Hàm rbf và một số ứng dụng trong đồ họa máy tính
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.1 MB, 31 trang )
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT:
IMQ: Inverse Multi Quadric
MQ: Multi Quadric
RBF: Radian Basic Function
DANH MỤC BẢNG
Trần Đức Thụ
HÀM RBF VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
TRONG ĐỒ HỌA MÁY TÍNH
Bảng 1.1: Sai số nội suy hàm Frank với = 3
11
Bảng 2.1 : So sánh phƣơng pháp trực tiếp và phƣơng pháp nhanh
26
Bảng 2.2: So sánh việc khớp hàm RBF và thời gian tính toán trên máy
tính PIII tốc độ 550MHz Ram 512
33
Bảng 2.3: So sánh yêu cầu lƣu trữ của việc nội suy bằng RBF và các
lƣới đƣợc suy ra
36
DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 2.1: Khớp hàm RBF và phục hồi lƣới bằng RBF
Chuyên nghành: Khoa học máy tính
Mã số: 60.48.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. Đặng Quang Á
15
Hình 2.2: Mô tả các điểm ngoài bề mặt
18
Hình 2.3: Khôi phục một bàn tay
18
Hình 2.4: Mặt cắt qua các ngón tay
20
Hình 2.5: Phƣơng pháp điều chỉnh nhanh
25
Hình 2.6: Thuật toán tham lam cho việc khớp RBF
25
Hình 2.7: Rút gọn tâm
28
Hình 2.8: Xấp xỉ dữ liệu LIDAR
31
Hình 2.9: Mức làm trơn
31
Hình 2.10: Gia công đẳng mặt
32
Hình 2.11: Lấp lỗ và ngoại suy bề mặt
34
Hình 2.12: Biểu diễn các đối tƣợng phức tạp
35
Hình 2.13: Khôi phục hành tinh Eros
35
Hình 3.1: Dữ liệu 3D tải vào
40
Thái Nguyên 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Hình 3.2: Lƣới thu đƣợc sau khi đổi trật tự mảng giá trị và các đối số
43
MỤC LỤC
Hình 3.3: Bề mặt đƣa vào
44
MỞ ĐẦU
1
Hình 3.4: Bề mặt với các đƣờng pháp tuyến
45
Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
3
Hình 3.5: Bề mặt với các đƣờng pháp tuyến có đô dài < 0,5mm bị loại
bỏ
46
1.1. Hàm cơ sở bán kính (RBF)
3
Hình 3.6: Bề mặt sau khi khớp không có sự rút gọn tâm
1.1.1. Nội suy dữ liệu rời rạc
3
48
1.1.2. Ma trận và hàm xác định dƣơng
5
Hình 3.7: Bề mặt sau khi khớp có sự rút gọn tâm
49
1.1.3. Hàm cơ sở bán kính
6
Hình 3.8: Tính giá trị bề mặt trên lƣới 3D
50
1.1.4. Hàm xác định dƣơng và đơn điệu hoàn toàn
6
Hình 3.9: Lƣới mới đƣợc sinh ra
51
7
Hình 3.10: Lƣới đa giác đƣợc sinh ra
52
1.1.5. Nội suy với độ chính xác đa thức và hàm xác định dƣơng có điều
kiện
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1.1.6. Ví dụ nội suy bằng RBF
10
1.2. Bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tƣợng 3D
11
Chƣơng 2: NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG HÀM RBF VÀO CÁC
BÀI TOÁN KHÔI PHỤC VÀ BIỂU DIỄN CÁC ĐỐI TƢỢNG 3D
14
2.1. Các bề mặt ẩn
15
2.2. Khớp một hàm ẩn vào bề mặt
16
2.3. Nội suy hàm cơ sở bán kính
23
2.4. Các phƣơng pháp nhanh
26
2.5. Rút gọn tâm
27
2.6. Xấp xỉ dữ liệu nhiễu bằng RBF
29
2.7. Tính toán bề mặt
30
2.8. Các kết quả
32
2.9. Kết luận
37
Chƣơng 3: KHAI THÁC PHẦN MỀM FASTRBF
38
3.1. Phần mềm FastRBF làm gì
38
3.2. Ai có thể sử dụng phần mềm FastRBF
38
3.3. Những lợi ích của phần mềm FastRBF
38
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
MỞ ĐẦU
3.4.Các ứng dụng
39
3.5. Các kết quả đạt đƣợc khi sử dụng phần mềm FastRBF
39
Ngày nay với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin, con ngƣời
3.5.1. Khớp và tính toán dữ liệu 3D
39
đã ứng dụng những thành tựu của nó trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau. Máy
3.5.1.1. Rút gọn tâm RBF
41
tính đã trở thành một công cụ hỗ trợ đắc lực cho con ngƣời trong việc xử lý
3.5.1.2. Tính toán lƣới 3D
42
3.5.2. Khớp dữ liệu bề mặt 3D
dữ liệu một cách nhanh chóng và chính xác.
43
3.5.2.1. Khớp bề mặt vào dữ liệu lƣới
43
3.5.2.2. Gia công đẳng mặt
51
3.6. Kết luận
53
KẾT LUẬN
54
Đồ họa máy tính là một lĩnh vực của khoa học máy tính nghiên cứu các
phƣơng pháp và kỹ thuật biểu diễn và thao tác các dữ liệu số hóa của các vật
thể trong thực tế. Lĩnh vực này đƣợc phát triển dựa trên nền tảng của hình học
họa hình, hình học tính toán, hình học vi phân cùng nhiều kiến thức toán học
của đại số và giải tích, cũng nhƣ các thành tựu của phần cứng máy tính.
Thuật ngữ "đồ họa máy tính" (computer graphics) đƣợc đề xuất bởi một
chuyên gia ngƣời Mỹ tên là William Fetter vào năm 1960. Khi đó ông đang
nghiên cứu xây dựng mô hình buồng lái máy bay cho hãng Boeing. William
Fetter đã dựa trên các hình ảnh 3 chiều của mô hình ngƣời phi công trong
buồng lái để xây dựng nên mô hình buồng lái tối ƣu cho máy bay Boeing.
Đây là phƣơng pháp nghiên cứu rất mới vào thời kỳ đó.
Trong đồ họa máy tính bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tƣợng 3D
là một trong các bài toán cơ bản. Công cụ quan trọng để giải quyết bài toán
này là lý thuyết nội suy hàm số nhiều biến. Để nội suy hàm số từ một tập
điểm đã biết thông thƣờng ngƣời ta sử dụng các hàm ghép trơn (spline) và
các biến dạng của nó. Từ khoảng hai chục năm nay ngƣời ta đã và đang phát
triển một kỹ thuật nội suy mới có độ chính xác cao. Đó là nội suy bởi hàm cơ
sở bán kính (radial basis functions) viết tắt là RBF. Phƣơng pháp nội suy này
đã đƣợc sử dụng trong nhiều lĩnh vực của CNTT nhƣ xử lý tín hiệu, xử lý ảnh
và lý thuyết điều khiển. Một số phần mềm về hàm RBF và các ứng dụng cũng
đã đƣợc phát triển.
Luận văn gồm có ba chƣơng:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
3
Chƣơng 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm RBF. Những tính
chất của hàm RBF đƣợc áp dụng cho bài toán nội suy dữ liệu rời rạc. Đây là
những kiến thức cơ sở rất quan trọng. Tìm hiểu về bài toán khôi phục và biểu
diễn các đối tƣợng 3D.
Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chƣơng này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở về hàm cơ sở
bán kính (RBF), bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tƣợng 3D.
1.1.
Chƣơng 2: Nghiên cứu ứng dụng hàm RBF vào bài toán khôi phục và biểu
diễn các đối tƣợng 3D
Hàm cơ sở bán kính (RBF):
1.1.1 Nội suy dữ liệu rời rạc:
Trong nhiều vấn đề khoa học kỹ thuật cần giải bài toán: Cho tập dữ
Chƣơng 3: Tiến hành khai thác phần mềm FASTRBF.
liệu (gồm các kết quả đo đạc và vị trí thu đƣợc những kết quả đó), yêu cầu
tìm một quy tắc cho phép suy diễn thông tin từ những kết quả đã có. Vì
Em xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn đến thầy giáo PGS.TS. Đặng Quang
vậy ta mong muốn tìm một hàm “đủ tốt” phù hợp với tập dữ liệu đã có. Có
Á đã tận tình hƣớng dẫn em hoàn thành luận văn này. Em cũng xin chân
nhiều cách để quyết định thế nào là tốt và một trong các tiêu chuẩn là
thành cảm ơn các thầy cô giáo, bạn bè, đồng nghiệp, Khoa Công nghệ
muốn hàm xấp xỉ có giá trị chính xác với những kết quả đo đạc đƣợc tại
Thông tin – Đại học Thái Nguyên và Trƣờng Cao đẳng Công nghiệp Việt
những vị trí đã cho – Đáp ứng tiêu chuẩn này gọi là bài toán nội suy. Và
Đức (Thái Nguyên) đã động viên, giúp đỡ em trong quá trình học tập và
nếu những vị trí mà đã cho kết quả đo đạc không nằm trên một lƣới chuẩn
nghiên cứu.
thì tiến trình trên gọi là nội suy dữ liệu rời rạc. Chính xác hơn ta có:
Bài toán 1.1 Cho tập dữ liệu x j , y j , j 1,...,n với x j Rs, y j R. Tìm
Thái Nguyên, ngày 30 tháng 10 năm 2009
TÁC GIẢ
một hàm (liên tục) Pf thỏa mãn:
Pf x j y j , j=1,…,n
(1.1)
Ý tƣởng chung để giải quyết bài toán nội suy là tìm hàm Pf dƣới dạng
tổ hợp tuyến tính của hệ hàm cơ sở Bk nk1 , nghĩa là:
n
Pf x ck Bk x , x Rs
(1.2)
k 1
Từ đó, thay điều kiện (1.1) dẫn đến việc giải hệ phƣơng trình đại số
tuyến tính để xác định các hệ số ck nk1 :
Ac y
(1.3)
Trong đó Ajk Bk x j ; j, k 1,..., n ; c c1 ,..., cn ; y y1 ,..., yn
T
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
T
4
5
Bài toán 1.1 sẽ đƣợc đặt đúng, nghĩa là tồn tại và duy nhất nghiệm, khi
và chỉ khi ma trận A không suy biến.
liệu tƣơng ứng. Phƣơng pháp này đƣợc đề xuất bởi R.L Hardy năm 1971
và đƣợc gọi là phƣơng pháp hàm cở sở bán kính.
