Độ cong (curvature) của đường và mặt cong tham số

BÁO CÁO MÔN HỌC
MÔ HÌNH HÓA HÌNH HỌC
Độ cong (curvature) của đường và mặt cong tham số
Giảng viên hướng dẫn:
TS. Nguyễn Tấn Khôi
Nhóm 3


Nội dung trình bày
1. Khái niệm độ cong
2. Độ cong của đường cong tham số
3. Độ cong của mặt cong tham số
4. Các ứng dụng của độ cong


Khái niệm độ cong
•• Trong hình học, độ cong thể hiện sự lệch hướng tại một điểm trên đường
cong.
• Theo Cauchy, tâm đường cong C tại một điểm là giao điểm của hai pháp
tuyến vô cùng gần nhau, và bán kính cong R là khoảng cách từ điểm đó
đến C. Và độ cong K chính là nghịch đảo của bán kính cong R.
K = 1/R
Gọi ds là độ dài đường cong mà 2 pháp tuyến cách nhau, dlà góc hợp bởi 2
pháp tuyến. Ta có định nghĩa khác về độ cong:
K = d/ds


Độ cong của đường cong tham số

•

• Khái niệm về đường cong
Giả sử X là hàm vectơ một biến liên tục từ đoạn hoặc khoảng I vào n.
Khi ấy tập ảnh C = { X(t) : t I } được gọi là đường cong C trong n.
• Một số phương pháp tính độ cong
•

Trong hệ tọa độ Descartes

•

Trong hệ tọa độ cực

•

•

Đường thẳng

•

Đường tròn

•

Đường parabol

•

Đường elip

Độ cong của một đường cong ghềnh


Trong hệ tọa độ Descartes
• đồ thị được cho dưới dạng hệ phương trình tham số
Nếu
nghĩa:

, từ phần trên ta có định

d là góc hợp bởi 2 pháp tuyến, ta cũng có thể coi nó như góc lệch giữa 2 đường tiếp tuyến. Từ
đó ta có thể định nghĩa là góc tiếp tuyến của đường cong.


Trong hệ tọa độ Descartes
Lấy đạo hàm 2 vế theo t ta được :

Kết hợp các kết quả thu được, ta có:

Nếu đồ thị được cho bởi 1 hàm số y = f(x) thì độ cong được tính như sau:


Trong hệ tọa độ cực
• Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số

• Đường thẳng:

hay

Áp dụng công thức ta có:

Hay công thức:

Vậy độ cong của đường thẳng là 0.

thì độ cong được tính như sau:

sẽ có độ cong được tính như sau:


Trong hệ tọa độ cực
• Đường tròn:

hay

sẽ có độ cong được tính như sau:

Áp dụng công thức, ta có:

Hay công thức:

Vậy độ cong của đường tròn là nghịch đảo bán kính của nó.


Trong hệ tọa độ cực
• Đường parabol

sẽ có độ cong được tính như sau:

Áp dụng công thức, ta có:

Trong hệ tọa độ cực
• Đường elip

sẽ có độ cong được tính như sau:

Áp dụng công thức, ta có:

Với

là tâm sai của elip.


Độ cong của một đường cong ghềnh
• Độ cong của một đường cong ghềnh (trong không gian 3 chiều) có hệ
phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes
theo công thức:

được tính


Độ cong của mặt cong tham số
•• Khái niệm về mặt cong
Giả sử U là một miền liên thông trong mặt phẳng u, v (tức là không tồn tại hai
tập mở rời nhau mà hợp của chúng chứa U đồng thời mỗi tập đều chứa điểm của
U), và là hợp của hữu hạn hoặc vô hạn đếm được miền con đồng phôi với hình
tròn đơn vị; X(u, v) là một ánh xạ liên tục từ U vào 3 sao cho thu hẹp của nó trên
mỗi miền con là một đồng phôi. Khi ấy tập ảnh
S = {X = (x,y,z) 3 : X = X(u, v) , (u, v) U}

được gọi là mặt cong.


Độ cong của mặt cong tham số
• Một số phương pháp tính độ cong
• Độ cong bình thường
• Độ cong trung bình
• Độ cong Gauss
• Độ cong chính


Độ cong bình thường
•• Giả

sử Up là một đơn vị vectơ tiếp tuyến của một bề mặt M 3. Độ cong bình

thường của M theo hướng Up là: K(Up) = S(Up).Up
Tại điểm cong S, giả sử M 3 là một bề mặt, p M, x là một ánh điểm của M với p =
x(u0, v0), và vp = axu (u0, v0) + bxv (u0, v0), vp Mp. Độ cong bình thường theo
hướng vp là:

E, F, G là các hệ số cơ bản ban đầu.
e, f, g là các hệ số cơ bản sau.


Độ cong chính - trung bình - Gauss
•• Các

Max và Min của độ cong bình thường K1 và K2 ở 1 điểm nhất định trên bề mặt

được gọi là độ cong chính.
• Độ cong trung bình H = (K1 + K2)/2
• Độ cong Gauss (tổng độ cong) K = K1.K2
Một điểm p trên bề mặt M 3 được gọi là
1. Điểm Elliptic nếu độ cong Gauss K > 0
2. Điểm Hyperbolic nếu độ cong Gauss K < 0
3. Điểm Parabolic nếu độ cong Gauss K = 0 và S(p) 0
4. Điểm phẳng (planar) nếu độ cong Gauss K = 0 và S(p) = 0
5. Điểm rốn (umbilic) nếu K1 = K2
S(p) là đạo hàm ánh xạ Gauss tại điểm p.


Mối liên hệ giữa các độ cong
• Giữa các độ cong đều có mối liên hệ đến giá trị Max và Min của độ cong bình thường, do
đó ta có thể viết mối liên hệ này bằng phương trình:
K2 – 2H.K + K = 0
Và ta có thể xác định giá trị Max, Min của độ cong bình thường bằng cách
K1 = H +
K2 = H Với H là độ cong trung bình, K là độ cong Gauss.


Các ứng dụng của độ cong


XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN!