Tính toán sự phụ thuộc của tốc độ ion hóa của ion phân tử h2+ dưới tác dụng của điện trường tĩnh vào khoảng cách liên phân tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ


NGUYỄN NGỌC TÂN

TÍNH TOÁN SỰ PHỤ THUỘC CỦA TỐC ĐỘ ION
HÓA CỦA ION PHÂN TỬ H 2 + DƯỚI TÁC DỤNG
CỦA ĐIỆN TRƯỜNG TĨNH VÀO KHOẢNG CÁCH
LIÊN PHÂN TỬ

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN NGỌC TÂN

TÍNH TOÁN SỰ PHỤ THUỘC CỦA TỐC ĐỘ ION
HÓA CỦA ION PHÂN TỬ H 2 + DƯỚI TÁC DỤNG
CỦA ĐIỆN TRƯỜNG TĨNH VÀO KHOẢNG CÁCH
LIÊN PHÂN TỬ
Ngành: VẬT LÝ
Mã số: 105

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. PHẠM NGUYỄN THÀNH VINH

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2016


i

MỤC LỤC
MỤC LỤC ............................................................................................................................ i
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT ...................................................... ii
DANH MỤC CÁC BẢNG .................................................................................................iii
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ ............................................................................ iv
MỞ ĐẦU ............................................................................................................................. 1
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT .................................................................................... 4
1.1. Tương tác giữa laser với nguyên tử, phân tử ............................................................ 4
1.2. Cơ chế ion hóa........................................................................................................... 4
1.3. Lý thuyết gần đúng trường yếu ................................................................................. 7
1.3.1. Lý thuyết nhiễu loạn ........................................................................................ 8
1.3.2. Lý thuyết gần đúng ........................................................................................ 10
CHƯƠNG 2: TRẠNG THÁI SIEGERT TRONG ĐIỆN TRƯỜNG TĨNH ..................... 13
2.1. Lý thuyết trạng thái Siegert trong điện trường tĩnh................................................ 13
2.2. Phương pháp tính số ............................................................................................... 17
2.2.1. Vấn đề trị riêng đoạn thời gian ...................................................................... 18
2.2.2. Phương pháp SVD (Slow-variable discretization) và R - matrix propagation
................................................................................................................................. 20
2.2.3. Điều kiện biên của sóng truyền qua .............................................................. 24
2.2.4. Điều kiện làm khớp ....................................................................................... 25
CHƯƠNG 3: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ......................................................................... 27
3.1. Kiểm tra sự hội tụ của chương trình ....................................................................... 27
3.2. Khảo sát sự thay đổi của năng lượng thực và tốc độ ion hóa theo điện trường ..... 30

3.2.1. Khảo sát sự thay đổi của năng lượng thực theo điện trường ......................... 30
3.2.2. Khảo sát sự thay đổi của tốc độ ion hóa theo điện trường............................. 32
3.3. Khảo sát sự thay đổi của năng lượng thực và tốc độ ion hóa theo khoảng cách liên
phân tử ........................................................................................................................... 34
3.3.1. Khảo sát sự thay đổi của năng lượng thực theo khoảng cách liên phân tử.... 34


ii
3.3.2. Khảo sát sự thay đổi của tốc độ ion hóa theo khoảng cách liên phân tử ....... 37
KẾT LUẬN ....................................................................................................................... 38
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................. 40


i

LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành tốt nhất luận văn này, tôi đã nhận được sự động viên giúp đỡ, khích
lệ về mặt vật chất cũng như tinh thần từ thầy cô, gia đình, bạn bè và người thân. Thông
qua luận văn này, tôi xin gửi đến tất cả mọi người lời cảm ơn chân thành nhất.
Tôi xin gửi lời tri ân sâu sắc nhất đến thầy hướng dẫn TS. Phạm Nguyễn Thành
Vinh đã tận tình hướng dẫn tôi về chuyên môn, cho tôi thấy được tấm gương về sự
nghiêm túc trong công việc của thầy và thầy đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất cho tôi
thực hiện luận văn này.
Tôi xin cảm ơn gia đình đã khích lệ, động viên giúp tôi có thêm động lực học tập
trong những năm học đại học cũng như trong thời gian tôi làm luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong khoa Vật lý – Trường ĐHSP
TP.HCM đã tận tình giảng dạy, truyền đạt những kiến thức quý báu để tôi có được hành
trang tốt nhất trên con đường vào đời.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thành viên trong nhóm nghiên cứu của TS. Phạm
Nguyễn Thành Vinh cũng như bạn bè đã giúp đỡ, động viên tôi trong thời gian làm luận

văn.
Cuối cùng tôi xin gửi lời chúc sức khỏe đến quý thầy cô, gia đình và bạn bè.
TP. HCM, ngày 18 - 04 - 2016
Nguyễn Ngọc Tân


ii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

LASER: (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation)
SVD: Slow-Variable Discretization
DVR: Discrete Variable Representation


