
6
6

a) Thay t= 5(s) vào phương trình của x, v ta có :
π

π

x = 5.sin(2.π .5 + ) = 5.sin( ) = 2,5(cm).
6
6

π
π
3
v = 10.π .cos (2.π .5 + ) = 10.π .cos ( ) = 10.π .
= 5. 30 (cm/s).
6
6
2
cm
m
a = −ω 2 .x = −4.π 2 .2, 5 = −100( 2 ) = −1( 2 ) .
s
s

Dấu “ – “ chứng tỏ gia tốc ngược chiều với chiều dương trục toạ độ.
Fph = −k .x = −4.2,5.10−2 = −0,1( N ).

b)
-

Dấu “ – “ chứng tỏ Lực phục hồi ngược chiều với chiều dương trục toạ độ.
Khi pha dao động là 1200 thay vào ta có :
x = 5.sin1200 = 2, 5. 3 (cm).
Li độ :
Vận tốc :

v = 10.π .cos1200 = −5.π (cm/s).
2
a = −ω 2 .x = −4.π 2 .2,5. 3 = − 3 (cm/s ).
Gia tốc :

BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ

11

CHUYÊN ĐỀ 2 -

DAO ĐỘNG CƠ


- ĐT: 01689.996.187

- Lực phục hồi :



-

Fph = −k .x = −4.2,5. 3 = −0,1. 3 (N).

VD 13. Toạ độ của một vật biến thiên theo thời gian theo định luật : x = 4.cos(4.π .t ) (cm).
Tính tần số dao động , li độ và vận tốc của vật sau khi nó bắt đầu dao động được 5 (s).
Lời Giải
Từ phương trình x = 4.cos(4.π .t ) (cm)
Ta có : A = 4cm; ω = 4.π ( Rad / s) ⇒ f =

ω
= 2( Hz ) .
2.π

- Li độ của vật sau khi dao động được 5(s) là : x = 4.cos (4.π .5) = 4 (cm).
Vận tốc của vật sau khi dao động được 5(s) là : v = x ' = −4.π .4.sin(4.π .5) = 0 cm/s
DẠNG 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HỊA

PHƯƠNG PHÁP:
Chọn hệ quy chiếu:
+ Trục ox...
+ gốc toạ độ tại VTCB
+ Chiều dương...
+ gốc thời gian...
Phương trình dao động có dạng: x = Acos(ωt + ϕ) cm
Phương trình vận tốc:
v = -Aωsin(ωt + ϕ) cm/s
1.Xác định tần số góc ω: (ω>0)
2π
∆t
, với T = , N: tống số dao động
T
N
k
+ Nếu con lắc lò xo: ω =
, ( k: N/m, m: kg)
m

+ ω = 2πf =

+ khi cho độ giản của lò xo ở VTCB ∆l : k .∆l = mg ⇒
+ ω=

k
g
⇒ω =
=
m ∆l

g
∆l

v
2

A − x2

2) Xác định biên độ dao động A:(A>0)
+ A=

d
, d: là chiều dài quỹ đạo của vật dao động
2

+ Nếu đề cho chiều daig lớn nhất và nhở nhất của lò xo: A =
+ Nếu đề cho ly độ x ứng với vận tốc v thì ta có: A = x 2 +

l max − l min
2

v2

ω2

(nếu buông nhẹ v = 0)
+ Nếu đề cho vận tốc và gia tốc: A 2 =

v2

a2

ω4
v
+ Nếu đề cho vận tốc cực đại: Vmax thì: A = Max
ω

BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ

ω2

+

12

CHUYÊN ĐỀ 2 -

DAO ĐỘNG CƠ


- ĐT: 01689.996.187

+ Nếu đề cho gia tốc cực đại aMax : thì A =

-

aMax

ω2

+ Nếu đề cho lực phục hồi cực đại Fmax thì → F max = kA
+ Nếu đề cho năng lượng của dao động Wthì → A =

2W
k

3) Xác định pha ban đầu ϕ: ( −π ≤ ϕ ≤ π )
Dựa vào cách chọn gốc thời gian để xác định ra ϕ
x

cosϕ = 0

 x = x0
 x0 = Acosϕ

A
Khi t=0 thì 
⇒ϕ = ?
⇒

⇔ 
v0 = − Aω sinϕ
v = v0
sin ϕ = v0

ωA
cosϕ = 0
0 = Acosϕ
ϕ = ?

