toanmath com phân dạng các bài toán bất đẳng thức và min max mẫn ngọc quang

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Qstudy.vn

H c Toán Không Ti n B , H c Th y Quang

TUY N CH N B T

Thay

NG TH C N M 2016

Giáo
MTH
n Ng
Quang
B Tviên:NG
C 2cBI
N

i


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

H c Toán Không Ti n B , H c Th y Quang

Qstudy.vn

§1: CÁC B T
NG TH C

i

NG TH C PH

CH NG MINH B T
A. B T

Thay

NG TH C

I X NG

Bài 1: Cho 2 s th c x, y thay đ i th a x2  y2  2 . Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u





th c P  2 x3  y3  3xy
Bài gi i

P  2  x  y   3xy  2  x  y  x  xy  y   3xy  2  x  y 2  xy  3xy
3

3

2

K : t  2 xy 
,

t t = x + y.

2

t2  2
2

3
P  t 3  t 2  6t  3 , v i t  2
2

t  1
3
Xét f (t )  t 3  t 2  6t  3 trên [-2,2]  f '  t   3t 2  3t  6; f '  t   0  
2
t  2
13
Ta có f 1  ; f  2   1; f  2    7 
2

1 3 
1 3
x

x




x  y  1
13
13

2 
2
max f  t  
khi t = 1 nên max P    2 2


 2,2
2
2
x

y

2

 y  1 3  y  1 3


2
2
 x  y  2
 x  y  1
min f  t   7 khi t = -2 nên minP = - 7  2
2
 2,2

x  y  2

Bài 2: Cho x  0 và y  0 th a đi u ki n x  y  2 .Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P  xy 
Bài gi i
 x y
  1.
 2 
2

Ta có 0  xy  

P  f t   t 

t t  xy , đi u ki n 0  t  1 khi đó

t t  2
1
1
 f 't   1 

2
2
t 1
 t  1  t  1

B ng bi n thiên

1
.
xy  1

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

H c Toán Không Ti n B , H c Th y Quang

Qstudy.vn
x

0

P/

0

Thay

1
+
3

P

2

1

V y GTLN P 

3

Khi x  1; y  1
2

Bài 3: Cho a , b  0 th a mãn 2  a 2  b2   a 2b2 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
P

1
a
b


b 1 a 1
a 2  b2  1

Ta có a b  2  a  b    a  b   ab  a  b
2 2

2

Bài gi i

2

2

a 2  b2  1   a  b   2ab  1   a  b   2  a  b   1   a  b  1
2

2

2

 a 2  b2  1  a  b  1
1
 a
  b

P 
 1  
 1  2 
 b 1   a 1 
a 2  b2  1
1 
1
 1
  a  b  1 

2
 2
 a 1 b 1 
a  b2  1
  a  b  1

4
1

2
a  b  2 a  b 1

t t  a  b , ta có

 a  b

2

 2a  b
2

2

   ab 

2

 a  b

16

4

 a b  4

4  t  1
1

 2; t  4 ta đ
t2
t 1
5
MinP  M inf  x  khi x  y  2

3

Xét f  t  

Bài 4: Cho x, y là các s th c d
P

c

ng th a mãn xy  x  y  3 . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:

3x
3y
xy


  x2  y2 
y 1 x 1 x  y

Bài gi i
t t  x  y  xy  3  t; x2  y2   x  y  2xy  t 2  2  3  t   t 2  2t  6
2

x y 
1 2
Ta có xy  
  3t  t  t  2
4
 2 
2

i


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

H c Toán Không Ti n B , H c Th y Quang

Qstudy.vn
Suy ra P 

3  x2  y2   3  x  y 



Thay

12 5
xy
  x2  y2   t 2  t  
x y
t 2

xy  x  y  1
12 5
Xét hàm s f  t   t 2  t   v i t  2
t 2
2
Ta có f '  t   2t  1  2  0, t  2 . Suy ra hàm s
t

3
 P  f t   f  2 
2
3
V y giá tr l n nh t c a P b ng khi x  y  1 .
2

f  t  ngh ch bi n v i t  2

Bài 5: Cho x, y là hai s th c th a mãn đi u ki n ( x  y) 3  4 xy  2 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c

P  3( x2  y2 )2  2( x  y)2  xy(3xy  4)  2015 .
Bài gi i
V i m i s th c x, y ta luôn có ( x  y)  4 xy , nên t đi u ki n suy ra
2

( x  y)3  ( x  y)2  ( x  y)3  4xy  2  ( x  y)3  ( x  y)2  2  0  x  y  1 Ta bi n đ i P nh sau
3 2
3
( x  y 2 ) 2  ( x 2  y 2 ) 2  2( x 2  y 2  2 xy)  xy(3 xy  4)  2015
2
2
3 2
3
 ( x  y 2 ) 2  ( x 4  y 4 )  2( x 2  y 2 )  2015 (3)
2
2
2
( x  y2 ) 2
9

nên t (3) suy ra P  ( x 2  y 2 ) 2  2( x 2  y 2 )  2015 .
Do x 4  y 4 
4
2
1
t x 2  y 2  t thì t 
(do x  y  1) .
2
9
9
1
1
Xét hàm s f (t )  t 2  2t  2015 v i t  , có f ' (t )  t  2  0 , v i t  nên hàm s f(t) đ ng bi n
2
4
2
2
1
 1  32233
trên  ;  . Suy ra min f (t )  f   
.

1
16
2
2

t ;  
P

2

Do đó GTNN c a P b ng



32233
,đ tđ
16

c khi và ch khi x  y 

Bài 6: Cho các s d ng x, y. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:
1
1
2
.
P


3
2
2
2
2
3  x  y
3x  y
x  3y
Xét bi u th c P 
Tr

1
x2  3 y2

c h t ta ch ng minh



1
3x2  y2

1
x  3y
2

2





Bài gi i
2
3  x  y

1
3x  y
2

2



3

2
x y

1
2

i


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

H c Toán Không Ti n B , H c Th y Quang

Qstudy.vn


8  x2  y2 


1
1
  2 2
 2
 2
2

2 

3
3
x
y
x
y


 x  3 y2 3x2  y2 



2
4  2  x2  y2   x  y    x2  3 y2  3x2  y2  
8  x2  y2 
4




2
2
2
2
2
2
2
2

2
2
 x  3 y  3x  y   x  y
 x  3 y  3x  y   x  y
2


1
1
Th t v y, 

 x2  3 y2
3x2  y2


Xét



x

2

4  x  y 
 3y

2

 3x

2

y

4

2

  x  y

2

1

0

x  3y
2

2



1
3x  y
2

2



D u “=” x y ra khi x = y
2
2
Nh v y, P 

x  y 3  x  y 3
t, t 

1
,t  0 .
x y

2t 3
 f '(t )  2  2t 2 ; f '(t )  0  t  1
Xét hàm s f (t )  2t 
3
B ng bi n thiên
t
f’(t)

