Tài liệu bồi dưỡng hình học lớp 8

II. Hình bình hành :
1. Các bài toán về vị trí tơng đối :
Bài toán 1a :
Cho tam giác ABC . O là một điểm thuộc miền trong của tam giác . Gọi
D,E,F lần lợt là trung điểm các cạnh AB,BC,CA và L,M,N lần lợc là trung điểm
của OA,OB,OC .
Chứng minh EL, FM, DN đồng quy .
Giải :

A

Dựa vào tính chất của đờng trung
bình chứng minh các tứ giác LFEM ,
NEDL là hình bình hành .
đpcm

L

D

F

O
M

B

N

C

E
2. Các bài toán chứng minh sự bằng nhau :
Bài toán 2a:
Cho tứ giác ABCD. E,F lần lợt là trung điểm của AB, CD. M,N,P,Q lần lợt
là trung điểm của AF, CE, BF, DE. Chứng minh rằng MN = PQ .
HD :

C
B

N

E

M

P

F
Q
D

A

Chứng minh tứ giác MNPQ có hai đờng chéo giao nhau tại trung điểm của
mỗi đờng ( Chính là trung điểm của EF ).
(gi I l trung im ca . Thỡ I cng l trung im ca NQ. Chng minh
PIM thng hang)

Bài toán 2b :

1


Cho tứ giác ABCD .Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC ;
G là đỉnh thứ t của hình bình hành CADG ; H là đỉnh thứ t của hình bình hành
CABH .
a. Chứng minh BD // GH .
G
b. Chứng minh HD = 2EF .
C

I

D
E

J

H

F

A
B
HD :
a. BDGH là hình bình hành do BH và DG cùng song song và bằng AC =>đpcm .
b. Gọi I,J lần lợt là trung điểm của CD và CH . Chứng minh EIJF là hình bình
hành => đpcm.
3. Các bài tập tính toán :

Bài toán 3a :
Cho hình bình hành ABCD có ADC = 75 0 và O là giao đIểm hai đờng
chéo . Từ D hạ DE và DF lần lợt vuông góc với AB và BC . (E thuộc AB, F thuộc
BC ) . Tính góc EOF .
E

A

B
O
C

D
F

Có O là trung điểm của DB .
Từ đó có đợc OE =OD=OB=OF (Quan hệ trung tuyến ,cạnh huyền ).
EOD = 2EBO ( Vì EOB cân tại O ).
DOF = 2FBO ( Vì FOB cân tại O )
Cộng hai đẳng thức trên để đợc : EOF = 2( EBO + OBF ) = EBF .
Do EBF = ADC nên EOF = 2ADC = 2.750 = 1500 .

2


Bài toán 3b :
Cho tam giác đều ABC. Một đờng thẳng song song với BC cắt AB,AC lần
lợt tại D và E . Gọi G là trọng tâm của tam giác ADE, I là trung điểm của CD.
Tính số đo các góc của tam giác GIB .
A

G

D

K
E

I
B

C

HD : Qua C kẻ đờng thẳng song song với AB , đờng này cắt DE tại K.
- Tứ giác DBCK là hình bình hành nên BK cắt DC tại trung điểm I của DC .
- Chứng minh hai tam giác DBG và EKG bằng nhau .
- Từ đó có đợc GIB =900 và BGI = BGK/2 = DGE/2
- Có DGE = 1200 ( Do ADE đều ) nên BGI = 600 và GBI = 300 .
4. Các bài toán quỹ tích, dựng hình
Bài toán 4a :
Cho tam giác cân ABC (AB=AC). Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC
lấy điểm E sao cho DA=CE. Tìm quỹ tích trung điểm I của DE khi D di động trên
cạnh AB .
A
E
I
D
B

C

Bài toán 4b :
Cho góc nhọn xAy và O là điểm thuộc miền trong của góc . Dựng trên Ax
điểm M và trên Ay điểm N để :
a. O là trung điểm của MN .
b. OM =2ON.
x
Giải :
M
O
O

A
N

y
3


a. C1 :( Dựa vào kiến thức về hình bình hành )
Phân tích :
Gọi O là điểm đối xứng của A qua O . Khi O là trung điểm của MN thì tứ
giác AMON là hình bình hành .
Cách dựng :
- Dựng O đối xứng với A qua O.
- Dựng đờng thẳng qua O song song với Ay cắt Ax tại M
- Dựng đờng thẳng qua O song song với Ax cắt Ay tại N
C2 :( Dựa vào kiến thức về đờng trung bình )
Phân tích :
Khi O là trung điểm của MN thì đờng thẳng qua O song song với Ay sẽ cắt
Ax tại trung điểm của AN .

