SKKN sử DỤNG kết QUẢ một bài TOÁN HÌNH học 11 để HƯỚNG dẫn học SINH GIẢI một số bài TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG KẾT QUẢ MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC 11 ĐỂ
HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍNH
KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN

Người thực hiện: Trịnh Thanh Tùng
Chức vụ: Giáo viên.
SKKN thuộc môn Toán

THANH HOÁ, NĂM 2015

1


A. ĐẶT VẤN ĐỀ.
Trong chương trình Toán THPT hiện hành, hình học không gian là
mảng kiến thức khá dài, xuyên suốt chương trình hình học lớp 11 và kéo dài
ba trong số bốn chương của lớp 12. Tính chất đặc trưng của hình học không
gian là mô tả một khối hình trong không gian trên một mặt phẳng mà vẫn đảm
bảo được các mối quan hệ giữa điểm, đường thẳng và mặt phẳng. Chính vì
tính chất đó mà nó đòi hỏi học sinh phải có sự tư duy trừu tượng rất tốt mới
có thể giải được toán hình không gian, đặc biệt là các bài toán khoảng cách.
Khoảng cách là bài học cuối cùng của chương trình hình học lớp 11
nhưng nó có sự liên quan chặt chẽ trong các bài toán hình học không gian lớp
12 và xa hơn là sự xuất hiện các bài toán tính khoảng cách trong các đề thi
tuyển sinh Đại học – Cao đẳng. Do đó, nếu học tốt các bài toán khoảng cách
sẽ là tiền đề vững chắc để các em giải thành thạo các bài toán hình học 12.

Qua một thời gian giảng dạy môn toán lớp 11, phần Hình học không
gian các em có kết quả không cao, mắc khá nhiều lỗi trong từ vẽ hình và giải
toán. Thậm chí là các em thấy “sợ” học hình học không gian. Chính vì thế,
giúp các em định hướng cách giải các bài toán hình học không gian nói chung
và các bài toán khoảng cách nói riêng luôn là mục tiêu mà tôi quan tâm. Và
nhiều khi các bài toán này trở nên đơn giản nếu biết biến đổi về một bài toán
mà ta đã biết.
Từ kinh nghiệm thực tế trong giảng dạy và sự đóng góp của các đồng
nghiệp trong tổ chuyên môn của trường THPT Vĩnh Lộc, tôi mạnh dạn đưa ra
sáng kiến kinh nghiệm “Sử dụng kết quả một bài toán hình học 11 để giải
một số bài toán tính khoảng cách trong không gian” nhằm nâng cao hiệu
qủa dạy học phần Hình học không gian tổng hợp.

2


B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
I. Cở sở lý luận.
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng và khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau là hai dạng khoảng cách trọng tâm của hình học
không gian. Xác định và tính toán hai dạng khoảng cách luôn là vấn đề khó
đối với học sinh.
Ngoài cách làm mà học sinh đã quen thuộc, qua các bài toán khoảng
cách được phát triển từ kết quả của một bài toán trong bài Đường thẳng vuông
góc với mặt phẳng, hi vọng giúp học sinh cách nhìn thật dễ dàng về các bài
toán khoảng cách đồng thời giúp học sinh dần thoát khỏi nỗi “sợ” Hình học
không gian và cảm thấy có hứng thú hơn với môn học “tưởng tượng” này.
II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.
Đề tài này được thực hiện trong phạm vi hai lớp 11B5, 11B7 của
trường THPT Thường xuân 2. Tôi đã yêu cầu học sinh làm hai bài toán như

sau, đây là hai dạng toán học sinh hay gặp trong chương trình. Sau khi có kết
quả, tôi đưa ra những nhận xét về tình trạng chung khi giải toán của học sinh:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a,
tâm O, có SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Tính khoảng cách từ O đến
mặt phẳng (SCD).
Nhận xét:
- Với bài toán 1: Cách giải thông

S

thường nhất là xác định mặt phẳng
chứa điểm O, vuông góc và cắt mặt
phẳng (SCD) theo giao tuyến ∆ ,

H

xác định hình chiếu của O trên ∆ và

A

tìm hiểu H có mối liên hệ như thế
nào với tam giác SCD. Từ đó, tính

D

O
B

K
C

độ dài đoạn OH.