+ Nếu lúc vật đi qua VTCB thì 
⇒
⇒
v0
A = ?
v0 = − Aω sinϕ
 A = − ω sin ϕ > 0

x0

>0
 x0 = Acosϕ
ϕ = ?
A =
cosϕ
⇒
+ Nếu lúc buông nhẹ vật 
⇒
0 = − Aω sinϕ
A = ?

sin ϕ = 0


Chú ý:
khi thả nhẹ, buông nhẹ vật v0 = 0 , A=x
Khi vật đi theo chiều dương thì v>0 (Khi vật đi theo chiều âm thì v<0)
Pha dao động là: (ωt + ϕ)
π
2
-cos(x) = cos(x+ π )

sin(x) = cos(x- )

*VÍ DỤ MINH HỌA:
VD1. Một con lắc lò xo dao động với biên độ A = 5cm, chu kỳ T = 0,5s. Viết phương trình
dao động của con lắc trong các trường hợp:
a) t = 0 , vật qua VTCB theo chiều dương.
b) t = 0 , vật cách VTCB 5cm, theo chiều dương.
c) t = 0 , vật cách VTCB 2,5cm, đang chuyển động theo chiều dương.
Lời Giải
Phương trình dao động có dạng : x = A.sin(ω.t + ϕ ) .
Phương trình vận tốc có dạng : v = x ' = A.ω.cos (ω.t + ϕ ) .
2.π 2.π
=
= 4π ( Rad / s ) .
T
0, 5
0 = 5.sin ϕ
x = A.sin ϕ
a) t = 0 ; 0

⇔
⇒ ϕ = 0 . Vậy x = 5.sin(4.π .t ) (cm).
v0 = 5.4.π .cosϕ f 0
v0 = A.ω.cosϕ
5 = 5.sin ϕ
x = A.sin ϕ
π
⇒ ϕ = ( rad ) .
b) t = 0 ; 0
⇔
v0 = 5.4.π .cosϕ f 0
v0 = A.ω.cosϕ
2
π
Vậy
x = 5.sin(4.π .t + ) (cm).
2
2,5 = 5.sin ϕ
x0 = A.sin ϕ
π
⇔
⇒ ϕ = (rad ) .
c) t = 0 ;
v0 = 5.4.π .cosϕ f 0
v0 = A.ω.cosϕ
6

Vận tốc góc :

ω=

BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ

13

CHUYÊN ĐỀ 2 -

DAO ĐỘNG CƠ


- ĐT: 01689.996.187



-

π

x = 5.sin(4.π .t + ) (cm).
6

Vậy

VD 2. Một con lắc lò xo dao động với chu kỳ T = 1(s). Lúc t = 2,5(s), vật qua vị trí có li độ
x = −5. 2 (cm) với vận tốc v = −10.π . 2 (cm/s). Viết phương trình dao động của con lắc.
Lời Giải
Phương trình dao động có dạng : x = A.sin(ω.t + ϕ ) .
Phương trình vận tốc có dạng : v = x ' = A.ω.cos (ω.t + ϕ ) .
Vận tốc góc :