iii

DANH MỤC CÁC BẢNG
STT Bảng

Nội dung

Trang

1

3.1

Kiểm tra sự hội tụ của chương trình cho trường hợp F = 0, R = 1.8

28

2

3.2

Kiểm tra sự hội tụ của chương trình cho trường hợp F = 0, R = 1.9

28

3

3.3

Kiểm tra sự hội tụ của chương trình cho trường hợp F = 0, R = 2

29


iv

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
STT Hình

Nội dung

Trang

1

1.1

Sự ion hóa đa photon

5

2

1.2

Sự ion hóa xuyên hầm

6

3

1.3

Sự ion hóa vượt rào

6

Sự minh họa hàm sóng không nhiễu loạn của ion phân tử H 2 +, đã
4

1.4

định phương theo góc β được định hướng trong một điện trường

7

của trạng thái chẵn 2 pp + và trạng thái lẻ 2 pp −
5

3.1

So sánh kết quả giải số và giải tích biểu diễn sự phụ thuộc của năng

31

lượng thực theo điện trường trường hợp R = 2
6

3.2

Sự phụ thuộc của năng lượng thực theo điện trường trường hợp R =

31

4, R = 6, R = 8
7

3.3

So sánh kết quả giải số và giải tích biểu diễn sự phụ thuộc của tốc

32

độ ion hóa theo điện trường trường hợp R =2
8

3.4

Sự phụ thuộc của tốc độ ion hóa theo điện trường trường hợp R =

33

4, R = 6, R = 8
9

3.5

Sự phụ thuộc của năng lượng thực vào khoảng cách liên phân tử

35

khi chưa có điện trường F = 0
10

3.6

Sự phụ thuộc của năng lượng thực vào khoảng cách liên phân tử

35

khi có điện trường F = 0.05, F = 0.07, F = 0.1, F = 0.15
11

3.7

Sự phụ thuộc của tốc độ ion hóa vào khoảng cách liên phân tử khi
có điện trường F = 0.05, F = 0.07, F = 0.1, F = 0.15

37


1

MỞ ĐẦU
Các bài toán về nguyên tử, phân tử luôn là một đề tài được các nhà vật lý lý thuyết
quan tâm. Một trong những vần đề cơ bản nhất trong cơ học lượng tử chính là tốc độ ion
hóa của nguyên tử, phân tử dưới tác dụng của điện trường tĩnh. Sự xuất hiện của xung
laser cường độ cao đã mở ra một làn sóng mới trong nghiên cứu về tốc độ ion hóa của
nguyên tử, phân tử dưới tác dụng của điện trường tĩnh trong hơn hai thập kỷ qua. Sự ion
hóa của nguyên tử và phân tử trong trường laser là một quá trình cực kỳ quan trọng vì
đây là bước tiếp cận đầu tiên trong trường mạnh để dẫn đến hiệu ứng phi tuyến quan
trọng như sự phát sóng hài bậc cao, sự xuất hiện của các electron quang điện năng lượng
cao và sự ion hóa kép không liên tục. Để hiểu được những kiến thức về các quá trình phi
tuyến nêu trên, việc mô tả chính xác quá trình ion hóa cả định tính và định lượng là việc
đầu tiên cần phải thực hiện.
Quá trình ion hóa của nguyên tử, phân tử trong một điện trường tĩnh có thể được
mô tả bởi phương trình Schrödinger mà nghiệm riêng của nó thỏa mãn điều kiện chỉ có
sóng truyền qua trong vùng tiệm cận (rất xa hạt nhân mẹ). Điều kiện biên của hàm sóng
làm phá vỡ tính chất Hermitic của Hamiltonian, do đó nghiệm của phương trình
Schrödinger chỉ có thể tồn tại dưới dạng một hệ các nghiệm phức gián đoạn của năng
Γ
2

lượng E với E= ε − i . Phần thực và phần ảo của trị riêng trạng thái Siegert lần lượt xác
định năng lượng ε và tốc độ ion hóa Γ của trạng thái đang xét. Bài toán hàm riêng, trị

riêng này được đề cập đầu tiên bởi Siegert năm 1939 cho nguồn gốc của công thức
phương sai hạt nhân, vì vậy nghiệm của nó được gọi là trạng thái Siegert. Bằng cách sử
dụng những kiến thức về trạng thái Siegert, ta có thể khảo sát một cách khái quát hóa quá
trình ion hóa của nguyên tử và phân tử dưới tác dụng của một điện trường tĩnh.
Gần đây, nhóm nghiên cứu của GS Toru Morishita và TS. Phạm Nguyễn Thành
Vinh đã phát triển một phương pháp năng lượng trong hệ tọa độ parabolic cho sự tính


