Tính ổn định của hàm ẩn đa trị trong không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

TẠ NGỌC HỒNG

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HÀM Ẩ n đ a t r ị
TRONG KHÔNG GIAN BANACH
C h u y ê n n g à n h : T o á n giải tíc h
M ã số: 60 46 01 02

LUẬN VẢN THẠC s ĩ TOÁN HỌC

Người hư ớ n g d ẫ n k h o a học: PGS. TS. N g u y ễ n Q u a n g H uy

HÀ NỘI, 2 0 1 5


Lời cảm ơn
Trước k h i t r ì n h b à y nội d u n g c ủ a l u ậ n v ă n , tôi xin b ày
tỏ lòng b iế t ơn s â u sắc tới PGS. TS. N g u y ễ n Q u a n g H u y
người đã đ ị n h h ư ớ ng chọn đề t à i và t ậ n t ì n h h ư ớ ng d ẫ n tôi
có t h ể h o à n t h à n h l u ậ n v ă n này.
Tôi xin b à y tỏ lòng b i ế t ơn c h â n t h à n h tới P h ò n g S a u
đại học, các t h ầ y cô g iả n g dạy c h u y ê n n g à n h T o á n giải tíc h
T rư ò n g Đ H S P H à Nội 2 đã giúp đỡ t r o n g s u ố t q u á t r ì n h
học t ậ p v à là m l u ậ n v ăn .
Cuốĩ cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn c h â n t h à n h tới gia
đ ì n h và b ạ n bè đã động viên, giúp đỡ và tạo đ iề u k iệ n về
mọi m ặ t t r o n g q u á t r ì n h học t ậ p để tôi h o à n t h à n h k h ó a
l u ậ n này.
H à Nội, t h á n g 7 n ă m 2015

Tác giả

Tạ Ngọc Hồng


Lời cam đoan

Dưới sự hướ ng d ẫ n c ủ a PGS. TS. N g u y ễ n Q u a n g H u y
l u ậ n v ă n t h ạ c sĩ c h u y ê n n g à n h T o á n giải tíc h về đề t à i
“T ín h ổn đ ịn h c ủ a h à m ẩ n đa t r ị t r o n g k h ô n g g ia n B a n a c h ”
được h o à n t h à n h bỏi n h ậ n th ứ c của tá c giả và k h ô n g t r ù n g
với b ấ t cứ l u ậ n v ă n nào khác.
T ro n g q u á t r ì n h n g h i ê n cứu h o à n t h à n h l u ậ n v ă n tá c
giả k ế t h ừ a n h ữ n g t h à n h t ự u c ủ a các n h à k h o a học vói sự
tô n t r ọ n g và b i ế t ơn.

H à Nội, t h á n g 7 n ă m 2015
Tác giả

Tạ Ngọc Hồng


MỤC LỤC
Lời cảm ơn

i

Lòi cam đ o a n

ii

B ả n g kí h i ệ u và v iế t t ắ t

iv

Mở đ ầ u

1

C hương 1: K iến th ứ c c h u ẩ n bị

4

1.1 Á n h xạ đa t r ị

4

1.2 Dưới vi p h â n C la r k e c ủ a h à m liê n tụ c L ip s c h itz

6

C hương

2:

T ín h

chính

qui

khoảng

cách th e o

nghĩa

R o b in s o n v à t í n h c h ấ t L ip s c h itz k i ể u A u b in

19

2.1 T ín h c h í n h qui k h o ả n g cách th e o n g h ĩ a R ob in so n

21

2.2 T ín h c h ấ t L ip s c h itz k i ể u A u b in

27

C hương 3: Mối q u a n h ệ g iữa t í n h c h ín h qui k h o ả n g cách
th e o n g h ĩ a R ob in so n và t í n h c h ấ t L ip s c h it z k iể u A u b in

30

3.1 Sự k h ô n g tư ơ n g đương c ủ a t í n h c h ín h qui k h o ả n g cách
th e o n g h ĩ a R o b in so n và t í n h c h ấ t L ip s c h itz k iể u A u b in

30

3.2 Mối q u a n hệ giữa t í n h c h í n h qui k h o ả n g cách th e o

n g h ĩ a R o b in so n và t í n h c h ấ t L ip s c h itz k iể u A u b in

32

K ết l u ậ n

35

T ài liệ u t h a m k h ả o

36


Bảng kí hiệu và viết tắt

||.|| : C h u ẩ n t r o n g k h ô n g g i a n B a n a c h
X*: K hông g ia n đôi n g ẫ u c ủ a X được t r a n g bị topo y ếu w*
B x, B x' \ H ì n h c ầ u đóng đơn vị c ủ a k h ô n g g ia n X và k h ô n g
g ia n đối n g ẫ u X
Tích vô hướ ng
B(x, p ) \ H ì n h c ầ u t â m X, b á n k í n h p
domi^: M iền h ữ u h i ệ u F
gphF: Đồ t h ị c ủ a F
d f ( x) \ Dưới vi p h â n C la r k e c ủ a / t ạ i X

