Luận văn bài toán tối ưu toàn phương lồi với ràng buộc tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PH Ạ M HÀ NỘI 2

N G U Y ỄN VĂN PH Ú

BÀI TOÁN TỐ I ƯU TOÀN PH Ư Ơ N G L ồ i
V Ớ I R À N G B U Ộ C T U Y Ế N T ÍN H

L U Ậ N V Ă N T H Ạ C SĨ T O Á N H Ọ C

Hà N ội - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PH Ạ M HÀ NỘI 2

N guyễn V ăn P h ú

BÀI TOÁN TỐ I ƯU TOÀN PH Ư Ơ N G L ồ i
V Ớ I R À N G B U Ộ C T U Y Ế N T ÍN H

C h u y ê n n g à n h : T o á n g iả i tíc h
M ã số: 60 46 01 02

L U Ậ N V Ă N T H Ạ C SĨ T O Á N H Ọ C

N g ư ờ i h ư ớ n g d ẫ n k h o a họ c:
P G S . T S. N guyễn N ăn g T âm

Hà N ội - 2015

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn th àn h tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm. Sự giúp
đỡ và hướng dẫn tận tình song rất nghiêm túc của thầy trong suốt quá
trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều
trong cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn,
lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường
và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ,
tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập.
Tác giả xin chân thành cảm ơn .

Hà Nội, ngày 10 tháng 08 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Văn Phú


LỜI CAM ĐOAN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại Học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm.
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn th àn h luận văn tôi đã kế thừ a
những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự
trâ n trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn
trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Hà Nội, ngày 10 tháng 08 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Văn Phú


M ục lục

Lời c ả m ơ n

iii

Lời c a m đ o a n

iv

B ả n g k ý h iệ u

v ii

M ở đầu

1

1

K iế n th ứ c c h u ẩ n b ị

3

1.1.

và hàm l ồ i ............................................................

3

1.1.1. Tập l ồ i ..............................................................................

3

1.1.2. Nón lùi xa của một tập l ồ i .........................................

5

1.1.3. Hàm l ồ i ...........................................................................

6

1.2.

2

Tập lồi

Hệ bất phương trình tuyến tính và tập lồi đa diện . . . .

11

1.2.1. Hệ bất phương trình tuyến t í n h ...............................

11

1.2.2. Tập lồi đa d i ệ n .............................................................

13

1.3. Hàm toàn phương l ồ i ..................................................................

13

1.4. Bài toán tối ưu lồi

15

B ài

.....................................................................

to á n tố i ư u to à n p h ư ơ n g lồi với rà n g b u ộ c tu y ế n tí n h 20

2.1. P h át biểu bài t o á n .....................................................................

20


2 .2 . Sự tồn tại n g h iệ m ......................................................................

22

2.3.

Điều kiện cực trị

......................................................................

27

2.4.

Tính ổn định của tập nghiệm

..............................................

41

2.5.

2.4.1.

Tính nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm . . . .

42

2.4.2.

Tính nửa liên tục trên của ánh xạ nghiệm . . . .

46

Hàm giá trị tối ưu của bài toán có tham s ố .......................

52

K ế t lu ậ n

58

T ài liệu th a m k h ả o

59

vi


B Ả N G K Ý H IỆ U

N

Tập số tự nhiên

R

Tập số thực

M _ |_

Tập số thực dương

0

Tập hợp rỗng

Rn

Không gian Euclide n chiều trên trường số thực

(x, y) = x Ty = X )"=1 XịVị

Tích vô hướng của hai vectơ X và y

IMI =

Chuẩn Euclide của vectơ X

B {x, ố)

Hình cầu mở tâm X, bán kính ô

B (x, ô)

Hình cầu đóng tâm X, bán kính ô

[z,ỉ/]

Đoạn thẳng đóng nối X và y

0+ (ơ )

Nón lùi xa của tập lồi c

/

Hàm bao đóng của /

dom ĩ

Tập hữu dụng của hàm /

e p iự )

Trên đồ th ị của hàm /

ỡ / (®)

Dưới vi phân của / tại X

v /(x )

Vectơ gradient của / tại X

5oỉ (P)

Tập nghiệm của bài toán (P)

5o/ (-D, ^4, c, 6)

Tập nghiệm của bài toán tối ưu toàn phương

(W
ỊỊ^mxn

Bài toán tối ưu toàn phương

R nxn
s
AT

Không gian các m a trậ n đối xứng n X n
Ma trậ n chuyển vị của A

TA (x)

Nón tiếp của A tại X

□

Kết thúc chứng minh.

