Các bài toán liên quan đến viết phương trình đường thẳng

HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 - 2017

THẦY LÂM PHONG

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN VIẾT
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG.
■ NHỮNG KỸ THUẬT CẦN NHỚ:
►Cách 1 (tìm điểm): Sử dụng “Nắm đắm và cây gậy” : Phương trình đường thẳng cần
tìm phải đi qua một điểm M  xM ; yM  (“nắm đắm”) và hoặc nhận n   a; b  ,  a 2  b 2  0 
làm véctơ pháp tuyến (vtpt) hoặc nhận u   c; d  ,  c 2  d 2  0  làm véctơ chỉ phương (vtcp)
(“cây gậy”). Khi đó ta có các dạng phương trình  là:
 Dạng tổng quát:  : a  x  xM   b  y  yM   0 .
 x  xM  ct
 Dạng tham số:  : 
t 
 y  yM  dt

 Dạng chính tắc:



.

x  xM
y  yM
.

c
d

Đây là cách mà chúng ta vẫn thường sử dụng trong quá trình lập phương trình đường

thẳng. Trở ngại mà ta thường mắc phải là đường thẳng chưa đi qua điểm ? hay chưa
có vtpt (vtcp). Vì vậy nhiều khả năng ta phải chuyển bài toán từ “Lập phương trình
đường thẳng” về bài toán “tìm thêm điểm mới !”.

u   b;  a 
a 2  b2  0
 ta có thể chọn 
Một số lưu ý: do n  u  n.u  0 nên nếu n   a; b  
u   b; a 
(Mẹo nhớ là: “đổi chỗ, đổi một dấu !)
bx  ay  m  0
● Nếu   d : ax  by  c  0   : 
.
 bx  ay  m  0

● Nếu  / / d : ax  by  c  0   : ax  by  d  0,  m  c  (nếu m  c  d   loại)

  d   : x  2 y  m  0
VD15: Cho d : 2 x  y  1  0 . Khi đó: 

 / / d   : 2 x  y  n  0,  n  1

►Cách 2 (Tìm vtpt): Sử dụng “Cây gậy lớn”: Trong trường đường thẳng chỉ qua một điểm
và “không thể tìm thêm điểm” nào nữa thì ta sẽ gọi n   a; b  ,  a 2  b 2  0  và chỉ phải đi
tìm thêm một phương trình f  a; b   0 có chứa quan hệ của a và b. Do điều kiện a 2  b 2  0
nên “nếu biết một trong hai số a  0 (hoặc b  0 ) thì ta được chọn a (hoặc b) là một số
bất kỳ khác 0 . khi đó phương trình f  a; b   0 chỉ còn 1 ẩn để giải.

THẦY LÂM PHONG (SÀI GÒN – 0933524179)

1


HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 - 2017

THẦY LÂM PHONG

Một số lưu ý: để thiết lập được phương trình f  a; b   0 , ta thường sử dụng đến các yếu tố
liên quan đến “diện tích, khoảng cách và góc”. Vì vậy ta cần lưu tâm đến các giả thiết có
hàm chứa các yếu tố trên.
VD16: Viết phương trình đường thẳng  qua điểm M 1; 2  và tạo với đường thẳng
d : x  2 y  1  0 một góc 450 .
HDG

 Gọi n   a; b  ,  a 2  b 2  0  là vtpt của  và nd  1; 1 là vtpt của d.



n.nd



Khi đó ta có: cos  d ;    cos n; nd 

n . nd



1
2



a  2b
a 2  b 2 12  22

 2  a  2b   5  a 2  b 2   3a 2  8ab  3b 2  0 (nhận xét nếu b = 0 thì a = 0 không thỏa)
2

f  a ;b 

 n1  1;3
a  1
b  0 b  3

 a 2  8a  9  0  

 a  9  n1   9;3  3  3; 1
qua M 1;2 
 1 
x  3y  7
vtpt :n1 1;3
Do đó: 
.
qua M 1;2 
  

3
x


y

1
 2 vtpt:n2 3;1

►Cách 3 (Tìm hệ số góc): Sử dụng “đường thẳng có hệ số góc k” theo hàm số: tương
tự như cách 2, đường thẳng qua một điểm M  xM ; yM  và khuyết vtpt (vtcp). Cách làm này
giúp ta giảm ẩn đến hết mức có thể và tận dụng các yếu tố về góc, khoảng cách để thiết lập
phương trình đường thẳng  .
Ở đây theo nghĩa của “hàm số bậc nhất” thì hệ số góc của đường thẳng là giá trị

k  tan  với    ; Ox  là góc hợp giữa đường thẳng và chiều dương trục hoành (tia

Ox).
 : y  k  x  xM   yM và khi đó n   k ; 1 là vtpt của 

VD17: Viết phương trình đường thẳng  qua điểm M 1;0  và khoảng cách từ điểm N  2;3
đến đường thẳng  bằng

2.

HDG

 Gọi n   a; b  ,  a 2  b 2  0  là vtpt của  .

Khi đó đường thẳng  qua M 1;2  có dạng  : a  x  1  b  y  0   0
Theo đề bài, d  N ;    2 

a  3b
a b

2

 2   a  3b   2  a 2  b 2 
2

2

a  7
b  0b 1
 a 2  6ab  7b 2  0 
 a 2  6a  7  0  

 a  1
f  a ;b 

 1 : 7 x  y  7  0
 :  x  y  1  0
 2

THẦY LÂM PHONG (SÀI GÒN – 0933524179)

2


HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 - 2017

THẦY LÂM PHONG

 
 x 1  0 .

