Toán dành cho ôn thi cao học

Bài tập
PHƯƠNG PHÁP TOÁN LÝ
Phương trình truyền sóng
1. Vẽ dạng của dây vô hạn dao động tự do nếu vận tốc ban đầu bằng không,
còn độ lệch ban đầu được cho bởi:
( )







>
≤<−
≤<−
≤
=
3 0
32 3
21 1
1 0
0,
xkhi
xkhix
xkhix
xkhi
xu

tại các thời điểm
0

0
=
t
,
2
1
1
=
t
,
1
2
=
t
,
5,2
3
=
t
. Xét dao động tại các điểm
0
=
x
,
2
=
x
,
1
=

x
,
1
−=
x
( khi nào bắt đầu dao động, khi nào thôi ), biết vận
tốc truyền sóng
2
=
a
.
2. Vẽ dạng của dây nửa vô hạn, gắn chặt ở đầu mút, dao động tự do, biết
rằng vận tốc ban đầu bằng không, độ lệch ban đầu được cho bởi:
( )







+ ∞≤≤
≤≤−
≤≤
=
x
lxl
lx
xu
l2 0

2
x
sin
0 0
0,
nÕu
nÕu
l
nÕu
π
tại các thời điểm
t
bằng
a
l
4
,
a
l
,
a
l
4
5
,
a
l
2
3
,

a
l
4
7
,
a
l
4
9
.
3. Xác định dao động tự do của dây hữu hạn, gắn chặt tại các mút
0
=
x
,
lx
=
, biết độ lệch ban đầu được cho bởi:
( )
( )
2
4
0,
l
xlx
xu
−
=
(
lx

≤≤
0
),
còn vận tốc ban đầu bằng không.
Đáp số:
( )
( )
( ) ( )
l
atn
l
xn
n
txu
n
ππ
π
12
cos
12
sin
12
132
,
0
33
++
+
=
∑

∞
=
.
4. Xác định dao động tự do của dây hữu hạn, gắn chặt tại các mút
0
=
x
,
lx
=
, biết độ lệch ban đầu bằng không, và vận tốc ban đầu được cho bởi:
Bài tập Phương pháp Toán Lý Trang 1 Ngày 19-08-2013

( )
( )







>
<
=
∂
∂
2
c-x 0
2

c-x c-xcos
0,
0
π
π
nÕu
nÕuv
t
xu
,
trong đó
0
v
là hằng số dương và
22
ππ
−<<
lc
.
Đáp số:
( )
l
atk
l
xk
l
k
k
l
k

l
ck
a
v
txu
k
ππ
π
ππ
π
sinsin
1
2
cossin
4
,
1
2
22
2
0
∑
∞
=









−
=
.
5. Xác định dao động dọc của một thanh đồng chất nếu một mút gắn chặt,
còn một mút tự do, biết các điều kiện ban đầu:
( )
xfu
t
=
=
0
,
( )
xF
t
u
t
=
∂
∂
=
0
.
Đáp số:
( )
( ) ( ) ( )
l
xn

l
atn
b
l
atn
atxu
n
nn
2
12
sin
2
12
sin
2
12
cos,
1
πππ
+






+
+
+
=

∑
∞
=
với
( )
( )
dx
l
xn
xf
l
a
l
n
∫
+
=
0
2
12
sin
2
π
,
( )
( )
( )
dx
l
xn

xF
xn
b
l
n
∫
+
+
=
0
2
12
sin
12
4
π
π
.
6. Cũng như bài 5. , nhưng cả hai mút đều tự do.
Đáp số:
( ) ( ) ( )
[ ]
l
xn
l
atn
b
l
atn
adxxtFxf

l
txu
n
nn
l
πππ
cossincos
1
,
1
0
∑
∫
∞
=






+++=
với
( )
dx
l
xn
xf
l
a

l
n
∫
=
0
cos
2
π
,
( )
dx
l
xn
xF
an
b
l
n
∫
=
0
cos
2
π
π
.
7. Một thanh đồng chất có độ dài 2l bị nén nên độ dài của nó còn lại là
2l(1 - ε). Lúc t = 0, người ta buông ra. Chứng minh rằng độ lệch u của thiết
diện có hoành độ x ở thời điểm t được cho bởi:
( )

