PT vô tỉ có lời giải
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (841.09 KB, 35 trang )
Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình
www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia
Phương trình-Hệ phương trình-Bất phương trình dành cho lớp 10
Tác giả: Nguyễn Văn Quốc Tuấn - Lớp B – K112 - Đại Học Y Hà Nội
Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
De
Các bài toán trong tài liệu là do Tuấn tổng hợp ở 1 số diễn đàn, 1 số tài liệu,. . . về phần
lời giải thì đa số là do Tuấn giải lại nhưng 1 số câu là do nhác quá :3 nên chép i nguyên
lời giải của nó. Vì thế nên tài liệu có gì sai sót mong các bạn ghóp ý để chỉnh sửa lại.
Tài liệu này Tuấn viết tặng 1 bạn ( Đừng hỏi là ai nhé :v ). Bên cạnh đó hi vọng các bạn
có 1 tài liệu để có thể tham khảo thêm. Chúc các bạn học tốt.
DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày!
Bài 1.
Giải phương trình sau:
Th
√
√
√
√
x + 3 + 3x + 1 = 2 x + 2x + 2
Lời giải:
Điều kiện: x ≥ 0
Ta có:
iTh
√
√
√
√
3x + 1 − 2x + 2 = 2 x − x + 3
√
√
⇐⇒ 3x + 1 + 2x + 2 − 2 6x2 + 8x + 2 = 4x + x + 3 − 4 x2 + 3x
√
√
⇐⇒ 6x2 + 8x + 2 = 2 x2 + 3x
⇐⇒ 6x2 + 8x + 2 = 4 (x2 + 3x)
⇐⇒ 2x2 − 4x + 2 = 0 ⇐⇒ x = 1
Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 1
Giải phương trình sau:
et
u.N
Bài 2.
√
√
3
3
x 35 − x3 x + 35 − x3 = 30
Lời giải:
√
Đặt 3 35 − x3 = y ⇐⇒ x3 + y 3 = 35
Kết hợp với phương trình ban đầu ta có hệ:
x3 + y 3 = 35
xy (x + y) = 30
⇐⇒
www.Dethithu.Net
(x + y)3 − 3xy (x + y) = 35
xy (x + y) = 30
⇐⇒
(x + y)3 = 125
xy (x + y) = 30
⇐⇒
1
x+y =5
xy = 6
⇐⇒
x=3
x=2
Nguyễn Văn Quốc Tuấn
Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình
www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia
DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày!
Vậy nghiệm của phương trình là:
Bài 3.
x=3
x=2
Giải phương trình sau:
De
√
3
16x4 + 5 = 6 4x3 + x
Lời giải:
Ta có V T > 0 nên điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là V P > 0 ⇐⇒ x > 0
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số dương ta có:
Th
√
3
6 4x3 + x = 2.3. 3 (4x3 + x) .1.1 ≤ 2 4x3 + x + 1 + 1
Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
Mặt khác ta có:
16x4 + 5 ≥ 2 4x3 + x + 1 + 1
⇐⇒ 16x4 − 8x3 − 2x + 1 ≥ 0 ⇐⇒ (2x − 1)2 4x2 + 2x + 1 ≥ 0
iTh
Do đó: V T ≥ V P khi đó
√
3
16x4 + 5 = 6 4x3 + x ⇐⇒
4x3 + x = 1
2x − 1 = 0
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x =
Giải phương trình sau:
1
2
1
2
et
u.N
Bài 4.
⇐⇒ x =
√
3 x2 − 1 + 4x = 4x 4x − 3
Lời giải:
Điều kiện: x ≥
Ta có:
3
4
√
√
3 x2 − 1 + 4x = 4x 4x − 3 ⇐⇒ 3x2 + 4x − 3 = 4x 4x − 3
√
⇐⇒ 3x2 − 4x 4x − 3 + 4x − 3 = 0 ⇐⇒
⇐⇒
www.Dethithu.Net
√
x = 4x − 3
√
3x = 4x − 3
x−
√
4x − 3
x2 = 4x − 3
9x2 = 4x − 3
⇐⇒
2
3x −
⇐⇒
√
4x − 3 = 0
x=3
x=1
Nguyễn Văn Quốc Tuấn
Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình
www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia
DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày!
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
Bài 5.
x=3
x=1
Giải hệ phương trình sau:
De
√
√
x + 1 + 3y .x + (3y 2 + 1) x + 1 − 51y − 27 = 7y 3 + 36y 2
x2 + y 2 + 3x + 5y + 10 = 0
Lời giải:
Điều kiện: x ≥ −1
Đặt:
√
x + 1 = a (a ≥ 0)
Th
Thay a2 − 1 = x vào phương trình thứ nhất ta được
iTh
(a + 3y) (a2 − 1) + (3y 2 + 1) a − 51y − 27 = 7y 3 + 36y 2
⇐⇒ a3 + 3a2 y + 3ay 2 = 7y 3 + 36y 2 + 54y + 27
⇐⇒ a3 + 3a2 y + 3ay 2 + y 3 = 8y 3 + 36y 2 + 54y + 27
√
⇐⇒ (a + y)3 = (2y + 3)3 ⇐⇒ a = y + 3 ⇐⇒ y = a − 3 ⇒ y = x + 1 − 3
Thế xuống phương trình thứ 2 ta được: x2 + 4x + 5 =
Đặt
√
x+1
√
x + 1 = y + 2 (y ≥ −2)
Khi đó ta có hệ phương trình:
⇐⇒
et
u.N
x2 + 4x + 3 = y
y 2 + 4y + 3 = x
x2 − y 2 + 5 (x − y) = 0
x2 + 4x + 3 = y
⇐⇒
(x − y) (x + y + 5) = 0
x2 + 4x + 3 = y
⇐⇒
x=y
x2 + 3x + 3 = 0
(V N )
Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 6.
