Bài tập ôn tập hình học 7 hk2

Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ) . Trên tia đối của tia AC lấy
điểm D sao cho AD = AB . Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = AC
a) Chứng minh : BC = DE
b) Chứng minh : tam giác ABD vuông cân và BD // CE
c) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC tia AH cắt cạnh DE tại M . Từ A kẻ
đường vuông góc CM tại K , đường thẳng này cắt BC tại N . Chứng minh :
NM // AB
AM =

d) Chứng minh :

DE
2

Bài 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A . Vẽ AK vuông góc BC ( K thuộc BC ) .
Trên tia đối của tia KA lấy điểm M sao cho KA = KM
VKAB =VKMB

·
MAB

a) Chứng minh :
và tính số đo
b) Trên tia KB lấy điểm D sao cho KD = KC . Tia MD cắt AB tại N . Chứng
MA ⊥ AB

minh :
c) So sánh MD + DB với AB
Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông tại A và góc
sao cho BD = BA

µ = 30
C

. Trên cạnh BC lấy điểm D

a) Chứng minh : tam giác ABD đều , tính góc DAC

VADE =VCDE

b) Vẽ DE vuông góc AC ( E thuộc AC ) . Chứng minh :
c) Cho AB = 5 cm , tính BC và AC
d) Vẽ AH vuông góc BC ( H thuộc BC ) . Chứng minh : AH + BC > AB + AC
Bài 4 : Cho tam giác ABC cân tại A . Trên tia đối của BC lấy điểm M , trên tia đối
CB lấy điểm N sao cho BM = CN , vẽ BD vuông góc AM tại D , CE vuông góc
AN tại E . Cho biết AB = 10 cm , BH = 6 cm . Tính AH
a) Chứng minh : tam giác AMN cân
b) Chứng minh : DB = CE
c) Gọi K là giao điểm của DB và EC . Chứng minh :
d) Chứng minh : KD + KE < 2KA

VADK =VAEK

Bài 5 : Cho tam giác ABC đều có cạnh 10 cm . Từ A dựng tia Ay vuông góc với
AB cắt BC tại M .
a) Chứng minh : tam giác ACM cân
b) Kẻ AH vuông góc BC ( H thuộc BC ) , lấy điểm I thuộc AH . Biết AB < AM
. Chứng minh : IB < IM
c) Kẻ CN vuông góc AM ( N thuộc AM ) nối HN . Chứng minh : tam giác
AHNN đều

d) Tính độ dài đoạn thẳng HN
Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông tại A , trên nửa mặt phẳng có bờ BE không chứa
·ABC = CBx
·

điểm A . Vẽ Bx sao cho
. Gọi K là giao điểm Bx và AC . Kẻ CH vuông
góc Bx (H thuộc Bx) . Gọi N là giao điểm của CH và AB
a)
b)
c)
d)

VHBC =VABC

Chứng minh :
Chứng minh : BC là đường trung trực AH
Chứng minh : CN = CK
Chứng minh : CK > CA

Bài 7 : Cho tam giác ABC vuông tại A . Đường cao AH . Trên cạnh BC lấy điểm
D sao cho BD = BA
a) Chứng minh :

·
BAD
= ·ADB

b) Chứng minh : AD là phân giác của

·
HAC

DK ⊥ AC

c) Vẽ
. Chứng minh : AK = AH
d) Chứng minh : AB + AC < BC + 2AH
Bài 8 : Cho tam giác ABC vuông tại A . Phân giác BD . Kẻ DE vuông góc BC .
Trên tia đối của AB lấy điểm F sao cho AF = CE .
VABD =VEBD

a) Chứng minh :
b) Chứng minh : BD là đường trung trực AE
c) Chứng minh : AD < DC
d) Chứng minh :

·ADF = EDC
·

và E , D , F thẳng hàng

Bài 9 : Cho tam giác ABC cân tại A . Kẻ
tại H .