( )
( )
( ) ( )
l
atn
l
xn
n
l
txu
n
n
2
12
cos
2
12
sin
12
18
,
0
2
1
2
ππ
π
ε
++
+

−
=
∑
∞
=
+
,
nếu gốc toạ độ đặt ở tâm của thanh.
Bài tập Phương pháp Toán Lý Trang 2 Ngày 19-08-2013
Hướng dẫn: Các điều kiện biên và điều kiện ban đầu là:
( )
0
,
=
∂
−∂
x
tlu
,
( )
0
,
=
∂
∂
x
tlu
,
( )
xxu

ε
−=
0,
,
( )
0
0.
=
∂
∂
t
xu
.
8. Xét dao động tự do của một dây gắn chặt ở các mút
0
=
x
,
lx
=
trong
một môi trường có sức cản tỷ lệ với vận tốc, biết các điều kiện ban đầu:
( )
xfu
t
=
=
0
,
( )

xF
t
u
t
=
∂
∂
=
0
.
Đáp số:
( ) ( )
l
xn
tqbtqatxu
n
nnnn
π
sinsincos,
1
∑
∞
=
+=
2
2
222
h
l
an

q
n
−=
π
,
( )
dx
l
xn
xf
l
a
l
n
∫
=
0
sin
2
π
,
( )
dx
l
xn
xF
lq
a
q
h

b
l
n
n
n
n
∫
+=
0
sin
2
π
.
Hướng dẫn: Phương trình dao động là:
2
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
h
t
u
∂
∂

=
∂
∂
+
∂
∂
.
9. Xác định dao động của một dây gắn chặt ở mút
0
=
x
, còn mút
lx
=

chuyển động theo quy luật
tA
ω
sin
, biết rằng độ lệch và vận tốc ban đầu bằng
không.
Đáp số:
( )
( )
l
xn
l
atn
l
an

l
aA
l
a
tx
a
A
txu
n
n
ππ
π
ω
ω
ω
ω
ω
sinsin
12
sin
sinsin
,
1
2
2
1
∑
∞
=
−







−
−
+=
.
Hướng dẫn: Tìm u dưới dạng u = v +w, trong đó w thoả mãn phương trình
dao động của dây với các điều kiện
( )
0,0
=
tw
,
( )
tAtlw
ω
sin,
=
, còn v cũng
thoả mãn phương trình đó với các điều kiện
( )
0,0
=
tv
,
( )

0,
=
tlv
,
( ) ( )
0,0, xwxv
−=
,
( ) ( )
t
xw
t
xv
∂
∂
−=
∂
∂
0,0,
.
10. Tìm dao động dọc của một thanh đồng chất có một mút cố định, còn mút
kia chịu tác dụng của lực Q (lên một đơn vị diện tích) dọc theo thanh, biết rằng
độ lệch và vận tốc ban đầu bằng không.
Đáp số:
( )
( )
( ) ( )
( )
∑
∞

=
+
++
−
−=
0
22
12
2
12
sin
2
12
cos1
8
,
n
n
n
l
xn
l
atn
E
Ql
x
E
Q
txu
ππ

π
.
Bài tập Phương pháp Toán Lý Trang 3 Ngày 19-08-2013
14. Một màng hình vuông đồng chất lúc
0
=
t
có độ lệch được xác định bởi
( ) ( )( )
ybxbAxyyxu
−−=
0,,
, trong đó
bx
≤≤
0
,
by
≤≤
0
, dao động với vận tốc
ban đầu bằng không, mép gắn chặt. Hãy xác định dao động của màng.
Đáp số:
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
b
at

mn
mn
b
ym
b
xn
Ab
tyxu
n
π
π
π
π
22
0
226
4
1212cos
1212
12
sin
12
sin
64
,,
+++
++
+
+
=

∑
∞
=
15. Một màng hình chữ nhật
lx
≤≤
0
,
my
≤≤
0
, gắn chặt ở mép, lúc
0
=
t

bị một xung lượng tập trung tại tâm của màng, sao cho:
∫∫
=
→
ε
σ
ε
Adxdyv
0
0
lim
,
trong đó A là hằng số, v
0

là vận tốc ban đầu,
ε
σ
là lân cận của tâm của màng.
Hãy xác định dao động của màng.
Đáp số:
( ) ( )
∑
∞
=
Ψ






