Các bài toán chọn lọc về Tổ hợp Xác suất

Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

www.Moon.vn

CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC VỀ XÁC SUẤT
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT các bài tập chỉ có tại website MOON.VN
Ví dụ 1. [ĐVH]: Ngày 06/04/2015 Bộ GD & ĐT bất ngờ ra công văn gây nhiều tranh cãi, làm xôn xao
cộng đồng mạng “ Đối với kỳ thi THPT Quốc gia, tất cả thí sinh đều phải thi 8 môn gồm Toán học, Vật lý,
Hóa học, Sinh học, Tiếng Anh, Ngữ Văn, Lịch sử và Địa lý. Cụ thể, mỗi thí sinh sẽ phải làm 2 bài thi
tổng hợp đánh giá năng lực từ 8 môn nêu trên, mỗi bài thi gồm 4 môn ”. Có nhiều ý kiến đã được đưa ra
và một trong số đó là của GS. Ngô Bảo Châu “ Theo tôi, đây là một phương án tuyển sinh hay mang tính
chất đột phá, đặc biệt hai môn Toán học và Lịch Sử cần nằm trong một bài thi ”. Còn bạn, bạn nghĩ sao
khi đọc được công văn này. Hãy tính xác xuất để ý kiến của GS. Ngô Bảo Châu được thực hiện.
Lời giải:
Mỗi bài thi gồm 4 môn, chia 8 môn thành 2 bài thi có C84 .C84− 4 = 70 cách.
Chọn 2 môn vào 1 trong 2 bài thi có 2 cách.
Chọn 2 môn vào bài thi có 3 môn để lập thành một bài thi hoàn chỉnh có C82− 2 = 15 cách.
Do đó số cách chọn để 2 môn cùng nằm trong một bài thi là 2.15 = 30 cách.
Vậy xác suất cần tìm là

30 3
= .
70 7

Ví dụ 2. [ĐVH]: Để chào mừng ngày Quốc tế Phụ nữ Việt Nam 20 – 10, một trường THPT Chất Lượng
Cao có tổ chức một cuộc thi để tuyển chọn ra các bạn nữ xinh đẹp. Mỗi khối có 4 lớp từ A1 đến A4, mỗi
lớp sẽ có một bạn nữ đại diện đi thi. Trong ngày khai mạc cuộc thi, bất ngờ có sự xuất hiện của hai người

đẹp nổi tiếng là Hoa hậu Kỳ Duyên và Á hậu Huyền My Chelsea. Vòng thi thứ nhất, các người đẹp
được chia thành 2 đội hoàn toàn bí mật và số lượng người đẹp của hai đội là như nhau. Chuyện kể rằng,

Hoa hậu Kỳ Duyên đã tiên tri ba người đẹp của các lớp 12A1, 11A1, 10A1 sẽ cùng một đội còn Á hậu
Huyền My Chelsea cho rằng ba người đẹp của các lớp 12A2, 11A3, 10A4 sẽ cùng một đội. Còn bạn, bạn
có dự đoán, tiên tri gì. Hãy tính xác suất để lời tiên tri của Hoa hậu Kỳ Duyên xảy ra.

Lời giải:
Mỗi đội có 6 người đẹp, chia 12 người đẹp thành 2 đội có C126 .C126 −6 = 924 cách.
Chọn 3 người đẹp vào 1 trong 2 đội có 2 cách.
Chọn 3 người đẹp vào một đội có 3 người đẹp để lập thành một đội hoàn chỉnh có C123 −3 = 84 cách.
Do đó số cách chọn để 3 người đẹp cùng đội là 2.84 = 168 cách.
Vậy xác suất cần tìm là

168 2
= .
924 11

Ví dụ 3. [ĐVH]: Một lớp đại học có 80 học sinh và bạn ĐVH có số thứ số 69. Một giáo viên chọn ngẫu
nhiên 5 học sinh lên hát bài “ Không phải dạng vừa đâu” của Sơn Tùng MTP. Tính xác suất để 4 bạn học
sinh được chọn có số thứ tự nhỏ hơn và 1 bạn có số thứ tự lớn hơn số thứ tự của bạn ĐVH .
Tham gia trọn vẹn các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015


Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

www.Moon.vn

Lời giải:
5
80

Chọn 5 học sinh trong 80 bạn có: C cách chọn

Chọn 4 bạn học sinh có STT nhỏ hơn 69 ta có: C684 cách chọn.
1
Chọn 1 bạn có STT lớn hơn 69 ( từ 70 đến 80) có: C11
cách chọn

Vậy xác suất cần tìm của bài toán là: p =

C684 .C111
8958235
=
là giá trị cần tìm.
5
C80
24040016

Ví dụ 4. [ĐVH]: Trong một giải cầu lông, có 8 vận động viên tham dự trong đó có Nam và Việt. Các vận
động viên được chia thành hai bảng A và B, mỗi bảng gồm 4 người. Giả sử việc chia bảng được thực hiện
một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để hai vận động viên Nam và Việt ở trong cùng một bảng đấu.
Lời giải:
+) Trước tiên là tìm số cách chia 8 VĐV thành 2 bảng A và B, mỗi bảng 4 VĐV.
• Chọn 4 trong 8 VĐV ta có C84 cách
• Cho 4 VĐV này vào 1 trong 2 bảng A hoặc B ta có 2 cách.
Như vậy số cách là 2.C84 = 140 .
+) Sau đó ta tìm số cách chia để Nam và Việt cùng 1 bảng.
• Chọn 2 VĐV Nam và Việt
• Chọn 2 trong 6 VĐV còn lại để ghép với Nam và Việt thành 1 bảng ⇒ có C62 cách.
• Cho 4 VĐV vừa chọn trên 1 trong 2 bảng A hoặc B ta có 2 cách
Như vậy số cách là 2. C 62 .
2.C62
3

= .
4
2.C8 14
Ví dụ 5. [ĐVH]: Có 3 bó hoa. Bó thứ nhất có 8 bông hoa hồng, bó thứ hai có 7 bông hoa ly, bó thứ ba có
6 bông hoa huệ. Chọn ngẫu nhiên 7 bông từ ba bó hoa trên để cắm vào một lọ hoa. Tính xác suất để trong
7 bông được chọn có số bông hoa hồng bằng số bông ly.
Lời giải:
Số cách chọn 7 bông hoa từ 21 bông hoa (3 bó hoa) là C217 = 116280.
Gọi số bông hoa hồng, hoa ly và hoa huệ lần lượt là a, b và c.
a + b + c = 7
a = b

Theo bài ta có : 0 ≤ a ≤ 8
⇒ ( a; b; c ) ∈ {(1;1;5 ) ; ( 2; 2;3) ; ( 3;3;1)}
0 ≤ b ≤ 7

0 ≤ c ≤ 6
Vậy xác suất cần tìm là P =

Nên số cách để chọn ra 7 bông mà số bông hoa hồng bằng hoa ly là C81C71C65 + C82C72C63 + C83C73C61 = 23856.
23856
994
Vậy xác suất cân tìm là P =
=
.
116280 4845
Ví dụ 6. [ĐVH]: Mỗi đề thi gồm 4 câu được lấy ngẫu nhiên từ 15 câu hỏi trong một ngân hàng đề thi
gồm 15 câu hỏi. Bạn Thủy đã học thuộc 8 câu trong ngân hàng đề thi. Tính xác suất để bạn Thủy rút ngẫu
nhiên được một đề thi có ít nhất hai câu đã thuộc.
Lời giải:

Gọi a số câu trong đề Thủy học thuộc, b là số câu mà Thủy không học thuộc ⇒ a + b = 4.
Số cách tạo ra đề thi 4 câu được lấy ngẫu nhiên từ 15 câu hỏi là C154 = 1365.
Khi Thủy rút được ngẫu nhiên đề thi mà có ít nhất 2 câu đã học thuộc thì a ≥ 2 mà a + b = 4 nên các khả
năng có thể xảy ra là ( a; b ) ∈ {( 2;2 ) ; ( 3;1) ; ( 4;0 )} .
Thủy học thuộc 8 câu nên số câu Thủy không thuộc là 7 nên số khả năng xảy ra trường hợp trên là
C82 .C72 + C83 .C71 + C84 .C70 = 1050.
Tham gia trọn vẹn các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015


Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Vậy xác suất xảy ra trường hợp trên là P =

www.Moon.vn

1050 10
= .
1365 13

Ví dụ 7. [ĐVH]: Gọi M là tập hợp các số tự nhiên gồm 9 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ
M, tính xác suất để số được chọn có đúng 4 chữ số lẻ và chữ số 0 đứng giữa hai chữ số lẻ (các chữ số liền
trước và liền sau của chữ số 0 là các chữ số lẻ).
Lời giải:
Xét các số có 9 chữ số khác nhau:
- Có 9 cách chọn chữ số ở vị trí đầu tiên.
- Có A98 cách chọn 8 chữ số tiếp theo
Do đó số các số có 9 chữ số khác nhau là: 9. A98 = 3265920
Xét các số thỏa mãn đề bài:
- Có C54 cách chọn 4 chữ số lẻ.
- Đầu tiên ta xếp vị trí cho chữ số 0, do chữ số 0 không thể đứng đầu và cuối nên có 7 cách xếp.

- Tiếp theo ta có A42 cách chọn và xếp hai chữ số lẻ đứng hai bên chữ số 0.
- Cuối cùng ta có 6! cách xếp 6 chữ số còn lại vào 6 vị trí còn lại.
Gọi A là biến cố đã cho, khi đó n( A) = C54 .7. A42 .6! = 302400.
302400
5
= .
Vậy xác suất cần tìm là P ( A) =
3265920 54

Ví dụ 8. [ĐVH]: Đề cương ôn tập cuối năm môn Toán lớp 12 có 40 câu hỏi. Đề thi cuối năm gồm 3 câu
hỏi trong số 40 câu đó. Một học sinh chỉ ôn 20 câu trong đề cương. Giả sử các câu hỏi trong đề cương đều
có khả năng được chọn làm câu hỏi thi như nhau. Hãy tính xác suất để có ít nhất 2 câu hỏi của đề thi cuối
năm nằm trong số 20 câu hỏi mà học sinh nói trên đã ôn.
Lời giải:
3
Không gian mẫu Ω có Ω = C40
= 9880 (phần tử)

Gọi A là biến cố “có ít nhất 2 câu hỏi của đề thi nằm trong số 20 câu đã ôn”.
Ta thấy xảy ra một trong hai TH sau :

• TH1: Trong đề thi có đúng 2 câu hỏi trong 20 câu đã ôn.
• TH2: Trong đề thi có đúng 3 câu hỏi trong 20 câu đã ôn.
1
1
Do đó Ω A = C202 .C20
+ C20
= 1330 (phần tử)
Vậy xác suất cần tìm P ( A ) =

ΩA
Ω

=

1330 7
=
9880 52

Ví dụ 9. [ĐVH]: Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Chọn ngẫu nhiên ra 5 tấm thẻ. Tính xác suất để
trong 5 tấm thẻ được chọn ra có 3 tấm thẻ mang số lẻ, 2 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng một
tấm thẻ mang số chia hết cho 4.
Lời giải.
5
Số phần tử của không gian mẫu là: n ( Ω ) = C20 = 15504 .
Trong 20 tấm thẻ, có 10 tấm thẻ mang số lẻ, có 5 tấm thẻ mang số chẵn và chia hết cho 4, 5 tấm thẻ mang
số chẵn và không chia hết cho 4.
Gọi A là biến cố cần tính xác suất. Ta có: n ( A ) = C103 .C51.C51 = 3000 .
Vậy, xác suất cần tính là: P ( A ) =

n ( A)

n (Ω)

=

3000 125
=
.
15504 646

Ví dụ 10. [ĐVH]: Chị bán hoa có 14 bông hoa hồng, trong đó có 6 bông hoa màu đỏ, 5 bông hoa màu
hồng và 3 bông hoa màu vàng. Trong ngày Valentine 1 anh chàng chọn 4 bông hoa để tạo thành một bó
Tham gia trọn vẹn các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015


Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

www.Moon.vn

hoa trong 14 bông hoa trên để tặng bạn gái của mình. Tính xác suất để 4 bông hoa được chọn không có
quá 2 loại hoa khác màu.
Lời giải.
Số cách chọn 4 bông hoa từ 14 bông hoa là: C144 = 1001
Số cách chọn 4 bông hoa có đủ cả 3 màu được tính như sau :
Hoa đỏ có 2 bông, hoa hồng và hoa vàng có 1 bông. Số cách chọn là C62 .C51.C31 = 225
Hoa hồng có 1 bông, hoa đỏ và hoa vàng có 1 bông. Số cách chọn là C61 .C52 .C31 = 180
Hoa vàng có 2 bông, hoa đỏ và hoa hồng có 1 bông. Số cách chọn là C61 .C51.C32 = 90
Vậy theo quy tắc cộng có 225 + 180 + 90 = 495 cách chọn mà 4 bông hoa có đủ cả 3 màu.
Gọi A là biến cố: “ 4 bông hoa đó không có quá 2 loại hoa khác màu”
506 46
=
.
Ta có: ΩA = 1001 − 495 = 506 . Do vậy p ( A ) =
1001 91

Ví dụ 11. [ĐVH]: Trong giải bóng đá tranh cúp C1 châu Âu có 16 CLB bóng đá tham dự và được chia
thành 4 bảng khác nhau mỗi bảng 4 đội, trong 16 đội bóng có 4 đại diện nước Anh, 3 đại diện nước Tây
Ban Nha, 3 đại diện nước Đức và 6 đội bóng thuộc các các nước khác. Ban tổ chức chọn ngẫu nhiên 4 đội
bóng để xếp hạt giống. Tính xác suất để 4 đội bóng đó có 1 đội nước Anh, 1 đội Tây Ban Nha, 1 đội nước

Đức và 1 đội thuộc nước khác.
Lời giải.
4
Số phần tử của không gian mẫu là: C16
Số cách chọn 4 đội bóng gồm 1 đội nước Anh, 1 đội Tây Ban Nha, 1 đội nước Đức và 1 đội thuộc nước
khác là: 4.3.3.6 = 216 .
216 54
Do đó xác suất cần tìm là: p = 4 =
C16 455
Ví dụ 12. [ĐVH]: Trong kỳ thi Tiếng Anh có 50 câu trắc nghiệm với 4 phương án trả lời A, B, C, D. Mỗi
câu trả lời đúng được cộng 2 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ 1 điểm, bạn Trang vì học rất kém môn
Tiếng Anh nên bạn chọn random cả 50 câu trả lời. Tính xác suất để Trang đạt được 10 điểm trong kỳ thi
trên.
Lời giải.
Gọi x là số câu trả lời đúng vậy 50 − x là số câu trả lời sai.
Ta có số điểm của Trang là: 2 x − ( 50 − x ) = 10 ⇔ 3x = 60 ⇔ x = 20
Do vậy bạn Trang trả lời đúng 20 câu và trả lời sai 30 câu.
Xác suất để đúng 1 câu là: 0, 25 và xác suất trả lời sai là 0, 75 .
Vậy xác suất để Trang đúng 20 câu là: C5020 . ( 0, 25 ) . ( 0, 75 ) là giá trị cần tìm.
20

30

Ví dụ 13. [ĐVH]: Lớp 12C có 40 bạn học sinh, trong đó có 25 bạn học sinh nam và 15 bạn học sinh nữ.
Nhân dịp ngày nghỉ lễ 30/4 và 1/5 nhà trường tổ chức thi đấu kéo co trong đó mỗi lớp gồm 9 thành viên
tham gia. Tính xác suất để lớp 12C chọn ra 9 bạn lập đội đi thi kéo co mà trong đội đó có cả các bạn nam
và bạn nữ tham gia.
Lời giải.
9
Chọn ra 9 bạn trong 40 bạn để lập đội có C40 cách chọn.

9
Xét trường hợp chọn ra 9 bạn và 9 bạn được chọn chỉ có nam hoặc nữ có : C25
+ C159 cách chọn.

9
9
Vậy có C40
− ( C25
+ C159 ) cách chọn ra 9 bạn đều là nam và nữ

Vậy xác suất cần tìm của bài toán là : p =

9
9
C40
− ( C25
+ C159 )
9
C40

≈ 0,9925 .

