Bài tập ôn tập hình học 8 hk1

Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A , M là trung điểm BC . Từ M kẻ ME vuông
góc AB ( E thuộc AB ) . MF vuông góc AC ( F thuộc AC ) .
a)
b)
c)
d)

Chứng minh : AEMI là hình chữ nhật
Gọi I là điểm đối xứng của M qua F . Chứng minh : AMCI là hình thoi
Chứng minh : AM , EF , BI đồng qui
Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ABCI là hình thang cân

Bài 2 : Cho tam giác ABC cân tại A , đường trung tuyến AM . Gọi I là trung điểm
AC , K là điểm đối xứng M qua I
a)
b)
c)
d)

Chứng minh : AMCK là hình bình hành
Chứng minh : AMCK là hình chữ nhật
Tứ giác AKMB là hình gì ?
Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AMCK là hình vuông ?

Bài 3 : Cho tam giác ABC có M , N lần lượt là trung điểm của AB , AC
a)
b)
c)
d)

Chứng minh : BC = 2MN

Gọi K là điểm đối xứng của M qua N . Tứ giác BCKM là hình gì ? Vì sao ?
Tứ giác AKCM là hình gì ? Vì sao ?
Để tứ giác AKCM là hình chữ nhật thì tam giác ABC là tam giác gì ?

Bài 4 : Cho hình bình hành ABCD có cạnh BC = 2AB ,
tự là trung điểm của BC , AD

µA = 60

. Gọi E , F theo thứ

a) Chứng minh : ECDF là hình thoi
b) Chứng minh : BEDA là hình thang cân
·ADE

c) Tính
. Từ đó cho biết tam giác ADE là tam giác gì ?
d) Gọi K là giao điểm đối xứng của E qua F . Tứ giác AEDK là hình gì ? Vì
sao ?
Bài 5 : Cho tam giác ABC cân tại A có AB = 10 cm , BC = 12 cm . Đường cao AH
. Gọi M là trung điểm AC . D là điểm đối xứng của H qua M
a) Chứng minh : AHCD là hình chữ nhật
b) Chứng minh : ABHD là hình bình hành
S AHCD

c) Tính
d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để AHCD là hình vuông
Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm , AC = 8 cm . Gọi O là trung
điểm của BC
a) Tính BC , OA

b) Vẽ điểm D đối xứng với A qua O . Chứng minh : ABCD là hình chữ nhật
c) Gọi E , F lần lượt là trung điểm của OB , OC . Chứng minh : AEDF là hình
bình hành


d) Để tứ giác AEDF là hình thoi thì tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì ?
Bài 7 : Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD ) . Gọi M , N , P , Q là trung điểm
AB , BC , CD , DA
a) Chứng minh : tam giác MCD cân
b) Chứng minh : MNPQ là hình thoi
SQAM + S NPC =

c) Chứng minh :
Bài 8 : Cho hình thoi ABCD có
điểm đối xứng với B qua H

S MNPQ
2

µA = 60

. Vẽ BH vuông góc AD tại H . Gọi E là

a) Tính các góc còn lại của hình thoi ABCD
b)
c)
d)
e)

VABD

Chứng minh :
là tam giác đều
Chứng minh : ABDE là hình thoi
Chứng minh : E , D , C thẳng hàng
Chứng minh : AC = BE

Bài 9 : Cho tam giác ABC cân tại C . Gọi D , E lần lượt là trung điểm của AB , AC
a) Chứng minh : BCED là hình thang
b) Gọi F là điểm đối xứng của D qua E . Chứng minh : BDFC là hình bình
hành
c) Chứng minh : DAFC là hình chữ nhật
d) Gọi I là trung điểm DC , DC và BE cắt nhau tại G . Kéo dài AG cắt BC tại H
. Chứng minh : H , I , E thẳng hàng
Bài 10 : Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của 2 đường chéo AC và
BD . Trên đoạn OB lấy điểm I
a) Dựng điểm E đối xứng với A qua I . Trình bày cách dựng điểm E ?
b) Chứng minh : OIEC là hình thang
c) Gọi J là trung điểm CE . Chứng minh : OIJC là hình bình hành
d) Đường thẳng IJ cắt BC tại F và cắt tia DC tại H . Chứng minh :
FCHE là hình chữ nhật