Giải phương trình sau:
2x − 1 +
√
√
3x − 2 = 8x2 − 2x − 2
Lời giải:
Điều kiện: x ≥
2
3
www.Dethithu.Net
3
Nguyễn Văn Quốc Tuấn
Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình
www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia
Biến đổi phương trình đầu trở thành:
√
2x − 1 + 3x − 2 =
2(2x − 1)2 + 2 (3x − 2)
DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày!
De
1
2x − 1 = a
a≥
3
Đặt:
√
3x − 2 = b (b ≥ 0)
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
√
a + b = 2a2 + 2b2 ⇐⇒ a2 + 2ab + b2 = 2a2 + 2b2 ⇐⇒ (a − b)2 = 0 ⇐⇒ a = b
Từ đó ta có:
x=1
√
3x − 2 ⇐⇒ 4x2 − 4x + 1 = 3x − 2 ⇐⇒ 4x2 − 7x + 3 = 0 ⇐⇒
3
x=
4
Th
2x − 1 =
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
Giải hệ phương trình sau:
√
6x
− 2 = 3x − y + 3y (1)
y
√
2 3x + 3x − y = 6x + 3y − 4 (2)
iTh
Bài 7.
x=1
3
x=
4
Lời giải:
Điều kiện:
3x ≥ y = 0
√
3x + 3x − y ≥ 0
et
u.N
Ta có:
√
√
(1) ⇐⇒ 2 (3x − y) = y 3x − y + 3y 2 ⇐⇒ 2 (3x − y) − y 3x − y − 3y 2 = 0
√
√
√
2 3x − y = 3y
⇐⇒ 2 3x − y − 3y
3x − y + y = 0 ⇐⇒
√
3x − y = −y
Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
√
Trường hợp 1: 2 3x − y = 3y thì
√
2 3x − y = 3y
⇐⇒
2 3x + 3y = 6x + 3y − 4
2
Trường hợp 2:
√
3x − y = −y thì
√
2 3x − y = 3y
6x + 3y ≥ 0
2 (6x + 3y) = 6x + 3y − 4
√
3x − y = −y
√
2 3x + 3x − y = 6x + 3y − 4
www.Dethithu.Net
⇐⇒
4
⇐⇒
√
2 3x − y = 3y
6x + 3y = 8
√
3x − y = −y
√
2 3x − y = 6x + 3y − 4
Nguyễn Văn Quốc Tuấn
Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình
www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia
DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày!
√
3x − y = −y
−2y = 6x + 3y − 4
⇐⇒
⇐⇒
√
3x − y = −y
6x + 5y = 4
De
Từ đây các bạn tự tìm ra nghiệm.
Bài 8.
Giải phương trình sau:
√
√
2x2 + x + 9 + 2x2 − x + 1 = x + 4
Lời giải:
Th
Xét x = −4 không phải là nghiệm của phương trình khi đó ta biến đổi phương trình như sau:
√
√
2x2 + x + 9 + 2x2 − x + 1 = x + 4
2x + 8
√
⇐⇒ √
=x+4
2+x+9−
2−x+1
2x
2x
√
√
⇐⇒ 2x2 + x + 9 − 2x2 − x + 1 = 2
iTh
Kết hợp với phương trình ban đầu ta có hệ:
√
√
2x2 + x + 9 − 2x2 − x + 1 = 2
√
√
2x2 + x + 9 + 2x2 − x + 1 = x + 4
√
⇒ 2 2x2 + x + 9 = x + 6
⇐⇒ 4 (2x2 + x + 9) = x2 + 12x + 36
⇐⇒ 7x2 − 8x = 0 ⇐⇒
et
u.N
Thử lại ta thấy thỏa mãn.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
Bài 9.
Giải phương trình sau:
x+
Lời giải:
x=0
x = 87
x=0
8
x=
7
5+
√
x−1=6
Điều kiện: x ≥ 1
www.Dethithu.Net
5
Nguyễn Văn Quốc Tuấn
Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình
www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia
Biến đổi phương trình đã cho như sau:
x+
5+
√
x−1=a
√
5+ x−1=b
De
Đặt:
√
x − 1 = 6 ⇐⇒ x − 1 +
5+
√
x−1=5
(a ≥ 0, b ≥ 5)
Khi đó ta có:
a2 + b = 5
b2 = a + 5
⇐⇒
Th
a2 + b = 5
a2 − b2 + a + b = 0
⇐⇒
a2 + b = 5
a+b=0
a−b+1=0
⇐⇒
2
a + b =√5
1 ± 21
⇐⇒
a=
2√
−1
±
17
a=
2
a2 + b = 5
(a + b) (a − b + 1) = 0
⇐⇒
a2 + b = 5
a2 − a − 5 = 0
a2 + a + 1 = 5
iTh
√
−1
+
17
a=
2√
⇐⇒
b = 1 + 17
2
√
11 − 17
Từ đó ta tính được x =
.
2
√
11 − 17
Vậy x =
là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
2
Giải phương trình sau:
√
Lời giải:
et
u.N
Bài 10.
2 √
− x
3
1 − x2 =
2
1 − x2 ≥ 0
⇐⇒ 0 ≤ x ≤ 1
x≥0
√
a= x
2
Đặt:
a ≥ 0, b ≤
2 √
b= − x
3
3
Điều kiện:
Khi đó ta có hệ mới.
www.Dethithu.Net
6
Nguyễn Văn Quốc Tuấn
Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình
www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia
Th
De
2
a+b= 2
a+b=
⇐⇒
3
3
√ 1 − a4 = b2
a4 + b4 = 1
2
2
a+b=
a+b=
3
⇐⇒
⇐⇒
3
(a2 + b2 )2 − 2a2 b2 = 1
(a + b)2 − 2ab 2 − 2a2 b2 = 1
2
2
a+b=
a
+
b
=
3
3
2
⇐⇒
⇐⇒
16
65
4
2
2
2
2
2a b − ab −
=0
− 2ab − 2a b = 1
9
81
9
2
a+b=
√3
8
−
194
ab =
18
⇐⇒
2
a+b=
√3
8
+
194
ab =
18
√
2
8 − 194
y − y+
=0
3
√ 18
a, b là nghiệm của phương trình
2
8 + 194
y2 − y +
= 0 (V N )
3
18
1
Từ đó ta tìm được nghiệm duy nhất của phương trình đã cho là: x =
−2 +
9
iTh
Bài 11.
