Các phương pháp tính khoảng cách trong không gian hay

Thầy Giáo : Hồ Thức Thuận

/>
A. CƠ SỞ LÍ THUYẾT
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho điểm O và đường thẳng . Gọi H là hình chiếu của O trên . Khi đó
khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường
thẳng . Kí hiệu d (O, )
* Nhận xét
- M , OM  d (O, )
- Để tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng  ta có thể
+ Xác định hình chiếu H của O trên  và tính OH
+ Áp dụng công thức
2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho điểm O và mặt phẳng (). Gọi H là hình chiếu của O trên (). Khi đó
khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt
phẳng (). Kí hiệu d (O,( ))
* Nhận xét
- M  ( ), OM  d (O,( ))
- Để tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng () ta có thể sử dụng một trong
các cách sau:
Cách 1. Tính trực tiếp. Xác định hình chiếu H của O trên () và tính OH
* Phương pháp chung.
- Dựng mặt phẳng (P) chứa O và vuông góc với ()
- Tìm giao tuyến  của (P) và ()
- Kẻ OH   ( H  ). Khi đó d (O,( ))  OH . Đặc biệt:
+ Trong hình chóp đều, thì chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy
+ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường vuông góc hạ
từ đỉnh sẽ thuộc giao tuyến của mặt bên đó với đáy
+ Hình chóp có 2 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao
tuyến của hai mặt bên này

+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc tạo với đáy những góc bằng
nhau) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy
+ Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường
cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy
Cách 2. Sử dụng công thức thể tích
1
3V
Thể tích của khối chóp V  S .h  h 
. Theo cách này, để tính khoảng
3
S
cách từ đỉnh của hình chóp đến mặt đáy, ta đi tính V và S
Cách 3. Sử dụng phép trượt đỉnh
Ý tưởng của phương pháp này là: bằng cách trượt đỉnh O trên một đường
thẳng đến một vị trí thuận lợi O ' , ta quy việc tính d (O,( )) về việc tính d (O ',( )) .
Ta thường sử dụng những kết quả sau:
1


Thầy Giáo : Hồ Thức Thuận

/>
Kết quả 1. Nếu đường thẳng  song song với mặt phẳng () và M, N   thì
d (M ;( ))  d ( N ;( ))
Kết quả 2. Nếu đường thẳng  cắt mặt phẳng () tại điểm I và M, N   (M, N
không trùng với I) thì
d ( M ;( )) MI

d ( N ;( )) NI
1

Đặc biệt, nếu M là trung điểm của NI thì d ( M ;( ))  d ( N ;( ))
2
nếu I là trung điểm của MN thì d (M ;( ))  d ( N ;( ))
Cách 4. Sử dụng tính chất của tứ diện vuông
Cơ sở của phương pháp này là tính chất sau: Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O
( OA  OB, OB  OC, OC  OA ) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Khi
đó đường cao OH được tính bằng công thức
1
1
1
1



OH 2 OA2 OB 2 OC 2
Cách 5. Sử dụng phương pháp tọa độ
Cơ sở của phương pháp này là ta cần chọn hệ tọa độ thích hợp sau đó sử dụng các
công thức sau:
Ax0  By0  Cz0  D
d ( M ;( )) 
với M ( x0 ; y0 ; z0 ) , ( ) : Ax  By  Cz  D  0
A2  B 2  C 2
MA  u
với  là đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương u
d ( M , ) 
u
d (,  ') 

u  u '. AA '
u  u'

với  ' là đường thẳng đi qua A ' và có vtcp u '

Cách 6. Sử dụng phương pháp vectơ
3. Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó
Cho điểm đường thẳng  song song với mặt phẳng (). Khoảng cách giữa
đường thẳng  và mặt phẳng () là khoảng cách từ một điểm bất kì của  đến mặt
phẳng (). Kí hiệu d (,( ))
* Nhận xét
- M , N  ( ), MN  d (,( ))
- Việc tính khoảng cách từ đường thẳng  đến mặt phẳng () được quy về việc
tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì
của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Kí hiệu d (( );(  ))
2


Thầy Giáo : Hồ Thức Thuận

/>
* Nhận xét
- M  ( ), N  ( ), MN  d (( );( ))
- Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về việc tính
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đường thẳng  cắt cả a và b đồng thời
vuông góc với cả a và b được gọi là đường vuông góc chung của a và b. Đường
vuông góc chung  cắt a tại H và cắt b tại K thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b. Kí hiệu d (a, b) .