VJCH

cân và

Bài 11 : Cho tam giác ABC vuông tại A , phân giác BD . Gọi M , N , E lần lượt là
trung điểm BD , BC , DC
a) Chứng minh : MNED là hình bình hành
b) Chứng minh : AMNE là hình thang cân

c) Tìm điều kiện của tam giác ABC để MNED là hình thoi ?
Bài 12 : Cho tam giác ABC vuông tại A có I , M , N lần lượt là trung điểm của AB
, BC , AC . Gọi D là điểm đối xứng với M qua N


a) Chứng minh : MN // AB ; AB = 2MN ; tứ giác ABMD là hình bình hành
b) Chứng minh : AMCD là hình thoi
c) AM cắt BD tại O . Chứng minh : AM , BD , IN đồng qui tại O
d) Tính tỷ số :

BC 2
AM 2 + BN 2 + CI 2

Bài 13 : Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH . Từ một điểm M bất kỳ
ME ⊥ AB

trên BC , kẻ

và

MF ⊥ AC

BH .HC = AH 2

a) Chứng minh :
b) So sánh AM và EF
·
EHF

c) Tính

d) Tìm vị trí của M sao cho tứ giác EBMF là hình bình hành
Bài 14 : Cho tam giác ABC vuông tại A và AC = 2AB . Gọi E , F , G lần lượt là
trung điểm của BC , CA , AB
a) Chứng minh : BGFE là hình bình hành
EG ⊥ EF

b) Chứng minh : AE = GF và
c) Gọi I là giao điểm của BF và GE và gọi H là điểm đối xứng của A qua I .
Chứng minh : ABHF là hình vuông và H , E , F thẳng hàng
d) So sánh chu vi tam giác ABC và chu vi tứ giác ABHF
Bài 15 : Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ) , đường cao AH . Từ điểm M
bất kỳ trên cạnh BC kẻ đường thẳng song song với AC và AB cắt AB ờ D và cắt
AC ở E
a) Chứng minh : AM = DE
b) Tính

·
DHE

c) Giả sử

·
·
BAH
= MAC

d) Chứng minh :

. Chứng minh : DE là đường trung bình tam giác ABC

·AOD = 2 ·AHD

Bài 16 : Cho ABCD là hình chữ nhật , O là giao điểm của hai đường chéo . Lấy M
tùy ý trên CD , OM cắt AB tại N
a) Chứng minh : M đối xứng với N qua O
b) Dựng NF // AC và ME // AC . Chứng minh : NFME là hình bình hành
c) Chứng minh : MN , EF , AC , BD đồng qui
Bài 17 : Cho tam giác ABC vuông tại A , có D , E lần lượt là trung điểm của AB
và AC
a) Chứng minh : ADEC là hình thang


b) Gọi F là điểm đối xứng của E qua D . Chứng minh : AFEC là hình bình hành
c) CF cắt AE và AB lần lượt tại M và K , tia DM cắt AC tại N . Chứng minh :
ADEN là hình chữ nhật
d) Chứng minh : KB = 4KD
Bài 18 : Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH , trung tuyến AM . Gọi D
là trung điểm AB , lấy điểm E đối xứng của M qua D
a) Chứng minh : M và E đối xứng nhau qua AB
b) Chứng minh : AMBE là hình thoi
HK ⊥ AB

HI ⊥ AC

IK ⊥ AM

c) Kẻ
,
. Chứng minh :
d) S đối xứng với H qua K . Chứng minh : E , S , B thẳng hàng

Bài 19 : Cho tam giác ABC vuông tại A , đường trung tuyến AI . Vẽ IE vuông góc
AB , IF vuông góc AC
a) Chứng minh : AEIF là hình chữ nhật
b) Chứng minh : BIFE là hình bình hành

AH ⊥ EF

c) Vẽ đường cao AH của tam giác ABC . Chứng minh :
d) Tam giác ABC có điều kiện gì thì AEIF là hình vuông ?

Bài 20 : Cho tam giác ABC vuông tại A có điểm D bất kỳ trên cạnh BC . Vẽ DE
vuông góc AB , DF vuông góc AC . Gọi I là trung điểm của EF
a) Chứng minh : AEDF là hình chữ nhật
b) Chứng minh : A , I , D thẳng hàng

·
EHF
= 90

c) Vẽ AH vuông góc BC . Chứng minh :
d) Chứng minh : DB . DC = EA . EB + FA . FC

Bài 21 : Cho hình vuông ABCD có cạnh là a . Gọi E , F , K lần lượt là trung điểm
của AB , BC , CD
a) Chứng minh : AECK là hình bình hành
DF ⊥ CE

b) Chứng minh :
tại M
c) AK cắt DF tại N . Chứng minh : N là trung điểm của DM

d) Tính tỉ số diện tích của tam giác EBC và hình vuông ABCD
Bài 22 : Cho tam giác ABC vuông cân tại A , đường cao AH . Từ điểm M bất kỳ
trên cạnh BC kẻ các đường thẳng song song với AC , AB ; cắt AB tại D và cắt AC
tại E
a) Chứng minh : ADME là hình chữ nhật
b) Giả sử AD = 6 cm , AE = 8 cm . Tính độ dài AM
c) Chứng minh :

