Luận văn một số phương pháp giải phương trình toán tử vi phân

2
B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

TRỊNH DUY THANH

MỘT SỔ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ VI PHÂN
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Ngưòi hướng dẫn khoa học: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH

HẢ NỘI, 2015


3

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn các Giáo sư, Tiến sĩ giảng dạy cao học chuyên
ngành Toán Giải Tích, BGH, Phòng sau đại học trường đại học sư phạm Hà Nội
2 đã truyền thụ kiến thức, đóng góp ý kiến cho tôi trong suốt quá trình học tập
và thực hiện đề tài.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.TS Khuất Văn Ninh người
thầy đã tận tâm truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này.
Trong suốt quá trình thực hiện luận văn, chính nhờ tấm gương nghiên cứu khoa
học nghiêm túc và sự chỉ bảo tận tình của thầy đã giúp tôi có ý thức trách nhiệm

và quyết tâm cao hơn để hoàn thành luận văn của mình.

H à Nội, t háng 11 năm 2015

Học viên

Trịnh Duy Thanh


4

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự
hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS Khuất Vãn Ninh.
Trong quá trình nghiên cứu luận văn tôi đã kế thừa thành tựu của các nhà
khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

H à Nội, t háng 11 năm 2015

Học viên

Trịnh Duy Thanh


5

MUC LUC
•

•

Mở đầu.........................................................................................................................6
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị................................................................................ 7
1.1 .Không gian metric.................................................................................................7
1.2. Không gian định chuẩn........................................................................................9
1.3. Không gian H ilb ert............................................................................................11
1.4. Phép toán vi phân trong không gian B anach.................................................. 13
1.5. Khái niệm về phương trình toán tử vi p h ân .................................................... 18
1.6. Toán tử đơn điệu ...............................................................................................18
Chương 2. Phương trình toán tử vỉ phân cấp một ........................................ 21
2.1. Phương trình toán tò vi phân với toán tử liên tục Lipschitz

trong không gian

c ................................................................................................21

2.2. Phương trình vi phân với toán tử Volterra; L2- Lý th u y ế t.....................28
2.3. Các phương trình giả parabolic; C- Lý thuyết ...............................................31
2.4. Các phương trình giả parabolic; L2- Lý th u y ết.............................................. 33
2.5. Bài toán giá trị ban đ ầ u .....................................................................................35
2.6. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp ...........................................................................37
Chương 3. Phương trình toán tử vỉ phân cấp h a i........................................... 43
3.1 .Các định lí tồn tại và duy nhất ..........................................................................43
3.2. Phương pháp Galerkin.......................................................................................49
3.3. ứ ng d ụng............................................................................................................55
Kết luận...................................................................................................................... 60
Tài liệu tham k h ả o .................................................................................................... 61


6

M Ở ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nhiều lớp bài toán biên đối với phương trình vi phân thường và bài toán với
điều kiện biên và điều kiện ban đầu đối với phương trình đạo hàm riêng phi
tuyến có thể đưa về dạng phương trình toán tử vi phân trong các không gian
Banach phản xạ nhờ lí thuyết toán tử đơn điệu. Có nhiều phương pháp để nghiên
cứu phương trình toán tử vi phân. Một số phương pháp thường được sử dụng đó
là phương pháp điểm bất động, phương phương pháp Galerkin, phương pháp
compact. Mỗi phương pháp có ưu, nhược điểm riêng, phù hợp YỚi mỗi loại
phương trình khác nhau. Với mong muốn tìm hiểu saau hơn về phương trình
toán tử vi phân và được sự hướng dẫn của PGS.TS. Khuất Văn Ninh, tôi đã chọn
đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình là “Một số phương pháp giải phương trình
toán tử vi phân”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu phương pháp giải phương trình toán tử vi phân cấp một và cấp
hai trong một số không gian Banach phản xạ.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu cơ sở lý thuyết của phương trình toán tử vi phân và một số phương
pháp giải xấp xỉ phương trình toán tử vi phân đó là phương pháp điểm bất đọng
và phương pháp Galerkin. Áp dụng vào giải một số phương trình vi phân cụ thể.
4. Đối tượng nghiên cứu
Phương trình toán tử vi phân cấp một và cấp hai và các phương pháp giải các
phương trình đó.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Sưu tầm, đọc, nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài luận văn.
- Áp dụng kiến thức Giải tích hàm, Giải tích số, Phương trình vi phân vào
nghiên cứu đề tài.

7
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian metric
1.1.1. Không gian metric
Định nghĩa 1.1. Cho X là một tập hợp tuỳ ý và X ^ ệ một metric trong X là
một ánh xạ
thoả mãn các điều kiện sau:
1) d(x, j ) > 0,V;t, y e X ;
d (x ,y) - 0

X - y;

2) d ( x , y ) = d ( y , x ) , V x , y e X ;
3) d ột, y ) < d (x, z) + d (z, , Vx, y , z e X.
Tập X và một metric d trong X gọi là một không gian metric, ký hiệu là
( x , c / ) , s ố d ( j t ,y ) gọi là khoảng cách giữa các điểm X , y .
Ví dụ 1.1. Một tập M bất kỳ của đường thẳng R , với các khoảng cách thông
thường d ( x , y ) = \ x - y\ là một không gian metric.
Định nghĩa 1.2. Dãy điểm jx I trong không gian metric ( x ,í/) được gọi là hội
tụ tới điểm x e X nếu lim 6?(x , x) = 0
*-» 0 0

Kí hiệu

lim* = X hay
71—>00

X

—>x khi H —» 0 0 .

Định nghĩa 1.3. Một dãy điểm {x } trong không gian metric ( x ,í/) được gọi là
dãy cơ bản ( hay dãy Cauchy) nếu lim d ( x ,x ) = 0.
m , n —>00

Định nghĩa 1.4. Không gian metric ( x ,í/) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy cơ
bản trong X đều hội tụ tới một phần tử của X .
Định lý 1.1. Mọi tập đóng trong không gian metric đầy đủ là không gian metric
đầy đủ.
Chứng minh. Giả sử F là một tập đóng trong không gian metric đầy đủ
( x , í / ) . Giả sử {jc } là một dãy cơ bản trong F tức là lim d ( X ,x ) = 0.
m, n- >co

Suy ra {jt } là một dãy cơ bản trong X .
Do X là không gian đày đủ nên dãy {* } hội tụ, tức là
3jc0 e X : x —>xữ, n —> 00 .
Như vậy (jt ) c F : X —»Jt0 e X, n -> 00 . Do F là tập đóng nên x0 e F .
Vậy F là không gian metric đầy đủ.
Định nghĩa 1.5. Một tập hợp M của không gian metric X được gọi là trù mật
trong X nếu mọi lân cận của mọi điểm tùy ý của X đều có một điểm của tập
hợp M .
Ví dụ 1.2. Trong không gian metric đầy đủ (x ,c /), hình cầu đóng
*S'(jc0,r) = | jc e X : í/ ( x, jc0) < r | , r > 0


8
là một tập đóng.
Định lí 1.2. Cho ánh xạ / từ không gian metric Ml = (x,dj) đến không gian
metric M2 = ( x , d 2). Năm mệnh đề sau đây tương đương:
a) / liên tục;

b) Tạo ảnh của tập đóng bất kì trong M2 là tập đóng trong M1;
c) Tạo ảnh của tập mở bất kì trong M2 là tập mở trong
;
d) Với mọi tập A c X đều có f ị À ) c z f ( A ) ;
e. Với mọi tập B c=Y đều có / _1^5 J c=/ _1(5).
Định nghĩa 1.6. Cho hai không gian metric tuỳ ý (X ji/j) và ( r ,í/2) . Ánh xạ
A : X ^ > Y gọi là ánh xạ co, nếu tồn tại một số a e [0 , 1 ) sao cho Vjcp jc2 e X ta

đều có d 2{A{ x^), A{x2y ) < a d l {xl ,x2} , a gọi là hệ số co của ánh xạ co A.
Định lý 1.3. ( Nguyên lý Banach về ánh xạ co ). Mọi ánh xạ co A ánh xạ không
gian metric đầy đủ ( x , d ) vào chính nó đều có một điểm bất động duy nhất,
nghĩa là tồn tại duy nhất một điểm X* e X thoả mãn Ax = X , X* là giới hạn của
dãy (*„), xn = A ( x n_ì ),n = 1,2,..., x0 e X tu ỳ ý v à
ữ,n
d ( x n, x * ) < ^ — d ( A x ữ,xữ),n = 1,2...
v
’ ỉ-a

hoặc

d ( x n, x *) < ~^— d (*„,*„_! ),n = 1,2...,
v
’ l-a

trong đó, a là hệ số co của ánh xạ COA .
Chứng minh.
Lấy một điểm bất kỳ x0 e X và lập dãy X = A { x ,),« = 1,2,... ta được
d (x 2, ) = d ( Ảx2, Ax J) < a d ( x l, x0) = a d ( Ax 0, JC0),
d( x3,x2) = d ^Ax2, A x^ < a d (^ 2 ,^!) < a 2d ( A x 0,x 0),
d (xn+ỉ’xn) = d ( Axn>Axn- 1) ^ a d ( x n,xn_ì ) < a nd ( A x ữ,xũ),n = \ , 2 , -

Từ đó suy ra

= 1,2,... ta có
d (xn+p>-xn) ^ ấ d ( A , +*. A , +*-i) ^ d ( A ) . *0) ấ a ”+k~l
k=1
n

jt = l

ỵvn+p

rvn

= — Z^~— d ( A x ữ,xữ) < - ^ — d ( A x ữ,xữ)
1- a
1- a

Vì 0 < a < 1 nên lim d í x
n - > 00

V

”

(*)

, X ) = 0, V/7 e N* nghĩa là (jc ) là dãy cơ bản trong
/

'

'

không gian metric đầy ( x , í / ) . Tù đó tồn tại limx = X* e X .


9
Ta có
d ịAx*,x* ) < c/ ịAx*,x n) + d { x n, x *) = d ịAx*,Axn_l ) + d

< a d ị x _15jt*) + í/(jt

)

= 1,2,...

Cho n —> 00 ta được d ( ấ x *, X* ) = 0 hay Ax* = X*, nghĩa là X* là điểm bất động
của ánh xạ A .
Giả sử tồn tại điểm / e X

cũng là điểm bất động của ánh xạ A thì

d ( x *, J*) = d ị^Ax*, A y *) < a d ị x * ,y*Ỵ,
■=> (l - a

)

d

) < 0 => d ị x * , y *) = 0,(0 < a < 1)

=> X* = y * .

Vậy X* là điểm bất động duy nhất của ánh xạ A . Từ bất đẳng thức
d (xn+p,-xn) £ 7 ^ — d (.Axữ,x 0)..
v
7 1- a
a n

Cho p —» 00 thì d {xn, x * ) < Y ^ d { x ỉ,xữ),n = \,2...
d { x ,x*^ = d^Ax x, A x * ^ < d ( A x ị,Ax } + dị^Ax ,Ax*"j<
a d ( x „>x n -i) +

^ d [ x n, x ) <

a d ( x n ’ x * ) ’

(xn, X„_1).

Định lý được chứng minh.

1.2. Không gian định chuẩn
1.2.1 Không gian định chuẩn
Cho X là một không gian vectơ trên trường p ( p = M hoặc c ).
Định nghĩa 1.7. Một chuẩn, kí hiệu ||.||, trong X là một ánh xạ đi từ X vào R
thoả mãn các điều kiện:
1) \\xị > 0 với mọi X e X ;
||jt|| = 0 khi và chỉ khi X = 0 ( 0 là kí hiệu phần tà không );

2) ||ằjc| = |A,|\\x \\ với mọi số X e p và mọi x e X ;
3) ||jc + y ị < ||jc|| + 1y ị với mọi x , y € X .
Số |jt| được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ X € X . Một không gian vectơ
X cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy được gọi là một không
gian định chuẩn ( thực hoặc phức, tuỳ theo p là thực hay phức ).
Định lý 1.4. Giả sử X là một không gian định chuẩn. Với mọi X, y € X , đặt
d { x , y } = ||je —J/||.

Khi đó, d là một metric trên X .