Không gian các m a trậ n m X n


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Quy hoạch toàn phương lồi là một bộ phận của quy hoạch toàn
phương đã được nghiên cứu nhiều và gần như đã mang tính hoàn thiện
một cách chuẩn mực. Tuy vậy, việc tìm hiểu những khía cạnh khác nhau
của quy hoạch toàn phương lồi một cách th ấu đáo hơn vẫn luôn là một
việc làm có nhiều ý nghĩa (xem [2], [4] và những tài liệu tham khảo trong
đó).
Sau khi được học những kiến thức về Toán giải tích, với mong muốn tìm
hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mối quan hệ và ứng dụng của

chúng, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu:
“ B à i to á n tố i ư u to à n p h ư ơ n g lồi với rà n g b u ộ c tu y ế n tí n h

2. M ục đích nghiên cứu
Nghiên cứu chi tiết và toàn diện về những tính chất định tính của
bài toán tối ưu toàn phương lồi với ràng buộc tuyến tính.

3. N h iệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu bài toán tối ưu toàn phương lồi với ràng buộc tuyến
tính dựa trên những tài liệu đã có. Phân tích bài toán và sau đó nghiên
cứu các khía cạnh cơ bản của bài toán.


2

4. Đ ối tượng và phạm vi nghiền cứu
Hàm tối ưu toàn phương lồi.
Hệ bất phương trình tuyến tính.
Bài toán tối ưu lồi.
Điều kiện cực trị.
Sự tồn tại nghiệm và tính ổn định tập nghiệm của bài toán tối ưu
toàn phương lồi với ràng buộc tuyến tính.

5. Phương pháp nghiên cứu
T hu th ập thông tin về bài toán tối ưu toàn phương lồi với ràng
buộc tuyến tính.
Sưu tầm , nghiên cứu các tài liệu liên quan.
Suy luận logic, phân tích, tổng hợp và sắp xếp và trình bày các
kiến thức thu th ập được theo phương pháp của Giải tích.

6. Đ ón g góp mới của luận văn
Luận văn trình bày một tổng quan có hệ thống cùng với sự phân
tích sâu sắc, chi tiết về m ột số tính chất của bài toán tối ưu toàn phương
lồi với ràng buộc tuyến tính.


Chương 1
K iến thức chuẩn bị
1.1.

Tập lồi và hàm lồi
Trong phần này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản liên

quan đến tập lồi và hàm lồi. Đây là những kiến thức cơ bản làm nền
tảng cho việc nghiên cứu bài toán tối ưu toàn phương lồi với ràng buộc
tuyến tính.
Nội dung của chương này được tham khảo dựa trên các tài liệu [1] - [3].

1.1.1.

T ậ p lồi

Đ ịn h n g h ĩa 1.1.1. [1] Tập con

c

của Mn được gọi ỉà tập lồi nếu

a x + (1 — a )y € c , Vx, y € c , Va e [0,1].
Chú ý rằng, ta quy ước tập rỗng là tập lồi.

M ệ n h đ ề 1.1.1. [1]
(a) Giao n iaiCị của họ các tập lồi {Cị \i G 1} là tập lồi.

c2của hai tập lồi Ci và c2ỉà tập lồi.
tập c lồi thì tập xc lồi với mọi X. Hơn nữa,

(b) Tổng Cị +
(c) Nếu

3

nếu

c là một tập


4

lồi và Al, л 2 là vô hướng dương, thì
(Ai + X2)C = XгС + \ 2C.

(d) Bao đóng và phần trong của một tập lồi là tập lồi.
(e) Tạo ảnh và nghịch ảnh của một tập lồi qua một hàm, afine là tập lồi.
Chứng minh. Để chứng minh phần (a), ta lấy 2 điểm X và у thuộc rije/Cj
và ta sử dụng tính lồi của Cị chỉ ra đoạn thẳng nối X và у thuộc Cị, do
đó nó thuộc riịg/ơị.
Tương tự, để chứng minh phần (b), ta lấy 2 điểm của Cị + C2, biểu
diễn là Xi + x 2 và Ух + У2 , với Xi, Уг ẽ Cl và x 2, У2 € Ơ2 , với mọi а € [о, 1],
ta có:

a (Xị + x2) + (1 - а) (ух + y2) = (ах 1 + (1 - a) Vi) + (ax2 + (1 - a) y2)
Từ tính lồi của Cị và Ơ2, vectơ trong 2 dấu ngoặc đơn bên vế phải
ở trên thuộc Cl và Ơ 2, tương ứng tổng của chúng thuộc Cị + Ơ2. Do đó,
C\ + c 2 là tập lồi. Phần (c) và (e) chứng minh tương tự phần (b).
Để chứng minh phần (d), ta lấy 2 điểm X và y từ bao đóng của tập
c , và dãy {xfc} С ơ , {yk} С С, như vậy Xỵ

