Tổng hợp bài tập hình học không gian có đáp án chi tiết

TỔNG HỢP BÀI TẬP TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐÁP ÁN
CHI TIẾT
Câu 1:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy lớn là AB. Gọi M,N lần
lượt là trung điểm của các cạnh SA và SB.
a) Chứng minh MN//CD.
b) Gọi P là giao điểm của SC và mặt phẳng (ADN). Hai đường thẳng AN và DP cắt nhau tại I.
Chứng minh rằng SI//AB và SA//IB.
Bài 2:
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB nằm trong hai mặt phẳng khác
nhau. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M,N sao cho

AM BN 1

 .
AC BF 3

Chứng minh rằng MN//DE.
Bài 3:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với hai cạnh đáy là AB và CD. Gọi I, K
lần lượt là trung điểm của hai cạnh AD, BC và G là trọng tâm tam giác SAD.
a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (IKG) với mặt phẳn (SAD).
b) Xác định thiêt diện của hình chóp với mặt phẳng (IKG). Thiết diện là hình gì? Tìm điều
kiện với AB và CD để thiết diện là hình bình hành.
Bài 4:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E,F,G,H lần lượt là trung điểm
của các cạnh SA, SB, SC, SD.
a) Tìm giáo tuyến của các cặp mặt phẳng (SAB) và (SCD), (SAD) và (SBC).
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABH) và (CDF).
Câu 5:
Cho tứ diện ABCD gọi M; N lần lượt là trung điểm của AD và AC . Chứng minh MN//(BCD)

và CD//(BMN).
Câu 6:
Cho 2 hình bình hành ABCD và ABEF không nằm trong cùng một mặt phăng.Gọi O và O’ lần
lượt là tâm của ABCD và ABEF.


1. Chứng minh OO’ // (ADF) và OO’// (BCE).
2. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và ABE. Chứng minh MN // (CDE).
Câu 7:
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB nhưng không nằm trong một mặt
phẳng.
a) Gọi O và O’ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF. Chứng minh: OO’ song song với các mặt
phẳng (ADF) và (BCE).
b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm các tam giác ABD và ABE. Chứng minh MN song song
với mặt phẳng (CEF).
Câu 8:
Cho tứ diện ABCD. Mặt phẳng   bất kì song song với AC và BD đi qua điểm P trên BC, cắt
cạnh AB, AD, CD lần lượt tại Q, R, S. Chứng minh PQRS là hình bình hành.
Câu 9:
Cho hình chóp S.ABCD với M,N là hai điểm lần lượt lấy trên các cạnh AB và CD. Gọi ( ) là
mặt phẳng qua MN và song song với SA.
a) Tìm các giao tuyến của ( ) với các mặt phẳng (SAB) và (SAC)
b) Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng  
Câu 10:
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA
,SD.
a. Chứng minh rằng : (OMN) // (SBC)
b.Gọi P, Q , R lần lượt là trung điểm của AB ,ON, SB.
Chứng minh : PQ // (SBC), (MOR) // (SCD)
Câu 11:

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB và không đồng phẳng . I , J , K
lần lượt là trung điểm các cạnh AB , CD, EF. Chứng minh :
a.(ADF) // (BCE)
b. (DIK) // (JBE)
Câu 12:


Cho các hình bình hành ABCD , ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau .Trên các đường
chéo AC, BF theo thứ tự lấy các điểm M,N sao cho MC = 2AM , NF = 2BN . Qua M, N lần
lượt kẻ các đường thẳng song song với cạnh AB, cắt các cạnh AD, AF theo thứ tự tại
M1 , N1 .
Chứng minh rằng :
a . MN // DE
b. M 1 N1 //( DEF )
c. (MNM 1 N1 ) //( DEF )
Câu 13:
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng phân
biệt . Gọi M , N thứ tự là trung điểm của AB , BC và I , J , K theo thứ tự là trọng tâm
các tam giác ADF , ADC , BCE . Chứng minh (IJK) // (CDFE).
Câu 14:
Cho tứ diện ABCD . Gọi G1 , G2 , G3 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC , ACD , ADB
a. Chứng minh : (G1G2 G3 ) //( BCD)
b.Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng (G1G2 G3 )
Tính diện tích thiết diện theo diện tích của tam giác BCD là S.


ĐÁP ÁN

Câu 1:

a) M, N là đường trung bình của tam giác SAB nên MN//AB, mà AB//CD. Suy ra MN//CD.
b) Gọi E  AD  BC . Trong mặt phẳng (SBC), NE cắt SC tại P với P là giao điểm của SC và
mặt phẳng (ADN).
Vậy ta có:
 AB  ( SAB)
CD  ( SCD)


 AB / / CD
 SI  ( SAB)  ( SCD)
 SI / / AB / / CD

Xét tam giác BNA và SNI bằng nhau (g-c-g) nên từ đó
Dễ dàng chứng minh được SI=2MN và AN=NI nên SABI là hình bình hành.
Do đó: SI // IB.