10
Định nghĩa 1.8. Dãy (jc ) trong không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ
đến Jt0 e X nếu lim I* - JE0II= 0.
Khi đó, ta kí hiệu
limjtn = x0 hoặc xn —>Xq , khi n -»

00.

n - > 00

Định nghĩa 1.9. Dãy ( X ) trong không gian định chuẩn X được gọi là một dãy
cơ bản nếu
lim 1*w - x\\ = 0.
n\\

m , n - > 00

1.2.2. Không gian Banach
Định nghĩa 1.10. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu mọi

dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
Ví dụ 1.3. Không gian vectơ Euclide n chiều E" là không gian Banach YỚi
chuẩn 1*1 =I* ■ ,VxeM " .
Ví dụ 1.4. Không gian vectơ Lị

. Đối YỚi hàm số bất kỳ Jt(í) e Lị

ta đặt

b

||jc|| = (Z,)J|jc(í)^í , dễ thấy Lị

là không gian Banach.

a

Ví dụ 1.5. Không gian vectơ Cị

. Đối YỚi hàm số bất kỳ x (í) e Cị ,b-ị ta đặt

||jc|| = max x (í) , dễ thấy Cị ,b-ị là không gian Banach.
Định nghĩa 1.11. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường p . Ánh
xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là tuyến tính nếu thoả mãn:
1. A ( x + y ) = Ax + A y , với mọi x , y e X ;
2. A ( ax) = a Ả x , với mọi X e x , a e p .
A cũng được gọi là toán tử tuyến tính. Khi đó, nếu A chỉ thoả mãn ( 1 ) thì A
được gọi là toán tử cộng tính; nếu A chỉ thoả mãn ( 2 ) thì A được gọi là toán tử
thuần nhất. Khi Y = p thì toán tử A gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Định nghĩa 1.12. Cho không gian định chuẩn X và Y . Toán tử tuyến tính A từ

không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số c > 0 sao

cho:
1^4*1 < c||je|| , với mọi X e X .

Định nghĩa 1.13. Cho hai không gian định chuẩn X và 7 . Kí hiệu L ( X , Y ) là
tập tất cả toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X vào không gian Y . Ta đưa
vào z , ( x , r ) hai phép toán:
1. ( A + B ) ( x ) = Ax + Bx, A , B e L ( X , Y ) , V x e X ;
2. a e P ( P = R hoặc p = c ), ^ 4 e L ( X ,r ) toán tử kí hiệu

là

clA

, được xác định bởi biểu thức

(a^)(jc) = a(^4jc).


11
Dễ dàng kiểm tra được

A + B gL[X, Y^,

clA g L ( X , Y ^

và hai phép toán trên

thoả mãn tiên đề tuyến tính. Khi đó, tập z ,( x ,y ) trở thành một không gian

tuyến tính trên trường p . Ta trang bị một chuẩn như sau trên L ị ỵ , Y )
||^|| = sup||A3c||, V ^ 4 e L (X ,y ).

Ii4Khi đó, tập L ( ỵ , Y ^ trở thành một không gian tuyến tính định chuẩn.
Định lí 1.5. Nếu Y là một không gian Banach thì L ( X , Y ^ là không gian
Banach.
Định nghĩa 1.14. Ta gọi không gian liên hợp của không gian X là không gian
tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian X và kí hiệu là x ' ■
Theo định lí 1.7 X* là không gian Banach. Tương tự ta xét X** là không gian
liên hợp của X * và gọi nó là không gian liên hợp thứ hai của không gian X.
Định nghĩa 1.15. Không gian định chuẩn X gọi là không gian phản xạ nếu
x = x*\

Ví dụ 1.6. Các không gian hàm sau là các không gian Banach
Lị
- Không gian các hàm x (í) đo được theo độ đo Lebesgue trên [ữ,è] sao
1
b

f b

cho ị ị x { t Ỵ d t < + 0 0 ,

1

p

< P < + Q 0 , 1*1=

a

,P>1.

\a

Khi p = 2 thì l ị

- Không gian các hàm đo được bình phương khả tích theo độ

đo Lebesgue trên \a,b\.
Định nghĩa 1.16. Cho hai chuẩn ị . ị , ||.|| trên cùng không gian véc tơ E ta nói
hai chuẩn này tương đương nếu tồn tại

a,

p > 0 sao cho:

«1«! < | m| < yỡ||tí|| với Vm e £ .

Ví du 1.7. Môt số chuẩn trên M"
fii2 = '^xị
Ẳ=1 )

, ||jc|| =

*=1

HI =

lắiắ»

15 trong đó

=

. Ta có

1o< IJC112< I\\xlll1 < n IXI
IXIla
1.3. Không gian H ỉlbert
1.3.1. Tích vô hướng
Định nghĩa 1.17. Giả sử X là không gian vectơ. Ánh xạ < p : X x X —>Rthỏa
mãn:
1) ọ ( x 1+ x ỉ , y ) = ọ ( x 1, y ) + 2)

= Ă
V/i e R;Vx , y e X .

3) (p(x,y) = ( p ( y , x ) \ / x , y & X .


12
4) ẹ?(jt,jt)>0 V jc e X ; ẹ?(jt,jt) = 0<í=> Jt = 0.

Ánh xạ (p như trên được gọi là tích vô hướng trên X .
1.3.2.Không gian tiền Hilbert
Định nghĩa 1.18. Không gian vectơ X cùng với một tích vô hướng trên nó

được gọi là không gian tiền Hilbert.
Sau này với tích vô hướng ọ thì thay cho việc viết (p{x,y) ta viết ( x , y ) và gọi
là tích vô hướng của J và
Nhận xét. Xét tương ứng X I—> ||jt|| = Ậ x ~ x j , Vjc € X . Ta thấy tương ứng trên xác
định một chuẩn trên X , như vậy không gian tiền Hilbert là không gian định chuẩn
với chuẩn sinh bởi tích vô hướng. Do đó một không gian tiền Hilbert ta có thể xét
tới tính đày hay không đầy như một không gian định chuẩn.
1.3.3.

Không gian Hỉlbert

Định nghĩa 1.19. Một không gian tiền Hilbert đày được gọi là không gian
Hilbert.
Ví dụ 1.8. Xét không gian

với chuẩn

9 ( x yỳ) = 'ĩấxty t* V x , y e ỉ 2.
i=1

Xác định tích vô hướng trên /2 và sinh ra chuẩn của nó, tức là:
||je||2 = ọ { x , x ) ,

V x e ỉ 2.