I n t Q : P h ầ n t r o n g của Q
D * F ( x ,ỳ ) \ Đối đạo h à m C la r k e của F t ạ i ( x , ỵ )


1

Mỏ đầu
1. Lý do chọn đề t à i
Các t í n h c h ấ t t h ú vị c ủ a h à m ẩ n đa t r ị, c h ẳ n g h ạ n n h ư
tính

n ử a liê n tụ c t r ê n ,

nửa

liê n tụ c

dưới, t í n h

chất

L ip s c h itz k iể u A ubin, t í n h c h í n h qui k h o ả n g cách, t í n h mở
và t í n h k h ả vi suy rộ n g đã được n g h i ê n cứu bởi n h i ề u tá c
giả t r o n g n h ữ n g n ă m g ầ n đây. M o rd u k h o v ic h đã đưa r a
đ iề u k i ệ n c ầ n và đủ cho t í n h c h ấ t L ip s c h it z k iể u A u b in
(A L l p ) cho một sô" d ạ n g đặc b i ệ t của h à m ẩ n đ a trị; Xem
t r o n g [15,16] và các t à i liệ u t h a m k h ả o tr o n g đó. T ín h
c h í n h qui k h o ả n g cách th e o n g h ĩ a R o b in so n (R m r ) c ủ a h à m
ẩ n đ a t r ị đã được n g h i ê n cứu t r o n g [5,1 3,14,17,18,20]. G ần
đây, L e d y a e v và Z hu [17], N g a i v à T h é r a [14] đ ã t h i ế t lập
các đ iề u k i ệ n đủ cho t í n h c h í n h qui k h o ả n g cách th e o
n g h ĩ a R o b in so n của h à m ẩ n đa t r ị d ự a t r ê n k h á i n iệ m đốì
đạo h à m F r é c h e t. Các đ iề u k i ệ n đủ cho t í n h c h ấ t tư ơ n g
ứ n g được t r ì n h b à y d ự a t r ê n k h á i n iệ m đôi đạo h à m
M o rd u k h o v ic h v à đã được t h i ế t lập bởi Lee, T am , Yen [18]

và Yen, Yao [13]. G ầ n đây hơn, mối liê n h ệ giữa t í n h c h ấ t
L ip s c h itz k iể u A u b in và t í n h c h ín h qui k h o ả n g cách theo
n g h ĩ a R o b in so n c ủ a h à m ẩ n đa t r ị được t r ì n h b à y t r o n g
[10]. C h ú n g t a t h ấ y r ằ n g h ầ u h ế t các k ế t q u ả được t h i ế t
lập bị h ạ n c h ế t r o n g k h ô n g g ia n A sp lu n d .


2

T ro n g [12], các tá c giả đã đưa r a các điều k i ệ n đủ mới
cho t í n h c h ấ t L ip s c h itz k iể u A u b in và t í n h c h ín h qui
k h o ả n g cách th e o n g h ĩ a R o bin so n c ủ a h à m ẩ n đa t r ị và mối
q u a n h ệ giữa h a i t í n h c h ấ t n à y t r o n g k h ô n g g ia n B a n a c h
tổ n g q u á t d ự a t r ê n k h á i n iệ m dưới vi p h â n và đối đạo h à m
C la rk e .
Đề t à i “T ín h ổn đ ị n h c ủ a h à m ẩ n đa t r ị t r o n g k h ô n g
g ia n B a n a c h ” n h ằ m tì m h i ể u về Lý t h u y ế t đối đạo h à m và
k ế t q u ả đ ạ t được t r o n g [12].
2. Mục đích n g h i ê n cứu
Tìm h i ể u về Lý t h u y ế t đôi đạo h à m và áp d ụ n g n g h i ê n
cứu t í n h ổn đ ịn h c ủ a h à m ẩ n đa t r ị t r o n g k h ô n g g ia n
Banach.
3.N h iệ m v ụ n g h i ê n cứu
Đ iều k i ệ n đủ cho t í n h c h í n h qui k h o ả n g cách th e o
n g h ĩ a R o b in so n v à t í n h c h ấ t L ip s c h it z k i ể u A u b in c ủ a h à m
ẩ n đa tr ị, n g u y ê n lý b iế n p h â n E k e la n d , dưới vi p h â n và
đốì đạo h à m C la rk e .
4.

Đối tư ợ n g n g h i ê n cứu và p h ạ m vi n g h i ê n cứu

T ín h c h í n h qui k h o ả n g cách th e o n g h ĩ a R obinson, t í n h
c h ấ t L ip s c h itz k iể u A u b in v à môi q u a n hệ giữa c húng.
5. P h ư ơ n g p h á p n g h i ê n cứu
Tổng hợp, p h â n tích, đ á n h giá.


