(đề tài KHCN cấp Bộ) Nghiên cứu một số mở rộng của lớp vành và mô đun CohenMacaulay

Mục lục

1

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Thông tin kết quả nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Phần mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Kiến thức chuẩn bị

8

Chuẩn bị về chiều Krull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Đa thức Hilbert-Samuel và số bội . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Chuẩn bị về dãy chính quy và độ sâu . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1

2 Môđun Cohen-Macaulay và môđun giả Cohen-Macaulay

Môđun Cohen-Macaulay . . . .
2.2 Môđun giả Cohen-Macaulay . .
2.3 Tính catenary và dãy thu gọn .
2.4 Trờng hợp không địa phơng .

2.1

3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Vành thơng của vành Cohen-Macaulay

Tính bão hòa nguyên tố . . . . . . . . . . .
i
3.2 Linh hóa tử của Hm
(M ) . . . . . . . . . .
3.3 Vành thơng của vành Cohen-Macaulay
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . .
3.1

1

20

38
. . . . . . . . . . . . .

38

. . . . . . . . . . . . .

43

. . . . . . . . . . . . .

49

. . . . . . . . . . . . .

52


2

Thông tin kết quả nghiên cứu
1. Thông tin chung
Tên đề tài: Nghiên cứu một số mở rộng của lớp vành và mô đun Cohen-Macaulay
Mã số:
Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS Nông Quốc Chinh
Thời gian thực hiên: 1/2014-6/2016

2. Mục tiêu. Đề tài nghiên cứu cấu trúc của một số mở rộng của lớp vành và môđun
Cohen-Macaulay. Ba bài toán đặt ra trong đề tài là:
a) Đặc trng cấu trúc của lớp vành và môđun giả Cohen-Macaulay.
b) Mở rộng các nghiên cứu bài toán a) cho trờng hợp không địa phơng, từ đó
tìm hiểu tính giả Cohen-Macaulay cho các lớp vành và môđun đặc biệt.
c) Nghiên cứu cấu trúc vành thơng của vành Cohen-Macaulay qua tính bão hòa
nguyên tố và linh hóa tử của môđun đối đồng điều địa phơng.
3. Kết quả nghiên cứu
- Trong mục tiêu nghiên cứu a), chúng tôi cải tiến một số kết quả trong bài báo của
Cờng-Nhàn [CN] về đặc trng tính giả Cohen-Macaulay của vành và môđun.
- Trong mục tiêu nghiên cứu b), chúng tôi mở rộng các kết quả ở mục a) cho trờng
hợp không địa phơng, từ đó tìm hiểu tính giả Cohen-Macaulay của vành các chuỗi lũy
thừa hình thức và vành đa thức.
- Trong mục tiêu nghiên cứu c), chúng tôi cải tiến các kết quả trong hai bài báo của
Nhàn-An [NhA] và Bahmanpour-Azami- Ghasemi [BAG] về cấu trúc vành thơng của
vành Cohen-Macaulay thông qua linh hóa tử và tính bão hòa nguyên tố của môđun đối
đồng điều địa phơng.
4. Sản phẩm
4.1. Sản phẩm khoa học
- Chủ nhiệm đề tài (Nong Quoc Chinh) là đồng tác giả 2 bài báo đợc đăng hoặc nhận


3
đăng trên các tạp chí quốc tế có uy tín ISI:
N. Q. Chinh, Some characterizations of pseudo Cohen-Macaulay modules, J.
Algebra Its Appl., 14, (2015), 1550142, 1-11 (with Le Thanh Nhan).
N. Q. Chinh, Prime saturation and annihilators of local cohomology modules,
Bull. Korean Math. Soc., To appear (with Nguyen Thi Anh Hang).
- Hai thành viên đề tài (Phạm Hồng Nam, Trần Đỗ Minh Châu) là đồng tác giả 2 bài
báo trên tạp chí SCI (1 bài đã đăng, 1 bài đã sửa lại theo góp ý của phản biện).

P. H. Nam, Hilbert coefficients and partial Euler{Poincare characteristics of
Koszul complexes of d-sequences, J. Algebra 441 (2015), 125-158 (with Doan Trung
Cuong).
T. D. M. Chau, A measure of non sequential Cohen-Macaulayness of finitely
generated modules, J. Algebra, first revised (with Le Thanh Nhan, Tran Duc Dung).
4.2. Sản phẩm đào tạo. Hỗ trợ luận án tiến sĩ của một thành viên nghiên cứu của
đề tài (Phạm Hồng Nam). Chủ nhiệm đề tài đã hớng dẫn 05 luận văn thạc sĩ bảo vệ
thành công năm 2014, 2015, 2016.
5. Hiệu quả. Hoàn thành mọi mục tiêu đề ra trong thuyết minh.
6. Khả năng áp dụng và phơng thức chuyển giao các kết quả nghiên cứu
- Về khoa học: Công bố đợc một số kết quả mới, có ý nghĩa khoa học trên các tạp
chí quốc tế có uy tín ISI, mà nội dung của các bài báo đều nằm trong các chủ đề nghiên
cứu của đề tài Cấu trúc của một số mở rộng của lớp vành và môđun Cohen-Macaulay.
- Về giáo dục và đào tạo: Hớng dẫn thạc sĩ, hỗ trợ luận án tiến sĩ của một thành
viên đề tài, phục vụ hiệu quả cho công tác giảng dạy sau đại học các chuyên ngành về
Toán tại Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên.
- Góp phần nâng cao năng lực nghiên cứu các thành viên trong nhóm thực hiện đề
tài, mở rộng hợp tác nghiên cứu.


4

Summary
1. General information
Project title: A study of certain extensions of the class of Cohen-Macaulay modules.
Code number:
Duration: From 1/2014 to 6/2016
Project Investigator: Associate Professor Nong Quoc Chinh
2. Objectives. The purpose of this project is to study the structure of certain extensions
of the class of Cohen-Macaulay rings and modules:

a) Study the structure of pseudo Cohen-Macaulay modules;
b) Extend the research topic a) to the non-local case, and then study the pseudo
Cohen-Macaulayness for some specific rings and modules.
c) Study the structure of local rings which are quotients of a local Cohen-Macaulay
rings in terms of the prime saturation and the annihilator of local cohomology modules.
3. Main results
- In the research topic a), we improve some results in the paper by Cuong-Nhan
[CN] on the pseudo Cohen-Macaulayness of rings and modules.
- In the research topic b), we extend the results to the non-local case, then we
characterize the pseudo Cohen-Macaulayness of the formal power series rings and the
polynomial rings.
- In the research topic c), we study the structure of local rings which are quotients
of Cohen-Macaulay local rings in terms of prime saturation and the annihilator of local
cohomology modules. These generalize the known results in the two papers by Nhan-An
[NhA] and by Bahmanpour-A’zami- Ghasemi [BAG].
4. Results
4.1. Scientific publications
- The principal investigator (Nong Quoc Chinh) is the co-author of the two papers
published or accepted in international reputed journals listed by ISI:


5
• N. Q. Chinh, Some characterizations of pseudo Cohen-Macaulay modules, J.
Algebra Its Appl., 14, (2015), 1550142, 1-11 (with Le Thanh Nhan).
• N. Q. Chinh, Prime saturation and annihilators of local cohomology modules,
Bull. Korean Math. Soc., To appear (with Nguyen Thi Anh Hang).
- The two members of the project (Pham Hong Nam, Tran Do Minh Chau) are the
co-authors of the two papers, one is already published and the other is revised for
publication in an SCI journal:
• P. H. Nam, Hilbert coefficients and partial Euler{Poincare characteristics of

Koszul complexes of d-sequences, J. Algebra 441 (2015), 125-158 (with Doan Trung
Cuong).
• T. D. M. Chau, A measure of non sequential Cohen-Macaulayness of finitely
generated modules, J. Algebra, first revised (with Le Thanh Nhan, Tran Duc Dung).
4.2. Training results. To support a Ph.D thesis of a investigator of the project (Pham
Hong Nam). The principal investigator instructed 05 master theses successfully defended
in 2014, 2015, 2016.
5. Effectiveness. All the objectives of the project are completed.
6. Applications
- On the scientific aspect: Publishing some scientific results in ISI journals of mathematics (in the research topic of the project).
- On educational aspect: Instructing 5 master theses, supporting a PhD thesis, teaching undergraduate students and graduate students in mathematics at Thai Nguyen University of Sciences.
- Strengthening the research capacity for the investigators of the projects, deepening
the cooperation in scientific research with domestic and international research institutions
.


6

Phần mở đầu
Lớp vành và môđun Cohen-Macaulay là đối tợng nghiên cứu trung tâm của Đại số
giao hoán. Vành và môđun Cohen-Macaulay còn xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác
của toán học nh Hình học Đại số, Đại số Tổ hợp, Lí thuyết bất biến. Lí thuyết vành và
môđun Cohen-Macaulay đã đợc trình bày khá đầy đủ trong cuốn sách chuyên khảo của
Bruns-Herzog [BH], ở đó cấu trúc của lớp vành và môđun này đợc làm rõ và đợc đặc
trng qua các lí thuyết quen biết nh lí thuyết địa phơng hóa, đầy đủ hóa, lí thuyết đối
đồng điều địa phơng. Đặc biệt, môđun Cohen-Macaulay đợc đặc trng qua lí thuyết
số bội nh sau: một môđun hữu hạn sinh M trên vành Noether địa phơng (R, m) là
Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu độ dài R (M/xM) và số bội e(x, M) luôn bằng nhau
với mọi hệ tham số x của M (xem Chơng 2, Tiết 2.1).
Từ những năm 1960 của thế kỉ trớc, một số mở rộng của lớp vành và môđun

Cohen-Macaulay đã đợc khám phá. Mở đầu từ một giả thuyết nổi tiéng của D. A.
Buchsbam về sự khác nhau giữa độ dài R (M/xM) và số bội e(x, M), hai nhà toán
học W. Vogel và J. Struckrad đã đa ra một phản ví dụ cho giả thuyết này và từ đó lớp
vành và môđun Buchsbaum ra đời, đó là lớp vành và môđun thỏa mãn điều kiện trong
giả thuyết của D. A. Buchsbaum, tức là sự khác nhau giữa độ dài R (M/xM) và số bội
e(x, M) luôn là hằng số không phụ thuộc vào cách chọn hệ tham số x của M. Năm
1978, mở rộng tiếp theo của lớp vành và môđun Cohen-Macaulay đợc giới thiệu bởi N.
T. Cờng, P. Schenzel, N. V. Trung, đó là lớp vành và môđun Cohen-Macaulay suy rộng,
chúng thỏa mãn điều kiện: sự khác nhau giữa độ dài R (M/xM) và số bội e(x, M)
luôn bị chặn trên bởi một hằng số không phụ thuộc vào hệ tham số x của M. Năm
2003, trong một bài báo đăng trên Tạp chí Đại số (Journal of Algebra), N. T. Cờng và
L. T. Nhàn đã giới thiệu một lớp vành và môđun mới, mở rộng của lớp vành và môđun
Cohen-Macaulay theo hớng khác, gọi là vành và môđun giả Cohen-Macaulay. Chúng
thỏa mãn điều kiện độ dài R (M/Q(x, M)) và số bội e(x, M) luôn bằng nhau với mọi


7
hệ tham số x (xem Chơng 2, Tiết 2.2).
Mục đích của đề tài là nghiên cứu cấu trúc của một số mở rộng của lớp vành và
môđun Cohen-Macaulay. Ba bài toán cụ thể của đề tài là:
a) Đặc trng cấu trúc của lớp vành và môđun giả Cohen-Macaulay.
b) Mở rộng các nghiên cứu trong bài toán a) cho trờng hợp không địa phơng,
từ đó tìm hiểu tính giả Cohen-Macaulay cho các lớp vành và môđun đặc biệt.
c) Nghiên cứu cấu trúc vành thơng của vành Cohen-Macaulay qua tính bão hòa
nguyên tố và linh hóa tử của môđun đối đồng điều địa phơng.
Các kết quả thu đợc là sự cải tiến hoặc mở rộng không tầm thờng cho những kết
quả trớc đây trong các bài báo của Cờng-Nhàn [CN], Nhàn-An [NhA] và BahmanpourAzami- Ghasemi [BAG] về đặc trng tính giả Cohen-Macaulay của vành và môđun; về
tính giả Cohen-Macaulay của vành các chuỗi lũy thừa hình thức và vành đa thức; và về
cấu trúc vành thơng của vành Cohen-Macaulay thông qua linh hóa tử và tính bão hòa
nguyên tố của môđun đối đồng điều địa phơng.

Các kết quả mới của đề tài đợc viết trong 4 bài báo đợc công bố, đợc nhận đăng
hoặc đợc sửa (revised) trên những tạp chí quốc tế có uy tín xếp hạng bởi ISI.
Đề tài đợc viết thành 3 chơng. Trong Chơng 1, chúng tôi nhắc lại một số kiến
thức chuẩn bị về chiều, đa thức Hilbert-Samuel, số bội và độ sâu để tiện cho việc trình
bày các kết quả trong 2 chơng sau. Chơng 2 và Chơng 3 trình bày các kết quả mới
của đề tài về cấu trúc một số mở rộng của lớp vành và môđun Cohen-Macaulay.