^ X, yỵ

у у với Va G [о, 1],

dãy {aXk + (1 —а)Ук}, thuộc с do tính lồi của ơ , hội tụ về a x + ( l —a)y.
Vì thế, а х + (1 —a) y thuộc về bao đóng của c , cho thấy rằng bao đóng
của С là lồi. Tương tự, ta lấy hai điểm X và у từ phần trong của tập
c , và ta xem như hình cầu mở tâm tại X và y, và có bán kính r đủ nhỏ
để chúng chứa trong c . Với mọi a G [0; 1], xét các hình cầu mở bán
kính r có tâm tại a x + (1 — a)y. Với bất kỳ điểm nào trong hình cầu,
a x + (1 — a) y + z, vối II2 II < r, thuộc về X , bởi vì nó biểu diễn sự kết
hợp lồi a (x + z) + (1 — a) (y + z ) của vectơ X + z và y + z, thuộc X . Vì
thế, a x + (1 —a) y thuộc về phần trong của c , do đó phần trong của с
là lồi.

□
Tập С được cho là hình nón nếu với mọi

X

G

с và л

> 0, ta có


5

Xx G С. Một nón không cần lồi và không cần phải chứa gốc, mặc dù gốc
luôn nằm trong bao đóng của nón khác rỗng.

1.1.2.

N ó n lù i x a c ủ a m ộ t t ậ p lồi
Cho tập lồi khác rỗng с с X . Ta nói vectơ d là một phương lùi

xa của С nếu
X + Xd € С; Ух G с , VA > 0.
Tập tấ t cả các phương lùi xa của с được gọi là nón lùi xa của с và được
ký hiệu là 0+ (C). Vậy
0+ (C) = {d<E X\x + Xd € С; Ух G С; VA > 0}.

M ệ n h đ ề 1.1.2. [1] 0+ (С) là nón lồi chứa gốc. Hơn nữa,

0+ (C) = {de x \ c + d c C}
V í d ụ 1.1.1. Trong R 2 cho các tập
ƠI = Ị ( z , y ) \x > 0\y > - j ;

ơ2 =
Сз

{ix,y)IУ>X2} ;

= {(х ,у) Ix2 + y2 < 1} ;

Ơ4 = { ( x , y ) 1У > л/1 + x 2} ;
Ơ5 = {(ж, у) I (x > о Л у > 0) V (x = у = 0)} .
Lúc đó,
0+ (C l) =

{ (u , v ) |u >

0;V >

0+ (C j) =

{(0 , « ) | t > > 0 } ;

0} ;

0+ (C3) = {(0,0)} ;

0+ (C4) = {(u, v) \v > |u|} ;
0+

(C5) =c5.

V í d ụ 1.1.2. Cho a1 G R n,Qíj Ẽ I ; 1 < î < ffl. Xét tập hợp
Ữ6 = {ж ẽ R ra| ( a \ x ) < ccj; 1

< ỉ

0'


6

Ta có

0+ (Сб) = {ж € Kn| (a*,ж) < 0; 1 < ỉ < га} .
M ệ n h đ ề 1.1.3. [1] Cho С lồi đóng khác rỗng. Lúc đó, 0+ (с ) là nón
lồi đóng và
a) d e 0+ ( ơ )

3x0 e c, VA > 0 : x0 + Xd e c.

b) 0+ (С ) = п
À>0

Л (С — Æ0); với mọi XQ e c .

M ệ n h đ ề 1.1.4. [1] Cho tập lồi khác rỗng с c ẵ " . Lúc đó, с bị chặn
khi và chỉ khi 0+ (с ) — 0.

1.1.3.

H à m lồi

Đ ịn h n g h ĩa 1.1.2. [2] Cho С là một tập con lồi của Mn. Một hàm
f : С —>■M gọi là lồi nếu
f (а х + (1 - a) y) < a f (X ) + (1 - a) f (y), Vx, у e c, V a e [0; 1].

(1 .1)
Một hàm lồi / : с —> Шgọi là lồi ngặt nếu bất đẳng thức (1.1) đúng
cho mọi x , y ẽ

С với X ф у và với mọi a ẽ (0,1). Một hàm / : с —¥ R,

trong đó С là tập lồi, gọi là lõm nếu (—/ ) là lồi.
Chú ý rằng, theo định nghĩa, tính lồi của miền định nghĩa с là
một điều kiện tiên quyết cho m ột hàm / : с —>M lồi. Đôi khi ta sẽ làm
việc với những hàm / : X —> M được định nghĩa trên m ột miền xác định
X (có thể không lồi) nhưng là lồi khi hạn chế trên một tập con lồi của

X.
Đ ịn h n g h ĩa 1.1.3. [2] Cho с và X là tập hợp con của Mn, sao cho с
là khác rỗng và lồi, và с с X . Một hàm f : с

M được gọi là lồi trên

С nếu đẳng thức (1.1) đúng, tức là, khi miền xác định của f được hạn
chế trên С , f trở thành hàm lồi.