ω=

ADCT : A = x +
2

2

v2

ω

2

2.π 2.π
=
= 2π ( Rad / s ) .
T
1
⇒ A = x2 +

Điều kiện ban đầu : t = 2,5(s) ;
⇒ tan ϕ = 1 ⇒ ϕ =

π
(rad ) .
4

v2

ω

2

= ( −5. 2) 2 +

x = A.sin ϕ
v = A.ω.cosϕ

Vậy

⇔

(−10.π . 2)2
= 10 (cm).
(2.π )2

−5. 2 = A.sin ϕ
−10.π . 2 = A.2.π .cosϕ

π

x = 10.sin(2.π .t + ) (cm).
4

VD3. Một vật có khối lượng m = 100g được treo vào đầu dưới của một lò xo có độ cứng k =
100(N/m). Đầu trên của lị xo gắn vào một điểm cố định. Ban đầu vật được giữ sao cho lị xo
khơng bị biến dạng. Bng tay không vận tốc ban đầu cho vật dao động. Viết phương trình
d động của vật. Lấy g = 10 (m/s2); π 2 ≈ 10 .
Lời Giải
Phương trình dao động có dạng : x = A.sin(ω.t + ϕ ) . ⇒ ω =

100
k
=
= 10.π (Rad/s).
m
0,1

m.g 0,1.10
=
= 10−2 (m) = 1cm ⇒ A = ∆l = 1cm .
k
100
Điều kiện ban đầu t = 0 , giữ lị xo sao cho nó không biến dạng tức x0 = - ∆l . Ta có
x = −∆l = −1 = A.sin ϕ
π
π
x = sin(10.π .t − ) (cm).
t=0; 0
⇒ ϕ = − (rad ) . Vậy
v0 = A.ω.cosϕ f 0
2
2

Tại VTCB lò xo dãn ra một đoạn là : ∆l =

VD 4. Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox. Lúc vật qua vị trí có li độ x = − 2 (cm)
thì có vận tốc v = −π . 2 (cm/s) và gia tốc a = 2.π 2 (cm/s2). Chọn gốc toạ độ ở vị trí trên. Viết
phương trình dao động của vật dưới dạng hàm số cosin.
Lời Giải

Phương trình có dạng : x = A.cos( ω.t + ϕ ).
Phương trình vận tốc : v = - A. ω.sin(ω.t + ϕ ) .
Phương trình gia tốc : a= - A. ω 2 .cos (ω.t + ϕ ) .
Khi t = 0 ; thay các giá trị x, v, a vào 3 phương trình đó ta có :
x = − 2 = A.cosϕ ; v = −π . 2 = − A.ω.sin ϕ ; a = π 2 . 2 = −ω 2 . Acosϕ .
Lấy a chia cho x ta được : ω = π (rad / s) .
3.π
(rad )
4
3.π
x = 2.COS(π .t +
) (cm).
4

Lấy v chia cho a ta được : tan ϕ = −1 ⇒ ϕ =
⇒ A = 2cm .

Vậy :

BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ

14

(vì cosϕ < 0 )

CHUYÊN ĐỀ 2 -

DAO ĐỘNG CƠ

- ĐT: 01689.996.187



-

DẠNG 3: TÌM THỜI GIAN VẬT ĐI TỪ LI ĐỘ X1 TỚI X2

PHƯƠNG PHÁP:
Ta dùng mối liên hệ giữa dao động điều hồ và chuyển động trịn đều để tính.
Khi vật dao động điều hồ từ x1 đến x2 thì tương ứng vứoiu vật chuyển động trịn đều
từ M đến N(chú ý x1 và x2 là hình chiếu vng góc của M và N lên trục OX
Thời gian ngắn nhất vật dao động đi từ x1 đến x2 bằng thời gian vật chuyển động tròn
đều từ M đến N
gócMON
N
ˆ = x MO
ˆ + ONx
ˆ với
T , gócMON
1
2
360
ˆ ) = | x1 | , Sin(ONx
ˆ ) = | x2 |
Sin(x1 MO
2
A
A
-A

x2
O
A
T
+ khi vật đi từ: x = 0 -> x = ± thì ∆t =
2
12
A
T
+ khi vật đi từ: x = ± -> x= ± A thì ∆t =
2
6
A 2
A 2
T
+ khi vật đi từ: x=0 -> x = ±
và x = ±
-> x= ± A thì ∆t =
2
2
8
A 2
T
+ vật 2 lần liên tiếp đi qua x = ±
thì ∆t =
2
4
∆S
Vận tốc trung bình của vật dao dộng lúc này: v =
∆t

