Phương pháp chi tiết giải một số hệ phương trình không mẫu mực

Một số kỹ thuật trong phương pháp biến đổi tương đương để giải hệ
phương trình được tác giả phân loại như sau:
1. Loại 1: Nhân chéo đưa về phương trình hệ quả (việc nhân chéo
thường đưa về phương trình đẳng cấp).
VD1 : Giải hệ phương trình:


2 ( − ) = 3 (1)
( + ) = 10 (2)

HD: Chúng ta nhận thấy vế trái của phương trình (1) và (2) đều chứa
các số hạng bậc 3 và vế phải đều chứa các số hạng bậc 1 vì vậy nếu
nhân chéo hai phương trình trên và rút gọn, ta sẽ được phương
trình đồng bậc 4 (đẳng cấp). Từ suy nghĩ này ta có cách giải quyết
hệ phương trình như sau: Nhân chéo hai phương trình trong hệ ta
được:
2 (

−

⟺3

). 10 = (

− 17

+ 20

+

). 3

= 0(3)

TH1:

= 0, thay vào hệ ta suy ra

TH2:

≠ 0, chia cả hai vế của phương trình (3) cho
3

⎡
⟺ ⎢⎢
⎢
⎣

= 0.

− 17

ta được:

+ 20 = 0

⎡ = 2
⎢
⎢ = −2(loạivì , cùngdấu)
=4
⎢

⟺⎢
√15
5
=

=
⎢
3
3
⎢
⎢ = − √15 (loạivì , cùngdấu)
3
⎣

Trong mỗi trường hợp trên thay vào phương trình (1) hoặc phương
trình (2) giải phương trình rồi thử lại ta được nghiệm của hệ như sau:
(0; 0); (−2; −1); (2; 1);

15

15
√135
√135
; −
;−
.
2
2
2 √135
2√135

1

;


Tuy nhiên không phải hệ phương trình nào cũng có thể nhân chéo được
ngay mà đôi khi chúng ta phải thực hiện qua một vài phép biến đổi để đưa
những số hạng đồng bậc về cùng một vế của phương trình. Đôi khi việc đó
đơn giản chỉ là chuyển vế - đổi dấu.
VD2 : Giải hệ phương trình:


+
−1=
4 −4 = −

(1)
(2)

HD: Đưa các số hạng đồng bậc về cùng 1 vế của phương trình ta được


+
−
= 1(1)
4 +
= 4 + (2)

Đến đây nhân chéo hai phương trình đưa về phương trình đồng bậc
(

−4

+3

)=0

Giải tương tự VD1 rồi thử lại vào hệ ta được nghiệm của hệ như sau
(0; 1); (1; 0); (1; 1);

3

;

1

√25 √25

.

VD3 : Giải hệ phương trình:


−8 =
+ 2 (1)
− 3 = 3( + 1)(2)

HD: Ta biến đổi đưa hệ phương trình về dạng:
−

= 8 + 2 (1)

−3

= 6(2)

Nhân chéo hai phương trình trong hệ đưa về phương trình đồng bậc
3(

−

)=(

−3

)(4 + )

Giải phương trình rồi thử lại vào hệ.
ĐS: (3; 1); (−3; −1); −4

;

; 4

;−

.

VD4 : Giải hệ phương trình:

−4
+ 8 = 1(1)
2 + 8 = 2 + (2)

HD: Nhân chéo hai phương trình đưa về phương trình đồng bậc
2


−8

+ 12

=0

Giải phương trình rồi thử lại vào hệ.
ĐS: (0; 0); (1; 0); 1;

;

;

.

VD5 : Giải hệ phương trình:


+4 −
− 16 = 0(1)
= 5 + 4(2)

HD: Ta biến đổi đưa hệ phương trình về dạng:
−
−5

= 16 − 4 (1)
= 4(2)

Nhân chéo hai phương trình trong hệ đưa về phương trình đồng bậc
(7 − 4 )(3 + ) = 0
Giải phương trình rồi thử lại vào hệ.
ĐS: (0; 2); (0; −2); (1; −3); (−1; 3).
KL: Đối với loại 1 thì học sinh cần tinh ý và khéo léo thực hiện các bước
biến đổi sao cho gọn gàng và đặc biệt cần nhớ: Một là nhất thiết sau khi
nhân chéo thì phải đưa về phương trình đẳng cấp; hai là phương pháp này
chỉ đưa về phương trình hệ quả, học sinh cần kiểm tra lại bằng cách thay
nghiệm vào hệ ban đầu.

