Ad theluctổng hợp PT BPT hệ 2016

TỔNG HỢP PHƢƠNG TRÌNH – BẤT PHƢƠNG TRÌNH–
HỆ PHƢƠNG TRÌNH
(Trích các Đề thi thử năm 2015 – 2016)
I.Giải phƣơng trình
1.( Chuyên Lê Qúy Đôn – Khánh Hòa)
3  x 2  2x  3 7x 2  19x  12

 16x 2  11x  27 (1)
x  4 1
12  7x
Giải:
12

4  x 
7 (*)
Điều kiện : 
 x  3

1   x  1  3



x  4  12  7x  16x  24  0

x  1

3 x  4  12  7x  16x  24  0

 2  3

x  4  12  7x  9





x4

2

 
2

12  7x





2

 3 x  4  12  7x  3 x  4  12  7x 3 x  4  12  7x



 3 x  4  12  7x  1  3 x  4  12  7x  1
 9  x  4   12  7x  1  2 12  7x
12
 23
  x 
 2 12  7x  16x  23   16

7
48  28x  256x 2  736x  529

12
 23
 x
12
 23

382  6 633
7
  x 
 16
  16

x
7
256
256x 2  764x  481  0
 x  382  6 633


256
382  6 633
Kết luận nghiệm của phương trình là : x  1 , x 
256

2. ( Lần 1 – THPT Hoàng Hoa Thám)
5  x  1  x  5  4x  x 2 

x
 x6
2

Giải:
Bikiptheluc.com – Bí kíp công phá THPTQG

CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực

Page 1


ĐK :  5  x  1 , đặt y  5  x  1  x  0 , PT


1 2
1
y  y 3
2
2

Xét hàm số f t  
biến trên 0;   .
(*)  f  y   f





x6



2

 x  6  3 (*)

1 2
t  t  3, t  0 , f / t   t  1  0, t  0 nên hàm số luôn đồng
2

x6

 y  x6  x 



2 41  8
(thỏa đk)
5

3. (THPT Bình Minh – Ninh Bình) :

x

x2

1

x

3

2x

2 3 2x
1

1

3

Giải:
Đk :
Pt  x  1  2 

x2  x  6
( x  2)( x  1  2)

1

( x=3 không là nghiệm)
3
3
2x 1  3
2x 1  3

 (2 x  1)  3 2 x  1  ( x  1) x  1  x  1
3
Hàm số f (t )  t  t đồng biến trên R do đó phương trình  3 2 x  1  x  1
 x  1/ 2

 x  1/ 2


 3
2
3
2
(2
x

1)

(
x

1)

x  x  x  0
 x  1/ 2
1 5


1  5  x  0, x  2
 x  0, x 

2

Vậy phương trình có nghiệm S

{0,

1

5
2

}

4.( Nguyễn Văn Trỗi – Hà Tĩnh) :
+

√

√

Bikiptheluc.com – Bí kíp công phá THPTQG

√

√

CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực

Page 2


Giải:

Vậy phương trình có nghiệm :
5. ( Chuyên Nguyễn Đình Chiểu) :

(

√

)

√

)

√

√

√

Giải:
Đk:
(

√

(
)
(
√
√
Giải pt 
√
Giải pt 

Vậy phương trình có nghiệm:

√
)

Bikiptheluc.com – Bí kíp công phá THPTQG

CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực

Page 3


6.( THPT Trần Phú – HT):
Giải:
(1)
+ 2(
Xét hàm số:
Ta có:
Phương trình (2) có dạng

√
(3)
không thỏa mãn (3)
thì (3) 

Nếu

√
√

Đặt √



(2)

đồng biến trên R
)

suy ra hàm số
(√

√

(1)

, ta có phương trình:




Với a=1 ta có: √





√

(Thỏa mãn Đk)

√

Vậy phương trình có nghiệm:

7. (Lần 1 – Chuyên Lương Thế Vinh – ĐN):

√
√

Giải:
ĐK:
không thỏa mãn pt. Với
Pt 
√


+ √


Đặt

=
√

[

]

√

√
=

√

:

√

√
ta có pt:




Mặt khác:
+

√
+
ta có:

Vì
nên áp dụng BĐT Cosi ta có:

Do đó (1) vô nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất:
Bikiptheluc.com – Bí kíp công phá THPTQG



(1)

CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực

Page 4


8.(Chuyên Phan Bội Châu–Nghệ An):
√
√
Giải:
ĐK: {

,

Xét TH: √

không t.m phương trình.
√

Thử lại
√
Do đó: √
Với ĐK (*), ta có:
(1)[√




]

√

√

(*)

(√

)

=0

√

[
√

√

(2) 
√
(3)  √
(1) và (4) suy ra:

√
√

√


(√
√

(loại)

(

(4)

√

)

√
)(√

)

√
√
Thử lại vào (1) ta được
√ là nghiệm của (1).
Vậy phương trình có nghiệm là:
√
9.( Sở GD–ĐT Vĩnh Phúc):
Giải:
ĐK:
Pt ⇔√
√

⇔√
√
Với đk
ta có:
Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

*

Bikiptheluc.com – Bí kíp công phá THPTQG

√
√

√

CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực

Page 5


(√
)
√
⇔√
√
Do đó pt (*) tương đương:
⇔
√
√
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất :

{

10. (Lần 1 – Chuyên Sư phạm Hà Nội) :
√
√
Giải:
ĐK: {
Theo bất đẳng thức Cô si ta có
√
√
√

Suy ra



√



Thử lại ta được
thỏa mãn.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất :
11.( Lần 1 – Quốc Học Huế) :
Giải:
ĐK

(



)
√

(

)

√


Vì

) (1)

√

(




√
√

(√

{

(√

√

Do đó (2) {

(√
√
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất :

√

)
 VT

)
)



3
2
23
3
12. ( THPT Nguyễn Công Trứ - HCM ) : 2 x  10 x  17 x  8  2 x 5 x  x

Bikiptheluc.com – Bí kíp công phá THPTQG

CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực

Page 6

Giải:
Nhận xét: x = 0 không thỏa phương trình cho
10 17 8
5
3
Chia hai vế của phương trình cho x3, ta được: 2  x  x 2  x3  2 x 2  1
1
2
3
2
3
Đặt t   t  0  , phương trình trở thành: 2  10t  17t  8t  2 5t  1
x
  2t  1  2  2t  1 
3



3



3

5t  1  2 3 5t 2  1  f  2t  1  f
2



3



5t 2  1 , với

f  t   t 3  2t , t  R
2
Ta có: f '  t   3t  2  0, t  R nên f đồng biến trên R , vì vậy:

f  2t  1  f



3



5t 2  1  2t  1  3 5t 2  1


t  0 (loaïi)

17  97
3
2
3
2
  2t  1  5t  1  8t  17t  6t  0  t 

(nhaän)
16

 17  97
(nhaän)
t 
16

17  97
17  97
x
16
12
17  97
17  97
t
x
16
12
t

Vậy phương trình cho có 2 nghiệm: x 



17  97
12

13. ( Sở GD – ĐT Bình Thuận) : 3 x 1  3 x

Bikiptheluc.com – Bí kíp công phá THPTQG



3  3 x  1  4. 3 x  6 x

CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực

Page 7


II. Giải bất phƣơng trình
1.( Lần 1 – THPT Anh Sơn 2 – Nghệ An)
1  x x 2  1  x 2  x  1(1  x 2  x  2)
Giải:
Bất phương trình đã cho tương đương :
( x x 2  1  x 2  x  1 x 2  x  2)  (1  x 2  x  1)  0



( x  1)(2 x 2  x  2)



x(1  x)

x x 1  x  x 1 x  x  2 1 x  x 1
2

2

2

Bikiptheluc.com – Bí kíp công phá THPTQG

2

0

CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực

Page 8


 ( x  1)(

2 x2  x  2

x



x x2  1  x2  x  1 x2  x  2 1  x2  x  1

 ( x  1). A  0 (1) với A 

)0

2 x2  x  2



x

x x 1  x  x 1 x  x  2 1 x  x 1
2

2

2

2

2
2

 x  x 1  x 1
 x2  x  1 x2  x  2   x x2  1
Nếu x  0 thì 
2

 x  x  2  x

 x2  x  1 x2  x  2  x x2  1  0  A  0
Nếu x>0 , áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
 2
x2  x  1  x2  x  2
3
2
 x2  x 