–
1
–

–

+

1

0

+

0

–

4/3
f(t)

4
khi t = 1.
3
4
1
V y, GTLN c a P là khi x  y 
3
2
T BBT ta th y GTLN c a f(t) là

Bài 7: V i moi sô th c x,y thoa man điêu kiên 2  x2  y2   xy  1
Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a bi u th c P 

x4  y4
2 xy  1

Bài gi i

1
2
t t  xy . Ta co: xy  1  2  x  y  2 xy  4 xy  xy  


5
1
1
1
2
Va xy  1  2  x  y  2 xy  4 xy  xy  nên   t 


3
5
3

2
x y

Thay

i


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

H c Toán Không Ti n B , H c Th y Quang

Qstudy.vn

x
Suy ra: P 

2

 y2   2 x2 y2
2

2 xy  1



Thay

7t 2  2t  1
4  2t  1

7  t 2  t 
t  0
7t 2  2t  1
; f 't   0  
Xet ham sô f  t  
co f '  t  
2
4  2t  1
2  2t  1
t  1 l 
1
 1

1 2
f     f    ; f  0 
4
 5
 3  15
1
2
V y giá tr l n nh t b ng , giá tr nh nh t b ng
15
4

Bài 8: Gi s x, y là các s th c d
bi u th c P 

ng th a mãn 3  x  y  4  x2  y2  1 . Tìm giá tr nh nh t c a
2

x  2y
2x  y
 2
2
2
x  2 y 2 x  y2
Bài gi i

Ta co

1
x 2y
3

xy
3
3
xy
x
.
.
.

 2


2
2
2
2
2
x  2 y x  y  x  y   y x  y 2 xy  y x  y 2 x  y x  y

y
2x  y
1
3


.
2
2
2x  y x  y x  2 y x  y
x

y
2

 , vi bât đ ng th c nay t
M t khac, ta cung co
2x  y x  2 y 3

T

ng t , ta cung co

ng đ

ng v i

x2  y2  4 xy
2
2
 , hay  x  y  0
2
2
2 x  2 y  5 xy 3

T đo ta co P 

 x
4
y  3
2
2 3

2
. Suy ra P 


 .

.
x y
x  y  2x  y x  2 y  x  y 3 x  y x  y

(1)

T gi thi t ta l i có 3  x  y   4  x2  y2   4  2  x  y   4
2

2

Suy ra  x  y  4 , hay x  y  2
(2)
T (1) và (2) ta có P  2 . D u đ ng th c x y ra khi và ch khi x  y  1
Vây gia tri l n nhât cua P b ng 2, đat đ c khi x  y  1
2

Bài 9: Cho hai sô d

ng x, y thoa man x2  y2  1 .Tim gia tri nho nhât cua biêu th c

 1
 1
P   x  1 1     y  1 1   .

 x
 y

Bài gi i

2  t  1
t 1
x  y2  x  y
2
Biên đôi P  x  y 
2t 2
2t
2
2
xy
t 1
t 1
t 2 1
2
 t2  2
Co  x  y   4 xy  t 2  4
2

t x  y  t  xy 

2

2

i

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

H c Toán Không Ti n B , H c Th y Quang

Qstudy.vn

Thay

Lai co 0  x, y  1  x  x2 , y  y2  x  y  1. vây 1  t  2
Xet ham sô f  t   t 
Co f

 2  43



2
 2 trên n a khoang 1; 2 

t 1

2

Kêt luân: min P  min f  t   4  3 2
1; 2 
Bài 10: Cho x và y là hai s th c d

ng thay đ i thu c n a kho ng (0;1] và x+y=4xy. Tìm gía tr l n

1 1

1 

nh t và nh nh t c a bi u th c: P= x2 y  xy2   2  2  .
6 x y 
Bài gi i
1
4

Ta có: 4 xy  x  y  2 xy  xy  .
x; y  (0;1]  (1  x)(1  y)  0  1  ( x  y)  xy  0  1  4 xy  xy  0  xy 

1 1

1 

1
.
3

1  ( x  y) 2  2 xy 
1 8
 4( xy) 2 
 .

2
( xy)
3 xy 3


P = x2 y  xy2   2  2   xy( x  y)  
y 
6 x
6
t t = xy thì P = t 2 

1 8
1 1
  f (t ) v i t   ;  .
3t 3
 4 3

1
24t 3  1
1 1
1 1

 0, t   ;  suy ra f (t ) ngh ch bi n trên đo n  ;  .
2
2
3t
3t
 4 3
 4 3
1
1
1 1
Do đó f    f (t)  f   , t   ;  .
 3

4
 4 3
1
13
đ t đ c khi và ch khi x  y  .
maxP = 
2
12
1
1
11
minP =  đ t đ c khi và ch khi x  1; y  ho c x  ; y  1.
3
3
9
f '(t )  8t 

Bài 11: Cho hai s th c th a mãn x  1; y  1 và 3 (x + y) = 4xy
1 1
Tìm gía tr l n nh t và nh nh t c a bi u th c: P = x3  y3  3  3  3 
x y 
Bài gi i
3x2
4x  3
3y
f ( y) 
trên [1; ) có
4y3

t t  xy vì x  1 nên 3( x  y)  4 x. y  3x2  3xy  4 x2 y  xy 

Có 3( x  y)  4 x. y  x 
f '( y) 

3y
(vì y  1 ). Xét hàm s
4y3

9
 0, y  [1; )  f ( y)  f (1)  3  1  x  3
(4 y  3) 2

i


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

H c Toán Không Ti n B , H c Th y Quang

Qstudy.vn

Thay

3x2
9
9
trên [1;3]   g ( x)  3 . V y t  [ ;3]
4
4
4x  3



3 
3 
3
Khi đó P  ( x3  y3 ) 1  3 3    x  y  3xy( x  y)   
  ( xy)3 
 xy  

Xét hàm s g(x) 

 4 xy 3
12 64
4 xy  
3   64t 3
3  64t 3
2 
 4t 2  
 

 4t  1  3  
 1 
  3xy.
3 
t
27
9
3   ( xy)   27
 t 
 3 

64t 3
12 64
9
 4t 2  
v i t  [ ;3]
4
t
27
9
2
64t
12
9
8
 12
 8t 2  2  8t  t  1  2  0,  t  [ ;3]
Ta có P '(t ) 
4
t
9
9
 t