2. Loại 2: Phương pháp Rút -- Thế. Trong hệ có 1 phương trình mà ta có
thể rút được ẩn này theo ẩn kia sau đó đưa phương trình còn lại trở
thành phương trình với 1 biến. Đây là phương pháp truyền thống mà
có lẽ chúng ta cũng thường xuyên nghĩ tới khi gặp một bài hệ phương
trình.
VD1: Giải hệ phương trình:


( + 1)( + + 1) = 3 − 4 + 1(1)
+ + 1 = (2)

3

Trong VD này nếu để ý ở phương trình một sẽ thấy biểu thức

+1

xuất hiện nhiều vì vậy ta sẽ nghĩ tới việc rút được biểu thức này ở
phương trình (2). Với lối tư duy đó ta có thể giải quyết bài toán trên như
sau:
HD: Dễ thấy
Với

= 0 không phải là nghiệm của hệ phương trình.

≠ 0 từ (2) ⟹

+1=

thay vào (1) và nhân khai triển ta

được phương trình bậc 4 với biến . Dùng giản đồ Hoocne ta được
= 0( ạ )
= 1
= −2
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; ) là (1; −1), (−2; − ).
VD2: Giải hệ phương trình:
2 − 2√2 −
−
1
−

1
.
2
=
(1)
√2

= − + 2(2)
HD: Từ pt(2) ⇒

=2−

Thế vào pt(1) ⇒ √2 − 1 − 1 = 1 − √2 −
Đến đây là một phương trình vô tỷ mà chúng ta thường xuyên giải
quyết trong chương trình lớp 10. Tác giả để học sinh tự giải
ĐS: (1; 2), ( ; 2 −

)

Việc Rút – thế không phải lúc nào cũng chỉ đơn giản là rút biến này theo
biến kia mà đỉnh cao của nó là sự tinh ý để có thể rút thế cả một biểu thức
mà tác giả trình bày trong ví dụ dưới đây
VD3: Giải hệ phương trình:


+
= 2(1)
( + )(1 + ) = 32(2)

HD: Từ pt(1) ⇒ ( + ) = 2 + 2

2(1 +

= 2(1 +

)(1 +

⟺ 1+
⟺

=1⇒
4

) =2
=2
+

=2

) thế vào pt(2) ta được


Từ đó suy ra , là nghiệm của phương trình

−2 +1 = 0

Đến đây ta có thể tìm ra nghiệm của hệ là (1;1)
Đôi khi việc rút thế trở lên rất cồng kềnh (VD4), dễ làm chúng ta nản chí
mà bỏ đi nghĩ cách khác. Khổ một nỗi cách khác cũng chưa nghĩ ra, thôi thì
đâm lao thì phải theo lao
VD4: Giải hệ phương trình:

2
3

+3
+2

= 3 − 13(1)
= 2 + 11(2)

HD: dễ thấy

= 1 không là nghiệm của phương trình

Từ pt(2) ⇒

=

thế vào pt(1) ta được:
( − 3)( + 7)(3 − 7)
=0
−1

Tất nhiên để được kết quả trên là tác giả đã có 1 quá trình biến đổi rất
dài. Đến đây thì việc tìm ra nghiệm của hệ là dễ dàng.
ĐS: (−4; 3);

; −7 ; (−2; )

Dưới đây là 1 số VD khác về phương pháp này:
VD5: Giải hệ phương trình:

HD: Từ pt(2) ⇒

2
2

+ 3 = 4 + 9 (1)
+ 9 = 7 + 6(2)

=

thế vào pt(1) ta được:

−
ĐS:

;−

1
( + 2)(4
2

; −2; −

;(

√

+ 18 − 54) = 0

; 3); (

√

; 3)

VD6: Giải hệ phương trình:

HD: Từ pt(2)

⇒

2

+ +
= 7(1)
− + = 3(2)
=

( = −1khônglànghiệmcủahệ) thế vào

pt(1) ta được:
5


( + 2)(2
ĐS: (−2; −1); (1; 2); (

−

√

+
√

);

√

− 4 + 1) = 0
); (

−

√

);

√
√

)

VD7: Giải hệ phương trình:


( + + 1)( + + 1) = 3(1)
(1 − )(1 − ) = 6(2)

HD: Từ pt(2) ⇒

=1−

=

( = 1khônglànghiệmcủahệ) thế

vào pt(1) và tiếp tục làm như những ví dụ trên ta được nghiệm của hệ
(−2; −1); (−1; −2).
VD8: Giải hệ phương trình:
3
+ )+
= 7(1)
⎧ 4( +
( + )

⎨ 2 + 1 = 3(2)
⎩ +
HD: Tìm điều kiện của hệ rồi từ pt(2) ⇒
ĐS: (1; 0); − ;

√

;

√

;

;(

= 1 − 3 thế vào pt(1)
√

;

√

).

VD9: Giải hệ phương trình:
+ 1 − 1(1)

+1+1 =7



+

+ 1 = 13 −

+ 12(2)

HD: Hệ phương trình đã cho tương đương với:

Dễ thấy

(7 − )

(

+1=

+ 1(3)

− 13)( + 1) +

+ 1 + 1 = 0(4)

= 7khônglànghiệmcủahệ

Đến đây ta nghĩ tới việc rút từ pt(3)⇒
ĐS: 1; −

+1=

thế vào pt(4)

; (3; 0).