Cách dựng :
- Dựng đờng thẳng qua O song song với Ay cắt Ax tại O 1 . Trên tia Ax
dựng M sao cho O1 là trung điểm của AM.
- Tơng tự trong cách dựng N .
b.
M

(x)

D
O
A
N

N1 (y)

HD : Xem O là trọng tâm của tam giác => xác định đợc D là chân đờng trung
tuyến xuất phát từ A => Quy về bài toán 3a để giải .
5. Các bài toán cực trị :
Bài toán 5a :
Cho tam giác ABC có AM là đờng trung tuyến . Chứng minh rằng :
AB + AC 2AM .
Giải : Lấy A1 là điểm đối xứng của A qua M ta có : A
ABA1C là hình bình hành .
BA1 = AC và AA1 = 2AM
AB +AC = AB + BA1 .
B
C
Lại có : AB + BA1 > AA1
M

AB + AC > AA1 =2AM => đpcm
A1
4


Bài toán 5b :
Chứng minh rằng, trong một tam giác trung tuyến ứng với cạnh nhỏ hơn thì
lớn hơn .
A
M

N

B

I

H

C

D

Kẻ ND //MC (DBC) ; NI //AB (IBC)
Dễ dàng chứng minh đợc : MC = ND.
MN = BI =CD .
Giả sử AB <AC => NI <NC => HI HI + IB < HC + CD => HB < HD
NB < ND => NB < MC .
Bài toán 5c :

Một con kênh có hai bờ song song. P,Q là hai điểm cố định nằm ở hai phía
con kênh. Xác định cầu MN vuông góc với kênh để đoạn đờng đi từ P đến Q nhỏ
nhất .
Q
N

P

M

P
HD : Dựng hình bình hành NMPP ta đợc :
PM + MN + NQ = PP + PN + NQ
Do PP = const . Để PM + MN + NQ nhỏ nhất thì PN +NQ nhỏ nhất .
P,N,Q thẳng hàng .
Dễ dàng suy ra cách dựng .

5


II . Hình chữ nhật, hình thoi , hình vuông :
1. Bài tập về vị trí tơng đối của điểm, đờng thẳng .
Bài toán 1a :
Cho hình chữ nhật ABCD . Kẻ BH vuông góc với AC. Gọi M là trung điểm
của AH, K là trung điểm của CD. Chứng minh BM vuông góc với MK .
B
C
I
K

H
A

M

D

HD : - Kẻ MI // AB ( I thuộc BH )
- Chứng minh ICKM là hình bình hành => IC//MK
- Chứng minh I là trực tâm của tam giác CBM => CI vuông góc với BM
MK vuông góc với BM.
Bài toán 1b :
Cho tam giác ABC có AD là đờng cao . Về phía ngoài của tam giác dựng
các hình vuông ABEF và ACGH . Chứng minh rằng AD,BG,CE đồng quy .
I
H

F
A

G

E
B
D
C
HD: Dựng hình bình hành FAHI .Chứng minh hai tam giác ABC và HIA bằng
nhau để đợc :
IAH = BCA .
IA = BC

Từ IAH = BCA chứng minh IAD thẳng hàng .Hay ID là đờng cao của tam
giác IBC .

6


Từ IA = BC cùng với IAH = BCA chứng minh hai tam giác IAC và BCG
bằng nhau . Đợc CBG = AIC cùng với IA vuông góc với BC đợc BG vuông góc
với IC
Tơng tự chứng minh đợc CE vuông góc với IB .
đpcm ( Tính chất ba đờng cao trong tam giác )
2. Bài tập về chứng minh bằng nhau .
Bài toán 2a :
Cho hình vuông ABCD . Gọi M,N lần lợt là trung điểm của AB,AD . BN,
CM cắt nhau tại P. Chứng minh rằng DP =AB .
M
A
B
P

N

I

D

C
HD : Gọi I là giao điểm của hai đờng thẳng BN và CD . Dễ dàng chứng minh đợc IC = 2AB.
Hai tam giác MCB và NBA bằng nhau đồng thời AB vuông góc với BC nên
CM vuông góc với NB .

Tam giác vuông PIC có PD là trung tuyến nên PD = IC/2 = AB ( đpcm )
Bài toán 2b:
Cho hình vuông ABCD . Về phía trong của hình vuông dựng tam giác cân
FAB (FA=FB) sao cho FAB = 150 . Chứng minh tam giác FDC là tam giác đều .
D

HD :
C1 :

C

I
Dựng về phía ngoài của tam giác
F
tam giác đều ABF. Các tam giác FAF và
FBF bằng nhau từ đó chứng minh đợc
J
tam giác FAF cân tại F (Hai góc đáy
A
B
bằng 750 ) => FF = FA = AB.
Tứ giác ADFF có DA song song
và bằng FF nên nó là hình bình hành .
DF = FA = AB
Tơng tự cũng có CF = FB = AB
F
Tam giác FDC đều
C2 : Dựng I phía trong tam giác sao cho IBC =ICB =150 . CI cắt FB tại J.
Có : BI = BF (Do cách dựng ) và FBI = 90 0 -(150 +150 ) = 600 . nên tam giác
FBI đều .

IJB = 150 + 150 = 300 nên CJ là trung trực của FB => CF = CB.
Tơng tự ta cũng có DF = DA =>đpcm .

