Tổng hợp ôn ĐH LG-Nhị thức-pt-BPT- các bài toán khó

Chuyên Đề ôn thi DH – Lượng Giác – Phương Trình – Bất PT
PHƯƠNG TRÌNH LUỢNG GIÁC
A. PHƯƠNG TRÌNH LUỢNG GIÁC CƠ BẢN
1)
2
sin sin ,( )
2
U V k
U V k Z
U V k
π
π π
= +

= ⇔ ∈

= − +

2)
2
cos cos ,( )
2
U V k
U V k Z
U V k
π
π
= +

= ⇔ ∈


= − +

3)
tan tan ,( )U V U V k k Z
π
= ⇔ = + ∈
4)
cot cot ,( )U V U V k k Z
π
= ⇔ = + ∈
B. CÁC PHƯƠNG TRÌNH LUỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
I. Phương trình theo một hàm số lượng giác
Là phương trình biến đổi về được phương trình bậc k (thường là k = 1, 2, 3,
4) theo một hàm số lượng giác
II. Phương trình bậc nhất theo sinx, cosx (PT cổ điển)
Là phương trình dạng: asinx + bcosx = c (1)
Cách giải:
Có vài cách giải nhưng ơ đây ta cần nhớ cách giải thường dùng sau:
 Điều kiện có nghiệm: a
2
+ b
2
– c
2

≥
0
 Chia hai vế phương trình (1) cho
2 2
a b+

PT (1) thành:
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
+ =
+ + +
 Đặt
2 2 2 2
cos ; sin
a b
a b a b
α α
= =
+ +
 PT trở thành:
2 2
cos sin sin .cos
c
x x
a b
α α
+ =
+
2 2
sin( )
c
x
a b

α
⇔ + =
+
III. Phưong trình bậc hai theo sinx, cosx (PT đẳng cấp)
Là phương trình dạng:
a.sin
2
x + b.sinx.cosx + c.cos
2
x = 0 (1)
Hay: a.sin
2
x + b.sinx.cosx + c.cos
2
x = d (2)
Cách giải:
 Xét xem cosx = 0 phương trình có nghiệm hay khơng
Xét cosx
0
≠
Chia hai vế phương trình (1) cho cos
2
x
PT trở thành: a.tan
2
x + b.tanx + c = 0
Chú ý: PT (2) được đưa về pt (1) bằng phép thế
d = d.sin
2
x + d.cos

2
x
Gv : Nguyễn Hoài Phúc
1
Chuyên Đề ôn thi DH – Lượng Giác – Phương Trình – Bất PT
IV. Phương trình chứa sinx + cosx và sinx.cosx; phương trình chứa sinx -
cosx và sinx.cosx;
Cách giải:
 Đối với pt chứa sinx + cosx và sinx.cosx, ta đặt
t = sinx + cosx
2
1
sin .cos
2
t
x x
−
⇒ =
Điều kiện:
2t ≤
Thế vào pt đã cho ta được phương trình theo t
 Đối với pt chứa sinx - cosx và sinx.cosx, ta đặt
t = sinx - cosx
2
1
sin .cos
2
t
x x
−

⇒ =
Điều kiện:
2t ≤
Thế vào pt đã cho ta được phương trình theo t
Chú ý:
sinx + cosx =
2 sin
4
x
π
 
+
 ÷
 
=
2 cos
4
x
π
 
−
 ÷
 
sinx - cosx =
2 sin
4
x
π
 
−

 ÷
 
=-
2 cos
4
x
π
 
+
 ÷
 
V. Phương trình đưa về dạng tích:
1)
0
. 0
0
A
A B
B
=

= ⇔

=

2)
0
. . 0 0
0
A

A B C B
C
=


= ⇔ =


=

VI. Phương trình đặc biệt (pt khơng mẫu mực)
1)
2 2
0
0
0
A
A B
B
=

+ = ⇔

=

2)
A B
A C
A C
B C

B C
=

=


≥ ⇔
 
=


≤

3)
A C B D
A B
A B
C D
C D
+ = +

=


≥ ⇔
 
=


≥


4)
1
1 1
1
1 1
. 1
A
A A
B
B B
A B
 ≤
 = = −
 
≤ ⇔ ∨
  
= = −
 

=

5)
1
1 1
1
1 1
. 1
A
A A

B
B B
A B
 ≤
 = − =
 
≤ ⇔ ∨
  
= = −
 

= −

BÀI TẬP
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1) 4cos
2
x – 2(
3
+ 1)cosx +
3
= 0
2) cos
2
x + sinx + 1 = 0
3) cos2x = 1 + cos4x
Gv : Nguyễn Hoài Phúc
2
Chuyên Đề ôn thi DH – Lượng Giác – Phương Trình – Bất PT
4) sin