2
toán đối với trạng thái Siegert một electron trong thế đối xứng theo trục và thế tổng quát
không đối xứng. Phương pháp này làm giảm phương trình Schrödinger 3 chiều trong hệ
tọa độ cầu xuống còn một chiều theo η , do đó nó có thể được giải quyết bởi phương
pháp SVD kết hợp với kỹ thuật R – matrix propagation. Phương pháp này không những
cho phép khảo sát quá trình ion hóa trong trường yếu ở trạng thái xuyên hầm mà còn
khảo sát được ở trạng thái vượt rào với trường mạnh tùy ý.
Tốc độ ion hóa của nguyên tử, phân tử cho ta biết số ion được sinh ra trong một
đơn vị thời gian trên tổng số nguyên tử hay phân tử. Khi nguyên tử tương tác với điện
trường tĩnh năng lượng của nó sẽ bị thay đổi, tốc độ ion hóa của nó cũng sẽ thay đổi phụ
thuộc vào điện trường tĩnh. Dựa vào cơ học lượng tử, người ta có thể dự đoán được sự
phụ thuộc của tốc độ ion hóa vào khoảng cách liên phân tử, nhưng chi tiết về sự phụ
thuộc này vẫn còn là một câu hỏi mở, thu hút nhiều sự quan tâm từ cộng đồng khoa học.
Với mong muốn được nghiên cứu những lĩnh vực vật lý mới, tác giả chọn đề tài “Tính
toán sự phụ thuộc của tốc độ ion hóa của ion phân tử H 2 + dưới tác dụng của điện
trường tĩnh vào khoảng cách liên phân tử” làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp.
Mục đích của luận văn là tóm tắt lý thuyết trạng thái Siegert trong một điện trường
tĩnh, sau đó sử dụng những nền tảng lý thuyết này để tính toán sự phụ thuộc của tốc độ
ion hóa của ion phân tử H 2 + dưới tác dụng của điện trường tĩnh vào khoảng cách liên
phân tử. Để kiểm tra tính đúng đắn của kết quả, ta so sánh năng lượng ε với lý thuyết
nhiễu loạn và so sánh tốc độ ion hóa Γ với lý thuyết gần đúng trường yếu đối với trạng
thái vượt rào trong trường yếu khi khoảng cách liên phân tử R = 2.

Luận văn được tác giả trình bày thành 3 chương
 Chương 1: Cơ sở lý thuyết
 Chương 2: Trạng thái Siegert trong điện trường tĩnh
 Chương 3: Kết quả nghiên cứu
Để thuận tiện cho việc theo dõi luận văn, tác giả sẽ tóm lược nội dung chính


3
 Chương 1: Tìm hiểu sơ lược về laser, tương tác giữa laser với nguyên tử, phân tử,
kỹ thuật định phương phân tử, tốc độ ion hóa của phân tử. Nắm bắt được các cơ
chế ion hóa trong nguyên tử như ion hóa đa photon, ion hóa vượt rào và ion hóa
xuyên hầm. Những kiến thức mới cần đẩy mạnh đào sâu như lý thuyết gần đúng
trường yếu, trong đó hai lý thuyết chính là lý thuyết nhiễu loạn và lý thuyết gần
đúng trường yếu.
 Chương 2: Tìm hiểu lý thuyết trạng thái Siegert trong điện trường tĩnh, tìm hiểu về
phương pháp tính số trong đó có những vấn đề cần quan tâm như trị riêng đoạn
thời gian, phương pháp SVD và kỹ thuật R-matrix propagation, điều kiện biên của
sóng truyền qua và điều kiện làm khớp.
 Chương 3: Các kết quả cho thấy, khi điện trường yếu, tốc độ ion hóa của trạng thái
đang xét như là một hàm theo cường độ điện trường có thể được giải thích dựa
trên lý thuyết nhiễu loạn và lý thuyết gần đúng trường yếu lần lượt cho năng lượng
ảo trạng thái liên kết và tốc độ ion hóa khi R = 2. Tuy nhiên, các lý thuyết gần
đúng này không thể giải thích được biểu hiện của tốc độ ion hóa đối với điện
trường mạnh.


4

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1.

Tương tác giữa laser với nguyên tử, phân tử

Laser được viết tắt từ cụm từ Light Amplification by Stimulated Emission of
Radiation trong tiếng Anh, nghĩa là “Máy khuếch đại ánh sáng bằng phát xạ kích thích”.
Laser là nguồn ánh sáng nhân tạo, thu được nhờ sự khuếch đại ánh sáng bằng bức xạ phát
ra khi kích thích cao độ các phần tử của một môi trường vật chất tương ứng.
Theo lý thuyết lượng tử, trường laser được xem là những dòng hạt photon có năng
lượng, động lượng và spin xác định. Vì vậy khi tương tác với môi trường, động lượng của
nguyên tử sẽ bị thay đổi. Khi có sự tương tác giữa trường laser với vật chất sẽ có nhiều
hiệu ứng phi tuyến xảy ra. Tùy thuộc vào cường độ của trường laser mà cơ chế tương tác
giữa laser với vật chất sẽ khác nhau.
Kỹ thuật định phương phân tử: Nếu mô tả một cách đầy đủ, chuyển động của phân
tử bao gồm chuyển động của các điện tử ở thang thời gian atto giây, dao động của các hạt
nhân ở femto giây và chuyển động quay của phân tử ở pico giây. Do đó, có thể thấy rằng
các chuyển động này có thể khảo sát độc lập với nhau. Vì vậy, nếu chỉ quan tâm đến
chuyển động quay của phân tử trong trường laser thì có thể bỏ qua các chuyển động khác,
khi đó phân tử sẽ giống như một vật rắn. Đối với các phân tử có thể xem như một lưỡng
cực điện, có thể dùng một chùm laser yếu để điều khiển quá trình quay của phân tử, sau
đó sẽ chiếu chùm laser mạnh vào để xảy ra quá trình ion hóa.
Tốc độ ion hóa: Tốc độ ion hóa chính là số ion được sinh ra trong một đơn vị thời
gian trên tổng số nguyên tử hay phân tử.
1.2.