7


3. Bài tập tính toán .
Bài toán 3a :
Cho hình vuông ABCD . E là điểm bất kỳ trên AB. Phân giác của góc CDE
cắt BC tại K . Chứng minh rằng CK + EA = DE
Giải :
B

K

C

E

E
D

A

HD : Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = AE .
Chứng minh đợc hai tam giác ADE và CDE bằng nhau để đợc :
- DE = DE
(1)
- EDA = EDC
(2)

Có DK là phân giác góc EDC và (2) . Chứng minh đợc KDE = KDA
Lại có : KDA = EKD
Tam giác EDK cân tại E
ED = EK
DE = EK = AE + KC đpcm )
Bài toán 3b :
Cho hình vuông ABCD . Lấy các điểm E,F thứ tự thuộc các cạnh AD,AB
sao cho AE=AF . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BE . Tính góc CHF
F
B
A

E
D

O

H
K

C

HD : Gọi K là giao điểm của AH với DC . O là giao điểm của BK và FC .
- Chứng minh đợc FBCK là hình chữ nhật .
- Tam giác vuông BHK có HO là trung tuyến nên HO = BK/2 = FC/2
- Tam giác FHC có trung tuyến HO bằng nửa FC nên nó vuông tại H. Hay góc
FHC = 900 .
8

4. Bài tập về quỹ tích , dựng hình .
Bài tập 4a :
Dựng hình vuông ABCD biết tâm O của hình vuông, điểm M thuộc cạnh
AD và điểm N thuộc cạnh BC .

A
M

E
-

B
N

O

N

M

D F
-

C

HD :
Phân tích : Giả sử hình đã dựng đợc ta có :
- Điểm đối xứng của M qua O thuộc cạnh BC (M) .
- Điểm đối xứng của N qua O thuộc cạnh AD (N).
- Đờng thẳng qua O vuông góc với MM cắt AB ở E và DC ở F. Dễ dàng

chứng minh đợc OE =OF =OM
Cách dựng :
- Dựng M đối xứng với M qua O .
- Dựng N đối xứng với N qua O .
- Dựng đờng thẳng d vuông góc với MM . Trên d lấy E,F sao cho
OE=OF= OM .
- Dựng các đờng thẳng MN, NM
- Qua E dựng đờng thẳng vuông góc với MN cắt MN tại A và NM tại B
- Qua F dựng đờng thẳng vuông góc với MN cắt MN tại D, và NM tại C
- ABCD là hình vuông cần dựng .
.......
TIP : Thay đổi việc cho các điểm M,N ta có nhiều bài tập xung quanh bài tập
này .
Bài toán 4b :
Cho đoạn thẳng AB và một điểm C trên đoạn thẳng đó .Trên cùng một nửa
mặt phẳng bờ AB dựng các hình vuông ACDE và CBGH . Các hình vuông này có
tâm lần lợt là O1,O2 . Tìm quỹ tích trung điểm I của O1O2 khi C chạy trên AB .
E
D
HD :
Hạ O1M,IJ,O2N vuông
G
góc với AB
I H
9

C


O1

O1MNO2 là hình thang có IJ là đờng
O2
trung bình nên IJ = (O 1M +O2N)/2
= (AC + CB)/ 4 =const
A
M
J
NB
I di chuyển trên phần đờng
thẳng song song với AB cách AB một đoạn bằng AB/4.
Bài toán cực trị hình học .
Bài toán 5a :
Cho hình vuông ABCD Tứ giác MNPQ nội tiếp hình vuông (có bốn đỉnh
nằm trên bốn cạnh của hình vuông). Tìm điều kiện của tứ giác MNPQ để nó có
chu vi nhỏ nhất .
Giải :
B
N
C
Gọi E,F,G lần lợt là trung điểm của
MN; NQ; PQ ta có :
MN = 2BE.
E
F
NP = 2GF.
G P
QM = 2EF
M
QP = 2GD
A

Q
D
MN + NP +PQ+QM = 2(BE +EF+FG+GD) 2BD
Dấu = xảy ra lúc E,F,G BD .
E BD => MN//AC => MBN vuông cân tại B
G BD => PQ//AC => PDQ vuông cân tại D
Từ (1) và F BD => NM =PQ
Tứ giác MNPQ thoả ba điều kiện trên thì có chu vi nhỏ nhất .
Bài toán 5b :
Cho tam giác vuông tại A. M là điểm bất kỳ thuộc BC . D,E lần lợt là hình
chiếu vuông góc của M lên AB, AC . Xác định M để DE nhỏ nhất, lớn nhất .
A
Giải :
Tứ giác ADME là hình chữ nhật .
DE = AM .
D
E

B
a. Để DE nhỏ nhất thì AM vuông góc với BC .
b. Để DE lớn nhất
Nếu AB >AC thì M B
Nếu AC >AB thì M C
Nếu AB =AC thì M B hoặc M C .
Bài toán 5c :

10

M

C


(1)

Cho hình vuông ABCD ; M là điểm bất kỳ trên cạnh AB . Đờng vuông góc
với CM tại C cắt đờng thẳng AB tại K . Tìm ví trí của M để đoạn MK có giá trị
nhỏ nhất .
Giải : Gọi I là trung điểm của MK
A
M
B I
K
MK = 2CI
(quan hệ trung tuyến cạnh huyền )
D
C
Để MK nhỏ nhất => CI nhỏ nhất => I B . Lúc đó CI vừa là trung tuyến
vừa là đờng cao => MCK vuông cân .
MCB = 450 => M A .
Bài toán 5d :
Cho đoạn thẳng AB = a. C là điểm bất kỳ trên AB . Vẽ các hình vuông
ACDE; CBFG . Xác định vị trí của điểm C để tổng diện tích hai hình vuông trên
đạt giá trị nhỏ nhất .
G
F
Giải :
Đặt AC = x => CB = a-x .
SACDE + SCBFG = x2 + (a-x) 2
= 2(x -a/2)2 + a2/2 a2/2

Dấu = xảy ra lúc x =a/2 .

