ON THI CAO HOC TOAN CC 1 Chuong_4_T4

Đại học Quốc gia TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
Khoa: Khoa Học Ứng Dụng
Bộ môn: Toán Ứng Dụng

Chương 4: Chuỗi Luỹ Thừa

1


Chương 4:

CHUỖI LŨY THỪA

1.Định nghĩa
Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng
Bằng phép biến đổi

∞

∑a

X = ( x − x0 )

n=0

∞

ta đưa chuỗi trên về dạng

∑a

n= 0

n

n

X

( x − x0 )

n

n

Do đó các kết quả về chuỗi lũy thừa chỉ cần xét cho
∞

trường hợp chuỗi có dạng
Rõ ràng chuỗi
Chương 4: Chuỗi Luỹ Thừa

∞

n
a
x
∑ n
n= 0

n

a
x
∑ n hội tụ tại
n=0

x=0
2


2. Định nghĩa bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa.
∗ Số R

> 0 sao cho chuỗi lũy thừa

được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi.

∗ Khoảng (-R,

R)

chuỗi lũy thừa
Chương 4: Chuỗi Luỹ Thừa

an x
∑
n =1

n

x : x < R và phân kỳ với mọi

hội tụ với mọi

x: x >R

∞

∞

được gọi là khoảng hội tụ của

an x
∑
n =1

n
3


2. Định nghĩa bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (tt).
∗Nếu chuỗi lũy thừa

∞

an x
∑
n =1

n

hội tụ ∀x ∈ R ta cho R = +∝ .
∗Nếu chuỗi lũy thừa
phân kỳ ∀x

Chương 4: Chuỗi Luỹ Thừa

≠0

∞

an x
∑
n =1

ta cho R

n

= 0.

4


3. Cách tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa.
a) Định lý Abel: Giả sử

lim

n →∞

an +1
an

=ρ
∞

Khi đó bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa

là:

Chương 4: Chuỗi Luỹ Thừa

an x
∑
n =1

n

 0 , ρ =+∞

1
R=
, 0< ρ <+ ∞
ρ
 + ∞ , ρ = 0
5


3. Cách tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (tt).
b. Định lý Cauchy:

Giả sử

lim n an = ρ
n →∞

khi đó bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa

là:

Chương 4: Chuỗi Luỹ Thừa

 0 , ρ =+∞

1
R=
, 0< ρ <+ ∞
ρ
 + ∞ , ρ = 0

∞

an x
∑
n =1

n

6

4.Cách tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa .
∗Bước 1: Ta dựa vào hai định lý trên để tìm bán
kính hội tụ R (chỉ được dùng nếu lũy
thừa tăng từng đơn vị một khi n đủ lớn).
∗Bước 2: Khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa này là:

-R < x < R
∗Bước 3: Xét sự hội tụ của chuỗi tại các đầu mút
của khoảng hội tụ.
Từ đó ta sẽ có được miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
Chú ý 1: Tại các đầu mút không dùng được TC
Cauchy và D’Alembert
Chương 4: Chuỗi Luỹ Thừa

7


Chú ý 2: Nên xét đầu mút ứng với chuỗi không âm (hoặc
không dương ) trước :
-Nếu đầu mút ứng với chuỗi không âm hội tụ thì chuỗi số
ứng với đầu mút kia thường hội tụ tuyệt đối .
-Nếu đầu mút ứng với chuỗi không âm phân kỳ thì chuỗi
số ứng với đầu mút kia thường hội tụ theo Leibnitz hoặc
phân kỳ theo điều kiện cần.
- Nếu có đầu mút ứng với chuỗi không dương thì ta bỏ
dấu – ra ngoài dấu tổng . Ví dụ:
∞

1 
1

= −∑
∑
−
2 ÷
2
(n + 1) 
n =1 
n =1 ( n + 1)
∞

Chương 4: Chuỗi Luỹ Thừa

8


5. Một số ví dụ:

∞

VD1 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

n

x
∑
n =1 n

an +1
1
n

=
→ ρ =1
Ta có: an = ⇒
n
an
n +1
Vậy

R=1

∗ Khoảng hội tụ của chuỗi là

-1 < x <1

∗Xét sự hội tụ của chuỗi tại 2 đầu mút
Tại

x = 1 ta có chuỗi

Chương 4: Chuỗi Luỹ Thừa

x=±1

∞

1
∑
n
n =1

phân kỳ
9


4. Một số ví dụ - VD 1(tt):
Tại

x = -1 ta có chuỗi

∞

n1
(
−
1
)
∑
n
n =1

hội tụ theo

1
tiêu chuẩn Leibnitz vì là dãy giảm và tiến tới 0 .
n
Vậy miền hội tụ của chuỗi là

-1 ≤ x <1

( x + 2) n

∑
n
(2
n
+
1).3
n =1
∞

VD2: Tìm miền hội tụ của chuỗi
Đặt X

= (x+2)

Chương 4: Chuỗi Luỹ Thừa

∞

Xn
chuỗi ban đầu trở thành ∑
n
(2
n
+
1).3
n =1
10


4. Một số ví dụ - VD2(tt):

1
⇒
Ta có: an =
n
(2n + 1).3
Vậy

n

1
1
an = n
→ρ=
3
3 2n + 1

R=3

∗Khoảng hội tụ của chuỗi là

- 3 < X < 3 ⇔ - 3 < ( x + 2) < 3

⇔ - 5 < x <1
∗Xét sự hội tụ của chuỗi tại 2 đầu mút x

= -5 và

x = 1:
Chương 4: Chuỗi Luỹ Thừa

11


4. Một số ví dụ - VD2(tt):
∞

Tại

x=

1
1 ta có chuỗi ∑
n =1 2n + 1

1
1
:
phân kỳ vì
2n + 1 2n
Tại

x=

∞

(α = 1)

1
-5 ta có chuỗi ∑ (−1) 2n + 1 hội tụ theo

n =1
n

1
tiêu chuẩn Leibnitz vì
là dãy giảm và tiến tới 0 .
2n + 1
Vậy miền hội tụ của chuỗi là:
Chương 4: Chuỗi Luỹ Thừa

-5 ≤ x <1
12


4. Một số ví dụ (tt):

∞

VD3: Tìm miền hội tụ của chuỗi
Đặt

X=x

2

∑
n =1

x
n

n + 1.9
∞

, chuỗi ban đầu trở thành

1
Ta có: an =
n
n + 1.9
n

Vậy

2n

an

∑a X
n =1

n

n

1
1
= 2n
→
9
9 n +1

R=9

Chương 4: Chuỗi Luỹ Thừa

13


4. Một số ví dụ - VD3(tt):
∗Khoảng hội tụ của chuỗi là

0≤X=x

2

<9

∗Xét sự hội tụ của chuỗi tại đầu mút
Tại X

= 9 ta có chuỗi
1
1
: 1/2
n +1 n

X = 9:

∞

1
phân kỳ vì
∑
n +1
n =1
1
(α = < 1)
2

Vậy miền hội tụ của chuỗi là:

X=x
Chương 4: Chuỗi Luỹ Thừa

2

< 9 ⇔ -3 < x < 3
14