Cơ chế ion hóa

Khi trường laser yếu hơn nhiều so với thế ion hóa nguyên tử, trường laser chỉ có
tác dụng gây ra sự nhiễu loạn lên các trạng thái electron của nguyên tử. Trong trường hợp
này, các mức năng lượng của nguyên tử bị thay đổi tỉ lệ với bình phương cường độ của

5
trường laser, hiệu ứng này gọi là sự dịch chuyển Stark. Do đó, vùng này được gọi là vùng
nhiễu loạn của quang học phi tuyến. Trong vùng này, sự ion hóa chủ yếu diễn ra theo cơ
chế đa photon, nghĩa là nguyên tử hấp thụ liên tiếp nhiều photon làm cho năng lượng của
nó tăng dần đến một giá trị lớn hơn năng lượng liên kết thì electron chuyển sang trạng
thái tự do. Như vậy, trường hợp cường độ chùm laser yếu hơn nhiều so với trường
Coulomb của nguyên tử thì nguyên tử chỉ hấp thụ một cách tự phát N photon và xảy ra sự
ion hóa đa photon.

Hình 1.1. Sự ion hóa đa photon [12]
Khi cường độ trường laser tương đương với trường Coulomb của nguyên tử,
trường laser sẽ làm biến đổi trường Coulomb như hình 1.2. Các electron có thể thoát ra
khỏi nguyên tử, phân tử theo cơ chế xuyên hầm hay vượt rào trước khi trường laser đổi
chiều. Vùng điện trường của laser tương ứng với quá trình này được gọi là vùng trường
mạnh của quang học phi tuyến. Trong trường yếu, dưới tác dụng của điện trường electron
nhận đủ năng lượng, có thể thoát khỏi nguyên tử hoặc phân tử do năng lượng của electron
lúc này lớn hơn năng lượng liên kết giữa nó và hạt nhân, hàng rào Coulomb trở nên hẹp
hơn, electron có thể chui qua rào thế hiệu dụng bằng cách xuyên hầm. Đây là sự ion hóa
xuyên hầm. Đường thẳng mỏng tương ứng với sự đóng góp từ thế năng điện trường.


6
Đường cong dày ứng với ảnh hưởng đầy đủ của thế năng hiệu dụng và đường nằm ngang
miêu tả năng lượng liên kết giữa electron với hạt nhân.

Hình 1.2. Sự ion hóa xuyên hầm [7]
Dưới tác dụng của thế năng điện trường, rào thế hiệu dụng lúc này trở nên mỏng
và thấp hơn khi điện trường tăng. Với điện trường thích hợp đủ mạnh, electron có thể
thoát ra khỏi nguyên tử hoặc phân tử và vượt khỏi rào thế. Đây là trường hợp ion hóa

vượt rào.

Hình 1.3. Sự ion hóa vượt rào [7]


7
1.3.

Lý thuyết gần đúng trường yếu

Với những giá trị khá nhỏ thích hợp của F , năng lượng ε và tốc độ ion hóa Γ của
Γ
2

trạng thái Siegert xuyên hầm xác định bởi phương trình E= ε − i , có thể được giải thích
bởi lý thuyết nhiễu loạn [4] và lý thuyết gần đúng trường yếu [8].
Ta chọn một dạng hình học mà trục phân tử z ' trong mặt phẳng xz của hệ tọa độ
phòng thí nghiệm. Sự định phương của phân tử được mô tả bởi góc β , là góc hợp bởi
trục của nó và sự định hướng của điện trường dọc theo trục z của phòng thí nghiệm
(Hình 1.4)

Hình 1.4. Sự minh họa hàm sóng không nhiễu loạn của ion phân tử H 2 + theo góc β
được định hướng trong một điện trường của trạng thái chẵn 2 pp + và trạng thái lẻ 2 pp −
[5]
Vì vậy ε và Γ là những hàm của F và β . Hàm sóng trạng thái liên kết không nhiễu
loạn ψ 0 (r ) mô tả phép chiếu của momen góc electron lên trục phân tử, đó là M . Ta xét
trạng thái M = 0 (trạng thái σ ) và M = 1 (trạng thái π ). Năng lượng không nhiễu E0
của trạng thái M ≠ 0 không phụ thuộc vào dấu của M . Sự suy biến được loại trừ bởi một
trường yếu một cách tùy ý, bởi β ≠ 0 . Trạng thái liên kết chính xác của hàm sóng bổ
chính bậc 0 chắc chắn kết nối tuyến tính ở hai trạng thái suy biến.