Xét hàm s P (t ) 

V y MaxP  P (3) 

 xy  3
x  3  x  1
280


t i t 3 
;

9
x  y  4
y 1 y  3


9
 9   304 
MinP  P    
 t i t4
 4   36 

Bài 12: Cho cac sô th c d
A  xy 

9

3
 xy 
4  x y

2

x  y  3

ng x,y thoa man x  y  1 . Tim gia tri nho nhât cua biêu th c

1
1
 2
2
x
y

Bài gi i
Ta co P  xy 

1
1
2
 2  xy 
2
x
y
xy

x y  1
t t  xy ta co 0  t  xy  
 
 2  4
2
2
31
31 33
Khi đo: P  t   32t   31t  2 32.2   16  
4
t

4
4
t
1
Dâu đ ng th c xay ra khi va chi khi x  y  z 
2
33
Vây min A
4
2

Bài 13: Cho các s th c x, y th a mãn  x  4    y  4   2 xy  32 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
2

2

A  x3  y3  3  xy  1 x  y  2  .

Bài gi i
Ta có  x  4   y  4   2 xy  32   x  y  8  x  y  0  0  x  y  8
2

2

2

A   x  y   3  x  y   6 xy  6   x  y  
3

3

3
2
 x  y   3  x  y   6.
2

Xét hàm s : f  t   t 3  t 2  3t  6 trên đo n  0;8 .
3
2

i


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

H c Toán Không Ti n B , H c Th y Quang

Qstudy.vn

Ta có f '  t   3t 2  3t  3, f '  t   0  t 

Thay

i

1 5
1 5
ho c t 
(lo i)
2

2

 1  5  17  5 5
17  5 5
, f  8   398 . Suy ra A 
 
4
4
 2 

Ta có f  0   6, f 
Khi x  y 

1 5
17  5 5
thì d u b ng x y ra. V y giá tr nh nh t c a A là
4
4

ng a , b th a mãn a 5b  ab5  2   ab  1 . Tìm giá tr l n nh t c a

Bài 14: Cho các s th c d
P

2

1
1
8ab  1



2
2
2  4ab
1 a
1 b

Bài gi i
Ta có (ab  1) 2  a 5 b  b5 a  2  2  ab(a 4  b 4 )  2  2a 3b3  1  ab 

1
2

1
1
2


2
2
1  ab
1 a
1 b
2
2
8ab  1
8t  1
1
P



. Xét hàm s f (t ) 
v i t  ab; t   ;1
1  t 4t  2
1  ab 2  4ab
2 
1
31
1
 f (t ) max  f ( )  Pmax 
a b
2
12
2

Khi đó ta có B T quen thu c :

Bài 15: Cho x, y là các s th c thu c (0;1) th a mãn
c a bi u th c P 

1
1 x

2

1



1 y

2

( x3  y3 )( x  y)
 (1  x)(1  y) . Tìm giá tr l n nh t
xy

 4 xy  x2  y2

Bài gi i
Ta có: (1  x)(1  y) 
Xét P 

1
1  x2

x, y  (0;1) 



( x  y )( x  y)
 1  xy  x  y  4 xy  1  3xy  x  y  3xy  2 xy
xy
3

1
1  y2

3

 4 xy  x2  y2 

1
1  x2



1
1  y2

 2 xy  2.

1
1  x2



1
1  y2

 2 xy vì

1
1
2
(*)


2
2

1  xy
1 x 1 y

Th t v y (*)  (2  x2  y2 )(1  xy)  2(1  x2 )(1  y2 )  ( x  y)2 (1  xy)  0 . Luôn đúng vì x, y  (0;1)
Suy ra P 

 1
 2 xy, xy   0; 
1  xy
 9

Xét hàm s

f (t ) 

2

1
 1
 1
 2  0, t   0; 
 2t , t   0;  . Có f 
(1  t ) 1  t
1 t
 9
 9

1
56
V y P  f   

9
 

2

9 10

nên maxP =

56
9 10

 x y

1
3


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

H c Toán Không Ti n B , H c Th y Quang

Qstudy.vn
Bài 15b: Cho các s th c d
c a bi u th c P 

ng a,b,c th a mãn đi u ki n a 5b  ab5  2   ab  1 . Tìm giá tr l n nh t
2

1

1
8ab  1


2
2
1 a 1 b
2  4ab

Bài gi i
Ta có (ab  1) 2  a 5 b  b5 a  2  2  ab(a 4  b 4 )  2  2a 3b3  1  ab 

1
2

1
1
2


2
2
1  ab
1 a
1 b
2
2
8ab  1
8t  1
1

P


. Xét hàm s f (t ) 
v i t  ab; t   ;1
1  t 4t  2
1  ab 2  4ab
2 
1
31
1
 f (t ) max  f ( )  Pmax 
a b
2
12
2

Khi đó ta có B T quen thu c :

B. B T

NG TH C KHÔNG

I X NG

Bài 16: cho x, y là s không âm th a mãn x2  y2  2 . Tìm GTLN và nh nh t c a:
P  5( x5  y5 )  x2 y2 (5 2 xy  2  4 xy  12)

Bài gi i


 x ( x  2)  0
2

Ta có 0  x, y  2  

 x3  y3  2( x2  y2 )  2 2


 y ( y  2)  0
4  (1  1 )( x  y )  ( x  y) 2  2  x  y
2

2

2

2

Thay

2

 2( x3  y3 )  ( x  y)( x3  y3 )  ( x. x3  y. y3 )2  4  x3  y3  2

t t  x3  y3 . Ta có : t  2;2 2 
Ta có 2  ( x2  y2 )3  x6  y6  3x2 y2 ( x2  y2 )  x6  y6  6 x2 y2  ( x3  y3 )2  2 x2 y3  6 x2 y2
 2 x3 y3  6 x2 y2  t 2  8
2( x3  y3 )  ( x3  y3 )( x2  y2 )  x5  y5  x2 y3  x3 y2  x5  y5  x2 y2 ( x  y)
 x5  y5  x2 y2 ( x  y)  2t

P  5( x5  y5 )  x2 y2 (5 2 xy  2  4 xy  12)
 4 x3 y3  12 x2 y2  5( x5  y5 )  5 x2 y2 2  2 xy
 2(2 x3 y3  6 x2 y2 )  5( x5  y5 )  5x2 y2 x2  y2  2 xy
 2(t 2  8)  5  x2  y2  2 xy  x2 y2 ( x  y)   2t 2  10t  16  f (t )


