tim gia tri lon nhat gia tri nho nhat cua mot bieu thuc

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
A. Nguyên tắc chung
Việc giải bài toán dạng này gồm các bước như sau:

Xác định ẩn phụ t .

Từ giả thiết, tìm miền giá trị của t .

Đưa việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức cần xét về việc tìm GTLN, GTNN của một
hàm biến t trên miền giá trị của t .

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1. Cho x , y  0 thỏa mãn x  y  4 . Tìm GTLN, GTNN của S   x3  1 y 3  1 .
Giải. Đặt t  xy , suy ra

 x  y
0t 

2

4

 4 . Ta có

3
2
S   xy    x  y   x  y   3xy   1  t 3  4 42  3t   1  t 3  12t  63 .



Xét hàm f  t   t 3  12t  63 , với t   0; 4 . Ta có f '  t   3t 2  12  0 t  0; 4  f  t  đồng
biến trên  0; 4 . Do đó


min S  min f  t   f  0   63 , đạt được khi và chỉ khi
t0;4

x  y  4


 xy  0


 x; y    4;0

hoặc  x; y    0;4  .

max S  max f  t   f  4   49 , đạt được khi và chỉ khi
t0;4

x  y  4


 xy  4

 x; y    2; 2  .

Ví dụ 2. Cho x , y  0 thỏa mãn x 2  y 2  2 . Tìm GTLN, GTNN của S  x  y  xy .
Giải. Đặt t  x  y  t  0 . Ta có
t 2   x  y   2  x2  y 2   4  t  2 ,

2

t 2   x  y   x 2  y 2  2 xy  x 2  y 2  2  t  2 .
2

Suy ra t   2; 2 . Lại có

xy 

 x  y

2

  x2  y 2 
2

1
1
 t 2 1  S  f t    t 2  t  1.
2
2

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

1


Ta có f '  t   t  1  0 với mọi t 






2; 2 , f  2   1 , f 1 

3
. Do đó
2

x  y  2
x  1
.
min S  f  2   1 , đạt được   2
 
2
y 1
x  y  2



1 3
1 3
x


x 
x  y  1
3



2 .
2
max S  f 1  , đạt được   2

hoặc 
 
2
2
x  y  2
 y  1 3
 y  1 3


2
2
x
y
Ví dụ 3. Cho x , y  0 thỏa mãn x 2  y 2  8 . Tìm GTLN, GTNN của S 
.

y 1 x 1

Giải. Đặt t  x  y , ta có

 x  y

2

 x  y

2

 2  x 2  y 2   2  8  16  t  4 ,

 x 2  y 2  2 xy  x 2  y 2  8  t  2 2 .

Suy ra 2 2  t  4 . Lại có

x y 

 x  y

2

  x2  y 2 
2



t2  8
.
2

Ta có biến đổi sau đây
2
2
2
x  x  1  y  y  1  x  y    x  y   2 xy t  t   t  8 
t 8


 2 2
.
S 

2
t 8
t  2t  6
x  y  xy  1
 y  1 x  1
t
1
2

Xét hàm f  t  

f ' t 

t 8
với 2 2  t  4 . Ta có
t  2t  6

t


2

2

 2t  6    t  8 2t  2 

t

2

 2t  6 

2



t 2  16t  22

t

2

 2t  6 

2

 0 , t : 2 2  t  4 .





2
Suy ra f nghịch biến trên  2 2; 4 . Do đó min f  t   f  4   . max f  t   f 2 2  2 .
t 2 2;4

3
+) S  2  min f  t  
t 2 2;4

 x2  y 2  8
4
4
 x  y  2 . Vậy min S  , đạt
, dấu bằng xảy ra  
3
3
x  y  4

được  x  y  2 .

