ON THI CAO HOC, TOAN CC1 Chuong4_Tich_phan_xac_dinh

CHƯƠNG 4: TÍCH PHÂN
XÁC ĐỊNH

1


Tích phân xác định
Công thức đạo hàm dưới dấu tích phân
 b( x )
′
 ∫ f (t )dt ÷ = f (b( x)).b′( x) − f (a ( x)).a′( x )
 a( x)
÷


cos x

Ví dụ: Tính đạo hàm theo x của f ( x) = ∫ cos(t 2 )dt
sin x

f ′( x) = cos(cos 2 x)(− sin x) − cos(sin 2 x)cos x

2


Tích phân xác định
x

2
(arctan
t

)
dt
∫

Ví dụ: Tính giới hạn
Vì

x

lim 0

x →+∞

x2 + 1

2

lim ∫ (arctan t ) dt = +∞ tức là giới hạn trên có

x →+∞ 0

∞
dạng
, nên ta áp dụng quy tắc L’Hospital
∞
x

2
(arctan
t

)
dt
∫

0

x2 + 1

(arctan x)2 x 2 + 1 π 2
= lim
=
x
x →+∞
4
3


Tích phân xác định
Công thức Newton – Leibnitz:
Nếu hàm f(x) liên tục trên [a,b] và G(x) là một
nguyên hàm của f(x) trên [a,b] thì ta có
b

∫ f ( x)dx = G (b) − G (a )

a

2ln 2 dx
Ví dụ: Tính tích phân I 2 = ∫
x

ln 2 e − 1
x
2ln 2
2ln 2

 1
1  x
= ∫ 
− ÷de
I2 = ∫
x
x
x x
ln 2  e − 1 e 
ln 2 e (e − 1)
e dx

3
x ln 4
= ln(e − 1)
− ln(e )
= ln 3 − ln 4 + ln 2 = ln
ln 2
ln 2
2
x

ln 4

4

Tích phân xác định

Phương pháp đổi biến
 f ( x) liên tục trên [a,b]

Nếu ϕ (t ) khả vi, liên tục trên [t1,t2]
ϕ [t , t ] ⊂ [a, b], ϕ (t ) = a,ϕ (t ) = b
1
2
 ( 1 2 )
Thì

b

t2

a

t1

∫ f ( x)dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t )dt

5


Tích phân xác định
6

dx
Ví dụ: Tính I3 = ∫
1 1 + 3x − 2
Đặt 3 x − 2 = t ⇒ dx = 2t dt , x = 1, t = 1
3
x = 6, t = 4
4 2tdt 1

2 4
1 
I3 = ∫
= ∫ 1 −
÷dt
3 1 t +1
1 3 1+ t
2
4
= ( t − ln t + 1 )
1
3
2
5
=  3 − ln ÷
3
2
6


Tích phân xác định

7


Tích phân xác định
Phương pháp tích phân từng phần
Nếu 2 hàm u(x), v(x) khả vi, liên tục trên [a,b] thì
b

b
b
∫ u ( x)v′( x)dx = u ( x)v( x ) a − ∫ u′( x)v ( x)dx
a
a
1 arcsin xdx

Ví dụ: Tính I 4 = ∫

0

1

1+ x
1

1

I 4 = 2 ∫ arcsin xd ( 1 + x ) = 2 arcsin x 1 + x − 2 ∫ 1 + x d (arcsin x)
0
0

0

1 1+ x
π
1
2
π
= . 2 − 2∫
dx =
+ 4 1 − x = 2π − 4
2
0
2
0 1 − x2
2

8


Tích phân xác định
Lưu ý 2: Các tích phân không áp dụng được công
thức Newton – Leibnitz
e dx

e
= ln | x | −e = 0
∫
−e x

Cách tính này sai vì hàm dưới dấu tp không liên tục

trên [-e,e]
Để tính đúng tp trên, ta phải chia tp ra làm 2 với điểm
chia là điểm gián đọan của hàm: x=0
e dx

∫

−e x

0 dx

= ∫

−e x

e dx

+∫

0 x

Hai tp thành phần ta gọi là tp của hàm không bị chặn
hay là tp suy rộng lọai 2
9


Tích phân suy rộng lọai 1
Cho đường cong
1
y=

x
Giả sử ta cần
tính diện tích
phần mặt phẳng
giới hạn bởi
đường cong trên
và 2 nửa dương
2 trục Ox, Oy
Khi đó, theo phần trên ta có