E

D

A

C là trung điểm của AB

C

B

6. Các bài toán tổng hợp
Bài toán 1b :
Cho tam giác ABC . Về phía ngoài của tam giác dựng các hình vuông
ABGH , ACEF và BCIJ. Gọi O1,O2, O3 lần lợt là tâm các hình vuông . M là trung
điểm của BC, D là trung điểm của HF.
a. Chứng minh O1MO2 là tam giác vuông cân .
b. Tứ giác DO1MO2 là hình vuông .
c. Chứng minh HF = 2AM .
P
d. Chứng minh AD vuông góc với BC và AM vuông
góc vớiFHF
D
e. Chứng minh O1O2 = AO3 .
H
Q
A

O1

O2

K

E

G
B
11
J

C

NM
O3
A
I


HD :
a. Chứng minh hai tam giác HAC và BAC bằng nhau để đợc :
- HC = BF
-AHC = ABF cùng với AH vuông góc với AB đợc HC vuông góc với BF .
O1M và O2M lần lợt là hai đờng trung bình của hai tam giác BHC và BCF
nên : - O1M song song và bằng nửa HC; O2M song song và bằng nửa BF
Kết hợp các kết luận trên để đợc điều cần chứng minh .
b. Tứ giác DO1MO2 là hình vuông .
Tơng tự ta chứng minh đợc O1DO2 là tam giác vuông cân tại D từ đó suy ra

đpcm.
c. Gọi A là điểm đối xứng của A qua M .Ta chứng minh đợc BA song song và
bằng AC => BA vuông góc và bằng AF .
Lại có BA vuông góc và bằng AH nên hai tam giác HAF và ABA bằng
nhau => HF = AA = 2AM.
d. Hạ HP và FQ vuông góc với đờng cao từ AN của tam giác ABC.
-Chứng minh hai tam giác HQA và ANB bằng nhau => HQ=AN
-Chứng minh hai tam giác FPA và ANC bằng nhau => FP=AN
HQ = FP
Từ đó chứng minh HQFP là hình bình hành => AN qua trung điểm D của
HF.
Với tam giác AHF ta có điều ngợc lại AM vuông góc với HF .
e. Gọi K là trung điểm của AC ta có :
KA = O2K
O1K = O3K
O1KO2 = AKO3
Hai tam giác O1KO3 , O3KA bằng nhau
Đpcm
III . Đối xứng trục và đối xứng tâm :
1. Bài tập về vị trí tơng đối của điểm, đờng thẳng .
Bài toán 1a :
Cho tam giác nhọn ABC có AH là đờng cao . Gọi E,F lần lợt là điểm đối
xứng của H qua các cạnh AB,AC . Gọi M,N lần lợt là giao điểm của EF với
AB,AC. Chứng minh rằng MC AB và NB AC .
12


Giải :

F

A

N
Tam giác MNH có AM,AN là phân giác
ngoài của hai góc M,N nên AH là
M
phân giác của góc MNH
E
Do CH AH nên CH là phân giác
B
ngoài của góc MNH.
H
C
Tam giác MNH có CN,CH là phân giác
ngoài của hai góc N,H nên CM là phân giác trong của góc HMN .
CM MB ( Vì MB là phân giác ngoài của HMN ) .Hay CM AB .
Tơng tự chứng minh đợc NB AC
Bài toán 1b :
Cho tam giác ABC và P là điểm bất kỳ . Gọi M,N,Q lần lợt là trung điểm
của AB,AC,BC . Gọi A,B,C lần lợt là điểm đối xứng của P qua Q,N,M . Chứng
minh AA,BB,CC đồng quy .
Giải :
A
C

B

P
C

B

Chứng minh ABAB là hình bình hành :
A
Các đoạn thẳng AB và BA cùng song song và bằng PC .
Tơng tự chứng minh đợc CACA là hình bình hành
đpcm
2. Bài tập về chứng minh bằng nhau .
Bài toán 2a :
Cho góc nhọn xOy có Ot là tia phân giác . M là điểm thuộc miền trong của
góc . M1, M2 lần lợt là điểm đối xứng của M qua Ox và Oy .
a. Chứng minh O thuộc đờng trung trực của M1M2 .
b. Gọi Oz là tia thuộc đờng trung trực M1,M2 .Chứng minh rằng MOx nhận Ot
x
làm phân giác .
M1
Giải :
a.
M1O = MO
M2O =MO
M1O = M2O
O thuộc đờng trung trực của đoạn
thẳng M1M2

M

O

t

z
y

13


b. Có zOM2 = zOM1 = xOy
zoy + yOM2 = zOy + yOM = xOy
zOy + zOy + xOM = xOy
zOy = Mox
M2
MOt = tOz ( Do xOt = tOy )
Ot là tia phân giác của góc MOz .
4. Bài tập về quỹ tích , dựng hình .
Bài toán 4a :
Một con kênh có hai bờ song song. P,Q là hai điểm cố định nằm ở hai phía
con kênh. Xác định cầu MN vuông góc với kênh để đoạn đờng đi từ P đến N bằng
đoạn đờng từ Q đến M (N nằm bờ kênh phía P và M nằm bờ kênh phía Q) .
Q
d
M
N

