ON THI CAO HOC, TOAN CC1 Chuong3_Tich_phan_Bat_dinh

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN
BẤT ĐỊNH

1


Tích phân bất định
Nguyên hàm: Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của
hàm f(x) trong khỏang (a,b) nếu tại mọi điểm x thuộc
(a,b) ta đều có F’(x) = f(x)
Từ định nghĩa nguyên hàm ta suy ra:
1. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x)+C
cũng là nguyên hàm của hàm f(x)
2. Mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng F(x)+C
Định lý: Mọi hàm liên tục trên [a,b] (liên tục ∀x ∈ (a, b)
và liên tục trái tại b, liên tục phải tại a) thì có nguyên
hàm trên [a,b]
2


Tích phân bất định
Định nghĩa tích phân bất định : Nếu hàm F(x) là một
nguyên hàm của hàm f(x) thì F(x)+C (C: hằng số)
được gọi là tích phân bất định của hàm f(x), kí hiệu
∫ f ( x)dx = F ( x) + C
Tính chất:
∫ F '( x)dx = F ( x) + C
d
f ( x)dx = f ( x)
∫
dx

∫ a. f ( x)dx = a.∫ f ( x)dx
∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx
3


Tích phân bất định

1
∫ x dx = ln x + C

Bảng tích phân các hàm cơ bản
α +1
1
x
α
∫ 2 dx = tan x + C
∫ x dx = α + 1 + C ,α ≠ −1
cos x
x
1
a
x
∫ 2 dx = − cot x + c
∫ a dx = ln a + C
sin x
xdx
1
1
1

x
2
= ln x + a + C
dx = arctan + C
∫ 2
∫
2
2
a
a
x +a 2
a +x

∫ sin xdx = − cos x + C
∫ cos xdx = sin x + c

1
1
x+a
∫ 2 2 dx = 2a ln x − a + C
a −x

dx
x
∫ sin x = ln tan 2 + C

dx
x π
∫ cos x = ln tan  2 + 4 ÷ + C



4


Tích phân bất định

∫

xdx
x2 ± a2
dx

2

dx

2

= x ±a +C ∫

x
∫ 2 2 = arcsin a + c
a −x

x2 ± a2

∫

= ln x + x 2 ± a 2 + C

xdx
a2 − x2

= − a2 − x2 + C

2
a
x
x
+a
2
2
+C
∫ x + a .dx = ln | x + x + a | +
2
2
2
2
2
a
x
x
a
−
x
2
2
a
−
x

.dx =
arcsin +
+C
∫
2
a
2
∫ shxdx = chx + C ∫ dx = thx + C ∫ dx = −cthx + C
2
2
ch
x
sh
x
∫ chxdx = chx + C
5


Tích phân bất định
Phương pháp tích phân từng phần:
Định lý: Cho các hàm u(x), v(x) khả vi và u(x), v’(x)
có nguyên hàm trên (a,b). Khi ấy hàm u’(x), v(x)
cũng có nguyên hàm trên (a,b) và ta có
∫ u ( x)v′( x)dx = u ( x)v( x) − ∫ u′( x)v( x)dx
Đẳng thức trên tương đương với:
∫ ( u′( x)v( x) + u ( x)v′( x) ) dx = u ( x)v( x)
Đẳng thức này hiển nhiên đúng theo công thức đạo
hàm của tích
Ta còn viết CT trên ở dạng

∫ udv = uv − ∫ vdu

6


Tích phân bất định
n αx

αx

1) ∫ x e dx : u = x , dv = e dx
n

Ví dụ: Tính I 5 = ∫ x 2e 2 x dx
1 2x
u = x , dv = e dx ⇒ du = 2 xdx, v = e
Đặt
2
2 2x
e2 x 2
e2 x
x
e
2
2x
I5 =
x −∫
d (x ) =
− ∫ xe dx
2