+∞ 1

S ( D) = ∫

0 x

dx
10


Tích phân suy rộng lọai 1
Để có diện tích miền D, ta sẽ phải tính tích phân khi
x→∞ và khi x→0
Ta gọi những tích phân như vậy là tích phân suy rộng
Có 2 loại tích phân suy rộng: Tích phân với cận vô tận
(tp suy rộng loại 1) và tích phân của hàm không bị
chặn (tp suy rộng loại 2)

11

Tích phân suy rộng lọai 1
Định nghĩa tích phân suy rộng lọai 1:
Cho hàm f(x) khả tích trên [a,b] , ∀b > a
Tích phân

+∞

b

∫ f ( x) dx = lim ∫ f ( x)dx

a

b →+∞ a

được gọi là tp suy rộng lọai 1 của hàm f(x) trên[a,+∞)
Nếu giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tp hội
tụ, tp không hội tụ thì gọi là tp phân kỳ
Tương tự, ta có thêm 2 dạng tp suy rộng lọai 1:
b

b

∫ f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx

−∞

a →−∞ a

12


Tích phân suy rộng lọai 1
+∞

+∞

a

−∞

a

−∞

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x)dx

Tp ở vế trái hội tụ khi và chỉ khi cả 2 tp ở vế phải hội tụ

Sử dụng CT Newton – Leibnitz
để tính tp suy rộng:
Nếu hàm f(x) có nguyên hàm là G(x) trên [a,+∞) thì
+∞

b

b
∫ f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx = lim G ( x) a
b →+∞ a

b →+∞
a
+∞
= lim G (b) − G (a ) = G ( x)
= G (+∞) − G (a )
a
b→+∞
13


Tích phân suy rộng lọai 1
+∞ dx
Ví dụ: Xét tp Riemman sau I1 = ∫
α
x
1
b dx

b
= lim ln x 1 = lim ln b = +∞
Nếu α=1: I1 = lim ∫
b →+∞ 1 x
b →+∞
b→+∞

Tp phân kỳ
1−α b

b dx
x

b1−α
1
Nếu α≠1: I1 = lim ∫
= lim
−
= lim
b→+∞ 1 − α 1 − α
b →+∞ 1 xα b →+∞ 1 − α
1

Nếu 1- α>0 : I1 = +∞ Tp phân kỳ
1
Tp hội tụ
Nếu 1- α<0 : I1 = −
1−α
Vậy tích phân I1 hội tụ nếu α>1 và phân kỳ nếu α≤1 14


Tích phân suy rộng lọai 1
1
, x = 1, y = 0
Ví dụ: Tính dt miền D ghạn bởi y = 2
x − 5x + 6
1

S ( D) = ∫

dx

2

x
− 5x + 6
−∞

1
= ln x − 3 − ln x − 2 
−∞

Ta có giới hạn dạng vô
định ∞ - ∞

D

1

 x −3 
= ln 2
S ( D ) = ln

 x − 2  −∞

15


Tích phân bất định
+∞
x+5
Ví dụ: Tính
I= ∫
dx

2
2 ( x − 1)( x + x + 1)
x+5
A
Bx + C
=
+
Đặt
2
2
x
−
1
x
+ x +1
( x − 1) x + x + 1

(

)

⇔ x + 5 = A ( x + x + 1) + ( x − 1)( Bx + C )
2

x = 1 ⇒ 6 = 3A ⇒ A = 2

 x = 0 ⇒ 5 = A − C ⇒ C = −3
 x 2 ⇒ 0 = A + B ⇒ B = − A = −2

x+5

I9 = ∫
dx
2
( x − 1)( x + x + 1)
4
2x +1
2
= 2ln x − 1 − ln( x + x + 1) −
arctan
+C
3
3

16


2

( x − 1)
4
2x + 1
⇒ I 9 = 2ln 2
−
arctan
+C
3
3
x + x +1
+∞


( x − 1)
4
2 x + 1
⇒ I =  2ln 2
−
arctan

3
3 
x + x +1

2
2

1 4 π
5
⇒ I = 2ln −
( − arctan )
7
3 2
3
17


Tích phân suy rộng lọai 1
Khảo sát sự HT của tp suy rộng lọai 1 với hàm không âm
Tiêu chuẩn so sánh 1:
Cho 2 hàm f(x), g(x) không âm, khả tích trên [a,+∞)
thỏa f(x) ≥ g(x) ≥ 0 ở lân cận của ∞. Ta có:

+∞

+∞

a

a

+∞

+∞

a

a

∫ f ( x)dx HT ⇒ ∫ g ( x)dx HT
∫ g ( x)dx PK ⇒ ∫ f ( x )dx PK

+∞ dx
Ta thường so sánh với tp Riemman: ∫ α
a >0 x

α > 1: HT

α ≤ 1: PK
18


Tích phân suy rộng loại 1

+∞ ln(1 + x)
Ví dụ: KS sự HT của I 2 = ∫
dx
x
1
ln(1 + x) 1
Khi x > e-1 thì ln(1+x)>1, suy ra
> >0
x
x
+∞ 1
Mà ∫ dx PK
Vậy I2 PK
1 x
Ví dụ: KS sự HT của
0<

3 + sin2x
x2 + x

<

Suy ra tp I3 HT

4
x2 + x

+∞ 3 + sin2x

I3 = ∫

2

1 x +

<

4
x2

x

dx

+∞ 4
Vì ∫
dx HT
2
x
1
19


Tích phân suy rộng loại 1
Tiêu chuẩn so sánh 2:
Cho 2 hàm f(x), g(x) không âm, khả tích trên [a,+∞)
f ( x)
Nếu lim
= K thì ta có các kết luận sau:
x →∞ g ( x)

K=0:

+∞

+∞

∫ g ( x)dx HT ⇒ ∫ f ( x)dx HT

a
+∞

a
+∞

a

a

K=+∞: ∫ f ( x)dx HT ⇒ ∫ g ( x)dx HT
0Đặc biệt khi k=1 ⇔ f : g
2 tích phân trên cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

20


Tích phân suy rộng loại 1
Để khảo sát sự HT của tp

+∞

∫ f ( x)dx ta làm như sau:

a

1. Xác định hàm f(x) không âm với mọi x>a
2. Khi x→+∞, tìm hàm g(x) tương đương với f(x) hoặc
đánh giá f(x) lớn hay nhỏ hơn hàm g(x)
3. Nếu là hàm tương đương thì dùng t/c so sánh 2,
nếu là hàm nhỏ hay lớn hơn thì dùng t/c so sánh 1
Lưu ý:
1.Ta ký hiệu f(x)~g(x) khi x →xₒ nếu

f ( x)
lim
=1
x → x0 g ( x )

2.Tìm hàm g(x) ~ f(x) bằng cách sử dụng các giới hạn
cơ bản, có thể đổi biến t=1/x để khi x→∞ thì t→0 21


Tích phân suy rộng loại 1
+∞

Ví dụ: KS sự HT của I 4 = ∫ (1 − cos 1 )dx
x
1
Khi x→+∞ , hàm đã cho không âm.

1
1
0 ≤ f = 1 − cos :
x 2 x2
Vậy tp của 2 hàm cùng HT hoặc cùng PK
+∞ 1
Do ∫
dx HT (α =2>1) nên tp I4 HT (ss2)
2
x
1
22


Tích phân suy rộng loại 1
+∞

Ví dụ: KS sự HT của I5 = ∫

3

Với x≥3,

f ( x) =

1
dx
x( x − 1)( x − 2)

1

>0
x( x − 1)( x − 2

Khi x → +∞: f ( x) =
+∞ 1
Do ∫
dx HT
3/2
3 x

1
:
x( x − 1)( x − 2)

1
3

x 2

3 

 α = > 1÷. Vậy tp I5 HT(ss2)
2 

23


Tích phân suy rộng loại 1
+∞ ln x
Ví dụ: KS sự HT của I 6 = ∫ 2 dx

1 x
Ta có khi

Mà

x → +∞ thì
1
ln x 1
2
ln x < x ⇒
<
2
3
x
x2

+∞ 1
J= ∫
dx
3
1
x2

hội tụ

3
(α = > 1)
2

Vậy Tp I6 hội tụ ( ss1)

24


Tích phân suy rộng loại 1
Tích phân hàm có dấu bất kỳ
+∞

+∞

a

a

Nếu ∫ f ( x) dx HT Thì
+∞

∫ f ( x)dx HT

Khi đó, ta nói tp ∫ f ( x)dx là tp hội tụ tuyệt đối
a

Nếu là tp của hàm có dấu bất kỳ, ta sẽ khảo sát tp của
hàm không âm sau bằng 1 trong 2 tiêu chuẩn so sánh
+∞

∫ f ( x) dx

a

Tp trên HT thì Tp cần khảo sát là tp HTTĐ

Tp trên PK thì chưa có kết luận cho tp cần khảo sát 25