Trong trƣờng hợp một chiều, ta luôn xây dựng đƣợc đa thức nội suy
1.1.2 Ma trận và hàm xác định dƣơng:
bậc n – 1 cho n điểm nội suy phân biệt tùy ý. Tuy nhiên khi s ≥ 2, ta có kết
Định nghĩa 1.2 Ma trận giá trị thực, đối xứng A được gọi là nửa xác định
quả phủ định sau:
dương nếu dạng toàn phương tương ứng là không âm:
Định lý 1.1 (Mairhuber-Curtis) Nếu R , s ≥ 2 chứa một điểm trong
s
thì trong không tồn tại không gian Haar các hàm liên tục, trừ trường
hợp không gian một chiều.
Trong đó, không gian Haar đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
Định nghĩa 1.1 Cho không gian hàm tuyến tính hữu hạn chiều B C().
Gọi B1 , B2 ,..., Bn là một cơ sở của B. Khi đó B được gọi là không gian
Haar trên nếu det A 0 với mọi tập các điểm phân biệt x1 , x2 ,..., xn .
Ở đây ma trận A là ma trận được xây dựng bởi Aj ,k Bk x j ; j, k 1,..., n .
Sự tồn tại của không gian Haar đảm bảo tính khả nghịch của ma trận
nội suy, nghĩa là tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán nội suy 1.1. Không
gian các đa thức một biến bậc n 1 chính là không gian Haar n chiều với
tập dữ liệu x j , y j , j 1,..., n , x j R, y j R. Cơ sở chính tắc của không
gian này là B1 1, B2 x, B3 x 2 ,..., Bn x n1.
n
n
c c A
j 1 k 1
j k
jk
0
(1.4)
với c c1 ,..., cn T Rn. Nếu dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi c 0,..., 0T
thì ma trận A được gọi là xác định dương.
Tính chất quan trọng của ma trận xác định dƣơng là nó có tất cả các giá
trị riêng đều dƣơng và không suy biến.
Nếu hệ hàm cơ sở Bk nk1 trong khai triển (1.2) làm cho ma trận nội suy
xác định dƣơng thì bài toán nội suy đƣợc đặt đúng. Hàm xác định dƣơng
đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
Định nghĩa 1.3 Hàm liên tục : Rs R là xác định đương khi và chỉ khi
nó là hàm chẵn và thỏa mãn:
c c x
n
n
j 1 k 1
j k
j
xk 0
(1.5)
với mọi n điểm đôi một khác nhau x1 ,..., xn Rs và c c1 ,..., cn T Rn.
Định lý trên cho thấy, để giải quyết bài toán nội suy dữ liệu rời rạc
trong không gian nhiều chiều chúng ta không thể xây dựng trƣớc tập các
Hàm gọi là xác định dương chặt nếu dấu bằng của (1.5) xảy ra khi
và chỉ khi c 0,..., 0T .
hàm cơ sở không phụ thuộc dữ liệu. Để giải quyết vấn đề không suy biến
Từ định nghĩa 1.3 và tính chất của ma trận xác định dƣơng ta thấy, có
của ma trận A, ta cần một phƣơng pháp khác để xây dựng hàm nội suy.
thể sử dụng các hàm xác định dƣơng chặt Bk x xk làm hệ hàm cơ sở,
Thay vì sử dụng biểu diễn tuyến tính thông qua một hệ hàm cơ sở không
phụ thuộc dữ liệu, ta biểu diễn tuyến tính thông qua một hàm đơn phụ
thuộc dữ liệu đã cho, có tính khoảng cách, đối xứng với tâm nào đó của dữ
và khi đó ta có:
n
Pf x ck x xk
(1.6)
k 1
Ma trận nội suy trở thành:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
Ajk Bk x j x j xk ; j, k 1,..., n
7
(1.7)
Xét hàm (t) = e–t với ≥ 0. Ta có: (– 1)l(l)(t) = ()l e–t > 0. Suy ra
Tuy nhiên giải bài toán nội suy sẽ trở nên khó khăn trong không gian
hàm này là đơn điệu hoàn toàn. Do đó hàm Gaussian (GA) (r)=e– có
nhiều chiều. Do đó, thay vì sử dụng hàm đa biến x (độ phức tạp sẽ tăng
thể sử dụng làm hàm cơ sở bán kính đảm bảo tính xác định dƣơng của ma
lên theo số chiều), chỉ làm việc với hàm một biến cho tất cả số chiều s.
trận nội suy.
r2
Tƣơng tự, hàm (t) = (t + 2) , , > 0 cũng là hàm đơn điệu hoàn
1.1.3 Hàm cơ sở bán kính:
Định nghĩa 1.4 Hàm : Rs R được gọi là hàm bán kính nếu tồn tại hàm
toàn. Hàm cơ sở bán kính (r) = (r2 + 2) , , > 0 đƣợc gọi là hàm
một biến : [0,+) R thỏa mãn:
Inverse Multiquadric (IMQ)
x r
(1.8)
Theo định nghĩa hàm đơn điệu hoàn toàn, ta có (t) ≥ 0, (t) 0, …
Với r x và . là một chuẩn nào đó trong Rs (thường dùng chuẩn
Tuy nhiên nếu có đơn điệu hoàn toàn ( (t) ≥ 0, (t) 0, …) ta vẫn có
Euclidean). Hàm tương ứng gọi là hàm cơ sở bán kính. Ta nói hàm là
thể sử dụng đƣợc hàm đảm bảo ma trận không suy biến.
xác định dương (chặt) khi và chỉ khi hàm là xác định dương (chặt).
Định lý 1.3 Cho C[0,+) là hàm thỏa mãn đơn điệu hoàn
toàn, khác hằng số. Giả sử thêm rằng (0) ≥ 0. Khi đó ma trận nội suy
1.1.4 Hàm xác định dƣơng và đơn điệu hoàn toàn:
Trong phần này trình bày kết quả quan trọng xây dựng một số hàm bán
kính thỏa mãn tính khả nghịch của ma trận nội suy tƣơng ứng, dựa trên
tính chất của hàm đơn điệu hoàn toàn.
không suy biến với (x) = (||x||) = (r2).
Trong trƣờng hợp tổng quát, nếu với giả thiết yếu hơn về tính đơn điệu
hoàn toàn của , nghĩa là (k), k ≥ 1 là hàm đơn điệu hoàn toàn thì cần các
Định nghĩa 1.5 Hàm C R0 được gọi là đơn điệu hoàn toàn khi và
điều kiện nào để sử dụng đƣợc (theo định nghĩa ma trận nội suy tƣơng
chỉ khi 1l l t 0
ứng không suy biến)?. Vấn đề này đã đƣợc Micchelli (1986) nghiên cứu và
(1.9)
đƣa ra những kết quả quan trọng về hàm xác định dƣơng có điều kiện.
với mọi l 0,1,..., với mọi t.
Việc xây dựng hàm bán kính xác định dƣơng thông qua hàm đơn điệu
hoàn toàn dựa vào kết quả sau, đƣợc đƣa ra bởi Schoenberg năm 1938.
1.1.5 Nội suy với độ chính xác đa thức và hàm xác định dƣơng có điều
kiện:
Định lý 1.2 Cho : R+ R là hàm liên tục đơn điệu hoàn toàn. Khi đó
Định nghĩa 1.6 Hàm : Rs R được gọi là xác định dương có điều kiện
với mọi tập điểm hữu hạn phân biệt từng đôi một x1 , x2 ,..., xn Rs, hàm
bậc m nếu
bán kính x r 2 , r x là hàm xác định dương.
n
n
j 1
k 1
cjck(xj – xk) ≥ 0 c Rn thỏa mãn:
Ví dụ 1.1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
n
cjp(xj) = 0, pP
j 1
m 1
s
9
(đa thức thuộc không gian các đa thức s biến có bậc
Để xác định các hệ số a1,a2,a3 sử dụng (1.11), đƣợc thêm ba điều kiện
sau:
m – 1). Nếu đẳng thức chỉ xảy ra với c = 0 thì gọi là xác định dương
chặt có điều kiện.
n
cj = 0
j 1
Điều quan trọng là có thể sử dụng hàm xác định dƣơng có điều kiện bậc
n
m để nội suy nếu ta cộng vào biểu thức (1.6) một đa thức đa biến bậc
j 1
m 1 triệt tiêu trên tập dữ liệu đã cho. Cụ thể, hàm nội suy với độ chính
cjxj = 0
n
cjyj = 0
j 1
xác đa thức đƣợc cho dƣới dạng:
Vậy ta đƣợc hệ n + 3 phƣơng trình n + 3 ẩn. Từ đó có thể tìm đƣợc Pf(x,y).
n
Pf x c j x x j px
j 1
n
c j xj 0, m
j 1
Trong trƣờng hợp tổng quát, bài toán (1.10) sẽ dẫn tới hệ đại số tuyến
(1.10)
8
với các ký hiệu đa chỉ số: N 80 , || =
A
PT
i, và x = x 1 .x 2 ..x s .
i 1
1
2
s
hệ số của p(x) ta sử dụng các điều kiện
j 1
cjx j = 0, || < m
(1.11)
Xây dựng hàm nội suy trong không gian 2 chiều với tập dữ liệu cho
trƣớc {(xj,yj), f(xj,yj)} nj 1 , sử dụng hàm xác định dƣơng có điều kiện bậc 2 ta
đƣợc:
n
A = xk x j nk , j 1 ; P = xj , j = 1, 2, …, n; d là ma trận các hệ số của p(x)
Việc xây dựng cấu trúc cụ thể của các hàm bán kính xác định dƣơng có
Định lý 1.4 Cho là hàm liên tục và thỏa mãn
k
1k d k r , r 0 là hàm
dr
đơn điệu hoàn toàn khác hằng số. Khi đó, hàm (x) = (||x||) = (r2) là hàm
xác định dương chặt bậc k.
cj((x,y) – (xj,yj)) + p(x,y),
(1.12)
j 1
trong đó p(x,y) là đa thức hai biến bậc 1 triệt tiêu tại các điểm nội suy,
p x, y a1 a2 x a3 y
(1.13)
c j xk , yk x j , y j f xk , yk ;
1. Hàm (r) = (– 1) (r + 2), > 0, > 0, N thỏa mãn:
k r 1 1... k 1r 2
k
k = 1, 2, …,n
r 1... 1r
. Vì vậy:
2
là hàm đơn điệu hoàn
toàn. Hơn nữa, với mọi m, m ≥ , (– 1) (r) cũng là hàm đơn điệu
m (m)
j 1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Ví dụ 1.3
1
Cho (1.12) thỏa điều kiện nội suy đƣợc hệ:
n
(1.14)
điều kiện (x) = (r) dựa trên định lý:
Ví dụ 1.2
Pf(x,y) =
P c y
.