Vậy ỉ2 là không gian Hilbert.
Ví dụ 1.9. Xét không gian L2j0Tj ( T > 0)
Ánh xạ ọ : L2[0T] X L2[0T] —> M xác định như sau:
T

0

\ f x, y e L2[0T].


13
Xác định tích vô hướng trên L2[or] và sinh ra chuẩn của nó, tức là:
1
(T
V
|*||2 = ^(* ,;c)= ị x 2{ t ) d t
VjceL2[or].

Vậy L2[0 là không gian Hilbert.
1.4. Phép toán vi phân trong không gian Banach
Định nghĩa 1.20. Cho X , Y là hai không gian định chuẩn, u là một tập mở của
X , toán tử / : U —» 7 . Khi đó, toán tử tuyến tính liên tục T : X —>Y là đạo hàm
Fréchet của/ tại JC° e u nếu và chỉ nếu
VA € X , f ( x ữ+ h ) - f [ x ữ) = T{ h ) + a [ x \ h ) và lim

= 0.

T ị h ) gọi là vi phân của / tại jc°,kýhiệu T [ h ) = d f ị x ũ,/ỉ).

Toán tử T gọi là đạo hàm Fréchet của / tại x°, ký hiệu T =
Như vậy
Người ta còn gọi đạo hàm Fréchet, vi phân Fréchet là đạo hàm mạnh, vi phân
mạnh.
Định nghĩa 1.21. Cho X , Y là hai không gian định chuẩn

f \ X —»7, Jt0 € x,h e x ,t € R.
Nếu tồn tại toán tử A e L Í X , Y ) sao cho lim

f { x 0 + t h ) - f ( x 0) = A ^

t

thì A ị h ) gọi là vi phân yếu của / (vi phân Gâteaux), ký hiệu là

[xữ,h)

A gọi là đạo hàm yếu của / (đạo hàm Gâteaux), ký hiệu là / ' (jt0)

Mối liên hệ giữa hai khái niệm đạo hàm mạnh, đạo hàm yếu ( vi phân mạnh, vi
phân yếu ).
Định lí 1.6. Neu / khả vi Fréchet tại x0 thì / khả vi Gâteaux tại x0 và
f U xo) = f ' ( xo)’ df w( x0’h) = df ( x0’h)-

Chứng minh.
Theo giả thiết hàm / khả vi Fréchet tại Jt0 cho nên, mọi h cố định, Ví e M ta
có:
f ( x 0 + t h ) - f ( x 0) = d f ( x0,th ) + a ( * 0,Ã) (*)
||a(x0,íA)|| = o(||íA||) = o(|í|||A||) khi t —> 0 .
Theo giả thiết d f [ x ữ,th) tuyến tính đối với h nên
d f ( x 0,th) = t d f ( x 0,h)

o(||f/ỉ||) = o(|f|.||/ỉ||) = o(|f|) khi t —ỳ 0


14

(*)<^> f ( x° + t h ì Ỉ Ẩ * ủ . = d f ( x 0,h) + - a ( x 0,th)
lim

f ( x 0 + t h ) - f ( x 0)

/^0

- d f ( x 0,h)

lim
/->0

a ( x 0,iA)

o(\\th ) „ „
o(\t A )
=lim \
' = \\h lim I I I II = 0
kl-»° \t\
7l->° i l

Vậy

^

Í ^

A

lM

=d f M

,

hay là: dfw(x0,h) = d f ( x ữ,h) .V ậ y / khả vi yếu và dfw(x0,h) = d f ( x 0,h). Định
lý được chứng minh.
Định lí 1.7. Neu trong hình cầu |x - x 0| < r tồn tại vi phân yếu d f ( x , h ) ,
d f (jc, A) liên tục đều theo X và liên tục theo h thì tồn tại vi phân mạnh

d f ( x , h ) và d f ( x , h ) = dfw(x, h).

Tính chất của đạo hàm Fréchet và vỉ phân Fréchet
1) d ự + g ) ( x \ h ) = f ' ự ) ( h ) + g ' ự ) ( h ) ;
2) d ( a f ) ( x ° , h ) = a f ( x ° ) ( h ) , a & R ;

3) ư ' + g ' ) ự ) = n x 0) + g'(x°y,
4) ( a f ' ) ( x ữ) = a f ( x ữ) , a e R .
5) Nếu / là toán tử tuyến tính từ / : X

Y thì

d f { x , h ) = f ( ỷ ì ) y x z . X , V A eX .

Định nghĩa 1.22. Cho Х15Х2,...,Х ,71 > 2 ,7 là các không gian định chuẩn, ánh
xạ / :X ,x X 2x ...x X - > Y .
Với mọi л = (л:р л:2,...,л: ) e X 1x X 2x ...x X ta cố định
6 X, XX 2 X ...X X , .

Xét ánh xạ / ; :Х ; —»7,ỉ' = l,...,w

ri _ r í 0 0
f{xß) = f ( xi ,*2 ,

0

)

■

0o\

Nếu f ‘ có đạo hàm Fréchet tại điểm л:0 thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng
Fréchet của / theo xị tại điểm JC°, ký hiệu — (л:0) = ( / ; ) (*° ) •
Khi Xj = X 2 =... = X = Y = Ш thì đạo hàm riêng Fréchet trùng YỚi đạo hàm
riêng thông thường.
Ví dụ 1.10. Cho ánh xạ / : M —» R , Vjc° e R . Khi đó đạo hàm Fréchet
là đạo hàm theo nghĩa thông thường của / tại JC°


15

=> lim— -------- '
A->0
hỵ

' =f ự )

và vi phân dlff[(xx°\,hh ) = f ( ’ự
x °))hh .
",

Ví dụ 1.11. Cho ánh xạ / ::M"
M" —» R
M,, v*°
v * u e lM
0

с =

/.