5
f / (t )  4t  10; f / (t )  0  t    2; 2 2 
2
5
57
Ta có: f (2)  28, f ( ) 
và f (2 2)  20 2
2
2
5
57
V y MinP  min 2;2 2  f (t)  f (2)  28 và MaxP  f ( ) 


2
2

i


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

H c Toán Không Ti n B , H c Th y Quang

Qstudy.vn

Thay

i

2 x2  y2  2 x  y
2  x  3  y . Tìm giá tr nh nh t c a B 
xy

Bài 17: Cho

Bài gi i
2 x  y  2 x  y 2( x  1) y  1


v i 2  x  3  y (0.25đ)
xy
y
x
2

Xét hàm s g(y):
g / ( y) 

2

2( x  1) /
, g ( y)  0  y  2 x( x  1)
y2

Th y min g ( y)  g
Xét hàm s





2 x( x  1)  2 2

Do đó B 

1
1
1 
x
x

1
1
 1  , 2  x  3 có f / ( x) 
x
x

f ( x)  2 2

do đó min f(x) = f(3) 

(0.25đ)

 2
x2

1
1
x



1
 0 nên f(x) ngh ch bi n trên [2;3]
x2

4 6 1
(0.25đ)
3

4 6 1
, d u “=” x y ra khi x = 3 và y  2 6
3

V y min B 

4 6 1
3

Bài 18: Cho x, y là hai s th c d

ng th a mãn 2 x  3 y  7 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:

P  2 xy  y  5( x2  y2 )  24 3 8( x  y)  ( x2  y2  3)

Bài gi i
2x  2  3 y  3 
  36  x  y  xy  5
2


2

Ta có: 6( x  1)( y  1)  (2 x  2)(3 y  3)  

Ta có 5( x2  y2 )  (2 x  y)2  5( x2  y2 )  2 x  y và’
( x  y  3)2  x2  y2  9  2 xy  6 x  6 y  0
 2( x  y  xy  3)  8( x  y)  ( x2  y2  3)

Suy ra P  2( xy  x  y)  24 3 2( x  y  xy  3)
t t  x  y  xy, t   0;5 , P  f (t )  2t  24 3 2t  6
Ta có f / (t )  2 

24.2
3 3 (2t  6) 2

2

3

(2t  6)2  8
3

(2t  6) 2

 0, t   0;5

V y hàm s f(t) nghich bi n trên n a kho ng (0;5]
Suy ra min f (t )  f (5)  10  48 3 2
x  2
y 1

V y min P  10  48 3 2 , khi 


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

H c Toán Không Ti n B , H c Th y Quang

Qstudy.vn

Thay

i

Bài 19:Cho các s th c x, y th a mãn đi u ki n 4 x2  y2  8 . Tìm GTLN, GTNN c a :
P

(2 x  6) 2  ( y  6) 2  4 xy  32
2x  y  6

Bài gi i
(2 x  y)

 (2 x  y) 2  16  4  2 x  y  4  2  2 x  y  6  10
2
4
Ta có : P  2 x  y  6 
. t t  2 x  y  6, t  [2;10]
2x  y  6
2

Ta có 8  4 x2  y2 

4
t

Xét hàm s : f (t )  t  ; t  [2;10]  f / (t )  1 

t  2
4
; f / (t )  0  
2
t
t  2(loai)

52
5
x  1
52

V y GTLN c a P b ng
5
y  2

Ta có : f (2)  4, f (10) 

 x  1
 y  2

V y GTNN c a P b ng 4  

2

2
2 y  x
. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P  x4  y4 
.
2
2

 x  y
 y  2 x  3x

Bài 20: Cho x, y 

th a mãn 

Bài gi i
2







2
x
6
 2 x2  3 x  0  x  và x2  y2  x2  2 x2  3x  2 x2 2 x2  6 x  5
2
5
 6
f ( x)  2 x2  2 x2  6 x  5 ; x  0;  ta đ c Max f(x) = 2  x2  y2  2
 6
 5
 0; 

T gi thi t ta có y  0 và
Xét hàm s

 5

P  x  y
2



2 2

 2x y 
2

2

2

 x  y

 x  y
2

2



2 2

x


2

 y2 
2

2



2
x  y2
2

t2 2
 ,0t 2
2 t
t2 2
2 t3  2
Xét hàm s g (t )   , t   0; 2  g '(t )  t  2  2 ; g '(t )  0  t  3 2
2 t
t
t
3
6
3 4
16
L p b ng bi n thiên ta có Min P 
khi x  y 
2
2
2
Bài 21: Cho các s th c d ng a, b th a mãn a  2b  12 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:
4 4
5
P 4 4
a
b 8  a  b 2

t t  x2  y2  P 

T gi thi t và b t đ ng th c CôSi ta có:

Bài gi i




T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

H c Toán Không Ti n B , H c Th y Quang

Qstudy.vn

Thay

i

a 2  2b  12  a 2  4  2b  16  4a  2b  16  2 4a.2b  16  0  ab  8

5
1  a 2 b2  5
1
a 2b 2  4 4  ab
.



 2  2  . a b
 4
2
4 
64  a

b  8 8  a  b  16  b a  64   2
b a
1
5 1
1
a b

t t   (t  2) , ta có P  t 2  .
16
64 t  2 8
b a
1
5 1
1
 tr ên (2; )
Xét hàm s f (t )  t 2  .
16
64 t  2 8
1
5
1
5
Ta có f '(t )  t  .
; f '(t )  0  t 
2
8 64  t  2 
2

Do đó P 

B ng bi n thiên
t

2

f ' t 
f t 



5
2
0








27
64

5
27
T b ng bi n thiên ta có min f (t )  f   
 2; 
 2  64

27
, d u b ng x y ra khi a  2, b  4.
64
27
V y P đ t giá tr nh nh t b ng
khi a  2, b  4.
64

Suy ra P 

Bài 22: Cho x, y là các s th c th a: x  y  26 x  3  3 y  2013  2016 Tìm giá tr nh nh t và giá
tr l n nh t c a bi u th c M   x  12   y  12  2016  2 xy x  y  1 .
x  y 1

Bài gi i
M  x2  y2  2 xy  2 x  2 y  2 

ta đ

2016
2016
2
  x  y  1  4  x  y  1  5 
x  y 1
x  y 1

2016
t
t a  x  3; b  y  2013 ta đ

c M  t 4  4t 2  5 

i u ki n c a t.