Câu 2:


Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD, ta có O là trung điểm của BD và OA là trung tuyến
AM 1
AM 2
 ta suy ra:
 . Do đó M là trọng tâm của tam giác ABD nên DM đi
AC 3
OA 3
IM 1
 .
qua trung điểm I của AB và ta có
ID 3

Mặt khác vì

Chứng minh tương tự, ta có EN đi qua I và
Trong tam giác IDE vì

Câu 3:

IN 1
 .
IE 3

IM IN 1

 nên ta suy ra MN//DE
ID IE 3


a) Giao tuyến của (IKG) và (SAD) là đường thẳng đi qua điểm chung G, cắt SA tại M và SB
tại N với MN//AB//IK.
b) Nối IK, KN, NM, MI ta được thiết diện là hình thang IKMN.
Ta có: MN//AB suy ra:
Do đó: MN 

MN SG 2

 với E  AB  SG
AB SE 3

2

AB
3
1
2

Mặt khác IK  (AB CD)
Muốn hình thang IKMN là hình bình hành thì MN=IK.
Ta có: MN  IK 

2
1
AB  ( AB  CD)  AB  3CD
3
2

Đó là điều kiện cần tìm.


Câu 4:

a) Vì AB//CD nên hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) có giao tuyến là đường thẳng a đi qua S và
song song với AB.
Tương tự hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) có giao tuyến là đường thẳng b đi qua S và song
song với BC .
b) Gọi:
P  ED  AH
Q  BG  CF

Hai mặt phẳng (ABH) và (CDF) lần lượt chứa AB và CD song song với nhau nên có giao
tuyến PQ//AB//CD.

Câu 5:


Xét tam giác ACD
Ta có: MN // CD (đường trung bình)
CD  (BCD)=> MN // (BCD)
CD //MN
MN  (BMN)=> CD // (BMN)
Câu 6:

1. Xét tam giác BDF , OO’ là đường trung bình =>OO’//DF=>OO’//(ADF).
Xét tam giác AEC , OO’ là đường trung bình =>OO’//EC=>OO’//(BCE).
2. DM cắt AB tại trung điểm I của AB
EN cắt AB tại trung điểm I của AB
 IM 1


IM IN
 ID 3
 


 MN / / DE
IN
1
ID
IE




 IE 3
EF / / DC  EF  (CDE )  MN / /(CDE )


Câu 7:

a) OO’ không chứa trong mặt phẳng (ADF) và (BCE). Ta có: OO’//DF mà DF  ( ADF ) .
Do đó OO’//mp(ADF).
Tương tự: OO’//CE mà CE  ( BCE ) . Dó đó: OO’//mp(BCE).
b)Kéo dài MN cắt CD tại G ta có AB//CD nên:
BM AM 1


BG
AC 3

Mặt khác:

BN 1

BF 3

Do đó MN//GF
Mà GF  mp(CDFE) và mặt phẳng này không chứa MN, nên ta suy ra MN//mp(CEF).
Câu 8:


( ) là mặt phẳng song song với AC và BD

Vì   //AC nên   cắt hai mặt phẳng (ABC) và (ADC) theo hai giao tuyến PQ//RS//AC.

Mặt khác   //BD nên   cắt hai mặt phẳng (ABD) và (CDB) theo hai giao tuyến
QR//PS//BD.
Tứ giác PQRS có PQ//RS và QR//PS nên nó là hính bình hành.
Câu 9:

a) Ta có:   / /SA mà SA   SAB  và M     (SAB)
Ta biết 1 điểm chung M của   và (SAB) đồng thời biết phương của giao tuyến là phương
song song với SA.
Vậy    (SAB)  MP với MP//SA.
Tương tự ta cũng có, R  AC  MN là một điểm chung của   với (SAC) đồng thời   / /SA
mà SA   SAC  nên ta có giao tuyến là RQ     (SAC ) với RQ//SA.
b) Các đoạn giao tuyến của   với các mặt phẳng (SAB), (SBC), (SCD), và (ANCD) là MP,
PQ, QN, NM. Do đó thiết diện là tứ giác MPQN.
Câu 10:


S

R

M
N

P

A

B

Q

O
D

C

a. Chứng minh rằng : (OMN) // (SBC):
Xét tam giác SAC và SDB :
OM / / SC
 (OMN ) / /( SBC )
ON / / SB

Ta có : 

b.Chứng minh : PQ // (SBC)
OP / / AD
 OP / / MN
 AD / / MN

Ta có : 

M, N, P, O đồng phẳng
PQ  (MNO)
 PQ  ( MNO)
 PQ / /( SBC )
(MNO) // (SBC)

Mà 

Vậy : PQ // (SBC)
Chứng minh : PQ // (SBC), (MOR) // (SCD) :