0

o\4

0

flf =

^ V 7 • _ —1
gi = l,w;

là ma trận (al5a2,...,ön)
h e ĩ l , h = (hl,h2,...,h у
Ah = Ỵ j aihi;
;=1

/ (*° + ã) - / (*° ) = 2 a f t + a (*°, h)
i=1
|о ( л а | _ |
và lim

= 0.
II*!-»0 ||a|
Khi đó / khả vi Fréchet khi và chỉ khi / khả vi theo nghĩa thông thường và ta
có
Д х “)(А) = 2 > Д ,

/'(* " ) =

d

f ự

)

õ

V ÕX1 ’ ’
Ví dụ 1.12. Ánh xạ / : R" —» R ", Vjc° e M"
=

w

( f l ( x ) ’ f i ( x ) ’ -

’ fn ( x ) Ỵ

)

ổx« у

Í=1

/

f ự

;

x° = (x 1°,x20,...,jcn°)r ; Ã e l" ; h = (hl,h2,...,hn)T;
= э ф ° )

gy =

.

d

ỉ,j = \n\

A : R" —>R" là ma trận

chcy
\ T

Ah=

ị

2

V

ữ i A

’ ấ

ỹ=i

ữ

2A

’ -

’Ỳ

a njh j

ỹ=i

/ ( je0 + А ) - /( л ;0) = ;4А + а(л:0,А) và

lim
Al^°

а(Х°’А)|
А

Д

16
(
Y
Khi đó vi phân d f ( x ữ, h ) = f ’(x°)(h) = A h = ị j aljhJ, ị j a1JhJ, . . . ị j anlhJ ,
V J=l

đạo hàm Fréchet

j=l

-» M, JC€ [a , b ], / (jc) = ị x 2 ịt)dt e R. Tìm đạo hàm
a

và vi phân Fréchet của / .
Giải. Giả sử
Ta có
+ / ỉ ) - / ( ; t 0) = J(;x:0(í) + /ỉ(í)) íử - J(;x:0(í)) dt =
ứ

a

Ế
ố
= 2 j JC° { t ) h { t ) d t + ị h 2 ịt^dt.
a

a

Đặt

Aị t ì ) = 2J * 0ị t } h ị i } d t , a ị x ũ,h} = ị h 2 ịtyỉt.
a

a

Ta chứng minh rằng
1) ^4 là toán tử tuyến tính

A : Cị Ế] —> K

V a,P eM ,V Ã 1,Ã2 e C [ữi]

A(a1\ + p/ỉ2) = 2 j x° (^(a/ỈL (í) + p h2{t)}dt
a

= 2 a J x° (í)/^ ị t ) d t + 2pJ x° ị t ) h2 ị t ) d t
= aA{ hỉ ) + ẹ>A(h1),

Suy ra A là toán tử tuyến tính
2) A là toán tử tuyến tính liên tục
||yá(A)|| = |,f4(/i)| = l ị x ữ{ t ) h { t } d t < 2J|jc° (í)||A(í)^/í <
a

a

< 2 jm ax jt0(f)|.max|Ã(í)|íử = 2 JC° .||A||(ồ-fl).
Đặt
Khi đó

V

= A.

Ví dụ 1.13. Ánh xạ / : Cị

c =2

j=l

1(6- a ) .


17
Suy ra A bị chặn do đó A liên tục
b

b

a

a

b

< J (m ax|â(í)|)2í/í = ||ã||2ị b - à).
a

Suy ra

^

^

( jc°, ä)||
v ;|l< lim (z>
\\h =0.
IlblLvn-fl)
/;' 11*11“*®' /1111

lim
*1|1—
>0
|11A

Vậy theo định nghĩa đạo hàm và vi phân Fréchet ta có
b

Vi phân của ánh xạ

d f ị x ữ, h ) = 2 J JC° ị t ) h { t ) d t ,
a
b

đạo hàm của ánh xạ

f ' ự ) :h -> d f ( x ° , h ) = 2jjc° ( t ) h ( t ) d t .
a

Ví dụ 1.14.

Toán tử F : С,
М]

[а,bị
b

F ( x ) = jẴ '[í,j,,^(5')]ífe, V* e C[a,z>],
а

ì

7/-/ Г .

_

1 1 i 1 i __1 • Л

J_____i

l ____1___ 1 • Ẩ

i

trong đó K [ t , s , u ] v à K' [í,5,m] là hàm liên tục theo ba biến ị t , s , u ) trên tập
[ữ,Z?]x[a,Z?]xR

.
b

Khi đó

F'(x0){h) = \

k

' u[f, j,x 0(j)]Â (j)ds

a

Định nghĩa 1.23. Giả sử toán tử f : X —>Y khả vi tại mọi điểm thuộc tập mở
u Cl X . Đạo hàm này như đã định nghĩa ở trên là một toán tử tuyến tính liên tục
từ X —> Y , tức là
L ( X , Y ). Ta nói toán tử / hai lần khả vi tại X nếu f '
khả vi tại X , nghĩa là tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục p :X —>L^X,Y^
sao cho V k e X , f ' ( x + k ) - f ' ( x ) = p ị k ) + ọ ị x , k ) và lim

Ị ^ =0

với VA e X ta có
f'{x +

- f ' { x ) h = p { k ) h + ạ>{x,k)h

hay
d f { x + k, h) —df {x, h^ = p { k ) h + (pịx,k)h

Đặt P( k , h ) = P(k)h ta thấy p { k , t i ) là toán tử song tuyến tính liên tục
P ( k , h ) : X x X -> 7 .

Toán tử p gọi là đạo hàm Fréchet cấp hai của / tại X và ký hiệu là f ( x ) .

p ( k , h ) gọi là vi phân cấp 2 của / tại ký hiệu d 2f ị x , k , h ) .


18
Vậy
d 2f ( x , k , h ) = f ( x ) ( k , h ) .

Định nghĩa 1.24. Cho X , Y là các không gian định chuẩn. Toán tử / : X —» y
gọi là liên tục Lipschitz nếu tồn tại một hằng số dương L sao cho
Vxỉ,x2 e X ,
L gọi là hệ số Lipschitz của toán tử f.