Ví dụ 14. [ĐVH]: Lớp 10A5 gồm 40 học sinh trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Trong buổi họp đầu
năm học thầy giáo chủ nhiệm lớp muốn chọn ra 3 bạn để làm cán sự lớp gồm Lớp trưởng, quản ca và bí
thư. Tính xác suất để chọn ra 3 học sinh làm cán sự lớp mà không có cặp anh em sinh đôi nào.

Lời giải.
Tham gia trọn vẹn các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015

Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

www.Moon.vn

3
Chọn 3 học sinh từ 40 học sinh có C40
cách chọn.

Chọn 1 cặp anh em sinh đôi trong 4 cặp anh em sinh đôi có: C41 cách chọn
1
Chọn 1 bạn học sinh còn lại trong 38 bạn có: C38
cách chọn.
1
Số cách chọn 3 học sinh mà trong đó có 1 cặp anh em sinh đôi là: C38
.C41 cách.

Vậy số cách chọn ra 3 bạn học sinh làm cán sự lớp mà không có cặp anh em sinh đôi nào là:
3
1
C40
− C38
.C41 = 9842 ⇒ P =

9842 259
=
.
3
C40
260

Ví dụ 15. [ĐVH]: Một bạn học sinh có 3 loại tài liệu ôn thi đại học, trong đó bạn có 8 cuốn tài liệu toán
hoc, 7 cuốn tài liệu vật lý và 3 cuốn tài liệu hoá học. Bạn quyết định tặng cho bạn gái của mình 4 cuốn tài
liệu để giúp bạn mình học tốt hơn để cùng nhau bước vào cổng trường đại học. Tính xác suất để 4 cuốn
tài liệu được chọn có đủ cả 3 môn Toán, Lý, Hoá.
Lời giải.
Gọi A là biến cố: Chọn 4 cuốn tài liệu có đủ cả 3 môn
Ta có: Ω = C184 và ΩA = C82C71C31 + C81C72C31 + C81C71C32
Do vậy xác suất cần tìm là: p =

ΩA
Ω

=

7
.
17

Ví dụ 16. [ĐVH]: Từ các số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 người ta lập ra các số có 3 chữ số, gọi S là tập hợp các số
có 3 chữ số mà tổng các chữ số của số đó bằng 7. Chọn ra 2 số có 3 chữ số được lập từ 7 số đã cho, tính
xác suất để 2 số được chọn đều thuộc tập hợp S.
Lời giải.
Bộ 3 chữ số có tổng các chữ số bằng 7 gồm {0; 1; 6} (a), {0; 2; 5} (b), {0; 3; 4} (c), {1; 2; 4} (d)
- Mỗi bộ trong các bô (a), (b), (c) có số cách lập là: 3!− 1.2.1 = 4 số (trừ chữ số 0 đứng đầu) suy ra 3
trường hợp đầu có 12 số được lập
- Bộ (d) có 3! = 6 số được lập
Vậy có 12 + 6 = 18 số được lập.
Mặt khác có: 6.6.7 = 252 số có 3 chữ số được lập từ 7 số trên.
C2
17

Khi đó xác suất cần tìm là: p = 218 =
là giá trị cần tìm.
C252 3514
Ví dụ 17. [ĐVH]: Gọi M là tập hợp các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ
tập M, tính xác suất để số được chọn có chữ số đứng sau luôn lớn hơn chữ số đứng trước hoặc chữ số
đứng sau luôn nhỏ hơn chữ số đứng trước.
Lời giải.
Tập M gồm 9 A = 27216 số
+) Xét trường hợp số có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước: Số đã cho không thể có chữ số 0,
với mỗi cách chọn ra 5 chữ số khác 0 và khác nhau, ta chỉ lập được duy nhất 1 số cần tìm. Vì vậy có
C95 = 126 số
+) Xét trường hợp số có chữ số đứng sau nhỏ hơn chữ số đứng trước:
Số đã cho có thể có chữ số 0, với mỗi cách chọn ra 5 chữ số khác nhau, ta cũng chỉ lập được duy nhất 1
số cần tìm. Vì vậy có C105 = 252 số
126 + 252 1
Vậy xác suất cần tìm là P =
= .
27216
72
4
9

CHÚC CÁC EM CÓ MỘT KÌ THI THÀNH CÔNG!
Tham gia trọn vẹn các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015