=
0 d 0
Trong đó:
Khi thay điều kiện nội suy ta đƣợc hệ phƣơng trình Ac = y. Để xác định
n
tính sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
11
hoàn toàn. Vì vậy, hàm bán kính Multiquadric (MQ) tổng quát
Cho trƣớc tập giá trị zij f xi , y j ; i, j = 1,…,n, trong đó (xi,yj) [0,1]2 là
r 1 r 2
tập điểm nội suy. Để đơn giản, chúng tôi chọn tập điểm nội suy là lƣới đều
2
là xác định dƣơng chặt có điều kiện bậc m, m ≥ .
2. Hàm (r)=(– 1)
/ 2 /2
(k)(r)=(– 1) / 2
trên miền [0,1]2 và tập tâm trùng với tập điểm nội suy.
r , > 0, 2N thỏa mãn:
k
/2
/2
1... k 1r 2 vì vậy (–1) (r) là
22 2
Xây dựng hàm nội suy Pj =
n
ck(||u - uk||). Trong đó uk = (x,y)Tập điểm
j 1
hàm đơn điệu hoàn toàn. Hơn nữa, với mọi m, m ≥ / 2 hàm
tâm, đƣợc chọn là hàm IMQ.
1m m r cũng là hàm đơn điệu hoàn toàn. Vì vậy, hàm Năng lượng
Cho thỏa mãn điều kiện nội suy ta đƣợc hệ n2 phƣơng trình, n2 ẩn. Kết quả
r 1 / 2 r , > 0, 2N là hàm xác định dƣơng chặt có điều kiện
trong một số lƣới đƣợc cho trong bảng 1.1, với các sai số đƣợc định nghĩa
bậc m, m ≥ / 2 .
3. Hàm Thin plates spline (TPS) (r) = (– 1)k+1r2k lnr, k N
Là các hàm xác định dƣơng chặt có điều kiện bậc m ≥ k+1. Thật
vậy: Xét hàm (r) = (– 1)k+1(r)k lnr. Khi đó, đào hàm cấp l, l k của
(r) là: (l)(r) = (–1)k+1k(k – 1)…(k – l +1)rk-l lnr + pl(r), trong đó pl(r)
là đa thức bậc k – l. Vì vậy, đạo hàm cấp k sẽ là: (k)(r) = (–1)k+1k! lnr
k!
( k 1)
k 1
+C, và đạo hàm cấp k + 1 là (r ) (1) r , là hàm đơn điệu hoàn
toàn trên (0, ). Do đó, hàm (r) = (–1)k+1r2k lnr =
1
(r2) là hàm xác
2
định dƣơng chặt có điều kiện bậc m ≥ k + 1.
1.1.6 Ví dụ nội suy bằng hàm RBF:
Cho hàm mẫu Franke nhƣ sau:
( 9 x 1) 2 ( 9 y 1) 2
49
10
1
3
3 (9 x 2) 2 (9 y 2) 2
; f 2 e
f1 e 4
4
4
1
n2
- Sai số tƣơng đối:
P f
n2
j 1
2
f
j
j
1
Pf f
n
- Sai số lớn nhất: max Pf j f j Pf f
j 1,...,n2
2
Bảng 1.1 Sai số nội suy hàm Frank với = 3
Lưới
IMQ
MQ
Sai số tƣơng đối Sai số lớn nhất
Sai số tƣơng đối Sai số lớn nhất
7x7
1.211536e-002
8.600572e-002
1.260168e-002
8.722025e-002
10 x 10
1.685702e-003
1.122684e-002
2.241647e-003
1.548224e-002
13 x 13
4.226489e-004
2.856954e-003
4.470312e-004
2.756763e-003
17 x 17
3.761833e-005
3.703740e-004
4.168475e-005
4.447710e-004
20 x 20
4.346574e-006
7.352464e-005
5.739650e-006
6.316986e-005
1.2.
;
Bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tượng 3D:
Ngày nay, nhờ sự phát triển nhƣ vũ bão của khoa học kỹ thuật – công
2
2
1 4 9 x7 2 9 y 32
1
e
; f 4 e 9 x4 9 y7 ;
2
5
1
f3
nhƣ sau:
nghệ mà loài ngƣời đã có những bƣớc tiến lớn trong nhiều lĩnh vực khác
nhau. Và một trong số đó là vấn đề khôi phục và biểu diễn các đối tƣợng
f f1 f 2 f 3 f 4 ;
3D.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
13
Khôi phục đối tƣợng 3D đã trở thành một nhu cầu cần thiết trong các
lĩnh vực khác nhau nhƣ: Tạo ảnh trong y học, các ứng dụng mỹ thuật, thiết
kế sản phẩm, tạo nguyên mẫu nhanh và trong các phạm vi khác. Việc tạo
mô hình 3D bằng phƣơng pháp thủ công tốn nhiều thời gian và do vậy chi
cuối cùng là khôi phục một ảnh của một đối tƣợng hoặc bản vẽ nét đƣợc
biết tới là mảnh 2 chiều.
Nhƣ vậy có thể thấy rằng bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tƣợng
3D là một bài toán có ý nghĩa rất lớn và quan trọng.
phí sẽ đắt đỏ. Vì lý do đó, các kỹ thuật đã và đang tiếp tục đƣợc nghiên
cứu, các kỹ thuật này cho phép khôi phục tự động các đối tƣợng 3D. Các
kỹ thuật này có thể chia thành 2 phƣơng pháp: phƣơng pháp chủ động và
phƣơng pháp bị động [25]. Nhƣợc điểm của các phƣơng pháp chủ động là
quá trình khôi phục có thể trở thành một công trình ngân sách cao. Vì lý
do đó, cách tiếp cận đƣợc giới thiệu thuộc về các phƣơng pháp bị động, nó
yêu cầu ít thiết bị hơn và có thể áp dụng một cách tổng quát hơn.
Các phƣơng pháp khôi phục các đối tƣợng 3D truyền thống không thực
hiện tốt ở hai hƣớng:
- Thứ nhất: Chúng không thể xử lý các trƣờng hợp có độ phức tạp cao
đƣợc tìm thấy trong tự nhiên (Ví dụ: các bộ phận của con ngƣời hay
các ảnh cực nhỏ của mô).
- Thứ hai: Chúng không đƣa dữ liệu bề mặt vào một định dạng làm cho
gọn và thích hợp để mô phỏng, hiển thị hoặc định vị
Có 5 trƣờng hợp khôi phục các đối tƣợng 3D [26]. Trƣờng hợp đầu tiên
là với các ảnh đƣợc chụp bằng máy ảnh không định cỡ, làm việc với loại
ảnh này có thể khôi phục lại đối tƣợng so sánh với các phép biến đổi ảnh
xạ. Hai là, khôi phục từ các máy ảnh định cỡ làm việc với loại ảnh này có
thể khôi phục lại đối tƣợng so sánh với các phép biến đổi đồng dạng. Ba
là, các thuộc tính đại số của các hàm đa tuyến tính và các lý tƣởng phát
sinh bởi chúng đƣợc nghiên cứu. Trƣờng hợp thứ tƣ sử dụng kỹ thuật khôi
phục Ơ-clít khi một số thông tin của các máy ảnh đƣợc đƣa ra. Trƣờng hợp
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
15
Chƣơng 2: NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG HÀM RBF VÀO BÀI TOÁN KHÔI
PHỤC VÀ BIỂU DIỄN CÁC ĐỐI TƢỢNG 3D
Chúng ta sử dụng hàm cơ sở bán kính đa điều hòa (RBFs) để khôi phục lại
các bề mặt nhẵn, đa tạp từ tập các điểm dữ liệu tập trung và phục hồi các lƣới
điểm không đầy đủ. Một bề mặt của đối tƣợng đƣợc định nghĩa hoàn toàn
giống nhƣ một tập hợp số 0 của một hàm cơ sở bán kính phù hợp với dữ liệu
bề mặt đã cho. Các phƣơng pháp nhanh cho việc khớp dữ liệu và tính giá trị
hàm RBF cho phép chúng ta mô hình các tập hợp dữ liệu lớn, bao gồm hàng
Hình 2.1: (a) Khớp một hàm RBF vào một tập hợp các điểm dữ liệu tập trung
438.000 điểm. (b) Sự phục hồi lƣới tự động sử dụng hàm RBF song điều hòa.
triệu các điểm bề mặt, bằng một hàm RBF đơn trƣớc một bài toán khó giải.
Một thuật toán tham lam trong quá trình khớp dữ liệu làm rút gọn số lƣợng
các tâm RBF yêu cầu để biểu diễn một bề mặt và các kết quả ở dạng nén đáng
2.1.
Các bề mặt ẩn:
Bài toán khôi phục hoặc biểu diễn bề mặt có thể phát biểu nhƣ sau:
kể và hơn nữa là thuận lợi cho tính toán. Đặc trƣng cực tiểu hóa năng lƣợng
Bài toán 2.1. Cho n điểm phân biệt x i , y i , z i in1 trên một bề mặt M trong
của các hàm ghép trơn đa điều hòa dẫn đến nội suy trơn nhất. Đặc trƣng tỷ lệ
không gian R3, tìm một bề mặt M’ là gần đúng hợp lý với M.
điều hòa này là đủ thích hợp để khôi phục các bề mặt từ dữ liệu mẫu không
Phƣơng pháp của chúng ta là mô hình bề mặt ẩn bằng một hàm f ( x, y, z) .