3

6. N h ư n g đóng góp c ủ a đề t à i
Hệ t h ố n g lại, đưa r a các ví dụ m i n h h ọ a để k iể m t r a
các đ iề u k i ệ n đủ cho t í n h c h ấ t L ip s c h itz k iể u A u b in và
t í n h c h í n h qui k h o ả n g cách th e o n g h ĩ a R o b in so n c ủ a h à m
ẩ n đa t r ị t r o n g k h ô n g g ia n B a n a c h tổ n g q u á t.


4

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1 Á n h xạ đa t r ị
T ro n g chương n à y c h ú n g tôi ký h i ệ u X, Y , z là các k h ô n g
g ia n B a n a c h th ự c với c h u ẩ n ||.|| (c h u ẩ n n à y có t h ể k h á c
n h a u t ù y th e o t ừ n g k h ô n g gian).
Đ ịn h n g h ĩ a 1.1 (Ánh xạ đa trị)
Cho các k h ô n g g ia n X, Y v à F: X =3 Y là á n h xạ t ừ X vào
các t ậ p hợp gồm t o à n bộ các t ậ p con c ủ a Y (được kí h iệ u là
2*). Ta nói F là á n h xạ đa t r ị t ừ X vào Y. N h ư v ậy với mỗi
X e X , F ( x ) là một t ậ p hợp con c ủ a Y. K hông loại t r ừ k h ả

n ă n g là m ột sô" p h ầ n t ử x & X nào đó t a có F{x) là t ậ p rỗng.
Ta ký h i ệ u F: X

F là á n h xạ đa t r ị t ừ X vào Y.

Cho F: X ^ Y là một ánh xạ đa trị, ta định nghĩa đồ thị F và
ký hiệu là g p hF c X x Y được xác đ ịn h n h ư s a u
g p h F = Ị(x,y) I y e i^(jr)Ị .
M iền h ữ u h i ệ u c ủ a F ký h i ệ u
d om F := [x e X I F {x ) * 0 }.

d o m F được cho bởi


5

Ví dụ 1.2 Á n h xạ đa t r ị F: R =3 2R, F ( x ) = c^sinjK-jCOSx-.
Đ ịn h n g h ĩ a 1.3 (Tính n ử a liê n tụ c c ủ a á n h xạ đa trị)
Cho á n h x ạ đa t r ị F: X

Y, F được gọi là n ử a liê n tục

t r ê n t ạ i X GX n ế u với mỗi t ậ p mỏ V c 7 và F ( x ) c V t ồ n t ạ i
l â n c ậ n mở í / c X của

X

sao cho

Fix) c V, Vx e u .

Á n h xạ đa t r ị F được gọi là n ử a liê n tụ c dưới t ạ i x e X
n ế u với mỗi t ậ p mở V œ Y t h ỏ a m ã n F ( j c ) n V ^ 0 tồ n t ạ i lâ n
c ậ n mỏ u (.—X của X sao cho

F { x ) r \ V ^ 0 , Vx e u .
Ví dụ 1.4 Á nh xạ đa t r ị F: R

R

{0},AT < 0
F(x) = [-l,l],x = 0
{!},*> 0
là n ử a liê n tụ c t r ê n ỏ t r o n g R.
Ví dụ 1.5 Á n h xạ đa t r ị
F(x)=<

{0},jr = 0
[ 0 ,1 ],* * 0

á n h xạ đa t r ị i ^ l à n ử a liê n tụ c dưới t ạ i jr = 0.
Đ ịn h n g h ĩ a 1.6 H à m f ' - X ^ > R
trong lân cận của

được gọi là L ip s c h itz

6 J v ổ i h ằ n g số L ip s c h itz k, n ế u t ồ n t ạ i

£■>0 sao cho
If ( x ) - f ( ỵ ) |< k I IX - y I I ;M x ,y e B ( x , s ).

6

Ví d ụ 1.7
H à m f ( x ) = yfjĩ + 5 là L ip s c h itz với h ằ n g sô" k - 1.
1.2

Dưới vi p h â n C la r k e c ủ a h à m liê n tục L i p s c h itz

Đ ịn h n g h ĩ a 1.8 Cho f ' - X ^ R
h à m suy rộ n g c ủ a /

tại

X

là h à m L ip s c h itz . Đạo

th e o h ư ớ n g

V,

ký k iệ u

Được đ ị n h n g h ĩ a n h ư s a u
f ( ỵ +t v ) - f ( ỵ )
í \x ,v ) = lim sup— ----- —-------— ,
y->x,u0
ị
t r o n g đó ỵ \ à vectơ t r o n g X, t >0.