8
1.3.1. Lý thuyết nhiễu loạn
Hệ quy chiếu phân tử được xác định bởi sự quay hệ quy chiếu phòng thí nghiệm
xung quanh trục y của nó bởi một góc β . Đặt ( x ' , y ' , z ' ) ≡ ( x1' , x '2 , x3' ) và (r ',θ ', ϕ ') chỉ rõ
hệ tọa độ Descart và hệ tọa độ cầu trong hệ quy chiếu phân tử, với y ' = y và r ' = r .
Tensor hệ số phân cực lưỡng cực tĩnh trong hệ quy chiếu phân tử chéo hóa α x x = α x δ ij ,
' '
i j

'
i

với α x là hệ số phân cực trong sự định hướng của trục xi' . Năng lượng của trạng thái
'
i

trong bổ chính bậc 2 của lý thuyết nhiễu loạn.
F2
ε=
E0 −
(α x ' sin 2 β + α z ' cos 2 β )
2

(1)

Những hệ số phân cực α x có thể được trình bày trong những số hạng của trị riêng En
'
i

M

và hàm riêng ψ n M của Hamiltonian không nhiễu loạn
αx = 2 ∑
'
i

ψ 0 xi' ψ nM ψ nM xi' ψ 0

nM ≠ 0

En M − E0

(2)

với n là một hệ số lượng tử ứng với M , xác định trạng thái và phép cộng tràn ra sự hoàn
thành của những trạng thái loại trừ sự không nhiễu loạn được chỉ ra bởi chỉ số dưới 0.
Hàm riêng ψ n M trong hệ quy chiếu phân tử có dạng
ψ nM (r ',θ ',ϕ ') = f nM (r ',θ ')

eiM ϕ '
.
2π

(3)

Những thành phần của ma trận được cho bởi
=
ψ n ' M ' x ' ψ nM

1 M'
M
f n ' r 'sin θ ' f n (δ M ' M +1 + δ M ' M −1 ),
2

ψ n ' M ' z ' ψ nM = f nM' ' r 'cosθ ' f nM δ M ' M .

Nếu trạng thái không nhiễu loạn là trạng thái σ ψ n 0 , ta có

(4a)

(4b)


9

αx' = ∑
n'

α z ' = 2∑

f n1' r 'sin θ ' f n0

2

En '1 − En 0
f n0' r 'cosθ ' f n0

(5a)

,

2

(5b)

.

En '0 − En 0

n '≠ n

Với trạng thái không nhiễu loạn ứng với M ≠ 0 , hàm sóng chính xác cho trạng thái chẵn
ψ n+ M và lẻ ψ n− M của bổ chính bậc 0 cho bởi

ψ n+ M=

cos M ϕ '
1
M
(ψ n M + ψ n − M =
) f n (r ',θ ')
,
π
2

(6a)

ψ n− M=

sin M ϕ '
1
M
(ψ n M −ψ n − M=
) f n (r ',θ ')
.
π
i 2

(6b)

Với những trạng thái trên, những thành phần ma trận cần có là
=
ψ n ' M ' x ' ψ n± M

1

M'

fn '

2 2

r 'sin θ ' f n

=
ψ n ' M ' z ' ψ n± M

(δ M ' M +1 + δ M ' M −1 ± δ M '− M +1 ± δ M '− M −1 ),

M

1
M'
M
f n ' r 'cosθ ' f n (δ M ' M ± δ M '− M ).
2

(7a)

(7b)

Đặc biệt, với một trạng thái π chẵn ψ n+1 , ta có

αx'
=

∑
n'

f n0' r 'sin θ ' f n1
En '0 − En1

α z ' = 2∑

n '≠ n

2

f n2' r 'sin θ ' f n1
1
+ ∑
En '2 − En1
2 n'

f n1' r 'cosθ ' f n1

2

,

(8a)

2

En '1 − En1

Một cách tương tự, với trạng thái π lẻ ψ n−1 , ta tìm được

.

(8b)


10
2

f n2' r 'sin θ ' f n1
1

αx' = ∑
En '2 − En1
2 n'

,

(9a)
α z ' = 2∑

n '≠ n

f n1' r 'cosθ ' f n1
En '1 − En1

2

(9b)

.

Trong sự tính toán với H 2 + trình bày bên dưới, một hệ hoàn chỉnh trị riêng En

M

và hàm

M
riêng f n (r ',θ ') cùng với đạo hàm bậc 0 điều kiện biên lên một hình cầu có bán kính đủ

lớn. Ta sử dụng một sự mở rộng chính trong hệ quy chiếu phân tử và sự chéo hóa

Hamiltonian không nhiễu loạn trong sự định hướng của hai cơ sở DVR thiết lập trong r '
và θ ' xây dựng từ đa thức Legendre. Tất cả thành phần của ma trận được tính toán bằng
việc sử dụng phép cầu phương Legendre. Những hệ số phân cực α x ' và α z ' được đánh giá
bởi phép cộng tất cả trạng thái trong phương trình (5), (8) và (9), bao gồm sự gián đoạn
của những trạng thái liên tục với En