Chơng 1
Kiến thức chuẩn bị
Trớc khi trình bày các kết quả của đề tài, chúng tôi cần nhắc lại một số kiến thức
chuẩn bị về chiều và độ sâu để tiện cho việc theo dõi. Các khái niệm, kí hiệu, nội dung
trình bày trong chơng này đợc viết dựa theo các tài liệu [Mat], [BH], [BS1].
Trong suốt chơng này, luôn giả thiết R là một vành giao hoán Noether và M là
R-môđun hữu hạn sinh.

1.1 Chuẩn bị về chiều Krull
1.1.1 Định nghĩa. Một dãy nguyên tố độ dài n của R là một dãy p0 p1 . . . pn
các iđêan nguyên tố của R thỏa mãn pi = pi+1 với mọi i. Chiều (Krull) của R, kí hiệu
là dim R, là cận trên của các độ dài của các dãy nguyên tố của R.
1.1.2 Ví dụ. Chiều của vành Z các số nguyên là 1 vì dãy {0} 2Z là một dãy iđêan
nguyên tố độ dài 1. Hơn nữa, nếu I là một iđêan nguyên tố của Z thì I = {0} hoặc
I có dạng pZ với p là số nguyên tố. Do đó dãy nguyên tố dài nhất trong Z có dạng
0 pZ với p là số nguyên tố. Vì thế dim Z = 1.
Đặt AnnR M = {a R | aM = 0}. Khi đó AnnR M là một iđêan của R.
1.1.3 Định nghĩa. Chiều (Krull) của M, kí hiệu là dim M, đợc định nghĩa là chiều
của vành thơng R/ AnnR M.

8

9
1.1.4 Ví dụ. Xét R := Z là vành các số nguyên và M := Z/12Z là một Z-môđun hữu
hạn sinh. Ta có AnnZ M = 12Z. Vì thế dim M là chiều của vành thơng Z/12Z. Vành
thơng này có 2 iđêan nguyên tố là 3Z/12Z và 2Z/12Z. Do đó dim M = 0.
Tiếp theo, chúng ta trình bày một số tính chất về chiều. Với mỗi iđêan I của R ta
kí hiệu Var(I) là tập các iđêan nguyên tố của R chứa I.
1.1.5 Định nghĩa. Tập giá của M, kí hiệu là SuppR M, đợc cho bởi công thức
Supp M = {p Spec(R) | Mp = 0}.
Khi L một R-môđun (không cần hữu hạn sinh) ta luôn có SuppR L Var(AnnR L).
Vì M là hữu hạn sinh, ta có thêm bao hàm thức ngợc lại. Vì thế ta có thể tính chiều
của M qua tập giá của M.
1.1.6 Bổ đề. Ta có SuppR M = Var(AnnR M). Hơn nữa,
dim M = sup{dim(R/p) | p SuppR M}.
Kế quả quan trọng sau đây cho ta công thức tính chiều của vành đa thức.
1.1.7 Mệnh đề. ([Mat, Định lí 15.4]). Kí hiệu R[x1 , . . . , xn ] là vành đa thức n biến với
hệ số trên R. Khi đó
dim R[x1 , . . . , xn ] = n + dim R.
Tiếp theo, chúng ta quan tâm đến chiều của vành các chuỗi lũy thừa hình thức.


aixi | ai R, i . Mỗi phần tử của R[[x]] đợc

1.1.8 Định nghĩa. Đặt R[[x]] =
i=0

gọi là một chuỗi lũy thừa hình thức của biến x với hệ số trong R. Định nghĩa phép

i

cộng

ai x +
i=0



i

(ai + bi )x và phép nhân

bi x =
i=0

trong đó ck =



i

i=0



ai x
i=0

i



j

ck x k ,

bj x =
j=0

k=0

aibj . Khi đó R[[x]] là một vành giao hoán Noether. Vành R[[x]]
i+j=k

đợc gọi là vành các chuỗi lũy thừa hình thức của biến x trên R. Vành chuỗi lũy thừa
hình thức n biến x1, . . . , xn với hệ số trên R, kí hiệu là R[[x1, . . . , xn ]], đợc định nghĩa
tơng tự bằng quy nạp theo n.


10
Mệnh đề sau đây cho ta công thức tính chiều của vành các chuỗi lũy thừa hình thức.
1.1.9 Mệnh đề. ([Mat, Định lí 15.4]). Ta có
dim R[[x1, . . . , xn ]] = n + dim R.
1.1.10 Định nghĩa. Một iđêan nguyên tố p của R đợc gọi là một iđêan nguyên tố liên
kết của M nếu tồn tại 0 = x M sao cho p = AnnR x. Tập các iđêan nguyên tố liên
kết của M đợc kí hiệu là AssR M.
Vì M hữu hạn sinh nên SuppR M = Var(AnnR M). Do đó min SuppR M =
min Var(AnnR M), trong đó ta kí hiệu min là cho tập các phần tử tối thiểu theo quan

hệ bao hàm. Vì M hữu hạn sinh và R là Noether nên theo [Mat, Định lí 6.5(iii)],
min AssR M = min SuppR M. Vì vậy ta có thể tính chiều thông qua chiều của các
iđêan nguyên tố liên kết nh sau.
1.1.11 Bổ đề. Tập các iđêan nguyên tố liên kết tối thiểu của M chính là tập các iđêan
nguyên tố tối thiểu chứa AnnR M. Đặc biệt ta có
dim M = max{dim(R/p) | p AssR M}.
1.1.12 Ví dụ. Cho K là một trờng. Cho R = K[x, y, z, t] là vành đa thức 4 biến với
hệ số trên K. Đặt M = R/(x2 , y, t)R (z 3)R. Khi đó AssR M = {p1 , p2}, trong đó
p1 = (x, y, t)R và p2 = (z). Ta có dim(R/p1 ) = 1 và dim(R/p2 ) = 3. Vì thế
dim M = max{1, 3} = 3.
1.1.13 Ví dụ. Cho K là một trờng. Cho R = K[[x, y, z, t]] và J = (x, y 2) (y, z 3, t5).
Cho M = R/J. Khi đó dim R = 4. Ta có AssR M = {p1, p2 }, trong đó p1 = (x, y)R
và p2 = (y, z, t)R. Suy ra
dim(R/J ) = max{dim R/p1 , dim(R/p2 } = max{2, 1} = 2.
Nhắc lại rằng một vành giao hoán Noether đợc gọi là vành địa phơng nếu nó có
duy nhất một iđêan tối đại.