2
2
√
194 − 6 +
Giải hệ phương trình sau:
x + 3 = 2 (3y − x) (y + 1) (1)
√
3y − 2 − x + 5 = xy − 2y − 2 (2)
2
y≥2
3
Điều kiện:
x
≥
−5
(3y − x) (y + 1) ≥ 0
Ta có:
et
u.N
Lời giải:
y≥2
3
⇐⇒
x
≥
−5
3x − y ≥ 0
√
√
(1) ⇐⇒ 3 (y + 1) − (3y − x) = 2 3y − x. y + 1
√
√
√
√
√
2
2
2
⇐⇒ 2 y + 1 − 2 3y − x. y + 1 +
y+1 −
3y − x
=0
√
√
√
√
√
√
√
⇐⇒ 2 y + 1 y + 1 − 3y − x +
y + 1 − 3y − x
y + 1 + 3y − x = 0
√
√
√
√
⇐⇒
y + 1 − 3y − x 3 y + 1 + 3y − x = 0
√
√
√
√
y + 1 − 3y − x = 0
⇐⇒
⇐⇒ y + 1 = 3y − x ⇐⇒ x = 2y − 1 (3)
√
√
0 = 3 y + 1 + 3y − x > 0 (L)
www.Dethithu.Net
7
Nguyễn Văn Quốc Tuấn
97
2
Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình
www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia
Thay (3) vào (2) ta được
√
De
Và (2) ⇐⇒ 2 − (2y + 1)
√
3y − 2 +
Th
Do
√
y + 2 = 2y 2 − 3y − 2
2 (y − 2)
√
= (y − 2) (2y + 1)
⇐⇒ √
3y − 2 + y + 2
2
√
⇐⇒ (y − 2) √
− (2y + 1) = 0
3y
−
2
+
y+2
y=2⇒x=3
2
⇐⇒
√
√
− (2y + 1) = 0 (4)
3y − 2 + y + 2
3y − 2 −
√
y + 2 = 0 (5)
√
√
2
2
⇒ (2y + 1) 3y − 2 + y + 2 ≥ 2. + 1
3
3
√
√
7 8
⇐⇒ − (2y + 1) 3y − 2 + y − 2 ≤ −
3 3
y≥
Mà 2 − (2y + 1)
√
3y − 2 +
√
y−2 ≤2−
8
< 0 nên (5) vô nghiệm.
3
iTh
7
3
2
+2
3
So với điều kiện hệ phương trình có nghiệm duy nhất: (x; y) = (3; 2)
Bài 12
Giải hệ phương trình sau:
√
x + x2 + 1 = y +
x2 + y 2 − xy = 1
Điều kiện:
y≥1
y ≤ −1
et
u.N
Lời giải:
y2 − 1
Biến đổi phương trình đầu như sau:
√
√
x + x2 + 1 = y + y 2 − 1 ⇐⇒ x − y = y 2 − 1 − x2 + 1
√
⇒ x2 − 2xy + y 2 = x2 + y 2 − 2 x2 + 1. y 2 − 1
√
⇐⇒ xy = x2 + 1. y 2 − 1 ⇒ x2 y 2 = (x2 + 1) (y 2 − 1) ⇐⇒ y 2 − x2 = 1
Khi đó ta được hệ mới:
www.Dethithu.Net
8
Nguyễn Văn Quốc Tuấn
Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình
www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia
y 2 − x2 = 1
x2 + y 2 − xy = 1
2x2 − xy = 0
y 2 − x2 = 1
⇐⇒
De
x2 + y 2 − xy = y 2 − x2
y 2 − x2 = 1
x=0
y = ±1
x=0
±1
⇐⇒
⇐⇒
2x = y
x= √
2
3
y − x2 = 1
±2
y=√
3
⇐⇒
Thử lại thì hệ phương trình có các nghiệm: (x; y) = (0; 1) ,
1 2
√ ;√
3 3
Th
Lưu ý: Bài toán được giải hoàn chỉnh nhưng tại sao lại phải thử lại nghiệm. Ở đây vì khi biến
đổi phương trình thứ nhất chúng ta không đặt điều kiện nên sau khi giải ra nghiệm chúng ta phải
thử lại. Mặt khác nếu chúng ta không đặt điều kiện mà bình phương thì dùng dấu ⇒ nhé.
Bài 13.
Giải phương trình sau:
√
4 x2 + x + 1 = 1 + 5x + 4x2 − 2x3 − x4 (1)
2
iTh
Lời giải:
Ta có: (x2 + x + 1) = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1
Khi đó
√
(1) ⇐⇒ 4 x2 + x + 1 = − x2 + x + 1
√
x2 + x + 1 (a > 0)
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
+ 7 x2 + x + 1 − 5
et
u.N
Đặt: a =
2
√
1+ 5
a=
2√
a2 + a − 5 = 0 ⇐⇒
−1 + 21
a=
2
a4 − 7a2 + 4a + 5 = 0 ⇐⇒
√
1+ 5
Với a =
thì
2
√
a2 − a − 1
√
√
√
1
+
5
1
+
5
−1
±
3
+
2
5
x2 + x + 1 =
⇐⇒ x2 + x −
= 0 ⇐⇒ x =
2
2
2
www.Dethithu.Net
9
Nguyễn Văn Quốc Tuấn
Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình
www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia
√
Với a =
−1 + 21
thì
2
√
√
√
−1 + 21
−9 + 21
−1 ±
2
2
x +x+1=
⇐⇒ x + x +
= 0 ⇐⇒ x =
2
2
De
x=
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
Bài 14.
