Tập hợp bổ đề chứng minh bất đẳng thức luyện thi đại học k2pi.net.vn

NHỮNG BỔ ĐỀ THƯỜNG DÙNG KHI
GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
Thế giới toán bất đẳng thức là một khung trời đầy tính nghệ thuật,lãng mãn và sự thách
thức trị tuệ con người.Ta vẫn nhớ đến bất đẳng thức quen thuộc Nesbit:
a
b
c
3


 .Bài toán thoáng đơn giản với hơn 50 cách
Khi cho a, b, c  ta có
bc ca ab 2
chứng minh đã được công bố,tuy nhiên con đường mở rộng bất đẳng thức trên lại trải qua
hang chục năm dài.Điều đó minh chứng cho ta thấy việc bước trên đường giải toán bất đẳng
thức không phải dể đi.Chính vì thế những ai thật sự đam mê mới làm nên thành công trên
bước đường chinh phục các biến số a, b, c than quen này.Nhằm tạo cho các bạn những định
nghĩa ban đầu về hướng đi đến những bài toán bất đẳng thức hay qua những bổ đề ,đẳng
thức nhỏ,chúng tôi đã tổng hợp, biên soạn lại nhiều bổ đề đơn giản ấy,các bạn sẽ sáng tạo ra
nhiều bài toán bất đẳng thức hay hơn, đẹp hơn nữa.Bài viết nhỏ này nếu có gì sai sót mong
nhận được sự góp y từ các bạn và nếu bạn nào có những bổ đềhay hơn xin gởi về địa chỉ
email: để tác giả tổng hợp cho bài viết thêm sinh
động.Thân ái!

CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG QUAN TÂM
1. ab 2  bc 2  ca 2   a 2b  b 2 c  c 2 a    a  b  b  c  c  a 





ab3  bc3  ca 3  a 3b  b3c  c3 a   a  b  c  a  b  b  c  c  a 
2 3

3 2

 a b   a b   ab  bc  ca  a  b  b  c  c  a 
cyc

cyc

 ab   a b   ab  bc  ca  a
4

cyc

4

2



 b 2  c 2  a  b  b  c  c  a 

cyc

ab bc
.
 1
cyc a  b b  c
ứng dụng:Cho a, b, c đôi một khác nhau.Chứng minh rằng:

ab
bc
ca
1



2
2
2
4
 a  b  b  c   c  a 

2. 

Đào Hải Long
Lời giải

Trang 1


2

ab 
 ab 
Ta có:  1 
  2  
 2
2
 a b 

  a  b  
2
 ab bc 
 ab 
Mà  
.
2
  2  
a

b
b

c
 ab 
cyc


k a k b
.
 1
3. 
bc ca
ứng dụng:
tương tự đẳng thức 2 ta có bất đẳng thức sau:
2

2

2

 k a   k b   k c 

 
 
 2
 b c   c  a   a b 
Trần Quốc Anh
2
b  c 
1
4. 
 a  b  a  c 

5. 

1  ab 1  bc
.
 1
 a  b b  c

6. 3  a 2  b 2  c 2






2

 2  ab  bc  ca     a  b  c    a  b    b  c    c  a 

4

4

4

a 2  bc b 2  ca
.
 a2  b2  c 2
bc ca
a 2  bc b 2  ca
2
8. 
.
  a  b  c
bc ca
3
9.  a  b  c   a 3  b3  c 3  3  a  b  b  c  c  a 
7. 

10. 2  x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x 2    x  y  z  x  y  z  y  z  x  z  x  y 
a b bc ca a b bc ca



.
.
0

ab bc ca ab bc ca
a b a b b c c  a

.
.
0
12. 
1 c 1 c 1 a 1 b
a2
1
13. 
 a  b  a  c 

11.









