Bài toán về dãy số cách đều

Bài toán về dãy số cách đều
*. TỔNG = (Số đầu + số cuối) x Số số hạng : 2
*. SỐ CUỐI = Số đầu + Đơn vị khoảng cách x (số số hạng - 1)
*. SỐ ĐẦU = Số cuối - Đơn vị khoảng cách x (số số hạng - 1)
*. SỐ SỐ HẠNG = (Số cuối – Số đầu) : Đơn vị khoảng cách + 1
*. TRUNG BÌNH CỘNG = Trung bình cộng của số đầu và số cuối.
(Dãy số tăng dần)
Chú ý:
Nói đến dãy số cách đều, ta nên quan tâm đến tổng các cặp số bằng nhau.
*.Phân tích dãy số cách đều: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-Có số số hạng là chẵn thì có đủ số cặp: 1+10 ; 2+9; 3+8 ; 4+7 ; 5+6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-Có số số hạng là lẻ thì số ở giữa bằng ½ tổng mỗi cặp (số đầu + số cuối):
1+11 ; 2+10 ; 3+9 ; 4+8 ; 5+7
Số 6 = (1+11):2
*.Cần xác định được hai số liên tiếp cách đều bao nhiên đơn vị, số hạng đầu, số hạng cuối,
bao nhiêu số hạng.
*.Tuỳ theo dãy số tăng hay giảm để vận dụng các công thức một cách hợp lí.
Ví dụ:
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25
Dãy số cách đều nhau 3 đơn vị, có 9 số hạng, số hạng đầu là 1, số hạng cuối là 25.
TỔNG
= (1 + 25) x 9 : 2 = 117
SỐ CUỐI
= 1 + 3 x (9 - 1) = 25
SỐ ĐẦU
= 25 - 3 x (9 - 1) = 1
SỐ SỐ HẠNG = (25 - 1) : 3 + 1 = 9
TB CỘNG = (1+4+7+10+13+16+19+22+25) : 9 = (1 + 25) : 2 =13 hay bằng số ở giữa 13

Bài 1:
Cho một dãy 10 số thập phân với các số cách đều nhau. Biết tổng các số ở vị trí 1, 3, 5,
7, 9 bằng 24. Tổng các số ở vị trí 2, 4, 6, 8, 10 bằng 28. Hãy cho biết dãy số đó gồm
những số nào?
(Ai thông minh hơn HS lớp 5 ngày 27-12-2012)
Giải
Cách 1:
Khoảng cách mỗi số là: (28 - 24) : 5 = 0,8
Tổng của 10 số đó là:
28 + 24 = 52
Số cuối hơn số đầu là:
0,8 x (10 - 1) = 7,2
Tổng số đầu và số cuối là: 52 : (10 : 2) = 10,4
(10 : 2 = 5 là số cặp số)
Số đầu là:
(10,4 - 7,2) : 2 = 1,6
Dãy số đó là:
1,6 ; 2,4 ; 3,2 ; 4,0 ; 4,8 ; 5,6 ; 6,4 ; 7,2 ; 8,0 ; 8,8
Cách 2:
Khoảng cách mỗi số là: (28 - 24) : 5 = 0,8
Trung bình cộng 2 số ở giữa là:
(24 + 28) : 10 = 5,2
Để 2 số liền nhau hơn kém nhau 0,8 đơn vị thì số bé ở giữa là: 5,2 - (0,8 : 2) = 4,8
Ta có được dãy số trên 1,6 ; 2,4 ; 3,2 ; 4,0 ; 4,8 ; 5,6 ; 6,4 ; 7,2 ; 8,0 ; 8,8
- Đây là bài toán dạng dãy số cách đều, cho biết tổng và thấy rõ số các số hạng. Cả 2 dãy số
tách ra cũng theo thứ tự cách đều, mỗi dãy gồm 5 số hạng. Do vậy số chính giữa là trung
bình cộng của dãy số.
- Dãy số ở vị trí 1, 3, 5, 7, 9, Số trung bình cộng nằm ở vị trí 5 đó là: 24 : 5 (số hạng) = 4,8
- Dãy số ở vị trí 2 ,4 , 6 , 8 , 10 , Số trung bình cộng nằm ở vị trí 6 đó là: 28 : 5 ( số hạng ) =
5,6

Nhận xét 2 số hạng liền nhau vị trí 5 và 6 có qui luật là cách nhau 0,8.
Mặt khác , trung bình cộng của 10 số hạng trên là : ( 24 + 28 ) : 10 = 5,2
mà (4,8 + 5,6 ) : 2 = 5,2 nên nhận xét trên là đúng. Dãy số cần tìm là: 1,6 ; 2,4 ; 3,2 ; 4,0 ;
4,8; 5,6 ; 6,4 ; 7,2 ; 8,0 ; 8,8.
Bài 2:
Hãy so sánh từ 1 đến 100, tổng các số lẻ và tổng các số chẵn hơn kém nhau bao nhiêu
đơn vị? Nêu rõ cách giải.
Giải:
Cách 1:
Từ 1 đến 100 có 100 số, trong đó:
50 số lẻ:
1; 3; 5; ………….; 97; 99
50 số chẵn: 2; 4; 6; ………….; 98; 100
Tương ứng với từng số lẻ có 1 số chẵn hơn số lẻ 1 đơn vị.
Vậy tổng 50 số chẵn hơn tổng 50 số lẻ 50 đơn vị.