3


Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, có
cạnh SA =h và SA ⊥ (ABCD). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng :
a) SB và AD

b) AB và SC.
Nhận xét:

Đối với câu a: Việc xác định đường

S

vuông góc chung của SB và AD là khó
khăn, do đó để tính khoảng cách dựa

K

vào mối quan hệ song song của SD và
E

H

(SBC).

A

D

- Chỉ ra rằng:
F

d(AD,SB) = d(AD,(SBC))
B

= d(A,(SBC)).
- Kẻ AH ⊥ SB . Chứng minh: BC ⊥ ( SAB) ⇒ BC ⊥ AH

C

- Chứng minh: AH ⊥ (SBC ) ⇒ d ( A, ( SBC )) = AH . Tính AH.
Đối với câu b: Dùng cách xác định đường vuông góc chung EF như sau:
- Hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC, từ A kẻ AK vuông góc với SD
tại K, qua K dường thẳng song song với CD cắt SC tại E, từ E kẻ đường thẳng
song song với AK và cắt AB tại F. Chứng minh: EF là đường vuông góc
chung của SC và AB và EF = AK. Tính AK.
Đối với bài toán 1
- Việc xác định được mặt phẳng chứa điểm O, vuông góc và cắt mặt
phẳng (SCD) theo giao tuyến ∆ rất khó đối với học sinh.
- Việc tìm mối liên hệ giữa điểm H và tam giác SCD không dễ dàng,
do đó việc tính toán gặp nhiều khó khăn.
Đối với bài toán 2, trong cả hai trường hợp, tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau khá dài và việc dựng thêm điểm, đường là cách làm
khó đối với học sinh.
Chính vì phải tư duy trừu tượng trong việc xác định điểm, đường và việc
tính toán phức tạp đã khiến học sinh thấy “ngán ” hình học không gian.

4


III. Giải pháp và tổ chức thực hiện:
Trong sáng kiến này, tôi đưa ra một cách làm khác dễ dàng hơn đối với
học sinh: Sử dụng kết quả Bài tập 4 - §3: Đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng, tôi đặt tên là bài toán gốc, phát triển từ bài toán gốc ra ba bài toán
khoảng cách cơ bản mà việc vận dụng các bài toán này có thể giải quyết nhiều
bài toán khoảng cách và khắc phục được các nhược điểm khi giải toán khoảng
cách theo những cách thông thường mà học sinh đã làm giống như hai bài
toán trên đây. Ta tìm hiểu bài toán gốc và các bài toán được phát triển từ bài
toán gốc.
1. Các bài toán:
Bài toán gốc (Bài tập 4 - § 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng).
Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi
H là chân đường vuông góc hạ từ O đến mặt phẳng(ABC). Chứng minh rằng:
a) H là trực tâm của tam giác ABC.
b)

1
1
1
1
=
+
+
.
2
2
2

OH
OA OB OC 2

Bài giải:
a) Vì H là chân đường vuông góc hạ từ

A

O đến mặt phẳng(ABC)nên OH ⊥ (ABC)

E

tại H. Nối A với H cắt BC tại K và C với

H

H cắt AB tại E.
Do OH ⊥ (ABC) nên OH ⊥ AB;OH ⊥ BC.
OA ⊥ OB
⇒ OA ⊥ (OBC ) ⇒ OA ⊥ BC.
Vì 
OA ⊥ OC

C

O
K
B

 BC ⊥ OH

OC ⊥ OA
⇒ BC ⊥ (OHA) ⇒ BC ⊥ AK . Vì 
⇒ OC ⊥ AB .
 BC ⊥ OA
OC ⊥ OB

Ta có: 

 AB ⊥ OC
⇒ AB ⊥ (OHC ) ⇒ AB ⊥ CE.
 AB ⊥ OH

Ta có: 

Vậy: H là trực tâm của tam giác ABC.
b) Ta thấy: OK là hình chiếu của AK trên (OBC) mà AK ⊥ BC nên OK ⊥ BC.
5


Ta có:

1
1
1
=
+
. Do OA ⊥ (OBC) nên OA ⊥ OK.
2
2
OK

OB OC 2

Ta có:

1
1
1
1
1
1
1
1
1
⇒
=
+
=
+
=
+
+
2
2
2
2
2
2
2
2
OH

OA OK
OH
OA OK
OA OB OC 2

Vậy:

1
1
1
1
=
+
+
.
2
2
2
OH
OA OB OC 2

Nhận xét 1: Từ bài toán trên và sau khi học xong bài khoảng cách thì ta
nhận thấy ngay rằng OH là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC). Do đó,
bài toán trên được phát biểu thành một bài toán khác về cách tính khoảng
cách từ một điểm đến một mặt phẳng như sau:
Bài toán 1: Cho tứ diện OABC có

A

ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông

góc. Gọi K và H lần lượt là hình
chiếu vuông góc của O trên BC và

H

AK. Chứng minh rằng: OH là
khoảng cách từ O đến mặt phẳng
(ABC) và

C

O

1
1
1
1
=
+
+
2
2
2
OH
OA OB OC 2

K
B

Nhận xét 2: Ta có thể khái quát bài toán 1 bằng cách thay giả thiết ba cạnh

OA, OB, OC đôi một vuông góc bằng giả thiết hai trong cặp đó vuông góc.
Ta có bài toán 2 như sau:
Bài toán 2: Cho tứ diện OABC có OA ⊥

A

(OBC). Gọi K và H lần lượt là hình chiếu
vuông góc của O trên BC và AK. Chứng
minh rằng: OH là khoảng cách từ O đến mặt
phẳng (ABC) và

1
1
1
=
+
2
2
OH
OA OK 2

H

C

O

Chứng minh.

K

B

Vì H là chân đường vuông góc hạ từ O đến
mặt phẳng(ABC) nên OH ⊥ (ABC) tại H. Nối A với H cắt BC tại K.
Do OH ⊥ (ABC) nên OH ⊥ BC.
6


Vì OA ⊥ (OBC ) ⇒ OA ⊥ BC.
 BC ⊥ OH
⇒ BC ⊥ (OHA) ⇒ BC ⊥ AK .
 BC ⊥ OA

Ta có: 

Ta thấy: OK là hình chiếu của AK trên (OBC) mà AK ⊥ BC nên OK ⊥ BC.
Vậy: d(O;(ABC)) = d(O;AK) = OH và K là hình chiếu của O trên BC.
Nhận xét 3: Bằng cách thay giả thiết tam giác OBC vuông ở O bằng giả thiết
tam giác OBC vuông ở B hoặc C, ta có bài toán 3 và 4 như sau:
Bài toán 3: Cho tứ diện OABC có Bài toán 4: Cho tứ diện OABC có đáy là
đáy là tam giác OBC vuông tại C và tam giác OBC vuông tại B và OA ⊥
OA ⊥ (OBC). Gọi H là hình chiếu (OBC). Gọi H là hình chiếu vuông góc
vuông góc của O trên AB. Chứng của O trên AC. Chứng minh rằng: OH là
minh rằng: OH là khoảng cách từ O khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC)
đến

mặt

phẳng

(ABC)

và

và

1
1
1
=
+
2
2
OH
OA OB 2

1
1
1
=
+
2
2
OH
OA OC 2

A

A

H

H

B

C
K

O

C

O

B

K

Tam giác OBC vuông tại C.

Tam giác OBC vuông tại B.
Chứng minh:
Từ bài toán 2, ta suy ra:
Nếu tam giác OBC vuông ở B
(hoặc C) thì K trùng với B (hoặc C).

Do đó: H nằm trên AB (hoặc AC)
Chú ý: Nếu hai điểm A và B nằm ngoài ( α ) và đường thẳng AB cắt ( α ) tại
d ( A, (α ))

OA

d ( B, (α ))

OB

O thì d ( B, (α )) = OB hoặc d ( A, (α )) = OA
7


Trường hợp 1:

Trường hợp 2:

A và B nằm cùng phía so với (

A và B nằm khác phía so với ( α )

α ).