x=
−1 ±
−1 ±
√
19 − 2 21
2
√
3+2 5
2
√
19 − 2 21
2
Giải phương trình sau:
16x2 − 23x + 10 = (x + 2)
√
4x2 + 4x − 7
Th
Lời giải:
√
−1 + 2 2
x≥
2 √
Điều kiện:
−1 − 2 2
x≤
2
iTh
Ta có:
et
u.N
√
16x2 − 23x + 10 = (x + 2) 4x2 + 4x − 7
√
√
⇐⇒ 4x2 + 4x − 7 − (4x − 3) 4x2 + 4x − 7 + (5x + 1) 4x2 + 4x − 7 − (5x + 1) (4x − 3) = 0
√
√
⇐⇒
4x2 + 4x − 7 + 5x − 1
4x2 + 4x − 7 − (4x − 3) = 0
√
√
4x2 + 4x − 7 + 5x − 1 = 0
4x2 + 4x − 7 = 1 − 5x
√
√
⇐⇒
⇐⇒
4x2 + 4x − 7 − (4x − 3) = 0
4x2 +
4x − 7 = 4x − 3
1
1
x≤
x≤
5
5
2
4
2
2
4x + 4x − 7 = 25x − 10x + 1
21x − 14x + 8 = 0
x
=
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
3
x≥ 3
x≥ 3
x=1
4
4
4x2 + 4x − 7 = 16x2 − 24x + 9
12x2 − 28x + 16 = 0
4
x=
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
3
x=1
Bài 15.
Giải phương trình sau:
√
√
3
3
12x2 + 46x − 15 − x3 − 5x + 1 = 2x + 2
Lời giải:
Đặt: a =
√
√
3
12x2 + 46x − 15, b = 2x + 1, c = 3 x3 − 5x + 1
www.Dethithu.Net
10
Nguyễn Văn Quốc Tuấn
Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình
www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia
Ta có:
De
√
√
3
12x2 + 46x − 15 − 3 x3 − 5x + 1 = 2x + 2
√
√
⇐⇒ 3 12x2 + 16x − 15 − (2x + 1) = 3 x3 − 5x + 1 + 1
12x2 + 46x − 15 − (2x + 1)3
x3 − 5x + 2
⇐⇒
= 2
a2 + ab + b2
c −c+1
3
3
−8(x − 5x + 2)
x − 5x + 2
⇐⇒
= 2
a2 + ab + b2
c −c+1
8
1
3
⇐⇒ (x − 5x + 2)( 2
+
)=0
a + ab + b2 c2 − c + 1
x=2
√
⇐⇒ x = −1 + 2
√
x = −1 − 2
Th
x=2
√
Vậy nghiệm của phương trình là: x = −1 + 2
√
x = −1 − 2
Bài 16.
Giải phương trình sau:
√
x2 + x + 1 +
√
√
5x2 + 1 − 2x2 + 1 = 3x2
4x2 + x + 1
iTh
Lời giải:
√
Biến đổi phương trình đầu trở thành:
√
√
√
√
x2 + x + 1 + 4x2 + x + 1
5x2 + 1 − 2x2 + 1 = 3x2
√
√
√
√
⇐⇒
x2 + x + 1 + 4x2 + x + 1 .3x2 = 3x2
5x2 + 1 + 2x2 + 1
⇐⇒
x=0
√
√
√
√
2
2
x + x + 1 + 4x + x + 1 = 5x2 + 1 + 2x2 + 1
et
u.N
Mặt khác:
√
√
√
√
x2 + x + 1 + 4x2 + x + 1 = 5x2 + 1 + 2x2 + 1
√
√
√
√
⇐⇒ 5x2 + 1 − 4x2 + x + 1 = 2x2 + 1 − x2 + x + 1
x2 − x
x2 − x
√
√
√
√
⇐⇒
=
5x2 + 1 + 4x2 + x + 1
2x2 + 1 + x2 + x + 1
x2 − x = 0
√
√
√
√
⇐⇒
2x2 + 1 + x2 + x + 1 = 5x2 + 1 + 4x2 + x + 1
x=1
x=0
⇐⇒ x = 0
⇐⇒
√
√
x=1
2x2 + 1 = 5x2 + 1
Vậy nghiệm của phương trình là:
www.Dethithu.Net
x=0
x=1
11
Nguyễn Văn Quốc Tuấn
Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình
www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia
Bài 17.
Giải bất phương trình sau:
√
(x + 1) (x − 3) −x2 + 2x + 3 < 2 − (x − 1)2
Lời giải:
x≥3
x ≤ −1
De
Điều kiện:
Biến đổi bất phương trình như sau:
√
(x + 1) (x − 3) −x2 + 2x + 3 < 2 − (x − 1)2
√
⇐⇒ (x2 − 2x − 3) −x2 + 2x + 3 < −x2 + 2x + 1
Th
Đặt:
√
−x2 + 2x + 3 = t (t ≥ 0)
Khi đó bất phương trình đã cho trở thành:
t3 < t2 − 2 ⇐⇒ t3 − t2 + 2 < 0
⇐⇒ (t + 1) (t2 − 2t + 2) < 0 ⇐⇒ t < −1 (KT M )
iTh
Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 18.
Giải phương trình sau:
3
(3x + 1)2 +
Đặt:
√
3
3x + 1 = a
√
⇒ a3 − b3 = 2
3
3x − 1 = b
Khi đó ta có hệ phương trình:
a2 + b2 + ab = 1
a3 − b3 = 2
Lúc đó:
√
3
9x2 − 1 = 1
a2 + b2 + ab = 1
(a − b) (a2 + b2 + ab) = 2
⇐⇒
⇐⇒
a2 + b2 + ab = 1
a=b+2
⇐⇒
a=1
b = −1
√
3
3x + 1 = 1
√
3
3x − 1 = −1
www.Dethithu.Net
(3x − 1)2 +
et
u.N
Lời giải:
3
⇐⇒
3b2 + 6b + 3 = 0
a=b+2
⇐⇒ x = 0
12
Nguyễn Văn Quốc Tuấn
Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình
www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x = 0
Bài 19.