Cách 2:
Từ 1 đến 100 có 100 số, trong đó:
50 số lẻ:
1; 3; 5; ………….; 97; 99
50 số chẵn: 2; 4; 6; ………….; 98; 100
Tổng 50 số lẻ:
(1 + 99) x 50 : 2 = 2500
Tổng 50 số chẵn:
(2 + 100) x 50 : 2 = 2550
Tổng 50 số chẵn hơn tổng 50 số lẻ:
2550 – 2500 = 50
Đáp số:
50

____________________________________
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán 5
Bài 15: Tính tổng các dãy số sau:
a). 1,4,7,10,13,16,19
b). 3,8,13,18,23,28,33,38,43,48
Giải
a).Dãy số trên là dãy số cách đều nhau 3 đơn vị, có 7 số hạng, số hạng đầu là 1, số hạng cuối
là 19.
Tổng trên là: (1 + 19) x 7 : 2 = 70
b). Dãy số trên là dãy số cách đều nhau 5 đơn vị, có 10 số hạng, số hạng đầu là 3, số hạng
cuối là 48.
Tổng trên là: (3 + 48) x 10 : 2 = 225
Đáp số:
a). 70
b). 255
Bài 16: Dãy số sau đây có bao nhiêu số hạng?
a). 1,5,9,13, …….. ,41, 45,49.
b). Các số chẵn từ 4 đến 52.
Giải
a). Dãy số trên là dãy số cách đều nhau 4 đơn vị, số hạng đầu là 3, số hạng cuối là 48.
Số số hạng của dãy số trên là: (49 – 1) : 4 + 1 = 13
b). Các số chẵn từ 4 đến 52 là dãy số cách đều nhau 2 đơn vị, số hạng đầu là 4, số hạng cuối
là 52.
Số số hạng của dãy số trên là: (52 – 4) : 2 + 1 = 25
Đáp số:
a). 13
b). 25
Bài 17: a). Tìm số hạng thứ 20 của dãy số sau: 6,9,12, …..
b). Tìm số hạng thứ 15 trong dãy số lẻ bắt đầu từ 11.
Giải

a).Dãy số trên là dãy số cách đều nhau 3 đơn vị, số hạng đầu là 6.
Số hạng thứ 20 của dãy số đó là: 6 + (20 – 1) x 3 = 63
b).Dãy số lẻ là dãy số cách đều nhau 2 đơn vị, số hạng đầu là 11.
Số hạng thứ 15 của dãy số đó là: 11 + (15 – 1) x 2 = 39


Đáp số:
a). 63 b). 39
Bài 18: Tính tổng 50 số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 15.
Giải
Các số lẻ liên tiếp là dãy số cách đều nhau 2 đơn vị
Số hạng thứ 50 của dãy số là:
15 + (50 – 1) x 2 = 11
Tổng 50 số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 15 là: (15 + 113) x 50 : 2 = 3 20
Đáp số:
3 20
Bài 19: Tính tổng sau: 5+9+13+……………+45+49+53
Giải
Dãy số trên là dãy số cách đều nhau 4 đơn vị, số hạng đầu là 5, số hạng cuối là 53.
Số số hạng của dãy số là:
(53 – 5) : 4 + 1 = 13
Tổng của dãy số trên là:
(5 + 53) x 13 : 2 = 377
Đáp số: 377
Bài tập tham khảo:
Tính các tổng sau:
1/. 1+2+3+…+98+99+100
2/. 2+4+6+….+96+98+100
3/. 1+3+5+…+95+97+99
4/. 25 số lẻ bắt đầu từ 17.

5/. 1+6+11+…. có 50 số hạng.
6/. Các số chăn từ 200 đến 300.
MỘT VÀI DÃY SỐ KHÁC:
a/. 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,…
Kể từ số thứ 3 trở đi, mỗi số hạng bằng tổng 2 số hạng liền trước.
b/. 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, …
Kể từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng bằng tổng của số hạng liền trước và số thứ tự
của nó trong dãy số.
c/.
Cho tích:
1 x 2 x 3 x 5 x 8 x … x 89 x 144.
Hỏi tích trên tận cùng bằng mấy chữ số giống nhau?
Giải
Tích đầy đủ là:
1x2x3x5x8x13x21x34x55x89x144 =
1x2x3x5x8x13x21x34x11x5x89x144 =
Ta thấy trong tích có 2 thừa số 5 và có hơn 2 thừa số chẵn, nên tích trên tận cùng có 2 chữ số
0 giống nhau.