A

A

K

O

B

H

j

H

K

O

B

2. Các ví dụ áp dụng:
Các bài toán trên vận dụng trong dạng toán:
- Dạng 1: Tính khoảng cách từ một đỉnh đến một mặt phẳng của tứ diện
có giả thiết giống các bài toán trên.
- Dạng 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng cách
tính khoảng cách từ đường thẳng này đến mặt phẳng song song với đường
thẳng kia, và việc tính toán này quy về tính khoảng cách từ một điểm đến mặt
phẳng ở dạng 1.
Sau đây, ta lần lượt vận dụng để giải một số bài toán tính khoảng cách:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, tâm O,
SA ⊥ (ABCD) và SA = a 2 . Tính khoảng cách từ O đến (SCD).
Phân tích:
Việc xác định trực tiếp hình chiếu H của O trên (SCD) tương đối khó. Ta
thay đổi tên gọi mặt phẳng để tạo ra tứ diện đỉnh vuông tại O. Lấy I là trung
điểm của SC thì OI là đường trung bình của tam giác SAC nên OI//SA. Do
đó: OI ⊥ (OCD).

8

Ta thấy: Tứ diện OIDC có OI, OC, OD đôi

S

một vuông góc nên theo bài toán 1: d(O,
(SCD))=D(O,(ICD))=d(O,IK)=OH với K là
hình chiếu của O trên CD và H là hình
chiếu của O trên IK.

I

Bài giải:

H

A

D

Gọi I là trung điểm của SC thì OI là
đường trung bình của tam giác SAC nên

K

O
B

C

1
a 2
OI//SA và OI = SA =
.
2
2
Do đó: OI ⊥ (OCD).

Vì tứ diện OIDC có OI, OC, OD đôi một vuông góc nên theo bài toán 1:
d(O,(SCD))=D(O,(ICD))=d(O,IK)=OH với K là hình chiếu của O trên
CD và H là hình chiếu của O trên IK và:
1
1
1
1
1
2
1
2
6
a 6
= 2+
+
= 2+
=
+
= 2 ⇒ OH =
2
2

2
2
OH
OI
OC
OD
OI
OC
6
a 2 2
a 2 2 a
(
) (
)
2
2

Vậy: d(O,(SCD))=

a 6
6

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, có cạnh
SA = h và SA ⊥ (ABCD). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng :
a) SB và AD

b) AB và SC.
Bài giải:

a) Do AD // BC nên AD // (SBC).

Ta có: d(AD,SB) = d(AD,(SBC)) = d(A,(SBC)).
Tứ diện S.ABC có SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC vuông tại B, theo bài toán 3:
d(A,(SBC)) = AH, H là hình chiếu của A trên SB và
1 1
ah
1
1
1
= 2 + 2 ⇒ AH =
= 2+
2
2
2
h a
AH
SA
AB
a + h2

b) Do AB // CD nên AB // (SCD).
9


Ta có: d(AB,SC) = d(AB,(SCD))

S

= d(A,(SCD)).
Tứ diện S.ACD có SA ⊥ (ACD) và đáy

K

là tam giác ACD vuông tại D, theo bài

E

H

toán 4: d(A,(SCD)) = AK, K là hình

A

chiếu của A trên SD và

D

F

B

1
1
1
1 1
= 2+
= 2+ 2
2
2
AK
SA

AD
h a
ah
⇒ AK =
2
a + h2

C

Vậy: Khoảng cách giữa SB và AD; AB và SC bằng

ah
a 2 + h2

Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính khoảng
cách từ A đến mặt phẳng (A’BD).
Phân tích:

A'
D'

Gọi O là giao điểm của AC
và BD. Ta có: AO ⊥ BD.

B'

C'

Ta thấy: Tứ diện AA’BD có
AA’, AB, AD đôi một vuông góc

H

với nhau nên d(A,(A’BD)) = AH

A

với H là hình chiếu vuông góc của
A trên A’O và tính theo bài toán 1.

D

O
B

C

Bài giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có: AO ⊥ BD. Tứ diện AA’BD có
AA’, AB, AD đôi một vuông góc với nhau nên áp dụng bài toán 1 ta có: d(A,
(A’BD)) = AH với H là hình chiếu vuông góc của A trên A’O và
1
1
1
1
3
3
a 3
=
+

+
=
= 2 ⇒ AH =
2
2
2
2
2
3
AH
AA'
AB
AD
AA'
a

10


Vậy: d(A,(A’BD)) =

a 3
.
3

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ABCD cạnh a và
có góc ∠BAD =600. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Đường thẳng SO ⊥
(ABCD) và SO=

3a

. Gọi E là trung điểm của à F là trung điểm của BE.
4

a) Chứng minh rằng: (SOF) ⊥ (SBC).
b) Tính khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng (SBC).
Bài giải:
a) Dành cho học sinh.