VD10: Giải hệ phương trình:


+2
+2

+
= 2 + 9(1)
= 6 + 6(2)

HD: Hệ phương trình đã cho tương đương với:
6


(

+

) = 2 + 9
− +6 +6
=

2


ĐS: −4;

.

3. Loại 3: Một phương trình trong hệ mà ta có thể phân tích đa thức
thành nhân tử. Đối với loại này ta thường nhẩm nghiệm đặc biệt.
Câu hỏi lớn nhất mà nhiều học sinh đặt ra với dạng toán này là làm
thế nào mà chúng ta có thể biết được nhân tử để có thể phân tích? Theo ý
kiến chủ quan của tác giả thì sẽ không có phương pháp nào chung để có thể
nhận ra được nhân tử mà việc nhận ra được nhân tử phải do:
- Kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử
- Có thể sử dụng máy tính Casio để dự đoán
Bản thân tác giả không khuyến khích cách sử dụng máy tính Casio để
dự đoán mà mong muốn học sinh dựa vào những phép biến đổi tương

đương để nhìn ra nhân tử từ đó tự rút ra những kinh nghiệm phân tích cho
chính bản thân mình.
Trước khi đi tới các ví dụ khó chúng ta cùng tham khảo 3 ví dụ đơn giản
sau:
VD1: Giải hệ phương trình:

HD: điều kiện

≤ 2,

(1 − ) + 4 = 4(1)
+
= 2(2)
≤2

Ở bài này ta dễ dàng nhận thấy pt(1) có thể phân tích thành
(1 − )(
⇔
Từ đó thay

− 4) = 0

= 1
= 2(loạivì ≤ 2)
= −2(loạivì ≤ 2)

= 1 vào pt(2) ta được nghiệm của hệ: (1; 1); (−1; 1)

7

VD2: Giải hệ phương trình:
+

( − 2008)
HD: Điều kiện

≥ 1,

+

=

−2

(1)

2 − √ − 1 = 2 − 2 (2)

≥0⟹

+

>0

Phương trình (1) đưa về ( + )( − 2 − 1) = 0 ⟺
Thay vào phương trình (2) ta được

=2⟹

=2 +1

= 5.

VD3: Giải hệ phương trình:
+1

+3
HD: Điều kiện

+1

=

(1)

= 4(2)

≠ 0.

Ta có phương trình (1) ⟺ (
⟺ ( − )(1 −
TH1:

=

+ 1) = ( + 1)
=
)=0⟺
=1

thay vào PT(2) ta được

= ±1 từ đó suy ra y
= ±1 ⟹ = ±1

TH2:

=1⟺

=

thay vào PT(2) ta được

= ± √3 ⟹

=±

√

Vậy hệ phương trình có 4 cặp nghiệm
(1; 1), (−1; −1), −√3; −

√

, √3;

√

Thực tế trong 3 ví dụ trên chúng ta đều có thể dễ dàng phân tích một

phương trình thành tích các nhân tử. Tuy nhiên nếu các nhân tử phức tạp
hơn ta cần thêm 1 kỹ năng nhỏ sau để có thể phán đoán được nhân tử cần
phân tích.
VD4: Giải hệ phương trình:


+ + 2 − ( + ) = 2(1)
+
= 2(2)

HD: Để ý thấy rằng phương trình (2) ta không thể biến đổi gì thêm vậy
ta sẽ tập trung vào phương trình (1). Ta có thể thử đơn giản như sau:
Cho

=0⟹

=2

Cho

=0⟹

=2
8


Đến đây ta nhận thấy
tử

+

Cho

+

= 2 và dự đoán rằng phương trình có nhân

− 2. Để chắc chắn hơn ta tiếp tục

=1⟹

−2 +1=0⟹

=1⟹

+

=2

Từ những phân tích trên ta có thể giải bài toán như sau:
Phương trình (1) phân tích được thành
( +

− 2)(1 −

+ −2 = 0
⟺
⟺
1−
= 0

)=0
= 2 −
1
= ( ≠ 0)

Thay mỗi trường hợp trên vào pt(2) ta được nghiệm của hệ là
(1; 1); (−1; −1)
Chú ý rằng cách làm trên chỉ là dự đoán chủ quan nên nó có thể đúng, có
thể sai, tuy nhiên trong trường hợp không thể nhìn ra nhân tử bằng các
cách biến đổi thông thường thì ta cũng nên thử phương án này.
VD5: Giải hệ phương trình:

HD: Điều kiện

−6
−
≥ ,

+9
+

+

−4

= 0(1)

= 2(2)

