ON THI CAO HOC TOAN CC 1 Chuong_2_T4

Đại học Quốc gia TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
Khoa: Khoa Học Ứng Dụng
Bộ môn: Toán Ứng Dụng

Chương 2: Chuỗi Số Dương

1


CHUỖI SỐ KHÔNG ÂM

Chương II:
II

1.Định nghĩa: Chuỗi số không âm là chuỗi

∞

∑ un với

n =1

2. Các tiêu chuẩn xét sự hội tụ của chuỗi số dương

un ≥ 0, ∀n

a) Tiêu chuẩn tích phân
Cho hàm số

f (x) liên tục, không âm và đơn điệu giảm trên [1, ∞)

∞

Khi đó

Chuỗi

+∞

f (n) hội tụ ⇔ f (x) dx
∑
∫
n =1

hội tụ

1

Chương 2: Chuỗi Số Dương

2


a) Tiêu chuẩn tích phân: (tt)
VD1: Xét chuỗi

∞

1
∑ α
n =1 n

∗ Nếu

α<0

thì

un → ∞ nên chuỗi phân kỳ.

∗ Nếu

α=0

thì

un =1 nên chuỗi phân kỳ.

∗ Nếu

α >0

Chương 2: Chuỗi Số Dương

khi đó xét hàm

f ( x) = 1α
x
3

VD 1(tt)
Hàm này liên tục, không âm và đơn điệu giảm trên

Mà

+∞

∫
1

1 dx
α
x







hội tụ nếu

Vậy chuỗi Riemman

Chương 2: Chuỗi Số Dương

α >1

phân kỳ nếu
∞

1
∑
α
n =1 n

[1, ∞ )

α ≤1






hội tụ nếu

α >1

phân kỳ nếu

α ≤1
4


∞

VD2: Xét chuỗi

∑

n=2

Xét hàm f (x) =

1
n ln n

1
x . ln x

Hàm này liên tục, không âm và đơn điệu giảm
trên +∞
+∞
+∞
d
(ln
x
)
dx =
Mà
= ln( ln x) | = + ∞

∫2

x ln x

Vậy tích phân

∫2

+∞

∫2

ln x

dx
x ln x

2

phân kỳ.

Theo tiêu chuẩn tích phân
Chương 2: Chuỗi Số Dương

[2,+∞)

∞

∑
n =2

1
n ln n

phân kỳ.
5

Giới hạn & liên tục – Vô cùng bé và vô cùng lớn

6



γ n +b



α
5) lim 1 +
÷
n →∞
βn + a 


=e

α
.γ
β


b) Tiêu chuẩn so sánh 1:
Cho hai chuỗi số không âm
thoả điều kiện ∃N;

∞

∞

n =1

n =1

∑ un và ∑ vn

0≤ un ≤ vn, ∀n ≥ N

Khi đó:
∞

Nếu chuỗi

∞

un
∑ vn hội tụ thì chuỗi ∑
n =1
n =1

Hoặc nếu chuỗi

∞

∑u
n =1

Chương 2: Chuỗi Số Dương

hội tụ
∞

n

phân kỳ thì chuỗi

∑v
n =1

n

phân kỳ.
9


b) Tiêu chuẩn so sánh 1: (tt)
∞

VD1: Cho chuỗi số

2
∑ 5n + n
n =1
n

n

Ta có:

n

2
2

0 < n ≤  
5 + n  5
∞

Mà chuỗi

n

 2 
∑
n =1  5 

2
hội tụ (đây là chuỗi CSN | q | = < 1)
5
∞

Nên theo tiêu chuẩn so sánh 1 chuỗi
Chương 2: Chuỗi Số Dương

n

2
∑

n
n =1 5 + n

hội tụ
10


b) Tiêu chuẩn so sánh 1: (tt)
∞

VD2: Cho chuỗi số

Ta có:

ln n
∑
n =2 n

ln
n
un =
> 1 > 0 ; ∀n ≥ 3
n
n

Mà chuỗi

∞

1

1
∑
2
n
n =2

phân kỳ (

α =1/2<1

Nên theo tiêu chuẩn so sánh 1 chuỗi
Chương 2: Chuỗi Số Dương

∞

ln n
∑
n =2 n

)

phân kỳ.
11


c) Tiêu chuẩn so sánh 2:
Cho hai chuỗi số không âm

∞

∞

un , ∑ vn
∑
n =1
n =1

u
Giả sử tồn tại lim n = k
n→∞ vn
∞
∞
• k = 0 : nếu chuỗi ∑ vn hội tụ thì chuỗi ∑ un
n =1
∞