S
I

b) Ta có: ∠BAD =600 nên ∠BAO = 30 0
nên OB =

1
a
AB =
2
2

và OC =OA =

AB 2 − OB 2 = a 2 −

a2 a 3
=
.
4
2

H
D

Ta thấy: Tứ diện S.OBC có OB, OS, OC đôi

C

một vuông góc với nhau nên theo bài toán 1,

O

E

d(O,(SCD)) = OH với H là hình chiếu của O

F
B

A

trên SE và

1
1
1
1
1
1
1
16

4
4
64
3a
=
+
+
=
+ 2 + 2 = 2 + 2 + 2 = 2 ⇒ OH =
2
2
2
2
2
8
OH
OS
OC
OD
9a
a
3a
9a
a
3a
9a
16
4
4
d ( A, ( SBC ))

AC

Đường thẳng AO cắt mặt phẳng (SBC) tại C nên d (O, ( SBC )) = OC = 2
⇒ d(A,(SBC))= 2d(O,(SBC))=

Vậy: d(A,(SBC))=

3a
.
4

3a
3a
và d(O,(SBC))= .
4
8

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, có cạnh
SA =h và SA ⊥ (ABCD). Ttính khoảng cách giữa hai đường thẳng :
a) SB và AD

b) AB và SC.
Bài giải:
11


a) Do AD // BC nên AD // (SBC) chứa SB nên d(AD, SB) = d(AD,(SBC))
= d(A,(SBC)).
Ta thấy: Tứ diện S.ABC có SA ⊥ (ABC)

S

và có đáy là tam giác ABC vuông tại B
K

nên theo bài toán 3: d(A.(SBC)) = AH,
với H là hình chiếu của A trên SB và
1
1
1
1
1
a2 + h2
=
+
=
+
=
AH 2 SA 2 AB 2 h 2 a 2
a2h2
ah
⇒ AH =
a2 + h2

b) Do AB // CD nên AB // (SCD) chứa

H
A

D

B
C

SC nên d(AB, SC) = d(AB, (SCD))
= d(A,(SCD)).

Ta thấy: Tứ diện S.ACD có SA ⊥ (ACD) và có đáy là tam giác ACD vuông tại
D nên theo bài toán 3: d(A,(SCD)) = AK, với K là hình chiếu của A trên SD
và

1
1
1
1
1
a2 + h2
=
+
=
+
=
⇒ AK =
AK 2 SA 2 AD 2 h 2 a 2
a2h2

ah
a2 + h2

.

Bài 6: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và
OA=OB=OC =a. Gọi I là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng AI và OC.
Bài giải:
Qua I kẻ đường thẳng song song vói

A

OC cắt OB tại K. Khi đó: K là trung điểm
a
2

của OB nên IK ⊥ OB và OK= .
Do OC // IK nên OC // (AIK) chứa AI nên

H
C

O

d(OC, AI) = d(OC,(AIK)) = d(O,(AIK))
Tứ diện OAIK có OA ⊥ (OIK) và đáy là

I

K

tam giác OIK vuông tại K, theo bài toán 3,

d(O,(AIK)) = OH, với H là hình chiếu của O trên AK và

B

12


1
1
1
1
1
5
a 5
=
+
= 2 + 2 = 2 ⇒ OH =
2
2
2
5
OH
OA
OK
a
a
a
4

Vậy: d(O,(AIK)) =

a 5
5

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O, có cạnh
AB=a cạnh a. Đường cao SO của hình chóp vuông góc với mặt đáy (ABCD)
và SO = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB.
Bài giải:
Vì AB//CD nên AB // (SCD).