·
DEH
= 45


AD.DB + AE.EC ≤

d) Chứng minh :

BC 2
4

Bài 23 : Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD ) có
. Lấy E là điểm đối xứng của D qua H

µ = 45
D

. Vẽ AH vuông góc CD

a) Chứng minh : ABCE là hình bình hành
b) Qua D vẽ đường thẳng song song với AE ; cắt AH tại F . Chứng minh : H là

trung điểm của AF
c) Tứ giác AEFD là hình gì ? Vì sao ?
µA = 60

Bài 24 : Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD và
. Gọi E , F lần lượt là
trung điểm của AB và CD , M là điểm đối xứng của A qua D
a) Chứng minh : AEFD là hình thoi
b) Chứng minh : AEFM là hình thang cân
c) Chứng minh : B , F , M thẳng hàng
AD =

Bài 25 : Cho hình thang ABCD vuông góc ở A ( AB // CD ) có
trung điểm của AB
a)
b)
c)
d)

AB
2

, H là

Tứ giác AHCD là hình gì ? Vì sao ?
Tính số đo các góc của hình thang ABCD
Chứng minh : BD đi qua trung điểm M của CH ?
Dựng BE vuông góc AB ( E và D nằm ở 2 nửa mặt phẳng đối nhau bờ là AB
) sao cho BE = BH . Chứng minh : D , H , E thẳng hàng

Bài 26 : Cho tam giác ABC vuông tại A ,
AM . Gọi E là điểm đối xứng của A qua H

µ = 60
B

, đường cao AH và trung tuyến

a) Chứng minh : tam giác ABM là tam giác đều
b) Tứ giác ABEM là hình gì ? Vì sao ?
c) Gọi F là trung điểm của AC . Chứng minh : E , M , F thẳng hàng
d) Gọi N là trung điểm của MC . Chứng minh :

HF ⊥ NF

Bài 27 : Cho hình bình hành ABCD , O là giao điểm hai đường chéo . Gọi M , N
lần lượt là trung điểm của các cạnh AD , BC . Các đường thẳng BM , DN cắt
đường chéo AC tại P , Q
a) Chứng minh : AP = PQ = QC
b) Tứ giác MPNQ là hình gì ? Vì sao ?
c) Xác định tỉ số

CA
CD

để MPNQ là hình chữ nhật


·ACD

d) Xác định
để MPNQ là hình thoi
e) Tam giác ACD thỏa mãn điều kiện gì để MPNQ là hình vuông
Bài 28 : Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB ,
trung điểm của BC và AD
a)
b)
c)
d)

µA = 60

. Gọi E và F lần lượt là

AE ⊥ BF

Chứng minh :
Chứng minh : BFDC là hình thang cân
Lấy điểm M đối xứng của A qua B . Chứng minh : BMCD là hình chữ nhật
Chứng minh : M , E , D thẳng hàng

Bài 29 : Cho tam giác ABC vuông tại A , đường trung tuyến AI . Vẽ IE vuông góc
với AB tại E , IF vuông góc AC tại F
a) Chứng minh : AEIF là hình chữ nhật
b) Chứng minh : BIFE là hình bình hành

AH ⊥ EF

c) Vẽ đường cao AH của tam giác ABC . Chứng minh :
d) Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác AEIF là hình vuông ?

Bài 30 : Cho tam giác MNP vuông tại M , đường cao MH . Gọi D và E lần lượt là
chân các đường vuông góc hạ từ H xuống MN và MP
a) Chứng minh : MDHE là hình chữ nhật
b) Gọi A là trung điểm HP . Chứng minh : tam giác DEA vuông
c) Tam giác MNP cần thêm điều kiện gì để DE=2EA
Bài 31 : Cho tam giác ABC cân tại A , AM là trung tuyến . Gọi E , F lần lượt là
trung điểm của AB và AC
a) Chứng minh : BCFE là hình thang cân
b) Gọi D là điểm đối xứng của M qua F . Chứng minh : AMCD là hình chữ
nhật
c) Chứng minh : AEMF là hình thoi
d) Tam giác ABC phải thêm điều kiện gì để tứ giác AMCD là hình vuông ?
Bài 32 : Cho tam giác ABC nhọn , các đường cao BK và CH cắt nhau tại M . Gọi
D là trung điểm BC . Gọi N là điểm đối xứng của M qua D
a) Chứng minh : BMCN là hình bình hành
b) Chứng minh : BKCN là hình thang vuông
c) Để tứ giác BMCN là hình thoi thì tam giác ABC là tam giác gì ? Vì sao ?
Bài 33 : Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Kẻ HK vuông góc AB ,
HI vuông góc AC
a) Chứng minh : AIHK là hình chữ nhật


b) Gọi D và M lần lượt là trung điểm của AB và BC , E là điểm đối xứng với
M qua D . Chứng minh : AEBM là hình thoi
IK ⊥ AM

c) Chứng minh :
d) Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác AMBE là hình vuông ?
µA = 90