đều. Các lỗ là sự khớp dữ liệu nhẵn và sự ngoại suy nhẵn các bề mặt. Chúng
Nếu một bề mặt M gồm có tất cả các điểm ( x, y, z) thỏa mãn phƣơng trình:
ta sử dụng một phép xấp xỉ không nội suy khi dữ liệu là nhiễu. Sự biểu diễn
f ( x, y, z ) 0 ,
(2.1)
hàm thực ra mà nói là một mô hình đặc, có nghĩa là độ chênh lệch và chuẩn
thì chúng ta nói rằng hàm f xác định không tƣờng minh bề mặt M. Mô tả
bề mặt có thể đƣợc phân tích rõ ràng. Sự hỗ trợ này sinh ra các lƣới đều và
các bề mặt ẩn với rất nhiều loại hàm là một kỹ thuật nổi tiếng [10].
chúng ta thấy rằng sự biểu diễn RBF có các lợi ích cho việc rút gọn lƣới và
Trong hình học kiến thiết vật thể (CSG) một mô hình ẩn đƣợc tạo thành từ
sự áp dụng lại lƣới.
các hàm sơ cấp đơn giản nhờ sự kết hợp của các phép toán Boolean (phép
hợp, phép giao vv..) và các hàm trộn. Các kỹ thuật CSG thích hợp cho việc
thiết kế các đối tƣợng trong CAD hơn là phục hồi các đối tƣợng từ dữ liệu
mẫu. Các mặt đại số bậc thấp từng mẩu, đôi khi đƣợc xem nhƣ là các
miếng vá ẩn hoặc các tập nửa đại số, cũng có thể đƣợc sử dụng để định
nghĩa các bề mặt ẩn.
Chúng ta mong muốn mô hình đƣợc toàn bộ đối tƣợng với một hàm
đơn liên tục và khả vi. Sự mô tả hàm đơn có một số ƣu điểm thông qua các
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
17
bề mặt giới hạn từng mẩu và các miếng vá ẩn. Nó có thể tính toán ở mọi
f ( x i , y i , z i ) 0,
nơi để sinh ra một lƣới đặc biệt, nghĩa là sự biểu diễn một bề mặt đa tạp có
f ( x i , y i , z i ) d i 0,
thể đƣợc tính toán với cách giải mong muốn khi đƣợc yêu cầu. Hiếm khi,
i 1,..., n
i n 1,..., N
(các điểm trên bề mặt),
(các điểm ngoài bề mặt).
Đẳng mặt
các bề mặt mẫu không đều có thể mô tả một cách đơn giản và bài toán
f(x) = 0
tham số hóa bề mặt kết hợp với việc khớp từng mẩu các miếng vá hàm
ghép trơn bậc ba là nên tránh.
f(x) > 0
Carr et al. [11] sử dụng hàm cơ sở bán kính để khôi phục các bề mặt
hộp xƣơng sọ bằng việc nội soi 3D CT. Dữ liệu xung quanh các lỗ lớn
không đều trong hộp sọ đƣợc nội suy sử dụng hàm xác định dƣơng chặt
RBF. Tấm titan đƣợc đúc trong khuôn của bề mặt thích hợp để tạo thành
f(x) < 0
một hộp sọ giả. Tài liệu đó khai thác các đặc điểm nội suy và ngoại suy
của hàm RBF hợp lý nhƣ các đặc tính vật lý cơ bản của hàm xác định
dƣơng chặt. Tuy nhiên, phƣơng pháp chỉ giới hạn mô hình các bề mặt mà
có thể biểu diễn rõ ràng nhƣ một hàm 2 biến. Trong luận văn này chúng tôi
chứng minh đƣợc rằng bằng cách sử dụng các phƣơng pháp nhanh, hàm
RBF có thể khớp các tập dữ liệu 3D gồm có hàng triệu điểm không có các
giới hạn trên cấu trúc liên kết bề mặt – loại tập dữ liệu cơ bản của các ứng
dụng công nghiệp.
Điều này vẫn mang đến một bài toán tạo ra các điểm ngoài bề mặt
( x , y , z
i
N
i i 1
và giá trị di tƣơng ứng.
Một sự lựa chọn hiển nhiên cho hàm f là một hàm khoảng cách điểm,
với giá trị di đƣợc chọn là khoảng cách tới điểm gần nhất trên bề mặt. Các
điểm bên ngoài đối tƣợng đƣợc gán các giá trị dƣơng, trong khi các điểm
bên trong đƣợc gán giá trị âm. Theo Turk &O‟Brien những điểm ngoài bề
2.2.
Khớp một hàm ẩn vào một bề mặt
mặt đƣợc sinh ra bởi phần nhô ra dọc theo các đƣờng pháp tuyến bề mặt.
Ta muốn tìm một hàm f mà xác định không tƣờng minh một bề mặt M’
và thỏa mãn phƣơng trình
f ( x i , y i , z i ) 0,
Các điểm ngoài bề mặt có thể đƣợc gán với mỗi mặt của bề mặt nhƣ đƣợc
minh họa trong hình 2.2.
i 1,..., n,
với ( x , y i , z i in1 là các điểm nằm trên bề mặt. Để tránh trƣờng hợp nghiệm
tầm thƣờng mà f là 0 ở mọi nơi, các điểm ngoài bề mặt đƣợc bổ sung vào
dữ liệu vào và chúng đƣa ra các giá trị khác 0. Việc này mang đến một vấn
đề nội suy hữu ích hơn: Tìm hàm f nhƣ sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
19
quyết: xác định các đƣờng pháp tuyến bề mặt và định rõ khoảng cách hình
Các điểm pháp tuyển ngoài bề mặt
chiếu thích hợp.
Nếu ta có một lƣới không hoàn toàn, thì rất đơn giản để định nghĩa các
điểm ngoài bề mặt từ đó các đƣờng tiếp tuyến đƣợc bao hàm bởi sự liên
kết lƣới tại mỗi đỉnh. Trong trƣờng hợp điểm dữ liệu tập trung không có
trật tự, các đƣờng tiếp tuyến có thể đƣợc tính toán từ một vùng lân cận của
các điểm. Việc này cầu xác định cả phƣơng pháp tuyến và định rõ hƣớng
Các điểm trên bề mặt
Hình 2.2: Một hàm khoảng cách điểm đƣợc xây dựng từ dữ liệu bề mặt bằng
việc định rõ các điểm ngoài bề mặt dọc theo các đƣờng pháp tuyến bề mặt.
của pháp tuyến. Chúng ta xấp xỉ cục bộ điểm dữ liệu tập trung với một mặt
phẳng để tính toán phƣơng pháp tuyến và sử dụng tính tƣơng thích và/hoặc
Những điểm này có thể đƣợc định rõ ở mỗi phía của bề mặt hoặc không ở
thông tin bổ sung nhƣ vị trí máy quét để quyết định hƣớng của pháp tuyến.
phía nào cả.
Thông thƣờng, rất khó để dự đoán chắc chắn các pháp tuyến ở khắp nơi.
Tuy nhiên, không giống nhƣ các phƣơng pháp khác mà cũng dựa trên việc
tạo thành một hàm khoảng cách điểm, nó không quyết định để dự đoán các
đƣờng pháp tuyến ở mọi nơi. Nếu phƣơng pháp tuyến hoặc hƣớng là
không xác định tại một điểm đặc biệt thì chúng ta không đặt một pháp
tuyến tại điểm đó. Thay vào đó, chúng ta cho phép thực tế điểm dữ liệu là
Hình 2.3. Sự khôi phục của một bàn tay từ đám điểm có và không thông qua
các độ dài pháp tuyến
một điểm 0 (nằm trên bề mặt) ràng buộc vào hàm trong vùng đó.
Đƣa ra một tập hợp các pháp tuyến bề mặt, phải thận trọng khi đƣa ra
các điểm ngoài bề mặt dọc theo các pháp tuyến để đảm bảo rằng chúng
Kinh nghiệm cho thấy rằng tốt hơn hết là bổ sung tại một điểm dữ liệu
không cắt các phần khác của bề mặt. Điểm chiếu là đƣợc vẽ ra do đó điểm
hai điểm ngoài bề mặt, mỗi điểm nằm trên một phía của bề mặt. Trong
bề mặt gần nhất là điểm bề mặt sinh ra nó. Miễn là điều kiện ràng buộc
hình 2.3 các điểm bề mặt nhận đƣợc từ việc quét laser của một bàn tay
này thỏa mãn, bề mặt đƣợc xây dựng lại là tƣơng đối không nhạy với
đƣợc biểu thị bằng màu xanh. Các điểm ngoài bề mặt đƣợc mã hóa màu
khoảng cách hình chiếu. Hình 2.3(c) minh họa cho tác động của các điểm
theo khoảng cách của chúng xuất phát từ điểm đƣợc liên kết trên bề mặt
ngoài bề mặt nhô ra các khoảng không thích hợp dọc theo các đƣờng pháp
của chúng. Màu nóng (màu đỏ) mô tả các điểm dƣơng nằm ở bên ngoài bề
tuyến. Các điểm ngoài bề mặt đã lựa chọn nằm cách một khoảng cố định
mặt trong khi màu lạnh (xanh) nằm ở bên trong. Có hai bài toán cần giải
tính từ bề mặt. Bề mặt kết quả, với f bằng 0 bị biến dạng trong vùng lân
cận của các ngón tay ở chỗ mà các véc tơ pháp tuyến đối lập đã cắt nhau
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
21
và đã sinh ra các điểm ngoài bề mặt với giá trị khoảng cách tới bề mặt
2.3.
Nội suy hàm cơ sở bán kính
không đúng, cả về điểm và độ lớn. Trong hình 2.3(a) và (b) giá trị của các
Cho một tập các điểm bề mặt có giá trị bằng 0 và các điểm ngoài bề
khoảng cách ngoài bề mặt và hình chiếu động đã đảm bảo rằng các điểm
mặt khác 0 bây giờ chúng ta có một bài toán nội suy dữ liệu tán xạ: chúng
ngoài bề mặt sinh ra một miền khoảng cách nhất quán với dữ liệu bề mặt.
ta muốn xấp xỉ hàm khoảng cách điểm f(x) bằng một hàm nội suy s(x). Bài
Hình 2.4 là một mặt cắt qua các ngón tay của bàn tay. Hình ảnh minh họa
toán có thể đƣợc phát biểu nhƣ sau:
cách hàm RBF xấp xỉ một hàm khoảng cách gần giống bề mặt của đối
Bài toán 2.2. Cho một tập hợp các nút riêng biệt X xi iN1 R3 và một tập
tƣợng. Các đẳng đƣờng tại +1, 0 và -1 ở phần trên của hình và hình dáng
hợp các giá trị hàm f i iN1 R, tìm một hàm nội suy: R3 → R nhƣ sau:
hàm tƣơng ứng bên dƣới, minh họa việc làm thế nào các điểm ngoài bề
mặt sinh ra một hàm với một đại lƣợng chênh lệch gần bằng 1 gần bề mặt.
s( xi ) f i ,
i 1,..., N .