S

Do đó: d(AB,SC) = d(AB,(SCD))
= d(A,(SCD))
= 2d(O,(SCD)).
H

Tứ diện OSCD có OS, OC, OD đôi
A

một vuông góc nên theo bài toán 1:
d(O,(SCD)) = OH, H là hình chiếu
của O trên SK và K là hình chiếu của

D

K

O
B

C

O trên CD.
Ta có: OC = OD =

1
AC =
2

AB 2 + BC 2 a 2
=
2
2

1
1
1
1
1
2
1
2
5
a 5
=
+
+
=
+

= 2 + 2 = 2 ⇒ OH =
2
2
2
2
2
2
và OH OS OC OD OS OC a a a
5
2
⇒ d ( A, ( SCD)) =

2a 5
5

Trong những năm gần đây, ngày càng có nhiều các bài toán khoảng
cách xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng. Phương pháp
áp dụng các bài toán trên đây để giải các bài toán nhiều khi khá đơn giản như
trong ví dụ sau:
Bài 8: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2007).

13


Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông ở A và B,
AB=BC = a, AD =2a. Cạnh SA vuông góc với đáy và SA =a 2 . Gọi H là
hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh rằng tam giác SCD vuông
và tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
Bài giải:
Gọi E là giao điểm của AB và CD.

S

EB BC 1
=
= và
EA AD 2

Do BC // AD nên

EB= BA = a=BC. Do đó tam giác ACE
vuông tại C và AC =
d ( B, ( SCD ))

BE

K

AB 2 + BC 2 = a 2 .

H

1

Vì d ( A, ( SCD )) = AE = 2 và

D
A

d ( H , ( SCD )) SH 2

=
=
d ( B, ( SCD )) SB 3
d ( H , ( SCD))

B

1

nên d ( A, ( SCD)) = 3

C

E

1
⇒ d ( H , ( SCD)) = d ( A, ( SCD))
3

Vì tứ diện SACD có SA ⊥ (ACD) và đáy là tam giác ACD tại C, theo bài
toán 3, d(A,(SCD)) = AK với K là hình chiếu của A trên SC và
1
1
1
1
1
1
= 2+
= 2 + 2 = 2 ⇒ AK = a ⇒ d ( A, ( SCD)) = a
2

2
AK
SA
AC
2a
2a
a
⇒ d ( H , ( SCD)) =

a
3

Vậy: d(H,(SCD)) =

a
.
3

Bài 9: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2008).
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB=BC
=a, cạnh bên AA’ =a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng AM và B’C.
Bài giải:

14


Gọi N là trung điểm của BB’ thì MN là

C'

A'

đường trung bình của tam giác BB’C nên
MN // B’C ⇒ B’C // (AMN). Do đó: d(B’C,AM)
= d(B’C,(AMN))=d(B’,(AMN)).

B'

Mặt khác:
d ( B ' , ( AMN )) NB '
=
= 1 ⇒ d ( B ' , ( AMN )) = d ( B, ( AMN ))
d ( B, ( AMN )) NB

N
C

A

M

Tứ diện B.AMN có BA, BM, BN đôi một vuông
góc nên theo bài toán 1,

B

1
1
1

1
1
1
1
1
2
4
7
=
+
+
= 2 +
+
= 2 + 2 + 2 = 2
2
2
2
2
(d ( B, ( AMN )))
BA
BN
BM
a
a
a
a
a 2 2 (a )2 a
(
)
2

2
⇒ d ( B, ( AMN )) =

a 7
.
7

Vậy: d ( B' , ( AMN )) =

a 7
.
7

15


3. Các bài tập đề nghị:
Nhằm củng cố lại sáng kiến đã trình bày trong đề tài, tôi đã sưu tầm và
đưa ra một số bài tập cho học sinh luyện tập, kèm theo là đáp án để các em so
sánh.
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Các
cạnh bên SA=SB=SC=SD=a 2 . Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AD và
BC.
a) Chứng minh rằng: (SIK) vuông góc với (SBC).
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB.
Bài 11: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh 7a,
có cạnh SC vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) và SC=7a.
a) Tính góc giữa SA và BC.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.
Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Mặt bên

SAB là tam giac cân tại đỉnh S và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng
(ABCD), cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc α . Tính:
a) Chiều cao của hình chóp S.ABCD.
b) Khoảng cách từ chân đường cao của hình chóp đến mặt phẳng (SCD).
Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD, góc A=120 0, BD
= a, cạnh SA vuông góc với mặt đáy, góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy là
600. Tính:
a) Đường cao của hình chóp.
b) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 14: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C,
CA=b, CB=a, cạnh SA = h và SA ⊥ (ABC). Gọi D là trung điểm của AB.
Tính:
a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD.
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SD.