Dưới vi p h â n C la r k e c ủ a / t ạ i

X,

là t ậ p hợp cho bởi

công th ức
õ f { x ) ■= {x-* e X* '■(x*,V*^J < f ° ( x , v ) , V v e x } .
Đ ịn h n g h ĩ a 1.9
H à m / l à t h u ầ n n h ấ t dương n ế u f( Ắ v) = Ầ f( v ) ,Ắ > 0 , cộng
t í n h n ế u f ( v +w ) < f ( v ) +f ( w ) , V v , w e J T .
M ệ n h đề 1.10
Cho / • X —>R là h à m L ip s c h i t z t r o n g l â n c ậ n X với
h ằ n g sô" L ip s c h itz k. K hi đó
a) h à m sô" 7 H 4 / ° ( x ,v ) là h ữ u h ạ n , t h u ầ n n h ấ t dương, và
cộng t í n h t r ê n X th ỏ a m ã n
\ f ° ( x , v ) \<Ảịvị.
b) f ° ( x , v ) là n ử a liê n tụ c t r ê n .
c) f ° ( x , - v ) = ( - f ) ° ( x , v ) .


7

d) Giả sử

g ' - X ^ R

là L ip s c h itz t r o n g l â n c ậ n

X,

k h i đó

( / + g f (x, V) < / ° (x, V) + g ữ(x, V).
Chứng m inh
T ro n g đ iề u k iệ n L ip sc h itz , t r ị t u y ệ t đối của tỉ scí sai
p h â n t r o n g đ ị n h n g h ĩ a c ủ a f ° ( x , v ) được giói h ạ n bỏi -¿'||v||.
Với y eB(x,ỏ),ỏ>0; t >0. Ta có f° ( x ,Ă v ) = Ẫ f°(x,v),VĂ > 0. (1.1)
Khi y —> x , t —>0 t a có
rữ(
\ _ 1f { y +t v +t w ) - f { y )
f {x , v + w)= lim sup— ------- —-----------—
ỵ —>x,t—>0

ị

.
f { y + t v + t w ) - f { y + tw)
..
f ( ỵ + tw) - f { y )
< lim sup— ----------- —------ ----------1- lim sup— ----- —------—
ị

y —>x,t—>0

ị

suy r a
f ° ( x , v + w)< f ữ{x,v) + f ° ( x , w ).

(1.2)

Từ (1.1) và (1.2) t a suy r a h à m số v \ f ữ(x,v) là h ữ u
h ạ n , t h u ầ n n h ấ t dương và cộng t í n h t r ê n X t h ỏ a m ã n
If ° ( x , v ) |< ■¿'||vr||, k h ẳ n g đ ị n h a) được c h ứ n g m in h .
Cho

là dãy t ù y ý hội t ụ tới -srvà V, với i = 1, 2...

được đ ịn h n g h ĩ a bỏi giới h ạ n t r ê n 3y i c J v à ts > 0 sao cho
ị ỵ . - x . Ị +t . ^ ị ;
ĩ
f0(
t,
_ f(y j + tỵ ) - í(ỵ-) | f( ỵ . + t ỵ ) - f { y i + tỵ )
t,
ti
Cho i —>00, t a có


8

lim sup/ ° ( X ., V .) < f ° ( x , v ) .
7—
>00
Để c h ứ n g m i n h / ° ( x,v) là n ử a li ê n tụ c t r ê n . L ấ y t ù y ý
V e x , w e l và y e B { x , s ) , s > 0,t > 0
f { y +tv ) - / ( y) < f { y +
K hi

t a có
- f { y ) + k\\v - w\\t.

K'jí'i'O, chia 2 v ế cho t t a được
f ° ( x , v ) < f ° ( x , w ) + k \ v - w\\.

K h ẳ n g đ ị n h b) đã được c h ứ n g m in h .
Ta c h ứ n g m i n h c)
* 0f
f(ỵ -tv )-f(y ).
_
I \X.-V) = lim sup—------—------ — ,u = y - t v
’
y^jio *
t
r_
(-/)(w + tv) = lim sup----------- —-------------y-> x,tÌ0

ị

= (-f)°(x,v).
d) H iể n n h i ê n đúng.
M ệ n h đề 1.11
Cho h à m

là L ip s c h itz t r o n g l â n cận của X với

h ằ n g sô" L ip s c h itz k. Khi đó
a) Tập d f ( x ) là lồi k h á c rỗng, com pact yếu t r o n g X* và
||£||, < k , \ ỉ ệ & õ f ( x ) .

b) Với V f g J

t h ì f ữ{x,v) - max|(^,F) : ệ e Ổ/Gr)}.

c) <Ẹeõf(x) k h i đó f ° ( x , v ) >
d) Cho {jrJ e
n ế u X ] —»X và Ẹị—

e X* sao cho i:

eX.
e ổ / ^ . ) với i = 1,2...,

, k hi i —»00 thì: <Ẹgôĩ(x).


9

e) N ế u X là h ữ u h ạ n c h iề u t h ì ổ / n ử a liê n tụ c t r ê n t ạ i
X e X .

C h ứ n g m in h
T ập õ f{ x ) là t ậ p k h á c rỗng, co m pa c t yếu t r o n g X*. Với
mỗi ệ e d f ( x ) th e o đ ịn h n g h ĩ a dưới vi p h â n C la rk e và M ệ n h
đề 1.10 t a có
(ệ,v) < f ° ( x , v ) < -Ả:|f|,W c= X suy r a

a) đã được c h ứ ng

m in h .