3
x – 3sinx + 2 = 0
5) cos2x + 9cosx + 5 = 0
6) sin
2
2x – 2cos
2
x +
3
4
= 0
7) tan
4
x – 4tan
2
x + 3 = 0
8) tan(
4
π
+ x) – 3tan(
4
π
- x) = 0
9)2cos2x+cos
2
2
x
-10cos(
5
2

π
-x) +
7
2
=
1
2
cosx
10) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos
2
x + 1
11) cos2(x +
3
π
) + 4cos(
6
π
– x) =
5
2
12) cos4x – 3
2
1 tan
2
1 tan
x
x
−
+
+ 2 = 0

13)
6 6
2(cos sin ) sin cos
0
2 2sin
x x x x
x
+ −
=
−
14)
4 4
sin cos sin
0
2cos 3
x x x
x
− −
=
−
Bài 2. Giải các phương trình sau:
1)
3
cosx + sinx =
3
2) sin(
2
π
+2x) +
3

sin(
π
–2x) = 1
3) 2sin
2
x +
3
sin2x = 3
4) cos7x – sin5x =
3
(cos5x – sin7x)
5)
3
cos2x + sin2x + 2sin(2x –
6
π
) = 2
2
6)8sinx.sin2x+6sin(x+
4
π
).cos(
4
π
-2x) = 5+7cosx
7)
3 cos3 sin3 2sinx x x+ =
8) sin8x – cos6x =
3
(sin6x + cos8x)

9)
cos 3sin 2cos2
0
2sin 3
x x x
x
− −
=
−
10)
3cos( ) cos( ) 2
2
0
2sin 1
x x
x
π
π
− − + + −
=
+

Bài 3. Giải và iện luận phương trình:
1)
(2 – 1).cos .sin 3 – 1 m x m x m+ =
2)
2.cos .sin 3 x m x+ =
3)
3sin3 cos3 2 1x m x m+ = +
Bài 4. Tìm GTLN, GTNN của hàm

số
2cos 2
1)
cos sin 2
x
y
x x
+
=
+ +
cos2 sin 2 1
2)
cos2 2
x x
y
x
+ +
=
+
3) y = sin
2
x + 4sinx.cosx + 2
4) y = sin
2
x – 6sinx.cosx + 2cos
2
x +5
Bài 5. Giải các phương trình sau:
1) sin
2

x – 3sinx.cosx + 2cos
2
x = 0
2)
3
cos
2
x +2sinx.cosx -
3
sin
2
x –1= 0
3) 4cos
2
x + sinx.cosx + 3sin
2
x – 3 = 0
4) 4sin
2
x + 3
3
sin2x – 2cos
2
x = 4
5)sin
2
x+
3
sinx.cosx + 2cos
2

x =
3 2
2
+
6)(
3
+1)sin
2
x-
3
sin2x+(
3
-1)cos
2
x = 0
7) 3sin
2
x + 5cos
2
x – 2cos2x – 4sin2x = 0
Bài 6. Tìm m để phương trình có
nghiệm
1) sin
2
x + sinx.cosx – 2cos
2
x + m – 3 = 0
2) m.sin
2
x + (m+3)cos

2
x + m.sin2x – 1 = 0
3) (m
2
+2)cos
2
x – 4m.sinx.cosx + 1 = 0
4) (m
2
+2)cos
2
x + 4m.sinx.cosx = m
2
+3
Bài 7. Giải các phương trình sau:
1) 2sin2x - 3
3
(sinx + cosx) + 8 = 0
2) (1–
2
)(1 + sinx – cosx ) = sin2x
3) tanx + cotanx =
2
(sinx + cosx)
4)
sin cosx x−
+ 4sin2x = 1
5) 2sin2x -3
6 sin cosx x+
+ 8 = 0

6) sin2x +
2.sin( )
4
x
π
−
= 1
7)(sinx – cosx)
2
–(
2
+1)(sinx – cosx) +
2
= 0
Bài 8. Giải các phương trình sau:
1) sinx + sin2x + sin3x = 0
Gv : Nguyễn Hoài Phúc
3
Chuyên Đề ôn thi DH – Lượng Giác – Phương Trình – Bất PT
2) sin3x + sin2x + sinx = 1 + cosx + cos2x
3) cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x + cos
2
4x = 2
4) cos4x + cos2x +

