GIẢI MỘT SỐ DẠNG PT VÔ TỈ BẰNG PP ĐẶT ẨN PHỤ

giải một số dạng phơng trình
vô tỉ bằng phơng pháp đặt ẩn
phụ
1) phơng trình dạng
+ +d =n (1)
Trong đó a,b,c,d.n là những hằng số, c>o, d 0.
Điều kiện : a+cx 0, b-cx 0 (2) điều kiện này tơng ứng với (a+cx)(b-cx) 0 và a+b 0
Để giải PT này , ta đăt ẩn phụ
t= + , t 0 sử dụng hằng đẳng thức (x+y) ta có 2= t -a-b (3)
PT đẵ cho trở thành PT quen thuộc 2t+d(t -a-b)=2n (4)
đến đây ta giải PT(4) bậc 2 ẩn t 0 rồi thay giá tri t vào (3) để gigỉ PT bậc 2 ẩn x
So sánh nghiệm x tìm đợc với điều kiện ban đầu để rút ra kết luận.
Xét điều kiện đối với t. Từ (3) có ta+b và t -a-b= (a+cx)+(b-cx)=a+b
t2(a+b) vậy điều kiện với ẩn phụ t để PT (3) ẩn x có nghiệm là t (5)
Vì a+b0 nên (5) (2) là điều kiện để PT (1) có nghiệm.
Ví dụ 1: Xét PT + =n (1)
a) Giải PT với n=2.
b) Tìm các giái trị của n để PT có nghiệm
Giải
Điều kiện




+
03
01
x
x
-1x3

Đặt t= + ,t0 khi đó t=4+2 hay 2=t-4 (2)
Với n=2 PT (1) trở thành 2t-(t -4)=4 t -2t=0 t =0, t =2
Nhận thấy t =0 thoả mãn (2). Thay t =2 vào (2) ta đợc =0 x =-1, x =3 thoả mãn điều
kiện ban đầu.
c) Tơng tự nh trên ta có PT (1) trở thành 2t-(t -4)=2n t -2t+2n-4=0
Nếu = 5-2n 0 thì PT có nghiệm t =1+ , t =1- .
Điều kiện ở đây là 2 t 2 . Với t không thoả mãn. t có 21+ 2
2-2 n 2.
2) phơng trình dạng

bxax
++
2ab-
2
+ =cx+m (*) trong đó a,b,c,m là hằng số, a 0.
Điều kiện : x-b 0 xb. Thông thòng ở đề bài chỉ cho hiệu số a -b=d, ta phải thay
d=a -b. Để giải PT (*) đặt ẩn phụ t= , t 0 ta có t=x-b x= t +b. Thay vào
x+ a -b 2a đợc t + a 2at= (ta). PT (*)
trở thành | t+a | + | t-a | =c( t +b)+m (**)
Xét 2 trờng hợp:
a) t a thì (**) trở thành 2t=ct +bc+m ct -2t+bc+m=0 (***)
b) 0ta thì (**) trở thành 2a=ct+bc+m ct -2a+bc+m=0 (****)
Giải các PT (***), (****) ta tìm đợc nghiệm , lúc đó x= t +b thoả mãn điều kiện đề bài
Ví dụ 1: Xét PT + = (1)
a) Giải PT với m=23
d) Tìm các giái trị của m để PT có nghiệm
Giải
Điều kiện: x-9 0 x 9 Đặt ẩn phụ t= khi đó x= t +9 PT đã cho trở thành :
6= t +9+m 6(
3

+
t
+
3

t
)= t +9+m






=+
=++
)30(027
)3(0912
2
2
tmt
tmtt

a) Với m=23 có





=
=+

)30(4
)3(03212
2
2
tt
ttt
Giải ra đợc t=8, t =4, t =2 PT có 3 nghiệm là: x =73, x =25, x =13
b)Với t 3 thì t-12t+9+m=0 (t-6) =27-m. PT này có nghiệm khi m 27
Với 0 t 3 thì PT t =27-m có nghiệm khi m 27.
Vậy PT (1) có nghiệm khi m 27