7

Nếu /

—> M là m ột hàm và 7 là một vô hướng, các tập

: c

{x € c \ f ( x ) < 7 } và {x € c \ f ( x ) < 7 } được gọi là những tập mức của
/ . Nếu / là một hàm lồi, th ì tấ t cả những tập mức của nó là lồi. Chú
ý rằng nếu x :y € c thỏa m ãn f ( x ) < 7 và f ( y ) < 7 , khi đó với mọi
a e [0, 1 ], ta có a x + (1 — a) y G c , từ tính lồi của c , và ta có:
f ( a x + (1 - a ) y ) < a f (X) + (1 - a) f (y ) < 7 .
Chứng minh tương tự ta có tập mức {x £ c \ f ( x ) < 7 } là lồi khi / là
hàm lồi. Tuy nhiên, tính lồi của những tập mức không suy ra tính lồi
của hàm; chẳng hạn: hàm vô hướng / (X) = \ f \x \ có tập mức lồi nhưng
không phải là hàm lồi.
Đ ịn h n g h ĩa 1.1.4. [2] Ta gọi trên đồ thị (epigraph) của hàm f : X —>
[—oo,oo]; với mỗi X c Mn; là tập con của Mn+1 được cho bởi
epi ( /) = {(x 5w) \x E x , w E

f (X) < w } .

Đ ịn h n g h ĩa 1.1.5. [2] Ta gọi miền hữu hiệu (effective domain) của hàm
f là tập được cho bởi
dom ( / ) = {x G x \ f (æ) < 00} .
Đ ịn h n g h ĩa 1.1.6. [2] Hàm f được gọi là chính thường (proper), nếu
dom ( /) ^ 0 và f (x) > —00, Wx G X .
Sau đây chúng tôi xin trình bày các đặc trưng của hàm khả vi lồi.
Cho hàm khả vi, giả thiết thừ a số liên quan của tính lồi đã cho trong
những Mệnh đề tiếp theo.
M ệ n h đ ề 1.1.5. [4] Cho c là một tập con lồi của Mn và cho / : Mn —> R.
là khả vi trên Mn.
(a) f là lồi trên c khi và chỉ khi
/ ( * ) > / (z) + V / ( z ) T (z - x ) , Va;, z £ c .

(1.2)

8

(b) f là lồi ngặt trên с khi và chỉ khi bất đẳng thức trên là ngặt với mọi
X Ỷ

z -

Chứng minh. Ta chứng minh phần (a) và (b) một cách đồng thời. Chỉ
ra rằng bất đẳng thức (1.2) đúng. Lấy x , y G с bất kỳ và a; G [о, 1], và
đặt z = a x + ( 1 —a)y. Sử dụng bất đẳng thức (1.2) hai lần, ta thu được
f ( x ) > f {z) + V f ( z ) T ( x - z ) ,
f ( y ) > f (z) + V f ( z ) T ( y - z ) .
Ta nhân bất đẳng thức th ứ nhất với a , th ứ 2 với 1 — a và ta thu được
a f (X) + (1 - a ) f { y ) > f {z) + V f { z ) T ( ах + (1 - a) y - z) = f ( z ) ,
chứng tỏ / là lồi. Nếu bất đẳng thức (1.2) là ngặt như trong phần (b),
khi đó nếu ta lấy X ф у và а e (0; 1) ở trên, ba bất đẳng thức trước trở

thành ngặt, do đó ta có tính lồi ngặt của / .
Ngược lại, giả sử rằng, / là lồi, lấy X và z là

với X ^

z, vầ

cho а

£

vectơ b ất kỳ trong с

(0,1), xét hàm số

9 (^0

5 ^ ^ (rïj

a

•

Ta sẽ thấy rằng g ( a ) là dãy đơn điệu tăng với Qí, và là dãy đơn điệu tăng
ngặt nếu / là lồi ngặt. Điều này có nghĩa là
V /(æ )T ( z - x ) = lim g (а) <
aịo

g

(1) = / (z) - f (X),

với bất đẳng thức ngặt nếu g là dãy đơn điệu tăng ngặt, qua đó cho thấy
rằng đòi hỏi b ất đẳng thức ( 1 .2 ) cố định, và ngặt cố định nếu / là lồi
ngặt. Thực vậy, xét bất kỳ CCI,a 2, với 0 <
ã —

—,

«1

< Oi2 < 1, và cho

z — X + a 2 (z — x ) .