2
2
2

2x

Tương tự,lấy tích phân từng phần 1 lần nữa:
2 2x

x e
I5 =
2

 xe 2 x 1 2 x  x 2 e 2 x xe 2 x e 2 x
−
− ∫ e dx ÷ =
−
+
+C
2
2
2
4
 2

7


Tích phân bất định

2) ∫ x cos α xdx : u = x , dv = cos α xdx

∫x

n

n

n

n

sin α xdx : u = x , dv = sin α xdx
2

Ví dụ: Tính I 6 = ∫ x cos xdx
Đặt

2

u = x , dv = cos xdx ⇒ du = 2 xdx, v = sin x
I 6 = x 2 sin x − ∫ 2 x sin xdx
2

= x sin x + 2 x cos x − 2 ∫ cos xdx
= x 2 sin x + 2 x cos x − 2sin x + C
8


Tích phân bất định

α

n

α

n

3) ∫ x ln xdx,α ≠ −1: u = ln x, dv = x dx
Ví dụ: Tính
Đặt

I 7 = ∫ x 2 ln xdx
3

dx
x
u = ln x, dv = x dx ⇒ du = , v =
x
3
2

3

2

x ln x
x
I6 =
− ∫ dx

3
3
x3 ln x x3
=
− +C
3
9
9


Tích phân bất định

4) I = ∫ e cos α xdx : u = e , dv = cos α xdx
kx

kx

J= ∫ e sin α xdx : u = e , dv = sin α xdx
kx

Ví dụ: Tính

kx

x
I = ∫ e cos dx
2
2x

Đặt u = e 2 x , dv = cos x dx ⇒ du = 2e 2 x dx, v = 2sin x

2

x
x
2x
I = 2e sin − 4.∫ e sin dx
2
2
x
x
2x
2x
= 2e sin − 4[ −2e cos + 4 I ]
2
2
1
x
x
2x
2x
⇒ I = {2e sin + 8e cos } + C
17
2
2

2

2x

10


Tích phân bất định
5) Hàm ngược = u
Ví dụ: Tính I8 = ∫ arcsin xdx
Đặt u=arcsinx, dv=dx
I 5 = ∫ udv = uv − ∫ vdu = x arcsin x − ∫ xd (arcsin x)
1 d (1 − x 2 )
= x arcsin x − ∫
= x arcsin x + ∫
2
1 − x2
1 − x2
xdx

= x arcsin x + 1 − x 2 + C

11


Tích phân bất định

du
Tính tích phân I n = ∫ 2
2 n
(u + a )
du
u
u 2 du

In = ∫ 2
= 2
+ 2n ∫ 2
2 n
2 n
2 n +1
(u + a )
(u + a )
(u + a )
2

2

2

du
u
(u + a − a )du
In = ∫ 2
= 2
+ 2n ∫
2 n
2 n
(u + a )
(u + a )
(u 2 + a 2 ) n +1
u
2
In = 2
+ 2n( I n − a .I n +1 )

2 n
(u + a )
Tích phân tính bằng công thức truy hồi


du
1 
u
I n +1 = ∫ 2
=
+ (2n − 1) I n 
2 n +1
2  2
2 n
12
(u + a )
2na  (u + a )



Tích phân bất định
Phương pháp đổi biến:
Định lý: Nếu ∫ f ( x)dx = F ( x) + C
Thì: ∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t ) dt = F (ϕ (t )) + C
Với φ(t) là hàm khả vi
Ta kiểm tra lại bằng cách tính đạo hàm vế phải:

( F (ϕ (t )) + C ) ′ = F ′(ϕ (t )).ϕ ′(t )

= f (ϕ (t )).ϕ ′(t )

Ta được hàm dưới dấu tích phân vế trái tức là định
lý được chứng minh
Định lý trên là cơ sở của 2 cách đổi biến thường gặp
sau đây

13


Tích phân bất định
Phương pháp đổi biến 1: Đặt x = φ(t), φ(t) là hàm khả
vi và có hàm ngược t= φ-1(x) thì ta có
∫ f ( x)dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t )dt
Nếu nguyên hàm của f(φ(t))φ’(t) là G(t) thì
−1
f
(
x
)
dx
=
G
(
t
)
+
C
=
G
(

