ON THI CAO HOC TOAN CC 1 Bai_Tap_Chuoi_T4

A.BÀI TẬP CHUỖI
Bài 1: Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:
∞

a)

∑

n =1

1
n(n + 1)

∞

b)

∞

c)

1
1
sin
∑
n+2
n =1 n
∞

e)

n

d)

∞

f)

n

n

2 +3
∑ 4 n + 2n
n =1
∞

2

3 ( n!)
∑ (2n)!
n =1

1
(1 − cos )
∑
n
n =1

 1 

2
sin
∑
 n!
n =1
n

Toán 4 - Bài tập Chuỗi số


2

 n −1 
h ) ∑  n +1 ÷
n =1 


n − n +1

∞

n  n +1 
g ) ∑ 5 .
÷
n+2
n =1
∞
7 n ( n !) 2
i) ∑
2n

n
n =1
∞

n 2 −1

4.9.14...(5n − 1)
j) ∑
4n.n !
n =1
Bài 2: Xét sự hội tụ của chuỗi số có dấu bất kỳ sau:

a)

∞

n
(
−
1
)
∑
n
2
n =1
n

∞

c)

2

∞

b)

n +1
(−1) 2
∑
2n − 5
n =1
n

1.4.7....(3n − 2)
e ) ∑ (−1)
n
2
.n !
n =1
∞

n

d)

3n + 4 

( −1) 


∑
2
n
−
1


n =1
∞

n

n

s innα
∑
2
n
n =1
∞

∞

cos
n
π
f) ∑ 2
n =1 n + n + 1
Toán 4 - Bài tập Chuỗi số

1.4.7....(3n − 2)
7 n (n !) 2
vn =
,
un =
,
n
2n
2 .n !
n
n
2
1
an = 5n.(1 −
) n , bn = (−1) n  n + 4 ÷
n+2
 2n − 1 

Bài 3: Cho:

Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:
∞

a)

∑u
n =1

n

+ vn

∞

c)

∑ u .v
n =1

n

n

b)

e)

∑u
n =1

d)

∞

an
∑
n =1 bn

∞

f)

n

+ bn

∞

un
∑
n =1 vn
∞

∑ u .a
n =1

n

n

Toán 4 - Bài tập Chuỗi số


Bài 4: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa sau:

( x − 2)
∑
2
n=1 (n + 3)

n

∞

a)

c)

∞

∑
n =1

( x − 4)

n
x
n
(
−
1)
b) ∑
n
n
2
+
3
n =1
∞

n

n+2
n

∞

d)

 n −1 
2n
×
(x
−
2)
e ) ∑
f)
÷
n = 2  2n + 1 
∞

∑
n =1

(−1) n −1
n
×
x
2n − 1.2n

( x + 5)3n
∑
2
n
(
n
+
2)
.8
n =1
∞

Toán 4 - Bài tập Chuỗi số


A.HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP PHẦN CHUỖI SỐ
Bài 1: Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:
a)

un ~ vn = 1
n

nên chuỗi phân kỳ.

b)

un ~ vn = 1 2
2n

nên chuỗi hội tụ.

c)
d)

un ~ v n = 1 ⋅ 1 = 13
n n n2
n

nên chuỗi hội tụ.

n

un ~ v n = 3 n =  3  nên chuỗi hội tụ.
4  4
Toán 4 - Bài tập Chuỗi số


e) Dùng tiêu chuẩn D’Alembert

un+1
3n2
3
=
→D =
un
(2n + 1)(2n + 2)
4
n

f ) un ~ vn = 2

n!
∞

nên chuỗi

vn+1
2
mà
=
→ D =0
vn
n+1

∑ vn

n =1

∞

hội tụ. Vậy chuỗi

g) Dùng tiêu chuẩn Cauchy
n

nên chuỗi hội tụ.

n2 − n +1
n



1 
u n = 5 × 1 −
÷
n + 2


nên chuỗi phân kỳ.

∑ un

n =1

hội tụ.

5
→D= >1
e
Toán 4 - Bài tập Chuỗi số


n2 −1
n

h ) n u =  n −1 

÷
n

 n+1 

1
→C= 2
e

nên chuỗi hội tụ.

un+1
7n2 n
7
i)
=
→ D = 2 < 1 nên chuỗi hội tụ.
2n
un
(n + 1)
e
n
u
4.9.14...(5
n
−
1)(5
n
+
4)
4
.n !
j ) n+1
=
.