0.2

Ta có
/ (x + ã (z - x)) < ã f (z) + (1 - ã) ĩ ( я ) ,

(1-3)


9

hoặc
f (x + a ( z - x)) - f (x)
(1.4)
< / ( * ) - / (z),
a
và trên bất đẳng thức là ngặt nếu / là lồi ngặt. Thế (1.3) vào (1.4), ta
thu được
f (x + a ị ( z - x)) - f {x) ^ f (x + a 2 {z - z)) - / (z)
«

Ta xấp xỉ tuyến tính f tại z = a x + (1 — à)y. B ất đẳng thức (1.2) ngụ
ý rằng
f ( x ) > f (z) + V f { z ) T (x - z ) ,
f ( y ) > f {z) + V /( z ) T ( y - z) .

nằm dưới f ( z ) , là dãy đơn điệu không tăng như a ị 0, và hội tụ tới
/ (z) + V f { x ) T (z - X). Do đó / ( z ) > f (X) + V f ( x ) T (z - x).

hoặc
g { u ì) < g ( u 2),
với bất đẳng thức ngặt nếu / là lồi ngặt. Vì thế g là dãy đơn điệu tăng

□

với a , và ngặt nếu / là lồi ngặt.

Một hệ quả đơn giản của Mệnh đề 1.1.5(a): nếu / : Mn —»• M là
một hàm lồi và V / (X*) = 0, sau khi

X*

cực tiểu / trên Mn. Đây là lớp

điều kiện đủ bài toán tối ưu không ràng buộc, được đề xuất bởi Ferm at
năm 1637.
Đối với hàm lồi khả vi cấp 2, ta có đặc trưng khác của tính lồi
trong mệnh đề dưới đây.
M ệ n h đ ề 1.1.6. [4] Cho

c

là một tập hợp con lồi của Mn và cho f :

—> M là khả vi cấp 2 liên tục trên Kn.


10

(a) Nếu V 2/ (x) là hàm nứa xác định dương với mọi X € c , thì f là
hàm lồi trên с .
(b) Nếu V 2/ (X) là hàm xác định dương với mọi X G с , thì f là hàm lồi
ngặt trên С .
(c) Nếu С là mở và f là hàm lồi trên с thì V 2/ (ж) là hàm nửa xác định
dương với mọi

X €

с .

Chứng minh, (a) Với mọi X, y G с ta có
f ( y ) = ỉ {x) + V /( x ) T ( y - x ) + ị { y - x f v 2ỉ (x + a ( y - X)) (y - X)
với m ột vài a G [о, 1]. Vì thế, khi sử dụng hàm xác định dương của V 2/ ,
ta thu được

/ ( » ) > / (x) + V / ( z ) T { y - x ) , Væ, y g C.

T ừ mệnh đề 1.1.5(a), ta kết luận rằng / là lồi.
(b) Chứng m inh tương tự phần (a), ta có
f ( y ) > f {x) + V /(æ )t (y - x) , V x , y G С
với Æ ф у và kết quả tiếp theo dạng từ Mệnh đề 1.1.5(b).
(c) Giả sử, ta có điều ngược lại, tồn tại m ột vài X G с và một vài

2 ễ R " như vậy z TV 2f (x) z < 0. Từ ơ là mở và V 2/ là liên tiếp, ta có
thể chọn г có mức đủ nhỏ để X + z € с và 2TV 2/ (ж + ccz) г < 0 với
mỗi a G [о, 1]. Sau đó, sử dụng m ột lần nữa ta thu được f (x + z) <
f (ж) + V f { x ) Tz, mà theo quan điểm của Mệnh đề 1.1.5(a), m âu thuẫn
với tính lồi của / trên с

□

V í d ụ 1.1.3. Xét hàm toàn phương
/ (X) = x TQ x + aTx,


11

ở đây Q là hàm m a trận đối xứng n X n và b là m ột vectơ trong R n. Khi
V 2/ (:r) = 2Q, sử dụng Mệnh đề 1.1.6, ta có / là lồi khi và chỉ khi Q là
hàm nửa xác định dương, và / là lồi ngặt khi và chỉ khi Q là hàm xác
định dương.

1.2.

H ệ bất phương trình tu y ến tín h và tập lồi đa
diện

1.2.1.

H ệ b ấ t p h ư ơ n g t r ì n h tu y ế n tí n h

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.1. [3]
1) Hệ bất phương trình tuyến tính n ẩn là hệ có dạng:

(1.5)

trong đó Xị, x 2, x n là các ẩn, aịj,bi thuộc trường số thực R, với

dij được gọi là hệ số của ẩn Xj, bị được gọi là hạng tử tự do.