 MR / / AB
 MR / / DC
 AB / / DC

Ta có : 

Xét tam giác SDB : ta có OR // SD

(1)
(2)

 MR / / DC và OR / / SD

Từ (1) và (2) , ta được  MR  ( MOR) và OR  ( MOR)  ( MOR) / /( SCD)
 DC  ( SCD) và SD  ( SCD)


Câu 11:


F

K

A
D

E

I

J

B
C

a. (ADF)//(BCE):
 AD / / BC

Ta có :  AD  ( BCE )  AD / /( BCE )
 BC  ( BCE )

 AF / / BE

Tương tự :  AF  ( BCE )  AF / /( BCE )
 BE  ( BCE )


Từ (1) và (2) , ta được :
 AD / /( BCE )

 ( ADF ) / /( BCE )
 AF / /( BCE )
 AD  ( ADF ) và AF  ( ADF )


Vậy : ( ADF ) //( BCE )
b. (DIK)//(JBE) :

Ta có :

 DI / / JB
 ( DIK ) / /( JBE )

 IK / / BE

Vậy: (DIK)//(JBE)
Câu 12:

(1)

(2)


E

F
N1

N
B

A
I

M1

M
C

D

a.
MN // DE :

Giả sử EN cắt AB tại I
Xét

 NIB   NEF

Ta có :

IB NB 1


EF NF 2

I là trung điểm AB và

IN 1
 (1)
NE 2

Tương tự : Xét  MAI   MCD
Ta có :

MA MI 1


MC MD 2

I là trung điểm AB và

Từ (1) và (2) , suy ra

IM 1
 (2)
MD 2

IM
IN

MD NE

 MN // DE

Vậy : MN // DE
b.
M 1 N1 //( DEF ) :

Ta có : NN1 // AI 

AN 1 IN 1


N1 F NE 2

Tương tự : MM 1 // AI 

AM 1 IM 1


M 1 D MD 2

(3)

(4)


Từ (3) và (4) , suy ra

Ta được :

AN 1 AM 1 1


N1 F M 1 D 2

 M 1 N1 // DF

 M1 N1 / / DF
 M1 N1 / /( DEF )

 DF  ( DEF )

Vậy : M 1 N1 //( DEF )
c.
(MNM 1 N1 ) //( DEF ) :
 MN / / DE
 ( MNN1M1 ) / /( DEF )
M
N
/

/
DF
 1 1

Ta có : 

Vậy : (MNM 1 N1 ) //( DEF )
Câu 13:
C

D

J

M

N
K

I
B

A
F

Xét tam giác MFC :
Ta có :

MI
MJ 1



MF MC 3

 IJ // FC

(1)

Xét hình bình hành MNEF :
Ta có :

MI
NK 1


MF NE 3

 IK // FE

(2)
 IJ // FC
 ( IJK ) //( CEF )
 IK // FE

Từ (1) và (2) , ta được 

E


Vậy: ( IJK ) //( CEF )

Câu 14:
A

E

G3

G

G1

F

G2
D

L

B

N

M
C

a. Chứng minh : (G1G2 G3 ) //( BCD)
Gọi M , N , L lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , CD và BD
Ta có :

AG1 AG 2 AG3 2




AM
AN
AL
3

 G1G2 // MN

; G2 G3 // NL

; G3G1 // LM

G1G2 / / MN

 (G1G2G3 ) / /( BCD)
 G2G3 / / NL

 MN  ( BCD) , NL  ( BCD)

Vậy : (G1G2 G3 ) //( BCD)

b. Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng (G1G2 G3 ) :
 BC / /(G1G2G3 )

Ta có :  BC  ( BCD)
 gt qua G1 // BC cắt AB và AC tại E và F
G  (G G G )  ( ABC )
1 2 3

 1

Tương tự :
(G1G2 G3 ) cắt (ACD) theo giao tuyến FG // CD
(G1G2 G3 ) cắt (ABD) theo giao tuyến GE // BD

Xét tam giác AMC và tam giác ABC


Ta có : G1 F // MC
EF // BC



AG1 AF 2


AM
AC 3



EF AF

BC AC

Từ (1) và (2), ta được

(1)
(2)

AG1 EF 2


AM BC 3

2
3

 EF  .BC
2
3

Tương tự : FG  .CD
2
GE  .BD
3
2
3

2
3

2
3

2
3

 EF  FG  GE  .BC  .CD  .GE  ( BC  CD  GE)

Diện tích thiết diện :
1
S EFG  . ( EF  FG  GE).( EF  FG  GE).( EF  GE  FG ).( FG  GE  EF ).
4
1 4
4 9

= . . ( BC  CD  DB).( BC  CD  DB).( BC  DB  CD).(CD  DB  BC )
4
9

= .S BCD
4
9

Vậy: S EFG  .S BCD