11
1.1.14 Ví dụ. Vành Z không là vành địa phơng vì 2Z và 3Z là hai iđêan tối đại khác
nhau. Với K là một trờng thì vành K[[x1, . . . , xn ]] là vành địa phơng với iđêan tối
đại duy nhất là (x1 , . . . , xn ).
Trong phần cuối tiết này, chúng ta giả thiết (R, m) là một vành Noether địa phơng
với iđêan tối đại duy nhất m. Bây giờ chúng ta nghiên cứu chiều của môđun khi chuyển
qua đầy đủ m-adic.
1.1.15 Định nghĩa. Một dãy (xn ) R đợc gọi là một dãy Cauchy theo tôpô m-adic
nếu với mỗi k N cho trớc, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho xn xm mk với mọi
n, m n0 . Dãy (xn ) R đợc gọi là dãy không nếu với mỗi k N cho trớc, tồn
tại số n0 sao cho xn mk với mọi n n0 . Ta trang bị quan hệ tơng đơng trên tập
các dãy Cauchy nh sau: Hai dãy Cauchy (xn ), (yn ) đợc gọi là tơng đơng nếu dãy

(xn yn ) là dãy không. Kí hiệu R là tập các lớp tơng đơng. Chú ý rằng quy tắc
cộng (xn ) + (yn ) = (xn + yn ) và quy tắc nhân (xn )(yn ) = (xn yn ) không phụ thuộc vào
cách chọn các đại diện của các lớp tơng đơng. Vì thế nó là các phép toán trên R và
cùng với hai phép toán này, R làm thành một vành Noether địa phơng với iđean tối
đại duy nhất là mR. Vành R vừa xây dựng đợc gọi là vành đầy đủ của R theo tôpô
m-adic.
1.1.16 Ví dụ. Cho S = K[x1, . . . , xn ] là vành đa thức với K là một trờng. Cho
m = (x1 , . . . , xn ) và R là vành địa phơng hóa của S tại m. Khi đó R là vành địa phơng
và đầy đủ M-adic của vành R là vành các chuỗi lũy thừa hình thức K[[x1, . . . , xn ]],
trong đó M là iđêan tối đại duy nhất của R.
1.1.17 Định nghĩa. Một dãy (zn ) M đợc gọi là dãy Cauchy theo tôpô m-adic nếu
với mỗi k N cho trớc, tồn tại n0 sao cho zn zm mk M. Từ khái niệm dãy Cauchy
nh trong định nghĩa vành đầy đủ m-adic ở trên, tơng tự ta định nghĩa đợc khái niệm
môđun đầy đủ theo tôpô m-adic trên vành R. Môđun này đợc kí hiệu là M .
Kết quả sau đây cho ta công thức tính chiều của một môđun khi chuyển qua đầy đủ
m-adic.


12
1.1.18 Bổ đề. ([Mat, Định lí 15.1(ii)]). Ta có dim M = dim(M ).
1.1.19 Ví dụ. Cho K là một trờng và S = K[x1, . . . , xn ] là vành đa thức n biến với
hệ số trên K. Gọi R là vành địa phơng hóa của S tại iđêan tối đại m = (x1, . . . xn )S.
Khi đó R = K[[x1, . . . , xn ]]. Do đó ta có
dim R = dim K[[x1, . . . , xn ]] = n.
Trong phần còn lại của tiết này, ta giả thiết M là R-môđun hữu hạn sinh với
dim M = d và I là một iđêan của R.
1.1.20 Định nghĩa. Ta gọi I là iđêan nguyên sơ nếu I = R và xy I kéo theo x I
hoặc tồn tại số n > 0 sao cho y n I với x, y R. Chú ý rằng nếu I là iđêan nguyên
sơ thì tập hợp
Rad(I) := {x R | n N để xn I}

là một iđêan nguyên tố p của R và khi đó ta gọi I là iđêan p-nguyên sơ.
Chú ý rằng khi I là iđêan nguyên sơ thì Rad(I) là iđêan nguyên tố, nhng chiều
ngợc lại không đúng, xem [Mat]. Tuy nhiên, nếu Rad(I) là iđêan cực đại của R thì
I là iđêan nguyên sơ.
1.1.21 Ví dụ. Trong vành Z các số nguyên, 4Z là iđêan nguyên sơ. Tổng quát hơn, nếu
p và số nguyên tố và n là số nguyên dơng thì pn Z là iđêan nguyên sơ. Trong vành
các chuỗi lũy thừa hình thức K[[x1, . . . , xn ]] trên trờng K, iđêan (x21, . . . , x2i ) là iđêan
nguyên sơ với mọi i

n. Tổng quát hơn, nếu n1 , . . . , ni là các số nguyên dơng thì

(xn1 1 , . . . , xni i ) là iđêan nguyên sơ.
1.1.22 Định nghĩa. Dãy các môđun con lồng nhau 0 = M0 M1 . . . Mn = M,
trong đó Mi = Mi+1 với mọi i, đợc gọi là một xích độ dài n. Độ dài của M, kí hiệu
là R (M), là cận trên của các độ dài của các xích của M.
Chú ý rằng R (M) < nếu và chỉ nếu tồn tại một dãy hợp thành của M, tức là
một dãy môđun con 0 = M0 M1 . . . Mn = M của M sao cho không thể chèn


13
thêm bất cứ môđun con nào trong tất cả các mắt của dãy trên. Trong trờng hợp này,
mọi dãy các môđun con (không có thành phần lặp lại) của M đều có thể mở rộng thành
một dãy hợp thành của M và mọi dãy hợp thành của M đều có chung độ dài.
1.1.23 Bổ đề. Giả sử M = 0. Các phát biểu sau là tơng đơng
(i) M có độ dài hữu hạn;
(ii) AnnR M là iđêan m-nguyên sơ;
(iii) dim M = 0.

1.2 Đa thức Hilbert-Samuel và số bội
Định lí sau đây cho ta 2 bất biến tơng đơng với chiều.

1.2.1 Định lý. ([Mat, Định lí 13.4], [BH]). Cho q là một iđêan m-nguyên sơ. Khi đó,
(M/qn M) là một đa thức với hệ số hữu tỷ khi n đủ lớn và
dim M = deg (M/qn M)
= inf t | x1, . . . , xt m, (M/(x1 , . . . , xt )M) < .
Khi n đủ lớn, (M/qn M) là một đa thức, đa thức này đợc gọi là đa thức Hilbert
- Samuel của M ứng với iđêan m-nguyên sơ q.
1.2.2 Chú ý. Vì R là vành Noether nên m là hữu hạn sinh. Do đó tồn tại hữu hạn phần
tử x1 , . . . , xt m sao cho m = (x1, . . . , xt)R. Chú ý rằng (M/mM) < . Do đó
(M/(x1 , . . . , xt)M) < .
Theo Định lí 1.2.1 ta có hệ quả sau.
1.2.3 Hệ quả. Môđun hữu hạn sinh trên vành địa phơng luôn có chiều hữu hạn.
Cho x m. Đặt M1 = M/xM và dim M1 = k. Khi đó tồn tại x1, . . . , xk m sao
cho (M1 /(x1, . . . , xk )M1 ) < . Do đó (M/(x, x1 , . . . , xk )M) < . Theo Định lí
1.2.1 ta có d

k + 1. Do đó d 1

k. Vì thế dim(M/xM) d 1. Bằng quy nạp

theo số phần tử của dãy và sử dụng Định lí 1.2.1 ta có thể chỉ ra đợc kết quả sau.