ϕ
( x)) + C
∫

Ví dụ: Tính tích phân I1 = ∫ 1 − x 2 dx
Đặt x = sint thì

dx = cos tdt
t = arcsin x
và 

2
2
1
−
x
=
cos
t
sin2
t
=
2
x
1
−
x



I1 = ∫ cos 2 tdt
1 + cos 2t
1 1
arcsin x x 1 − x 2
=∫
dt = t + sin2t + C =
+
14+ C
2
2 4
2
4


Tích phân bất định
Phương pháp đổi biến 2: Đặt u = φ(x), du=φ(x)dx và
giả sử ∫ f ( x)dx = ∫ g (ϕ ( x ))ϕ ′( x)dx với

∫ g ( x)dx = G ( x) + C
Thì ∫ f ( x)dx = G (ϕ ( x)) + C
dx
Ví dụ: Tính I 2 = ∫
x2 + a2
x
1
Đặt u = ⇒ du = dx ⇒ dx = adu
a
a
1 adu
1

1
x
I2 = 2 ∫ 2
= arctan u + C = arctan + C
a
a
a u +1 a
15


Tích phân bất định
Ví dụ: Tính I 3 = ∫ e x 4 + e x dx
x

Đặt u = 4 + e x

2

x

⇒ e = u − 4 ⇒ e dx = 2udu

2 3
2
I 3 = ∫ 2u du = u + C =
(e x + 4)3 + C
3
3
dx
Ví dụ: Tính I 4 = ∫ x

2 +1
2 x dx
1
1  x

I4 = ∫ x x
= ∫ x − x
÷2 dx = ∫ dx − J
2 (2 + 1)
2 +1
2
x
x
du
2 dx
du
ln(2 − 1)
x
x
= 2 dx ⇒ J = ∫ x
=∫
=
Đặt u = 2 +1 ⇒
ln 2
u
ln
2
ln
2
2

+
1
ln(2 x − 1)
⇒ I4 = x −
+C
16
ln 2
2


Tích phân bất định
Pn ( x)
Tích phân hàm hữu tỉ: f ( x) =
Qm ( x)
1. Tích phân phân thức đơn giản lọai 1:

(

)

b
d
x
+
M
M
a
dx = k ∫
∫
k

k
(ax + b)
a
x+b
a

(

(

)

)

1− k
M 1
b
x
+
+
C
,
khi
k
≠
1
 a k 1 − k
a
=
 M ln x + b + C , khi k = 1

a
 a

17


Tích phân bất định
2. Tích phân phân thức đơn giản lọai 2: với ax2+bx+c
là tam thức bậc 2 không có nghiệm thực
Thêm bớt để tử số thành đạo
Mx + N
dx hàm của tam thức bậc 2 cộng 1
∫ 2
k
(ax + bx + c)
hằng số
Mb

(N −

)dx

M
(2ax + b)dx
a
=
+
∫
2
k ∫

2
k
2a (ax + bx + c)
(ax + bx + c )

M
(2ax + b)dx
=
+
∫
2
k ∫
2a (ax + bx + c)

Mb
(N −
) dx
a

k

 2 b
b
c b 
a x + x+ 2 + − 2 ÷
a
a 4a 
4a

18

k

2

2


Tích phân bất định
M d (ax 2 + bx + x)
=
+∫
∫
2
k
2a (ax + bx + c)

Mb 
b 
(N −
)d  x +
÷
a
2a 


2 
2
b
c
b



ak   x + ÷ + 
− 2
 
2a   a 4a



2 k


÷
÷


÷
÷
÷


du
Đặt u = ax + bx + c thì tích phân thứ 1 có dạng ∫ k
u
2

b
du
Đặt u = x +
tích phân thứ 2 có dạng ∫ 2

2 k
(u + a )
2a
Tích phân này ta tính bằng công thức truy hồi
19


Tích phân bất định
2. Tích phân phân thức đơn giản lọai 2: với x2+px+q
là tam thức bậc 2 không có nghiệm thực