2

14. a 2  1 b 2  1 c 2  1   ab  bc  ca  1   a  b  c  abc 

2

15. a 3  b3  c 3  3abc   a  b  c   a 2  b 2  c 2   ab  bc  ca  

16.  a  b  b  c  c  a    a  b  c  ab  bc  ca   abc
17.  x  a  x  b  x  c   x3  x 2  a  b  c   x  ab  bc  ca   abc
18.  x  a  x  b  x  c   x 3  x 2  a  b  c   x  ab  bc  ca   abc
19. x  a  b  a  c   y  b  c  b  a   z  c  a  c  b 

Trang 2

4


1
1
1
2
2
2
 x  y  z  a  b    y  z  x  b  c    z  x  y  c  a 
2
2
2
20.Nếu đặt p  a  b  c, q  ab  bc  ca, r  abc ta có một số kết quả sau:


i.  a  b  b  c  c  a   pq  r
ii.  a  b  b  c    c  a  a  b    c  a  c  b   p 2  q
iii. a 4  b 4  c 4  p 4  4 p 2 q  2q 2  4 pr
iv. a 5  b5  c 5  p 5  5 p 3q  5 pq 2  5 p 2 r  5qr
v. a 6  b6  c 6  p 6  6 p 4 q  6 p3r  9 p 2 q 2  12 pqr  3r 2  2q 3
vi.  a 2b  b 2 c  c 2 a  a 2b  b 2c  c 2 a   9r 2   p 3  6 pq  r  q 3
vii.  a 3b  b 3c  c3a  ab3  bc 3  ca3   7 p 2 r 2   p 5  5 p 3a  pq 2  r  q 4

5



21.  a  b  c   a 5  b5  c5  5  a  b  b  c  c  a  a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca



MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN
1.Bất đẳng thức AM-GM
Cho a1 , a2 ,.., an là các số thực không âm thì
a1  a2  ...  an  n n a1.a2 ...an
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1  a2  ...  an .
Mở rộng AM-GM:
Cho x1 , x2 ,..., xn là các số thực không âm thỏa mãn x1  x2  ...  xn  1 .Nếu a1 , a2 ,.., an là các
số thực không âm thì x1a1  x2 a2  ...  an xn  a1x1 .a2 x2 ....an xn đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a1  a2  ...  an
2.Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Với hai bộ số thực tùy ý a1 , a2 ,..., an và b1 , b2 ,..., bn ta có :
a
a a
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1  2  ...  n .
b1 b2
bn
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel:
Giả sử là các số thực bất kì và b1 , b2 ,..., bn là các số thực dương .
2

a 2  a  a  ...  an 

a2 a 2
Khi đó ta luôn có: 1  2  ...  n  1 2
b1
b2
bn
b1  b2  ...  b
a
a a
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1  2  ...  n bất đẳng thức Bernoulli:
b1 b2
bn
r

Với mọi số thực x  1 ,ta có :i. 1  x   rx  1 với r  1 và r  0
r

ii. 1  x   rx  1 với 0  r  1

Trang 3


ngoài ra,nếu a1 , a2 ,..., an là các số thực thỏa mãn tính chất “ hoặc tất cả ai đều không âm
hoặc tất cả đều nằm trong đoạn  0;1 ”thì: 1  a1 1  a2  ... 1  an   1  a1  a2  ...  an
4.Bất đẳng thức Holder
Cho m, n là hai số nguyên dương và xij i  1, m, j  1, n là các số thực dương tùy ý.Giả sử





w1 ,w 2 ,..., w n là các số thực dương thỏa mãn w1  w 2  ...  w n  1 .Khi đó ta có:

 x11  x21  ...  xm1  x12  x22  ...  m 2  ...  x1n  x2 n  ...  xmn   x11w1.x12w 2 ...x1wn

n

wn
w1 w 2
 x21
.x22 ...x2wnn  ...  xmw11 .xmw22 ...xmn

hay có phắt biểu hay sử dụng là :
i.
Với a, b, c, m, n, p, x, y, z là các số thực dương ta có:

a

3

 b3  c 3

 x

3



3



 y 3  z 3 m3  n3  p 3   axm  byn  czp 

Chứng minh:
a3
x3
m3






3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
cyc a  b  c
cyc x  y  z
cyc m  n  p
cyc 3 a  b  c



3axm

 x

3



 y 3  z 3 m3  n3  p 3

Từ đó ta có điều phải chứng minh.
ii.
Với các số thực dương a1 , a2 ,..., an ta có:

1  a1 1  a2  ... 1  an   1  n a1a2 ...an 

n

Chứng minh:
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:
1
1
1
n

 ... 