• k = +∝ : nếu chuỗi

n =1

hội tụ.

∞

un hội tụ thì chuỗi ∑ vn hội tụ.
∑
n =1
n =1

• 0 < k < +∝ : hai chuỗi trên cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Đặc biệt khi k=1 ⇔ un : vn
2 chuỗi trên cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
Chương 2: Chuỗi Số Dương

12


c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt)
∞

∑

VD1: Xét chuỗi số

n =1

3n + n + 1
Ta có:
4
n +1
2

Mà chuỗi

Nên
chuỗi
Chương 2: Chuỗi Số Dương

3
với n → ∞

~
2
n

∞

1
∑
2
n =1 n
∞

∑
n =1

3n + n + 1
4
n +1
2

hội tụ. (α = 2 > 1)

3n + n + 1
4
n +1
2

hội tụ (ss2).
13

c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt)
VD2: Xét chuỗi số

Ta có
với

∑
n =1

n + 1− n −1
3
n4

n+ 1 − n− 1

un =

n

n →∞

Mà chuỗi

∞

∞

1
5

∑
4
n =1 n
∞

∑

Nên
chuỗi
Chương 2: Chuỗi Số Dương
n =1

3

4

=

2
3

n ( n + 1 + n − 1)
4

~

1
5

n4

5
hội tụ. (α = > 1)
4

n + 1− n −1
3
n4

hội tụ (ss 2 )
14


c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt)
∞

VD3: Xét chuỗi số
Ta có

Mà chuỗi

∑
n
n
n
n =1
1

1
un =

:
n
n n n
∞

1
∑
n
n =1
∞

Nên
chuỗi
Chương
2: Chuỗi Số Dương

1

phân kỳ (α = 1)

1

∑
nn
n
n =1

cũng phân kỳ(ss 2)
15

c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt)
∞

∑

VD4: Xét chuỗi số

n =2

Ta
có

1

n +1
×ln(
)
n −1
n

1
2
1
2
2
un =
×ln(1 +
)~
×

: 3
n −1
n
n n −1 n 2
với n → ∞
∞

Mà chuỗi

2
3
(α = > 1) hội
3
∑
2
2
n=2 n
tụ
∞

Nên
chuỗi
Chương 2: Chuỗi Số Dương

∑

n =2

1

n +1
×ln(
) cũng hội tụ (ss 2).
n −1
n
16


c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt)
∞

∑

VD5: Xét chuỗi số

n =1

Ta
có

2

1
4
∑
3
n =1 n
hội
tụ
∞

Nên
chuỗi

1
n .arctg
(n + 2) 2
2

1
u n = n .arctg
~
2
(n + 2)
3

∞

Mà
chuỗi

3

∑
n =1

Chương 2: Chuỗi Số Dương

3

3

1 1
n × 2 = 4 với
n n3
2

n →∞

4
(α = > 1)
3

1
n .arctg
cũng hội tụ (ss 2).
2
(n + 2)
2

17


∞

d) Tiêu chuẩn D’Alembert: Cho chuỗi số không
âm
un+1
Giả sử tồn tại giới hạn lim
=D

∞

∗ Nếu D<1 thì

n →∞

un
∑
n =1

un

un
∑
n =1

hội tụ.

un
∑
n =1

phân kỳ.

∞

∗ Nếu

D>1 thì

∗ Nếu D=1 thì chưa có kết luận.