c x  a 2  3; y  b2  2013 và

a 2  3  b2  2013  26a  3b  2016

 a 2  b 2  26a  3b 

 26

2

 32  a 2  b 2 

Hay 0  a 2  b2  685
T đó ta đ c x  y  1  a 2  b 2  2017   2017; 2072 nên t  D   2017; 2072 

t t  x  y  1 thì


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

H c Toán Không Ti n B , H c Th y Quang

Qstudy.vn
f  t   t 4  4t 2  5 

Xét hàm s

f '  t   4t 3  8t 

Thay

2016
;t  D
t

4
2016 4t 5  8t 4  2016 4t  t  2   2016


 0t   2017; 2072 
t2
t2
t2

Suy ra f  t  đ ng bi n trên D
max M  f





36
khi t  2072 ta đ
37



2016
khi t  2017 hay x  3; y  2013
2017

2072  4284901 

x  679; y  2022
min M  f



a 2  b 2  685
a  26

ca b
hay

b  3
 
 26 3

2017  4060226 

Bài 23: Cho các s th c x, y th a mãn x  y  1  2 x  4  y  1 . Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh
nh t c a bi u th c: S  ( x  y) 2  9  x  y 

1

x y

Bài gi i

i u ki n: x  2; y  1;0  x  y  9;
Ta có

0  x  y  1  2. x  2  1. y  1  3( x  y  1)  ( x  y  1) 2  3( x  y  1)
 0  x  y  1  3  1  x  y  4.

t t  x  y, t  [1; 4] , ta có S  t 2  9  t 
S '(t )  2t 

1
t

1
1

 0, t  [1; 4] . V y S(t) đ ng bi n trên [1;4].
2 9  t 2t t

Smax  S(4)  42  9  4 

1 33  2 5

 x  4; y  0;
2
4

Smin  S(1)  2  2 2  x  2; y  1.

Bài 24: Cho a, b là các s th c th a mãn a  b  2 a  2  3 b  2014  2012 . Tìm giá tr l n nh t và
nh nh t c a bi u th c T   a  1   b  1 
2

2

2015  2ab a  b  1
a  b 1

Bài gi i
T   a  b  1  4  a  b  1  5 
2

2015
2026
2015
Min = T  4044122 
2013

Max = T  4096577 

2015
a  b 1

.

i


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

H c Toán Không Ti n B , H c Th y Quang

Qstudy.vn
Bài 25: Cho hai s th c d
P

Thay

ng x, y th a mãn 4( x3  8 y6 )  1 . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c :

( x  2 y2  2)3
5( x2  y2 )  5( x  y)  3

Bài gi i
a , b  0 ta có: 4(a  b )  (a  b)
3

3

3

(1)

Th t v y 4( a  b )  a  b  3ab(a  b )  3(a 3  b 3)  3ab(a  b )  (a  b )(a 2  ab b 2)  ab (a b )
3

3

3

3

 (a  b)(a 2  2ab  b 2 )  0  (a  b)(a  b) 2  0 (2)

Vì a,b> 0 nên (2) luôn đúng. D u “=” x y ra khi a= b
Suy ra (1) đ c ch ng minh.
Áp d ng B T (1) v i a  x; b  2 y2 , ta có:
1  4( x3  8 y6 )  4  x3  (2 y2 )3   ( x  2 y2 )3  x  2 y2  1

L i có: 5( x2  y2 )  5( x  y)  3  5 x2  5 x  5 y2  5 y  3
2

2

1 
1  10
1 
1 1 1


 5  x2  x    5  y2  y     3   x     y    
4 
4 4
2 
2 2 2





4( x3  8 y6 )  1
2
3
3

( x  2 y  2)
(1  2)
1

 54 . Ta có: P= 54 khi  x  2 y2
Do đó: P 
 x y
2
2
1
5( x  y )  5( x  y)  3
2

1
2
x  y 
2

1
V y giá tr l n nh t c a bi u th c là PMax  54 , đ t đ c khi x  y 
2

Bài 26: Cho hai s th c x, y th a mãn x2  y2  1 . Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a biêu
x4  xy  1
.

th c : P  2
2 y  2 xy  1
2

T gi thi t x  y  1 , P đ
2

2

Bài gi i
c vi t l i nh sau:

2
y2  x2  y2   2 xy  x2  y2 2 y2  2 xy  x2
y4   xy  1
P 2

 2
2 y  2 xy  1
2 y2  2 xy  x2  y2
3 y  2 xy  x2

2t 2  2t  1
2
3
3t 2  2t  1
2t 2  2t  1
2t 2  2t
Xe t ha m sô f  t   2
ta co TX : , f '  t  

2
3t  2t  1
3t 2  2t  1

V i y  0 , y  1 thi y  ; v i x  0, đ t y  tx . Khi đo : P 





1
2
f '  t   0  2t 2  2t  0 t  0 ; f  0   1. f  1  ; lim f  t   lim f  t  
t  1
x
2 x
3

B ng bi n thiên

i


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

H c Toán Không Ti n B , H c Th y Quang

Qstudy.vn
t
f ' t 



f t 

2
3

1


0

0
0



Thay





1

1
2

2

3

T ba ng biên thiên ta suy ra:
Pmin

1
 đa t đ
2

Pmax  1 đa t đ


2 
2
 x  
 x 
y  x
2 
2
c khi t= -1 hay 2 2

x  y 1 
2
y 
y   2


2
2



c khi t=0 hay



Bài 27: Cho x và y là các s th c d
nh t c a bi u th c: P=



y0
 x  1
y0
x2  1

ng thay đ i sao cho log 2 ( x  y)  3  log 2 x  log 2 y . Tìm gía tr nh

32 x  32 y
.
3x1  3 y

Bài gi i
T gi thi t log 2 ( x  y)  3  log 2 x  log 2 y suy ra x  y  8 xy  2( x  y) 2  x  y 
Ta có: P 

32 x  32 y
32 x 2 y  1

.