BD ⊥ AC

,

CE ⊥ AB

. BD và CE cắt nhau

a) Chứng minh : BD = BE
b) Chứng minh : tam giác BHC cân
c) Chứng minh : AH là trung trực BC
d) Trên tia BD lấy điểm K sao cho D là trung điểm BK . So sánh

·
ECB

Bài 10 : Cho tam giác ABC có AB = 3 cm , AC = 5 cm , BC = 4 cm
a) Chứng minh : tam giác ABC là tam giác vuông
b) Phân giác AD . Từ D vẽ DE vuông AC . Chứng minh : DB = DE
VBDF =VEDC

c) ED cắt AB tại F . Chứng minh :
d) Chứng minh : AB + AC > DE + AC

. Suy ra DF > DE

và

·
DKC


Bài 11 : Cho tam giác ABC vuông tại C . Trên AB lấy điểm D sao cho AD = AB .
Kẻ qua D đường thẳng vuông góc AB cắt BC tại E . AE cắt CD tại I . Chứng minh

:
a)
b)
c)
d)

·
CAB

Chứng minh : AE là phân giác của
Chứng minh : AD là trung trực CD
So sánh CD và BC
M là trung điểm BC , DM cắt BI tại G . CG cắt DB tại K . Chứng minh : K
là trung điểm của DB

Bài 12 : Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi AH là đường cao .
a) Chứng minh :

VABH =VACH
HN ⊥ AC

HE ⊥ AB

b) Vẽ
tại E ,
tại N . Chứng minh : HA là phân giác của
c) Qua B kẻ đường thẳng d // với EH cắt AH tại I . Chứng minh : CI // HN
d) Cho AB = 10 cm , AH = 8 cm . Tính BC

·

EHN

Bài 13 : Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 6 cm , AB = 8 cm
a) Tính BC
b) Tia phân giác của
minh :

µ
B

cắt AC tại D . Từ D vẽ DM vuông góc BC . Chứng

VABD =VMBD

VABI =VMBI

c) Gọi I là trung điểm BD . Chứng minh :
d) Trên tia BD lấy điểm N sao cho D là trung điểm IN . Trên tia CN lấy điểm K
sao cho N là trung điểm CK . KD cắt BC tại F . Chứng minh : F là trung
điểm BC
Bài 14 : Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 9 cm , AC = 12 cm
a) Tính AC
b) Vẽ trung tuyến AM của tam giác ABC , MH vuông góc AC . Trên tia đối
của tia MH lấy điểm K sao cho MK = MH . Chứng minh :
BK ⊥ MH

VMHC =VMKB

Suy ra
c) Trên tia đối của tia MA lấy điểm Q sao cho M là trung điểm của AQ .

Chứng minh : B , K , Q thẳng hàng
d) BH cắt AM tại G . Chứng minh : CG đi qua trung điểm AB
Bài 15 : Cho tam giác ABC cân tại A . Vẽ đường cao AH
a) Chứng minh :

VABH =VAHC

b) Vẽ HE // AB . Chứng minh :

VAHE

HE =

cân và

1
AC
2

.


BD =

1
AB
2

c) Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho
. Gọi I là giao điểm

của DE với BC . Chứng minh : I là trung điểm DE và điểm H là điểm đặc
biệt gì của

VDEC

Bài 16 : Cho tam giác ABC có Â = 120 , kẻ AH vuông góc BC ( H thuộc BC )
VABH =VACH

a) Chứng minh :
b) Kẻ BD vuông góc AC ( D thuộc AC ) . Chứng minh : AD = AH
c) Kéo dài HA cắt BD tại I . Chứng minh :
DH >

d) Chứng minh :

BA ⊥ CI

CD
2

Bài 17 : Cho tam giác ABC vuông tại A . Từ một điểm K bất kì thuộc cạnh BC ,
kẻ KH vuông góc AC ( H thuộc AC ) . Trên tia đối của tia HK lấy điểm I sao cho
HI = HK
a) Tính BC biết AB = 6 cm , AC = 8 cm
b) Chứng minh : AB // HK
c) Chứng minh :
d) Chứng minh :

VAKI

cân

·
BAK
= ·AIK

và

VAIC =VAKC

Bài 18 : Cho tam giác ABC vuông tại A có BI là phân giác . Trên cạnh BC lấy
điểm D sao cho BA = BD
a) Cho AB = 6 cm , AC = 8 cm . Tính BC ?
VBAI =VBDI

b) Chứng minh :
c) Kéo dài DI và BA cắt nhau tại F . Chứng minh : AF = DC
d) Vẽ AK vuông góc BC , AK cắt BI tại O . Chứng minh : tam giác AOI cân
Bài 19 : Cho tam giác ABC vuông tại A có BI là phân giác . Trên cạnh BC lấy
điểm D sao cho BA = BD
a) Cho AB = 6 cm , AC = 8 cm . Tính BC ?
VBAI =VBDI

b) Chứng minh :
c) Kéo dài DI và BA cắt nhau tại F . Chứng minh : AF = DC
d) Gọi H là giao điểm của BI và FC . Chứng minh : DF là phân giác của