14
1.2.4 Hệ quả. Nếu x1, . . . , xr m thì ta có
dim(M/(x1 , . . . , xr )M) d r.
1.2.5 Định nghĩa. Một hệ (x1, . . . , xd ) m (ở đây d = dim M) đợc gọi là một hệ
tham số của M nếu (M/(x1 , . . . , xd )M) < . Một hệ (x1 , . . . , xr ) m với r

d,

đợc gọi là một phần hệ tham số của M nếu
dim(M/(x1 , . . . , xr )M) = d r.
Cho x m. Vì min AssR M = min Var(AnnR M) nên nếu x
/ p với mọi p
AssR M thỏa mãn dim(R/p) = d thì dim(M/xM) < d. Do đó dim(M/xM) = d 1
và vì thế x là phần tử tham số của M. Ngợc lại, giả sử x là phần tử tham số của
M. Khi đó dim(M/xM) = d 1. Nếu x p với p AssR M nào đó thỏa mãn
dim(R/p) = d thì
dim(M/xM) = dim(R/(xR + AnnR M)) dim(R/p) = d,
điều này là vô lí. Vì vậy ta có tiêu chuẩn sau để một phần tử x m là phần tử tham số.
1.2.6 Bổ đề. Giả sử dim M = d. Cho x m. Khi đó x là phần tử tham số của M nếu
và chỉ nếu x
/ p với mọi p AssR M thỏa mãn dim(R/p) = d.
1.2.7 Ví dụ. Cho R = K[[x, y, z]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức 3 biến với hệ
số trên một trờng K. Đặt M = R/J , trong đó J = (x2, y 3)R zR. Khi đó R là vành
địa phơng với iđêan tối đại duy nhất m = (x, y, z)R và AssR M = {p1 , p2}, trong đó
p1 = (x, y)R và p2 = zR. Ta có dim(R/p1 ) = 1 và dim(R/p2 ) = 2. Do đó
dim M = max{dim(R/p1 ), dim(R/p2 )} = 2.
Lấy f = x và g = y + z. Rõ ràng f, g m. Rõ ràng f
/ p2 . Vì thế f là phần tử tham
số của M. Ta có (x2, y 3 )R zR = (zx2 , zy 3)R. Vì thế
M/fM
= R/(x, zx2 , zy 3)R = R/(x, zy 3 )R = R/((x, z)R (x, y 3)R).
Ta có AssR (M/fM) = {q1 , q2 }, trong đó q1 = (x, z)R và q2 = (x, y)R. Vì g
/ q1 và
g
/ q2 nên g là phần tử tham số của M/fM. Suy ra (f, g) là một hệ tham số của M.


15

Tiếp theo, chúng ta trình bày khái niệm số bội, các tính chất của số bội.
1.2.8 Định nghĩa. (Xem [BH]). (i) Một hệ (x1, . . . , xt) các phần tử trong m đợc gọi
là một hệ bội của M nếu R (M/(x1 , . . . , xt)M) < . Một hệ bội gồm d = dim M
phần tử đợc gọi là một hệ tham số.
Rõ ràng rằng nếu (x1, . . . , xt) là một hệ bội của M thì nó cũng là hệ bội của mọi
môđun con và môđun thơng của M. Hơn nữa, nếu (x1, . . . , xt) là một hệ bội của M
thì (xn1 1 , . . . , xnt t ) là một hệ bội của M với mọi số nguyên dơng n1 , . . . , nt .
1.2.9 Định nghĩa. (Xem [BH]). Cho x = (x1, . . . , xt) là hệ bội của M. Số bội hình
thức của M ứng với x, kí hiệu là e(x1, . . . , xt; M) hay e(x; M), đợc định nghĩa bàng
quy nạp theo d nh sau.
- Với d = 0, tức là R (M) < , đặt e(, M) = R (M).
- Cho d > 0. Khi đó (x2, . . . , xt ) là hệ bội của M/x1 M và 0 :M x1. Vì thế, theo
giả thiết quy nạp, các số bội e(x2, . . . , xt; M/x1 M) và e(x2, . . . , xt; 0 :M x1 ) đã đợc
định nghĩa. Đặt
e(x1, . . . , xt ; M) = e(x2, . . . , xt; M/x1 M) + e(x2, . . . , xt; 0 :M x1).
Sau đây là một số tính chất của số bội hình thức.
1.2.10 Tính chất. (Xem [BH]). Cho (x1, . . . , xt) là hệ bội của M. Khi đó
(i) Tính không âm: e(x1, . . . , xt ; M) 0. Hơn nữa, e(x1, . . . , xt ; M) > 0 nếu và
chỉ nếu t = d = dim M.
(ii) e(xn1 1 , . . . , xnt t ; M) = n1 . . . nt e(x1, . . . , xt ; M) với mọi n1 , . . . , nt > 0.
(iii) Tính cộng tính: Nếu 0 M M M 0 là một dãy khớp các
R-môđun và (x1, . . . , xt ) là một hệ bội của M thì
e(x1, . . . , xt; M) = e(x1, . . . , xt ; M ) + e(x1, . . . , xt ; M ).
Tiếp theo ta trình bày mối quan hệ giữa số bội Zariski-Zamuel và số bội hình thức.


16
1.2.11 Định nghĩa. (Xem [Mat], [BH]) Giả sử q là một iđêan m-nguyên sơ. Khi đó
R (M/qn M) là một đa thức bậc d = dim M với hệ số hữu tỷ khi n đủ lớn. Vì đa thức
này nhận giá trị nguyên với mọi biến nguyên nên khi n đủ lớn, đa thức có biểu diễn

R (M/qn M) =

e(q; M) d
n + đa thức có bậc nhỏ hơn d,
d!

trong đó e(q; M) là một số nguyên dơng. Ta gọi e(q; M) là số bội Zariski - Samuel
của M ứng với q.
Sau đây là mối quan hệ giữa số bội hình thức và số bội Zariski - Samuel.
1.2.12 Mệnh đề. (Xem [BH]). Cho (x1, . . . , xd ) là hệ tham số của M. Gọi q là iđêan
sinh bởi (x1, . . . , xd ). Khi đó e(x1, . . . , xd ; M) = e(q; M).
Sau đây là mối quan hệ giữa số bội hình thức và độ dài.
1.2.13 Mệnh đề. (Xem [BH]). Nếu (x1 , . . . , xd ) là hệ bội của M thì
e(x1, . . . , xt ; M)

R (M/(x1 , . . . , xt)M).