Giải bất phương trình sau:
√
√
√
(3 − x) x − 1 + 5 − 2x ≥ −x3 + 10x2 − 34x + 40 (1)
De
Lời giải:
Điều kiện: 1 ≤ x ≤
5
2
Ta có:
Th
(1) ⇐⇒ 2 (3 − x) (x − 1) (5 − 2x) ≥ −2x3 + 17x2 − 47x + 44
√
√
⇐⇒ 2 −2x3 + 17x2 − 48x + 45. x − 1 ≥ (−2x3 + 17x2 − 48x + 45) + (x − 1)
√
√
2
⇐⇒
−2x3 + 17x2 − 48x + 45 − x − 1 ≤ 0
√
√
⇐⇒ −2x3 + 17x2 − 48x + 45 = x − 1
⇐⇒ −2x3 + 17x2 − 49x + 46 ⇐⇒ x = 2 (T M )
Vậy nghiệm của bất phương trình là: x = 2
iTh
Bài 20.
Giải hệ phương trình sau:
√
5
Lời giải:
x−1+
√
3
x + 8 = −x3 + 1
Ta có x = 0 là 1 nghiệm của phương trình.
Trường hợp 1. Với x > 0 thì ta có:
√
5
et
u.N
Mặt khác:
x−1+
√
3
x+8>
√
5
0−1+
√
3
0 + 8 = 1 trong khi đó
−x3 + 1 < 1 do đó phương trình đã cho vô nghiệm.
Trường hợp 2. Với x < 0 thì ta có
vô nghiệm.
√
5
x−1+
√
3
x + 8 < 1 < −x3 + 1 nên phương trình cũng
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 0.
Bình loạn: Thông thường khi chúng ta gặp các bài toán mà số mũ của mỗi phần tử không có
1 tý nào liên quan đến nhau thì hay đoán nghiệm và sử dụng đánh giá xem sao nhé.
www.Dethithu.Net
13
Nguyễn Văn Quốc Tuấn
Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình
www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia
Bài 21.
Giải hệ phương trình sau:
√
1 + x = 3x + 3 y (1)
2x y √4x2 + 2y
√
4x + y = 2x + 6 − 2 y (2)
De
Lời giải:
Điều kiện:
Đặt:
−3 ≤ x = 0
y>0
√
y = z (z > 0) khi đó phương trình (1) trở thành:
Th
2x2 + z 2
3x + 3z
2
= 2
⇐⇒ (2x2 + z 2 ) = xz 2 (3x + 3z)
2
xz
2x + z 2
⇐⇒ 4x4 + 4x2 z 2 + z 4 = 3x2 z 2 + 3xz 3 ⇐⇒ 4x4 + x2 z 2 − 3xz 3 + z 4 = 0
2
x 4
x 2
x
2x
x 2 x
⇐⇒ 4
+
− 3. + 1 = 0 ⇐⇒
−1 .
+ +1 =0
z
z
z
z
z
z
√
⇐⇒ 2x = z ⇒ 2x = y
Thay vào phương trình còn lại ta được:
iTh
4x2 + 8x =
√
2x + 6
⇐⇒
x>0
16x + 64x + 64x2 = 2x + 6
⇐⇒
x>0
8x + 32x + 32x2 − x − 3 = 0
4
4
3
3
x>0
(2x + 3x − 1) (4x2 + 10x + 3) = 0
√
√
−3 + 17
13 − 3 17
⇐⇒ x =
⇒y=
4
2
⇐⇒
2
et
u.N
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) =
Bài 22.
Giải phương trình sau:
√
√
x+3− x+1
Lời giải:
Điều kiện: x ≥ −1
www.Dethithu.Net
√
√
−3 + 17 13 − 3 17
;
4
2
x2 +
14
√
x2 + 4x + 3 = 2x
Nguyễn Văn Quốc Tuấn
Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình
www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia
Ta có phương trình đã cho tương đương với:
2
√
x2 + (x + 3) (x + 1) = 2x
x+3+ x+1
√
√
⇐⇒ x2 + (x + 3) (x + 1) = x x + 3 + x + 1
√
√
⇐⇒ x − x + 3 x − x+ 1 = 0
√
De
√
x= x+3
√
x= x+1
⇐⇒
⇐⇒
x≥0
x2 − x − 3 = 0
x≥0
x2 − x − 1 = 0
√
13
x=
2√
⇐⇒
1+ 5
x=
2
1+
√
1+ 5
x=
2√
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
1 + 13
x=
2
Th
Ps: Bài toán nay mình đã làm mất khá nhiều thời gian nhưng đăng lên diễn đàn và nhìn đáp án
lại thấy khá là cơ bản. Do đó mình rút ra 1 kinh nghiệm là khi làm chúng ta nên sử dụng
các biến đổi đơn giản, không nên sử dụng các biến đổi phức tạp, biến bài toán trở nên
khó khăn.
iTh
Bài 23.
Giải phương trình sau:
√
Lời giải:
Điều kiện:
1 + x2 + x4 + x =
√
x − x3
0≤x≤1
−∞ < x ≤ −1
et
u.N
Xét với x = 0 không phải là nghiệm của phương trình.