Nhận xét 1.1. Toán tử / : X —» 7 có đạo hàm bị chặn thì liên tục Lipschitz.
Toán tử / : X
Y có đạo hàm riêng bị chặn theo một biế nào đó thì liên tục
Lipschitz theo biến đó.
1.5. Khái niệm về phương trình toán tử vỉ phân
1.5.1. Phương trình toán tử
Định nghĩa 1.25. Cho A là toán tử từ không gian định chuẩn X vào không gian
định chuẩn Y , phương trình có dạng
Ax = f ,
(1 .1 )
trong đó / e Y cho trước, được gọi là phương trình toán tử loại I.
Giả sử A : X X. Phương trình dạng:
X = ẰAx + f ,
( 1.2 )
trong đó / € X cho trước, tham số X cho trước thuộc trường số thực R (hoặc
trường số phức c ), được gọi là phương trình toán tử loại II.
Neu A là toán tử vi phân thì phương trình ( 1.1 ), (1.2 ) gọi là các phương trình
toán tử vi phân.

Nếu A là toán tử vi phân (không nhất thiết tuyến tính), tức là A phi tuyến thì
phương trình ( 1.1 ), ( 1.2 ) là các phương trình toán tử vi phân phi tuyến .

Định nghĩa 1.26. Cho tập mở í / c R " , / € L ( (R"). Nếu tồn tại một hàm g(x)
xác định trong u và một đa chỉ số a sao cho:
ị f ịx}Da(p[xyix = (-l)a ịgịxypịx^dx,

thì ta kí hiệu g(*) = Daf ị x }
u
u
và hàm g(x) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp a của hàm / (x) trong u .
1.6. Toán tử đơn điệu
Định nghĩa 1.27. Toán t ử ĩ : I - > r

được gọi là toán tử đơn điệu nếu

Toán tà T gọi là đơn điệu nghiêm ngặt nếu rđ ơ n điệu và dấu bằng trong bất
đẳng thức trên chỉ xảy ra k h i X = y .
Toán tử T gọi là đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm không âm s ( t ) không giảm
với í>0, <ỹ(0) = 0 và
Nếu
tức là

\/x,y&X.

= mt2 với m là một hằng số dương thì toán tử T gọi là đơn điệu mạnh,
(t (x ) - T { x ) , x - y ^ i > m ị x - ỳ f , Vx, y e X.


19

Định nghĩa 1.28. Toán tử A 6 (X -» X*) được gọi là toán tử bức (coercive) nếu
tồn tại một hàm số biến số thực 7 xác định trên [0, oo) với
lim y (s) = +OC và (Au,u) > y(||w ||)||w ||.
Định nghĩa 1.29. Ta nói toán tà A G (X -* X *) có tính chất (5) nếu từ các điều
kiện dãy (un) hội tụ yếu đến u và (Aun —Au, u n — u) hội tụ đến 0 suy ra (un)
hội tụ đến u.

Định nghĩa 1.30. Toán tử A E (X -> X*) được gọi bị chặn nếu ảnh của một tập
bị chặn trong X ỉ ầ một tập bị chặn trong
;
được gọi là tập bị chặn địa phương nếu với mọi điểm u 6 X cố định tồn tại một
số E > 0 và số M > 0 sao cho ||i4(v)|| < M ; với mọ i V t h ỏ a m ã n \\v —u|| < £.
Bổ đề 1.1. a) Toán tử A £ (X -» X*) đơn điệu khi và chỉ khi YỚi mọi u, V £ X
hàm số
t -> là hàm đơn điệu tăng trên [0,1].
b) Giả sử toán tử A E (X -» X*) là toán tử khả vi Gâteaux và với mọi u, V G X
hàm s ố t - » (A'(u + t v ) v , V) liên tục trên đoạn [0,1] . Khi đó A đơn điệu khi và
chỉ khi với mọi u, V £ X
{A r(u + t v ) v , v ) > 0.

Bổ đề 1.2. Mọi toán tử đơn điệu A E ợ -> X *) đều bị chặn địa phương.
Hệ quả 1.1. Mọi toán tử tuyến tính đơn điệu A £ (X -» X *) đều liên tục.
Hệ quả 1.2. Giả sử toán tử A E Ụỉ -> X*) đơn điệu và K c X là tập hợp sao cho
\\u\\ < Mlt

(Au, u) < M2

VuEK.

Khi đó tồn tại số M sao cho
\\Au\\ < M

V u EK.

Bổ đề 1.3. Giả sử A G Ọỉ -> X *) là toán tử đơn điệu . Khi đó các mệnh đề sau
đây tương đương:
a) Toán tà A radian liên tục ;
b) Từ điều kiện ( f —Av, u — v ) > 0 Vv E X, s u y r a Au — / ;
c) Từ các điều kiện dãy (iín) hội tụ yếu đến u trong X, dãy (Aun) hội tụ yếu
đ ế n / trong X* và lim s u p td ií^ i^ ) < ( f , u ) suyra>4w = / ;
d) Toán tử A đêmi liên tục;
e) Nếu K là tập con trù mật trong X, thì từ điều kiện ( / —Av, u — v ) > 0 Vi? G
K, s u y r a Au = / .
Hệ quả 1.3. Nếu A £ (X -» X*) là toán tử đơn điệu, radian liên tục. Khi đó YỚi
mọi / G T tập hợp K các nghiệm của phương trình Au = / là tập lồi và đóng
yếu.
Định lí 1.8. (Định lí Browder - Minty) Giả sử A 6 (X -» X *) là toán tử radian
liên tục, đơn điệu và bức. Khi đó tập nghiệm của phương trình
Au = /
với mọi / G X* là tập khác rỗng, lồi và đóng yếu.


20
Hệ quả 1.4. Giả sử A £ (X -» X*) là toán tử đêmi liên tục, bị chặn, bức và thỏa
mãn điều kiện c) của bổ đề 1.3. Khi đó với mọi / G X* tập nghiệm của phương
trình
Au = f

là tập khác rỗng và đóng yếu.

Định lí 1.9. Giả sử A G (X -» X *) là toán tà radian liên tục, đơn điệu nghiêm
ngặt và bức. Khi đó tồn tại toán tử ngược A~x E (X* -» X) và toán tử A~x đơn
điệu nghiêm ngặt, bị chặn và đêmi liên tục. Neu ngoài ra toán tử A còn có tính
chất (S), thì A~x liên tục.
Hệ quả 1.5 .Giả sử không gian X lồi đều và không gian X* lồi n g ặ t. Khi đó toán
tử đối ngẫu y* của không gian X* liên tục.
Hệ quả 1.6. Giả sử A E (X -» X *) là toán tử radian liên tục, đơn điệu mạnh.
Khi đó tồn tại toán tử ngược A~x E (X* -* X) và toán tử A _1 liên tục Lipschitz.
Neu ngoài ra toán tử A thỏa mãn thêm điều kiện liên tục Lipschitz thì toán tử
A ~ Ấ đơn điệu mạnh.