·ADH

Bài 20 : Cho tam giác ABC vuông tại A , có AB = 6 cm , AC = 8 cm . Trên AC

lấy điểm M sao cho AB = AM , tia phân giác của
đi qua C và vuông góc với AD tại E cắt AB tại F

·
BAC

cắt BC tại D . Đường thẳng


a) Chứng minh :

VAEF =VAEC
VADB =VADM

và tính BC ?

b) Chứng minh :
c) Chứng minh : tam giác AEF vuông cân
d) Nếu AC = 2AB . Chứng minh : F , D , M thẳng hàng và

BC 2 + AB 2 = 1,5 AC 2

Bài 21 : Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5 cm , BC = 10 cm ,
a) Tính AC
b) Vẽ phân giác BD của tam giác ABC và DE vuông góc BC ( E thuộc BC ) .
Chứng minh :

VABD =VEBD

và

AE ⊥ BD

c) Gọi giao điểm của 2 đường thẳng ED và BA là F . Chứng minh :
d) Chứng minh :

VFBC

cân

1
DA = DC
2

Bài 22 : Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 9 cm , AC = 12 cm
a) Tính BC
b) Vẽ trung tuyến AM của tam giác ABC . Vẽ MH vuông góc AC . Trên tia đối
VMHC =VMKB

của tia MH lấy điểm K sao cho MK = MH . Chứng minh :
.
Suy ra BK // CH
c) BH cắt AM tại G . Chứng minh : G là trọng tâm tam giác ABC . Tính AG
d) Kẻ MI vuông góc AB ( I thuộc AB ) . Chứng minh : I , G , C thẳng hàng
Bài 23 : Cho tam giác ABC vuông tại A ( AC > AB ) có đường cao AH . Biết BC
= 25 cm , AC = 20 cm
a) Tính AB
b) Gọi AM là đường trung tuyến và kẻ CK vuông góc AM . Chứng minh : AH
= CK
VNHK

c) Gọi N là trung điểm của AC . Chứng minh :
cân
d) Đường thẳng CK cắt AH tại E . Chứng minh : E , M , N thẳng hàng
Bài 24 : Cho tam giác ABC cân tại A , 2 đường trung tuyến BE và CF cắt nhau tại
D
a) Chứng minh :

VADE =VADF

VBDC

b) Chứng minh :
cân
c) Chứng minh : BC < 4DE
Bài 25 : Cho tam giác ABC cân tại A , gọi M , N lần lượt là trung điểm AB , AC ;
BN , CN cắt nhau tại G . Chứng minh :
a) Chứng minh : AM = AN


b) Trên tia đối của tia NB , lấy điểm K sao cho NK = NG . Chứng minh :
VANG =VCNK

. Từ đó suy ra AG // CK
c) Chứng minh : BG = GK
d) Chứng minh : BC + AG > 2MN
Bài 26 : Cho tam giác ABC cân tại A , vẽ BH vuông góc AC ( H thuộc AC )
đường thẳng qua H và // với BC cắt AB tại K
a) Chứng minh :
b) Chứng minh :

VAHK

cân

VBKC =VCHB

và

CK ⊥ AB

AI ⊥ BC

c) BH cắt CK tại I . Chứng minh :
d) Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = CH ; KE cắt BC tại M .
Chứng minh : M là trung điểm KE
Bài 27 : Cho tam giác ABC ( AB < AC ) có AD là đường phân giác . Trên cạnh
AC lấy điểm E sao cho AE = AB
VABD =VAED

a) Chứng minh :
b) Tia ED cắt tia AB tại F . Chứng minh : BF = EC
c) Tia AD cắt FC tại M . Chứng minh : AM là đường trung tuyến của tam giác
AFC
d) Chứng minh : DF > DE
Bài 28 : Cho tam giác ABC vuông tại A có BB = 60 . Trên tia BA lấy điểm E sao
cho BE = BC . Tia phân giác BB cắt AC tại I .
a) Chứng minh : tam giác BEC đều
b) Chứng minh : IE = IC
EI ⊥ BC

c) Chứng minh :
d) Chứng minh : IA + IB < BC
Bài 29 : Cho tam giác ABC cân tại A . Kẻ AM vuông góc BC ( M thuộc BC ) .
a) Chứng minh :
b) Chứng minh :