Với x ∈ (0; 1] ta có:
x
Đặt
1
+ x2 + 1 + x = x
x2
1
− x ⇐⇒
x
1
+ x2 + 1 + 1 =
x2
1
−x
x
1
1
− x = t ⇒ t4 = 2 + x2 − 2 khi đó phương trình đã cho trở thành:
x
x
√
t4 + 3 + 1 = t ⇐⇒
t−1≥0
t4 + 3 = t2 − 2t + 1
⇐⇒ t = −1 (loai)
Xét với (−∞; −1] ta có
−
www.Dethithu.Net
1
+ x2 + 1 + 1 = −
x2
15
1
−x
x
Nguyễn Văn Quốc Tuấn
Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình
www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia
Tương tự ta có:
1
1
− x = t ⇒ t4 = 2 + x2 − 2
x
x
Khi đó
√
− t4 + 3 + 1 = −t ⇐⇒
De
t+1≥0
t + 3 = t2 + 2t + 1
4
⇐⇒ t = 1 (T M )
Với
√
−1 + 5
(loai)
1
x=
2
√
t = 1 ⇒ − x = 1 ⇐⇒ x2 + x − 1 = 0 ⇐⇒
−1 − 5
x
x=
2
Th
−1 −
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x =
2
Bài 24.
√
−1 −
⇐⇒ x =
2
√
5
5
Giải bất phương trình sau:
iTh
√
7 − 2x
4
x x+ √
>4 x+ −2
x
x
Lời giải:
Điều kiện x > 0.
et
u.N
Bất phương trình đã cho tương đương với.
√
√
x2 − 2x + 7 > 4 x2 − 2x + 4 ⇐⇒ x2 − 2x + 4 − 4 x2 − 2x + 4 + 3 > 0
√
√
√
x2 − 2x + 4 < 1
2
2
√
⇐⇒
x − 2x + 4 − 1
x − 2x + 4 − 3 > 0 ⇐⇒
x2 − 2x + 4 > 3
√
x>1+ 6
√
⇐⇒ x2 − 2x − 5 > 0 ⇐⇒
x<1− 6
Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là x > 1 +
Bài 25.
Giải phương trình sau:
x + 3 2 − 3x2
2
√
6
=2
Lời giải:
www.Dethithu.Net
16
Nguyễn Văn Quốc Tuấn
Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình
www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia
Đặt: 2 − 3x2 = y ta có hệ
x + 3y 2 = 2
y + 3x2 = 2
⇐⇒
De
x = 2 − 3y 2
y = 2 − 3x2
x=y
x − y = 3x2 − 3y 2
1 − 3x
⇐⇒
y=
2
3
y = 2 − 3x
y = 2 − 3x2
⇐⇒
Với y = x thay vào phương trình còn lại ta được 3x2 + x − 2 = 0 ⇐⇒
Với y =
1 − 3x
thì ta có:
3
x = −1
2
x=
3
Th
√
1 − 3x
5
1 ± 21
2
2
= 2 − 3x ⇐⇒ 3x − x − = 0 ⇐⇒ x =
3
3
6
Bài 26.
iTh
x = −1
x= 2
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
3 √
1 ± 21
x=
6
Giải bất phương trình sau:
√
Lời giải:
√
x3 − 1 +
√
x2 − 2x
et
u.N
Điều kiện: x ≥ 2
3x2 − 12x + 5 ≤
Bất phương trình đã cho tương đương với:
3x2 − 12x + 5 ≤ x3 − 1 + x2 − 2x + 2 (x − 1) (x2 + x + 1) x (x − 2)
⇐⇒ x3 − 2x2 + 10x − 6 + 2 (x − 1) (x − 2). (x2 + x + 1) x ≥ 0
√
√
⇐⇒ (x3 + x2 + x) − 3 (x2 − 3x + 2) + 2 x2 − 3x + 2. x3 + x2 + x ≥ 0
x2 − 3x + 2
x2 − 3x + 2
⇐⇒ 1 − 3. 3
+
2
≥0
x + x2 + x
x3 + x2 + x
Đặt: a =
x2 − 3x + 2
(a ≥ 0) thì lúc đó ta có:
x3 + x2 + x
−1
≤ a ≤ 1 ⇐⇒ a ≤ 1
3
⇐⇒ x2 − 3x + 2 ≤ x3 + x2 + x
⇐⇒ x3 + 4x − 2 ≥ 0
1 − 3a2 + 2a ≥ 0 ⇐⇒
www.Dethithu.Net
17
Nguyễn Văn Quốc Tuấn
Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình
www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia
Nhận thấy với x ≥ 2 luôn đúng.
Vậy nghiệm của bất phương trình là: x ≥ 2
De
Bài 27.
Giải phương trình sau:
Lời giải:
4x2 − 7x − 19 =
√
4x2 − 4x − 14
√
15
x
≥
2√
Điêu kiện:
1 − 15
x≤
2
Biến đổi phương trình đã cho như sau:
√
4x2 − 7x − 19 = 4x2 − 4x − 14
1+
Th
2
⇐⇒
16x4 + 49x2 + 361 − 56x3 − 152x2 + 266x = 4x2 − 4x − 14
4x2 − 7x − 19 ≥ 0
⇐⇒
16x4 − 56x3 − 107x2 + 270x + 375 = 0
4x2 − 7x − 19 ≥ 0
iTh
⇐⇒
(4x2 − 7x − 19) = 4x2 − 4x − 14
4x2 − 7x − 19 ≥ 0
2
⇐⇒
2
(x − 2x − 5) (16x − 24x − 75) = 0
4x2 − 7x − 19 ≥ 0
√
x=1± 6
√
3
±
2
21
⇐⇒
x=
4
2
4x − 7x − 19 ≥ 0
√
x=1+ 6
√
⇐⇒
3 − 2 21
x=
4
√
x=1+ 6
√
Vậy nghiệm của phương trình là
3 − 2 21
x=
4
Giải bất phương trình sau:
et
u.N
Bài 28.