K h ẳ n g đ ị n h b) và c) là đơn t h u ầ n lặp lạ i đối với / ° ( X,.).
C ố đ ị n h v e X . V ớ i m ỗ i i - 1 , 2 ... t a có f°(Xị, v) > (<Ẹị,v).

Ta thấy, dãy { ( < £ - , là bị chặn. Xét dãy {£•} sao cho
{Ẹj,v) —>{Ẹ,v), t h ô n g q u a giới h ạ n c ủ a b ấ t đ ẳ n g th ứ c t r ê n t a
có
f ũ{x ,v )> {ệ ,v).
Khi đó cho £ > 0 , V ỵ G B (x,ổ),ổ > 0 ta khẳng định rằng
õ f{y)c zõ f(x) +sB .
T h ậ t v ậ y n ế u k h ẳ n g đ ị n h t r ê n là sai t h ì 3 ỵ i ^ > x và
l e ẽ f ( y ) sao cho
Ể õ f{ x ) + s B , M i .
Áp d ụ n g đ ị n h lý t á c h t r o n g X , t á c h ặị, 3Fy ^ 0 sao cho
(ii>v ¡) ¿ m a x j í ^ . F , , : I s õ f ( x ) + cB *ị

= f 0U , v i ) + s\\v1\\.


10

Ta lấy ịv-ị = 1, ệ- —>ệ,v- —>v k h i đó ||v |= l và t h a y vào
b iể u th ứ c t r ê n t a có

{ ệ , v ) > f \ x , v ) + €.
Đ iều t r ê n vô lý suy r a d) đúng, t a có Ç e ỡ / ( x ) và 0 / là
n ử a liê n tụ c t r ê n t ạ i x e X .
M ệ n h đề 1.12
Cho f ’- X —>R là h à m L ip s c h itz t r o n g l â n c ậ n c ủ a X với
h ằ n g sô" L ip s c h itz k. Vổi mỗi Ẳ & R , t a có

õ{Ẵf){x) = Ằdf{x ) .
Chứng m inh
Vì / là h à m L ip s c h itz t r o n g l â n c ậ n c ủ a X với h ằ n g sô"
L ip s c h itz k n ê n Ả f là h à m L i p s c h itz t r o n g l â n c ậ n c ủ a X
với h ằ n g sô" L ip s c h itz \ẫ \k .
H iể n n h i ê n Ấ>0, (Ẫf°) = Â f°.
Xét Ả < 0 , k h ô n g là m m ấ t t í n h tổ n g q u á t t a x ét Ẫ = - l .
Với mỗi <ẸeX*, t a có
(-f)°U ,v )> (ệ ,v ),V veX .
Từ M ệ n h đề 1.10(c) t a suy r a f ° ( x , - v ) > ( ệ , v ) y v e X .
Vì v ậ y - ệ e õ f ( x ) và t a có điều p h ả i c h ứ n g m in h .
M ệ n h đề 1.13
Cho
lân cận

và g ' - X ^ > R là các h à m L ip s c h itz tr o n g
X.

K hi đó
ổ ( / + g){x) c= õ f{ x ) + õ g ( x ) .


11

M ệ n h đề 1.14
Cho f ' - X —>JỈ là h à m L ip s c h itz t r o n g l â n c ậ n

X.

K hi đó

a ) N ế u / có đạo h à m G â t e a u x f G(x) t ạ i x t h ì t a có
f G(x) e õ f ( x ) .
b ) N ế u / là h à m k h ả vi liê n tụ c t ạ i

X

thì

(*) = j / O ) j .

Chứng m inh
Từ đ ị n h n g h ĩ a đạo h à m G â t e a u x ta. suy r a
f \ x , v ) = (/c W , 7 ) , V 7 e R n.
H iể n n h iê n , f { x , v ) < f ữ{x,v) suy r a
ự G{ x ) , v ^ < f ữ{ x , v ) , \ ỉ v ^ R n.
Theo M ệ n h đề 1.1.2 suy r a f G{ x ) & ô f{ x ).
Vậy a) đã được c h ứ n g m inh.
Giả sử / l à h à m k h ả vi liê n tục t r o n g l â n c ậ n

X

và cô"

đ ị n h V g X . Cho y e B ( x ,d ) ,d > 0 , t > 0, t a có

L ấy t ù y ý z &{ y , y + tv). Theo đ ị n h lý giá t r ị t r u n g b ì n h
cổ đ iể n k h i ỵ —>x, ¿ ị o , z —>x, t ừ h à m liê n tụ c f \ . ) t a suy
ra
/°(*,v) < ( / ’(*), v) .

Từ M ệ n h đề 1.11 <Ẹ&õf(x) k h i đó f ° ( x , v ) > ÌẶ ,v)

,v V G

X.


