Bai ktra BDTX chuky III.

Sở GD&ĐT Nghệ An.
Trờng THPT Diẽn Châu 2.
Bài kiểm tra bồi d ỡng th ờng xuyên chu kì 2004- 2007 .
Họ và tên giáo viên:
Ngô trí thụ
Câu 1. Cho cặp số x, y thoả mãn:
x y+ =3 4 12
, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M x y= +
2 2
. Đồng chí
hãy hớng dẫn học sinh giải bài toán trên bằng 3 phơng pháp khác nhau. (4 điểm).
Bài giải:
I. Giải bài toán trên bằng ba phơng pháp khác nhau.
Phơng pháp 1. ( Phơng pháp chuyển về một biến số).
Từ giả thiết
x y+ =3 4 12
ta có:
, .y x x R= - ẻ
3
3
4
Thay
y x= -
3
3
4
, vào biểu thức M ta đợc:
( )M x x= + -
2 2
3
3

4

M x x x= + - +
2 2
9 9
9
2 16
Hay
( )M x x x= - + = - +
2 2
25 9 5 9 144
9
16 2 4 5 25
, do
( ) ,x x R- " ẻ
2
5 9
0
4 5

ị
, .M x R " ẻ
144
25
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
x =
36
25
, khi đó
y =

48
25
.
Vậy
min
, và M khi x y= = =
144 36 48
25 25 25
.
Phơng pháp 2.( sử dụng bất đẳng thức).
áp dụng bất đảng thức Bunhiacôpxki cho 4 số 3, 4 và x, y ta có:
( ) ( )( )x y x y+ Ê + +
2 2 2 2 2
3 4 3 4

( ) ,( , ).x y x y x y RÊ + + " ẻ
2 2 2 2
144
144 25
25
Hay
, , .M x y R " ẻ
144
25
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
x
x y
y x
y
ỡ

ù
ù
=
ù
ỡ
+ =
ù
ù
ù ù

ớ ớ
ù ù
- =
ù
ợ
ù
=
ù
ù
ù
ợ
36
3 4 12
25
3 4 0 48
25
.
Vậy
min
36 48

, khi x= và y= .
25 25
M =
144
25
Phơng pháp 3. (Phơng pháp hình học).
Cách 1. Trong mặt phẳng toạ độ (oxy), phơng trình:
x y+ =3 4 12
là phơng trình của đờng thẳng (d).
Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M x y= +
2 2
, với
,x y
thoả mãn
x y+ =3 4 12
tơng đ-
ơng với bài toán: Tìm A(
,x y
) trên đờng thẳng (d) sao
cho đoạn OA có độ dài nhỏ nhất.
OA nhỏ nhất

A

H, H là hình chiếu vuông góc của
O lên (d).
Tìm H: H =
( ) ( )d dầ
1

, trong đó (d
1
) là đờng thẳng qua
O(0; 0) và vuông góc với (d).
Phơng trình đờng thẳng (d
1
) là:
x y- =4 3 0
.
Toạ độ H là nghiệm của hệ phơng trình:
x y
x y
ỡ
+ =
ù
ù
ớ
ù
- =
ù
ợ
3 4 12
4 3 0

x
y
ỡ
ù
ù
=

ù
ù
ù
ớ
ù
ù
=
ù
ù
ù
ợ
36
25
48
25
.
1
3
4
O
H()
A(x,y)
x
y
(d)
Khi đó OA = OH = d(O, (d)) =
. .+ -
=
+
2 2

3 0 4 0 12
12
5
3 4
.
Vậy
min
48
, khi và y= .
25
M OA x= = =
2
144 36
25 25
Cách 2. Trong mp(oxy) phơng trình
x y+ =3 4 12
là
phơng trình của đờng thẳng (d).
Xem (C)x y M+ =
2 2
là phơng trình của đờng tròn
tâm O(0; 0) bán kính
M
.
Gọi
M
0
là một giá trị của M, thế thì hệ phơng trình
( )
x y

x y M
ỡ
+ =
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ợ
2 2
0
3 4 12
1
có nghiệm.
Hệ (1) có nghiệm