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

2


 x 2  y 2  8
 x  0
 x  2 2
+) S  2  max f  t   4 2 , dấu bằng xảy ra  
hoặc 
.
 
t 2 2;4
 y  2 2
 x  y  2 2

 y  0
4
 x  0
 x  2 2
Vậy max S  , đạt được  
hoặc 
.
3
 y  2 2
 y  0
Ví dụ 4. Cho x , y  0 thỏa mãn x  y  xy  3 . Tìm GTLN, GTNN của
S

x2
y2
1
.


y 1 x 1 x  y  3

Giải. Đặt

 xy  3  t  0
 xy  3  t

.
 
t  x y  
t2

2  t  3
3  t 

4
Ta có

x3  y 3  x 2  y 2
1

S 

 x  1 y  1 x  y  3

 x  y

3

 3xy  x  y    x  y   2 xy
1

xy   x  y   1
x y3
2

t 3  33  t  t  t 2  2 3  t 
1
t 3 2 7t
1
3


t  
 .


t 3
4
4 t 3 2
3  t   t  1
Xét hàm f  t  
Ta có f '  t  

t 3 2 7t
1
3
t  
 , t   2;3 .
4
4 t 3 2

3t 2
7
1
 2t  
 0 , t   2;3  f 1 đồng biến trên  2;3 .
4
4  t  3 2

Do đó


S  f t   f  2 
 min S 



4
, Đạt được  x  y  1 .
5

S  f  t   f  3 

 max S 

 x  y  xy  3
4
. Dấu “  ” xảy ra  
 x  y 1
5
x  y  2

 x  y  xy  3
x  0
x  3
35
 
. Dấu “  ” xảy ra  
hoặc 
.
6
x  y  3

y  3
y  0

x  0
x  3
35
, Đạt được  
hoặc 
.
6
y  3
y  0

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

3


Ví dụ 5. Cho x , y thỏa mãn x2  xy  y 2  1 . Tìm GTLN, GTNN của S  x 2  xy  y 2 .
Giải.
Cách 1. Từ giả thiết suy ra 1   x  y   xy   x  y 
2

t   x  y  thì

2

 x  y

4

2

3 x  y 
. Do đó, nếu đặt

4
2

 2 3 2 3
3 2
t  1 , hay t   
;
.
4
3
3



Ta có xy   x  y   1  t 2  1 , suy ra
2

S   x  y   3xy  t 2  3  t 2  1  2t 2  3 .
2

 2 3 2 3
;
Xét hàm f  t   2t 2  3 với t   
 . Ta có f '  t   4t , f '  t  có nghiệm duy nhất

3 
 3
 2 3 2 3
t  0   
;
 .
3
3


2 3
 2 3 1
Ta có f  0   3 , f 
  f  
  .
3
3



 3
Do đó

1
min S  , đạt được chẳng hạn khi
3





2 3

2 3

2 3
x y 

x

y


x  y 

3   x; y    1 ; 1  .
3
 
 
3



 3 3
 x  y 2  xy  1
 x 2  xy  y 2  1
 xy  1



3



max S  3 , đạt được khi và chỉ khi

 x  y  0
x  y  0
x  y  0




 2
2
2
 xy  1
 x  xy  y  1
 x  y   xy  1



 x; y   1; 1 hoặc  x; y    1;1 .

Cách 2. Ta có S 


x 2  xy  y 2
.
x 2  xy  y 2

Xét y  0 . Khi đó S  1 .

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

4


Xét y  0 . Chia cả tử và mẫu của S cho y 2 và đặt t 



S

x
, ta được
y

t 2  t 1
2t
.
 1 2
2
t  t 1
t  t 1

2  t 2  1
2t
Xét hàm f  t   1  2
, ta có f '  t  
.

2
2
t  t 1
 t  t  1
Bảng biến thiên của hàm f  t  :

t

-1

-∞
+

f '(t)

0

+∞

1
_

0

2


t
lim f  t   lim 1 
t 

t 
1 1
 1  2
t t


+

3
f(t)



  1.



1

1

1
3

Suy ra:
1
+) min S  , đạt được khi và chỉ khi
3
x
 y 1

  x; y    1 ; 1  hoặc  x; y     1 ;  1  .





3
3
 3 3

 x 2  xy  y 2  1

+) max S  3 . Đạt được khi và chỉ khi

x
 y  1
  x; y   1; 1 hoặc  x; y    1;1 .

 x 2  xy  y 2  1

Ví dụ 6. [ĐHB09] Cho x , y thỏa mãn  x  y   4 xy  2 . Tìm GTNN của
3

A  3  x 4  y 4  x 2 y 2   2  x 2  y 2   1.

