ON THI CAO HOC TOAN CC 1 chuong2_daohamviphan_2

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ mơn Tốn Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------

Giải tích hàm nhiều biến

Chương 2: Đạo hàm riêng và vi phân (tt)

1


VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định nghĩa

Hàm f = f ( x, y ) đạt cực đại chặt tại M 0 ( x0 , y0 ), nếu f ( x, y ) < f ( x0 , y0 )
với mọi (x,y) gần ( x0 , y0 )
tức là ∃B ( M 0 , r ) : ∀M ∈ B( M 0 , r ) ∩ D f , M ≠ M 0 : f ( M ) < f ( M 0 )
Định nghĩa
Hàm f đạt cực đại không chặt tại M 0 ( x0 , y0 ) , nếu f ( x, y ) ≤ f ( x0 , y0 )
với mọi (x,y) gần ( x0 , y0 )
tức là

∃B ( M 0 , r ) : ∀M ∈ B( M 0 , r ) ∩ D f , f ( M ) ≤ f ( M 0 )
vaø ∀ε > 0, ∃M1 ≠ M 0 , M1 ∈ B( M 0 , ε ) : f ( M 1 ) = f ( M 0 )

tương tự cho cực tiểu chặt và cực tiểu không chặt.

2

VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định lý điều kiện cần của cực trị
Hàm f đạt cực trị tại M 0 ( x0 , y0 ) thì tại đó các đạo hàm riêng cấp 1 bằng 0
hoặc không tồn tại

Điểm dừng: các đạo hàm riêng cấp 1 bằng 0.
Điểm tới hạn: các đạo hàm riêng cấp 1 bằng 0 hoặc không tồn tại.
Điểm cực trị: hàm đạt cực đại hoặc cực tiểu.
Định lý điều kiện cần của cực trị
Nếu M 0 ( x0 , y0 ) là điểm cực trị thì nó là điểm tới hạn.
3


VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định lý điều kiện đủ của cực trị
Cho M 0 ( x0 , y0 ) là điểm dừng của hàm f = f(x,y) và f có các đạo hàm riêng
liên tục đến cấp 2 trong lân cận của điểm M0.
1) Nếu
2) Nếu
3) Nếu

d 2 f ( M 0 ) xác định dương , thì M0 là điểm cực tiểu.
d 2 f (M 0 )

xác định âm , thì

d 2 f (M 0 )

đởi dấu , thì M0 khơng phải là điểm cực trị.

M0

là điểm cực đại.

Chú ý: Nếu d 2 f ( M 0 )
bán xác định dấu , thì chưa kết luận được. Ta
phải tìm vi phân cấp cao hơn của f hoặc dùng định nghĩa .
Chú ý: Ta thường dùng các ký hiệu sau:

A = f xx'' ( x, y ), B = f xy'' ( x, y ), C = f yy'' ( x, y )
⇒ d 2 f ( x, y ) = Adx 2 + 2 Bdxdy + Cdy 2

4


VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Sơ đồ khảo sát cực trị của hàm hai biến f = f(x,y)
1) Tìm điểm dừng

 f x' ( x, y ) = 0
 '
⇔ P1 ( x, y ), P2 ( x, y ),L
 f y ( x, y ) = 0

''
''
''
f
,
f
,
f
2) Tính tất cả các đạo hàm riêng cấp hai xx xy yy .

3) Khảo sát từng điểm dừng.
P1 ( x1 , y1 ) : A = f xx'' ( P1 ), B = f xy'' ( P1 ), C = f yy'' ( P1 ), ∆ = AC − B 2
∆ > 0
•
⇒ P1 là điểm cực tiểu
A > 0

∆ > 0
•
⇒ P1 là điểm cực đại
A < 0

•∆ < 0 ⇒ P1 khơng là điểm cực trị

•∆ = 0 : thì chưa kết luận được
phải khảo sát bằng định nghĩa
5

VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ.

Khảo sát cực trị tự do của hàm

1) Tìm điểm dừng:

f ( x, y ) = x 2 + xy + y 2 − 2 x − y

 f x' = 2 x + y − 2 = 0
 '
 f y = x + 2 y − 1 = 0

⇔ P1 (1,0),

2) Tìm đạo hàm riêng cấp 2.

f xx'' = 2, f xy'' = 1, f yy'' = 2

3) Khảo sát từng điểm dừng.

P1 (1,0) : A = f xx'' ( P1 ) = 2; B = f xy'' ( P1 ) = 1

C = f yy'' ( P1 ) = 2; ∆ = AC − B 2 = 3 > 0
∆ > 0
Kết luận cho điểm dừng P1: 
⇒ P 1 là điểm cực tiểu, f ct = f ( P1 ) = −1
A > 0

6


VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ.

4
4
2
2 2
2
f
(
x
,
y
)
=
x
+
y
−
x
−
2
xy
−
y

,
x
+
y
>0
Khảo sát cực trị tự do của hàm

1) Tìm điểm dừng:

 f x' = 4 x3 − 2 x − 2 y = 0
 '
3
f
=
4
y
− 2x − 2 y = 0
 y

⇒ x3 = y 3 ⇔ x = y
⇒ P1 (1,1), P2 (−1, −1)

''
2
''
''
2
f
=
12

x
−
2,
f
=
−
2,
f
=
12
y
−2
2) Tìm đạo hàm riêng cấp 2. xx
xy
yy

3) Khảo sát từng điểm dừng.

P1,2 (±1, ±1) : A = f xx'' ( P1,2 ) = 10; B = −2
C = f yy'' ( P1,2 ) = 10; ∆ = AC − B 2 = 102 − 4 > 0

∆ > 0
Kết luận : điểm dừng P1,2: 
⇒ P 1,2là điểm cực tiểu, f ct = f ( P1,2 ) = −2.
A > 0
7


Bài tập
------------------------------------------------------------------------------------------

8