* Nhận xét
- M  a, N  b, MN  d (a, b)
- Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau a và b ta làm như sau:
+ Tìm H và K từ đó suy ra d (a, b)  HK
+ Tìm một mặt phẳng (P) chứa a và song song với b. Khi đó d (a, b)  d (b,( P))
+ Tìm cặp mặt phẳng song song (P), (Q) lần lượt chứa a và b. Khi đó
d (a, b)  d (( P),(Q))
+ Sử dụng phương pháp tọa độ
* Đặc biệt
- Nếu a  b thì ta tìm mặt phẳng (P) chứa a và vuông góc với b, tiếp theo ta tìm
giao điểm I của (P) với b. Trong mp(P), hạ đường cao IH. Khi đó d (a, b)  IH
- Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC thì đoạn thẳng nối hai trung điểm
của AB và CD là đoạn vuông góc chung của AB và CD.

3


Thầy Giáo : Hồ Thức Thuận

/>
B. CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ
I) Phương pháp tính trực tiếp
Ví dụ 1.
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc BAD  600 , có
SO vuông góc mặt phẳng (ABCD) và SO = a.
a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC).
b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC).
Lời giải.
S
a) Hạ OK  BC  BC   SOK 

Trong (SOK) kẻ OH  SK  OH   SBC 
 d  O,  SBC    OH .

F

a
Ta có ABD đều  BD  a  BO  ; AC  a 3
2
Trong tam giác vuông OBC có:
1
1
1
13
a 39




OK

OK 2 OB 2 OC 2 3a 2
13
B
D
Trong tam giác vuông SOK có:
1
1
1
16
a 3



 2  OH 
2
2
2
OH
OS
OK
3a
4
a 3
Vậy d  O,  SBC    OH 
4
b) Ta có AD / / BC  AD / /  SBC 

H

A

B
D
K

E
O

C

 d  AD,  SBC    d  E,  SBC  

Kẻ EF / /OH  F  SK  . Do OH   SBC   EF   SBC 
 d  AD,  SBC    d  E ,  SBC    EF  2OH 

a 3
2

Ví dụ 2. (Đề thi Đại học khối A năm 2010).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao
S
điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với
mặt phẳng (ABCD) và SH  a 3 . Tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
Lời giải.
Ta có: MAD  NCD  ADM  DCN
 MD  NC
Do SH   ABCD   MD  SH

K
N

A

D
H

4

M

B

C


Thầy Giáo : Hồ Thức Thuận

/>
MD   SHC 
Kẻ HK  SC  K  SC 
Suy ra HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC nên d  DM , SC   HK
Ta có:
CD 2 2a
HC 

CN
5
SH  HC
2 3a
HK 


2
2
19
SH  HC
2 3a
Vậy d  DM , SC  
19

II) Phương pháp sử dụng công thức tính thể tích.
Ví dụ 3.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 2 . Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm của các cạnh SA, SB, CD. Tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN).
Phân tích. Theo giả thiết, việc tính thể tích các khối chóp S.ABCD hay S.ABC hay
AMNP là dễ dàng. Vậy ta có thể nghĩ đến việc quy việc tính khoảng cách từ P đến
mặt phẳng (AMN) về việc tính thể tích của
S
các khối chóp nói trên, khoảng cách từ P đến
(AMN) có thể thay bằng khoảng cách từ C
đến (SAB).
Lời giải.
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, khi đó
M
N
SO  (ABCD).
M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB
D
P
1
1
a2 7
C
nên S AMN  S ANS  S ABS 
2
4
16
O
A

PC / /( AMN )
.
B
 d  ( P,( AMN ))   d  (C ,( AMN )) 
Vậy:
1
1 1
VP. AMN  S AMN .d  ( P,( AMN ))   . S ABS .d  (C ,( AMN )) 
3
3 4
1
a 6
1
1
1 1
 VC . ABS  VS . ABC  . S ABC .SO . S ABC  a 2 , SO  SA2  AO 2 
.
2
2
4
4
4 3
1 1 2 a 6 a3 6
3V
6
Vậy VAMNP  . a .
 d  ( P,( AMN ))   PAMN  a