 x  x  1 x  x  2 
2
2

2
2
 x x2  1  x  x  1  x2  1

2
2

 x2  x  1 x2  x  2  x x2  1  2x2  x  2

 A  1

x
1 x  x 1
2

Tóm lại , với mọi

0

ta có A>0. Do đó (1) tương đương x 1  0  x  1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là (1; ) .
Chú ý : Cách 2. Phƣơng pháp hàm số
Đặt u  x 2  x  1  u 2  x 2  x  1 thế vào bpt đã cho ta có
u 2  x 2  x  x x 2  1  u (1  u 2  1)
 u2  u  u u2 1  x2  x  x x2 1

2
2
Xét f (t )  t  t  t t  1 )

f ' (t )  (t  t 2  1) 2  t 2  1  0t nên hàm nghịch biến trên R
Do đó bpt  u  x  x  1

2.( THPT Nguyễn Văn Trỗi)

 5x

2

 5x  10 x  7   2 x  6  x  2  x3  13x2  6 x  32

Bikiptheluc.com – Bí kíp công phá THPTQG

CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực

Page 9


Giải:
Điều kiện x  2 . Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình
(5x2  5x  10)





x  7  3  (2 x  6)

 (5 x 2  5 x  10)







x  2  2  3(5 x2  5 x  10)  2(2 x  6)  x3 13x 2  6 x  32



x  7  3  (2 x  6)





x  2  2  x 3  2 x 2  5 x  10  0

 5 x 2  5 x  10

2x  6
  x  2 

 x 2  5   0 (*)
x22
 x7 3



Do x  2  x  2  2  2 


1
1
 và vì 2x  6  0
x2 2 2

2x  6
2x  6

 x  3 (1)
2
x22

Do x  2  x  7  3  5  3  5 

1
1
 và
x7 3 5

vì
5 x 2  5 x  10 5 x 2  5 x  10
5 x 2  5 x  10 2
2



 x x2
 x  5   x  3 (2)
5
x7 3
x7 3
5x 2  5x  10
2x  6

 x2  5  0 .
Từ (1) và (2) 
x7 3
x2 2

Do đó (*)  x  2  0  x  2
Kết hợp điều kiện x  2  2  x  2 .
3.( Chuyên Lê Qúy Đôn – Khánh Hòa )
x2 + x – 1  (x + 2) x 2  2 x  2
Giải:
x2 2x – 7 + (x + 2)(3  x 2  2 x  2 )  0 (x2 2x – 7)



( x 1)2 1  ( x 1)
3 x 2  2 x  2



 0.

( x 1)2 1  ( x 1)

Vì: ( x  1)2  1  x  1  x  1 nên :

3 x 2  2 x  2

> 0 , x.

 x2 – 2x – 7  0  x  1  2 2  1 + 2 2  x
Bikiptheluc.com – Bí kíp công phá THPTQG

CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực Page 10


Vậy bất pt có tập nghiệm: S = (;1  2 2 ] [1 + 2 2 ;+)
4. ( Trường Ischool Nha Trang – Khánh Hòa)
7 x  7  7 x  6  2 49 x 2  7 x  42  181  14 x.
6
7
Đặt u  7 x  7 , v  7 x  6 , với u,v  0.

Điều kiện x 

Khi đó bất phương trình trở thành
u  v  2uv  182  (u2  v2 )  (u  v)2  (u  v)  182  0  14  u  v  13 ,
vì u,v  0 nên
0 ≤ u + v < 13  7 x  7  7 x  6  13  49 x 2  7 x  12  84  7 x
6

x



1

x


49 x  7 x  42  0
7
 x  1


 84  7 x  0
  x  12
 6
 x6
49 x 2  7 x  42  7056  1176x  49 x 2
x  6
7



2

Kết hợp diều kiện, bất phương trình có nghiệm là

6
 x  6.
7

x2  x  2 3 2 x  1

x 1 
3
2x 1  3

5. (Bình Phước) :

Giải:
- ĐK: x  1, x  13
x2  x  2 3 2 x  1
x2  x  6
x 1 
 x 1  2  3
3
2x 1  3
2x 1  3

- Khi đó:
1

 x  2 

x 1  2

 , *

2x 1  3
Nếu 3 2 x  1  3  0  x  13 (1)
thì (*)   2 x  1  3 2 x  1   x  1 x  1  x  1
3