M

∆t = t MN =

x1

N X

VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1: Vật dao động điều hịa với phương trình
. Tính:
a) Thời gian vật đi từ VTCB đến A/2
b) Thời gian vật đi từ biên đến – A/2 đến A/2 theo chiều dương.
c) Tính vận tốc trung bình của vật trong câu a
giải
a) Khi vật đi từ vị trí cân bằng đến A/2, tương ứng với vật chuyển động trên đường
tròn từ A đến B được một góc 300 (bạn đọc tự tính) như hình vẽ bên.

BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ

15

CHUYÊN ĐỀ 2 -

DAO ĐỘNG CƠ


- ĐT: 01689.996.187

0

Nhận thấy: Vật quay một vòng 360
Vậy khi vật quay 300
Dùng quy tắc tam suất ta tính được

-

hết một chu kỳ
hết khỏng thời gian

T
t

b) Khi vật đi từ vị trí – A/2 đến A/2, tương ứng với vật chuyển động trên đường tròn
từ A đến B được một góc π/6 + π/6 = 900 (bạn đọc tự tính) như hình vẽ bên.

Nhận thấy: Vật quay một vịng 3600 hết một chu kỳ
Vậy khi vật quay 900 hết khỏng thời gian
Dùng quy tắc tam suất ta tính được

T
t

c) Vận tốc trung bình của vật: Vtb =
π

VD2. Một vật dao động với phương trình : x = 10.sin(2.π .t + ) (cm). Tìm thời điểm vật đi qua
2

vị trí có li độ x = 5(cm) lần thứ hai theo chiều dương.
Lời Giải
các thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x = 5cm được xác định bởi phương trình:
π

π

1
x = 10.sin(2.π .t + ) = 5 ⇒ sin(2π t + ) = ⇒
2
2
2

π

2.π .t +

π

π

+ k .2π
6
π 5.π
2.π .t + =
+ k .2π
2
6
2

=

( k ∈ Z ; t > 0)

Ta có : v = x ' = 2.π .10.cos (2π t + ) . Vì vật đi theo chiều dương nên v > 0 ⇔
π

2

v = x = 2.π .10.cos (2π t + ) > 0. Để thoả mãn điều kiện này ta chọn
2
π π
−1
2.π .t + = + k .2π ⇒ t =
+ k với k = 1, 2, 3, 4,... (vì t > 0)
2 6
6
Vật đi qua vị trí x = 5cm lần hai theo chiều dương ⇒ k = 2. Vậy ta có
1
11
t = − + 2 = (s).
6
6
'

VD3. Một vật dao động điều hồ có biên độ bằng 4 (cm) và chu kỳ bằng 0,1 (s).
Viết phương trình dao động của vật khi chọn t = 0 là lúc vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều
dương.
Tính khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x1 = 2 (cm) đến vị trí x2 = 4 (cm).

BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ

16

CHUYÊN ĐỀ 2 -

DAO ĐỘNG CƠ


- ĐT: 01689.996.187



Lời Giải
a) Phương trình dao động : Phương trình có dạng :
Trong đó: A = 4cm, ω =

-

x(c

x = A.sin(ω.t + ϕ )

4

2π 2π
=
= 20π (rad / s ) .
T
0,1

2

Chọn t = 0 là lúc vật qua VTCB theo chiều dương, ta có :
O
x0 = A.sin ϕ = 0, v0 = A. ω .cos ϕ > 0 ⇒ ϕ = 0(rad ) .
Vậy x = 4.sin(20π .t ) (cm)
b) Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x1 = 2 (cm) đến vị trí
x2 = 4 (cm).