S AMN
7

12 2
2
48

5


Thầy Giáo : Hồ Thức Thuận

/>
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc
với đáy hình chóp. Cho AB = a, SA = a 2 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A
trên SB, SD. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (AHK).
Phân tích. Khối chóp AOHK và ASBD có chung đỉnh, đáy cùng nằm trên một mặt
phẳng nên ta có thể tính được thể tích khối chóp OAHK, hơn nữa tam giác AHK cân
nên ta tính được diện tích của nó.
Lời giải.
S
1
Cách 1: VOAHK  S AHK .d  O;  AHK  
3
Trong đó:
1
1
1
3
a 6
K
;




 2  AH 
2
2
2
I
AH
AB
AS
2a
3
G
J
D
a 6
H
SAD  SAB  AK  AH 
A
3
O
Ta có HK và BD đồng phẳng và cùng vuông góc
với SC nên HK // BD.
B
AI cắt SO tại G là trọng tâm của tam giác SAC, G
thuộc HK nên
HK SG 2
2
2 2a
. Tam giác AHK cân tai A, G là trung điểm


  HK  BD 
BD SO 3
3
3
2
2 1
1
2a
của HK nên AG  HK và AG  AI  . SC  .2a 
3
3 2
3
3
2
1
1 2a 2 2a 2 2 a
S AHK  AG.HK  . .

2
2 3
3
9
1
1
1
VOAHK  VAOHK  d  A;  OHK  .SOHK  d  A;  SBD  .SOHK  h.SOHK
3
3
3

Tứ diện ASBD vuông tại A nên:
1
1
1
1
5
a 10





h

h2 AS 2 AB 2 AD 2 2a 2
5
Tam giác OHK cân tại O nên có diện tích S bằng
1
1 a 10 2 2a
5a 2
1
2a 3
S  OG.HK  .
.

 VOAHK  Sh 
2
2 6
3
9

3
27
3
2a
3
3V
27  a
 d  O;  AHK    OAHK 
S AHK
2
2 2a 2
9
2
Cách 2: Ta chứng minh VOAHK  VSABD
9

6

C


Thầy Giáo : Hồ Thức Thuận

/>
2
1
Ta có: HK  BD; OG  SO
3
3
1

1 2
2
 SOHK  HK  OG   BD  SO  S SBD
2
2 9
9
2
2 1
1
a3 2
 VAOHK  VSABD   SA  AB  AD 
9
9 3
2
27

Cách 3: Giải bằng phương pháp tọa độ như sau:
Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O  A, B(a ; 0 ; 0), D(0 ; a ; 0), S(0 ; 0 ; a 2 ).
 2a a 2   2a a 2   a a 
Tính SH, SK suy ra tọa độ của H  0; ;
 , K  ;0;
 , O  ; ;0 
3
3
3
3

 
 2 2 
1

Áp dụng công thức V   AH , AK  . AO
6
Cách 4: SC  (AHK) nên chân đường vuông góc hạ từ O xuông (AHK) có thể xác
định được theo phương SC.
* AH  SB, AH  BC (do BC  (SAB))  AH  SC
Tương tự AK  SC. Vậy SC  (AHK)
* Giả sử (AHK) cắt SC tại I, gọi J là trung điểm của AI, khi đó OJ // SC
 OJ  (AHK).
SA = AC = a 2  SAC cân tại A  I là trung điểm của SC.
1
1
1
a
Vậy OJ  IC  SC  .2a 
2
4
4
2
III) Phương pháp trượt
Ví dụ 5. (Đề thi Đại học khối B năm 2011).
Cho lăng trụ ABCDA1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật AB  a, AD  a 3 .
Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của
AC và BD, góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích của
khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ
B1
điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a.
C1
Phân tích. Do B1C // (A1BD) nên ta
trượt đỉnh B1 về vị trí thuận lợi C và
quy việc tính d  B1;  A1BD   thành tính