1.3 Chuẩn bị về dãy chính quy và độ sâu
Trong tiết này, chúng ta luôn giả thiết (R, m) là vành Noether địa phơng và M = 0 là
một R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d. Với mỗi x R ta đặt
(0 :M x) = {m M | xm = 0}.
Khi đó (0 :M x) là môđun con của M.
1.3.1 Định nghĩa. (i) Một phần tử x R đợc gọi là phần tử không là ớc của không
đối với M nếu (0 :M x) = 0. Phần tử x R đợc gọi là phần tử M-chính quy nếu
(0 :M x) = 0 và M = xM.
(ii) Một dãy các phần tử (x1, . . . , xk ) trong R đợc gọi là M-dãy chính quy hay
M-dãy nếu M = (x1, . . . , xk )M và xi là M/(x1 , . . . , xi1 )M-chính quy với mọi i.


17

1.3.2 Chú ý. Nếu (x1, . . . , xk ) m thì theo Bổ đề Nakayama ta có M = (x1, . . . , xn )M.
Vì thế (x1, . . . , xk ) là M-dãy nếu và chỉ nếu xi không là ớc của không đối với môđun
M/(x1 , . . . , xi1)M với mọi i = 1, . . . , k.
1.3.3 Ví dụ. Cho R = K[[x, y, z, t]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức trên một
trờng K. Khi đó x + y, y, z là một R-dãy.
Chúng ta dễ dàng kiểm tra đợc tính chât sau đây.
1.3.4 Bổ đề. Cho x, x1, . . . , xk m. Khi đó ta có
(i) x là M-chính quy nếu và chỉ nếu x
/ p với mọi p AssR M.
(ii) (x1 , . . . , xk ) là M-dãy nếu và chỉ nếu với mọi i = 1, . . . , k ta có xi
/ p với mọi
p AssR(M/(x1 , . . . , xi1 )M).
Trớc khi trình bày tính chất của dãy chính quy, chúng ta cần nhắc lại một số khái
niệm về môđun đối đồng điều địa phơng.
1.3.5 Định nghĩa. (Xem [BS1]). Với I là iđêan của R và L là một R-môđun tùy ý
(không nhất thiết hữu hạn sinh), ta đặt (0 :L I) = {m L | Im = 0}. Khi đó
(0 :L I) (0 :L I 2) (0 :L I 3) . . .
(0 :L I n ) là một môđun con

là một dãy tăng các môđun con của L. Vì thế I (L) :=
n0

của L. Nếu f : L L là đồng cấu các R-môđun thì ta có đồng cấu f : I (L)
I (L ) cho bởi f (x) = f(x). Khi đó I () là hàm tử khớp trái, hiệp biến từ phạm trù
các R-môđun đến phạm trù các R-môđun. Ta gọi I () là hàm tử I-xoắn.
1.3.6 Định nghĩa. (Xem [BS1]). Cho L là R-môđun và I là iđêan của R. Môđun dẫn
suất phải thứ n của hàm tử I-xoắn I () ứng với L đợc gọi là môđun đối đồng điều
thứ n của L với giá I và đợc kí hiệu là HIn (L).
Một R-môđun L đợc gọi là I-xoắn nếu L = I (L). Sau đây là những tính chất cơ
bản của môđun đối đồng điều địa phơng.

18
1.3.7 Tính chất. (Xem [BS1]) Cho L là một R-môđun. Các phát biểu sau là đúng.
(i) Nếu L là I-xoắn thì HIi (L) = 0 với mọi i 1.
(ii) HIi (L) là I-xoắn với mọi i. Đặc biệt, HIj (HIi (L)) = 0, j > 0.
(iii) Nếu 0 L L L 0 là dãy khớp ngắn các R-môđun thì tồn tại với
mỗi số tự nhiên n một đồng cấu n : HIn (L) HIn+1 (L) sao cho ta có dãy khớp dài


0
0 I (L) I (L) I (L )
HI1 (L )



1
HI1 (L) HI1 (L )
HI2 (L ) . . .

Từ nay đến hết tiết này, luôn giả thiết (R, m) là vành Noether địa phơng và M là
R-môđun hữu hạn sinh chiều d.
1.3.8 Mệnh đề. (Xem [BS1]). Cho r N. Các mệnh đề sau là tơng đơng
(i) Tồn tại một M-dãy có độ dài r trong I.
(ii) HIi (M) = 0 với mọi i < r.
Khi x m là M-chính quy thì nó tránh tất cả các iđêan nguyên tố của M. Vì thế
bằng tiêu chuẩn của phần tử tham số và quy nạp theo k ta có kết quả sau.
1.3.9 Bổ đề. Mỗi M-dãy trong m là một phần hệ tham số của M.
1.3.10 Định nghĩa. Một M-dãy (x1 , . . . , xk ) các phần tử trong I đợc gọi là M-dãy
tối đại trong I nếu không tồn tại một phần tử y I sao cho (x1 , . . . , xk , y) là M-dãy.

1.3.11 Ví dụ. Cho K là một trờng và R = K[[x, y, z, t]] là vành các chuỗi lũy thừa
hình thức với hệ số trên K. Đặt M = R/(x + y 2)R. Khi đó y, z, t là một M-dãy tối
đại trong m = (x, y, z, t)R. Do đó ta có Hmi (M) = 0 với mọi i < 3.
1.3.12 Mệnh đề. (Xem [BS1], [Mat]). Nếu M = IM thì mỗi M-dãy trong I đều mở
rộng đợc thành một M-dãy tối đại trong I và hai M-dãy tối đại trong I có chung độ
dài. Độ dài chung này chính là số nguyên i nhỏ nhất sao cho HIi (M) = 0.
Mệnh đề trên cho ta tính đúng đắn trong định nghĩa khái niệm độ sâu của môđun
hữu hạn sinh sau đây.


19
1.3.13 Định nghĩa. Cho M = IM. Khi đó độ dài của một M-dãy chính quy tối đại
trong I đợc gọi là độ sâu của M trong I, và đợc kí hiệu là depth(I; M). Độ sâu của
M trong iđêan cực đại m đợc gọi là độ sâu của M và đợc kí hiệu là depth(M).
1.3.14 Hệ quả. (Xem [BS1], [Mat]). Cho M = IM. Các phát biểu sau là đúng.
(i) depth(I; M) = inf{i | HIi (M) = 0}.
(ii) depth(I; M) > 0 HI0(M) = 0 m AssR M.
(iii) Nếu x I là phần tử M-chính quy thì
depth(I; M/xM) = depth(I; M) 1.
(iv) depth R[[x1, . . . , xn ]] = depth R + n.
Các kết quả sau đây chỉ ra rằng độ sâu của môđun đợc bảo toàn qua đầy đủ hóa.
1.3.15 Mệnh đề. (Xem [Mat]). depth(I, M) = depth(I R, M). Đặc biệt
depth(M) = depth(M ).
Cuối cùng, chúng ta đa ra mối liên hệ giữa độ sâu và chiều của các iđêan nguyên
tố liên kết.
1.3.16 Bổ đề. (Xem [Mat]). depth(M)

dim(R/p) với mọi p AssR (M).