M

> 0. Bán kính hình cầu sử dụng trong những sự

tính toán là 20, đây là giá trị đủ để đạt đến sự hội tụ trong những kết quả trong tất cả
những trường hợp ta xét đến [5].
1.3.2. Lý thuyết gần đúng
Theo lý thuyết này, phần gần đúng của tốc độ ion hóa Γ với F → 0 cho bởi một
tổng của những phần tỉ số của tốc độ ion hóa ứng với những kênh khác nhau và số lượng
tử parabolic (nξ , m). Số hạng bổ chính trong sự gần đúng xác định bởi những kênh chủ
yếu với giá trị nhỏ nhất của nξ và m . Với những phân tử tuyến tính, kênh chủ yếu là
(nξ = 0, m), với m = 0, 1 ứng với trạng thái không nhiễu loạn chẵn và lẻ. Với một trạng

thái của phân tử tuyến tính không phân cực, tốc độ ion hóa cho bởi
Γ as = (2 − δ mo ) g 0 m ( β ) W0 m ( F ) [1 + O( F ) ] ,
2

với

(10)


11

g0m (β )
=

m +1

∞ 2π
d ξ dϕ
ℵ
η 1+ m /2− Z /ℵeℵη /2 × ∫ ∫ ξ m /2e −ℵξ /2−imϕ ψ 0 (r )
0
0
m!
2π η →∞

(11)

và
ℵ  4ℵ2 
=
W0 m ( F )


2 F 

2 Z /ℵ− m −1

 2ℵ3 
exp  −
.
 3F 

(12)

Với ℵ = 2 E0 và Z là điện tích gần đúng. Điều kiện sử dụng phương trình (10) là:
F  Fc =

ℵ4
,
8 2 Z −ℵ(m + 1)

(13)

điện trường tới hạn Fc chỉ ra một sự liên kết giữa trạng thái xuyên hầm và vượt rào của
sự ion hóa. Điều kiện này đảm bảo cho số hạng chính xác trong phương trình (10) tuyến
tính với F nhỏ hơn nhiều phần tử đơn vị. Vì vậy, số hạng bổ chính chiếm ưu thế.
Trong phương trình (10), sự gần đúng bổ chính cho tốc độ ion hóa thừa số hóa bởi
hai thừa số, đó là góc định phương β và điện trường F . Sự phụ thuộc vào góc định
phương xác định bởi thừa số cấu trúc đối với phân tử không phân cực, ứng với g 0 m ( β ).
Đường đặc trưng nên tách ra từ đuôi tiệm cận của hàm sóng không nhiễu loạn ψ 0 (r ) tại
η → ∞. Thừa số phụ thuộc trường cho bởi một hàm giải tích đơn giản (12) phụ thuộc vào

phân tử và trạng thái thông qua thừa số ℵ và Z .
Ứng với trạng thái bên trên, số lượng tử phương vị của kênh ion hóa chiếm ưu thế
ứng với trạng thái không nhiễu loạn chẵn lẻ m = 0 và m = 1 . Điều này đúng với tất cả giá
trị của β ngoại trừ một vài sự định phương đặc biệt, tích phân trong phương trình (11)
ứng với kênh chiếm ưu thế sẽ trở về 0. Ví dụ, trạng thái chẵn 1ss của H 2 +, kênh chiếm
ưu thế là m = 0 cho tất cả những góc định phương β , bởi vì g 00 ( β ) không bao giờ trở về
0. Tương tự cho trạng thái lẻ 2 pp − , kênh chiếm ưu thế là m = 1 với tất cả những giá trị
của β , bởi vì g 01 ( β ) không bao giờ đạt đến 0. Nhưng với trạng thái chẵn 2 pp + , g 00 ( β )

12
triệt tiêu tại β = 0. Với những trạng thái có giá trị β không quá nhỏ, kênh chiếm ưu thế
là m = 0 . Tuy nhiên, khi β giảm, sự đóng góp tốc độ ion hóa từ những kênh m = 0 và
m = 1 trở nên cùng cỡ tại β  β c và kênh m = 1 trở nên chiếm ưu thế. Theo lý thuyết gần

đúng trường yếu, với

sự đóng góp từ hai kênh sẽ được giữ lại. Tốc độ ion hóa

trong trường hợp này
F
2
2

β
Γ=
+
g
g 01 ( β )  W00 ( F )[1 + O(F )]
(
)
<
00

2
β  βc
2ℵ



(14)

Sự liên kết β c giữa hai trạng thái phụ thuộc vào F . Trạng thái chẵn π g 00 ( β → 0) ∝ β ,
trong khi g 01 ( β → 0) ≠ 0 , ta thấy rằng β c ∝ F 1/ 2 khi F → 0 . Sự ảnh hưởng qua lại giữa
những sự đóng góp từ kênh m = 0 và m = 1 với trạng thái chẵn π gần giá trị β = 0 . Để
đơn giản hóa, trong những tính toán hiện tại, ta chỉ giữ lại được kênh m = 0 trong những
kết quả gần đúng với trạng thái 2 pp + tại β ≠ 0 , là kênh chiếm ưu thế khi F → 0 .


13

CHƯƠNG 2: TRẠNG THÁI SIEGERT TRONG
ĐIỆN TRƯỜNG TĨNH
2.1.

Lý thuyết trạng thái Siegert trong điện trường tĩnh

Phương trình Schrödinger dừng mô tả sự tương tác của một electron với trường
thế năng của nguyên tử hoặc phân tử V(r) và với một điện trường đều F = Fe z , F ≥ 0 (Hệ
đơn vị nguyên tử được sử dụng xuyên suốt luận văn)
 1

 − 2 ∆ + V (r ) + Fz − E ψ (r ) = 0.