1  a1 1  a2

1  an n 1  a1 1  a2  ... 1  an 
a1
a
a
 2  ...  n 
1  a1 1  a2
1  an

n n a1.a2 ...an
n

1  a1 1  a2  ... 1  an 

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên suy ra điều phải chứng minh.
5.Bất đẳng thức Chebyshev
Với hai dãy số thực đơn điệu tăng a1 , a2 ,..., an và b1 , b2 ,..., bn ta có:
1
a1b1  a2b2  ...  anbn   a1  a2  ...  an  b1  b2  ...  bn 
n
Kết quả thường sử dụng là :Nếu a1 , a2 ,..., an là các số thực dương có tổng bằng n thì
a1n1  a2n 1  ...  ann 1  a1n  a2n  ...  ann
6.Bất đẳng thức Schur
Cho các số thực không âm a, b, c .Khi đó với mọi số thực dương r ta có:

a r  a  b  a  c   br  b  c  b  a   c r  c  a  c  b   0
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c ,hoặc a  0 và b  c hoặc các hoán vị tương
ứng.
Trường hợp thường sử dụng là khi r  1 và r  2 .
Với r  1 ta có bất đẳng thức Schur bậc ba:
a 3  b3  c 3  3abc  ab  a  b   bc  b  c   ca  c  a 

Trang 4




3

 a  b  c   9abc  4  a  b  c  ab  bc  ca 
2
 b  c  b  c  a   0
cyc

9abc
 2  ab  bc  ca 
abc
a
b
c
4abc



2
b  c c  a a  b  a  b  b  c  c  a 

a 2  b2  c2 

Với r  2 ta có bất đẳng thức Schur bậc bốn:
a 4  b 4  c 4  abc  a  b  c   ab  a 2  b 2   bc  b 2  c 2   ca  c 2  a 2 

Bổ đề và các ứng dụng
n

a n  bn  cn  a  b  c 

 với a, b, c  0; n 
3
3


Chứng minh
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:

Bài 1.

n

 abc 
 abc 
a   n  1 
  n. 

3
3





n 1

n

n

 abc
 abc 
b   n  1 
  n. 

3
3





n 1

n

n

.a
.b

n 1

 abc

 abc 
c n   n  1 
  n. 
 .c
3
3




Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh.
Ứng dụng

Những ứng dụng của bất đẳng thức này ta nhận thấy rất rõ qua những bài toán sau:
1.Với a, b, c  0 .Chứng minh rằng:
4

4

 a  2b   b  2c   c  2a 
a 4  b4  c4  
 
 

 3   3   3 

3

Chứng minh:
2 2

2 2

2 2

 a   b   c 
Ta có:

2

4

 a 2  b 2  c 2   a  2b 

 

3
3

  3 
Tương tự cho các biểu thức còn lại ta có được điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c .
Tương tự, ta cũng có thể giải bài toán tổng quát sau:
n

n

n

 a  2b   b  2c   c  2a 

a b c  
 
 

 3   3   3 
2.Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a  b  c  3 .Chứng minh rằng:
n

n

n

Trang 5


a5
b5
c5
3



2
2
2
2
2
2
b c c a
a b

2
Ngô Hoàng Toàn
3.Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a  b  c  3 .Chứng minh rằng:
a5
b5
c5
3
 3
 3 3
3
3
3
b c c a a b
2
Ngô Hoàng Toàn
2.Cho x, y, z là độ dài ba cạnh của một tam giác.Ta có:

 x  y  z  xyz   xy  yz  zx  3  y  z  x  z  x  y  x  y  z 
Chứng minh
Đặt a  y  z  x, b  z  x  y, c  x  y  z thì ta có a, b, c  0 và
bc
ca
ab
x
,y
,z 
2
2
2
Chuẩn hóa abc  1 bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

 a  b  c  a  b  b  c  c  a   2  a  b  b  c 
2
ab
Theo AM-GM ta có:
1
1
abc3 abc abc


 abc
 a  b   ab   a 
2
2
2
a  b  c  abc
 abc  



3.Ta có: x  y  n 2n 1 x n  y n



x, y  0

Chứng minh



x  y  n 2n 1 x n  y n




 n x n  n y n  n 2n 1 x n  y n




n
n
n
n
 n 1...1.
 x  n 1...1.
 y  n 2...2.
 x y
n 1

n 1



n 1

Ta cần chứng minh

T

n

1 1
xn
1 1
yn
... . n

...
.
1
2 2 x  yn n 
2 2 xn  yn

n 1

n 1

Thật vậy theo AM-GM ta có:



11
1
xn  1  1
1
yn
T    ....   n

 ....   n
n 

2 
2 x  y n  n  
2 
2 x  yn
n 1
n 1






 1



4.Cho a, b, c  0 .Ta có: 2  a 2  b 2  c 2   abc  8  5  a  b  c 

Trang 6


5.Cho a, b, c  0 có a 2  b 2  c 2  2abc  1  2  ab  bc  ca 
Chứng minh
Sử dụng AM-GM và Schur ta có:
3

a 2  b 2  c 2  2abc  1  2  ab  bc  ca   a 2  b 2  c 2  3  abc  2  2  ab  bc  ca 
2

3

1
3  1

 32

2
3
2
   ab  .  a  b   2  ab  bc  ca     ab   a  b 3   0




Suy ra điều phải chứng minh.
Ứng dụng:
Cho a, b, c  0 .Chứng minh rằng:
3
2

a

2







 2 b 2  2 c 2  2  9  ab  bc  ca 

Ta có:
 a  2  b2  2  c2  2   9  ab  bc  ca   4 a 2  2  a 2b2  1  a 2b2c2  1  9  ab  bc  ca 
2

 4 a 2  4  ab  bc  ca   2abc  1  9  ab  bc  ca 
 a 2  b 2  c 2  2abc  1  2  ab  bc  ca   0
6.Cho a, b, c  0 .Chứng minh rằng:
Đặt P 

1
1
1
3



a 1  b  b 1  c  c 1  a  3 abc 1  3 abc





1
1
1


ta có:
a 1  b  b 1  c  c 1  a 

3   a 1  b  


1
P2  3 


 ab 1  b 1  c   abc 1  a 1  b 1  c 


3
3
3



abc 1  a 1  b 1  c  abc 1  a 1  b 1  c 
Đặt k  3 abc sử dụng AM-GM ta có :

1  a 1  b 1  c   1  a  b  c  ab  bc  ca  abc  1  3k  3k 2  k 3  1  k 
 P2 

3

3
3
3
9


 3
 2
3
3
2
3
k 1  k  k 1  k 
k 1  k 

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
7.Cho a, b, c  0 ta có:











a 4  b 4  c 4  abc  a  b  c   ab a 2  b 2  bc b 2  c 2  ca c 2  a 2



Chứng minh:
Không giảm tổng quát giả sử a  b  c
2
a 4  b 4  c 4  abc  a  b  c    ab a 2  b 2  bc b 2  c 2  ca c 2  a 2    b 2  c 2  a 2  b  c 





Trang 7














Ta chứng minh:
2
2
2
 b2  c 2  a 2  b  c   c2  a  b  b  c   a 2  a  b   c 2  a 2  b2  a  b  b  c   0









Đúng theo giả sử.
Ứng dụng
Cho a, b, c  0 chứng minh rằng:

a 3  b3  c 3  4  a  b  c   9abc  8  ab  bc  ca 
Sử dụng AM-GM ta có:
2
4  ab  bc  ca 
4 a  b  c 
 8  ab  bc  ca 
abc
Tiếp theo ta chứng minh:
4  ab  bc  ca 
a 3  b3  c 3  9abc 
abc
4
  a  abc  a  b  c    ab  a 2  b 2   4 a 2b 2
Sử dụng bổ đề trên ta có:
 a 4  abc  a  b  c    ab  a 2  b2   2 ab  a 2  b2   4 a 2b2
8.Cho a, b, c  0 ta có : 3  ab3  bc3  ca 3    a 2  b 2  c 2 

2

Thật vậy:

 ab

3

1
 bc3  ca 3  . a 2  b 2  c 2
3







2



1
 a 2  c 2  ab  ac  2bc
2





2

0

3

9. 3  a 2  a  1  a 6  a 3  1 a  0
3

4

Ta có: 3  a 2  a  1   a 6  a 3  1   a  1  2a 2  a  2   0
ứng dụng
2
Cho x, y, z  0 ta chứng minh : 3 x 2  x  1 y 2  y  1 z 2  z  1   xyz   xyz  1













3





3



3

 

 



Ta có: 3 x 2  x  1 y 2  y  1 z 2  z  1   3 x 2  x  1 3 y 2  y  1 3 z 2  z  1
Mặt khác theo bất đẳng thứcHolder ta có:
3



3

 

 

3

 







3 x 2  x  1 3 y 2  y  1 3 z 2  z  1  x 6  x3  1 y 6  y 3  1 z 6  z 3  1



 xyz   xyz  1
2

3

Suy ra điều phải chứng minh.
Sẽ tiếp tục cập nhật

Trang 8

3


Trang 9