A1
D1

d  C;  A1BD  

Bài giải.
* Gọi O là giao điểm của AC và BD
 AO
  ABCD 
1

B
C

K

7

O
H

A

E

D


Thầy Giáo : Hồ Thức Thuận

/>
Gọi E là trung điểm AD
 OE  AD & A1E  AD
 A1EO  600

AO
 OE.tan A1EO 
1

a 3
2

S ABCD  a 2 3

Vlt  AO
.S ABCD
1

3a 3

2

* Tính d  B1;  A1BD   :
Cách 1:
Do B1C // (A1BD)
 d  B1;  A1BD    d  C;  A1BD  
Hạ CH  BD  CH   A1BD   d  C;  A1BD    CH 

CB.CD

CB  CD
2

2



a 3
2

Cách 2:
d  B1;  A1BD    d  C;  A1BD    d  A;  A1BD   

3VA ABD
1

S A BD
1

3

1
a
Trong đó: VA ABD  Vlt 
6
4
1
1 a 3
a2 3
SA BD  AO

.BD  
 2a 
1
2
2 2
2
3
a
3
a 3
 d  B1 ;  A1BD    2 4 
2
a 3
2
1

1

Ví dụ 6.
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O có cạnh bằng a,
SA  a 3 và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
a) Tính khoảng cách từ O đến (SBC).
b)Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến (SAC).
Phân tích: Do OA   SBC   C , nên thay vì việc tính d  O,  SBC   ta đi tính

d  A,  SBC   , tương tự như vậy ta có thể quy việc tính d  G,  SAC   thông qua việc

tính d  E,  SAC   hay d  B,  SAC  
Lời giải.
a) Ta có: OA   SBC   C nên:

8


Thầy Giáo : Hồ Thức Thuận
d  O,  SBC  
d  A,  SBC  



/>S

OC 1

AC 2

1
 d  O,  SBC    d  A,  SBC  
2
Gọi H là hình chiếu của A trên SB ta
G
H
 AH  SB
A
có: 
 AH   SBC 
F
 AH  BC
E
O

Trong tam giác vuông SAB có:
C
1
1
1
4
a 3
B




AH

AH 2 SA2 AB 2 3a 2
2
1
1
a 3
 d  O,  SBC    d  A,  SBC    AH 
2
2
4
b) Gọi E là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác SAB.
d  G,  SAC   GS 2
2

  d  G,  SAC    d  E ,  SAC  
Do EG   SAB   S nên
d  E ,  SAC   ES 3

3

 BO  AC
Ta có: 
 BO   SAC  ; BE   SAC   A
 BO  SA
1
1
a 2
2 a 2 a 2
 d  E ,  SAC    d  B,  SAC    BO 
 d  G,  SAC    

2
2
4
3 4
6

IV) Phương pháp sử dụng tính chất của tứ diện vuông
1. Định nghĩa. Tứ diện vuông là tứ diện có một đỉnh mà ba góc phẳng ở đỉnh đó
đều là góc vuông.
2. Tính chất. Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O
( OA  OB, OB  OC, OC  OA ) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng
(ABC). Khi đó đường cao OH được tính bằng công thức
1
1
1
1




OH 2 OA2 OB 2 OC 2
A
Chứng minh.
Giả sử AH  BC  D , OH  ( ABC )  OH  BC (1)
OA  OB, OA  OC  OA  BC (2)
H
Từ (1) và (2) suy ra BC  OD . Trong các tam giác
vuông OAD và OBC ta có
1
1
1
1
1
1
O
C


,


2
2
2
2
2
2
OH

OA
OD OD
OB
OC
D
1
1
1
1



Vì vậy
B
OH 2 OA2 OB 2 OC 2

9

D


Thầy Giáo : Hồ Thức Thuận

/>
Mục tiêu của phương pháp này là sử dụng các phép trượt để quy việc tính
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng về việc tính khoảng cách từ đỉnh của
tam diện vuông đến mặt huyền của nó và vì vậy áp dụng được tính chất trên
Ví dụ 7. Cho lăng trụ đều ABC. A ' B ' C ' có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của AA ' và BB ' . Tính khoảng cách giữa B ' M và CN
Phân tích. Để tính khoảng cách giữa B ' M và CN

ta tìm một mặt phẳng chứa CN và song song với
B ' M , tiếp theo ta dùng các phép trượt để quy việc
tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
về việc tính khoảng cách trong tứ diện vuông.