2x2
√
3 − 9 + 2x
Lời giải:
Điều kiện:
−9
≤x=0
2
www.Dethithu.Net
18
2
< x + 21
Nguyễn Văn Quốc Tuấn
Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình
www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia
Ta có:
2x2
√
3 − 9 + 2x
⇐⇒
De
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
2
< x + 21
x2
√
< x + 21
9 + x − 3 9 + 2x
√
x2 < (x + 21) 9 + x − 3 9 + 2x
√
(x + 21) 9 + 2x < 10x + 63
(x + 21)2 (9 + 2x) < (10x + 63)2
7
x2 (2x − 7) < 0 ⇐⇒ 0 = x <
2
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là P =
Giải hệ phương trình sau:
Th
Bài 29.
−9 7
;
\ {0}
2 2
x2 − xy + 7x + y = 8
√
√
√ √
√
x x− y =
x+1− x−1
4
−4
Lời giải:
⇐⇒
iTh
Điều kiện: x ≥ 1, y ≥ 0
Hệ phương trình đã cho tương đương
(x − 1) (x − y + 8) = 0
√
√
x − xy = 8 x2 − 1 − x x2 − 1
x=1
x+8=y
x−
√
√
xy = 8 x2 − 1 − x x2 − 1
et
u.N
Trường hợp 1: x = 1 ⇒ y = 1
⇐⇒
Trường hợp 2: y = x + 8 thay vào ta được:
√
√
√
x x − x + 8 = −8 + 8x x − x2 − 1
√
√
√
√
⇐⇒ x + 8 x + 8 − x = 8x x − x2 − 1
√
8
1
√
⇐⇒ x + 8. √
√ = 8x.
x +√8 + x
x + x2 − 1
√
√
√
2
⇐⇒ x + 8 x + x − 1 = x x + 8 + x
√
⇐⇒
(x + 8) (x2 − 1) = x x ⇐⇒ 8x2 − x − 8 = 0
√
√
1 + 257
129 + 257
⇒x=
⇒y=
16
16
√
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) = (1; 1) ,
www.Dethithu.Net
19
1+
√
√
257 129 + 257
;
16
16
Nguyễn Văn Quốc Tuấn
Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình
www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia
Bài 30.
Giải phương trình sau:
x=
√
√
√
√
√
√
3 − x. 4 − x + 5 − x. 4 − x + 3 − x. 5 − x
Lời giải:
De
Điều kiện: x ≤ 2
Biến đổi phương trình trở thành:
√
√
√
√
√
3 − x 2 − x + 4 − x + 4 − x. 2 − x − x = 0
Đặt:
(a < b)
Th
a2 + b2
√
2−x=a
= (3 − x)
2
√
⇒
2
4−x=b
(a + b) − 3 = −x + √4 − x.√2 − x
2
Khi đó phương trình đã cho trở thành hệ phương trình sau:
a2 + b2
(a + b)2
(a + b) +
=3
2
2
a2 − b2 = −2
Vậy nghiệm của phương trình là: x =
Bài 31.
Giải phương trình sau:
√
Lời giải:
47
24
et
u.N
iTh
−3 2
a2 + b2
(a + b)2
(a − b2 ) =
(a + b) +
2
2
2
2
−3
a + b2 a + b
⇐⇒
(a + b) (a − b) = (a + b)
+
2
2
2
a+b=0
a2 + b2
2
2
⇐⇒
⇐⇒
−2a
+
b
=
−3
a +b
a+b
2
(a − b) =
+
2
2
2
b ≥ 2a
2
2
⇐⇒
4a2 − 4ab + b2 = a + b
2
√
√
b
≥
2a
4
−
x
≥
2
2−x
√
√
b ≥ 2a
⇐⇒
⇐⇒
a=b ⇒
4−x= 2−x
√
√
7a2 − 8ab + b2 = 0
7a = b
7 2−x= 4−x
√
√
4−x≥2 2−x
47
⇐⇒
⇐⇒ x =
24
49 (2 − x) = 4 − x
⇒
5x2 + 14x + 9 −
√
√
x2 − x − 20 = 5 x + 1
Điều kiện: x ≥ 5
www.Dethithu.Net
20
Nguyễn Văn Quốc Tuấn
Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình
www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia
De
Ta biến đổi như sau:
√
√
√
P T ⇐⇒ 5x2 + 14x + 9 = x2 − x − 20 + 5 x + 1
√
√
⇐⇒ 5x2 + 14x + 9 = x2 − x − 20 + 25 (x + 1) + 10 x2 − x − 20. x + 1
√
⇐⇒ 4x2 − 10x + 5 − 10 (x − 5) (x + 1). x + 4 = 0
√
⇐⇒ 4 (x2 − 4x − 5) − 5 4 (x2 − 4x − 5). x + 4 + 6 (x + 4) = 0
√
√
⇐⇒
4 (x2 − 4x − 5) − 3 x + 4
4 (x2 − 4x − 5) − 2 x + 4 = 0
√
x=8
2
4 (x2 − 4x − 5) = 3 x + 4
4x − 25x − 56 = 0
√
√
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
5 + 61
2
2
4 (x − 4x − 5) = 2 x + 4
4x − 20x − 36 = 0
x=
2
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
Th
Bài 32.
x=8
√
5 + 61
x=
2
Giải hệ phương trình sau:
√
x− y+2= 3
2
√
7
y + 2 (x − 2) x + 2 = −
4
iTh
Lời giải:
Điều kiện: x ≥ −2; y ≥ −2
u2 − v = 7 (1)
√
√
2
Đặt: u = x + 2; v = y + 2 với u, v ≥ 0 hệ trở thành
1
2
2
v + 2 (u − 4) u = (2)
4
Thế (1) vào (2) ta được:
et
u.N
2
7
1
+ 2u3 − 8u =
2
4
4
3
2
⇐⇒ u + 2u − 7u − 8u + 12 = 0
⇐⇒ (u − 1) (u − 2) (u2 + 5u + 6) = 0
⇐⇒ u = 1 ∨ u = 2
u2 −
Vì u2 + 5u + 6 > 0, ∀u ≥ 0.