Chơng 2
Môđun Cohen-Macaulay và môđun giả
Cohen-Macaulay
Chơng này trình bày kết quả mới của đề tài về lớp vành và môđun giả Cohen-Macaulay.
Các kết quả trong các Tiết 2.2, 2.3, 2.4 đợc viết dựa theo bài báo [NCh].
Trong suốt chơng này, luôn giả thiết (R, m) là vành Noether địa phơng và M là
R-môđun hữu hạn sinh với chiều dim M = d. Các thuật ngữ, kí hiệu trong chơng này
đợc lấy theo các cuốn sách chuyên khảo [Mat], [BS1], [Na], [BH].

2.1 Môđun Cohen-Macaulay
Trong Tiết 1.1, chúng ta đã chỉ ra rằng
dim M = max{dim(R/p) | p AssR M}.
Vì thế từ các Bổ đề 1.3.16 ta có ngay kết quả sau.
2.1.1 Hệ quả. dim M depth M.
2.1.2 Định nghĩa. Môđun M đợc gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu M = 0 hoặc
depth M = dim M. Vành R đợc gọi là vành Cohen-Macaulay nếu R là R-môđun
Cohen-Macaulay.
Sử dụng các tính chất về chiều và độ sâu trong Chơng 1, chúng ta có thể kiểm tra
tính Cohen-Macaulay và không Cohen-Macaulay trong Ví dụ sau đây.
20


21
2.1.3 Ví dụ. Cho K là một trờng và x, y, z là các biến và R = K[[x, y, z, t]]. Đặt
M1 = R/((x2 , z, t) (y, z, t)) và M2 = R/((x2 ) (y, z 2)). Khi đó R là vành địa
phơng Noether, M1 , M2 là các R-môđun hữu hạn sinh và
(i) R là vành Cohen-Macaulay;
(ii) M1 là R-môđun Cohen-Macaulay;
(iii) M2 không là R-môđun Cohen-Macaulay.
Từ tính chất về chiều và độ sâu trong Chơng 1, chúng ta suy ra tính Cohen-Macaulay

của môđun khi chuyển qua đầy đủ m-adic.
2.1.4 Mệnh đề. (Xem [BH]). M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi M là CohenMacaulay.
Sau đây là đặc trng tính Cohen-Macaulay khi chia cho một dãy chính quy.
2.1.5 Mệnh đề. (Xem [BH]). Cho (x1, . . . , xr ) m là một M-dãy chính quy. Khi đó
M là R-môđun Cohen-Macaulay chiều d nếu và chỉ nếu M/(x1 , . . . , xr )M là R-môđun
Cohen-Macaulay chiều d r. Đặc biệt, mỗi dãy chính quy là một phần hệ tham số.
Tiếp theo chúng ta nghiên cứu tính không trộn lẫn của vành và môđun CohenMacaulay.
2.1.6 Định nghĩa. (Xem Nagata [Na]). Môđun M đợc gọi là không trộn lẫn nếu
dim(R/P ) = dim M với mọi P AssRb (M ).
2.1.7 Mệnh đề. (Xem [BH]). Giả sử M là môđun Cohen-Macaulay chiều d. Khi đó
depth(M) = dim M = dim(R/p) = d
với mọi p AssR (M).
2.1.8 Chú ý. Nếu M là mô đun Cohen-Macaulay thì M không trộn lẫn. Thật vậy, vì
M là Cohen-Macaulay nên M cũng là Cohen-Macaulay. Do đó dim(R/P ) = d với mọi
P AssRb M.


22
Sau đây là tính chất Cohen-Macaulay khi chuyển qua địa phơng hóa.
2.1.9 Mệnh đề. (Xem [Mat]). Môđun M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu Mp là
Cohen-Macaulay với mọi p SuppR M.
Tiếp theo chúng ta nghiên cứu tính catenary và catenary phổ dụng của vành thơng
R/ AnnR M khi M là Cohen-Macaulay.
2.1.10 Định nghĩa. (Xem [Na]). Một dãy p0 p1 . . . pn những iđêan nguyên tố
của R đợc gọi là dãy bão hòa độ dài n nếu với mỗi i ta có pi = pi+1 và không tồn
tại một iđêan nguyên tố q của R sao cho pi q pi+1 . Vành R đợc gọi là vành
catenary nếu với mỗi cặp iđêan nguyên tố q p, luôn tồn tại một dãy nguyên tố bão
hòa giữa q và p và các dãy nguyên tố bão hòa giữa q và p đều có chung độ dài.
Rõ ràng mỗi vành Noether địa phơng chiều 2 đều là catenary. Giả sử I là iđêan
của R. Khi đó mỗi iđêan của vành thơng R/I có dạng J/I, trong đó J là một iđêan

của R chứa I. Vì thế nếu R là vành catenary thì R/I cũng là catenary.
2.1.11 Chú ý. Trong chơng này ta luôn giả thiết R là vành địa phơng. Do đó theo
kết quả đã chỉ ra ở Tiết 1.2, ta có dim R < . Suy ra, với mỗi cặp iđêan nguyên tố
q p, luôn tồn tại một dãy nguyên tố bão hòa giữa q và p. Vì thế, R là catenary nếu
và chỉ nếu với mỗi cặp iđêan nguyên tố q p, các dãy nguyên tố bão hòa giữa q và p
đều có chung độ dài.
2.1.12 Định nghĩa. (Xem [Na]). Vành R đợc gọi là catenary phổ dụng nếu mọi đại
số hữu hạn sinh trên R đều catenary.
2.1.13 Chú ý. Giả sử S là một đại số hữu hạn sinh trên R. Khi đó tồn tại a1, . . . , an S
sao cho S = R[a1 , . . . , an ]. Do đó ta có toàn cấu vành R[x1, . . . , xn ] R[a1, . . . , an ]
cho bởi f(x1 , . . . , xn ) = f(a1 , . . . , an ). Vì thế S là vành thơng của vành đa thức
R[x1, . . . , xn ]. Vì vành thơng của vành catenary là catenary nên vành R là catenary
phổ dụng nếu và chỉ nếu mọi vành đa thức R[x1 , . . . , xn ] là catenary.