A'

C'

B'
M

N

D
Lời giải.
Gọi O, D lần lượt là trung điểm của BC và CN thì C
A
OACD là tứ diện vuông tại O. AMB ' N là hình
O
bình hành  NA / / B ' M . Mặt phẳng (ACN) chứa
B
CN và song song với B ' M nên
d ( B ' M , CN )  d ( B ' M ,( ACN ))  d ( B ',( ACN ))  d ( B,( ACN ))  2d (O,( ACD))  2h
Áp dụng tính chất của tứ diện vuông ta được
1
1
1
1
64

a 3
a 3





h

d
(
B
'
M
,
CN
)

.
Vậy
8
4
h2 OA2 OC 2 OD 2 3a 2

Ví dụ 8. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a. Gọi M là trung
điểm của DD ' . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và A ' D .
Lời giải.
Gọi N là trung điểm của BB ' thì
D'
C'

A ' NCM là hình bình hành nên
A ' N / /CM . Mặt phẳng ( A ' ND )
chứa A ' D và song song với CM nên
A'
B'
M
d (CM , A ' D)  d (CM ,( A ' ND))
với
O
 d ( M ,( A ' ND))  d ( M ,( A ' DE ))
G
N
Gọi
E  AB  A ' N .
D
C
O  AD ' A ' D, G  AD ' AM thì G
là trọng tâm của tam giác ADD ' . Do
d ( M ,( A ' DE )) GM 1
A
B
E

 .
đó
d ( A,( A ' DE )) GA 2
Tứ diện AA ' DE vuông tại A nên
1
1
1

1
9
2a





d
(
A
,(
A
'
DE
))

.
3
d 2 ( A,( A ' DE )) AA '2 AD 2 AE 2 4a 2
1
a
Vậy d (CM , A ' D)  d ( M ,( A ' DE ))  d ( A,( A ' DE )) 
2
3
10


Thầy Giáo : Hồ Thức Thuận

/>
V) Sử dụng phương pháp tọa độ.
* Phương pháp:
Bước 1: Chon hệ toạ độ Oxyz gắn với hình đang xét.
Bước 2: Chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ - véc tơ
Bước 3: Giải bài toán bằng phương pháp toạ độ, rồi chuyển sang ngôn ngữ hình học.
Ví dụ 9.
Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh bằng 1. Một mặt phẳng   bất kì đi qua
đường chéo B’D.
a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACD’) và (A’BC’)
b) Xác định vị trí của mặt phẳng   sao cho diện tích của thiết diện cắt bởi mp  
và hình lập phương là bé nhất.
A
N
B
z

Phân tích: Với một hình lập phương ta luôn
chọn được một hệ toạ độ thích hợp, khi đó tạo
C
độ các đỉnh đã biết nên việc tính khoảng cách D
H
giữa hai mặt phẳng (ACD’) và (A’BC’) trở nên
y
dễ dàng. Với phần b, ta quy việc tính diện tích
thiết diện về việc tính khoảng cách từ M đến
A'
B'
đường thẳng DB’.
Lời giải.

Chọn hệ toạ độ sao cho gốc toạ độ
O  D '  0;0;0 
D'
C'
M
A '  0;1;0 , B ' 1;1;0  , C ' 1;0;0  , A 0;1;1 , C 1;0;1
Gọi M là điểm bất kì trong đoạn thẳng C’D’, tức M  x;0;0  ; 0  x  1
a) Dễ dàng chứng minh được (ACD’) // (A’BC’)
 d   ACD ' ,  A ' BC '   d  A ',  ACD ' 
Mặt phẳng (ACD’) có phương trình: x  y  z  0
1
 d   ACD ' ,  A ' BC '   d  A ',  ACD '  
3
b) Giả sử   cắt (CDD’C’) theo giao tuyến DM, do hình lập phương có các mặt đối
diện song song với nhau nên   cắt (ABB’A’) theo giao tuyến B’N//DM và
DN//MB’. Vậy thiết diện là hình bình hành DMB’N.
Gọi H là hình chiếu của M trên DB’. Khi đó:
SDMB ' N  DB ' MH  DB ' d  M , DB ' .
Ta có: DB '  3
 MD; DB '
2x2  2x  2


d ( M , DB ') 