Chương 2: Chuỗi Số Dương

18


d) Tiêu chuẩn D’Alembert: (tt)

Chú ý: Ta có

un = f (n) ⇒ un +1 = f (n + 1)
n +1

un = a ⇒ un +1 = a
n
n +1
un = n ⇒ un +1 = (n + 1)
n

un = n ! ⇒ un +1 = (n + 1)! = n !.(n + 1)
un = (2n)! ⇒ un +1 = (2n + 2)! = (2n)!.(2n + 1)(2n + 2)

un = (2n + 1)!! = 1.3.5....(2n + 1) ⇒
un +1 = (2n + 3)!! = (2n + 3).un

un = 2.5.8...(3n − 1) ⇒ un +1 = 2.5.8...(3n − 1).(3n + 2) = un .(3n + 2)
Chương 2: Chuỗi Số Dương

19

d) Tiêu chuẩn D’Alembert: (tt)
Chú ý: Tất cả các bài có chứa tích liên tiếp đều dùng TC
D’Alembert
∞

n

3 . n!
∑
n
VD1: Xét chuỗi số
n =1 n
n
n +1
Ta có
3 . n!
3 . n !.( n + 1)
un = n ⇒ un +1 =
n +1
n
(n + 1)
un +1
3.n n
3
3
=
=
→ D = >1

n
n
u n (n + 1)
e
 1
1 + ÷
 n

∞

n

3
.
n
!
Vậy theo tiêu chuẩn D’Alembert chuỗi ∑ n phân kỳ.
n =1 n
Chương 2: Chuỗi Số Dương

20


d) Tiêu chuẩn D’Alembert: (tt)
∞

n

2

2
+
5
n
VD2: Xét chuỗi số ∑
n!+ ln n
n =1
n
2 + 5n
2
v
=
Ta có
un =
~
n
n!
n!+ ln n
v
2
n
+
1
Mà
=
→ D = 0 <1
vn
n +1
∞
Vậy theo tiêu chuẩn D’Alembert chuỗi ∑ vn

n

2

n =1

∞

chuỗi
Chương 2: Chuỗi Số Dương

un
∑
n =1

hội tụ nên

cũng hội tụ (ss 2).
21


∞

e) Tiêu chuẩn Cauchy:
Giả sử tồn tại

Cho chuỗi số không âm
n→∞

c < 1 thì

∗Nếu

lim n un = c

un
∑
n =1

∞

un
∑
n =1

hội tụ.

un
∑
n =1

phân kỳ.

∞

∗Nếu

c > 1 thì

∗Nếu

c = 1 thì chưa có kết luận.

Tuy nhiên nếu ta chứng minh được Cn =

n

un ≥ 1, ∀n ≥ N

thì ta kết luận chuỗi phân kỳ.
Chương 2: Chuỗi Số Dương

22


e) Tiêu chuẩn Cauchy: (tt)
VD1: Xét chuỗi số

∞

n

3
∑
n
n =2 (ln n)
Ta có:

n

3
un =
→ C =0 <1
ln n
∞

Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy

Chương 2: Chuỗi Số Dương

n

3
∑
n
n =2 (ln n)

hội tụ.

23


e) Tiêu chuẩn Cauchy: (tt)
VD2: Xét chuỗi số

n2

n

n .2

∑
n2
n =1 ( n + 1)
∞

n

Ta có:

n

n .2
2
2
un =
=
→ C = <1
n
n
(n + 1)  1 
e
1 + ÷
 n
∞

Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy

Chương 2: Chuỗi Số Dương

∑u

n =1

n

hội tụ.

24


e) Tiêu chuẩn Cauchy: (tt)
VD3: Xét chuỗi số

 2n + 3 
 2n + 1 
∑

n =1 
∞

n

Ta có:
n

n

 2n + 3  
2 
un = 
÷ = 1 +

÷ → e≠0
 2n + 1   2n + 1 
∞

Vậy theo Điều kiện cần

∑u
n =1

Chương 2: Chuỗi Số Dương

n

phân kỳ.

25