de HSG Toan 10, Truong THPT DC2, de so2

Sở GD&ĐT Nghệ An.
Trờng THPT Diễn Châu 2.
***====*****====***====
Đề thi chọn HSG cấp trờng năm học 2007 2008.
Môn Toán Lớp 10- Chơng trình cơ bản.
(Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề)
Câu 1. a,(4,25 điểm) Giải phơng trình:
x x x x- + =- -
2 2
2 3 2 1 4
.
b, (2,5 điểm) Tìm a để phơng trình:
( )x x x a- + - =
2 2
4 3 0
, có đúng 3 nghiệm phân biệt.
Câu 2(5,0 điểm) Cho hệ phơng trình
(1)
(2)
x my m
mx y
ỡ
- = +
ù
ù
ớ
ù
- =
ù
ợ
3 3

3 5
a, Tìm m để hệ phơng trình đã cho có nghiệmduy nhất.
b, Trong trờng hợp hệ phơng trình có nghiệm duy nhất,
hãy tìm m để y
>- 3
.
Câu 3. a, (2,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A(2; 1), B(3; -1), C(-2; 3).
Tìm điểm
E Oyẻ
để tứ giác ABEC là hình thang có hai cạnh đáy AB và CE.
b, (3,5 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho đờng thẳng (d) có phơng trình

x y- + =2 2 0
và hai điểm A(4; 6), B(0; 4).Tìm điểm M trên đờng thẳng
(d) sao cho độ dài vectơ
AM BM+
uuur uuur
có độ dài nhỏ nhất.Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 4.(2,25 điểm) Cho a, b, c là ba số thực khác 0.
Chứng minh rằng:
a b b c c a
c a b
+ + +
+ +
2 2 2 2 2 2
2 2 2
6
. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Hết.
Đáp án và biểu điểm đề thi chọn HSG môn Toán 10- ch ơng trình cơ bản.(gồm có 02 trang)

Câu 1 Tổng
điểm
a
Đk: (0,25đ) hoặc x x x x+ Ê -
2
2 0 0 2 .(0,25đ)
Pt đã cho tơng đơng với
( )x x x x+ - + + =
2 2
2 2 3 2 1 0
.(0,25đ)
Đặt
,t x x t= +
2
2 0
(0,25đ). Ta có phơng trình:
t t- + =
2
2 3 1 0
(1).(0,25đ)
Pt (1)
hoặc t=t =
1
1
2
(thỏa mãn đk
t 0
).(0,5đ)
Với
t =1

ta có phơng trình:
x x+ =
2
2 1
x x x x + = + - =
2 2
2 1 2 1 0
(0,5đ)
x =- 1 2
.(0,5đ)
Với
t =
1
2
ta có phơng trình:
x x+ =
2
1
2
2
x x x x + = + - =
2 2
1 1
2 2 0
4 4
(0,5đ)
x =-
5
1
2

.(0,5đ)
Đối chiếu với điều kiện phơng trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt là:
x =- 1 2
(0,25đ) và
x =-
5
1
2
.(0,25đ).
4.25đ
b
Đk:
x a x a-
2 2
0
.(0,5đ)
Pt đã cho tơng đơng với
hoặc
(0,5đ)
x x
x x
x a
x a
ộ
ộ
= =
- + =
ờ
ờ

ờ
ờ
=
- =
ờ
ở
ở
2
2
2
1 3
4 3 0
0
.(0,5đ)
Vậy phơng trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt
(0,5đ)a a < - < <
2
1 1 1
.
Vậy với -1< a < 1 thì phơng trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.(0,5đ)
2.5đ
Câu 2
a
Th1: Nếu m = 0, thay vào hệ ta đợc
x
x
y
y
ỡ
=

ù
ỡ
ù
=
ù
ù
ù

ớ ớ
ù ù
- =
=-
ù
ợ
ù
ù
ợ
3
3
5
3 5
3
. (0,5đ)
Vậy khi m = 0, hệ phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất
x
y
ỡ
=
ù
ù

