Các bài toán bất đẳng thức côsi (Bài tập và hướng dẫn giải)

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
BTVN NGÀY 15-03
Bất đẳng thức Côsi.
Bài 1 : Cho 3 số dương tùy ý x,y,z.
CMR:
3
2 2 2 4
x x x
x y z x y z x y z
+ + ≤
+ + + + + +

Bài 2 : Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn: xyz=1
CMR:
2 2 2
3
1 1 1 2
x y z
y z x
+ + ≥
+ + +
Bài 3 : Cho 3 số không âm tùy ý x,y,z thõa mãn: x+y+z=0.
CMR:
2 4 2 4 2 4 3 3
x y z
+ + + + + ≥
Bài 4 : Cho 3 số dương tùy ý a,b,c:
Tìm Min:
3 3 3 3 3 3

3 3 3
2 2 2
4( ) 4( ) 4( ) 2
a b c
A a b b c c a
b c a
 
= + + + + + + + +
 ÷
 
Bài 5 : Cho 3 số dương tùy ý x,y,z.
Tìm Min của:
1 1 1
2 2 2
x y z
P x y z
yz zx xy
   
 
= + + + + +
 ÷  ÷
 ÷
 
   

………………….Hết…………………

BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
HDG BTVN NGÀY 15-03
Bất đẳng thức Côsi.
Bài 1 : Cho 3 số dương tùy ý x,y,z.
CMR:
3
2 2 2 4
x x x
x y z x y z x y z
+ + ≤
+ + + + + +
Giải:
Ta có:

( ) ( )
1 1 1 1 1
2 4
1
2 4
1 1 3
2 4 4 4
1
2 4
x y z x y x z x y x z
x x x
x y z x y x z
y y y x y y z x z
VT

x y z x y y z x y y z x z
z z z
x y z x z y z
 
= ≤ +
 ÷
+ + + + + + +
 

 
≤ +

 ÷
+ + + +
 


   
+ + +

⇒ ≤ + ⇒ ≤ + + =

 ÷  ÷
+ + + + + + +
   


 

=≤ +

 ÷
+ + + +

 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z
Bài 2 : Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn: xyz=1
CMR:
2 2 2
3
1 1 1 2
x y z
y z x
+ + ≥
+ + +
Giải:
Ta có:

2
2
3
2
1
1 4
9 3
1 3 ( ) 3( ) 3 3
( )
1 4 4 4 4 2
1
1 4

x y
x
y
xyz
y z x y z x y z
y VT x y z
z
z x
z
x

+
+ ≥

+


−
+ + + + + + −

+ ≥ ⇒ ≥ + + − = ≥ =

+


+
+ ≥

+



Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1
Page 2 of 9
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
Bài 3 : Cho 3 số không âm tùy ý x,y,z thõa mãn: x+y+z=0.
CMR:
2 4 2 4 2 4 3 3
x y z
+ + + + + ≥
Giải:
Đặt:

( )
1 1 1 1
3
6 6 6 6
(1)
1
18
4
, , 0
4 à : 2 2 2 3 3 (1)
1
4
ó : 2 1 1 3 2 3. 3.
3 3. 3 3
x
y

z
a
a b c
b V a b c
abc
c
Ta c a a a a a VT a b c
abc

=
>


= ⇒ + + + + + ≥
 
=


=

 
+ = + + ≥ ⇒ + ≥ ⇒ ≥ + +
 ÷
 
≥ =
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=0
Bài 4 : Cho 3 số dương tùy ý a,b,c:
Tìm Min:
3 3 3 3 3 3
3 3 3

2 2 2
4( ) 4( ) 4( ) 2
a b c
A a b b c c a
b c a
 
= + + + + + + + +
 ÷
 
Giải:

( )
3 3 3 3 3 3
3 3 3
2 2 2
3 3 3 3 3
3
3 3 3 3 3 3
3
3 3 3
3
2 2 2
3 3
4( ) 4( ) 4( ) 2
ì :4( ) 8 ( ) 4( ) 2
4( ) 4( ) 4( ) 2 6
1 1
à 2 6 6 12 12
a b c
A a b b c c a

b c a
V a b ab a b ab
a b b c c a ab bc ca abc
a b c
V A abc Min A
b c a
abc abc
 
= + + + + + + + +
 ÷
 
+ ≥ ⇒ + ≥
⇒ + + + + + ≥ + + ≥
 
 
+ + ≥ ⇒ ≥ + ≥ ⇒ =
 ÷
 ÷
 
 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1.
Bài 5 : Cho 3 số dương tùy ý x,y,z.
Tìm Min của:
1 1 1
2 2 2
x y z
P x y z
yz zx xy
   