12

K ết hợp với t r ê n t a có (f'{ x ) ,v ^ Ị > ( ặ ,v ) ,\/v & X .
Ta k ế t l u ậ n õ f{ x ) - {/'G r)Ị. (Điều p h ả i c h ứ n g m inh).
Đ ịn h lý 1.15 (Mô h ì n h k h ô n g t r ơ n của qui tắ c F e r m a t ) .
Cho X l à k h ô n g g ia n B a n a c h và ọ ’- X
cho ọ là h ữ u h ạ n t ạ i

X.

là á n h xạ sao

N ế u X là cực t i ể u địa p h ư ơ n g của

ọ t h ì 0 G dqẨ.x).
Đ ịn h lý 1.16 (N g u y ê n lý b iế n p h â n E k e la n d )
Cho (x , d ) là k h ô n g g ia n m e tr ic đủ, (p: X

R u {+ooj là

h à m n ử a liê n tụ c dưới, bị c h ặ n dưới t r o n g X. K hi đó, n ế u X
thỏa mãn
qẨ,x) < inf qẴ.-y) + £

XeJỈ

(1-3)

với £ > 0 và n ế u Ẳ e R ,Ấ > 0 cho trước, t h ì tồ n t ạ i x e B

sao

cho
i) ọ(x) < ọ(x)
ii) d ( x , x ) < Ấ
iii) V ớ i

Vx

e

x \

| j s t | , ọ?(jsr) <

(p{x) + —d ( x , x )

.

Chứng m inh
T ro n g c h ứ n g m i n h n à y c h ú n g t a sẽ sử d ụ n g k iể u t h ứ tự
bộ p h ậ n do B i s h o p và P h e l p s đưa r a n ă m 1963. với mỗi
a > 0 , t a đ ịn h n g h ĩ a t h ứ tự “Gr1, ^ 1) ^ {x2, y 2) o y 2 - y 1 + a d ( x 1 +:r 2) < 0 .

T h ứ t ự % / l à p h ả n xạ, p h ả n x ứng và bắc cầu.

(1.4)


13

• Tín h p h ả n xạ:
H iể n n h i ê n t a có (x , ỳ ) < ( x , ỵ ) với mọi ( x , y ) ^ R .
• T ín h p h ả n x ứ n g :
Giả sử r ằ n g

và (x 2,]?2) ^ { x ^ y 1). Ta c ầ n

ch ứ n g tỏ r ằ n g { x ^ y 1) =(**,y 2) . Do (1.2),

(x1y ) < a{^,y2) « d{x^x2)^ y ~ y .
a
Theo giả t h i ế t ,
d^x1, x 2) ^ y ~ y v à d(x2, x 1')a
a
Suy r a

2d { x1, x 2) <

0 . Vì t h ế

(1-5)

X 1 = X2.

Từ (1.3) t a có y 1^ y 2 và y 2 > y 1. Do đó (x1, ^ ) - (X2, y 2).
• T ín h bắc cầu:
Giả sử r ằ n g { x ^ y 1) d tf.x * )

<

a

và d ( A ^ )

Suy r a
d i x ^ x 2) + d i x 2, Xs) < —— — .
a
Do d i x ^ x 9) < d{x1, x 2)+ d i x 2, Xs), n ê n t a có
d (xi y ) < ¿ Z L ¿ .
a
Từ đó suy r a ( x ^ y 1) • K h ẳ n g đ ịn h 1

a


14

N ế u ( x 1, y 1)&Xx.R, t h ì Q := ị ( x , ỵ ) e X x B '

< (x , y )|

là t ậ p đóng.
T h ậ t vậy, giả sử dãy Ị(xfc,;y*)j d X x R t h ỏ a m ã n
w , f ) v à x k —»x , y k

<* = 2,3,4...)

y . Do (¡{x1,.sr*)< —— — với mọi k ^ N , n ê n
a

t a có d i x ^ x ) < y —
a

tức là ( x ^ ỵ 1)
ta

đã c h ứ n g m i n h n là t ậ p đóng.
• K h ẳ n g đ ịn h 2
Cho M c z X x R là t ậ p đóng sao cho t ồ n t ạ i ỵ > 0 để y > ỵ
với

mọi ( x , y ) e M .

Khi

đó,

với

mỗi

(x1,y1) ^ M t ồ n

tại

( x , ỵ ) ^ M s a o cho Csr1,y 1) cực đ ại t r o n g M th e o t h ứ t ự “(Tức là, n ế u

( x , ỵ ) e M và

( x , y )
thì

(x , y )

=

G ,ỹ))
B ắ t đ ầ u t ừ ( / y ) e M ta xây d ựng d ã y
Giả sử

n h ư sau:

đã xác định. Đ ặ t
M t = { ( x ,ỵ ) e M : ( x k , y k) <, (x ,ỵ )} .

Theo K h ẳ n g đ ịn h 1, M k là t ậ p đóng. N goài r a ,

nên

M k ^ 0 .