ù
ớ
ù
=-
ù
ù
ợ
3
5
3
. (0,25đ)
Th2: Nếu
m ạ 0
, hệ phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất

m
m
-
ạ
-
1
3
(0,5đ)

m mạ ạ
2
3 3
. (0,5đ)
Vậy
m ạ 3

. (0,25đ)
2.0 đ
b
Hệ phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất


m ạ 3
. (0,5đ)
Từ (1) ta có:
x m my= + +3 3
, (0,25đ)
thay vào (2) ta có,
( )m m my y+ + - =3 3 3 5
( )m y m m- =- - +
2 2
3 3 3 5
(0,25đ)

m m
y
m
- - +
=
-
2
2
3 3 5
3
(vì
m ạ 3

) (0,5đ)
y >- 3
m m
m
- - +
>-
-
2
2
3 3 5
3
3

m m
m
- - +
+ >
-
2
2
3 3 5
3 0
3

m
m
- -
>
-
2

4 3
0
3
(0,5đ)
3.0đ

( ; ) ( ; )m ẻ - Ơ - ẩ -
4
3 3
3
. (0,75đ)
Vậy:
( ; ) ( ; )m ẻ - Ơ - ẩ -
4
3 3
3
. (0,25đ)
Câu 3
a
E Oyẻ
nên E có tọa độ (0; y). (0,5đ)
Tứ giác ABEC là hình thang đáy AB và CE

AB
uur
và
EC
uuur
cùng phơng.
(0,5đ)

Ta có:
AB
uur
(1; -2),
EC
uuur
(-2; 3 y). (0,5đ)
AB
uur
và
EC
uuur
cùng phơng

y- -
=
-
2 3
1 2
(0,5đ)
y =- 1
. (0,25đ). Vậy E(0; -1). (0,25đ)
2,5đ
b
( ; ) ( )M x y dẻ
0 0
(0,25đ) x y y x - + = = +
0 0 0 0
2 2 0 2 2
(0,25đ)

Vậy M(
; )x x +
0 0
2 2
(0,25đ)
Ta có:
( ; )AM x x- -
0 0
4 2 4
uuur
(0,25đ) ,
( ; )BM x x -
0 0
2 2
uuur
(0,25đ)
( ; )AM BM x xị + = - -
0 0
2 4 4 6
uuur uuur
.(0,25đ)
( ) ( )AM BM x x+ = - + -
2 2
0 0
2 4 4 6
uuur uuur
(0,25đ)
=
x x- +
2

0 0
20 64 52
(0,25đ)
( )x= - +
2
0
8 4 2
20
5 5
5
(0,5đ). Dấu = xảy ra khi
x =
0
8
5
,
khi đó
y =
0
26
5
(0,5đ). Vậy
min
,AM BM+ =
2
5
uuur uuur
tại M(
; )
8 26

5 5
.(0,5đ)
3.5đ
Câu 4
Ta có:
( ) ( ) ( )
a b b c c a a b a c b c
c a b b a c a c b
+ + +
+ + = + + + + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
(0,5đ)
Do
, ,a b c
khác 0 nên
, ,a b c
2 2 2
là các số dơng. áp dụng bất đẳng thức
cauchy ta có:
a b
b a
+
2 2
2 2
a b
b a
=
2 2
2 2

2 2
, (0,5đ)
a c
c a
+
2 2
2 2
a c
c a
=
2 2
2 2
2 2
, (0,5đ)

b c
c b
+
2 2
2 2
b c
c b
=
2 2
2 2
2 2
. (0,5đ) Vậy
a b b c c a
c a b
+ + +

+ +
2 2 2 2 2 2
2 2 2
6
.
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
a b c= =
2 2 2
. (0,25đ)
2.25đ
Tổng 20.0đ
Ghi chú: Thí sinh làm theo các ph ơng pháp đúng chặt chẽ vẫn cho điểm tối đa.
Ngô Trí Thụ.