đờng thẳng (d) và đờng tròn (C)
có điểm chung.
Hệ (1) có nghiệm

d(O, (d))
Ê
M
0

M
0

12

5

M
0

144
25
.
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi (d) là tiếp tuyến của
(C). Khi đó nghiệm của hệ chính là toạ độ tiếp điểm
H. Vậy
min
, khi và M x y= = =
144 36 48
25 25 25
.
II. Hớng dẫn học sinh giải.
Trợ giúp của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng
H1: Bài toán yêu cầu
chúng ta làm gì?
H2: Ta có thể biến đổi
biểu thức M phụ thuộc
hai biến thành biểu
thức chỉ phụ thuộc vào
một biến hay không?
Nếu đợc hãy làm điều
đó?
Nếu học sinh không
làm đợc thì Gv tiếp tục
gợi ý:

+, Từ giả thiết
x y+ =3 4 12
hãy biểu
thị
theo (hoặc theo )x y y x
Thay vào biu thức M
ri bin đổi.
H3: Em có nhận xét gì
về giá trị của biểu thức
M? Từ đó hãy tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu
thức M?
Gv: Lu ý cho Hs biết có
thể xem M là một tam
thức bậc hai ẩn x và
giải theo kiến thức tam
Hs: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M x y= +
2 2
, với
,x y
thoả mãn điều
kiện
x y+ =3 4 12
.
Hs: Từ gi thit
x y+ =3 4 12
ta có
y x= -
3

3
4
thay vào biểu thức M ta đ-
ợc:
( )M x x= + -
2 2
3
3
4
.
Rút gọn M ta đợc:
( )M x x x= - + = - +
2 2
25 9 5 9 144
9
16 2 4 5 25
Hs:
M
144
25
.
Bài giải:
Từ giả thiết
x y+ =3 4 12
ta có:
, .y x x R= - ẻ
3
3
4
Thay

y x= -
3
3
4
, vào biểu thức M ta
đợc:
( )M x x= + -
2 2
3
3
4

M x x x= + - +
2 2
9 9
9
2 16
Hay
( )M x x x= - + = - +
2 2
25 9 5 9 144
9
16 2 4 5 25
, do
( ) ,x x R- " ẻ
2
5 9
0
4 5

ị
, .M x R " ẻ
144
25
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
x =
36
25
,
khi đó
y =
48
25
.
Vậy
min
, và M khi x y= = =
144 36 48
25 25 25
.
2
3
4
O
(d)
H()
x
y
thức bậc hai.
H4: Hãy xét xem bài

toán còn có cách giải
nào khác?
H5: Hãy phát biểu bất
đẳng thức
Bunhiacôpxki cho 4 số?
H6: Liệu có thể áp
dụng bất đẳng thức nói
trên để giải bài toán
hay không? Nếu đợc
hãy giải bài toán theo
cách đó?
H7:Hãy giải bài toán đã
cho?
H8: Trong mặt phẳng
tọa độ Oxy em hãy nêu
công thức tính khoảng
cách từ điểm A(x; y)
đến gốc tọa độ?
H9: Vậy bài toán đã
cho tơng đơng với bài
toán nào?
H10: Em hãy giải bài
toán đã cho bằng phơng
pháp hình học?
Hs: với 4 số thực a,b,c,d tùy ý ta có:
( ) ( )( )ac bd a b c d+ Ê + +
2 2 2 2 2
.
Dấu = khi và chỉ khi
ad bc- = 0

.
Hs: áp dụng bất đẳng thức
Bunhiacôpxki ta có
( ) ( )( )x y x y+ Ê + +
2 2 2 2 2
3 4 3 4
Hs: .OA x y= +
2 2 2
Hs: bài toán đã cho tơng đơng với bài
toán: Tìm điểm A(x; y) trên đờng
thẳng
x y+ =3 4 12
, sao cho khoảng
cách OA ngán nhất.
Bài giải:
áp dụng bất đảng thức Bunhiacôpxki
cho 4 số 3, 4 và x, y ta có:
( ) ( )( )x y x y+ Ê + +
2 2 2 2 2
3 4 3 4