Đ ặ t

Yk =

{ ỵ •3 x e X ,( x ,ỵ ) e M

k ^ị.

vì


15

H iể n n h i ê n Ỵk >Ỵ và Ỵk < y k . Chọn {xk+1, y k+1) e M k sao
cho
yk+i < ỵk + y
z

(1 .6 )

(Nếu Ỵk = y k i h ì đ ặ t {xk+1, y k+1) = {xk , y k). Giả sử Ỵk < y k ,
do Yk - ^k+ y

, t ồ n t ạ i (jc, j ) e M sao cho Ỵk < y < ^k+ y

.

Đ ặ t (jfẲ+1, ^ +1) = { x , ỳ ) , t a t h ấ y r ằ n g (1.6) n g h iệ m đúng).
D ãy

là các t ậ p đóng lồng n h a u ; M k+1 c z M k với

mọi k & N .
( T h ậ t v ậ y Y í ế M { x , ỳ ) ^ M k+1i h ì { x k , y k)do đó (jc,y)& M k).
Đ ặ t d ((x ,y ),{ x ',y ')) = d { x ,x ') + \ y - y ' \ . Với mọi k, t a có
,-k
Yk ^ yk+1 ^ y k+1 và \ỵi+1 - y È+1\ < ị \ ỵ k - ỵk <2 y 1- Ỵ ■

( T h ậ t vậy, do (1.6) t a có

Vì y k+1 - Ỵ k+1 > 0, t ừ đó suy r a
-k
y k+1- y k+i < ...< 2 y ^ - ỵ 1 <2~k ỵ ^ - ỵ ) .
Với mọi ( x , ỵ ) &M i+1ta có ^ +1- y < ^ +1- r * +1 < 2 - * y - r
Vì Cx-*+1,jr*+1) ^ a Gr,y), n ê n
0 < d { x k+\ x ) < y k+1- ỵ
a


16

Do đó
,k +1

0 < d ( x i+1, x ) < ^

a

a

Từ đó suy r a
ctiamMk+1 := supịùKOr,y ) , { x ' , ỳ )) : ( x , y ) e M k+\ ( x ' ,ỳ ) e M *+1Ị
k h i .¿-—>00. Vậy

0

là t ậ p đóng lồng n h a u , có đường k í n h

g iảm tới 0. Vì X * R là k h ô n g g ia n m e t r i c đủ, n ê n t ồ n t ạ i
duy n h ấ t p h ầ n t ử (X , y ) ^ x x R t h ỏ a m ã n
n

r)}.

Do { x , y ) & M 1, t a có { x ,y ) e i l í v à ( x 1, 3^ ) Giả sử ( x ,y ) e M t h ỏ a m ã n
(x >ỳ)

(1.7)

(x >y>-

Do (1.7) và do ( x , ỵ ) & M k với mọi k & N , t a có

( x k , y k)Từ đó t a suy r a ( x , ỳ ) = ( x , ỳ ) . Ta đã c h ứ n g m i n h r ằ n g
Cxr,ỵ ) là p h ầ n cực đại tr o n g M. K h ẳ n g đ ịn h 2 đã được ch ứ n g
m in h .
Đ ặ t M - epi

.

Do h à m số ọ là n ử a liê n tụ c dưới, M là t ậ p đóng tr o n g
X x J Ỉ . T h ậ t vậy, t a sẽ c h ứ n g m i n h r ằ n g Q . ' - = ( X x I Ỉ ) \ M
là t ậ p mỏ.
Giả sử C s r ,j) s Q . Do { x , y ) ẹ Ẻ M , t a có ẹ{x)> y .


17

Lấy g e (o,
t ạ i lâ n cận mở

—^ ) . Vi

2
u

của

X

là nửa liên tục dưới tại

X,

tồn

sao cho

(fẨ.x) > (p{x)- £, y X e u .
Đ ặ t V = { y - s , y + è), t a có W'-=Uy.V là l â n c ậ n mở của
( x , ỵ ) và W(=Q. T h ậ t vậy, V ố i v ( x , ỵ ) e

w ta

có ẹ{x) > ẹ{x) - £.

N ếu (jc,j)eW, t h ì y > q>(x) > q>{x) - £. Do y ^ V , y < y + £, vì t h ế
y + £ > y > ( p { x ) - £ . Suy r a s >

f m â u t h u ẫ n vói cách

chọn e. Vậy { x ,ỳ ) Ể M .
Đ iều đó c h ứ n g tỏ r ằ n g w e Q . Vậy n là t ậ p mở, do đó
M là t ậ p đóng.
Ta côür,ç?Gr))e M . Đ ặ t ( x 1, y x) = {x ,ẹ { x )). Từ K h ẳ n g đ ịn h
2, tồ n t ạ i (x , y ) sao cho
( x \ ỵ L)
(1.8)

Và (x , y ) là p h ầ n t ử cực đ ại tr o n g M th e o t h ứ tự.
Đ ặ t a = — . Do (1.8),

Ấ

ỵ - ỵ 1+ a d ( x , x ) < 0,
hay
ỵ-Ta có y = qẨx). T h ậ t vậy, giả sử y>(p{x).
K hi đó
2

(1-9)


18

Suy r a ( x , y ) Đ iề u đó c h ứ n g tỏ rằng(jc,y) k h ô n g t h ể là p h ầ n t ử cực
đại, vô lý. Vậy y = (p{x).