3x1  3 y
3.3x y  1

Lúc đó P 

t2 1
 f (t ) .
3t  1

t t  3x y . Vì x  y 

1
2

1
nên t  3
2

t2 1
trên  3;  .
3t  1
t 3
Ta có f '(t) 
; f '(t )  0  t  3 .
(3t  1)2 t 2  1

Xét hàm s



f (t) 

B ng bi n thiên
t

3

f ' t 
f t 



3


0



1
3

2
3 3 1

1
10

i

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

H c Toán Không Ti n B , H c Th y Quang

Qstudy.vn

Thay




2 2
2 2
x
x
 x y 1


1


4 ho c 
4
V y P
. D u “=” x y ra khi và ch khi  x  y  8 xy  

10
2 2
y  2 2

 x, y  0



 y  4
4
1
V y giá tr nh nh t c a bi u th c P là
.
10

Bài 28: Cho x, y là các s th c không âm th a mãn x + y = 1.
Tìm gía tr nh nh t c a bi u th c: P = 3 1  2 x2  2 40  9 y2 .
Bài gi i
Ta d dàng CM đ

(a1  a 2 ) 2 a1 , a 2 , b1 , b2  R
a
a
 
; 
c B T sau
.
b1 b2
b1  b2
 b1  b2  0
2
1

2

2

( tuy t ph m Svac-x )
Ta có 3 1  2 x2  3

32 4 x2
(3  2 x) 2
3

3

(3  2 x) . (1)
9
2
11
11

402 36 y2
(40  6 y)2
11
2 40  9 y  2

2

(40  6 y)
40
4
44
11
2

(2)

3 11
11
11
(3  2 x) 
(40  6 y) 
(49  6 x  6 y)  5 11
11
11
11
1
1
D u đ ng th c x y ra khi x  ; y 
3
3

T (1), (2)  P 

Bài 29 : Cho hai s th c d

ng x, y th a mãn x2  y2  1 . Tìm giá tr nho nh t c a bi u th c:

x2 y2
P  2  2  2 xy
y
x

Bài gi i

2

2

 x2  y2 
 x y
1
x2 y2
Ta co: P  2  2  2 xy      2  2 xy  
  2  2 xy  2 2  2 xy  2
y
x
x y
 y x
 xy 

Áp d ng b t đ ng th c Cauchy ta có:
1
1
 2 xy  2  2 2  xy  xy  2  3  5  5
2
x y
x y
2

 x2  y2  1
1 5
;y
 x
ng th c xãy ra khi 

2
 xy  1

1  5
2

Bài 30: Cho cac sô th c x, y v i x2  y2  1 . Tim gia tri nho nhât cua biêu th c
P  x6  4 y6

Bài gi i

i


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

H c Toán Không Ti n B , H c Th y Quang

Qstudy.vn

Thay

Ta co: x2  y2  1  y2  1  x2 P  x6  4 y6  x6  4 1  x2 

3

t t  x2 v i 0  t  1 . Xet ham sô f  t   t 3  4 1  t  . f '  t   3t 2  12 1  t 
3

2

B ng bi n thiên
t

2
3
0

0

f ' t 
f t 



1


1

4

4
9

V y GTNN P 

2
4
khi x  

9
3

Bài 31: Cho các s th c không âm x, y th a mãn x2  y2   3x  2  y  1  0 . Tìm giá tr l n nh t c a
bi u th c P  x2  y2  x  y  8 4  x  y
Bài gi i
Ta có gi thi t x2  y2   3x  2 y  1  0   x  y  3  x  y  2   xy  y
2

Vi x, y không âm nên  xy  y  0 . Suy ra  x  y  3  x  y  2  0  1  x  y  2
2

t t  x  y , khi đo t  1; 2
Ta co P  x2  y2  x  y  8 4  x  y   x  y    x  y   8 4   x  y   t 2  t  8 4  t
2

f  t   t 2  t  8 4  t v i t  1; 2

Xét hàm s

Ta co f '  t   2t  1 

4
4
 0 v i moi t  1; 2 
, v i moi t  1; 2  . Chu y r ng f '  t   3 
4t
2

Suy ra f(t) đông biên trên 1; 2 . Do đo max f  t   f  2   6  8 2 . Suy ra P  6  8 2 , dâu đ ng th c

1;2

 xy  0
 x  2, y  0 . V y giá tr l n nh t c a P là 6  8 2 , đat khi x  2; y  0
t  2

xay ra khi 

Bài 32: Cho hai s th c x, y th a mãn x2  y2  6 x  2 y  5  0 . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:
P

3 y2  4 xy  7 x  4 y  1
x  2y 1

Bài gi i
T gi thi t ta có: 6 x  2 y  x  y  5 1 va  x  3   y  1  5  2 
2

2

2

2

4
x2  4 xy  4 y2  x  2 y  4
 x  2y 
x  2y 1
x  2y 1
4

t t  x  2y  P  t 
. Theo b t đ ng th c B.C.S ta có:
t 1

Do (1) nên: P 

i


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

H c Toán Không Ti n B , H c Th y Quang

Qstudy.vn

Thay

2
2
2
 x  3  2  y  1   5  x  3   y  1   25  4   5   x  3   2  y  1  5  0  t  10 1


4
4 P 3
Do (1) nên theo bđt Cauchy ta có: t  1 
t 1
4
2
  t  1  4  t  1

ng th c ch x y ra khi t  1 
t 1


x  2 y  1
x  2 y  1
x  2 y  1
Khi đo:. 

 2

2
2
2
2


5 y  6 y  0
 x  3   y  1  5
 2 y  2    y  1  5
 x  1; y  0
6
17
. Vây Pmin  3 đ t đ c khi x  1; y  0 ho c x   , y 

17
6
x  ; y  
5
5

5
5


Bài 33: Cho cac sô th c x, y, z d
nhât cua biêu th c T 

ng va thoa man 4  x2  x  1  16 x2 z  3x  y  z . Tim gia tri nho
2

y  3x  x  1
16
y

 10 3 3
3
2
xz
x 2
 y  1

Bài gi i

Cach 1:
T gi thi t ta có:

1 
2
2


4  x2  x  1  16 x yz  3x  y  z   4  x   1  16 yz  3  y  z   16 yz  3.4 yz
x 

1
1
 4 yz  3 yz  x   1  1, t  yz  0  3t 2  4t  1  0  t  1  yz  1   y
z
x
y  3x  x  1
16
16
y
y2  3xy 3
y
10
3
T



 
 10 3 3
3
3
2
3
2
xz
x 2
x yz

z  y  1
x 2
 y  1
y2  3xy y2  3xy  y 
y

  3
2
2
x
x yz
x
 x
16
16
 3y 
  y  1   y  1   y  1 
 3  4.2  3  5
3
3
 y  1
 y  1
2