≥− ⟹

≥| |

Làm tương tự ví dụ 3 ở phương trình (1) ta
Cho

=0⟹

=0

Cho

=0⟹

=0

Từ kết quả trên ta có thể dự đoán

= ,

=− ,

=

nhưng rõ ràng

để có được 1dự đoán tốt hơn thì chúng ta nên thử thêm vài trường hợp
nữa (Có thể kết hợp sử dụng máy Casio để tính toán nhanh hơn)
Cho

=1⟹

= hoặc

=1

Cho

=1⟹

= 4 hoặc

=1

Đến đây ta sẽ tìm cách phân tích làm xuất hiện nhân tử

−

hoặc

− 4 ở phương trình (1). Thật vậy:
Phương trình (1) ⇔ ( − ) ( − 4 ) = 0. Bài toán đã được giải quyết
ĐS: (2; 2), (32 − 8√15; 8 − 2√15)
9


VD6: Giải hệ phương trình:

2
= 1(1)
+
=
− (2)

+

+

+
HD: Điều kiện +

> 0.

Tiếp tục sử dụng phương pháp phán đoán như ở hai ví dụ trên ta hoàn
toàn có thể xử lý tốt bài toán này như sau:
Từ phương trình (1) ⟺ ( + ) − 2( + )
⟺ ( + )[( + ) − 1] − 2
⟺( +
⟺

( +

−( + )=0

+2

− 1) = 0

− 1)[( + ) + ( + ) − 2

]=0

+ = 1(3)
( + ) + ( + ) − 2 = 0(4)

Từ (2) và (3) ta dễ dàng tìm được nghiệm của hệ là
(1; 0); (−2; 3)
Từ (2) và (4):

( + ) +( + )−2 = 0
⟺
+ =
−
⟺

+( − ) = 0
⟺
=
−

+
+

+
+
=

+

=

+ =0
−

= 0 (loại)

Vậy hệ phương trình có nghiệm: (1; 0); (−2; 3)
VD7: Giải hệ phương trình:


(
4

+ 4) + ( + )(2
+

HD: Điều kiện

− 2) −

−

= −1(1)

= 3 + 2√2(2)
≤

√

,

≤ 3 + 2√2

Nhận thấy ở phương trình (2) không thể biến đổi gì thêm vậy ta sẽ
tập trung vào phương trình (1):
Cho

=0⟹

= 1 + √2 hoặc

= 1 − √2

Cho

=0⟹

= 1 + √2 hoặc

= 1 − √2

Có điều gì đó khá đặc biệt ở phương trình (1) này nhưng ta còn cảm
thấy mơ hồ vì vậy ta tiếp tục thử với
nghiệm của

= 1 và phương trình vẫn cho ta

là 1 + √2 hoặc 1 − √2 ; với
10

= 2 phương trình vẫn cho


ta nghiệm của

là 1 + √2 hoặc 1 − √2. Vậy khả năng phương trình

luôn có nghiệm

= 1 + √2 ;

= 1 − √2. Đến đây sử dụng định lý đảo

về dấu của tam thức bậc 2 ta dự đoán phương trình có nhân tử là
+ 2 − 1. Vậy ta rút ra cách giải như sau:
Pt(1) ⟺

+4

⟺(
⟺

+2

+2
(

−

+2

−2 −2 −

) + (2

+ 2 − 1) + 2 (

+4

−

−2 )−(

+ 2 − 1) − (

+1= 0
+ 2 − 1) = 0

+ 2 − 1) = 0

⟺(

+ 2 − 1)(

+ 2 − 1) = 0

⟺

⎡ = 1 + √2(loại)

⎢ = 1 − √2(thỏamãn)
+2 −1=0
⟺⎢
+2 −1=0
⎢ = 1 + √2(thỏamãn)
⎣ = 1 − √2(thỏamãn)

Mỗi trường hợp trên thay vào phương trình (2) ta được nghiệm của hệ
0; 1 + √2 ; √2; 1 − √2 ; − √2; 1 − √2 ;
1 − √2; 10√2 − 9 ; 1 − √2; − 10√2 − 9
VD:
2

+ √2 = ( + ) +
√ −1+

=

+

+ 21

VD

Nếu trong một phương trình của hệ có căn thức thì chúng ta có thể sẽ
phải nghĩ tới phép nhân liên hợp. Chúng ta cùng xem vài ví dụ dưới đây:
VD8: Giải hệ phương trình:


−1+

−3+
− 5(1)
√ + √ + 2 + √ + 4 =
+ + +
= 44(2)

HD: Điều kiện
√ −

≥ 0,

≥ 5. Từ phương trình (1) ta có:

−5 + √ +2−

−3 + √ +4−
11

−1 =0


Dễ thấy cặp ( , ) = (0,5) không phải là nghiệm của phương trình. Ở
mỗi nhóm thực hiện phép nhân liên hợp ta được:
−

+5

√ +
⟺( −

−5

−

+5

√ +2+

1

+ 5)

⟺ −

+

√ +

−5

+

−3

+

−

+5

√ +4+

1
√ +2+

−3

+

−1

=0

1
√ +4+

−1

=0

+5=0

Kết hợp với phương trình (2) giải hệ ta được nghiệm là ( , ) = (1,6)
VD9: Giải hệ phương trình:


2 − − 1 + 3 + 1 = √ +
+ 2 (1)
− 3 + 2 = 2 − (2)

HD: Điều kiện

≥ 0,

≥− ,2 −

− 1 ≥ 0,

+ 2 ≥ 0.