( ) ,
( , ).
x y x y
x y R
Ê + +
" ẻ
2 2 2 2
144
144 25

25
Hay
, , .M x y R " ẻ
144
25
Dấu bằng xảy
ra khi và chỉ khi:
x
x y
y x
y
ỡ
ù
ù
=
ù
ỡ
+ =
ù
ù
ù ù

ớ ớ
ù ù
- =
ù
ợ
ù
=
ù

ù
ù
ợ
36
3 4 12
25
3 4 0 48
25
.
Vậy
min
36 48
, khi x= và y= .
25 25
M =
144
25
Bài giải:
Trong mặt phẳng toạ độ (oxy), phơng
trình:
x y+ =3 4 12
là phơng trình của
đờng thẳng (d).
Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức M x y= +
2 2
, với
,x y
thoả mãn
x y+ =3 4 12

tơng đơng với bài toán:
Tìm A(
,x y
) trên đờng thẳng (d) sao cho
đoạn OA có độ dài nhỏ nhất.
OA nhỏ nhất

A

H, H là hình chiếu
vuông góc của O lên (d).
Tìm H: H =
( ) ( )d dầ
1
, trong đó (d
1
) là
đờng thẳng qua O(0; 0) và vuông góc
với (d).
Phơng trình đờng thẳng (d
1
) là:
x y- =4 3 0
.
Toạ độ H là nghiệm của hệ phơng trình:
x y
x y
ỡ
+ =
ù

ù
ớ
ù
- =
ù
ợ
3 4 12
4 3 0

x
y
ỡ
ù
ù
=
ù
ù
ù
ớ
ù
ù
=
ù
ù
ù
ợ
36
25
48
25

.
Khi đó OA = OH = d(O, (d)) =
. .+ -
=
+
2 2
3 0 4 0 12
12
5
3 4
.
3
3
4
O
H()
A(x,y)
x
y
(d)
Vậy
min
,
48
khi và y= .
25
M OA
x
= =
=

2
144
25
36
25
Câu 2. Đồng chí hãy soạn 01 tiết giáo án. Tiết luyện tập bài: Đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng. Sách
giáo khoa hình học 11 chơng trình nâng cao. (6 điểm).
Bài soạn tiết thứ 38. Tiết luyện tập bài: Đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Sách giáo khoa hình học 11- chơng trình nâng cao.
I. Mục tiêu:
Về kiến thức:
-Củng cố cho học sinh khái niệm đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng, điều kiện để một đờng thẳng vuông
góc với mặt phẳng.
- Củng cố cho học sinh nội dung định lí ba đờng vuông góc, khái niệm hình chiếu vuông góc của một điểm.
Về kĩ năng:
- Rèn luyện cho học sinh phơng pháp chứng minh đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Về t duy và thái độ:
- Phát triển cho học sinh t duy hình học không gian.
- rèn luyện cho học sinh tính cẩn thận, chính xác.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
Gv: Chuẩn bị giáo án, phấn màu, thớc kẻ.
Hs: Học bài và giải bài tập ở nhà.
III. Phơng pháp: Gợi mở vấn đáp.
IV. Tiến trình bài học và các nội dung.
A. ổn định tổ chức.
B. Kiểm tra bài cũ: 1, Em hãy nêu định nghĩa đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng?
2, Nêu điều kiện để một đờng thẳng vuông góc với một mặt phẳng?
3, Phát biểu nội dung định lí ba đờng vuông góc?