2 cos 0x =
5) cos5x + cos3x = sin6x – sin2x
6) tanx + tan2x = tan3x
7) tanx + tan2x = sin3x.cosx
8) sinx + cosx =
cos2
1 sin 2
x
x−
9) tanx + cot2x = 2cot4x
10)
1 1 2
sin 2 cos2 sin 4x x x
+ =
Bài 9. Giải các phương trình sau:
1) x
2
+ 2x.sin(xy) + 1 = 0
2) (cos4x – cos2x)
2
= 5 + sin3x
3) 2sin
2
3
x
= x
2
– 2x + 3
4) sinx + 2sin2x = 3 + sin3x
5) 4cosx.sina + 2sinx.cosa – 3cosa = 2

7
6)cos
2
[
4
π
(sinx +
2
cos
2
x)]–tan
2
(x +
4
π
tan
2
x)=1
7) 2cos[
6
π
(sinx – 13 +
2
2
)] =
3
8) sin(
π
cosx) – cos(
π

sinx) = 0
9)4cos
2
x + 3tan
2
x – 4
3
cosx +2
3
tanx +4 =0
10) sin2x.
cos 1
4
x
π
 
− =
 ÷
 
Bài 10. Giải các phương trình sau:
1) tan
3
x + tan
2
x – 3tanx = 3
2) 1 + tan2x =
1 sin 2
2
cos 2
x

x
−
3) 1 + 2sinx.cos2x = sinx + 2cos2x
4) sinx + sin3x + sin5x = 0
5) sinx + tan
2
x
= 2
6) cosx – cos2x = sin3x
7) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x
8) sin
3
x + cos
3
x = cos2x
9) sinx + sin3x + 4cos
3
x = 0
10) sin
2
x + sin
2
3x + sin
2
5x = 3/2
NHỊ THỨC NEWTON
I.Công thức nhò thức Newton :
_ Cho hai số a, b tùy ý và số nguyên dương n (n > 1)
n 0 n 1 n -1 k n - k k n n
n n n n

n
k n - k k 0 0
n
k = 0
C(a+ b) = a + C a b +...+ C a b +...+ C b
= C a b (quy ước : a = b =1)
∑
Công thức trên được gọi là công thức nhò thức Newton (gọi tắt là nhò thức
Newton)
_ Lưu ý : số hạng tổng quát của vế phải có dạng
k n - k k
n
C a b
là số hạng thứ (k +
1)
II.Tam giác Pascal :
Các hệ số
0 1 n
n n n
C , C , ... , C
có mặt trong nhò thức Newton có thể tính được nhờ
bảng sau
Gv : Nguyễn Hoài Phúc
4
Chuyên Đề ôn thi DH – Lượng Giác – Phương Trình – Bất PT
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
Bài tập
3.1 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển :
a)
20
2
1
x
x
 
−
 ÷
 
b)
15
2
1
2x -
x
 
 ÷
 
ĐS : a) 4845 ; b) 96096
3.2 Tìm hệ số của
a) x
10
trong khai triển
10
2

1
3
x
 
+
 ÷
 
b) x
5
trong khai triển của biểu thức :
P(x) = (2x+1)
4
+ (2x+1)
5
+ (2x+1 )
6
+ (2x+1 )
7
ĐS : a) – 28 / 27 ; b) 896
3.3 Tìmsố nguyên dương n sao cho :
0 1 2
2 4 ... 2 243
n n
n n n n
C C C C+ + + + =
(ĐS : n = 5)
3.4 Cho biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhò thức (x
2
+ 1)
n

bằng 1024.
Hãy tìm hệ số a của số hạng a.x
12
trong khai triển đó.
(ĐS : a = 210)
3.5 Tìm hệ số của số hạng chứa x
8
trong khai triển nhò thức Newton của
5
3
1
n
x
x
 
+
 ÷
 
biết rằng :
1
7( 3)
4 3
n n
C C n
n n
+
− = +
+ +
và x > 0 (ĐS : 495)
3.6 a) Tìm 3 hệ số đầu trong khai triển nhò thức Newton của

1 1
2 4
1
, ( 0)
2
n
x x x
−
 
+ >
 ÷
 
b) Xác đònh số mũ n, biết rằng 3 hệ số nói trên : số ở giữa bằng trung bình
cộng cuả hai số còn lại.
Gv : Nguyễn Hoài Phúc
5
Chuyên Đề ôn thi DH – Lượng Giác – Phương Trình – Bất PT
ĐS : n = 8
3.7 CMR : với mọi số x và số tự nhiên n, ta có :
1
(2 1)
2
0
n
n k k
x C x
n
n
k
= −

∑
=
3.8 Chứng minh rằng :
-1
) . ; ) !. -1
-1 -1 1
1
) ( -1).
-1 -1
) 2 ... ( -1). -1
1 2 -1



n
k k k n
a A A k A b k k A
n n n n
k
c P n P P
n n n
d P P n P P
n n
= + =
∑
+
=
= +
+ + + =
3.9 Chứng minh rằng :