=
n+1
un
4.9.14...(5n − 1)
4 (n + 1)!

5n + 4
5
=
→ D = > 1 nên chuỗi phân kỳ.
4.(n + 1)
4

Toán 4 - Bài tập Chuỗi số


Bài 2: Xét sự hội tụ của các chuỗi có dấu bất kỳ sau:
∞

2

Đặt vn = n , n vn → 1 nên
n

2

∞

2

⇒ ∑ (−1) . nn
2
n =1
n

∞

b) Xét chuỗi

∑
n =1

n

∞

∑ un

hội tụ

n =1

hội tụ tuyệt đối.

 3n + 4 
un = ∑ 

2
n
−

1

n =1 

3
nên
un → C =
2

2

n
u
=
∑ n ∑ n
n =1
n =1 2

a) Xét chuỗi trị tuyệt đối

2

∞

∞

∞

∑ un
n =1

n

phân kỳ theo Cauchy.
Toán 4 - Bài tập Chuỗi số


⇒

∞

∑ un

phân kỳ.

n =1

c) Dùng tiêu chuẩn Leibnitz
Chuỗi

∞

n
+
1
(
−
1
)
∑

2
2n − 5
N =1
n

1
d ) un ≤ 2 = vn , mà
n
∞

Vậy

∑u
n =1

n

hội tụ.

∞

1
∑
2
n
n =1

hội tụ ⇒

hội tụ.

∞

un
∑
n =1

hội tụ tuyệt đối.
Toán 4 - Bài tập Chuỗi số


e)

1.4.7....(3n − 2) |u n +1 | 3n + 1
3
un =
⇒
=
→D= >1
n
|u n | 2.(n + 1)
2
2 .n!
∞

∞

n =1

n =1

⇒ ∑|u n | phaân kyø theo D'Alembert ⇒ ∑ u n phaân kyø
f) Ta có

cos nπ = (−1)

n

∞

dùng tiêu chuẩn Leibnitz

cos
n
π
∑ 2
n =1 n + n + 1

hội tụ.

Toán 4 - Bài tập Chuỗi số


Bài 3: Ta có:

7 n (n !) 2
7
un =
⇒ Du = 2
2n

n
e

1 n2
5
1.4.7....(3n − 2)
3
n
an = 5 .(1 −
) ⇒ Ca =
vn =
⇒ Dv =
n
n+2
e
2 .n !
2
n
1
n n+ 4 
n
bn = (−1) 
÷ ⇒ Cn = bn → Cb =
2
 2n − 1 

b ) HT + HT=HT
a ) HT + PK=PK
7 3
c ) D = Du .Dv = 2 . > 1 ⇒ PK

e 2

7 2
d ) D = Du : Dv = 2 . < 1 ⇒ HT
e 3

5
e ) C = Ca : Cb = .2 > 1 ⇒ PK
e
7 5
f ) D = Du .Da = Du .Ca = e 2 . e > 1 ⇒ PK
Toán 4 - Bài tập Chuỗi số


Bài 4: Tìm miền hội tụ của các chuỗi lũy thừa sau:
a) Bán kính hội tụ là: R = 1
Miền hội tụ của chuỗi là: 1

≤x≤3

b) Bán kính hội tụ là: R = 3
Miền hội tụ của chuỗi là: -3
c) Bán kính hội tụ là: R = 1
Miền hội tụ của chuỗi là: 3


≤x<5

d) Bán kính hội tụ là: R

=2
Miền hội tụ của chuỗi là: -2 < x ≤ 2
Toán 4 - Bài tập Chuỗi số


e) Đặt

X = ( x − 2), chuỗi đã cho trở thành chuỗi
2

n

 n −1 
n
∑

÷ .X
n = 2  2n + 1 
∞

Bán kính hội tụ là R = 2
Miền hội tụ của chuỗi là: 2 − 2 < x < 2 +
f) Đặt X = ( x + 5)

3

2

, chuỗi đã cho trở thành chuỗi

1
n
×
X
∑
2 n
n
8
n =1
∞

Bán kính hội tụ là R

=

8Miền hội tụ của chuỗi là: -7≤ x ≤
-3

Toán 4 - Bài tập Chuỗi số