(2.2)
Chú ý rằng chúng ta sử dụng ký hiệu X ( x, y, z) cho các điểm x R3.
Hàm nội suy sẽ lựa chọn từ BL(2) (R3), không gian Beppo-Levi các hàm
suy rộng trên R3 với bình phƣơng đạo hàm cấp hai khả tích. Không gian
này là đủ lớn để có nhiều lời giải cho bài toán 2.2 và vì vậy chúng ta có thể
định nghĩa không gian affin của các phép nội suy:
S = {s BL(2) (R3) : s(xi) = fi,
(2)
Không gian BL
i = 1,…,N}
(2.3)
3
(R ) đƣợc trang bị bởi nửa chuẩn bất biến xoay định
nghĩa bởi
2
s
2
2
Hình 2.4: Mặt cắt qua các ngón tay của một bàn tay đƣợc khôi phục từ tập điểm
2
2
2 s ( x) 2 s ( x) 2 s ( x)
2 s ( x)
2
2
2
2
x
y
z
3
xy
R
2
(2.4)
2
2 s ( x)
2 s ( x)
2
dx.
2
xz
yz
tập trung trong hình 2.3. Đẳng đƣờng tƣơng ứng với +1, 0 và -1 đƣợc hiển thị
Nửa chuẩn này là một độ đo của năng lƣợng hoặc “độ nhẵn” của các
(trên đỉnh) cùng với một mặt cắt nghiêng của hàm cơ cở bán kính (bên dƣới) dọc
hàm: các hàm với nửa chuẩn nhỏ là nhẵn hơn so với các hàm có nửa chuẩn
theo đƣờng thẳng xuất hiện.
lớn. Duchon [13] chứng tỏ rằng nội suy trơn nhất, nghĩa là:
s * arg min s ,
sS
có dạng đơn giản
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
23
N
s * ( x) p ( x) i x x i ,
(2.5)
Các điều kiện bổ sung này cùng với các điều kiện nội suy của phƣơng
trình (2.2) dẫn đến một hệ tuyến tính để tìm ra các hệ số định rõ hàm RBF.
i 1
Với p là một đa thức tuyến tính, các hệ số i là các số thực và | . | là quy tắc
Cho {p1,…,pl} là một cơ sở các đa thực bậc cao nhất là m và cho
c c1 ,..., cl là các hệ số tạo lên p trong cơ sở này. Thì phƣơng trình (2.2)
Ơ cơ lít trên R3
Hàm này là một ví dụ đặc biệt của hàm RBF. Thông thƣờng, một hàm
RBF có dạng:
N
s ( x) p ( x) i x x i ,
(2.6)
i 1
và (2.7) có thể viết dƣới dạng ma trận nhƣ sau:
A
T
P
P
f
B ,
0 c
c 0
(2.8)
với
với p là một đa thức bậc thấp và hàm cơ sở là một hàm giá trị thực trong
khoảng [0, ), thƣờng không bị chặn và chứng minh không chặt. Trong
tình huống này các điểm xi đƣợc xem nhƣ là các tâm của RBF.
AiJ ( xi x j ),
PiJ Pj ( xi ),
i, j 1,..., N ,
i 1,..., N , j
1,..., l.
Trong trƣờng hợp cụ thể của hàm ghép trơn song điều hòa trong không
Các lựa chọn phổ biến cho hàm cơ sở bao gồm hàm xác định dƣơng
chặt (r ) r 2 log(r ) (cho việc khớp các hàm trơn hai biến), hàm Gauss
(r ) exp(cr ) (chủ yếu cho các mạng thần kinh), và hàm đa bậc hai
2
(r ) r 2 c 2 (cho nhiều ứng dụng, trong việc khớp đặc biệt với dữ liệu
định vị). Với các hàm khớp dữ liệu 3 biến, lựa chọn tốt bao gồm hàm ghép
trơn song điều hòa ( (r ) r , tức là, phƣơng trình (2.5)) và tam điều hòa
( (r ) r 3 ).
gian 3D, nếu giả thiết rằng phần đa thức của hàm RBF trong phƣơng trình
(2.5) có dạng p( x) c1 c 2 x c3 y c 4 z , thì
Aij xi x j ,
i, j 1,..., N ,
P là ma trận với dòng thứ i (1, xi , yi , z i ),
(1 ,..., N ) T
và
c (c1 , c 2 , c3 , c 4 ) .
T
Giải hệ tuyến tính (2.8) xác định đƣợc và c, và từ đó xác định s(x).
Tuy nhiên, ma trận B trong phƣơng trình (2.8) có các điều kiện không
Một lựa chọn tùy ý các hệ số i trong phƣơng trình (2.5) sẽ sinh ra một
*
(2)
3
(2)
3
đáng kể nhƣ số lƣợng các điểm dữ liệu N nhận đƣợc lớn hơn. Những điều
hàm s không thuộc BL (R ). Điều kiện s BL (R ) kéo theo tính trực
này có nghĩa là những lỗi chính yếu nhất sẽ dễ dàng đƣa vào lời giải chuẩn
giao hay các điều kiện bổ sung
nào.
N
N
N
N
x y z
i 1
i
i 1
i
i
i 1
i
i
i 1
i
i
*
Thoạt nhìn, bản chất địa phƣơng cơ bản của hàm Gauss, hàm đa bình
0
Thông thƣờng hơn, nếu đa thức trong phƣơng trình (2.6) là bậc m thì
đến các đặc tính mong muốn trong hàm RBF. Ví dụ ma trận B có cấu trúc
điều kiện bổ sung đặt lên các hệ số là:
N
q( x ) 0 , cho tất cả các đa thức q bậc cao nhất của m.
i 1
i
i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
phƣơng ngƣợc ( (r ) (r 2 c 2 ) 2 ) và các hàm cơ sở tựa chặt dƣờng nhƣ dẫn
(2.7)
đặc biệt (rải rác) có thể khai thác bởi các phƣơng pháp nổi tiếng và sự tính
toán của phƣơng trình (2.6) chỉ yêu cầu phép tổng qua các tâm xung quanh
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
24
25
thay cho tất cả các tâm N. Tuy nhiên, các hàm cơ sở tựa không chặt là phù
hợp hơn với phép ngoại suy và phép nội suy không đều, dữ liệu lấy mẫu
không cùng kiểu. Thật vậy, các thử nghiệm số sử dụng hàm Gauss và các
đa thức từng mẩu tựa chặt cho việc khớp các bề mặt vào các điểm tập
trung đã cho thấy rằng những hàm cơ sở này sinh ra các bề mặt với nhiều
thành phần lạ không mong muốn tại phần thêm vào chỗ thiếu của phép
ngoại suy ngang qua các lỗ.
Độ chính xác điều chỉnh
Các thuộc tính tối giản năng lƣợng của hàm ghép trơn song điều hòa
giúp chúng rất phù hợp để biểu diễn các đối tƣợng 3D. Từ đó hàm cơ sở
tƣơng ứng (r ) r không tựa chặt và trở lên lớn tùy ý khi r dần tới vô cực,
+ các nút nội suy
. các điểm tính toán đƣa ra
Lƣu trữ tam giác dƣới của ma trận B đòi hỏi khoảng trống cho
N 3 ( N 1)
2
khớp bằng RBF
…… bề mặt đƣa ra
ma trận tƣơng ứng B của phƣơng trình (2.8) không bị thƣa và trừ cấu trúc
cân đối, không có cấu trúc rõ ràng nào có thể khai thác trong việc giải hệ.
- - - - độ chính xác tính toán
Hình 2.5 : Hình minh họa của phƣơng pháp điều chỉnh nhanh và các giá trị
tính toán
số thực. Cách giải quyết thông qua một giải pháp đối xứng sẽ đòi hỏi
N3
chỗ lƣu trữ. Đối với một bài toán với 20.000 điểm dữ liệu đây là
6 O( N 2 )
một yêu cầu với xấp xỉ 1.6 109 bytes (1.5GB) bộ nhớ lõi là không thực tế.
Hơn nữa, điều kiện không đúng của ma trận B có thể tạo ra bất kỳ kết quả
nào một trong số đó lấy từ một phép tính trực tiếp không đáng tin cậy lắm.
Nhƣ vậy, rõ ràng các phƣơng pháp trực tiếp không thích hợp cho các bài
toán với N 2,000 . Hơn nữa, một phép tính đơn trực tiếp của phƣơng trình
(2.6) cần đến các phép tính O(N). Các hệ số này đã dẫn đến nhiều tác giả
Hình 2.6 : Một thuật toán tham lam lặp lại việc khớp một hàm RBF vào một tập
điểm tập trung dẫn đến các tâm ít hơn trong hàm cuối cùng. Trong trƣờng hợp
kết luận rằng, cho dù hàm cơ sở bán kính thƣờng là phép nội suy đƣợc lựa
này 544.000 điểm tập trung đƣợc biểu diễn bởi 80.000 tâm tới một độ chính xác
chọn, chúng chỉ phù hợp cho những bài toán với nhiều nhất vài ngàn điểm
tƣơng đối 5x10-4 trong hình ảnh cuối cùng.
[14,15].
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
26
27
Bảng 2.1 : So sánh phƣơng pháp trực tiếp và phƣơng pháp nhanh
phần đó của hàm RBF nhờ các tâm trong một đám đặc biệt. Một cách sử
Khớp dữ liệu
Phƣơng pháp trực tiếp
Phƣơng pháp nhanh
dụng đúng đắn phép tính xấp xỉ cho các đám cách xa từ một điểm tính toán
Đòi hỏi bộ nhớ
N ( N 1)
2
O(N)
cho phép hàm RBF có thể tính toán độ chính xác định trƣớc và phép tính
N3
O( N 2 )
6
O(NlogN)
Khối lƣợng tính toán giải hệ
trực tiếp cho các đám ở gần tới một điểm tính toán cho phép hàm RBF tính
gian tính toán so với tính toán trực tiếp.