VAMB =VAMC
VAMB

. Tính số đo góc B và C của tam giác ABC

vuông cân tại M

c) Trên MC lấy điểm E bất kỳ ( E không trùng với M và C ) . Kẻ
CK ⊥ AE

. Chứng minh :

d) Chứng minh :

VMHK

BH ⊥ AE

,

VABH =VCAK

vuông cân

Bài 30 : Cho tam giác ABC , các đường phân giác của góc B và C cắt nhau tại D
a) Chứng minh :

VBDC

cân và AD là đường trung trực của BC


b) Gọi H là giao điểm của AD và BC . Cho AB = 13 cm , AH = 12 cm . Tính
BC
c) Gọi M là 1 điểm nằm trong tam giác ABC . Chứng minh : MA + MB < CA
+ CB
Bài 31 : Cho tam giác ABC cân tại A có AB = 13 cm , BC = 10 cm , vẽ AH vuông
góc BC tại H
a) Chứng minh : HB = HC và tính độ dài đoạn thẳng AH
b) Đường trung tuyến BD của tam giác ABC cắt AH tại G . Tính AG và BD
VBGC

c) Chứng minh :
cân
d) Từ B vẽ đường thẳng vuông góc với AB , đường thẳng này cắt đường thẳng
AC tại E . Trên cạnh AE lấy điểm F sao cho EB = EF . Chứng minh :
1
·
CBF
= ·ABE
2

Bài 32 : Cho tam giác ABC vuông tại A , đường trung trực cạnh AB cắt BC tại M

a) Chứng minh :

VMAC
AM =

cân
1
BC
2

b) Chứng minh :
c) D là trung điểm AB ; CD cắt AM tại G . Tính GB biết AB = 6 cm , AC = 8
cm
d) Đường trung trực cạnh BC cắt AC và đường AB tại E và F . Chứng minh :
FB 2 − EB 2 = FM 2 − EM 2

·
xOy
= 90

Bài 33 : Cho góc
. Lấy điểm A thuộc Ox và Oy ( OA < AB ) đường trung
trực của OA và OB cắt nhau tại M
a) So sánh MB và MA
b) Chứng minh : M là trung điểm AB
c) Trên tia đối của tia MO lấy điểm D sao cho MO = MD . Chứng minh :
DA ⊥ DB

d) Kẻ OH vuông góc AB . Chứng minh :

OB 2 − OA2 = HB 2 − HA2

Bài 34 : Cho tam giác MNP cân tại P . Tia phân giác của góc P cắt MN tại I . Qua
I vẽ IE vuông góc PM tại E và IF vuông góc PN tại F
VPIM =VPIN

a) Chứng minh :
b) Chứng minh : IE = IF

c) IE cắt PN tại H , IF cắt PM tại K . Chứng minh :
d) Chứng minh : EF // HK

VPHK

cân


Bài 35 : Cho tam giác ABC vuông tại A , có AB = 3 cm , AC = 4 cm
a) Tính BC
b) M là trung điểm AC . Trên tia đối của tia MB , lấy điểm D sao cho MB =
MD
VABM =VCDM

DC ⊥ AC

c) Chứng minh :
. Từ đó suy ra
d) N là trung điểm CD . BN cắt AC tại H . Tính CH
e) K là trung điểm BC . Chứng minh : K , H , D thẳng hàng
Bài 36 : Cho tam giác ABC cân tại A , đường trung tuyến AH . Biết AB = 10 cm ,

BC = 12 cm
a) Tính AH
b) Vẽ HI vuông góc AB , HK vuông góc AC . Chứng minh : IK // BC
c) Trên tia đối của tia HA lấy điểm D sao cho HD = HA . Vẽ đường phân giác
DM của tam giác HDC . Vẽ MN vuông góc DC . Chứng minh : MH < MC
d) Trên tia DA lấy điểm P sao cho DP = DC , gọi Q là trung điểm của PC .
Chứng minh : D , M , Q thẳng hàng