3
DB '

11

x


Thầy Giáo : Hồ Thức Thuận

/>2

1
1 3
3

Dấu đẳng thức xảy ra khi x 
S DMB ' N  2 x  2 x  2  2  x    
2
2 2
2

1

Nên diện tích S DMB ' N nhỏ nhất khi M  ;0;0  , hay M là trung điểm D’C’
2

 1 
Hoàn toàn tương tự nếu M  0; y;0   M  0; ;0 
 2 
Vậy diện tích S DMB ' N nhỏ nhất khi M là trung điểm D’C’ hoặc M là trung điểm D’A’.
2

Ví dụ 10.
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA   ABCD  , SA  a .

Gọi M là điểm di động trên cạnh CD. Xác định vị trí của M để khoảng cách từ điểm
S đến BM lớn nhất, nhỏ nhất.
Lời giải.
Chọn hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz sao cho
O  A  0;0;0  , B 1;0;0  , C 1;1;0  , D  0;1;0  ,

z
S

S  0;0;1.

M là điểm di động trên CD nên M  t;1;0 
với 0  t  1.
BM   t  1;1;0 

C

A

y

 SB, BM 
t 2  2t  3


d  S , BM  
 2
t  2t  2
BM
t 2  2t  3

Xét hàm số f  t   2
trên [0;1]
t  2t  2
2  t  1
f 't   2
2
 t  2t  2 
Ta có bảng biến thiên:

t
f’(t)



M

K
B
D
x

0



1

-

+

2

f(t)
3
2
3
f
t

Từ bảng biến thiên ta có min
, đạt được khi t = 0


0;1
2
12


Thầy Giáo : Hồ Thức Thuận

/>
max f  t   2 , đạt được khi t = 1
0;1

Do đó d  S , MB  lớn nhất khi M  C & d  S , BM   2
d  S , MB  nhỏ nhất khi M  D & d  S , BM  

3
2

VI) Sử dụng phương pháp véc tơ véc tơ.
* Phương pháp:
Bước 1: Chon hệ véc tơ gốc, đưa các giả thiết kết luận của bài toán hình học đã cho
ra ngôn ngữ “véc tơ”.
Bước 2: Thực hiện các yêu cầu của bài toán thông qua việc tiến hành biến đổi các hệ
thức véc tơ theo hệ véc tơ gốc.
Bước 3: Chuyển các kết luận “véc tơ” sang các kết quả hình học tương ứng.
Ví dụ 11. (Đề thi đại học khối D năm 2007).
Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang. ABC  BAD  900 , BA  BC  a ,
AD  2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA  a 2 . Gọi H là hình chiếu
vuông góc của A trên SB . Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( SCD) .
S

Lời giải.
Đặt AB  a; AD  b; AS  c
Ta có: a  c  0; b  c  0; a  b  0
N
1
E
H
SB  a  c; SC  a  b  c; SD  b  c
D
K
A
Q
2
Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ
P
H lên mặt phẳng (SCD)

B
C
 d ( H ;(SCD))  HN
SH 2
Dễ dàng tính được

M
SB 3
Khi
đó
:
2
HN  HS  SN   SB  xSC  ySD
3
2

x
 2

  x   a    y b    x  y c
3

2
 3

2 2 1 x

 2 2
 2
x


a


y
b


x

y
c  0 x  5







 HN  SC  0 
3
2 2

3


6


Ta có: 

y  1
 HN  SD  0  x  y  b 2   2  x  y  c 2  0




 2
3


3


13


Thầy Giáo : Hồ Thức Thuận

/>2

1
1
1
1 
1
 a
 HN  a  b  c  HN 
a  b  c 
6
12

6
6 
2
3


Cách 2:
Gọi d1 , d 2 lần lượt là khoảng cách từ các điểm H và B đến mp(SCD), ta có:
d1 SH 2
2
2 3V
2V

  d1  d 2   BSCD  BSCD
d 2 SB 3
3
3 SSCD
SSCD
1
1
1
1
a3
Trong đó VBSCD  SA  SBCD  SA  SBID  SA  AB  ID 
3
3
3
2
3 2
CD  AC