Từ phương trình (1) ta có:
( 2 −

−1−

Dễ thấy cặp ( , ) =

+2 )+( 3 +1−√ ) = 0
và ( , ) = 0, −

,−

không phải là nghiệm

của phương trình. Ở mỗi nhóm thực hiện phép nhân liên hợp ta được:
−3 −1
2 −
⟺ ( − 3 − 1)

⟺

Từ pt(3) →

+2

−3 −1
3 +1+√

1
2 −

−1+

+2

−

=0
1

3 +1+√

=0

− 3 − 1 = 0(3)
1
1
=
(4)
2 − −1+
+2

3 +1+√
= 3 +1

Thế vào pt(2):
Từ pt(4)

−1+

+

(25 + 28) = 0 →
→

3 +1+√ =

⟺( 2 −
Làm tương tự trên ta được

=0→
2 −

−1−√ )+(
=

=1
−1+

+ 2 − 3 + 1) = 0

+ 1 thế vào pt(2)

VD10: Giải hệ phương trình:
12

+2


( − 1) = 4

+5 −2



+ 10 (1)

− 6√2 + 5 + 18 = (2)

HD: pt(1) có thể phân tích được thành (2 − )(2 +
Suy ra

+ 5) = 0.

= 2 rồi thay vào pt(2): ( − 2) + (√2 + 5 − 3) = 0

ĐS: (2; 4)
VD11: Giải hệ phương trình:
−


−2

HD: Điều kiện:

+
1

−
> 0;

(

−2

+ 2) = 3 (1)

= 0(2)

≠ 0.

Phương trình (1) có thể phân tích được thành (
Suy ra

− 2)(1 +

= 2 rồi thay vào phương trình (2): 2 − 4 −
√

ĐS: √2;

; √2;

√

√

; −√2;

; −√2;

√

) = 0.

=0

.

VD12: Giải hệ phương trình:


+3 +
+

HD: Điều kiện: ,
Dễ thấy

=

2 −

=2

+ √ (1)
= 2(2)

≥ 0, + 3 ≥ 0, 2 −

≥ 0.

= 0 không phải nghiệm của hệ.

Bình phương 2 vế của phương trình (1) rồi phân tích được thành:
( − )
Suy ra

=

+

+

2

(2 + 3 )

( + 3 )(2 − ) + 2

=0

rồi thay vào phương trình (2)

ĐS: (1; 1).

4. Loại 4: Một phương trình trong hệ có thể coi 1 ẩn là tham số ẩn
kia là biến. Chúng ta thường nghĩ tới phương án này nếu việc làm trên
đưa về 1 phương trình bậc 2 mà ta có thể giải bằng cách tính ∆.
VD1: Giải hệ phương trình:

13


= (5 + 4)(4 − )(1)
− 5 − 4 + 16 − 8 + 16 = 0(2)



− 2(2 + 4) − 5

HD: Đưa PT (2) về dạng:

+ 16 + 16 = 0(∗).

Như vậy phương trình (∗) là một phương trình bậc 2 với biến , ta coi
là tham số
Phương trình (∗ ) có ∆ = 9
Từ đó giải hệ ta được 3 nghiệm (0; 4), (4; 0), − ; 0 .
Điểm mấu chốt để sử dụng được phương pháp này là ∆ phải phân tích
được về dạng ∆=

với

là một biểu thức nào đó, còn không thì việc tìm

ra nghiệm sẽ rất lẻ và sẽ rất khó khăn để đi tiếp.
VD2: Giải hệ phương trình:


+
+ + − 4 = 0(1)
− +2 +
− 5 + + 2 = 0(2)

HD: Coi PT (2) là phương trình bậc 2 với biến

với

là tham số

Phương trình (2) có ∆ = 9( + 1)
Giải hệ được nghiệm (−2; 1),

;

Đối với những bài toán cần sự tinh tế hơn thì chúng ta thậm chí có thể
coi một biểu thức là biến, dưới đây là VD như vậy:
VD3: Giải hệ phương trình:


2 − √4 + 3 − 3 = 4 (1)
(27 + 63 + 43 + 7)( + 1) = 16 + 24 + 8(2)

HD: Điều kiện:
Từ pt(1): 2

−

≥ − .
√4 + 3 − (4 + 3) = 0 ta coi đây là phương trình

bậc 2 với biến √4 + 3 khi đó ta có thể tính ∆ = 9

từ đó ta có

√4 + 3 =
√4 + 3 = −2
Từ những phân tích trên ta hoàn toàn có thể giải được hệ phương trình
VD4: Giải hệ phương trình:

14


(4 − 1)



2

+1=2

− 5−2

+ 2 + 1(1)

− 1 = 0(2)

HD: Coi PT (1) là phương trình bậc 2 với biến √

+ 1 với

là tham số

Từ đó giải hệ ta được nghiệm (0; 1)
VD5: Giải hệ phương trình:


+
−

+
+4

=2
+ 7(1)
+
+ 11( − ) = 28(2)

HD: Hệ phương trình đã cho tương đương với:


+

−

+
−2
= 7(1)
+4 +
+ 11( − ) = 4.7(2)

Thế 7 từ pt(1) vào pt(2):
( + 4) − (
Nếu
Nếu

+8

+ 11) + 4

+ 11

= 0(∗)

= −4 thay vào hệ …(Vô lý)
≠ −4 thì pt(∗) là phương trình bậc 2 theo biến

∆ =(

với

− 11) từ đó đi tới đáp số: (3; 1), ( √49; √7),

5. Loại 5: Phương pháp cộng đại số
5.1. Thông thường phép cộng đại số mà chúng ta hay gặp là cộng
hoặc trừ tương ứng vế với vế của hai phương trình trong hệ rồi
phân tích thành hằng đẳng thức hoặc phân tích thành tích.
VD1: Giải hệ phương trình:
1
1
⎧ −
= 2( −
2

⎨1+ 1 = ( +3
⎩
2
HD: ĐK:

≠ 0,
⎧

)(1)
)(3

+

)(2)

≠ 0. Lấy pt (1) ± pt(2) ta được:
2

=2

−2

+ 3


⎨1=3
⎩

+3

+ 10

15

+3

+ 10

− 2

+2





↔

2=5

1=5

+
+

+ 10
+ 10



2+1=( + )
↔
2−1 =( − )
ĐS :

√

;

√

VD2: Giải hệ phương trình:
5
⎧ (3 −
) 2 = 4(1)
+ 42

5
⎨ 3+
√ = 2(2)

⎩
+ 42
HD: ĐK:

> 0,

> 0. Hệ phương trình đã cho tương đương với:
5
4
=
(3)
+ 42
2
5
2
=
(4)
+ 42
√

⎧3−
⎪

⎨
⎪3+
⎩

Lấy pt (3) ± pt(4) ta được:
1
√2

⎧
+
= 3
⎪√

5
⎨ 1
√2
−
=

⎪
+ 42
⎩√
Lấy 2 phương trình và nhân vế với vế
1

ĐS :

√

;

−

2

=

15

↔ ( − 3 )( + 28 ) = 0
+ 42

√

VD3 : Giải hệ phương trình:


4
2

+
−4
+4 −4

= 1(1)
= 2(2)

HD : Lấy pt (1) – pt(2) ta được:
−2

+4

(1 −

) = −1 ⟺ (

16

− 1) − 4

(

− 1) = 0


ĐS : (0; 1); (0; −1); (1; 1); (−1; −1);

√

;−

√

; −

√

;

√

VD4: Giải hệ phương trình:


2

−
−2

+ −
+ +

HD : Lấy pt (1) + pt(2) ta được: 2 (

= 0(1)
= 0(2)
+1−2 )= 0

ĐS : (0; 0); (1; 2).
VD5: Giải hệ phương trình:
+ 2 = (1)
+ 2 = (2)



HD : Lấy pt (1) trừ tương ứng pt (2) làm xuất hiện nhân tử chung (x-y)
( hệ phương trình đối xứng loại 2 )
ĐS : ( ; ) = (0; 0)
VD6: Giải hệ phương trình:
12
⎧ (1 −
)√ = 2(1)
+3

⎨ 1 + 12
= 6(2)
⎩
+3
HD : ĐK:

> 0,

> 0. Hệ phương trình đã cho tương đương với:

12
2
⎧1−
=
(3)
⎪
+3
√

⎨ 1 + 12 = 6 (4)
⎪
+3
⎩
Lấy pt (3) ± pt(4) ta được:
2
6
⎧
+
= 2(1)
⎪√

⎨ − 2 + 6 = 24 (2)
⎪
+3
⎩ √

Lấy 2 phương trình và nhân vế với vế
9

−

1

=

12
↔ ( + 9 )( − 3 ) = 0
+3

17


ĐS : 4 + 2√3; 12 + 6√3 .