-1 - 2 -1
) ) 2 -
-1 2
-1 - 2 - 3 - 4
) 4 6 4
4


k k k k k k
a kC nC b C C C C
n n n n n n
k k k k k k
c C C C C C C
n n n n n n
= + =
+
+ + + + =
+
3.10 Tính tổng : S =
6 7 11
11 11 11
C
+ C + ... + C
ĐS : 1024
3.11 Đặt (x – 2)
100
= a
o
+ a
1

x + a
2
x
2
+ ... + a
100
x
100
a) Tính a
97
b) Tính S = a
o
+ a
1
+ ... + a
100
ĐS : a) – 1293600 ; b) 1
3.12 Với n là số nguyên dương chẵn. Tính các tổng :
0 1 2 2
) 3 3 ... 3
0 2 2 4 4
) 5 5 ... 5
1 3 3 5 5 1 1
) 5 5 5 ... 5
n n
a A C C C C
n n n n
n n
b B C C C C
n n n n

n n
c C C C C C
n n n n
= + + + +
= + + + +
− −
= + + + +
ĐS : a) 4
n
; b) (6
n
+ 4
n
) / 2 ; c) (6
n
– 4
n
) / 2
3.13 Giải các phương trình và bất phương trình sau :
Gv : Nguyễn Hoài Phúc
6
Chuyên Đề ôn thi DH – Lượng Giác – Phương Trình – Bất PT
7
1 2 3
)
2
1 2 3 2
) 6 6 9 14
1
1

1
)
4
28
3
1
1 1
1
)
6 5 2
a C C C x
x x x
b C C C x x
x x x
C
x
c
P
C
x
y y y
C C C
x x x
d
+ + =
+ + = −
−
>
−
+ −

+
= =
ĐS : a) x = 4 ; b) x = 7 ; c) x = 5,6, …,18 ; d) x = 8, y = 3
3.14 Tính A =
0 1 2 70
.......
100 100 100 100
C C C C− + − +
ĐS :
70
99
C
3.15 Khai triển đa thức P(x) = (1 + 2x)
12
thành dạng :
a
0
+ a
1
x + ... + a
12
x
12
. Tìm Max( a
0
, a
1
, ... , a
12
)

ĐS :
8 8
2 .
12
C
3.16 Giải bất phương trình
1 6
2 2 3
. - . 10
2
2
A A C
x x x
x
≤ +
ĐS : x = 3 , x = 4
3.17 Trong khai triển
28
3
5
-
n
x x x
 
 ÷
+
 ÷
 ÷
 
.

Hãy tìm số hạng không phụ thuộc x biết :
-1 - 2
79
n n n
C C C
n n n
+ + =
ĐS : 792
3.18 Cho 2 số tự nhiên k, n thỏa
5 k n≤ ≤
CMR :
0 1 -1 5 - 5
. . ... .
5 5 5 5
k k k k
C C C C C C C
n n n n
+ + + =
+
HD : Xét (1+x)
5
.(1+x)
n
3.19 Dùng (1 + x)
m
.(1 + x)
n
= (1 + x)
m+n
. Chứng minh

0 1 -1 0
) . . ... . ( , )
0 2 1 2 2
) ( ) ( ) ... ( )
2


k k k k
a C C C C C C C k m k n
m n m n m n m n
n n
b C C C C
n n n n
+ + + = ≤ ≤
+
+ + + =
Gv : Nguyễn Hoài Phúc
7
Chuyên Đề ôn thi DH – Lượng Giác – Phương Trình – Bất PT
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GTTT
A. CÔNG THỨC CƠ BẢN.
1)



=
≥
⇔=
BA

B
BA
0
2)



=
≥
⇔=
2
0
BA
B
BA
3)





<
>
≥
⇔<
2
0
0
BA
B

A
BA
4)



<
≥
⇔<
BA
A
BA
0
5)










>
≥



≥

<
⇔>
2
0
0
0
BA
B
A
B
BA
6)








≤
>
=
⇔≤
0
0
0
0
A
B

B
BA
7)








≥
>
=
⇔≥
0
0
0
0
A
B
B
BA
8)



>
>
⇔>

0
0
0
B
A
BA
9)



−=
=
⇔=
BA
BA
BA
10)








−=
=
≥
⇔=
BA

BA
B
BA
0
11)
BABBA
<<−⇔<
12)



>
−<
⇔>
BA
BA
BA
B. BÀI TẬP
I. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT
PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA GIÁ
TRỊ TUYỆT ĐỐI
1. Giải các phương trình và bất
phương trình sau :
a)
2
5 4 4x x x− + = +
Gv : Nguyễn Hoài Phúc
8