23
Kết quả sau đây chỉ ra mối quan hệ giữa tính Cohen-Macaulay với tính catenary và
catenary phổ dụng.
2.1.14 Mệnh đề. Nếu M là Cohen-Macaulay thì vành thơng R/ AnnR M là catenary
phổ dụng.
Phần cuối của tiết này dành để trình bày một số đặc trng của môđun CohenMacaulay qua đối đồng điều địa phơng và số bội.
2.1.15 Mệnh đề. (Xem [BH], [BS1]). Cho d = dim M. Các phát biểu sau là tơng
đơng:
(i) M là Cohen-Macaulay.
(ii) Hmi (M) = 0 với mọi i < d.
(ii) Tồn tại một hệ tham số x = (x1, . . . , xd ) của M sao cho e(x, M) = R (M/xM).
(ii) e(x, M) = R (M/xM) với mọi hệ tham số x = (x1 , . . . , xd ) của M.

2.2 Môđun giả Cohen-Macaulay
Cho a = (a1 , . . . , ad ) là một hệ tham số của M. Đặt

t+1
t
t
(at+1
1 , . . . , ad )M :M a1 . . . ad.

QM (a) =
t>0

2.2.1 Bổ đề. (Xem [CM, Bổ đề 3.1]). Kí hiệu e(a; M) là số bội của M ứng với a. Khi
đó QM (a) là một môđun con của M chứa (a1, . . . , ad )M và
R (M/aM) e(a; M) R (M/QM (a)).
Với mỗi bộ d số nguyên dơng n = (n1, . . . , nd ), đặt a(n) = (an1 1 , . . . , and d ). Đặt
JM (a(n)) = n1 . . . nd e(a; M) (M/QM (a(n))),
trong đó e(a; M) là số bội của M ứng với hệ tham số a. Xét JM (a(n)) nh một hàm
số theo d biến nguyên dơng n = (n1, . . . , nd ). Nhìn chung JM (a(n)) không là đa thức
khi n1 , . . . , nd đủ lớn (xem [CN]), nhng nó vẫn có nhiều tính chất tốt. Chẳng hạn,


24
hàm này là hàm tăng và luôn nhận giá trị không âm, hơn nữa nó bị chặn trên bởi đa
thức có bậc không quá d 1.
2.2.2 Bổ đề. (Xem [CM, Định lí 3.2]). Bậc nhỏ nhất của những đa thức chặn trên hàm
JM (a(n)) không phụ thuộc vào việc chọn hệ tham số a của M.
2.2.3 Định nghĩa. (Xem [CN, Định nghĩa 2.2]). Môđun M đợc gọi là giả CohenMacaulay nếu tồn tại hệ tham số a của M sao cho e(a; M) = R (M/QM (a)).
Theo R. Hartshorne, nếu a là một M-dãy chính quy thì QM (a) = (a1, . . . , ad )M.
Vì thế ta có kết quả sau.
2.2.4 Hệ quả. Nếu M là Cohen-Macaulay thì M là giả Cohen-Macaulay.
Theo Cuong - Minh [CM, Định lí 3.2], nếu ta có đẳng thức e(a; M) = R (M/QM (a))
với một hệ tham số a thì ta cũng có đẳng thức đó với mọi hệ tham số a của M. Vì thế

ta có kết quả sau.
2.2.5 Hệ quả. Môđun M là giả Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu e(a; M) = R (M/QM (a))
với mọi hệ tham số a của M.
Chú ý rằng e(a; M) = e(a; M ) và R (M/QM (a)) = Rb (M/QM
c(a)) với mọi hệ
tham số a của M. Vì thế ta có hệ quả sau.
2.2.6 Bổ đề. M là giả Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu M là giả Cohen-Macaulay.
Từ đây đến hết chơng này, luôn kí hiệu UM (0) là môđun con lớn nhất của M có
chiều nhỏ hơn d. Đặt M = M/UM (0) và gọi nó là phần không trộn lẫn của M.
Nh đã chỉ ra trong [CN], các tính chất của môđun giả Cohen-Macaulay vẫn tốt và
rất gần với tính chất của các môđun Cohen-Macaulay modules. Chẳng hạn, mỗi môđun
Cohen-Macaulay là môđun giả Cohen-Macaulay. Đặc biệt, ta có quan hệ sau đây giữa
tính giả Cohen-Macaulay của M và tính Cohen-Macaulay của thành phần không trộn
lẫn của M.


25
2.2.7 Bổ đề. (Xem [CN]). Gọi UM
c(0) là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn
d. Khi đó M là giả Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu M/UM
c(0) là Cohen-Macaulay.
Theo Auslander-Buchsbaum [AB], một phần tử a m đợc gọi là một phần tử M-thu
gọn nếu a
/ p với mọi p AssR M thỏa mãn dim(R/p) d 1. Một dãy (a1 , . . . , ar )
các phần tử trong m đợc gọi là một M-dãy thu gọn nếu ai là M/(a1 , . . . , ai1 )M-thu
gọn với mọi i = 1, . . . , r. Chú ý rằng nếu (a1, . . . , ar ) là một M-dãy thu gọn thì nó là
một phần hệ tham số của M. Do đó ta cũng nói phần tử M-thu gọn là phần tử tham
số thu gọn. Kết quả sau chỉ ra rằng tính giả Cohen-Macaulay đợc bảo toàn khi chia
cho một phần tử tham số thu gọn.
2.2.8 Bổ đề. (Xem [CN, Hệ quả 3.4]). Cho a m là phần tử tham số thu gọn của M.

Nếu M là giả Cohen-Macaulay thì M/aM cũng là giả Cohen-Macaulay.
Trớc khi trình bày kết quả chính của tiết này, chúng ta cần bổ đề sau đây về dãy
thu gọn.
2.2.9 Bổ đề. Cho r

d 1 là một số nguyên không âm. Nếu (a1 , . . . , ar ) là dãy M-thu

gọn thì
d r 1.

dim UM (0) + (a1, . . . , ar )M/(a1 , . . . , ar )M

Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo r. Khi r = 0 thì ta không phải chứng
minh gì. Cho r = 1. Vì a1 là M-chính quy nên a1
/ p với mọi p AssR UM (0) sao
cho dim(R/p) = d 1. Vì thế, dim UM (0)/a1 UM (0)
dim UM (0) + a1M/a1 M

d 2, ở đây
d 2.

Vì vậy, kết quả đúng cho r = 1. Cho r > 1 và giả thiết rằng kết quả đã đúng cho r 1.
Đặt
N = (UM (0) + (a1, . . . , ar1 )M)/(a1 , . . . , ar1 )M.
Chúng ta khẳng định rằng
dim(N/ar N)

d r 1.