5.2. Trong trường hợp khó hơn thì ta phải nhân 1 số

vào phương

trình có bậc thấp hơn rồi cộng (trừ) tương ứng với phương trình
còn lại để đưa về các dạng sau:
 ( + ) =( + ) ,

= ,

(dấu hiệu: trong hệ không chứa tích 2

biến)
 ( − ) ( ; )=


(

+

(dấu hiệu: nhẩm được nghiệm

) + (

+

)+

=

= )

(dấu hiệu:bậc cao nhất là 2, có

chứa tích xy)
 …
Thường thì chúng ta sẽ để ý tới hằng đẳng thức để biết được cần
nhân

vào phương trình nào và

là bao nhiêu. Điều này được tác giả

trình bày và hướng dẫn trong 6 ví dụ sau:
VD1:

Giải hệ phương trình:


8

HD: Lấy pt(1)+ 6.pt(2)

−
+2

= 63(1)
+ 2 − = 9(2)
⇒ (2 − 1) = ( + 2)
⟺2 −1=

+2⟺

=2 −3

Thay kết quả tìm được ở trên vào phương trình (1) ta dễ dàng tìm ra
được

= 2 hoặc

= − từ đó tìm ra nghiệm của hệ.

Đối với học sinh giỏi thì việc nhận ra phải nhân 6 vào phương trình
(2) để ghép hằng đẳng thức bậc 3 là khá dễ dàng. Nếu chưa thể nhìn ra thì
chúng ta hoàn toàn có thể suy luận theo cách sau:
Giả sử

là số ta cần nhân vào phương trình (2), khi đó ta có:


8

−
= 63
+2
+2 −
= 9

Sau đó cộng tương ứng hai vế của hai phương trình trong hệ, ta được:
18


8
⟺8

+2

−

+2

−

−
=

+
−

+2
−2

= 63 + 9
+ 63 + 9 (3)

Đến đây với tư tưởng ghép hằng đẳng thức bậc 3 chúng ta mong muốn
phương trình (3) trở thành: (2 − ) = ( − )
12 = 2
6 =−
Đồng nhất hệ số với phương trình (3) ta được:
đến đây ta
−3 = −
…
dễ dàng tìm ra được

= 6;

= 1;

= −2

ĐS (2; 1), (− ; 4)

Dưới đây là một số ví dụ áp dụng tương tự
VD2:

Giải hệ phương trình:


+
= 56(1)
+ 2 = 2 + 8 (2)

HD:
Lấy pt(1)-6.pt(2) ⇒ ( − 2) = (4 − ) , ĐS
VD3:

;

,( ;

)

Giải hệ phương trình:


+
= 91(1)
4 + 3 = 16 + 9 (2)

HD:
Lấy pt(1)-3.pt(2) ⇒ ( − 4) = (3 − ) , ĐS (3; 4), (4; 3)
VD4:

Giải hệ phương trình:


−
= 35(1)
3 + 2 = −9 + 4 (2)

HD: Lấy pt(1)-3.pt(2) ⇒ ( − 2) = ( + 3) , ĐS: (2; −3), (3; −2)
VD5:

Giải hệ phương trình:


−
= 240(1)
− 2 = 3( − 4 ) − 4( − 8 )(2)

HD: Lấy pt(1) - 8.pt(2) ⇒ ( − 2) = ( − 4) , ĐS: (−4; −2), (4; 2)
19


VD6:

Giải hệ phương trình:


2

+3

+6

= 5(1)
= 7(2)

HD: Lấy 4.pt(1) + pt(2) ta được: (2 + ) = 27
√

ĐS : (1; 1);

;

√

;

√

;

√

.

Trong các trường hợp khó hơn ta sẽ nhân

vào phương trình có bậc

thấp hơn sau đó sử dụng thêm kỹ thuật đồng nhất hệ số để có thể đưa
phương trình sau khi cộng đại số về phương trình mà ta mong muốn.

VD7:

Giải hệ phương trình:


6
5

+ 2 + 280 = 0(1)
+ 5 + 2 + 10 + 26 = 0(2)

HD: Đối với hệ phương trình này ta việc cộng đại số theo tư tưởng
ghép hằng đẳng thức giống như trong các ví dụ trên là rất khó khăn và
thậm chí là không làm được. Do phương trình thứ nhất của hệ có chứa
bậc cao nhất nên ta sẽ nhân

vào phương trình thứ hai rồi cộng với

phương trình thứ nhất ta được:
6

+2

+ 280 + 5

+5

+2

+ 10

+ 26

= 0(3)

Mặt khác ta có thể nhẩm được một nghiệm của hệ là ( ; ) = (1; −5) từ
đó ta sẽ đi tìm các số , , , sao cho phương trình (3) có thể phân tích
được thành:

⟺a

+

( + 5)(

+

+ 280 + 5

+( +5 )

+

+

+ 56) = 0

+

+5

+ (56 + 5 ) = 0

Đến đây ta đồng nhất hệ số với phương trình (3) ta được:
= 6; = 2; = 6;

= 20;

= 12

Vậy ta có thể giải quyết bài toán trên như sau:
Nhân 6 vào phương trình (2) rồi cộng với phương trình (1) ta đưa về:
( + 5)(6