Định lí 1.10. Giả sử A 6 (D (yl) -» X*) là toán tử radian liên tục đơn điệu cực
đại có miền xác định tuyến tính D( A) c X , A £ (X -» X*) là toán tử radian
liên tục, đơn điệu và bức. Khi đó YỚi mọi / G X* phương trình
Au + Au = f
(1.3)
có nghiệm u G D (yl). Nếu ngoài ra A là toán tử đơn điệu nghiêm ngặt thì
phương trình (1.3) có nghiệm duy nhất.


21
Chương 2. PH Ư Ơ NG TRÌNH TOÁN T Ử V I PHÂN CẤP M ỘT

2.1. Phương trình toán tử vi phân với toán tử liên tục Lipschitz trong
không gian c .
2.1.1. Phương trình vi phân với họ toán tử

G(i), t e s

Xét phương trình

Jw'(í) +G(í)h(í) = / ( í )

teS,

Ị«(0) = a,

usC\S,X),

(2 1)

Kí hiệu: s = [0,:r]
Trong phương trình (2.1) họ toán tử G(t ): X -> X
f ( t ) cho trước,Ví e s , «(o) = f l € l , !i’( í ) e l .
Giả sử G thỏa mãn:
1.
£ X hàm t h-> Gịt)x, xác định với t e s là hàm liên tục trên s và nhận giá trị
trong X , hàm đó thuộc không gian c ( s ,x ) ,
( 2.2 )
c ( ^ ,x ) là tập hợp các hàm trừu tượng xác định trên s = [0,r] có giá trị trong
không gian Banach X .
2. G = {ơ(0}
là họ toán tử: G(t): X -> X , giả thiết rằng họ G liên tục Lipschitz
đều theo t ( không phụ thuộc theo t ). Nghĩa là tồn tại hằng số L không phụ
thuộc vào t sao cho Vx,y GX thì
|ơ (í)* -< j(Y ).y | ^z,||jc —_y|| X < z | x - . y | x

(2.3)

Để đơn giản ánh xạ: í h-> Gự)u (í) ta kí hiệu viết tắt là Gu .
Bổ đề 2.1. Giả sử họ toán tử G thỏa mãn điều kiện (2.2) (2.3) và UẼ c (5 ',x ).

Khi đó
G « e c (s ,x ).
Chứng minh. Lấy t0bất kì t0 Gs , dãy (í ) e s và t -> tữ, khi n
kiện Lipschitz
( 2.3 ) ta có:

00.

Theo điều

||G ( O M(*J - G(*0)«(*0) 1= 11G(*> (O - G(*> (*0) + G(*>(*0 ) - G(*0)« (*0) I
<1G(tJu(tJ-G(tJu(ta) l + l ơ (0 m (0 -ơ (0 m (0 |
^ | | “( 0 - M( 0 ll+ll
khi n —^ 0O thì tn —^ tữ. Hàm u liên tục trên s nên nó liên tục tại t0, do đó
lim||«(íJ-«(/0)| = 0.
Theo giả thiết (2.2) hàm t h-> G(t)x, X cố định là hàm liên tục.
Áp dụng với x = u[tữ) t h ì:


22
lim||ơ(/>(/0)-ơ (f0Mf0)|| = 0 .
lim |G(í„ )u(tn) - G(í0)u(t0)|| = 0.

V ậy

BỔ đề 2.2. Giả sử không gian Banach c(5',x) được trang bị hai chuẩn
xgC(5',X), \\x\\

= sup||x(0|| và ||x||

= sup{e"b |r(0||}, £>0.

(2.4)

Khi đó ||jc|| ( y và ||jt|| k tương đương với nhau.
Chứng minh. Từ (2.4) với V£
Vk > 0 ta có
IL.II

°IUI

^ iriL.il

VTÌ

N U ^ H : ^ ) . - e N U vì

H o IL N o ll

vt,o
^ (' V ,ir> < s u p í b p ì < sụp {e “ ||*(f)||) =
e

,

tzsyejtzs

||jt||
< e kT IIIIjcIIIIc , k

II IIC(S,JT)
I H I c , t = S,U P

{ß b

N * ) ||} =

IsS

I M

L

*

sup Ị

teS

*

[

e

s u p { ! * ( * ) 1 } = s u p ||x ( /) || =

J

l l ^ o

l l c ^

v

tsS

,

’

IW Ic (w >

Từ đó ta có
__ II

II

^

, r).V < e
c,k < IIXllc(5,^

kT II

II

IIụcllc,Ẳ

Bổ đề được chứng minh.

Bổ đề 2.3. (Bất đẳng thức Gronwall). Giả sử /

là hàm số liên tục trên s , g

là hàm không giảm trên s và

/( í) < g ( í) + cj/(,s)rfs VíeS,

(2.5)

trong đó c là hằllg số c > 0. Khi đó / (t) < eưg(t), Ví e S;
Trường hợp đặc biệt nếu g = 0 và / > 0 thì / = 0.
Chứng minh. Từ bất đẳng thức ( 2.5) và áp dụng liên tiếp bất đẳng thức đó,
theo quy nạp ta có

/ M M Ok =0i ^K +• J U O
trong đó

(2.6)

^„+1 (*) =c"+1{{-■j/C V i^H +r-A
0 0

-

0

Thật vậy với n = 0
m

< g ( i ) n (<)=g(0 + cj / ( i , >&,

là giả thiết đã cho, cho nên bất đẳng thức (2.6) đúng với n = 0.
Giả sử bất đẳng thức (2.6) đúng với n > 0
Thay (2.6) vào (2.5) ta có:


23
f ( t )
0
= g(t) + c j g(s)Ỳ,^77- ds + cỊ 3.+1( №

0

*=0 k\

1

c ị RM M * = c ' 4 )}...] /(*„,) 1

0

0^000

CJ g o o X

0

r T

7"