Tính giá trị
Khối lƣợng tính toán
toán tới bất kỳ độ chính xác biết trƣớc nào và với sự giảm đáng kể thời
O(1)
O(N)
O(NlogN)
Các phƣơng pháp tính toán nhanh này, khi sử dụng cùng với các
phƣơng pháp khớp dữ liệu đặc biệt cho hàm RBF [3,7], làm giảm rất nhiều
dung lƣợng lƣu trữ và chi phí tính toán cho việc sử dụng hàm RBF. Chúng
2.4.
Các phương pháp nhanh:
giảm chi phí tính toán hàm s(x) với M điểm từ O(MN) tới O(M+NlogN)
Sự tính toán nhanh của hàm RBF đƣợc thực hiện thông qua phƣơng
phép tính. Chi phí của việc tính toán đồng thời độ chênh lệch s(x) với
pháp đa cực nhanh (FMM) của Greengard & Rokhlin [27]. Phƣơng pháp
hàm s(x) là xấp xỉ bằng hai lần việc tính toán riêng hàm s(x). Bảng 2.1 tóm
FMM đƣợc thiết kế cho các khả năng tính toán nhanh (hàm RBF điều hòa)
tắt các lợi ích của các phƣơng pháp nhanh so với các phƣơng pháp trực
trong không gian 2 và 3 chiều. Tuy nhiên Beatson et al. [8] đã sửa lại phần
tiếp.
lý thuyết mở rộng và tịnh tiến cho khả năng hàm RBF đa điều hòa bậc cao
Hình 2.5 minh họa hai tham số đƣợc giới thiệu bởi các phƣơng pháp
hơn. Chú ý rằng hàm RBF đa điều hòa bao gồm các hàm ghép trơn điều
nhanh: độ chính xác khớp dữ liệu và độ chính xác tính toán. Độ chính xác
hòa của phƣơng trình (2.5). Phƣơng pháp FMM cũng có thể sử dụng với
khớp dữ liệu chỉ rõ độ lệch cho phép tối đa của giá trị khớp RBF từ giá trị
hàm ghép trơn đa điều hòa trong không gian 2 và 3 chiều.
đã đƣợc ghi rõ tại các nút nội suy. Nếu muốn, một độ chính xác khớp dữ
Sự mô tả đầy đủ về phƣơng pháp FMM là vƣợt qua phạm vi của luận
liệu khác có thể đƣợc ghi rõ ở mỗi điểm dữ liệu, nhƣ đƣợc minh họa bằng
văn này. Tuy nhiên, chúng ta đƣa ra những nét chính ngắn gọn của phƣơng
các dải sai số khác nhau trong hình 2.5. Độ chính xác tính toán chỉ rõ sự
pháp này.
chính xác với những gì mà hàm khớp dữ liệu RBF sau đó đƣợc tính toán.
Phƣơng pháp FMM dùng thực tế đơn giản là khi quá trình tính toán
đƣợc thực hiện, độ chính xác vô hạn không là yêu cầu mà cũng không là
2.5.
Rút gọn tâm RBF
sự kỳ vọng. Đôi khi điều này là đúng, việc dùng phép xấp xỉ là đƣợc phép.
Nhƣ quy ƣớc, một phép xấp xỉ sử dụng cho tất cả các điểm dữ liệu vào
Với sự tính toán một hàm RBF, phép xấp xỉ một lựa chọn là sự mở rộng
(của biến xi‟ trong phƣơng trình (2.2)) nhƣ các nút của phép nội suy và
phạm vi xa và gần. Với các tâm gộp lại trong một phƣơng pháp phân cấp,
nhƣ là các tâm của hàm RBF. Tuy nhiên, dữ liệu vào cùng loại có thể xấp
sự mở rộng phạm vi xa và gần đƣợc sử dụng để sinh ra một phép xấp xỉ tới
xỉ tới độ chính xác mong muốn sử dụng các tâm ít hơn đáng kể, nhƣ đƣợc
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
28
29
minh họa trong hình 2.7. Một thuật toán tham lam có thể vì thế mà đƣợc
toán nhanh hơn, không bị mất mát độ chính xác. Hình 2.6 minh họa quá
sử dụng để khớp lại một hàm RBF trong phạm vi độ chính xác khớp dữ
trình khớp dữ liệu với sự rút gọn tâm. Giống nhƣ nhiều tâm bổ sung vào
liệu mong muốn.
hàm RBF, bề mặt số 0 xấp xỉ gần hơn tập hợp toàn vẹn các điểm dữ liệu.
Trong trƣờng hợp này, sự quét laser của một tƣợng phật bao gồm 544.000
điểm đã đƣợc xấp xỉ bằng một hàm RBF với 80.000 tâm tới một độ chính
xác tƣơng đối 1.4 x 10-4 (đạt đƣợc tại tất cả các điểm dữ liệu).
Thuật toán tham lam thƣờng dẫn đến một lƣới với thời gian khớp dữ
liệu nhanh hơn, thậm chí là với sự rút gọn vừa phải số lƣợng tâm. Điều này
là do các khả năng khớp dữ liệu với việc giải và tính toán một hệ tƣơng tự
tại mỗi lần lặp và sự thật là quá trình lặp ban đầu bao gồm việc giải các bài
Tập con rút gọn của các
tâm RBF
Các tâm RBF
Hình 2.7: Minh họa sự rút gọn tâm.
toán nhỏ hơn nhiều.
2.6.
Một thuật toán tham lam đơn giản gồm những bƣớc sau :
1. Chọn một tập con từ các nút nội suy xi và khớp chỉ một hàm RBF cho
Xấp xỉ dữ liệu nhiễu bằng RBF:
Trong phần 2.3 chúng ta tìm kiếm một phép nội suy mà tối giản một
bƣớc của việc làm trơn. Tuy nhiên, nếu có nhiễu trong dữ liệu, các điều
kiện nội suy của phƣơng trình (2.2) là quá chặt chẽ và chúng ta sẽ thích
những nút này.
2. Tính toán phần dƣ, i f i s ( xi ) , tại tất cả các nút.
đánh giá hơn tập là trung vào việc tìm một hàm làm trơn, với độ trơn đƣợc
3. Nếu max i < độ chính xác khớp dữ liệu thì dừng lại.
đo bởi phƣơng trình (2.4). Nhƣ vậy, coi bài toán
min
4. Còn không thì thêm các tâm mới với i lớn.
5. Khớp lại hàm RBf và quay lên bƣớc 2.
s
2
s BL (R )
( 2)
3
1 N
(s( xi ) fi )2 ,
N i 1
(2.9)
với 0 và . là đƣợc xác định trong phƣơng trình (2.4). Tham số làm
Nếu một độ chính xác khác i đƣợc ghi rõ tại mỗi điểm thì điều kiện
tại bƣớc 3 có thể đƣợc thay bằng i < i .
cân bằng độ mƣợt dựa vào độ chính xác tới dữ liệu. Nó có thể cho thấy
rằng lời giải s* cho bài toán này cũng có dạng của phƣơng trình (2.5)
Việc rút gọn tâm không cần thiết khi sử dụng các phƣơng pháp nhanh
đƣợc mô tả trong phần 2.4. Ví dụ, không có sự rút gọn nào đƣợc sử dụng
khi khớp dữ liệu cho ví dụ LIDAR của hình 2.8. Tuy nhiên, rút gọn số
nhƣng lúc này hệ số véc tơ (T , c T ) T là lời giải tới
A 8 Nl
PT
P f
,
0 c 0
(2.10)
lƣợng các tâm RBF dẫn đến các yêu cầu bộ nhớ nhỏ hơn và thời gian tính
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
30
31
với ma trận A và P giống nhƣ trong phƣơng trình (2.8). Tham số có thể
coi nhƣ là độ cứng của hàm RBF s(x). Hệ (2.10) cũng có thể giải quyết
bằng việc sử dụng phƣơng pháp nhanh.
2.7.
Tính toán bề mặt
Một hàm RBF khớp một tập dữ liệu bề mặt tạo thành một mô hình vật
thể của một đối tƣợng. Bề mặt của các đối tƣợng là nơi các điểm với hàm
RBF bằng 0. Bề mặt này có thể hiển thị trực tiếp bằng việc sử dụng một
mũi vạch tia ẩn [11] hoặc một biểu diễn trung gian rõ ràng, nhƣ là một lƣới
của đa giác, có thể tách ra đƣợc.
Một hệ thống tối ƣu lƣới đƣợc đƣa vào dẫn đến ít tam giác hơn với các
(a)
(b)
(c)
Hình 2.8 : Xấp xỉ RBF của dữ liệu LIDAR. (a) 350.000 điểm tập trung, (b) Bề
mặt làm trơn RBF xấp xỉ dữ liệu tập trung gốc
khuôn dạng tốt hơn, tức là các tam giác mỏng và dài đƣợc ngăn ngừa. Một
lƣới tiêu biểu đƣa ra từ thuật toán này đƣợc minh họa trong hình 2.10(b).
Các mặt sóng của các mặt trải ra từ các điểm hạt băng qua bề mặt cho đến
khi chúng gặp nhau hoặc cắt hộp giới hạn. Rõ ràng, một mặt sóng từ một
hạt đơn lẻ hiện ra màu đỏ trong hình 2.10(a) lan rộng trên bề mặt bức
tƣợng phật trong quá trình tạo bề mặt đồng nhất. Bề mặt kế tiếp đƣợc bắt
đầu từ các điểm hạt đúng với các tâm hàm RBF. Ý đồ là nhiều tâm sẽ nằm
(a)
(c)
(b)
trên bề mặt hoặc rất gần bề mặt. Trong trƣờng hợp các tâm ngoài bề mặt,
Hình 2.9 : (a) khớp chính xác, (b) số lƣợng trung bình của việc áp dụng làm trơn
độ chênh lệch RBF dùng để tìm chỗ giao 0 gần nhất. Sự hội tụ là nhanh
(hàm RBF xấp xỉ tại các điểm dữ liệu), (c) sự làm trơn tăng lên
chóng vì độ chênh lệch là hằng số xấp xỉ gần bề mặt.
Trong bất kỳ trƣờng hợp nào, chỉ một tập con nhỏ của các tâm là đƣợc
yêu cầu để khởi đầu bề mặt, một tâm cho mỗi phần bề mặt phân biệt.