P

P
HD :
PT : - Giả sử dựng đợc P . Gọi P là đỉnh thứ t của hình bình hành PNMP .Lúc
đó PN = PM => PM=MQ => M thuộc trung trực của PQ .
CD : -Dựng P sao cho PP vuông góc với bờ kênh và chiều dài của PP bằng

chiều rộng của bờ kênh .
- Dựng trung trực (d) của PQ . d cắt bờ kênh phía Q tại M . Từ đó dựng N .
Bài toán 4b :
Dựng tứ giác ABCD biết DA=AB=BC và biết ba trung điểm E,F,G của
DA,AB, BC.
(d1)
(d2)
A
E
HD :

D

F

B
G
C

A nằm trên đờng trung trực của EF .B nằm trên đờng trung trực của FG .
Cần xác định AB lần lợt trên hai đờng này để AB nhận F làm trung điểm . Bài
toán đợc quy về bài toán 3a .
Bài toán 4c :
Cho tam giác ABC , P là điểm nằm trong tam giác . Dựng M trên AB, N
trên AC để tam giác MPN cân tại P và MN // BC .
HD : Giả sử hình dựng đợc , lúc đó

14

A
M
N
M đối xứng với N qua trục là đờng
thẳng (d) qua P vuông góc với MN .
Do MN//BC nên (d) vuông góc
với BC .
P
Đờng thẳng đối xứng với đờng
B
C
thẳng AB qua trục (d) cắt đờng
thẳng AC tại N .
Nên có cách dựng :
- Dựng (d) qua P và vuông góc với BC .
- Dựng đờng thẳng đối xứng với đờng thẳng AB qua trục (d) ,đờng thẳng này cát
đờng thẳng AC tại N .
- Dựng M đối xứng với N qua (d)
- Tam giác PMN là tam giác cần dựng .
5. Bài toán cực trị hình học .
Bài toán 5a : ( Bài toán con chim )
Trong mặt phẳng P cho đờng thẳng d hai điểm A,B nằm cùng một nửa mặt
phẳng bờ . Xác định trên d điểm M sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất .
Giải :
a. Trờng hợp A,B nằm ở một nửa mặt phẳng :
B
Gọi A1 là điểm đối xứng của A qua trục (d)
A
MA +MB = MA1 + MB A1B .
Dấu = xảy ra lúc M[A1B].

(d)
M là giao điểm của A1B và d .
M
TIP : Thay đổi vị trí tơng đối của A,B so với d
A1
ta đợc một số bài toán khác cần giải quyết
Bài toán 5b :
Cho hai điểm cố định A,B cùng nằm trên mặt phẳng bờ d. Tìm trên d hai
điểm M,N sao cho :
- MN = l cho trớc .
- Tứ giác BNMA có chu vi nhỏ nhất .
B
B
A
d
M

N

A
Bài toán 5c :
Cho góc nhọn xOy và một điểm M thuộc miền trong của góc. Xác định
trên Ox điểm A và trên Oy điểm B sao cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất .
Giải :
M1
Gọi M1, M2 lần lợt là hình chiếu
15


của M qua trục Ox; Oy .

MA + AB +BM = M1A +AB +BM2 M1M2
Dấu = xãy ra khi A,B M1M2 .
O
A là giao điểm của M1M2 với Ox.
B là giao điểm của M1M2 với Oy

A

M

B

M2
TIP: Bằng cách ràng buộc thêm các điều kiện của điểm M : M chạy trên một
đoạn thẳng; chạy trên một đờng tròn nằm trong góc xOy ;Tổng OA + OB không
đổi; Thay đổi góc xOy; Thay đổi đại lợng cần tính cực trị . . . . chúng ta sẽ đợc
hàng loạt các bài toán khác .
Bài toán 5d :
Cho góc nhọn xOy và hai điểm AB thuộc miền trong của góc đó . Tìm các
điểm C,D lần lợc thuộc Ox và Oy sao cho đờng gấp khúc ACDBA có độ dài nhỏ
nhất .
Giải :
Lấy A1 đối xứng với A qua Ox; B 1 đối xứng với B qua Oy. Do AB cố định
nên đờng gấp khúc ACBD có độ dài nhỏ nhất lúc AC + CD + DB nhỏ nhất .
Có AC +CD +DB = A1C + CD +DB1 A1A2 .
Dấu = xảy ra lúc C,D [A1B1].
C là giao điểm của A1B1 với Ox và D là giao điểm của A1B1 với Oy
B1
D

B

O

A
C
A1

Bài toán 5e :
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. M là điểm thuộc cạnh BC. I,J lần lợt là
hình chiếu của M xuống hai cạnh AB, AC .M 1, M2 lần lợt là điểm đối xứng của M
qua AB,AC . E,F lần lợt là giao điểm của M1M2 với AB,AC . Xác định M
a. Để IJ nhỏ nhất; lớn nhất .
b. Để tam giác MEF có chu vi nhỏ nhất .
A
M2
Giải :
F
M1
J
I
B
M
C

16


E

a.

