ON THI CAO HOC, TOAN CC1Chuong_6_PTVP_CAP_2

Đại học Quốc gia TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
Khoa: Khoa Học Ứng Dụng
Bộ môn: Toán Ứng Dụng

1


Chương 6: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

5.Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng
Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số
hằng có dạng tổng quát là:
y "+ a1 y '+ a2 y = f ( x) (1)
với

ai

là các hằng số thực.

Phương trình tuyến tính cấp 2 thuần nhất
tương ứng là :

y "+ a1 y '+ a2 y = 0

(2)
2


a) Phương trình tuyến tính cấp 2 thuần nhất với hệ
số hằng số:

y"+ a1 y '+ a2 y = 0

(2)

Phương trình k + a1k + a2 = 0 (3) được gọi là
2

phương trình đặc trưng của các phương trình (1,2).

∗ Nếu

phương trình đặc trưng có 2 nghiệm thực

phân biệt k1 , k 2
Lúc này: Nghiệm tổng quát của phương trình
(2) là:

y = c1e

k1 x

+ c2 e

k2 x
3


∗ Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép
k1 = k2

Lúc này: Nghiệm tổng quát của phương trình (2)
là:

y = (c1 + c2 x)e

k1 x

∗ Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm phức
k1 = α + iβ

k2 = α − iβ

Lúc này: Nghiệm tổng quát của phương trình (2)
là:

αx

y = e (c1 cos β x + c2 sin β x)
4


VD1: Giải phương trình vi phân:

y"+4 y '+3 y = 0
Ta có: Phương trình đặc trưng:
có nghiệm

k + 4k + 3 = 0
2

k1 = −1, k2 = −3

Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình này là:
−x

y = c1e + c2e

−3 x

5


VD2: Giải phương trình vi phân:

y"−10 y '+25 y = 0
Ta có: Phương trình đặc trưng: k 2 − 10k + 25 = 0
có nghiệm kép

k1 = k2 = 5

Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình này là:

y = (c1 + c2 x)e

5x

6


VD3: Giải phương trình vi phân:

y"+2 y '+4 y = 0
Ta có: Phương trình đặc trưng:
có nghiệm phức:

2

k + 2k + 4 = 0

 k1 = −1 + 3 i

k2 = −1 − 3 i

Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình này là:
−x

y = e (c1 cos 3.x + c2 sin 3.x)
7


b) Phương trình tuyến tính cấp 2 không thuần nhất
với hệ số hằng số: y "+ a1 y '+ a2 y = f ( x) (1)
Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng:

y= y+ y
y

Với 
 *
y

∗

là nghiệm tổng quát của phương trình
thuần nhất:

y"+ a1 y '+ a2 y = 0

là nghiệm riêng của phương trình
không thuần nhất: y"+ a1 y '+ a2 y = f ( x )
8


Cách tìm nghiệm riêng y*
αx

f ( x) = e Pn ( x)

Trường hợp

Nếu α

không phải là nghiệm của phương trình

đặc trưng:
thì:

k + a1k + a2 = 0
2

y * = eαx .H n ( x)

Nếu α là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng:
k + a1k + a2 = 0
2

thì:

y = e .Hn ( x).x
αx

*

Nếu α là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng:
k + a1k + a2 = 0
2

thì:

y* = eα x .Hn ( x).x2

9


VD1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình

y"−3 y '+2 y = e ( x + x)
3x

2

Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng:
∗

y= y+ y
Bước 1: Tìm

y

Phương trình đặc trưng
nghiệm

k − 3k + 2 = 0
2

có

k1 = 1 , k2 = 2 ⇒ y = c1e + c2e
x

2x

10


y*
3x
2
f ( x) = e ( x + x)

Bước 2: Tìm
Ta có:

α = 3 không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng
nên nghiệm riêng của phương trình đầu có dạng:
*

3x

2

y = e .( Ax + Bx + C)
Lấy y* thế vào phương trình đầu ta tính được:

11


2.| y* = e3 x .( Ax2 + Bx + C)
−3.| y*/ = 3e3 x .( Ax2 + Bx + C) + e3 x .(2 Ax + B)

1.| y*/ / = 9e3 x .( Ax2 + Bx + C) + 6.e3 x .(2 Ax + B) + e3 x .2 A
⇒ 2e3 x .( Ax2 + Bx + C) + 3.e3 x .(2 Ax + B) + e3 x .2 A = e3 x ( x 2 + x)

α

2
2 A = 1

⇒ 2 B + 6 A = 1
2C + 3 B + 2 A = 0



α

2

1
⇔ A = , B = −1, C = 1
2

Vậy

2
1
y = (c1e + c2e ) + e ( x − x + 1)
2
x

2x

3x

12


• Xét điều kiện ban đầu:
 y(0) = 4

 y '(0) = 6

y '( x) = C1e + C2 .2e
x

2x

1 2
+ 3e ( x − x + 1) + e3 x ( x − 1)
2
3x

 y(0) = C1 + C2 + 1 = 4

 y '(0) = C1 + C2 .2 + 2 = 6

⇒ C1 = 2, C2 = 1
1 2
⇒ y = (2e + e ) + e ( x − x + 1)
2
x

2x

3x


VD2: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình

y"−4 y '+4 y = xe

2x

Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng:
∗

y= y+ y

Bước 1: Tìm

y

Phương trình đặc trưng
nghiệm kép

k − 4k + 4 = 0
2

có

k1 = k2 = 2 ⇒ y = (c1 + c2 x)e

2x

14


Bước 2:

Ta có:

Tìm nghiệm y*

f ( x) = e x
2x

α=2 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng
nên y* = e2x.(Ax + B).x² là nghiệm riêng của
phương trình đầu.
Lấy y* thế vào phương trình đầu ta tính được

15


4.| y* = e2 x .( Ax3 + Bx2 )
−4.| y*/ = 2e2 x .( Ax3 + Bx2 ) + e2 x .(3 Ax2 + 2 Bx)

1.| y*/ / = 4e2 x .( Ax3 + Bx2 ) + 4.e2 x .(3 Ax2 + 2 Bx) + e2 x .(6 Ax + 2 B)

⇒ e2 x .(6 Ax + 2 B) = e2 x .x

α

6 A = 1
⇒
2 B = 0

2

2α

A=1 , B=0

6

Vậy

2x
1
y = (c1 + c2 x)e + x ( x).e
6
2x

2

16


VD3: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình

y "− 3 y '+ 2 y = (2 x − 4)e

2x

Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng:
∗

y= y+ y

Bước 1: Tìm

y

Phương trình đặc trưng
nghiệm

k − 3k + 2 = 0 có
2

k1 = 1 , k2 = 2 ⇒ y = c1e + c2e
x

2x

17


Bước 2: Tìm nghiệm
Ta có:

α=2

y*

f ( x) = e2 x (2 x − 4)

là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng

nên y*

= e2x.(Ax + B).x là nghiệm riêng của

phương trình đầu.

Lấy

y*

thế vào phương trình đầu ta tính được

18


2.| y* = e2 x .( Ax2 + Bx)
−3.| y*/ = 2e2 x .( Ax2 + Bx) + e2 x .(2 Ax + B)

1.| y*/ / = 4e2 x .( Ax2 + Bx) + 4.e2 x .(2 Ax + B) + e2 x .2 A

⇒ e2 x .(2 Ax + B) + e2 x .2 A = e2 x .(2 x − 4)

α

2

2 A = 2
⇒
 B + 2 A = −4

2α

A = 1, B = −6
Vậy

y = (c1e + c2e ) + e ( x − 6 x)

x

2x

2x

2

19


•Trường hợp

f ( x ) = e [Pn ( x ) cos β x + Qm ( x ).sin β x ]
αx

 Nếu α ± iβ không phải là nghiệm của phương
trình đặc trưng thì

y = e [ H l ( x) cos βx + K l ( x) sin βx]
αx

*

l = max{m , n}

 Nếu α ± iβ là nghiệm bội h của phương trình
đặc trưng thì

y = e [ Hl ( x) cos β x + K l ( x) sin β x].x

*

αx

h

l = max{m , n}
20


VD4: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình

y"+9 y = 18 cos 3 x − 30 sin 3 x
Bước 1: Tìm y
Phương trình đặc trưng
phức là:

k + 9 = 0 có nghiệm
2

k1 = 3i, k2 = −3i

⇒ y = e (c1 cos 3 x + c2 sin 3 x)
ox

21


Bước 2: Tìm

*

y

f ( x ) = 18cos3 x − 30sin 3 x

(α = 0,β =3, m = 0, n = 0⇒ l = 0)
Ta có: α ± iβ
đặc trưng nên

= ±3i

là nghiệm của phương trình

y* = e ( A cos 3x + B sin 3 x).x
ox

Lấy

y * thế vào phương trình đầu ta tính được
22


9.| y* = ( A cos 3 x + B sin 3 x).x
0.| y*/ = (−3 A sin 3 x + 3B cos 3 x).x + ( A cos 3 x + B sin 3 x)

1.| y*/ / = −9.( A cos 3 x + B sin 3x).x + 2.(−3 A sin 3 x + 3 B cos 3 x)

⇒ 2.(−3 A sin 3 x + 3 B cos 3 x) = 18 cos 3 x − 30 sin 3 x

−β 2

−6 A = −30
⇒
6 B = 18

2

A=5 , B=3
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đầu là:

y = (c1 cos 3x + c2 sin 3x) + (5 cos 3x + 3sin 3x).x
23


VD5: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình

y "− 4 y '+ 4 y = cos 3 xe2 x
Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng:
∗

y= y+ y
Bước 1: Tìm

y

Phương trình đặc trưng
nghiệm kép

k − 4k + 4 = 0

2

có

k1 = k2 = 2 ⇒ y = (c1 + c2 x)e

2x

24


Bước 2: Tìm nghiệm

y*

Ta có:

f ( x) = e .cos 3x ⇒ α = 2, β = 3, m = n = 0 ⇒ l = 0
2x

α+iβ=2+3i

không là nghiệm của phương trình

đặc trưng nên y*

= e2x.(Acos3x + Bsin3x)

là nghiệm riêng của phương trình đầu.
Lấy

y*

thế vào phương trình đầu ta tính được
25