Chiến lƣợc bề mặt tiếp theo ngăn ngừa các yêu cầu thông thƣờng cho một
mảng 3 chiều của các điểm mẫu và vì thế giảm thiểu số lƣợng tính toán
RBF. Do đó, đòi hỏi tính toán tăng lên với bình phƣơng độ chính xác, hơn
là lũy thừa ba, nhƣ nó muốn nếu một số lƣợng đầy đủ là đƣợc làm mẫu.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
32
33
Chi phí bộ nhớ cũng giảm thiểu bởi nó chỉ cần để giữ lại đỉnh lấy mẫu kết
Bảng 2.2 : So sánh việc khớp hàm RBF và thời gian tính toán trên máy tính PIII
hợp với các mặt sóng cải tiến. Các lƣới tứ giác cũng có thể đƣợc sinh ra
tốc độ 550MHz Ram 512 MB
trong cách này. Sự nhập nhằng bề mặt có thể đƣợc giải quyết lại dễ dàng
vì khả năng tính toán theo phép phân tích độ chênh lệch của hàm RBF.
2.8.
Các kết quả :
Bảng 2.2 xác định lƣợng thời gian khớp dữ liệu và tính toán cho các
hình đƣợc đƣa ra trong luận văn này. Trong tất cả các trƣờng hợp hàm
ghép trơn song điều hòa đã khớp dữ liệu. Hai điểm ngoài bề mặt đƣợc sinh
ra cho mọi điểm thứ hai trong dữ liệu bề mặt gốc, do đó số lƣợng các nút
nội suy tới cái mà một hàm RBF đƣợc khớp là xấp xỉ hai lần số lƣợng các
điểm bề mặt. Sự rút gọn tâm đƣợc sử dụng ở khắp nơi, trừ trong mẫu
LIDAR nơi mà số lƣợng các tâm hàm RBF xấp xỉ bằng số lƣợng nút nội
suy. Hình 2.1(a), 2.3, 2.6, 2.12, 2.13 và 2.14 minh họa việc khớp dữ liệu
các bề mặt tới các điểm tập trung trong khi hình 2.1(b) và 2.11 minh họa
việc khớp với các lƣới riêng. Hình 2.8 giải thích việc xấp xỉ một hàm RBF
trong tinh huống khớp một bề mặt nhẵn với dữ liệu LIDAR nhiễu.
Số lƣợng Số lƣợng
Thời gian Độ chính
Số lƣợng RAM tối Thời gian
điểm bề nút nội
chỉnh bề xác liên
tâm RBF đa (MB)
khớp
mặt
suy
mặt
quan
Bề mặt
14.806
29.074
3.564
29
68s
27s 7 x 10-4
Bàn tay
13.348
26.696
4.299
29
97s
32s 1 x 10-3
Con rồng 437.645 872.487
72.461
306 2:51:09 0:04:40 8 x 10-4
Tƣợng
331.135 662.269
83.293
187 3:09:06 0:06:41 4 x 10-4
đứa trẻ
Xƣơng
327.323 654.645
85.468
188 3:08:44 0:04:04 3 x 10-4
bàn tay
Tƣợng
345.910 518.864 518.864
390 3:08:21 0:25:39 6 x 10-3
LIDAR
Hình
Con rồng trong hình 2.1(a), tƣợng phật (hình 2.6) và bộ xƣơng tay
(hình 2.12) chứng minh khả năng của các phƣơng pháp nhanh để mô hình
hóa các tập dữ liệu phức tạp lớn với độ chính xác cao và đặc tính nén của
việc biểu diễn hàm RBF. Dữ liệu của con rồng đƣợc lấy từ một lƣới bao
gồm 438.000 đỉnh và 871.000 mặt, của tƣợng phật đƣợc lấy từ 544.000
đỉnh và 1.087.000 mặt. Các đƣờng pháp tuyến đƣợc tính tại các đỉnh từ các
mặt liền kề. Các phƣơng pháp trực tiếp chắc chắn sẽ không có khả năng
trên các bài toán này. Ví dụ, một phƣơng pháp trực tiếp để khớp dữ liệu
tƣợng phật có thể yêu cầu 4.700GB bộ nhớ chỉ để lƣu trữ ma trận hệ nội
suy (2.8). Các yêu cầu bộ nhớ lõi tối đa của các phƣơng pháp nhanh mới
trong bảng 2.2 là đặc biệt đáng chú ý trong khía cạnh này.
(a)
(b)
Hình 2.10 : Gia công đẳng mặt một hàm RBF. (a) Bề mặt tiếp theo từ một hạt
đơn giản, (b) ví dụ của một lƣới tối ƣu.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
34
35
Hình 2.12 : Với việc lấy mẫu đủ, các đối tƣợng phức tạp có thể biểu biễn với
hàm RBF.
Hình 2.11 : Một hàm RBF đã tự động lấp những lỗ nhỏ và ngoại suy qua các
vùng bít kín trong dữ liệu quét (bên trái), để tạo ra một mô hình kín, không rỉ
nƣớc. Cấu trúc liên kết phức tạp của bức tƣợng đã đƣợc bảo tồn.
Hình 2.1(b) và hình 2.11 minh họa ứng dụng việc khớp dữ liệu của hàm
RBF với sụ phục hồi lƣới. Trong hình 2.1(b) một hàm RBF khớp một lƣới
không hoàn toàn thu đƣợc từ một máy quét laser. Hình ảnh này chứng
minh khả năng của hàm ghép trơn song điều hòa với phép nội suy nhẵn
qua các lỗ không đều lớn, ví dụ dƣới cằm và ngoại suy nhẵn một bề mặt
không dữ liệu. Trong hình 2.11 một hàm RBF đã đƣợc khớp vào một tập
hợp dữ liệu pho tƣợng lớn. Dù quét cẩn thận, bức tƣợng vẫn chứa nhiều lỗ
nhỏ và lỗ lớn tƣơng ứng với các vùng bị che khuất giữa các hinh ôm. Việc
khớp hàm RBF đã tự động lấp tất cả các lỗ và sinh ra một mô hình không
rỉ nƣớc của bức tƣợng không cần ngƣời dùng phải chỉ rõ bất kỳ tham số
nào khác với độ chính xác khớp dữ liệu muốn có. Chú ý làm thể nào mà
Hình 2.13 : Sự khôi phục RBF của hành tinh Eros từ dữ liệu phạm vi phân bố
mảnh vỡ của dữ liệu vai bên phải bức tƣợng nhỏ đã đƣợc ngoại suy để
không đều (trên). Ảnh và môt hình từ một hình vẽ tƣơng tự.
khôi phục dữ liệu ngực bị thiếu.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
36
37
Hình 2.13 minh họa sự khôi phục hành tinh Eros từ dãy dữ liệu tán xạ.
Đây là một ví dụ điển hình của dữ liệu phân bố không đều, thƣờng khó có
thể khôi phục khi sử dụng các phƣơng pháp khác.
2.9.
Kết luận:
Các phƣơng pháp nhanh làm cho nó có thể thực hiện tính toán để biểu
diễn các đối tƣợng phức tạp của cấu trúc liên kết bất kỳ bằng hàm RBF.
Lớp độc lập, sự mô tả „bộ nội suy trơn nhất‟ của hàm ghép trơn đa điều
Bảng 2.3: So sánh yêu cầu lƣu trữ của việc nội suy bằng RBF và các lƣới đƣợc
hòa làm cho hàm RBF đặc biệt phù hợp cho việc khớp các bề mặt với các
suy ra
điểm tập trung lấy mẫu không đều và các lƣới không hoàn toàn mà chứa
Hình
Con rồng
Bức tƣợng
Xƣơng bàn
tay
Lưới gốc
#Đỉnh
#Mặt
Bộ nhớ
#Đỉnh
437.645
847.414 15.4MB 126.998
543.652 1.086.798 19.6MB 97.766
327.323
654.666
11.8MB
Lưới mới
Biểu diễn RBF
#Mặt
Bộ nhớ Tâm RBF Bộ nhớ
254.016 4.5MB
72.461 1.4MB
193.604 3.5MB
80.518 1.6MB
81.829 163.698
2.9MB
85.468
1.7MB
Bảng 2.3 so sánh kích thƣớc các lƣới gốc của các tập dữ liệu con rồng,
tƣợng phật và xƣơng bàn tay với kích thƣớc của sự biểu diễn RBF tƣơng
ứng. Các kích thƣớc lới không nén nhận đƣợc bằng việc cho 3 float (12
byte) tới mỗi đỉnh và 3 số nguyên (12 byte) tới mỗi cạnh tam giác. Kích
thƣớc tệp RBF không nén tƣơng đƣơng để biểu diễn mỗi tâm với 3 float
(12byte) và mỗi hệ số (i ) với một số chính xác hai lần (8 byte). Có nghĩa
là độ chính xác đơn giản có thể là thích hợp, mà sẽ dẫn đến nén nhiều hơn,
nhƣng chúng ta vẫn chƣa xác định đƣợc tầm ảnh hƣởng của hệ số độ chính
xác lên bề mặt tính toán. Bảng này chứng minh rằng độ nén đáng kể của cả
các lỗ lớn không đều. Bề mặt nhẵn nhất, phù hợp nhất với dữ liệu vào,
đƣợc sinh ra. Các sự kiện đƣợc giải quyết, với điều kiện là chúng là mẫu
thỏa đáng. Bản chất hàm số của biểu diễn bằng hàm RBF cung cấp các
triển vọng mới cho các thuật toán cân chỉnh bề mặt, rút gọn lƣới, nén và
các thuật toán làm nhẵn.