2IJ = M1M2 .
AM1 =AM=AM2 .
M1AM2 =2BAC = CONST.
IJ min (max) <=> M1M2 min (max)
<=> AM1 min (max) <=> AM min (max) .
AM nhỏ nhất khi AM BC .
AM lớn nhất khi AM = Max(AB,AC )
b. Chu vi tam giác MEF = MF + ME +EF = M1M2 .
Để chu vi tam giác MEF nhỏ nhất thì M là chân đờng cao từ A xuống BC.
theo bài toán 1a thì E,F cũng là chân của hai đờng cao còn lại
V. Định lý Thalet
1. Bài tập về vị trí tơng đối của điểm, đờng thẳng .
Bài toán 1a :
Cho tứ giác lồi ABCD . Kẻ hai đờng thẳng song song với AC . Đờng thẳng
thứ nhất cắt các cạnh BA,BC lần lợt tại G và H. Đờng thẳng thứ hai lần lợt cắt các
cạnh DA,DC lần lợt tại E và F .Chứng minh rằng GE,HF,BD đồng quy .
I
Giải :
Gọi O là giao điểm của AC và BD .
D
M,N lần lợt là giao điểm của GH và EF
E
với BD .
A )
F
N
Ta có : EN = FN
( Do EF// AC

AO OC
O
EN
OA
G

=
FN
OC
M
C
H
Tơng tự ta cũng có :
B
GM = OA
GH OC
EN
GM

=
FN
HM
Đpcm ( Do EF // GH ) theo định lý đảo
Bài toán 1b : ( Tổng quát bài toán 1a/ II)
Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi H là chân đờng vuông góc từ A xuống BD .
M,N theo thứ tự là các điểm BH và CD sao cho : BM = CN
CD
Chứng minh rằng AM vuông góc với MN . BH
A

HD : - Chứng minh hai tam giác vuông
ABH và ACD đồng dạng .
BM = CN
-Sử dụng gt :
BH
CD
17

D

M
B

H

N
C


để chứng minh hai tam giác ABM và ACN đồng dạng để đợc :
AM = AN
AB
AC
Và BAM = CAN => MAN = BAC .
Hai tam giác MAN và BAC đồng dạng
AMN = ABC = 900 ( đpcm )
2. Bài tập về chứng minh bằng nhau .
Bài toán 2a :
Cho hình thang ABCD (AB // CD ). Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại I
. Qua I kẻ đờng thẳng song song với hai đáy cắt AD tại E và cắt BC tại F .

1
a. Chứng minh : 1 = 1
+
IF
AB
CD
b. Chứng minh I là trung điểm của EF.
A

Giải :
IF = FC
Có :
AB
BC
IF = BF
CD
BC

B

E

I

F

D
Cộng hai đẳng thức trên ta đợc :
IF + IF
= BF + FC = 1

AB
CD
BC
Đpcm .

C

1 = 1
1
+
IE
AB
CD

b. Hoàn toàn tơng tự ta cũng có :

IF = EF
Đpcm .
Bài toán 2b :
Cho hình thang cân ABCD (AD//BC ) . Gọi M,N là trung điểm của BC và
AD . Trên tia đối của tia AB lấy điểm P bất kỳ . PN cắt BD tại Q. Chứng minh
MN là tia phân giác của góc PMQ .
P

HD :
A

I

N K

D

Q

B

M

P
18

C


Gọi I,K,P lần lợt là giao điểm của AD với PM , AD với MQ, PQ với BC .
- Dễ dàng chứng minh đợc MN vuông góc với AD .
- Có : IN/MP = IA/BM = AN/BP
NK/MP = KD/BM = ND/BP
Do AN =ND nên đợc : IN/MP = NK/MP => IN=NK
Tam giác IMK có MN vừa là trung tuyến vừa là đờng cao nên nó là phân
giác ( đpcm )
3. Bài tập tính toán .
Bài toán 3a :
Cho hình thang ABCD (AB//CD ) .I là giao điểm của AC với BD . Gọi S 1, S2
lần lợt là diện tích các tam giác IAB và IAD . Tính diện tích hình thang theo S 1, S2
.
Giải :
SIBC = S2 .
A

B
Gọi S3 là diện tích tam giác
S1
IDC . Ta có :
S
2
S3 = ID2
I
S1
IB2
S3
S2 = ID
D
C
S1
IB
2
. S3 = S2
2
S1
S1
2
. S3 = S2
S1

. SABCD = S1 + 2S2 +

S2 2
S1

= (S1+S2)
S1

2

Bài toán 3b :
Cho tam giác ABC có Â = 2 B . Cho AB = c ,AC =b . Tính BC 2 theo b,c .
A

B

I

Gọi AI là phân giác của tam giác . Ta có :
IC/IB = AC/AB
IC = IB . AC/AB (1)
Lại có hai tam giác ABC và IAC đồng dạng nên :

19

C


IC/AC = AC/BC
IC = AC2/BC (2)
Từ (1) và (2) ta đợc IB = AC.AB/BC
Có BC = IB +IC = (AC2 + AC.AB ) /BC
BC2 = AC( AC + AB )
BC2 = b(b+c )

4. Bài tập về quỹ tích , dựng hình .
Bài toán 4b :
Cho tam giác ABC. I là điểm nằm trong tam giác . M là điểm thay đổi trên
cạnh BC . Các đờng thẳng qua M song song với BI và CI theo thứ tự cắt AC và AB
tại N và P . Dựng hình bình hành MNQP. Tìm tập hợp điểm Q .
Giải : Gọi K là giao điểm CI với AB ; H là giao điểm của BI và AC .
Qua N kẻ đờng thẳng song
song với KC cắt KH tại Q. Qua P
kẻ đờng thẳng song song với HB
A
cắt KH tại Q .
QH
NM
MB
Ta có :
=
=
QK
NC MC
H
Q
QH = PB MB
=
MC
QK PK
K
N
.