ω
α

1
2

1
( s ) ( vì v > 0 )
120
1
- x = x2 ⇔ 4sin(20π .t ) = 4 ⇒ sin(20π .t ) = 1 ⇒ t2 = ( s ) ( vì v > 0 )
40

+ Cách 1: - x = x1 ⇔ 4sin(20π .t ) = 2 ⇒ sin(20π .t ) = ⇒ t1 =

Kết luận : Khoảng thời gian ngắn nhất đẻ vật đi từ vị trí có li độ x1 = 2 (cm) đến vị trí x2
= 4 (cm) là : t = t2 – t1 =

1
1

1
−
= (s) .
40 120 60

+ Cách 2: Chọn t = 0 là lúc vật đi qua vị trí có li độ x0 = x1 = 2cm theo chiều dương, ta có :
x = 4.sin(ϕ ) = x0 = x1 = 2 ⇒ sin ϕ =

π

1
π
⇒ ϕ = (rad)
2
6

( vì v > 0 )

⇒ x = 4.sin(20π .t + ) (cm).
6

Thời gian để vật đi từ vị trí x0 đến vị trí x = 4cm được xác định bởi phương trình:
π
π
1
x = 4.sin(20π .t + ) = 4 ⇒ sin(20.π .t + ) = 1 ⇒ t = ( s )
6
6
60

VD4: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 8cos(2πt) cm. Thời điểm thứ nhất vật
đi qua vị trí cân bằng là:
A)

1
s
4

B)

1
s
2

C)

1
s
6

D)

1
s
3

Giải: Chọn A
1 k
Cách 1: Vật qua VTCB: x = 0 ⇒ 2πt = π/2 + kπ ⇒ t = + k ∈ N
4 2

M1
-A

O

M0 x
A

Thời điểm thứ nhất ứng với k = 0 ⇒ t = 1/4 (s)
M2
Cách 2: Sử dụng mối liên hệ giữa dđđh và chuyển động tròn đều.
Vật đi qua VTCB, ứng với vật chuyển động tròn đều qua M1 và M2.
Vì ϕ = 0, vật xuất phát từ M0 nên thời điểm thứ nhất vật qua VTCB ứng với vật qua M1.Khi
đó bán kính qt 1 góc ∆ϕ = π/2 ⇒ t =

∆ϕ 1
= s
ω 4

DẠNG 4: XÁC ĐỊNH QUÃNG ĐƯỜNG ĐI ĐƯỢC ( S, Smax, Smin)

Phương pháp
Phương trình dao động có dạng: x = Acos(ωt + ϕ) cm
Phương trình vận tốc:
v = -Aωsin(ωt + ϕ) cm/s
Tính số chu kỳ dao động từ thời điểm t1 đến t2 : N =
Trong một chu kỳ :

t2 − t1

m
2π
= n + , với T =
T
T
ω

+ vật đi được quãng đường 4A

BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ

17

CHUYÊN ĐỀ 2 -

DAO ĐỘNG CƠ


- ĐT: 01689.996.187



-

+ Vật đi qua ly độ bất kỳ 2 lần
* Nếu m= 0 thì:
+ Quãng đường đi được: ST = 4nA
+ Số lần vật đi qua x0 là MT= 2n
* Nếu m ≠ 0 thì:
+ Khi t=t1 ta tính x1 = Acos(ωt1 + ϕ)cm và v1 dương hay âm