C. Bài mới.

Trợ giúp của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng
Gv: gọi học sinh đọc đề
bài tập 18/ 103 (sgk).
Ghi tóm tắt đề toán. Vẽ
hình.
Yêu cầu học sinh cùng vẽ
hình.
H1. Hãy chứng minh AH,
SK, BC đồng quy?
+, Gọi M là giao điểm của
AH với BC thì ta có điều
gì?
vẽ hình.
Hs:
( )BC mp SAM^
.Do đó
, ,
đồng quy tại M
BC SM K SM
AH SK BC
^ ị ẻ
ị
Hs:
(1)
(vì K là trực tâm ABC)
SC BK^
V
Bài giải:
4
S

A
B
M
C
N
K
I
H
H2: Hãy chứng minh
( )SC mp BHK^
?
+, Hãy chứng minh
và SC BHSC BK^ ^ .
+, có thể chứng minh
SC BH^
nhờ định lí ba
đờng vuông góc.
H3: Hãy chứng minh
( ).HK mp SBC^
?
+, Hãy chứng minh
và
HK SC
HK BC^
^
Gv: Gọi học sinh đọc bài
tập 17/103 sgk.
Tóm tắt đề bài, vẽ hình,
yêu cầu Hs cùng vẽ hình.
H1. Hãy chứng minh

ABCV có ba góc nhọn?
+, Hãy chứng minh cho
CosA, CosB, CosC là
những số dơng.
+, đặt OA= a, OB= b,
OC= c, tính CosA, CosB,
CosC theo a,b,c?
H2. Hãy chứng minh H là
trực tâm của
ABCV
?
+, Chứng minh rằng:
và AB CHBC AH^ ^
.
H3. CMR:
OH OA OB OC
= + +
2 2 2 2
1 1 1 1
( ) và
( )
( ).
BH SA gt
BH AC BH mpSAC
BH SC
^
^ ị ^
ị ^ 2
Hs:
( )

.
( )
BC mp SAM
BC HK
SC mp BHK
SC HK
^
ị ^
^
ị ^
a, Ta có:
BC SA^
, vì
( )SA mp ABC^
.
Gọi M là giao điểm của AH với BC
ị
BC AM^
( )BC mp SAMị ^
ị
BC SM^
ị
K SMẻ
( do K là trực tâm
của
SBCV
).
Vậy: BC,AH.SK đồng quy tại M.
b, Ta có:
( )SC BK^ 1

, vì K là trực tâm của
SBCV .
( SA mp(ABC)) và
( do H là trực tâm của
ABC) ( )
( ).
BH SA gt
BH AC
BH mpSAC
BH SC
^ ^
^
ị ^
ị ^ 2
V
Từ (1) và (2)
( )SC mp BHKị ^
.
c, Ta có:
( )BC mp SAM BC HK^ ị ^
(3).
( )SC mp BHK SC HK^ ị ^
(4).
Từ (3) và (4)
( )HK mp SBCị ^
.
Bài giải:
a, Đặt OA =a, OB= b, OC= c.
Ta có:
, ,AB a b AC c a

BC b c
= + = +
= +
2 2 2 2
2 2
áp dụng định lí côsin trong
ABCV
ta có:
.
AC AB BC
CosA
AB AC
+ -
=
2 2 2
2
( )( )
a
a b b c
= >
+ +
2
2 2 2 2
2
0
2
.
Tơng tự:
và CosC >0.CosB > 0
(đpcm).

b, Ta có:
,OA OB OA OC^ ^
ị
( )OA mp OBC^
OA BCị ^ (1).
Mà
(2) (vì H là hình chiếu vuông góc
của O lên mp(ABC)
BC OH^
Từ (1) và (2)
( )
( )BC mp OAH BC AHị ^ ị ^
3
Tơng tự ta cũng có:
( )OC mp OAB^
( )
AB OCị ^
4
.
Mà
( )
AB OH^
5
. Từ (4) và (5)
( )
( )AB mp OHC AB CHị ^ ị ^
6
.
Từ (3) và (6)
ị

H là giao điểm của hai đ-
ờng cao AH và CH của ABCV . Vậy H là
trực tâm của
ABCV
.
c, Trong
á ô tam gi c vu ng AOI
có OH là đ-
5
O
A
C
I
B
K
H