 
= + + + + +
 ÷  ÷
 ÷
 
   
Giải:
Page 3 of 9
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
Ta có:

( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
3
2
3
2
3
2
3
1 1
2 2 2
1 1 1 1 1 3 1
ì : 3 ( ) à 1 .
2 2 2
( )

3 1 9 9
3 ( ) . .
2 2 2
( )
x y z x y z x y z x y z
P x y z
xyz xyz xyz xyz xyz
V x y z xyz V
xyz xyz xyz
xyz
P xyz MinP
xyz
 
+ + + + + +
= + + + = + = + + +
 ÷
 
 
+ + ≥ + = + + ≥
 ÷
 
⇒ ≥ = ⇒ =
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1
BTVN NGÀY 17-03
Sử dụng chiều biến thiên.
Bài 1 : Tìm Min, Max của:

( )
(
)

2
2 2 2 2
3 12
xy
A
x y x x y
=
+ + +
Giải:

(
)
( )
(
)
(
)
( ) ( )
2
2
2 2
2
2 2
2 2
2
2
2
2
2 2
1

ó : . :
3 1 1 12
1 1 12
1
1
1 3 12
1 3 1 1 12
3 1 1 12
1 1 12 1 1
. : 1 12 ( 1) 3 ( )
3 12 4 3
1
'( ) 0 3 ( ) (
3
y
Ta c A Coi t
x
x y
y x
t t
t
A
t t
t t
t
t
t u
Coi u t u A f u
t u
u

f u A f u f
u
= =
 
 
 
 
 ÷
 + ÷ + +
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
 
 
− +
⇒ = = =
 
+ −
+ + +
+ + +
 ÷
 
+ − −
= = + ≥ ⇒ = =
+ +
= −


⇒ = ⇔ ⇒ = ≤

=

1 1
3) ax .
6 18
à : lim ( ) 0 0
u
M A
V f u MinA
→∞
= ⇒ =
= ⇒ =
Bài 2 : Cho 3 số thực thõa mãn: x
2
+ y
2
+ z
2
=1.
Tìm Min, Max của:
( ) ( )P x y z xy yz zx
= + + − + +
Page 4 of 9
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
Giải:
Đặt:

2 2 2 2
2 2
3( ) 3 3; 3
1 2 1
à ( ) '( ) 0 1 3; 3
2 2
ax (1) 1
ó :
( 3) ( 3 1)
t x y z t x y z t
t t t
V P t f t f t t
M P f
Qua BBT ta c
MinP f
 
= + + ⇒ ≤ + + = ⇒ ∈ −
 
− − + +
 
= − = = ⇒ = ⇔ = ∈ −
 
= =



= − = − +



Bài 3 : Cho 2 số dương x,y thõa mãn: x+y=5/4. Tìm Min của:

4 1
4
A
x y
= +
Giải:
Ta có:

( )
2
2
5
16
16 60 5
4
.
5
4 4 (5 4 )
4 ( )
4
4 0 , 5
16 16 1 16 1
: à : ( )
5 4 5
5
0
16 1 16

'( ) 0 (1) 1 5
5
4
5
3
y y
y x y
A
xy y y
y y
a y a b
a b
Coi V A f a
b y a b
ab b a a a
a
f a MinA f
a
a
a
+ −
+ +
= = =
−
−
= < <
 
+
⇒ = = + = + =
 

= − + =
−
 
=


⇒ = − = ⇒ ⇒ = = + =

= −
−

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=1; y=1/4
Bài 4 : CMR: Với mọi tam giác ABC ta luôn có:

1 os 1 os 1 os
2 2 2
3 3
A A A
c c c
A A A
+ + +
+ + >
Giải:
Xét hàm số:
2
cos 1
2
x
y x
= + −

Page 5 of 9