Cách khác: Xét đường thẳng  / / Oy 
qua M 1;0

Khi đó d  N ;    1  2 (không thỏa mãn)
Do đó gọi k là hệ số góc của  . Khi đó  : y  k  x  1  0  kx  y  k  0
Theo đề bài ta có d  N ;    2 

k 3
k2 1

 2   k  3  2  k 2  1
2

 1 : x  y  1  0
k  1
 k 2  6k  7  0  

 k  7
  2 : 7 x  y  7  0

VD18:  qua M  3; 4  và không song song trục hoành   : y  k  x  3  4
VD19:  qua M  m; 2m  3 tạo với chiều dương trục hoành một góc 450
 hệ số góc k  tan 450  1  y  1 x  m   2m  3  x  m  3
VD20:  : x  y  1  0   : y  x  1  k  1  tan    

 ; Ox   450

 ; Ox   600

VD21:  : 3 x  y  1  0   : y   3 x  1  k   3  tan    

(từ hệ số góc ta có thể suy ra góc giữa đường thẳng và chiều dương trục hoành)

BÀI TẬP VẬN DỤNG – PHẦN 2.
Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A  0;3 , trọng tâm
5 
G  ;3  , đường cao AH có phương trình 3 x  4 y  12  0 . Lập phương trình đường
3 
thẳng BC và tìm tọa độ điểm B và C biết rằng xB  xC .

ĐS: BC : 4 x  3 y  1  0, B  4;5  , C 1;1 .
Câu 19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A , phương trình
đường thẳng BC : x  y  1  0 và phương trình đường cao kẻ từ đỉnh B là
x  2 y  2  0 . Biết rằng đường cao kẻ từ đỉnh C qua điểm M  2;1 . Viết phương trình

đường thẳng AB, AC và tìm tọa độ điểm A .
 4 11 
ĐS: AB : x  2 y  2  0, AC : 6 x  3 y  1  0, A  ;   .
9 9 

Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có đỉnh D  6; 6  ,
đường trung trực của cạnh CD có phương trình 2 x  3 y  17  0 , đường phân giác
trong góc

BAC có phương trình là 5 x  y  3  0 . Viết phương trình đường phân giác

trong của góc

BDC



 



ĐS: d : 10  3 17 x  2 17  11 y  6  6 17  0 .

THẦY LÂM PHONG (SÀI GÒN – 0933524179)

3


HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 - 2017

THẦY LÂM PHONG

Câu 21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD biết phương trình đường
thẳng chứa cạnh AB và đường chéo BD lần lượt là x  3 y  1  0 và x  y  5  0 .
Đường thẳng chứa cạnh AD đi qua điểm M 1;2  . Tìm tìm tọa độ điểm I là giao điểm
của hai đường chéo hình thoi ABCD và viết phương trình đường thẳng AC .
ĐS: I  2;3 , AC : x  y  1  0 .
Câu 22. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có điểm E 1; 2 là trung
điểm của cạnh CD . Gọi F là một điểm trên đoạn AC sao cho CF  3 AF . Biết phương
trình đường thẳng chứa cạnh BF là x  3 y  5  0 . Viết phương trình đường AB .
ĐS: AB : y  2  0 hay AB : 3x  4 y  15  0 .
Câu 23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường tròn  C1  và  C2  lần lượt có
phương trình  C1  : x 2  y 2  2 x  2 y  2  0,  C2  : x 2  y 2  4 x  6  0 . Biết rằng điểm
M 1;1 là điểm chung của  C1  và  C2  . Viết phương trình đường thẳng d qua M cắt

 C1 

và  C2  lần lượt tại A, B ( A  B ) sao cho M là trung điểm của AB .
ĐS: d : x  y  2  0 .

Câu 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường tròn  C  : x 2  y 2  2 x  4 y  4  0
và điểm M  3;5 . Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ A đến  C  . Giả sử M , N là các
tiếp điểm. Tính độ dài MN .
ĐS: d1 : y  5  0 hay d 2 : 24 x  y  37  0 & MN 

24
.
5

Câu 25. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường tròn  C1  và  C2  lần lượt có
phương trình  C1  : x 2  y 2  10 x  0,  C2  : x 2  y 2  4 x  2 y  20  0 . Viết phương trình
tiếp tuyến chung của hai đường tròn  C1  và  C2  .
ĐS: x  7 y  5  25 2  0 hay x  7 y  5  25 2  0 .
Câu 26. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A  2; 1 , trực tâm H  2;1
và độ dài cạnh BC  2 5 . Gọi E , F lần lượt chân đường cao hạ từ đỉnh B; C . Biết
trung điểm M của cạnh BC thuộc đường thẳng d : x  2 y  1  0 và EF đi qua điểm

N  3; 4 . Viết phương trình đường thẳng BC
ĐS: 2 x  y  3  0 hay 2 x  y  7  0 .
Câu 27. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , lập phương trình đường thẳng d qua M 1;4 
và d cắt nửa trục dương Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho SOAB nhỏ nhất.
ĐS: d : 4 x  y  16  0 .
THẦY LÂM PHONG (SÀI GÒN – 0933524179)

4