Giải. Áp dụng bất đẳng thức  a 2  b2  ab  

x

4

 y 4  x2 y 2  

3
2
 a  b  với a  x2 , b  y 2 ta được
4

2
2
3 2
9
x  y 2   A   x2  y 2   2  x2  y 2   1 .

4
4

Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức 4xy   x  y  , ta có
2

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

5


 x  y   x  y
3

2

2 

 x  y  1  x  y 

2

 2  x  y   2  0  x  y  1


(do  x  y   2  x  y   2   x  y  1  1  0 x , y ).
2

2

  x  y 2 1

t 
2
2
Đặt t  x 2  y 2  
.
9
 A  f t  t 2  2t  1


4
9
1
1
9

Xét hàm f  t   t 2  2t  1 , t  . Ta có f '  t   t  2  0 t 
 f  t  đồng biến trên
4
2
2
2
1
1

1 9
 2 ;    f  t   f  2   16 t  2 .

Như vậy S 

9
, dấu “  ” xảy ra khi và chỉ khi
16
x  y

1 1
 1 1
 2
1   x; y    ;  hoặc  x; y     ;   .
2
2 2
 2 2
 x  y  2

9
1 1

 1 1
, đạt được   x; y    ;  hoặc  x; y     ;   .
16
2 2
 2 2
Ví dụ 7. [ĐHB12] Cho các số thực x , y , z thỏa mãn các điều kiện x  y  z  0 và
Vậy min S 

x2  y 2  z 2  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x5  y 5  z 5 .
Giải. Từ x  y  z  0 suy ra z    x  y  , thay z    x  y  vào đẳng thức thứ hai của giả
thiết, ta được

1  x 2  y 2   x  y   2  x  y   2 xy  2  x  y  
2

2

2

1
3
2
2
x  y  x  y
2
2

Do đó, nếu đặt t  x  y thì ta có

 6 6

3 2
2t 2  1
t  1  t  
;
xy

,
.

2
2
3
3


Biến đổi

P  x5  y 5   x  y 

5

  x3  y3  x 2  y 2   x 2 y 2  x  y    x  y 

5

3
2
5
  x  y   3xy  x  y   x  y   2 xy   x 2 y 2  x  y    x  y 





2


2t 2  1   2
2t 2  1  2t 2  1 
5 3
5
 t 3  3 
 t  t  2 

 t  t    2t  t  .

2
2   2 
4



>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

6


Xét hàm f  t   

t

 6 6
5 3
5 2
2t  t  , với t   
;

 . Ta có f '  t     6t  1 có hai nghiệm là
4
4
 3 3 

6  6 6
 
;

6  3 3 .



 6 5 6
 6
6 5 6
6
5 6
5 6
Ta có f  
, f  
, f 
, f 
.

 
  
 
  
3
36
6
36
6
36
3
36









5 6
6
6
, đạt được chẳng hạn khi x  y 
, z
.
6
3
36

3
Ví dụ 8. Cho x , y , z  0 thỏa mãn x  y  z  . Tìm GTNN của biểu thức
2
1
1
1
S  x2  y 2  z 2  2  2  2 .
x y y z z x
Vậy min P  

Giải. Đặt t  3 xyz . Ta có t  0 và

3
1
 x  y  z  3 3 xyz  t  .
2
2

 1
Suy ra t   0;  .
 2
Lại có

x 2  y 2  z 2  3 3 x 2 y 2 z 2  3t 2 ,

1
1
1
1
1

1
3
3
 2  2  33 2  2  2 
 3
2
x y y z z x
x y y z z x xyz t

1

 S  3 t 2  3  .
t 

1
3 2t 5  3
 1
 1
t

0;
f
'
t

2
t


 0 t   0;  , suy ra f

với
.
Ta
có



3
4
4

t
t
t
 2
 2
 1
 1  99
nghịch biến trên  0;  . Vậy min S  3 f    , đạt được khi và chỉ khi
 2
2 4
Xét hàm f  t   t 2 

x  y  z
1

3
1  x yz .
2
 xyz  2

Ví dụ 9. [ĐHA03] Cho x , y , z  0 thỏa mãn x  y  z  1 . Chứng minh rằng:

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

7


x2 

1
1
1
 y 2  2  z 2  2  82 .
2
x
y
z

1


1 1 1
 1  1
 1
Giải. Xét a  x;  , b  y;  , c  z;  , ta có a  b  c   x  y  z;    .
x y z
 x  y
 z


Từ a  b  c  a  b  c suy ra

1
1
1
x  2  y2  2  z2  2 
x
y
z
2

1 1 1
x  y  z     
x y z

2

2

Đến đây ta có hai cách đi tiếp:
Cách 1. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
x  y  z  3 3 xyz ,

1 1 1
1
   33
.
x y z
xyz

Do đó
VT 1  9t 

9
, với t 
t



.
2

3

xyz

Ta có

 x yz 1
0t 
  .
3

 9
2

Xét f  t   9t 

9
1

với t   0;  . Ta có
t
 9

f ' t   9 

9
1
 0 t   0;   f  t  nghịch biến trên
2
t
 9

1
 f  t   f    82  VT 1 
9

 1
 0;  .
 9

f (t )  82 (ĐPCM).

2

2

1 1 1
1 1 1
2

2
Cách 2.  x  y  z        81 x  y  z        80  x  y  z 
x y z
x y z
2

2

1 1 1
2
 2 81 x  y  z       80  x  y  z 
x y z
2

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

8


1 1 1
2
 18  x  y  z       80  x  y  z   18.9 – 80  82 .
x y z
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

C. Bài tập
Bài 1. [ĐHD09] Cho x , y  0 thỏa mãn x  y  1 . Tìm GTLN, GTNN của

S   4 x 2  3 y  4 y 2  3x   25xy .
Bài 2. Cho x , y  0 thỏa mãn x  y  1 . Tìm GTLN, GTNN của

x
y
.

y 1 x 1
Bài 3. Cho x , y  0 thỏa mãn x  y  1 . Tìm GTLN, GTNN của
S

S   x 2  1 y 2  1  x 2  y 2  1 .
Bài 4. Cho x , y  0 thỏa mãn x  y  xy  3 . Tìm GTLN, GTNN của

S

x
y
6
.


x  2 y  2 x  y 1

Bài 5. Cho x , y thỏa mãn x2  y 2  1  xy . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
S  x4  y 4  x 2 y 2 .

Bài 6. Cho x , y thỏa mãn x 2  y 2  1. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
S  1 x  1 y .

Bài 7. [ĐHD12] Cho x , y thỏa mãn  x  4    y  4   2 xy  32 . Tìm GTNN của
2

2

A  x3  y 3  3  xy  1 x  y  2  .

Bài 8. [ĐHA06] Cho x  0 , y  0 thỏa mãn  x  y  xy  x 2  y 2  xy . Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức A 

1 1
 .
x3 y 3

Bài 9. [ĐHB08] Cho x , y thỏa mãn x 2  y 2  1. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
P

2  x 2  6 xy 

.

1  2 xy  2 y 2

Bài 10. Cho x , y thỏa mãn x2  y 2  xy  1 . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
S  x 2  2 xy  y 2 .

Bài 11. Cho x , y thỏa mãn 2 x2  y 2  xy  1 . Tìm GTNN của biểu thức
S  x2  y 2 .

Bài 12. Cho x , y , z  0 thỏa mãn x  y  z 

3

. Tìm GTNN của biểu thức
2

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

9


1 1 1
  .
x y z
Bài 13. [ĐHB10] Cho a , b , c  0 thỏa mãn a  b  c  1. Tìm GTNN của biểu thức
S  x yz

M  3  a 2b2  b2c 2  c 2 a 2   3  ab  bc  ca   2 a 2  b2  a 2 .
Bài 14. Cho x , y , z  0 thỏa mãn x  y  z 

3
. Tìm GTNN của biểu thức
2

x
y
x
x5 y 5 z 5
P 2  2  2    .
y z z x x y y
z
x

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

10