Hàm RBF cũng có liên quan tới bài toán của việc hiển thị hóa khối dữ
liệu thu đƣợc trên một lƣới tọa độ không đều, nhƣ là có thể khớp tới dữ
liệu mẫu hợp lệ để xấp xỉ sự phân bố vô hƣớng nằm dƣới. Các trƣờng véc
tơ có thể đƣợc mô hình dễ dàng nếu các thành phần là độc lập. Trong
trƣờng hợp đó, một hàm RBF có thể khớp tới mỗi trƣờng thành phần. Điều
này không yêu cầu thời gian tính toán nhiều hơn là bao nhiêu vì ma trận
trong phƣơng trình (2.8) chỉ phụ thuộc vào vị trí của các nút nội suy và vì
thế là thuộc mỗi thành phần hàm RBF.
tập điểm và dữ liệu lƣới mà một biểu diễn RBF cung cấp. Chúng ta cũng
đã liệt kê kích thƣớc của các lƣới dẫn xuất từ việc tính toán hàm RBF với
một độ chính xác có thể so sánh với dữ liệu gốc. Nó xuất hiện từ các kết
quả ban đầu mà một ứng dụng có triển vọng của hàm RBF là đan lại lƣới
các lƣới đã có. Khớp một hàm RBF không chỉ lấp các lỗ, nhƣng một lƣới
đều hơn (và do đó chặt hơn) có thể dẫn xuất ra từ nó.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
38
39
Chƣơng 3: KHAI THÁC PHẦN MỀM FASTRBF
thông thƣờng. Các hàm ghép trơn đa điều hòa mà phần mềm FastRBF sử
dụng kết quả trong phép nội suy nhẵn nhất, trong sự dò ra đó chúng làm
giảm đến mức tối thiểu năng lƣợng trong đạo hàm bậc 2, bậc 3 hoặc cao
3.1. Phần mềm FastRBF làm gì?
Phần mềm FastRBF nội suy nhẹ nhàng dữ liệu tán xạ 2D và 3D bằng
hơn. Những kết quả này trong các khả năng ngoại suy đặc biệt khi các độ
các hàm cơ sở bán kính (RBFs). Không có kỹ thuật nào khác có thể mô
chênh lệch lớn xuất hiện trong tập hợp dữ liệu. trong trƣờng hợp dữ liệu
hình dữ liệu bất quy tắc, không đều hiệu quả bằng phép nội suy RBF. Với
nhiễu, bộ khớp dải lỗi của phần mềm FastRBF khớp gần đúng dữ liệu
phần mềm FastRBF của công nghệ FarField hàng triệu phép đo dữ liệu có
bằng hàm ghép trơn trong các biên lỗi định vị tại mỗi điểm dữ liệu. Sự lọc
thể đƣợc nội suy bởi một hàm đơn – một công việc trƣớc đây không thể
thông thấp của dữ liệu tán xạ cũng có thể đƣợc hoàn thành ngay lập tức
nghĩ đƣợc trên một máy tính để bàn. Hàm khớp và độ chênh lệch của nó
với phần mềm FastRBF mà không cần lấy mẫu lại trên một lƣới chuẩn và
có thể tính toán ở mọi nơi nhƣ trên một lƣới, một mặt phẳng hoặc một bề
sử dụng các phép tính toán nhân chập có chiều sâu trong không gian hoặc
mặt bất kỳ. Những khả năng này làm cho phần mềm FastRBF lý tƣởng cho
trong miền Fourier.
việc hiển thị dữ liệu tán xạ, đặc biệt là dữ liệu lấy mẫu bất quy tắc, không
đều và xây dựng lại các bề mặt từ dải dữ liệu.
3.4. Các ứng dụng:
Phần mềm FastRBF đã đƣợc ứng dụng trong một số lĩnh vực khác nhau
của khoa học và nghiên cứu các vấn đề từ tạo nguyên mẫu nhanh CAD-
3.2. Ai có thể sử dụng sản phẩm FastRBF?
Các kỹ sƣ, ngƣời phát triển phần mềm và các nhà khoa học đối mặt với
CAM, sự tạo ảnh y học, đồ họa máy tính và sự xử lý tín hiệu…
các vấn đề nội suy dữ liệu phân tán lớn.
Nghiên cứu về đồ họa máy tính, nghiên cứu đảo ngƣợc, thị giác nhân
tạo cần xây dựng lại các bề mặt từ dải dữ liệu.
3.5. Các kết quả đạt được khi sử dụng phần mềm FastRBF:
3.5.1. Khớp và tính toán dữ liệu 3D:
Các sinh viên và những nhà nghiên cứu làm việc với các mẫu đơn 2D
và 3D không đều.
Trƣớc tiên, chúng ta tải dữ liệu điểm 3D bằng lệnh sau:
data=fastrbf_load('C:\Program Files\FarField Technology\FastRBF
Những ngƣời đã làm việc với hàm RBF cần giải quyết những hệ thống
v1.4\Matlab\tutorial\FitAndEval\data.p3d')
Ta thu đƣợc kết quả nhƣ sau:
cực lớn.
data =
Location: [3x5000 double]
3.3. Những lợi ích của phần mềm FastRBF
Phần mềm FastRBF cho phép hàm cơ sở bán kính phù hợp với những
hệ thống có nhiều hơn một triệu điểm dữ liệu trên phần cứng tính toán
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Value: [1x5000 double]
Để hiển thị dữ liệu 3D đã tải ta dùng câu lệnh sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
40
41
colormap(jet(256))
rbf=fastrbf_fit(data,0.001)
fastrbf_view(data)
Sau khi khớp ta đƣợc kết quả:
Sau khi dùng 2 lệnh trên ta thu đƣợc hình ảnh của dữ liệu 3D đã đƣợc
rbf =
tải nhƣ trong hình 3.1
AchievedAcc: 3.3439e-004
DefaultEvalAcc: 1.0000e-005
Centres: [3x5000 double]
Coeffs: [1x5004 double]
PolyBase: [0.5000 0.5001 0.5000]
DataMin: [3.8337e-005 2.0880e-004 4.3258e-005]
DataMax: [1.0000 0.9999 1.0000]
BasicFunc: 0
BasicFuncParam: 0
BasicFuncParam2: 1
PolyDegree: 1
Rho: 0
FitType: 0
Version: 'FastRBF V 1.4.2'
3.5.1.1. Rút gọn tâm RBF:
Hình 3.1: Dữ liệu 3D đƣợc tải vào.
Để an toàn chúng ta xử lý dữ liệu bằng hàm unique nhƣ sau:
data=fastrbf_unique(data)
rbf=fastrbf_fit(data,0.001,‟reduce‟,‟verbose‟)
Sau khi rút gọn tâm ta thu đƣợc kết quả:
rbf =
Ta thu đƣợc kết quả:
AchievedAcc: 9.0459e-004
data =
DefaultEvalAcc: 1.0000e-005
Location: [3x5000 double]
Centres: [3x843 double]
Value: [1x5000 double]
Vì phạm vi giá trị dữ liệu là 0,1 chúng ta khớp một hàm RBF với độ
chính xác 0,001 sử dụng hàm fit
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Để rút gọn tâm RBF ta sử dụng câu lệnh sau:
Coeffs: [1x847 double]
PolyBase: [0.5000 0.5001 0.5000]
DataMin: [3.8337e-005 2.0880e-004 4.3258e-005]
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
42
43
DataMax: [1.0000 0.9999 1.0000]
BasicFunc: 0
BasicFuncParam: 0
BasicFuncParam2: 1
PolyDegree: 1
Rho: 0
FitType: 1
Version: 'FastRBF V 1.4.2'
Indices: [1x843 double]
Rút gọn tâm có kết quả là 843 tâm so với 5000 tâm của phƣơng pháp
trực tiếp.
3.5.1.2. Tính toán lƣới 3D:
Bây giờ chúng ta tính toán hàm RBF 3D trên một lƣới bằng câu lệnh:
g=fastrbf_grideval(rbf,‟spacing‟,0.02)
Ta thu đƣợc kết quả:
Hình 3.2: Lƣới thu đƣợc sau khi đổi trật tự mảng giá trị và các đối số
g=
Value: [51x51x51 double]
Min: [3.8337e-005 2.0880e-004 4.3258e-005]
3.5.2. Khớp dữ liệu bề mặt 3D:
Max: [1.0000 1.0002 1.0000]
3.5.2.1. Khớp bề mặt vào dữ liệu lƣới:
Dữ liệu lƣới đƣợc tạo ra từ rất nhiều loại máy quét và thƣờng chứa các
Spacing: [0.0200 0.0200 0.0200]
Chúng ta phải đổi trật tự mảng giá trị và các đối số bằng các lệnh sau:
lỗ không đều, cả lỗ lớn và lỗ nhỏ.
[gX, gY, gZ] = fastrbf_gridcoords(g);
Bƣớc đầu tiên ta nhập vào tệp holey_face.obj bằng câu lệnh sau:
gV = permute(g.Value, [2 1 3]);
mesh = fastrbf_import('C:\Program Files\FarField Technology\FastRBF
slice(gY, gX, gZ, gV, .7, .7, .3); colorbar; axis tight;
v1.4\Matlab\tutorial\SurfaceFit\holey_face.obj')
Sau khi thực hiện lệnh ta thu đƣợc lƣới nhƣ hình 3.2
Sau khi thực hiện lệnh ta thu đƣợc kết quả:
Mesh =
Location: [3x3328 double]
Tri: [3x6283 double]
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
44
45
Dùng lênh: fastrbf_view(Mesh); để hiển thị đƣợc hình ảnh của bề mặt
nhƣ trong hình 3.3
Hình 3.4. Bề mặt với các đƣờng pháp tuyến
Trong ví dụ này, độ dài đƣờng pháp tuyến tối đa là 5mm sẽ đƣợc sử
dụng. Các đƣờng pháp tuyến ngắn hơn 0,5mm sẽ đƣợc loại bỏ bằng lệnh
Hình 3.3. Hình ảnh của bề mặt đƣa vào
Sau đó xác định các đƣờng pháp tuyến bằng câu lệnh sau:
sau:
MeshWithNormals = fastrbf_normalsfrommesh(Mesh)
Density = fastrbf_densityfromnormals(MeshWithNormals, 0.5, 5.0)
Sau khi dùng lệnh trên ta thu đƣợc kết quả:
Sau khi thực hiện lệnh trên thu đƣợc kết quả:
MeshWithNormals =
Density =
Location: [3x3328 double]
Location: [3x6656 double]
Tri: [3x6283 double]
Value: [1x6656 double]
Gradient: [3x6656 double]
Gradient: [3x3328 double]
Để hiển thị bề mặt với các đƣờng pháp tuyến ta dùng lệnh:
Để hiển thị đƣợc kết quả (Hình 3.5) sau khi loại bỏ các đƣờng pháp
tuyến ngắn hơn 0,5mm ta dùng lệnh:
fastrbf_view(MeshWithNormals, 'fv');
Sau khi dùng lệnh trên ta thu đƣợc bề mặt với các đƣờng pháp tuyến
fastrbf_view(Density);
nhƣ đƣợc mô tả trong hình 3.4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