Bài 34 : Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) , có
,
góc AC . Gọi M là trung điểm của HD , MN cắt AD tại E

AB =

CD
2

. Kẻ DH vuông

a) Chứng minh : ABMN là hình bình hành
b) Kẻ BF vuông góc MN tại F . Chứng minh : ABFE là hình chữ nhật
AN ⊥ DM

c) Chứng minh :
d) Gọi O là trung điểm DC . Chứng minh : HO = AB
Bài 35 : Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ) . Gọi M , N là trung điểm
của AB và BC . Lấy Q là điểm đối xứng với N qua M
a) Chứng minh : AQNC là hình bình hành
b) Chứng minh : ANQB là hình thoi
c) CQ cắt MA ; NA tại E , F . Đường thẳng MF cắt AC tại D . Chứng minh :
ADMN là hình chữ nhật
ME =

d) Chứng minh :

1
BE
2

Bài 36 : Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 9 cm , AC = 12 cm . Gọi I là
trung điểm của BC
a) Tính BC , AI
IM ⊥ AB

IN ⊥ AC

b) Kẻ
,
. Chứng minh : AMIN là hình chữ nhật
c) Gọi K là điểm đối xứng của I qua N . Tứ giác AICK là hình gì ? Vì sao ?
d) MN cắt KC tại E và IE cắt KC tại G . Tính độ dài CG
Bài 37 : Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AC
, AB , BC
a) Chứng minh : BCMN là hình thang cân
b) BM cắt CN tại O . Gọi I , K lần lượt là trung điểm của OB , OC . Chứng
minh : MNKI là hình chữ nhật
c) Chứng minh : OKPI là hình thoi
d) Gọi Q là trung điểm của OA . Chứng minh : MNKI là hình vuông thì
AP =

3
3
AO = BC
2
2

Bài 38 : Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G

a) Chứng minh : BNMC là hình thang
b) Gọi E , F lần lượt là trung điểm của BG và CG . Chứng minh : MNEF là
hình bình hành
c) Tia AG cắt tai BC tại H , tia HM cắt đường thẳng đi qua A và song song với
BC tại K . Chứng minh : AKMN là hình bình hành
d) Tam giác ABC cần có điều kiện gì để AKMN là hình vuông
Bài 39 : Cho tam giác ABC vuông tại A , có AB = 8 cm , AC = 6 cm . Kẻ trung
tuyến AD
a) Tính BC và AD ?
b) Gọi E đối xứng với A qua D . Chứng minh : ABEC là hình chữ nhật
c) Gọi F đối xứng với A qua BC . Chứng minh :
d) Chứng minh : BCFE là hình thang cân

AF ⊥ FE

Bài 40 : Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN . Trên tia đối của
tia MB lấy điểm D sao cho MD = MB
a) Tứ giác MNBC là hình gì ? Vì sao ?
b) Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để tứ giác MNBC là hình thang
cân
c) Chứng minh : ABCD là hình thang cân
d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để ABCD là hình chữ nhật , hình thoi ,
hình vuông
Bài 41 : Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD . Gọi M và N là trung điểm của
AB và CD
a) Tứ giác AMND là hình gì ? Vì sao ?
b) Chứng minh : AN // MC
c) E là giao điểm của AN và DM , F là giao điểm của MC và BN . Chứng
minh : EF // DC

d) Tứ giác MENF là hình gì ? Vì sao ?
e) Tìm điều kiện của hình bình hành ABCD để tứ giác MENF là hình vuông
Bài 42 : Cho tam giác ABC vuông tại A . Điểm M thuộc BC , kẻ MH vuông góc
AB tại H , MK vuông góc AC tại K
a) Tứ giác AHMK là hình gì ? Vì sao ?
b) Tìm vị trí của M trên BC để tứ giác AHMK là hình vuông
c) Xác định vị trí của M trên BC để AM + HK nhỏ nhất
Bài 43 : Cho hình bình hành ABCD . Gọi DE và BK là phân giác trong tam giác
ADB và tam giác DBC
a) Chứng minh : DE // BK
b) Cho DE vuông góc AB . Chứng minh : DA = DB