QH = QH

.
QK
QK

P

B
M
C
Q Q
Theo cách vẽ và kết quả trên ta đợc QMNP là hình bình hành .
Q KH .Hay tập hợp các điểm Q là đoạn KH .
Đảo : Tơng tự phần thuận với điểm xuất phát là Q KH .Chứng minh M thuộc
BC .
Bài toán 4b :
Cho góc xOy và một đờng thẳng d bất kỳ cắt hai cạnh của góc . Tìm đoạn
thẳng AB (A Oy; B Ox ) sao cho AB vuông góc với d và có trung điểm I nằm
trên d .
Giải :
Giả sử đã dựng đợc AB .
F
Gọi E là giao điểm của d với Ox
20

I


I
(d)

A

Từ E kẻ đờng thẳng song song
M
M
với AB cắt OI tại M, cắt Oy tại F
Ta có :
EF vuông góc với d.
E
ME = MF .
B
Cách dựng :
Qua E dựng d vuông góc với d cắt Oy tại F .
Dựng trung điểm M của EF.
Dựng I là giao điểm của OM với d.
Qua I dựng đờng thẳng vuông góc với d cắt Ox tại B và cắt Oy tại A .
AB là đoạn thẳng cần dựng .
5. Bài toán cực trị hình học .
Bài toán 5a :
Cho góc nhọn xOy và điểm M thuộc miền trong của góc . Hãy dựng qua M
một cát tuyến cắt hai cạnh của góc xOy tại A và B sao cho
1 + 1
.
MA
MB
Giải :

đạt giá trị lớn nhất

N

Vẽ : MN // Oy
ON // AB
MN cắt Ox tại P . Kẻ PQ //AB (Q OM)
1 + 1
1 + 1
O
1
=
=
MA
MB MA
ON PQ
1
1
Để MA + MB . lớn nhất thì PQ nhỏ nhất .

A
P
Q

M
B

Do OM, P cố định nên PQ nhỏ nhất khi PQ OM .
Lúc đó AB OM
Bài toán 5b :
Cho góc nhọn xOy . M là điểm thuộc miền trong của góc . Đờng thẳng d
quay xung quanh M cắt Ox, Oy theo thứ tự tại A,B . Tìm vị trí của d sao cho
OA+OB đạt giá trị nhỏ nhất .

A
X
O

M
Y

HD :

B
21


OA + OB = OX +OY + XA + YB
Do OX + OY không đổi nên OA +OB nhỏ nhất khi XA + YB nhỏ nhất .
Lại có : hai tam giác AXM và YMB đồng dạng nên :
XA = XM
.
YM
YB





XA.YB = YM .XM = const
XA + YB nhỏ nhất khi XA = YB
hai tam giác AXM và YMB bằng nhau
M là trung điểm của AB . Dựng A,B nh bài 4b/II

6. Bài toán tổng hợp .
Bài toán 6a :
Cho tam giác ABC có G là trọng tâm . M là điểm bất kỳ trong tam giác .
Gọi A1, B1, C1 lần lợt là giao điểm của AM với BC; BM với AC; CM với AB .Đờng
thẳng GM cắt AB,AC,BC lần lợt ở C2 , B2 , A2 .
MA1
+
AA1
MA1 +
b. Chứng minh :
GA1
c. Chứng minh : 1 +
GA2
a. Chứng minh :

MB1 MC1 =1
+
BB1 CC1
MB1 MC1 =3
+
GB1 GC1
1
1
=
GB2 GC2

Giải :

A

C2
G

M

B2

B
D
M1 A1
C
A2
a. MA1/AA1 = MM1/AD = SMBC /SABC .
Tơng tự có MB1/BB1 = SMAC/SABC
MC1/CC1 = SMAB/SABC .
Cộng các đẳng thức trên ta đợc :
MA1/AA1 + MB1/BB1 +MC1/CC1 = (SMBC +SMAC +SMAB)/SABC = 1 (đpcm )
b. Qua G kẻ đờng thẳng song song với AA1 cắt BC tại M2 . Có
GM2/ AA1 = 1/3 => AA1 =3GM2 .
MA2/GA2 = MA1/GM2 = 3MA1/AA1 .
Tơng tự ta cũng có MB2/GB2 = 3MB1/BB1.
MC2/GC2 = 3MC1/CC1
Cộng các đẳng thức trên ta đợc :
MA2/GA2 +MB2/GB2 +MC2/GC2 = 3( MA1/AA1 + MB1/BB1 +MC1/CC1) = 3

22


( Theo câu a )
A

c. Qua G kẻ các đờng thẳng
song song với BC,AC. Các đờng thẳng
G2
này cắt AB lần lợt ở G1,G2 .
Dễ dàng có AG2 = G1B = AB/3
C2
G
B2
AG2 =G2G1 = G1B = AB/3
G1
GC2/GA2 = C2G1/G1B = 3C2G1/AB
C
B
GC2/GB2 =C2G2/G2A = 3G2C2/AB
Cộng hai đẳng thức trên ta đợc :
GC2/GA2 + GC2/GB2 = 3(C2G1 + G2C2)/AB = 3 G1G2/AB = 1
Chia hai vế cho GC2 ta đợc :
1/GC2 = 1/GA2 + 1/GB2 . ( đpcm)