3
Do hàm f (t )  t  t là hàm đồng biến trên R, mà (*):

f



3

 

2x  1  f


Suy ra: x   ;




x  1  3 2 x  1  x  1  x3  x 2  x  0
1 5   1 5 
DK(1)
 VN
  0;
 
2  
2 

Bikiptheluc.com – Bí kíp công phá THPTQG

CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực Page 11


- Nếu 3 2 x  1  3  0  1  x  13 (2)
thì (*)   2 x  1  3 2 x  1   x  1 x  1  x  1
3
Do hàm f (t )  t  t là hàm đồng biến trên R, mà (*):

f



 

2x 1  f

3

1

 1  x   2

x  1  3 2 x  1  x  1    1  x  13
 2

2
3
  2 x  1   x  1



1  5

1  5

DK(2)
;13 
;   
 x   1;0  
 2

 2


Suy ra: x   1;0  

1  5

;13 
 2


-KL: x   1;0  



2
6. ( THPT Hùng Vương – BP): x  x  6

Giải:

Đk:

x

2

x 6


x






x 1  x 2







x 1  x 2





x  1  3x 2  9x  2

x  1  3x 2  9x  2

  x  1  1  x  2  x  1  2   2x  10x  12
 x  6   x  2   x  2  x  3 

 2x  10x  12

 x2  x  6
2



2

2

x 1 1
x  5x  6 x  2
2





x 1 2
x 2  5x  6

 2 x


x 1 2

 5x  6
x 1 1
 x 2

1
 x 2  5x  6 

 2  0
x 1 2
 x 1 1

2


 x 1 1

1
2
 x  5x  6 

0
x

1

1
x


1

2




 x  1;2   3; 









2









Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: S= [

]

[

4
3
2
3
2
7. (THPT Phú Riềng – BP ): 2 x  6 x  10 x  6 x  8  x  x  x  1  x  2  (1)
Giải :

Bikiptheluc.com – Bí kíp công phá THPTQG

CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực Page 12


4
3
2

2 x  6 x  10 x  6 x  8  0
Điều kiện :  3

x  x  0

 x 2  1 2 x 2  6 x  8   0

 x0
 x  0

2
2
2
2
Khi đó (1)  x  1 2 x  6 x  8  x  1 x  x  1  x  2   0

 x2  1





2 x2  6 x  8  x  x  2  0

 2 x2  6 x  8  x  x  2  0
(2)
Xét TH1 : Với x  0 khi đó (2) vô nghiệm
Xét TH2 : Với x>0, chia hai vế của (2) cho

x ta được :

4
2 
4
2 




2  x    6 1   x 

 0  2 x    6   x 

  1 (3)
x
x
x
x





Đặt t  x 

2
4
 x   t 2  4 , thay vào (3) ta được :
x
x


t  1
t  1
2t 2  2  t  1   2

 t 1
2
t

1


0



t  2t  1  0


Với t  1 ta có :

x

 x  1(vn)
2
1 x  x  2  0
x
 x  2  x  4

Kết hợp hai trường hợp và điều kiện ta thấy bất phương trình (1) có nghiệm x=4.

8.( THPT Phù Cừ) :

5x  13  57  10x  3x 2
x  3  19  3x

 x 2  2x  9

Giải:



19
3  x 
3
Điều kiện 
x  4

Bất phương trình tương đương



x  3  19  3x

2 x  3 

19  3x

x  3  19  3x
Bikiptheluc.com – Bí kíp công phá THPTQG

 x

2

 2x  9

CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực Page 13


 2 x  3  19  3x  x 2  2x  9


x  5 
13  x 
2
 2 x  3 
   19  3x 
 x x 2
3  
3 

2 x 2  x  2
x 2  x  2


 x2  x  2


x  5
13  x 
9 x  3 
 9  19  3x 

3 
3 











2
1
2

0
 x x 2

 

x  5
13  x  
9  x  3 
 9  19  3x 

3 
3  
 




Vì



2


x  5
9 x  3 

3 




1

13  x 
9  19  3x 

3 


*


 0 với mọi x   3;