c) Trường hợp DE vuông góc AB . Tìm số đo góc
hình vuông

·ADB

để tứ giác DEBK là

Bài 44 : Cho hình thoi ABCD có AD = AB . Kẻ BH vuông góc AD . Kéo dài BH
lấy HE = HB
a) Tứ giác ABDE là hình gì ? Vì sao ?
b) Chứng minh : D là trung điểm của CE
c) Chứng minh : AC = BE
Bài 45 : Cho hình chữ nhật ABCD có M và N là trung điểm của AB và CD
a) Chứng minh : AMND , MBCN là hình chữ nhật
b) Gọi P là giao điểm của AN và DM . Gọi Q là giao điểm của BN và CM .
Chứng minh : PQ // AB
c) Tứ giác MPNQ là hình gì ? Vì sao ?

Bài 46 : Cho tam giác ABC có D là điểm di động trên cạnh BC ( D khác B , C ) .
Từ D kẻ các đường thẳng song song với AB , AC và lần lượt cắt AB , AC tại M , N
a)
b)
c)
d)

Chứng minh : AMDN là hình bình hành
Tìm vị trí của D để tứ giác AMDN là hình thoi
Để AMDN là hình chữ nhật thì tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì ?
Có nhận xét gì về tam giác ABC và vị trí của D trên BC nếu tứ giác AMDN
là hình vuông

Bài 47 : Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH , trung tuyến AM
·
·
MAC
= BAH

a) Chứng minh :
b) Kẻ trung trực của BC và trên đó lấy điểm D sao cho MD = MA ( D và A
nằm trong hai nửa mặt phẳng khác nhau , bờ là đường thẳng BC ) . Chứng
minh : AD là phân giác của
c) Kẻ

DE ⊥ AB; DF ⊥ AC

d) Chứng minh :

·

MAH

và của

µA

. Tứ giác AEDF là hình gì ? Vì sao ?

VDBE =VDCF

Bài 48 : Cho tam giác ABC vuông tại A và trung tuyến AH . Vẽ về phía ngoài tam
giác hai hình vuông ABDE và ACFG
a) Gọi M , N là chân các đường vuông góc hạ từ D và F đến BC . Chứng
minh : DM + FN = BC
b) Chứng minh : D , A , F thẳng hàng
c) Chứng minh : AH đi qua trung điểm của EG
d) Chứng minh : AH , DE , FG đồng qui


Bài 49 : Cho hình chữ nhật ABCD . Lấy điểm P tùy ý trên đường chéo BD . Gọi M
là điểm đối xứng của C qua P
a) Chứng minh : AM // BD
b) Gọi E , F lần lượt là hình chiếu của M trên AD , AB . Chứng minh : AEMF
là hình chữ nhật
c) Chứng minh : EF // AC
d) Chứng minh : F , E , P thẳng hàng
Bài 50 : Cho tam giác ABC vuông tại A . Kẻ đường cao AH . Gọi D , E lần lượt là
các điểm đối xứng của H qua AB , AC . Chứng minh :
a)
b)

c)
d)

Chứng minh : A , D , E thẳng hàng
Chứng minh : BDEC là hình thang vuông
Chứng minh : BD + CE = BC
Chứng minh : DE = 2AH

Bài 51 : Cho tam giác ABC nhọn ; AM , BN , CP là các đường trung tuyến . Qua
N kẻ đường thẳng song song với PC cắt BC tại F . Các đường thẳng kẻ qua F song
song với BN và kẻ qua B song song với CP cắt nhau tại D
a)
b)
c)
d)
e)

Tứ giác CPNF là hình gì ? Vì sao ?
Chứng minh : BDFN là hình bình hành
Chứng minh : PNCD là hình thang
Chứng minh : AM = DN
Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện gì thì tứ giác PNCD là hình thang cân

Bài 52 : Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB > AC ) , đường trung tuyến AO .
Trên tia đối của OA lấy điểm D sao cho OD = OA
a) Chứng minh : ABDC là hình chữ nhật
b) Từ B kẻ BH vuông góc AD tại H . Từ C kẻ CK vuông góc AD tại K . Chứng
minh : BH = CK và BK // CH
c) Tia BH cắt CD tại M , tia CK cắt AB tại K . Chứng minh : M , O , N thẳng
hàng

d) Trên tia đối của tia BH lấy điểm E sao cho BE = AD . Chứng minh :
·
DCE
= 45