2) Một nghiệm của hệ (1.5) là một bộ n số (ci, c2,
trường số thực R sao cho khi thay

Xj

=

Cj

3) Ma trận

Ả =

...

j ,

cn) thuộc

thì mọi bất đẳng thức trong

hệ (1.5) đều ỉà những bất đẳng thức đúng.

/

C

ữn

ữ i2

ữi n

a 21

a 22 ••• ữ2n


12

được gọi là ma trận các hệ số của hệ bất phương trình.
Hệ bất phương trình tuyến tính dạng: A x < b có ma trận
(

Xị

\

(

x2

,

àị

\

\B =

X =

ị ) Hai hệ bất phương trình tuyến tính được gọi là tương đương nên chúng
có cùng một tập nghiệm.
Ta có thể viết gọn hệ bất phương trình (1.5) dưới dạng:
TI
ữiịXj < h ,
3=

i

e {1, 2 , 7 7 7 , } .

1

Nếu coi mỗi cột của m a trậ n A như m ột vectơ trong không gian
chẳng hạn:
oi,

( ữ l j , ữ 2j 5 ■• ■; ữ m j ) ,

( b ị , &2 5 • ■• 5

)

th ì có thể viết hệ (1.5) dưới dạng:
ã \x i + õ?2X2 + ■■■+ aĩiXn < ? .
và gọi đó là dạng vectơ của hệ (1.5). Như vậy, với ngôn ngữ không gian
vectơ giải hệ bất
bằt phương trình (1.5) là tìm các hệ số

X

để biểu diễn tuyến

qua hệ vectơ {õỊ, ã?2, õ ^ } .

tính

Nếu xét ánh xạ tuyến tính M xác định bởi hệ vectơ cột M =
{õi, Õí2,

ã *} của m a trậ n A, và coi £ = (xi, x 2, x n) như m ột vectơ

ẩn th ì hệ b ất phương trình (1.5) có dạng:
M c ? ) < í


13

Đó là dạng ánh xạ tuyến tính của hệ (1.5). Giải hệ bất phương trình
(1.5) có nghĩa là tìm tập các vectơ có dạng "Ỷ = (ci, c2,

cn) e K n sao

cho M ợ f ) < ặ.

1.2.2.

T ậ p lồi đ ã d iệ n

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.2. [1] Một tập lồi đa diện trong R n là một tập được
biểu diễn bằng giao của hữu hạn các nửa không gian đóng, nghĩa ỉà tập
nghiệm của một hệ hữu hạn các bất phương trình có dạng
(dị ,x ) < bị,i = 1 ,

m; ũị Ễ l " ; bị E l .

Một tập lồi К được gọi là hữu hạn sinh nếu tồn tại một hệ hữu hạn các
vectơ {z 1 ,

z9} sao cho
9

V=

> 0, Vj = 1 , ợ >.
j=1

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.3. [1] Tập lồi к là đa diện khi và chỉ khi к hữu hạn
sinh.

1.3.

H àm toàn phương lồi

Đ ịn h n g h ĩa 1.3.1. [2] Hàm toàn phương (còn gọi là hàm bậc hai) là
hàm có dạng / (ж) = —x TD x + CTX + a mà D G M^xn, с € Mn, ữ ẽ M ,
Lưu ý: khi D = 0 (ma trận không) th ì f ( x ) là hàm affine.
Đ ịn h n g h ĩa 1.3.2.

(i) Một ma trận D £ Mnxn được gọi ỉà xác định

dương nếu VTDv > 0 với mỗi V G R n\ {0}. Nếu VTDv > 0 với mỗi
v ẽ R " thì D được gọi là nửa xác định dương.
(ii) Một ma trận D £ Mnxn được gọi là xác định xác định ăm nếu
VTD v < 0 với mỗi V £ шп\ {0 }. Nếu v TD v < 0 với mỗi v ẽ M " thì

D được gọi là nửa xác định âm.


14

M ệ n h đ ề 1.3.7. [2] Cho f (X) = - x TD x + CTX + a mà D € R ^xn, с €
Mn, ữ ẽ I . Nếu D là m ột ma trận nửa xác định dương thì f ( x ) là một
hàm toàn phương lồi.
Chứng minh. T ừ x !-»■ CTX + a là một hàm lồi và tổng của hai hàm lồi
là một hàm lồi, nó cũng đủ cho thấy rằng / i (X) := x TD x là m ột hàm
lồi. Khi D là một m a trậ n nửa xác định dương, với mỗi и G R n, V £ Mn
ta có

0 < ( u — v ) T D (lí —v ) = UT D u

2

— VT D u + VT D v .