Ta có yz  1 
3
16

z  y  13
10 3

y
y
y
y
 10 3 3
 10 3
 10
x
3x
x 2
x 11
3

2

y
y
y
T đó: T     3  10 .
x
x
 x

t t

y
 0  T  f  x  t 4  3t 2  10t  5
x

Ta co f '  t   4t 3  6t  10  2  t  1  2t 2  2t  5 ; f '  t   0  t  1
B ng bi n thiên

i


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

H c Toán Không Ti n B , H c Th y Quang

Qstudy.vn
t
f ' t 



f t 



1

0

0

Thay





5

1
Suy ra T  1  min t 0 T  1  t  1  x  y  z  1

Cach 2:
y

x 2

y
1
y
1 x
y2
y
y2
y
.1 
.
; 2 1  2  2  2 1
x
x
x
x
x
3 2

y
y
1


3x
x 11
3
y
1
1 x
y
y
 T  1
Suy ra: T  2  1  3  5  10 3. .
x
x
3 2
 MinT  1  x  y  z  1

Ta co

3

3

Cách 3 Ch thông qua B T bunhiacopxki đánh giá x lí 2 đ i l
Ta có xy.1  1.1  1.1 
T

ng t

z4  2 

x y
2

2

 12  12 12  12  12   3  x2 y2  2   x2 y2  2 

xy  2
3

z 2
3
2

Bài 34: Cho x, y là các s th c d
P

ng c n đ u tiên .

ng th a mãn x  y  2 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c

27 x3  10 3 y2  4

9y
8x

Bài gi i
D đoan dâu b ng xay ra khi  x; y   ;  . Ap dung bât đ ng th c AM-CM ta co:
3 3
2 4





 3x3 y 2   3 y2 3x   9 x 1   5 y 10  21
9
2
  
   

P 
 x y
2 3   8x
2   8 2x   8 9 y  8
8
3
 y

 33

3x3 y 2
3 y2 3x
9x 1
5 y 10 21
9

2
. . 2
. 2
. 2
.
 x y
y 2 3
8x 2
8 2x
8 9y 8
8
3

3
5 21
9
2 3
5 3 5 13
y   x  y    x  y    
2
3 8
8
3 8
2 4 2 4
13
Vây min P 
4
 3x 

i

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

H c Toán Không Ti n B , H c Th y Quang

Qstudy.vn

§2: B T

NG TH C BA BI N
I MR I

Bài 1: Xét các s th c d

Thay

I X NG

P

ng x, y, z th a mãn đi u ki n x + y + x = 1

Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : P 

x2 ( y  z) y2 ( z  x) z2 ( x  y)


yz
zx

xy

Bài gi i
Ta có: P 

2

2

2

2

2

2

x
x
y
x
z
z



  (*)
y
z
z

x
x
y

Nh n th y: x2  y2  xy  xyx, y  R . Do đó: x3  y3  xy( x  y)x, y  0 hay
T

ng t , ta có:

y2 z 2

 y  zy, z  0
z
y

,

x2 y2

 x  yx, y  0
y
x

z2 x2

 z  xx, z  0
x
z

C ng t ng v ba b t đ ng th c v a nhân đ c

P  2( x  y  z)  2x, y, z  0 và x + y +z = 1

trên, k t h p v i (*), ta đ

c:

1
3

H n n a, ta l i có P = 2 khi x  y  z  . Vì v y minP = 2
Bài 2: Ch ng minh

1
1
1
3



2
2
2
4
(1  x)
(1  y)
(1  z)

Bài gi i
Ta có x, y, z và xyz  1 nên luôn t n t i hai s cùng l n h n ho c b ng 1 ho c hai s cùng nh h n
ho c b ng 1. Không m t tính t ng quát ta gi s hai s đó là x, y

 ( x  1)( y  1)  0  x  y  xy  1

1
1
2
2
2
1
z






2
2
(1  x)(1  y) 1  x  y  xy 2  2 xy 1  xy z  1
(1  x)
(1  y)
z
1
1
1
1






2
2
2
z  1 (1  z)2
(1  x)
(1  y)
(1  z)

z
z
1
3 ( z  1)2
1
3
Ta có:

 
0


2
2
2
z  1 (1  z)
z  1 (1  z)
4 ( z  1)
4
1
1
1

3




2
2
2
4
(1  x)
(1  y)
(1  z)

D u “=” x y ra khi x = y = z =1
Bài 3: Cho các s d

ng a, b, c th a mãn a(a – 1) + b(b – 1) + c(c – 1) 

Tìm giá tr nh nh t c a P 

1
1
1


a 1 b 1 c 1

3
4

i


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

H c Toán Không Ti n B , H c Th y Quang

Qstudy.vn

Thay

Bài gi i
2


9
1
1
1 
Ta có 9   a  1
 b 1
 c 1
  P.(a  b  c  3)  P  a  b  c  3
a 1
b 1
c 1 

4
Gi thi t  a 2  b 2  c 2  (a  b  c )  (1)
3

1
1
4
M t khác a 2  b 2  c 2  (a  b  c ) 2 nên n u đ t t = a + b + c thì t 2  t   0  t  4
3
3
3
9
9
Xét hàm s f (t ) 
trên (0;4] ta có: f / (t ) 
0
t 3
(t  3)2

 Hàm s f(t) ngh ch bi n trên (0;4] => min (0;4] f (t )  f (4) 

GTNN c a P là

9
7

a  b  c  4
9
4
khi 
a bc
7
3
a  1  b  1  c  1

a , b, c  0
a2
b2
c2
1



CMR: P 
(ab  2)(2ab  1) (bc  2)(2bc  1) ( ac  2)(2ac  1) 3
abc  1

Bài 4: Cho 

L i gi i
Ta vi t l i P  

AM GM 4
a2
 a 




(ab  2)(2ab  1)
9  ab  1 

2

4  a 
4  xz 
x
y
z
t a  ;b  ;c   P  
  
9  ab  1 
9  y( y  z) 
y
z
x
2

2

 xz  CauchySchwarz 1 
xz 
L i có  




3  y( y  z) 
 y( y  z) 
xz Cauchy Schwarz ( xy  yz  xz)2 3


Ti p 
y( y  z)

2 xyz( x  y  z) 2
1
Truy h i ta đ c P 
3

2

2

Bài 5: Cho a , b, c là đ dài 3 c nh tam giác th a mãn (a  b  c)(b  c  a )(c  a  b)  1
2
2
2
 a bc a b c
Ch ng minh B T : 
 
3
3


5

Bài gi i

a  b  c  x
x z
x y
z y

t b  c  a  y  a 

và xyz  1
;b 
;c 
2
2
2
c  a  b  y

2
2
2
2
 x  y  z  x  y  z  xy  yz  xz ( x  y  z)  ( xy  yz  xz)
B T tr thành : 

 
3
6
6


5

i


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

H c Toán Không Ti n B , H c Th y Quang

Qstudy.vn

Thay

( x  y  z)2  ( xy  yz  xz) ( x  y  z) 2  3

Ta có : xy  yz  xz  3 
6
6
5
2
 x  y  z  ( x  y  z)  3
V y ta c n ch ng minh : 
 
3
6


2
t 5 t 3
Xét hàm s f (t )  ( ) 
v i t  x  y  z  3  f (t )  f (3)  0
3
6
V y B T ban đ u đ

c ch ng minh.