(15)

Thế năng V(r) mô tả sự tương tác của electron với hạt nhân và những electron khác
nhưng trong sự gần đúng ta xem như electron chỉ tương tác với hạt nhân. Ta có
V (r ) r →∞ = −

Z
,
r

(16)

với Z là điện tích tổng cộng của ion ban đầu. Với F = 0, phương trình (15) có những
nghiệm riêng năng lượng thực thỏa ψ (r ) r →∞ = 0 , ứng với những trạng thái liên kết của
phân tử không nhiễu loạn. Ta giải phương trình (15) trong hệ tọa độ parobolic xác định
bởi [4]
xx
= r + z , 0 ≤ < ∞,
η = r − z , 0 ≤ η < ∞,

(17)

y
ϕ arctan , 0 ≤ ϕ < 2π .
=
x

Trong hệ tọa độ này, phương trình (15) có thể được viết lại dưới dạng
 ∂
∂
Eη Fη 2 
+
+
+
η

η
ψ (r ) =
B
(
)
0,
 ∂η ∂η
2
4 


với Hamiltonian đoạn thời gian

(18)


14
B(=
η)

∂
∂ ξ +η ∂2
Eξ Fξ 2
+
−
+
−
ξ
rV
r

(
)
∂ξ ∂ξ 4ξη ∂ϕ 2
2
4

(19)

là một toán tử tác dụng lên hàm sóng của ξ và ϕ và phụ thuộc vào η như là một tham
số. Trị riêng và hàm riêng của nó được xác định bởi
0,
[ B(η ) − Bν (η )] Φν (ξ ,ϕ ;η ) =

Φ
=
0,ϕ ;η ) < ∞, Φν (ξ → ∞,=
ϕ ;η ) 0,
ν (ξ
Φν (ξ ,ϕ + 2π ;η ) =
Φν (ξ ,ϕ ;η ),

(20a)
(20b)
(20c)

ngoài ra cũng phụ thuộc vào η như là một tham số. Với bất kỳ η , những hàm riêng khác
nhau của B(η ) thì trực giao và chuẩn hóa bởi
∞ 2π

Φν Φ µ ≡ ∫

∫ Φν (ξ , ϕ ;η ) Φ µ (ξ , ϕ ;η ) dξ dϕ =dνµ .

(21)

0 0

Nghiệm từ phương trình (20) thành lập cơ sở đoạn thời gian và hàm Φν (ξ , ϕ ;η )
được gọi là hàm kênh. Ta xem xét đến phương trình (16), Hamiltonian đoạn thời gian
cũng như nghiệm riêng dừng của nó phụ thuộc vào η trong vùng gần đúng. Vậy ý tưởng
hàm kênh cho phép sự phân ly biến số và có dạng
Φn (ξ , ϕ ;η ) =
Φ nξ m (ξ , ϕ ) =
φnξ m (ξ )

eimϕ
.
2π

(22)

Với m = 0, ±1, ±2,... là số lượng tử phương vị và nξ = 0,1, 2,... liệt kê những nghiệm
khác nhau từ phương trình (20) trong vùng gần đúng. Bằng việc tiếp tục giải tích theo η ,
ta có thể sử dụng sự phân loại n = (nξ , m ) để chỉ rõ nghiệm kênh từ Hamiltonian đoạn
thời gian (19).
Từ sự định nghĩa hàm kênh Φν (ξ , ϕ ;η ), nghiệm từ phương trình (18) được tìm
dưới dạng một sự mở rộng trong cơ sở đoạn thời gian,


15

=
ψ (r ) η −1/2 ∑ fν (η ) Φν (ξ , ϕ ;η ).

(23)

ν

Thay (23) vào phương trình (18). Ta có
 ∂
∂
Eη Fη 2  −1/2
+
+
+
η
η
η ∑ fν (η ) Fν (ξ , ϕ ;η ) =
B
(
)
0
 ∂η ∂η
2
4 
ν


Để đơn giản, có thể viết lại dưới dạng
 ∂
∂

Eη Fη 2  −1/2
+
+
+
B
(
)
η
η
η ∑ fν Fν =0
 ∂η ∂η
2
4 
ν


Ta đi tính riêng lẻ từng phần
Ta có:
∂
∂
η
∂η ∂η

 − 12

η ∑ fν Φν 
ν



1
−

∂  1 − 32
η  − η ∑ fν Φν + η 2 ∑ ( fν' Φν + fν Φν' ) 
=
∂η  2
ν
ν

1
∂  1 − 12
'
' 
2
=
 − η ∑ fν Φν + η ∑ ( fν Φν + fν Φν ) 
∂η  2
ν
ν


1 1 −3
1 −1
=− . − η 2 ∑ fν Φν − η 2 ∑ ( fν' Φν + fν Φν' )
2 2
2
ν
ν
1

1 −1
+ η 2 ∑ ( fν' Φν + fν Φν' ) + η 2 ∑ ( fν''Φν + 2 fν' Φν' + fν Φν'' )
2
ν
ν
1
1
1 −3
= η 2 ∑ fν Φν + η 2 ∑ ( fν''Φν ) + η 2 ∑ ( 2 fν' Φν' + fν Φν'' )
4
ν
ν
ν