Điều này suy ra rằng
VTDv < UTD u — 2VTD (u — v ) .

(1.6)

Cho bất kì X £ R n, y £ R n và t £ (0,1), ta đặt z = t x + (1 —t) y. Theo
( 1 .6) ta có
z TD z < yTD y —

2 ZTD (y — z ) ,

z TD z < x TD x — 2 ZTD (x — z ) .
Vì y — z = t (y — x) và X — z = (1 —t) (x — y), từ hai bất đẳng thức cuối
ta suy ra rằng

(1 —t ) z TD z + t z TD z < (1 —t) yTDy + t x TDx,
vì thế
/ i (t x + (1 - t ) y ) = / i {z) < ự i (æ) + (1 - t) / i { y ) .
Như vậy / i là m ột hàm lồi.

□

Nếu D là nửa xác định âm, th ì hàm / cho như trên là lõm, tức là
/ (tx + (1 - t ) y ) > t f (æ) + (1 - t) f (y )

với mỗi X GRn, y € Mn và t

£

(0,1).


15

V í d ụ 1.3.1. Xét hàm toàn phương f (x) = - (x\ — 2 x ix 2 + З^з) +Xi —
2 x 2.

Ta thấy

Do ma trậ n D xác định dương nên hàm f ( x ) đã cho là lồi chặt trên Ш2.

1.4.

B ài toán tố i ưu lồi
Xét m ột tập con lồi khác rỗng A của Mn và một hàm số / : R n —>

(—00, 00]. Xét bài toán
(p)

: min / (X )
xeA

Khi đó, ta nói vectơ X* € A là m ột cực tiểu của / trên A nếu f (x*) =
infxeA / (ж)- Ta cũng có thể gọi X* là một cực tiểu hoặc cực tiểu toàn cục

trên A. Ngoài ra, ta nói / đạt cực tiểu trên A tại X*, và ta viết
X* E

Soi ( p ) := arg min / (X ).

Nếu X* là cực tiểu duy nhất của / trên A, th ì ta viết
X* —

arg min / (X ).

Tương tự cho bài toán cực đại, tức là, m ột vectơ X* G A sao cho / (x*) =
supx€ạ / (x) gọi là m ột cực đại của / trên A, và ta viết
X*

€ arg max / (X ).
геД

Nếu д = R n hoặc nếu miền của / là tập Д (thay cho R n), ta cũng có thể
gọi

X*

là m ột cực tiểu (toàn cục) hoặc cực đại (toàn cục) của / (không

có "trên Д").

Một câu hỏi cơ bản trong bài toán tối ưu là có tồn tại nghiệm tối
ưu hay không. Ta có thể tìm được tập cực tiểu của / trên A bằng giao


16

điểm của A với các tập mức khác rỗng của / . Sử dụng điều này, ta có
thể chứng m inh tập các cực tiểu là khác rỗng nếu tập có dạng
{x e A |f ( x ) < 7 } ,
ở đây 7 là một số thực, là đóng và ít nhất m ột trong số chúng là khác
rỗng và compact. Đây là nội dung của Định lý W eierstrass cổ điển, phát
biểu cho m ột hàm liên tục cực tiểu trên m ột tập compact.

Ta sẽ chứng m inh một phiên bản mở rộng hơn của Định lý này. Ta nói
hàm / : Rn —> (—00, 00] là bức trên một tập Д c R " nếu với mỗi dãy

{ж*;} С A sao cho ll^jtll —¥ 00, thì lim f (xj.) = 00. Trong trường hợp
k—
¥oo
Д =
ta nói / là bức. Chú ý m ột hệ quả của định nghĩa, mọi tập mức
khác rỗng của hàm bức / là bị chặn.
Đ ịn h lý 1.4.1. [4] (Định lý Weierstrass). X é t một hàm lồi chính thường
đóng f : Mn —)■ (—00, 00], và giả sử một trong ba điều kiện sau đẫy là
đúng:
(1) d o m ( f ) là bị chặn.
(2) Tồn tại một số thực 7 sao cho tập mức
{x\f{x) < 7}
là khác rỗng và bị chặn.
(3) f là hàm bức.
Khi đó tập cực tiểu của f trên Mn là khác rỗng và compact.
Chứng minh. Giả sử điều kiện (1) đúng. Chú ý rằng vì / là chính thường,
d o m ( f ) là khác rỗng. Xét dãy {zfc} с dom ( / ) sao cho
lim f { x k) = inf / (X)
к—too
ï£R"


17

Vì d o m ( f ) là bị chặn nên dãy có ít nhất m ột điểm giới hạn X*. Vì / đóng
nên / là nửa liên tục dưới tại