+ 12 + 2

+ 20 + 56) = 0

⟺ ( + 5)[6( + 1) + 2( + 5) ] = 0

20


⟺

= −5
⟺
6( + 1) + 2( + 5)

= −5

= −1; = −5

Ta dễ dàng giải được nghiệm của hệ: (−1; −5); (1; −5)
VD8:

Giải hệ phương trình: (tương tự VD7)
+3
−8



= −392(1)
+
= 16 − 34 (2)

HD:
Lấy pt(1) + 6.pt(2) ⇒ ( + 2)[2( + 1) + 6( − 4) ] = 0,
ĐS (−2; 8), (−2; −8)
VD9:

Giải hệ phương trình:


+
= 5(1)
4 + 15 − 57 = −3 − 5 (2)

HD: Lấy pt(1)+ .pt(2)
(1 + 4 )

+3

+ (15 + 5 ) − . 57 − 5 = 0

+

Đến đây ta mong muốn tìm được
(1 + 4 )

+3

Đồng nhất hệ số ta được
Như vậy:

= 2;

sao cho:
= (15 + 5 )

+
=

.

(15 + 5 ) + 2(15 + 5 ) − 119 = 0

ĐS: (2; 1), ( ; )
VD10:

Giải hệ phương trình:

+ 2 + 2 + 3 = 0(1)
+
+ 3 + 1 = 0(2)

HD: Lấy pt(1)+ .pt(2)
+ ( + 2)

+ ( + 2)

Đến đây ta mong muốn tìm được
+ ( + 2)
Đồng nhất hệ số ta được

+ 3( +

)+

=0

sao cho:

+ ( + 2)
= 2.

Như vậy: ( + 2 ) + 3( + 2 ) + 2 = 0
21

= ( +

)


ĐS: −3 − 2√2; 1 + √2 ; −3 + 2√2; 1 − √2 ; −3 + √5;
−3 − √5;

√

√

;

.

C.Kết luận
1. Kết quả đạt được
Sáng kiến này đã đạt được một số kết quả sau :
 Hệ thống một số phương pháp biến đổi tương đương trong việc giải hệ
phương trình, đặc biệt là các hệ phương trình không mẫu mực. Từ đó
giúp học sinh có định hướng tốt khi giải một hệ phương trình.
 Mặc dù sáng kiến mới chỉ được tác giả áp dụng trong 1 năm đối với lớp
có đa số là học sinh trung bình, khá nhưng tác giả đã nhận thấy tính tích
cực của nó rất nhiều. Các em không còn bối rối khi giải hệ phương
trình và luôn có được định hướng tốt trong các bài tập mà tác giả đưa
ra.
2. Bài học kinh nghiệm
 Qua thực tế giảng dạy chúng tôi thấy rằng vấn đề nào dù khó mà giáo
viên quan tâm và truyền thụ cho học sinh bằng lòng say mê và nhiệt
tình của mình thì sẽ cuốn hút các em vào con đường nghiên cứu.

 Với mỗi hệ phương trình không mẫu mực thường có khá nhiều cách
giải khác nhau, do đó khi giảng dạy giáo viên cần phát huy tính sáng
tạo của học sinh. Giáo viên nên hướng dẫn các em hướng đến những
cách giải linh hoạt tùy vào đặc tính riêng của từng hệ. Luôn chủ động
giúp đỡ nếu học sinh có những phương án mà chính các em nghĩ ra.
 Nếu mức độ tư duy của học sinh còn hạn chế thì khi giảng dạy nội dung
này giáo viên cần hết sức bình tĩnh, từng bước dẫn các em phân tích
đặc điểm riêng của từng hệ phương trình
3. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm

22


Với sáng kiến kinh nghiệm này hy vọng góp thêm một tài liệu cho quý
Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp ; giúp các em học sinh có thêm những kinh
nghiệm cho loại toán này, từ đó tự tin hơn khi gặp những dạng bài trên.

4. Đề xuất kiến nghị và khả năng áp dụng
Sáng kiến kinh nghiệm này có thể triển khai như một chuyên đề để bồi
dưỡng học sinh giỏi ; cũng như dùng để giảng dạy cho các em học sinh ôn tập
thi vào cấp 3,học sinh lớp 10 và học sinh ôn thi kì thi THPT Quốc gia nhằm
giúp các em học sinh có thể vượt qua trở ngại tâm lí từ trước tới nay cho loại
bài toán này.
Tác giả mong muốn sáng kiến kinh nghiệm này được công nhận và có
thể được sử dụng rộng rãi trên địa bàn tỉnh Hưng Yên
5. Lời cam đoan của tác giả
Đây là sáng kiến kinh nghiệm của tôi trực tiếp thực hiện, không sao
chép nội dung của người khác.

Họ tên, chữ ký của tác giả

Đỗ Trung Hiếu

23


Tài liệu tham khảo

1. Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ
2. Một số chuyên trang toán học trên mạng internet
3. Đề thi đại học qua các năm

24