Ta lại có:


B(η ) η −1/2 ∑ fν Φν 
ν


−1/2
= η ∑ fν=
B(η )Φν η −1/2 ∑ fν Bν Φν
ν

ν

(24a)

16
Thay lại vào (24a), nhân cả hai vế cho η −1/2 , ta được:
1
4η 2

E

fν Fν + ∑ fν Fν + ∑ ( 2 fν Fν + fν Fν ) + ∑ fν Bν Fν +  +
∑
η ν
2
ν
ν
ν
''

'

'

''

1

Fη 
∑ fν Fν =0
4  ν

(24b)

Nhân cả hai vế (24b) cho Φ µ , rồi lấy tích phân trên toàn miền xác định
1
4η 2
+

1

∞ 2ππππ
∞2
∞2
∞2
''
' '

fν FF
ν
µ d ξ dϕ + ∫ ∫ ∑ fν FF
ν
µ d ξ dϕ + ∫ ∫ ∑ 2 fν FF
ν
µ d ξ dϕ + ∫ ∫
∫∫∑
ν
ν
ν
0 0

0 0

0 0

''
fν FF
ν
µ d ξ dϕ

0 0

∞ 2πππ
∞2
∞2

E

fν FF
∑ f B FF dξ dϕ + 2 ∫ ∫ ∑
ν
µ d ξ dϕ +
η∫∫ ν ν ν ν µ
ν
0 0

0 0

Fη
4

fν FF
ν

µ d ξ dϕ =0
∫∫∑
ν
0 0

∞ 2π

Vì

∫ ∫ Φν Φ µ dξ dϕ =d µν . Ta có 1 hệ phương trình vi phân thường xác định hệ số hàm chưa
0 0

biết fν (η )
 d2


1
E βν Fη 
d
0
 dη 2 + 4η 2 + 2 + η + 4  fν (η ) + ∑  2 Pνµ (η ) dη + Qνµ (η )  f µ (η ) =
µ 




 d2 1




d
<=>  2 + [ E − Uν (η ) ] fν (η ) + ∑  2 Pνµ (η )
+ Qνµ (η )  f µ (η ) = 0,
2
dη
µ 

 dη


(24c)

với
2 β (η ) Fη
1
− 2− ν
−
Uν (η ) =
η
2η
2

(25)

là thế và ma trận đoạn thời gian có dạng
∂Φ µ
∂ 2Φ µ
Pνµ (η ) =
Φν
, Qνµ (η ) =

Φν
.
∂η
∂η 2

(26)

tương ứng với quá trình đoạn thời gian không kết hợp. Trong vùng gần đúng, những ma
trận này triệt tiêu nhau và phương trình (27) trở thành phương trình không kết hợp. Với F


17
> 0 và với F = 0, những nghiệm sóng truyền qua từ phương trình không kết hợp thỏa
[1,3]
 iF 1/2η 3/2 iEη 1/2 
21/2 fν
=
+ 1/2  .
fν (η ) η →∞
exp 
F 
( Fη )1/4
 3

(27)

Ở đây, fν là hệ số gần đúng. Giá trị tuyệt đối và bình phương của nó cho thấy
phần độ rộng của trạng thái Siegert tương ứng với sự ion hóa trong kênh ν (xem phương
trình (40) trong [8]). Trạng thái Siegert được miêu tả bởi những nghiệm từ phương trình
(27) thỏa tính liên tục của điều kiện biên tại η → 0 và điều kiện biên sóng truyền qua (27)

tại η → ∞ . Như vậy, những nghiệm này chỉ tồn tại như một hệ gián đoạn của các giá trị
phức thông thường của năng lượng E. Những phần thực và phần ảo của trị riêng năng
lượng E của trạng thái Siegert xác định năng lượng ε và tốc độ ion hóa Γ của trạng thái
i
E =ε − Γ
2

(28)

Hàm riêng của trạng thái Siegert được chuẩn hóa bởi
2
=
∫ψ (r )dr

2.2.

∞ ∞ 2π

1
ψ 2 (r )(ξ + η )dξ dη d=
ϕ 1
∫
∫
∫
400 0

(29)

Phương pháp tính số

Để sử dụng trạng thái Siegert như là một công cụ lý thuyết cho nhiều ứng dụng
khác nhau trong vật lý trường mạnh, chúng ta phải giải được phương trình (18) cho
trường hợp thế năng phân tử ở dạng tổng quát. Ta không có nhiều kiến thức về bất kỳ
những đề cập nào liên quan đến vấn đề này, vì vậy điều quan trọng là cần đưa ra những
chi tiết của công cụ phương pháp tính hiện nay. Phương pháp này được triển khai trong
[2] theo trục của thế đối xứng bằng cách tính toán cho một cặp giữa những thành phần
của hàm sóng tương ứng với những giá trị khác nhau của số lượng tử phương vị m. Nó
dựa trên phương pháp SVD (Slow-variable discretization) [11] kết hợp với kỹ thuật lan R
- matrix propagation [1]. Yếu tố kỹ thuật khác chủ yếu của phương pháp này là DVR