Ta có: 
 CD  SC
CD

SA

1
1
 SSCD  SC  CD 
SA2  AB 2  BC 2  CE 2  ED 2  a 2 2
2
2
a
 d1 
3
Cách 3: Sử dụng tính chất của tứ diện vuông.
Phân tích. Trong bài toán này, việc tìm chân đường vuông góc hạ từ H xuống mặt
phẳng (SCD) là khó khăn. Vì vậy, ta sẽ tìm giao điểm K của AH và (SCD) và quy
việc tính khoảng cách từ H đến (SCD) về việc tính khoảng cách từ A đến (SCD)
Gọi M là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AH với SM. Ta có:
BH 1
 . Suy ra H là trọng tâm của tam giác SAM.
BS 3
d  H ,  SCD   KH 1


Từ đó ta có:
d  A,  SCD   KA 3
Do tứ diện ASDM vuông tại A nên:
1

1
1
1
1



 2  d  A,  SCD    a
2
2
2
2
d  A,  SCD   AS
AD
AM
a
Vậy d  H ,  SCD   

a
3

* Nhận xét: Việc lựa chọn hệ véc tơ gốc là rất quan trọng khi giải quyết một bài toán
bằng phương pháp véc tơ. Nói chung việc lựa chọn hệ véc tơ gốc phải thoả mãn hai
yêu cầu:
+ Hệ véc tơ gốc phải là ba véc tơ không đồng phẳng.
+ Hệ véc tơ gốc nên là hệ véc tơ mà có thể chuyển những yêu cầu của bài toán
thành ngôn ngữ véc tơ một cách đơn giản nhất.

14

Thầy Giáo : Hồ Thức Thuận

/>
Ví dụ 12. (Đề thi ĐH khối B năm 2007)
Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . E là điểm
đối xứng của D qua trung điểm của SA . M , N lần lượt là trung điểm của AE và BC .
Tính khoảng cách giữa MN và AC .
S

E

Giải:



 


 




Đặt : OA  a, OB  b, OS  c
 

 

 

Ta có : a . c  0, b . c  0, a . b  0
1
1
MN  MA  AC  CN  SD  AC  CB
2
2
1
1
 SO  OD  AC  CO  OB
2
2
3
1
 a c
2
2










M

P

c

A



B

b O
N



AC  2 a
Gọi PQ là đoạn vuông góc chung của MN và AC , ta có:
1
PQ  PM  MA  AQ  xMN  SD  y AO
2
1  1
 3
 x   a  c   c  b  ya
2  2
 2
3 
1
1

   y  x  a   x  1 c  b
2 
2

2

2
3  2 1
3 
y

x
a

x

1
a
 0  x  1



 PQ  MN  0  2 
2 
4




3
2
y

3



 PQ  AC  0
2 y  x a  0

2

 
2 





1
1
a2
a 2
 PQ   b  PQ 2  OB 2   PQ 
2
4
8
4

Cách 2:
 MP / / AD

Ta có: 
;
1

MP

AD

2
 MN / /  SAC 

 NC / / AD

nên tứ giác MNCP là hình bình hành

1
NC

AD

2

 BO  SO
Do hình chóp SABCD đều  
 BO   SAC 
 BO  AC
1
1
1
a 2
 d  MN ; AC   d  N ;  SAC    d  B;  SAC    BO  BD 
2
2
4

4
15

D

a

C


Thầy Giáo : Hồ Thức Thuận

/>
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. (Đề thi Đại học khối D năm 2011).
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt
phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = SB  2a 3 và SBC  300 .
Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo
a.
Bài 2.
Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O, góc
BAD  600 . Các cạnh bên SA = SC; SB = SD  a 3 .
a) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC).
b) Tính khoảng cách giữa các đường thẳng SB và AD.
Bài 3. Cho tứ diên OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA  OB  OC  1.
Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, OA. Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng OM và CN.
Bài 4. (Đề thi Đại học khối A năm 2011).
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai
mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung

điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa
o
hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 . Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng
cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
Bài 5. (Đề thi Đại học khối D năm 2008).
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh
bên AA' a 2. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng
trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C.
Bài 6. (Đề thi Đại học khối D năm 2009).
Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,
AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’,I là giao điểm của
AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A điểm đến
mặt phẳng (IBC)

16