(khơng tính v1)
+ Khi t=t2 ta tính x2 = Acos(ωt2 + ϕ)cm và v2 dương hay âm
(khơng tính v2)
Sau đó vẽ hình của vật trong phần lẽ

m
chu kỳ rồi dựa vào hình vẽ để tính Slẽ và số
T

lần Mlẽ vật đi qua x0 tương ứng.
Khi đó:
+ Quãng đường vật đi được là: S=ST +Slẽ
+ Số lần vật đi qua x0 là: M=MT+ Mlẽ
 x1 > x0 > x2
ta có hình vẽ:
v1 > 0, v2 > 0

* Ví dụ: 

X
-A x2 x0 O x1
Khi đó + Số lần vật đi qua x0 là Mlẽ= 2n
A
+ Quãng đường đi được:
Slẽ = 2A+(A-x1)+(A- x2 ) =4A-x1- x2
Quãng đường lớn nhất khi vật đi từ M1 đến M2 đối
xứng qua trục sin (hình 1)

S Max = 2A sin

∆ϕ
2

Quãng đường nhỏ nhất khi vật đi từ M1 đến M2 đối xứng qua trục cos (hình 2)
S Min = 2 A(1 − cos

∆ϕ
)
2

M2

M1

M2

P

∆ϕ
2

Lưu ý: + Trong trường hợp ∆ t > T/2
T

Tách ∆t = n 2 + ∆t '

A

-A
P2

O

P

1

x

A

P

-A
O

T

∆ϕ
2

*
trong đó n ∈ N ;0 < ∆t ' < 2

x

M1

T

Trong thời gian n 2 quãng đường
luôn là 2nA
Trong thời gian ∆ t’ thì quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất tính như trên.
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hịa theo phương trình x = 4 cos(2πt + π/3). Tính quãng
đường mà vật đi được trong thời gian 3,75s.
Giải.
Dễ dàng nhận thấy, trong thời gian 1 chu kỳ T vật dao động đi được quãng đường 4A
Chu kỳ dao động của vật:
T = 1s
(bạn đọc tự tính)
Khoảng thời gian 3,75s = 3 chu kỳ T + 0,75s
+ Quãng đường vật đi được trong 3s = quãng đường vật đi trong 3 chu kỳ = 3 ×
4A = 48
+ Quãng đường vật đi được trong 0,75s được xác định theo hình vẽ dưới đây:
BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ

18

CHUYÊN ĐỀ 2 -

DAO ĐỘNG CƠ


- ĐT: 01689.996.187



-

S0,75s = AO + OB + BO + OC = AO + 4 + 4 + OC = 10 + 2 3 cm
trong đó OA = 4. sin 300 = 2 cm và OC = 4 . sin 600 = 2 3 cm
Vậy tổng quãng đường mà vật đi được:
S = 58 + 2 3 cm = 61,6 cm
Các em làm chơi mấy bài tập 21,22,24,23 trong phần trắc nghiệm tổng hợp nhé!
DẠNG 5: BÀI TOÁN THỜI GIAN TRONG DĐ ĐH

Tìm t để:
+vật đi được quãng đường S.
+ vật đi qua ly độ x0, có giá trị vận tốc v0 (theo chiều âm, dương) lần thứ n
PHƯƠNG PHÁP
Phương trình dao động có dạng: x = Acos(ωt + ϕ) cm
Phương trình vận tốc:
v = -Aωsin(ωt + ϕ) cm/s
1) Khi vật đi qua ly độ x0 thì x0= Acos(ωt + ϕ) ⇒ cos(ωt + ϕ) =
⇒ ω t + ϕ = ±b + k 2π ⇒ t =