Ψ
=
1,
sin,
2
,
2
4
,,
nk
knkn
kn
kn

atyx
ml
mla
A
tyxu
πµ
µπ
,
với
( )
m
yn
l
xk
yx
kn
π
π
sinsin,
=Ψ
,
22






+







=
m
n
l
k
kn
µ
.
Phương trình truyền nhiệt
1. Tìm nghiệm của phương trình:
2
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
(
lx <<0

,
0
>
t
)
thoả mãn các điều kiện :
( )
0,0
=
tu
,
( )
0,
=
tlu
(
0
>
t
),
( )







≤<
≤<

=
lx
l
l
l
xx
xu
2
x -
2
0
0,
nÕu
nÕu
.
Đáp số:
( )
( )
( )
( ) ( )
∑
∞
=
+







+
−
+
−
=
0
2
22
2
22
12
sin
12
exp
12
14
,
n
n
l
xn
l
tan
n
l
txu
ππ
π
2. Một thanh đồng chất có độ dài l , hai mút được giữ ở nhiệt độ không,
nhiệt độ ban đầu trong thanh được cho bởi:

Bài tập Phương pháp Toán Lý Trang 4 Ngày 19-08-2013
( )
2
0
l
xlcx
u
t
−
=
=
,
Hãy xác định phân bố nhiệt độ trong thanh tại thời điểm t > 0.
Đáp số:
( )
( )
( ) ( )
∑
∞
=
+






+
−
+

=
0
2
22
2
33
12
sin
12
exp
12
18
,
n
l
xn
l
tan
n
c
txu
ππ
π
3. Một thanh đồng chất có độ dài l , mút x = 0 được giữ ở nhiệt độ không,
còn tại mút x = l có sự trao đổi nhiệt với môi trường ngoài giữ ở nhiệt độ
không. Tìm phân bố nhiệt độ trong thanh ở thời điểm t > 0 biết rằng nhiệt độ
ban đầu trong thanh được cho bởi
( )
xu
t

ϕ
=
=
0
.
Đáp số:
( )
( )
( )
dx
l
x
x
l
x
l
ta
pp
p
l
txu
n
l
n
nn
n
n
µ
ϕ
µµ

µ
µ
sinsinexp
1
2
,
0
1
2
2
2
2
2
2
∫
∑
∞
=








−
++
+
=

trong đó
1
µ
,
2
µ
, ... là những nghiệm dương của phương trình
p
tg
µ
µ
=
,
0
>=
hlp
.
4. Một thanh đồng chất có một mút cách nhiệt, còn một mút giữ ở nhiệt độ
không đổi u
0
. Tìm phân bố nhiệt độ trong thanh biết nhiệt độ ban đầu
( ) ( )
xxu
ϕ
=
0,
.
Đáp số:
( )
( ) ( )

∑
∞
=
+






+
−+=
0
2
22
2
0
2
12
cos
4
12
exp,
n
n
l
xn
l
tan
autxu

ππ
,
với
( )
( )
( )
( )
π
π
ϕ
12
4
1
2
12
cos
2
0
0
+
−−
+
=
∫
n
u
dx
l
xn
x

l
a
n
l
n
.
Hướng dẫn: Tìm u(x,t) có dạng u(x,t) = u
0
+ v(x,t).
5. Tìm phân bố nhiệt độ trong một thanh đồng chất, biết nhiệt độ ban đầu
bằng không, nhiệt độ tại mút x = l bằng không, còn nhiệt độ tại mút x = 0
được cho bởi u(0,t) = At.
Đáp số:
( )
∑
∞
=








−+















+






−






−







−=
1
2
222
223
2
23
2
2
sinexp
12
23
6
1,
n
l
xn
l
tan
na
Al
l
x
l
x
l
x
a
Al

l
x
Attxu
ππ
π
.
Hướng dẫn: Tìm u(x,t) dưới dạng u(x,t) = u
1
(x,t) + u
2
(x,t) , trong đó u
1
(x,t) thoả
mãn phương trình truyền nhiệt, thoả mãn điều kiện u
1
(0,t) = At , u
1
(l,t) = 0.
6. Cũng bài toán như bài 5, nhưng u(0,t) = 4Asin
ω
t.
Bài tập Phương pháp Toán Lý Trang 5 Ngày 19-08-2013