19 
\ 4
3



2
Do đó *  x  x  2  0  2  x  1 (thoả mãn)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   2;1
9. ( Chuyên Nguyễn Tất Thành –Yên Bái):
√
√
Giải:
ĐK: [
Đặt

√

√

Bất phương trình đã cho có dạng
(

Xét: √
√

√
 √

[

Ta có:





,

{

Bikiptheluc.com – Bí kíp công phá THPTQG

CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực Page 14


√

[,



√

[
[{

[

√

√

√

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: (
10. ( Bà Rịa Vũng Tàu) : √
Giải:
ĐK :
(1)√
√
Ta thấy: x= -1 là một nghiệm của bpt.
Với
ta có:
(2)√

]

(

√

]

√

(2)

√

Đặt

√

. Ta có bpt:

√



Suy ra:

 2√

√

Vậy tập nghiệm của bpt là: *
11. ( Chuyên Vĩnh Phúc – Lần 3) :

√


√

+
√

√

Giải:

Bikiptheluc.com – Bí kíp công phá THPTQG

CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực Page 15

Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất
12. (THPT Minh Châu ):
√
(
)
Giải:
Điều kiện xác định: x  

√

( √

)

√

5
. Khi đó ta có
2

(1)  x 3  3x 2  14x  15  2(x  2) 2x  5  3(x  2) x 2  5  3 5x 2  7  0
 x 3  3x 2  x  18  2(x  2)( 2x  5  3)  3(x  2)( x 2  5  3)  3  3 5x 2  7  0
2(x  2)(2x  4) 3(x  2)(x 2  4)
5(4  x 2 )
 (x  2)(x  5x  9) 


2
2x  5  3

x 5 3
9  3 3 5x 2  7  3 5x 2  7
2




 2
4(x  2)
3(x  2)2
5(x  2)
 (x  2)  x  5x  9 



2x  5  3
x 2  5  3 9  3 3 5x 2  7  3 5x 2  7


 4(x  2)
4
3(x  2)2
3
 (x  2);
 (x  2)2

x2  5  3 5
 2x  5  3 3
5
x  

5(x  2)
5(x  2)
2


2
9
 9  3 3 5x 2  7  3 5x 2  7








2

0



  0(*)
2








Bikiptheluc.com – Bí kíp công phá THPTQG

CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực Page 16


Ta có với
 x  5x  9 
2

4(x  2)
2x  5  3



3(x  2)2
x 5 3
2

5(x  2)



9  3 5x  7 
3

2



3

5x  7
2



2



18x 2  57x  127
5
 0, x  
45
2
Do đó (*)  x  2  0  x  2 , kết hợp với điều kiện x  

5
suy ra bất
2

5
x 2
2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: *
+
phương trình đã cho có nghiệm là 

13.(Lần 2 – Chuyên Lê Qúy Đôn – BĐ): √

√

√

Giải:

Bikiptheluc.com – Bí kíp công phá THPTQG

CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực Page 17


√

Vậy nghiệm của bất phương trình là:
14.(TTLT Diệu Hiền):
Giải:
ĐK:
(1)
√


√

(

√

(

√
(

)(

√

√

Xét hàm số :

 Hàm số đồng biến trên R
Do đó: (√
)
(
)√
√

(do
√

√


√

) (1)

√

)

√

) *(

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: *

)(

√

+

)

√

+

15.( Lần 1 – Chuyên ĐH Vinh – N.An):

√

Bikiptheluc.com – Bí kíp công phá THPTQG

CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực Page 18

(

√

)


Giải:

Vậy bất phương trình có nghiệm:
16. (Lần 1–Chuyên Lào Cai) :
Giải:
Đk:
Đặt :
√
(




√

,

,

√
(√

√

)

√

.Ta có:
. Khi đó (1) trở thành:

√

,

giải (2) ta có:

Bikiptheluc.com – Bí kíp công phá THPTQG

CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực Page 19


√
Giải (3) :
√
Giải (I):



√


√
{

hoặc
√

(loại)

{

√

Giải (II):
√
{

√

{

√



Vậy nghiệm của bất phương trình là:
17. (THPT Đồng Gia) : x ( x  1)  x  5x  8x  6 (1) ( x  R ).
Giải:
Điều kiện: x  0.
(1)  x x  x  ( x3  6 x2  12 x  8)  ( x2  4 x  4)  2
3

2

 ( x )3  x  x  ( x  2)3  ( x  2)2  ( x  2) (2)
Xét hàm số f(t) = t3 + t2 + t, có f’(t) = 3t2 + 2t + 1 > 0, t.
Do đó hàm số y = f(t) đồng biến trên R, mặt khác (2) có dạng
f x  f  x  2  x  x  2 (3).