Bài 6: Cho các s th c d

P

z  xy  1

2

y2  yz  1



x  yz  1

ng x, y, z th a mãn x  y  z 
2

z2  xz  1



y  xz  1

3
. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
2

2

x2  xy  1
Bài gi i

Ta có : P  3 3 z( xy  1) x( yz  1) y( xz  1)  3 3 ( xy  1)( yz  1)( zx  1)
y2 ( yz  1) z2 ( xz  1) x2 ( xy  1)
xyz
2

 P  3 3 ( xyz 

2

2

1
63
1
1
1
3 1 1 1
)
 (x  )  ( y  )  (z  )  (   )
64 xyz 64 xyz
4x
4y
4z 4 x y z

 33

1
27.63
3
9


111 (
)
3
4 64( x  y  z)
4 x y z

3

1 27.63
3 18 15
15
1

 3  .   Pmin   x  y  z 
4 64. 27
4 3
2
2
2
8

3

Bài 7: Cho các s th c d

P

ng a , b, c th a mãn a 2  b2  c2  4 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c

a 3
b 3
c 3
 2
 2
2
2
2
b c c a
a  b2
Bài gi i

a 3
a 3
a 3
9
. Ta s ch ng minh b t đ ng th c ph sau

 a 2 (1)
2
2
2
2
4a
b c
4a
16
Th t v y (1)  (a 3  2)2 (3a 2  4a 3)  0 ( Luôn đúng a  0 )
9
9

 P  (a 2  b 2  c 2 ) 
16
4
9
2
V y Pmin   a  b  c 
4
3
Ta có :

i


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

H c Toán Không Ti n B , H c Th y Quang

Qstudy.vn

Thay

Bài 8: Cho a , b, c là đ dài 3 c nh c a tam giác. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c

 3a  b 3b  c 3c  a 
P  a  b  c 2
 2
 2

 a  b b  bc c  ca 
Bài gi i

1 3a  b

b a ( a  b)
3a  b 3a  b c(3a  b)
a c
 ( a  b  c) 2


 3 
a  ab
a
a ( a  b)
b a
a b c
a b c
 P 9(   )(   ) 9
b c a
b c a
Bài 9: Cho các s th c d ng x, y, z thay đ i th a mãn x  y  1  z . Tìm giá tr nh nh t c a bi u
Ta có (a  b)2  0 

14
x3
y3
z3



th c P 

x  yz y  zx z  xy  z  1 1  xy  x  y
Bài gi i
x  y  2 z 1
Ta có 1  xy  x  y  ( x  1)( y  1) 

2
2
2
( z  1)
z  xy  x  y  1  xy  ( x  1)( y  1) 
4
3
3
4
4
x
y
x
y
( x2  y2 )2
( x2  y2 )2
L i có





x  yz y  xz x2  xyz y2  xyz x2  y2  2 xyz x2  y2  ( x2  y2 ) z



x3
y3
( x  y)2 ( z  1)2



x  yz y  xz 2(1  z) 2( z  1)

( z  1)2
4 z3
28
 P  f ( z) 


2
2( z  1) ( z  1) ( z  1)2
5 53
53
1
5
 Pmin 
 x  y  ;z 
o hàm và l p BBT  f ( z)  f ( ) 
3
8
8
3
3
Bài 10: Cho các s th c d ng a , b, c th a mãn a  b  c  3 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c

P

25a 2
2a 2  7b2  16ab



25b2
2b2  7c 2  16bc



c2 3  a 
a
Bài gi i

Ta có

2a 2  7b2  16ab  3a 2  8b2  14ab  (a  4b)(3a  2b) 

25a 2

25a 2


2a 2  7b 2  16ab 2a  3b

4a  6b
 2a  3b

2

i


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

H c Toán Không Ti n B , H c Th y Quang

Qstudy.vn
T

25b 2

ng t ta có



Thay

25a 2
2b  3c

2b 2  7c 2  16bc
c 2 (3  a ) 3c 2
9
4
25c 2

 c 2  2c  2c  c 2 (  )  c 2  2c 

 c 2  2c
L i có :
3a 2c
2c  3a
a
a
2
2
(a  b  c)
a
)  c 2  2c  25.
 P  25 (
 (c  1) 2  1  14
2a  3b
5(a  b  c)
V y Pmin  14  a  b  c  1
Bài 11: Cho các s th c d

P

ng x, y, z th a mãn x2  y2  z2  3 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c

x y 2 2
1 4
x y z
x y 2
z 2
xy
z
2 xy  z2

Bài gi i

Ta có

x y z

2 xy  z2


xy  1  1
z2  1  1
; z4  2  z4  1  1 
3
3
2
x  y xy  1  1 1 z  1  1
x y z
x y z
.
P
 .

3
xy
z
3
3
3

x2 y2  2  x2 y2  1  

x y z

x  y2  z2
2

x y z 2 1 1 1
x y z x y z
x y z
18




(   )
3
3
3
3 x y z
3
3( x  y  z)

Khi đó P 

x y z
x y z
x y z
9
3
1
9 3






 )
(
12
12
2( x  y  z) x  y  z 3 2
3
3( x  y  z)

3 1 9 3
2 3  (
 )  1 3 3
2 3 3 2
V y Pmin  1  3 3  x  y  z  1
Bài 12: Cho các s th c d

ng a , b, c th a mãn : 9(a 4  b4  c4 )  25(a 2  b2  c2 )  48  0

a2
b2
c2


Tìm GTNN c a bi u th c : P 
b  2c c  2a a  2b
Bài gi i

4
 4
(a  b  c)
4
4
a  b  c 
(a  b  c) 4 25(a  b  c) 2
27
0

 48  16  ( a  b  c) 2  9
Ta có 
2
3
3
a 2  b 2  c 2  (a  b  c)

3
(a  b  c) 2 a  b  c
 a  b  c  3 . Khi đó P 

1
3(a  b  c)
3
V y Pmin  1  a  b  c  1

i