(1-10)

T h ế (1.10) vào (1.9), t a có
ọ{x) - (p{x) + a d { x ,x ) < 0.

(1-11)

Suy r a (p{x)-(p{x) < 0, tức là t í n h c h ấ t (i) t r o n g k ế t l u ậ n
c ủ a đ ịn h lý n g h i ệ m đúng. Do đó
ọ(x) < inf ọ(x) + £ < ọ(x) + £.
x íe X

Từ (1.9) t a có

ad(x,x ) < Do đó
d { x ,x ) < — = £ —.
a
s
Vậy t í n h c h ấ t (ii) n g h iệ m đúng. Để k iể m t r a t í n h c h ấ t
(iii), t a lấy t ù y ý A-eXXịA-Ị. N ế u ç{x) = +co t h ì b ấ t đ ẳ n g
th ứ c t r o n g (iii) là đúng.
Giả

sử

qẨ,x)^R,

vì

(x,
k

và

{x,(p(x)) là p h ầ n tử cực đ ại tr o n g M, n ê n b ấ t đ ẳ n g th ứ c
(x,ẹ{x))(p{x) - (p{x) + a d { x , x ) > 0,
hay
ọ(x) - ọ(x) + —d ( x , x ) > 0.
Ằ

Vậy t í n h c h ấ t (iii) n g h iệ m đúng.


19

Chương 2
Tính chính qui khoảng cách
theo

nghĩa

Robinson và tính

chất Lipschitz kiểu Aubin
T ro n g chương này , c h ú n g t a kí h i ệ u X , Y , Z \ à các k h ô n g
g ia n B a n a c h th ực.
Đ ịn h n g h ĩ a 2.1
Cho QczX là t ậ p đóng, k h á c rỗng. Nón tiế p t u y ế n
C la r k e đối với Q t ạ i x e X , kí h i ệ u T(x,Ò ) được xác đ ịn h
bởi
T ( x , n ) = {.sr e X I a Ị ^ Ị c í Ị ỉ , ->

c (0,+co),^ -> 0,

3K) <=x ’vk -*■v’xt +ttvt s n’v iỉN ón p h á p t u y ế n C la r k e c ủ a Q t ạ i

X

, kí h i ệ u N(x,Q),

được đ ị n h n g h ĩ a bỏi công th ứ c
N ( x , Q) = Ịx*

G

X* I (x*,v) - 0,V f e TX^Q)!.

Đ in h n g h ĩ a 2.2
Cho F ' - X y . Y ^ ị z là á n h xạ đa t r ị giữa các k h ô n g g ia n
B a n a c h và b ấ t đ ẳ n g th ứ c suy rộ n g
0 & F (x,y).

(2.1)


20

H à m ẩ n đa t r ị G - Y =ÉXliên k ế t với (2.1) là á n h xạ đa
t r ị được xác đ ịn h bởi
G (ỵ) = { x s X - 0 s F (x ,ỵ ) } .

(2 .2 )

Đ ịn h n g h ĩ a 2.3
Cho Q là t ậ p con của k h ô n g g ia n m e tr ic X. K h o ả n g
cách t ừ « e X tới Q được đ ịn h n g h ĩ a bỏi
distiu, Q )

•= i n f

\\x -

w||

disli lịQ) = +OC n ế u Q = 0 .
Đ ịn h n g h ĩ a 2.4
a) Cho o : x ^ x F l à á n h xạ đa t r ị {x,y)& g p h o . ® được
gọi là có t í n h c h ấ t L i p s c h itz k iể u A u b in t r o n g l â n c ậ n

(x,y) với m o d u n 1 > 0 (ALlp) n ế u t ồ n t ạ i l â n c ậ n u c ủ a X
và l â n c ậ n V c ủ a y sao cho
O C s r ^ n F cz0(x2) + 7||x1 - xJ^BYy x 1, x 2 eZ7.
b) Cho F\ X x Y

z là á n h xạ đa t r ị giữa các k h ô n g

g ia n B a n a c h t h ỏ a m ã n công th ứ c (2.1) v à ơ: Y ^ X là h à m
ẩ n đa t r ị liê n k ế t với (2.1), cho wữ'-={xữ, y ữ,Ò) &g p h F . G được
gọi là c h í n h qui k h o ả n g cách th e o n g h ĩ a R o b in so n (R m r )
t r o n g l â n c ậ n c ủ a wữ với m o d u n c > 0 n g h ĩ a là
3 B 1(x0,ổ1),B2( ỵ 0,ỏ2),ỏ1,ổ2 > 0 ,ự > 0 , sao cho
distix,G(ỵ)) < c.distio,F{x,ỵ)),\/x
thỏa m ãn
distiữ, F(x, ỵ ) ) <

JU .

G

Bx, y

G

B2

(2 .3 )