A2

Bài toán 6b :
Cho tam giác ABC . I là một điểm trong tam giác . IA, IB, IC theo thứ tự
cắt BC, CA , AB tại M, N, P . NP cắt BC tại R
a. Chứng minh : IA = NA + PA
IM
NC PB
MB
NC PA
b. Chứng minh rằng : MC . NA . PB =1 ( Định lý Cê va )

RB
NC PA
c. Chứng minh rằng : RC . NA . PB =1 ( Định lý Mê nê lauyut )
MB
RB
d. Chứng minh rằng : MC = RC
.
A
E
Giải :
P

F

N

Q
I

Qua A kẻ đởng thẳng song song
với BC cắt BN tại E và cắt CP tại F .
NA = AE
Có :
NC
BC

.
b. Có :

PA = AF

PB
BC
AE + AF
NA + PA
=
=
BC
BC
NC
BC

R

EF = IA
BC
IM

MB = AE NC = BC
;
;
MC
AF NA
AF

Nhân các bất đẳng thức trên vế theo vế ta đợc :

23

B

M

C


PA = AE
PB
BC
MB . NC PA
AE . BC
AF
.
=
.
MC
NA PB
AF
AE BC

= 1.

c. Kẻ BQ//AC (Q thuộc RN )
Có :

RB = BQ PA = AN
NC = NA
;
;
RC
CN PB

BQ
NA
NA

Nhân các bất đẳng thức trên vế theo vế ta đợc :
RB . PA
NC
BQ . AN NC
.
=
.
RC
PB
NA CN
BQ
NA

= 1.

d. Từ b và c dễ dàng suy ra đpcm.
VI. hệ thức lợng trong tam giác - định lý pitago .
1. Hệ thức lợng trong tam giác thờng
Bài toán 1a :
Chứng minh rằng trong một tam giác bình phơng cạnh đối diện góc nhọn
bằng tổng bình phơng hai cạnh kia trừ đi hai lần tích của một trong hai cạnh ấy
với hình chiếu của cạnh còn lại trên nó .
Chứng minh :
Giả sử A là góc nhọn . Gọi AH là hình
chiếu của cạnh AC trên cạnh AB .
Cần chứng minh :

BC2 = AB2 + AC2 - 2AB.AH
- Tam giác vuông CHB có :
BC2 = CH2 + HB2 (1)
- Tam giác vuông CHA có :
CH2 = AC2 - HA2
(2)
- Do góc A nhọn nên H nằm giữa AB , có :
HB = AB-HA
HB2 = AB2 + HA2 - 2AB.HA (3)
Thay (2) và (3) vào (1) đợc đpcm

A
H

B

C

Bài toán 1b :
Chứng minh rằng trong một tam giác bình phơng cạnh đối diện góc tù bằng
tổng bình phơng hai cạnh kia cộng đi hai lần tích của một trong hai cạnh ấy với
hình chiếu của cạnh còn lại trên nó .
Chứng minh :
Hoàn toàn giống bài toán 1a với chú ý :
H
Do góc A tù nên A nằm giữa BH
Có
A
HB = AB + HA

24

B

C


HB2 = AB2 + HA2 + 2AB.HA
Bài toán 1c (Định lý về đờng trung tuyến ) :
Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến , AH là đờng cao. Chứng minh hệ
thức :
A
AB2 + AC2 = 2AM2 + BC2/2
Chứng minh :
Giả sử :
AMB < 900 => AMC > 900 .
Tam giác MAB có :
AB2 = MB2 +MA2 -2BM.MH
(1)
Tam giác MAC có :
B
H M
C
AC2 = MC2 + MA2 - 2MC.MH (2)
Cộng (1) và (2) với chú ý MB =MC =BC/2 ta đợc đpcm .
2. Bài tập chứng minh đồng quy, vuông góc :
Bài toán 2a :
a. Chứng minh rằng tổng các bình phơng các khoảng cách từ một điểm bất kỳ
trong mặt phẳng đến hai đỉnh đối diện của hình chữ nhật bằng nhau .
b. Trên các cạnh của tam giác ABC về phía ngoài ngời ta dựng các hình chữ nhật

ABB1A1 ; BCC1B2; CAA2C2 . Chứng minh rằng các đờng trung trực của các
đoạn A1A2; B1B2; C1C2 đồng quy .
Chứng minh :
a. Cần chứng minh hệ thức :
PA2 + PC2 = PB2 + PD2 .
A
Gọi O là giao điểm AC và BD ,có :
PO là trung tuyến của các tam giác PAC, PDB .
- Tam giác PDB có :
PD2 + PB 2 = 2OP2 + BD2/2
- Tam giác PAC có :
PA2 + PC2 = 2OP2 + AC2/2
D

P
B

O
C

- Do AC = BD nên PA 2 + PC2 = PB 2 + PD2 .
b. Chứng minh :
Gọi P là giao điểm hai trung trực
của các đoạn B1B2 và A1A2 .
PB2= PB1 ; PA1 = PA2 .

B2

B1
B

A1

C1

P
A
25
A2

C2