−5
không thỏa mãn
2
x=2
1
Với u = 2 ⇒ v = ta tìm được
7
y=−
2
4
x=2
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
7
y=−
4
Với u = 1 ⇒ v =
www.Dethithu.Net
21
Nguyễn Văn Quốc Tuấn
Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình
www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia
Bài 33.
Giải hệ phương trình sau:
x2 y 2 − 2x + y 2 = 0
2x2 − 4x + 3 + y 3 = 0
Lời giải:
De
Ta có:
2 2
2x
1 + x2
⇐⇒
2(x − 1)2 + 1 + y 3 = 0
2
x y − 2x + y = 0
2x2 − 4x + 3 + y 3 = 0
Vì
y2 =
Khi đó
Th
2x
≤ 1 (∀x ∈ R) nên −1 ≤ y ≤ 1
1 + x2
y ≥ −1 ⇐⇒ 1 + y 3 ≥ 0 ⇐⇒ 2(x − 1)2 + 1 + y 3 ≥ 0
⇐⇒
x−1=0
1 + y3 = 0
x=1
y = −1
⇐⇒
iTh
Thử lại vào hệ phương trình đã cho thỏa mãn
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) = (1; −1)
Bài 34.
Giải phương trình sau:
12xy + 12 (x2 + y 2 ) +
Lời giải:
Điều kiện x + y = 0.
Viết lại hệ phương trình thành:
9 x+y+
et
u.N
9
= 85
(x + y)2
6x (x + y) + 3 = 13 (x + y)
2
1
x+y
1
3 x+y+
x+y
a=x+y+ 1
(|a| ≥ 2)
x+y
Đặt
b=x−y
www.Dethithu.Net
+ 3(x − y)2 = 103
+ 3 (x − y) = 13
ta có:
22
Nguyễn Văn Quốc Tuấn
Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình
www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia
9a2 + 3b2 = 103
3a + 3b = 13
2b2 − 13b + 11 = 0
3a = 13 − 3b
⇐⇒
De
Khi đó
x + y + 1 = 10
x+y
3
x−y =1
2 −1
;
3 3
Th
Bài 35.
2 −1
;
3 3
(loai)
, (2; 1)
, (2; 1)
Giải phương trình sau:
√
x2 − 2
Điều kiện: 0 ≤ x ≤
√
√
√
15 − x2 + x = 15 − 3 15x − x3 − 4 x
iTh
Lời giải:
Đặt:
⇐⇒
a = −7
6
11
b=
2
⇐⇒ (x; y) =
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) =
a = 10
3
b=1
15
√
a = 15 − x2
√
b= x
(a, b ≥ 0) khi đó phương trình đã cho trở thành:
et
u.N
a2 − 3ab − 4b + 2 (a + b2 ) = 0
⇐⇒ a2 + 2b2 − 3ab + 2 (a − 2b) = 0
⇐⇒ (a − 2b) (a − b) + 2 (a − 2b) = 0
a = 2b
a=b−2
⇐⇒
Với: a = 2b thì
√
√
15 − x2 = 2 x ⇐⇒ 15 − x2 = 4x ⇐⇒
Với a = b − 2 khi đó
√
15 − x2 =
Mặt khác:
0≤x≤
www.Dethithu.Net
√
√
x−2
15 ⇒
√
√
x = −2 + 19
√
x = −2 − 19 (loai)
√
15 − 2 <
x−2≤
23
√
16 − 2 = 0
Nguyễn Văn Quốc Tuấn
Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình
www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia
nên phương trình đó vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = −2 +
De
Bài 36.
√
19
Giải hệ phương trình:
√
√
7x + y − 2x + y = 4
√
7√
2 2x + y −
5x + 10y = 2
10
Lời giải:
Ta có:
Th
Đặt:
√
7x + y = a
√
2x + y = b
(a, b ≥ 0)
5x + 10y = −3 (7x + y) + 13 (2x + y)
√
√
= −3a2 + 13b2 ⇒ 5x + 10y = −3a2 + 13b2
iTh
Khi đó ta có hệ phương trình mới:
et
u.N
a−b=4
√
7
2b −
−3a2 + 13b2 = 2
10
a=b+4
⇐⇒
7√ 2
2b −
10b − 24b − 48 = 2
10
a=b+4
√
⇐⇒
20b − 20 = 7 10b2 − 24b − 48
a=b+4
⇐⇒
b≥1
2
90b − 376b − 2752 = 0
⇐⇒
a = 12
⇒
b=8
⇐⇒
x = 16
y = 32
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
Bài 37.
Giải phương trình sau:
x+2
www.Dethithu.Net
7x + y = 144
2x + y = 64
x = 16
y = 32
4
3x − 1
4 x + 4
=4
5
20
24
Nguyễn Văn Quốc Tuấn
Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình
www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia
Lời giải:
Điều kiện: x ≥
1
3
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
De
x+2
3x − 1
3x − 1
8x + 4
≤x+
+1=
5
5
5
Mặt khác:
4
x4 + 4
8x + 4
2x + 1
4 x + 4
≥
⇐⇒
≥
20
5
20
5
125 (x4 + 4)
4
3
2
⇐⇒
≥ 16x + 32x + 24x + 8x + 1
4
⇐⇒ 61x4 − 128x3 − 96x2 − 32x + 496 ≥ 0
⇐⇒ (x − 2)2 (61x2 + 116x + 124) ≥ 0 (∀x ∈ R)
4
Th
Do đó:
4
4
4
3x − 1
5
iTh
x4 + 4
≥x+2
20
Dấu bằng xảy ra khi: x = 2
Vậy nghiệm của phương trình là: x = 2.
Bài 38.
Giải bất phương trình sau:
et
u.N
x (x + 2)
√ ≥1
(x + 1)3 − x
Lời giải:
Điều kiện: x ≥ 0.
Với x ≥ 0 thì
(x + 1)3 −
www.Dethithu.Net
√
x > 0.
25
Nguyễn Văn Quốc Tuấn