 

+) Với 0  x  2 là nghiệm của (3).
+) Với x > 2, bình phương hai vế (3) ta được x 2  5 x  4  0  1  x  4
Kết hợp nghiệm ta được 2 < x  4 là nghiệm của (3).
Nghiệm của (3) là cũng là nghiệm của bất phương trình (1).
Vậy bất phương trình có nghiệm: 0  x  4
18.( THPT Nam Duyên Hà – TB) :
Giải :
Điều kiện: x  1 .
Bpt (1) tương đương:

2 x  3  x  1  3 x  2 2 x 2  5 x  3  16 (1).

2x  3  x  1 





2

2 x  3  x  1  20

Đặt t  2 x  3  x  1 , t >0

t  5
Bpt trở thành: t 2  t  20  0  
. Đối chiếu đk được t  5 .
t  4
Với t  5 , ta có:

2 x  3  x  1  5  2 2 x 2  5 x  3  3 x  21

Bikiptheluc.com – Bí kíp công phá THPTQG

CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực Page 20


 3x  21  0
 2
 2 x  5 x  3  0

3x  21  0
 
  x 2  146 x  429  0
x  7

 x3
3  x  7
Kết hợp với điều kiện x  1 suy ra tập nghiệm bất pt là: S= 3; 
19. (Lần 1 – Đa Phúc – HN) :
Giải:
ĐK

√

√
√

√
√

√

, bpt trở thành :
)(

√

√

√

√

√

(

√

. Theo bđt Cô si ta có:

)

√

√

√

√

√

√

Đặt
(√

√

(

)

(

)

(

√

)

(

)



√
√
Vậy tập nghiệm của bpt là : (

√ ]

20. ( Lần 1 – Triệu Sơn – Thanh Hóa) :

[√

)

x2  x  2 3 2 x  1
x 1 
3
2x 1  3

Giải:
- ĐK: x  1, x  13

Bikiptheluc.com – Bí kíp công phá THPTQG

CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực Page 21


x2  x  2 3 2 x  1
x2  x  6
x 1 
 x 1  2  3
3
2x 1  3
2x 1  3

- Khi đó:

1

- Nếu

3

 x  2 
3

x 1  2

2x 1  3

 , *

2 x  1  3  0  x  13 (1)

thì (*)   2 x  1  3 2 x  1   x  1 x  1  x  1
3
Do hàm f (t )  t  t là hàm đồng biến trên R, mà (*):

f



3

 

2x  1  f


Suy ra: x   ;




x  1  3 2 x  1  x  1  x3  x 2  x  0

1 5   1 5 
DK(1)
 VN
  0;
 
2  
2 

2 x  1  3  0  1  x  13 (2)
3
thì (2*)   2 x  1  2 x  1   x  1 x  1  x  1

- Nếu

3

3
Do hàm f (t )  t  t là hàm đồng biến trên R, mà (2*):
1

 1  x   2

f 3 2 x  1  f x  1  3 2 x  1  x  1    1  x  13
 2

2
3
  2 x  1   x  1



 



1  5


1  5

DK(2)
;   
;13 
 x   1;0  
 2

 2

1  5

x


1;0

;13



Vậy nghiệm của bất phương trình là:

 2


Suy ra: x   1;0  

21. ( Lần 2 – Yên Lạc – Vĩnh Phúc) :
Giải:

√
⇔ √
⇔

(

√

√

√

Từ (1) suy ra :
√

√

)
√

√

(1)

(2)
. Do đó:

√

Bikiptheluc.com – Bí kíp công phá THPTQG

CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực Page 22


√

√

(√
)(
√
Suy ra (2) ⇔
Vậy nghiệm của bất phương trình là:
22. ( Lần 1 – Viết Yên – Bắc Giang) : √
Giải:
ĐK : {

)

√
√

⇔

√

(*)

Bất phương trình tương đương với:
√

√
⇔3(
+2√

⇔3.