X*,

do đó / (X*) < lim / (:Efc) = inf / (X),
k—>0o

x€Rn

và X* là m ột cực tiểu của / . Như vậy, Sol ( p) , tập các cực tiểu của / trên
là khác rỗng. Vì Sol (P) c dom ( / ) và d o m ự ) là bị chặn, Sol ( P) là
bị chặn. Tuy nhiên Sol ( p) là giao của tấ t cả các tập mức { x \ f (X) < 7 }
trong đó 7 > inf / (à?). Các tập mức là đóng vì / đóng, bởi vậy Sol ( p)

Miền xác định của / là tập { x \ f (X) < 7 }. Nó bị chặn bởi giả thiết và
đóng bởi tính đóng của / . Vì thế, sử dụng tính đóng của / , suy ra hàm
/ là đóng. Hơn nữa, tập cực tiểu của / bằng tập cực tiểu của / . Ap dụng
điều kiện ( 1 ) ta có điều phải chứng minh.
Giả sử điều kiện (3) đúng. Vì / là chính thường, nên có m ột vài
tập mức khác rỗng. Vì / là bức, nên các tập mức khác rỗng bị chặn, do
đó điều kiện ( 2 ) là thỏa mãn.

□

Thường th ì bài toán tối ưu chúng ta phải đề cập đến dạng yếu hơn
của cực tiểu, tức là chỉ khi so sánh giá trị ở các điểm "lân cận" với nhau.
Đặc biệt, cho m ột tập con A của R n và m ột hàm số / : Mn —»■ (—00, 00],
ta nói vectơ

X*

£ A là cực tiểu địa phương của / trên A nếu tồn tại

£ > 0 sao cho
/ (2 *) < / ( x ) , Va; e A : IIX —£*11 < £.
Nếu A = Mn hoặc miền xác định của / là tập A (thay cho Mn), ta có thể
gọi X* là một cực tiểu địa phương của / (không có "trên A "). Một cực
tiểu địa phương

X*

được gọi là ngặt nếu không có cực tiểu địa phương

khác ở trong cùng m ột lân cận của X*. Cực đại địa phương được định
nghĩa tương tự.


18

Trong các ứng dụng thực tế ta thường quan tâm đến cực tiểu toàn
cục, nhưng ta phải làm việc với cực tiểu địa phương vì không có nhiều
điều kiện tối ưu và các th u ật toán để phân biệt giữa hai loại cực tiểu
này. Đây có thể là khó khăn lớn, nhưng m ột ý nghĩa quan trọng của tính
lồi của / và A là tấ t cả cực tiểu địa phương đều là cực tiểu toàn cục
được thể hiện trong mệnh đề sau.
M ệ n h đ ề 1.4.8. [4] Nếu A là tập con lồi của Mn và f : R n —> (—00, 00]
ỉà một hàm ỉồỉ chính thường, thì cực tiểu địa phương của f trên A cũng
là cực tiểu toàn cục của f trên A. Ngoài ra, nếu f là lồi ngặt, thì tồn
tại nhiều nhất là m ột cực đại toàn cục của f trên A.
Chứng minh. Cho / lồi, và giả thiết ngược lại, rằng X* là cực tiểu địa
phương của / trên A sao cho nó không toàn cục. Khi đó, tồn tại X G A
sao cho / (x) < f (£*). Theo tính lồi, với mọi a G (0,1),

/ (a x * + (1 - à) x) < a f (x*) + (1 - a) f (x) < f ( x*) .
Như vậy, / là giá trị nhỏ hơn f ( x*) tại mỗi điểm trên đoạn thẳng nối X*
với X, ngoại trừ X*. Khi A là lồi, đoạn thẳng thuộc A, do đó m âu thuẫn
với

X*

là cực tiểu địa phương.
Cho / lồi ngặt, và giả thiết ngược lại, rằng tồn tại hai cực tiểu

toàn cục X và y phân biệt của / trên A. Khi đó, trung điểm (x + y ) / 2
có thể thuộc A, từ đó A là lồi. Hơn nữa, vì tính lồi ngặt của / nên giá
trị của / có thể nhỏ hơn tại trung điểm của X và y. T ừ đó X và y là cực
tiểu toàn cục. Dẫn tới m âu thuẫn.

□

K ế t lu ậ n ch ư ơ n g 1
Chương này nhằm trình bày những khái niệm cơ bản nhất và
những tính chất đặc trưng về tập lồi, hàm lồi, nón lùi xa của một tập
lùi, tập lồi đa diện, hệ bất phương trình tuyến tính, hàm toàn phương
lồi và bài toán tối ưu lồi, ... sẽ được sử dụng cho chương sau.