Mx + N
dx
∫ 2
k
( x + px + q )

Đặt

p
u = x+
2

Ta đựơc tổng của 2 tp cơ bản dạng

udu
du
I =∫ 2
,
J

=
∫ 2 2 k
2 k
(u + a )
(u + a )
Tích phân I ta tính bằng cách đặt

2

t =u +a

2

Tích phân J ta tính bằng công thức truy hồi
20


Tích phân bất định
2x + 3
dx
Ví dụ: Tính I 9 = ∫ 2
x + x +1
Tách tử số thành tổng đạo hàm của tam thức bậc 2
và 1 hằng số để chia hàm thành tổng 2 hàm với hàm
thứ 2 có mẫu số đã tách thành tổng bình phương
của 1 nhị thức và hằng số
1
2
d
(

x
+
)
(2 x + 1)dx
2
I9 = ∫ 2
+∫

x + x +1
1 2
3 2
 (x + ) + ( ) ÷
2
2 

4
2x + 1
= ln( x + x + 1) +
arctan
+C
3
3
2

21


Tích phân bất định
2x + 3
dx

Ví dụ: Tính I 9 = ∫ 2
x + x +1
Đặt

1
u = x+
2

2udu
2du
I9 = ∫
+∫
3 2
3 2
2
2
u +( )
u +( )
2
2
3 2
2
2u
= ln u + ( ) + 2. arctan
+C
2
3
3
2

4
2x + 1
= ln( x + x + 1) +
arctan
+C
3
3
2

22


Tích phân bất định
Trường hợp 1: n < m
Bước 1: Giả sử
Qm ( x) = (a1x + b1 )l1 ...(ar x + br )lr (c1x 2 + d1x + e1) k1 ...(cs x 2 + d s x + es ) ks

Trong đó l1+l2+…+lr+k1+k2+…+ks=m và các tam thức
bậc 2 dạng - cx2+dx+e - không có nghiệm thực
Bước 2: Ta phân tích hàm f(x) thành tổng các phân
M jx + N j
thức đơn giản dạng
Mi
,
li
(ai x + bi ) (c j x 2 + d j x + e j ) k j
Bước 3: Đồng nhất hệ số 2 vế để xác định cụ thể các
hệ số M, N.
Bước 4: Tính các tp các hàm đơn giản, cộng lại ta
được tp cần tính

23


Tích phân bất định
2x − 3
Ví dụ: Tính I8 = ∫ 3
dx
2
x − 5x + 6x
2x − 3
a
b
c
Giả sử : 3
= +
+
2
x − 5x + 6x x x − 2 x − 3
⇔ 2 x − 3 = a ( x − 2)( x − 3) + bx( x − 3) + cx( x − 2)
Ta chọn các giá trị đặc biệt
x = 2 : 1 = −2b ⇔ b = −1
x = 0 : −3 = 6a ⇔ a = −1
2
2
x = 3 : 3 = 3c ⇔ c = 1
−dx
−dx
dx
I8 = ∫

+∫
+∫
2x
2( x − 2)
x −3
−1
−1
= ln x + ln x − 2 + ln x − 3 + C
2
2
24


Tích phân bất định
x+5
I9 = ∫
dx
Ví dụ: Tính
2
( x − 1)( x + x + 1)
x+5
A
Bx + C
=
+
Đặt
2
2
x
−

1
x
+ x +1
( x − 1) x + x + 1

(

)

⇔ x + 5 = A ( x + x + 1) + ( x − 1)( Bx + C )
2

x = 1 ⇒ 6 = 3A ⇒ A = 2

 x = 0 ⇒ 5 = A − C ⇒ C = −3
 x 2 ⇒ 0 = A + B ⇒ B = − A = −2

dx
(2 x + 3)dx
⇒ I 9 = 2.∫
−∫ 2
x −1
x + x +1
4
2x +1
2
= 2ln x − 1 − ln( x + x + 1) −
arctan
+C
3

3

25