16


Bài 15: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA =
AB = BC = a và SA ⊥ (ABC).Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và
SB.
Bài 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, AB//CD. Tam
giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = CD = 2a, SA = SB = SC = a 2 .Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
Bài 17: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a,
SA=

a 6
và SA ⊥ (ABC). Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
2

(SBC) theo a.
Bài 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp
đường tròn đường kính AD = 2a, các mặt bên (SAD ) và (SAB ) vuông góc
với đáy, SC tại với đáy một góc 450. Tính khảng cách giữa hai đường thăng
AD và SB.
Bài 19: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB= BC = 2a, AA’ = a.
Gọi M là trung điểm của AD. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’C).
Đáp án:
Bài 10: d(AD; SB) =

a 42
.
7

Bài 11: d(SA;BC) = a 21 .

Bài 12: a)

a 5
tan α
2

b)

Bài 13: a)

a 3
2

b)

Bài 14: a)

ah
a 2 + 4h 2

Bài 15:

a 3
3

Bài 16:

2a 5
5

b)

a 5 tan α
5 tan 2 α + 4
a 3
4
bh
b 2 + 4h 2

Bài 17:

a 2
2

17


Bài 18:

a 105
21

Bài 19:

a 2
3

KIỂM NGHIỆM
Đề tài này tôi đã tiến hành thực nghiệm ở hai lớp 11B5 (35 em), lớp đối
chứng là lớp 11B7 (30 em) của trường THPT Vĩnh Lộc. Cả hai lớp có chất
lượng học sinh đồng đều như nhau. Qua thực nghiệm lớp 11B5, qua bài kiểm
tra 1 tiết, kết quả thu được đã phản ánh được hiệu quả bước đầu của sáng kiến
này.
Kết quả ban đầu và kết quả kiểm tra khảo sát được thể hiện trong bảng
sau:
G

Lớp
K

11B5 (%)
TB
Y

Lớp
K

11B7 (%)
TB
Y

16,2

32,4

29,7 21,7 0

12,9

22,6

35,5 26,0

28,6

40

11,4 8,6

22,6

35,5

25,8 16,1

Kém

G

Kém

Kết quả
thông tin 0
ban đầu
Kết quả
kiểm tra 11,4

0

khảo sát

18


C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT:
Qua thực nghiệm giảng dạy ở các buổi phụ đạo và sự đóng góp ý kiến
của các đồng nghiệp, sáng kiến đã thu được kết quả nhất định:
1) Học sinh trung bình đã nắm được cách làm và biết vận dụng vào
bài tập sách giáo khoa, sách bài tập.
2) Có thể làm tài liệu tham khảo để xây dựng đề thi học sinh giỏi
cho khối 11 và đề thi thử đại học.
3) Là tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh.
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG

Thanh hóa, ngày 26 tháng 04 năm 2015
Tôi xin cam đoan đây là SSKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
Người thực hiện
(Ký, ghi rõ họ tên)

Trịnh Thanh Tùng

19


PHỤ LỤC SÁCH THAM KHẢO
1) Hình học 11 và Bài tập Hình học 11 – Cơ bản.
2) Hình học 11 và Bài tập Hình học 11 – Nâng cao.
3) Đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng từ năm 2007 đến 2013.
4) Hình học không gian – Chủ biên: Trần Văn Hạo- NXB GD VN.
5) Báo Toán học và Tuổi trẻ.

20


MỤC LỤC
A. ĐẶT VẤN ĐỀ…………………………………………………………..1.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ…………………………………………………2.
I. Cơ sở lí luận………………………………………………………………2.
II. Thực trạng của vấn đề…………………………………………………...2.
III. Giải pháp và tổ chức thực hiện…………………………………………4.
1. Các bài toán……………………………………………………………4.

2. Các ví dụ áp dụng……………………………………………………...7.
3. Các bài tập đề nghị …………………………………………………...14.
Phần kiểm nghiệm………………………………………………………16.
C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT……………………………………………18.
Phần phụ lục sách tham khảo …………………………………………...19
Phần mục lục…………………………………………………………….20.

21