*

A=0 ^*

-

cể

( o

...&,= K M

y
| X

^

0£=0

T

r *

■

-

< ¥ (

0

X

t

7J

(“

£-0™*0

) * *

=g(,)ẫ * ! ( * V “ r = ^(f)S ( (r i i ) ! ;^
{ct)k

■ / ( 0 í * « ) í i + Ẻ 7 r ^ ( c' r ì = í « ) Z
V
=0 ^A
y/
jfc=0
=o #v•
\ kẪ=0
v#vtT-Ụ
1V!•
Ẵ
Như vậy bất đẳng thức đúng YỚi n+7.Theo phương pháp quy nạp toán học , bất

đẳng thức (2.6) được chứng minh.
Đặt M = sup|/(í)| . Khi đó
/1+1
00

0

0

Thật vậy.
v y jr ,
t Sỉ

Chẳng hạn: ^ “ c2J J / {s2^ s 2^s\
0 0

1(h \

*

1

|i?21< c2m Ị ịds2 dsì = c2AíịSịdSị = Mc 2—t2.
oV o

)

0

2

Làm tương tự ta có đpcm.
M(cT)n+]

(n+1)!
Xét chuỗi số:
M(cT)n+l

K ’

un

71=1

(w+l)!

> 0.

Giả sử u > 0, ta có
rrt

lim— =lim^ v"J /— . — '
—lim
=0<1.
/ỉ —^00
«-»00 (n+2)! M(cT)n+l
™ ( n + 2)
r

Theo dâu hiệu Dalambe chuôi 2^u hội tụ

n=\
00

Theo điều kiện càn về sự hội tụ của chuỗi số: X X hội tụ => l i m = 0
n=l


24
Vậy
Пг^со

_

ĩt —

Do đó
lü n / ( 0 < l im g ( 0 X ^ - +lim ^ +i ( 0 = g ( 0 Z ^ “ =eCi^ ) 5vie' = j r ị n^°

t ỉ k\

"-*»

k\

£Jk\

Vậy
fít)
BỔ đề được chứng minh.

Định lí 2.1. Giả sử các điều kiện ( 2.2 ), (2.3). Khi đó với mọi / (Ec ( s , x ) và
ũ £ X bài toán Cauchy (2.1) có một nghiệm и duy nhất. Hơn nữa ánh xạ
{а,/}-»ы là ánh xạ liên tục từ X x C ( S , X ) - > C l (S,X) là ánh xạ liên tục.

Chứng minh. Ta sẽ sử dụng nguyên lý ánh xạ co Banach để chứng minh định
lí. Với и e C(S,X) ta xác định toán tử tích phân như sau
ịAìi}{t) = a - J[G(Y).u(y) - / (í )]ds t e S

(2.7)

Theo Bổ đề 2.1, ta thấy biểu thức dưới dấu tích phân là hàm trừu tượng liên tục
theo s nên

J[G(5).m(5) - /0 ) ] ds
0
là hàm khả vi theo t.

Ta chứng minh rằng ánh xạ A ánh xạ không gian Banach COS', X) vào chính nó
và với к được lựa chọn thì ánh xạ A là ánh xạ co theo chuẩn (c,£).
Theo (2.3) ta có: Vm,v e C(S,X), о < к < 1
Au{t)—Av{fjị < J||G(5).m(5) - G!(.s,).v(,s)||.e"fa.Ểksds < z. j"11w(У) - v(s) I|.Ể~fa.еыds

0

0

I I e* - 1 .
II llc,* -----k

( A u m - ( A v x t ) ụ ‘ < ị { \ - ẽ ‘ ) \ u - v \Cii< ị { \ - ẽ u ) \ > - v "C,k

sup{||(A)(0-(^v)(í) ||^"‘’}te s
te s
h
’
к
Hay là \{Aù){t)-{Av){t)ị<—{ \ - e Kt\ ị u - v ị cK.
K.

’

Chọn к > L thì —(l-e ír) = ạ < l
Cho nên ánh xạ A là ánh xạ co theo chuẩn {C,K) từ C(Ẵ,X) vào C(S,X) Theo
nguyên lý ánh xạ co thì ánh xạ A có một điểm bất động duy nhất u, Au = u-


25
hay là:

uịf) = (ÂuỴf) = a-ị[G(s)u(s) - f{s)]ds

0
=>m(0 = «-J[G(5).m(s) - / ( í )]ds

(2.8)

0
Ta thấy vế phải công thức (2.8) là hàm số trừu tượng khả vi. Cho nên hàm u khả

vi theo í, do đó w e c \ S , X ) .
Đạo hàm hai vế của công thức (2.8) ta được
u’(t) = -G(t)u(t)+f(t)

Hay u XO+ G(t)u(t ) = / (í)
Từ (2.8) thay t = 0 ta được w(o) = a
Vậy u là nghiệm của bài toán Cauchy (2.1).
Ta chứng minh rằng nghiệm u phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu và vế
phải của phương trình.
Giả sử Uị, u2 là nghiệm tương ứng của bài toán Cauchy
k ( 0 + G(0“i(0 = /i(0
Ịmj(0) = Oj,
g Cx{S,X )

(2.9)

\ ù2(t) + G{t)u2{t) = f 2{t)

và

(2.10)

\

ỊM2(0) = ap u2 e c (S,X)

Từ (2.9), (2.10) ta có
t

«i(0 = ai-J[GO)-“iO) -/(X )] ds.

0
t

u2(t) = a2 - J[G(5).m2(5) - / 20)] ds.

Từ đó và từ điều kiện Lipschitz (2.3) ta có:
t

|«1i f)-u2{t)] <

-ữ 2||+r||y; - f 2\C(SíX) +zJ|mi(s)-m2(s)|^s.
0
Áp dụng Bổ đề Gronwall vào bất đẳng thức (2.11) ta được

hío-^U ^Ịlh-^l+llyi-A lU ^)

(2 .11)

(2 .12)

Dựa vào bất đẳng thức (2.1 l)và các phương trình (2.10) - (2.11) và sử dụng
điều kiện liên tục Lipschitz ta có:
(2.13)
Theo định nghĩa:
I H I c 1( 5 , z )

^

—

U

IIHIc(5 , z )

i

+

IIM

)

l c ( 5 ^ 0

H

t ừ

l

( 2 - 1 3 )

k

I U. J

t a

c ó :

(2.14)