±b − ϕ

ω

+

k 2π

ω

x0
=cosb
A

s với k ∈ N khi ±b − ϕ >0 và k ∈ N* khi ±b − ϕ <0

Khi có điều kiện của vật thì ta loại bớt một nghiệm t
2) Khi vật đạt vận tốc v0 thì v0 = -Aωsin(ωt + ϕ) ⇒ sin(ωt + ϕ) = −

v0
=cosd
Aω

 d − ϕ k 2π
+
t=


ωt + ϕ = d + k 2π
⇒
⇒
ωt + ϕ = π − d + k 2π


t=


ω

ω

π − d − ϕ k 2π
+

ω
ω

d − ϕ > 0
và k ∈ N* khi
π − d − ϕ > 0

với k ∈ N khi 

d − ϕ < 0

π − d − ϕ < 0

3) Tìm ly độ vật khi vận tốc có giá trị v1:
2

v
v
Ta dùng A = x +  1  ⇒ x = ± A2 −  1 
ω 
ω 
2

2

2

4) Tìm vận tốc khi đi qua ly độ x1:
2

v
Ta dùng A2 = x 2 +  1  ⇒ v = ±ω A2 − x 2 khi vật đi theo chiều dương thì v>0
ω 

BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ

19

CHUYÊN ĐỀ 2 -

DAO ĐỘNG CƠ


- ĐT: 01689.996.187



-

* VÍ DỤ MINH HỌA:
VD 1: Một vật dao động điều hồ với phương trình x = 4cos(4π
πt +
x = 2cm theo chiều dương.
A) 9/8 s
B) 11/8 s

π
6

) cm. Thời điểm thứ 3 vật qua vị trí

C) 5/8 s
D) 1,5 s
HD Giải: Chọn B

π

x = 4cos(4π t + ) = 2

x = 2 
π
π
6
⇒
⇒ 4π t + = − + k 2π
Cách 1: Ta có 
6
3
v > 0
v = −16π sin(4π t + π ) > 0

6
1 k
11
Thời điểm thứ 3 ứng với k = 3 ⇒ t = s
⇒ t = − + k ∈ N*
8 2
8

M1

M0
O

-

A

x

Cách 2: Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hồ và chuyển động
M
trịn đều.
Vật qua x = 2 theo chiều dương là qua M2.
Qua M2 lần thứ 3 ứng với vật quay được 2 vòng (qua 2 lần) và lần cuối cùng đi từ M0 đến
M2.
3π
∆ϕ 11
⇒ t=
= s
2
ω
8

Góc quét ∆ϕ = 2.2π +

π

VD 2: Một vật dao động điều hồ với phương trình x = 4cos(4πt +

6

2009 vật qua vị trí x=2cm.
A)

12049
s
24

B)

12061
s
24

C)

12025
s
24

) cm. Thời điểm thứ

D) Đáp án khác

HD Giải: Chọn A
π π
1 k


 4π t + 6 = 3 + k 2π

t = 24 + 2 k ∈ N
⇒
Cách 1: x = 2 ⇒ 
 4π t + π = − π + k 2π
t = − 1 + k k ∈ N *

8 2

6
3

Vật qua lần thứ 2009 (lẻ) ứng với nghiệm trên k =

M1
M0
-

O

2009 − 1
= 1004 ⇒
2

1
12049
t=
+ 502 =
s
24
24

A

x

M

Cách 2: Vật qua x =2 là qua M1 và M2.Vật quay 1 vòng (1 chu kỳ) qua x = 2 là 2 lần.
Qua lần thứ 2009 thì phải quay 1004 vịng rồi đi từ M0 đến M1.
Góc quét ∆ϕ = 1004.2π +

π

6

⇒t =

∆ϕ

ω

= 502 +

1 12049
=
s
24
24

π

VD3. Một vật dao động điều hoà với phương trình : x = 10.sin(π .t − ) (cm) . Xác định thời
2

điểm vật đi qua vị trí có li độ x = - 5 2 (cm) lần thứ ba theo chiều âm.
Lời Giải
Thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x = - 5 2 (cm) theo chiều âm được xác định theo phương
π

π

2

2

trình sau : x = 10.sin(π .t − ) = −5 2 ⇒ sin(π t − ) = −

BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ

2
π
= sin(− ) . Suy ra
2
4

20

CHUYÊN ĐỀ 2 -

DAO ĐỘNG CƠ