⇔ √

⇔

√

⇔[

√

√

Kết hợp với điều kiện (*) suy ra :
Vậy nghiệm của bất phương trình là :

√
√

III. Giải hệ phƣơng trình
1.( Lần 3- THPT Lương Tài 2 – Bắc Ninh)
√
√
{

√

√
(√

)

Giải:
Pt(1)  x  3 

a  x  3

Đặt 

b 


y 1

 x  3 y  1  x  2 y  1 

y 1

a  b
a  2b  1  0

 a, b  0  , (1) trở thành: a2  2b2  ab  a  b  0  

+ a  2b  1  0 vô nghiệm do a, b  0
+ Xét a = b  y  x  2 thay vào (2) ta được:

 x  3 x  3   x  1  x2  2x  3 

x 1  2

Bikiptheluc.com – Bí kíp công phá THPTQG



CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực Page 23


  x  3 x  3   x  1  x 2  2x  3 .

x 3
x 1  2

 x  3  y  5(tm)

2
 x  3 x  1  2   x  1  x  2x  3 *






(*)  





x  1  2

2





2
x  1  2   x  1  2   x  1  2 



2
Xét hàm số f  t    t  2   t  2  , t  0 có

Suy ra f  t  đồng biến mà f





x  1  f  x  1  x  1  x  1

x  1
 2
 x  3 y  5

x

3x

0

Vậy hệ phươngtrình có nghiệm:  3;5

2.(Lần 2 – THPT Lê Lợi – Thanh Hóa)
2
2

2 x  y  xy  5 x  y  2  y  2 x  1  3  3x (1)
 2

 x  y  1  4 x  y  5  x  2 y  2 (2)
Giải:
Điều kiện : y  2 x  1  0, 4 x  y  5  0, x  2 y  2  0, x  1
 y  2x  1  0
x  1 
0  0


* Xét trường hợp: 
(Không thỏa mãn hệ)

1

10


1
3  3x  0
y 1 

* Xét trường hợp: x  1, y  1 . Đưa pt (1) về dạng tích ta được:
x y2
( x  y  2)(2 x  y  1) 
y  2 x  1  3  3x


1
( x  y  2) 
 y  2 x  1  0 . Do y  2 x  1  0
 y  2 x  1  3  3x

1
 y  2x  1  0  x  y  2  0
nên
y  2 x  1  3  3x

* Thay y  2  x vào pt (2) ta được x2  x  3  3x  7  2  x
3x  6
2 x

 x2  x  2  3x  7  1  2  2  x  ( x  2)( x  1) 
3x  7  1 2  2  x
3
1



 ( x  2) 

 1  x  0  x  2  0
 3x  7  1 2  2  x

Bikiptheluc.com – Bí kíp công phá THPTQG

CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực Page 24


3
1

1 x  0 )
3x  7  1 2  2  x
* x  2  0  x  2  y  4 (Thỏa mãn ĐK).
Vậy hệ phương trình có nghiệm: ( x; y )  (2; 4)

(vì x  1 nên

3. (Lần 2 - THPT Sông Lô)
(√
{

) (√

)

√

Giải:
Điều kiện : | x |

2
3

(1)  2016 x ( x 2  2  x)  2016 y ( y 2  2  y )
 x ln 2016  ln( x 2  2  x)   y ln 2016  ln[ ( y ) 2  2  ( y )]

Xét hàm số : f (t )  t ln 2016  ln( t 2  2  t ), t  R có :
. Do đó hàm số đồng biến trên R,

√

do đó x   y
18 x 2
Thay vào (2) ta có : 25 x  9 x 9 x  4  2  2
(3)
x 1
2

2

2
18 x 2
2
thì 18 x  2 ,7 x 2  2  VT (3)  VP(3) (loại)
3
x 1
2

4
2
18
Nếu x   thì 25  9 9  2  2  2
3
x
x
x 1
Nếu x 

1
9
(0

t

) ta được
x2
4
18t
 18t

25  9 9  4t  2t 

 12   2t  4  9 9  4t  9  0
t 1  t 1


Đặt t 



6
36(t  2)
(t  2)  2(t  2) 
0
t 1
9  4t  1

Bikiptheluc.com – Bí kíp công phá THPTQG

CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực Page 25